Формулы разности и суммы кубов и квадратов: Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов

2\right)\]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09.03.2022

Формулы сокращённого умножения. Неполный квадрат суммы и разности

• Разложение формул сокращенного умножения
• Неполный квадрат суммы
• Неполный квадрат разности

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a² + b² = (a + b)² — 2ab  —  сумма квадратов;

a² — b² = (a + b)(a — b)  —  разность квадратов;

(a + b)² = a² + 2ab +

b²  —  квадрат суммы;

(a — b)² = a² — 2ab + b²  —  квадрат разности;

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²)  —  сумма кубов;

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²)  —  разность кубов;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  —  куб суммы;

(a — b)³ = a³ — 3a²

b + 3ab² — b³  —  куб разности.

Обратите внимание, что  a  и  b  в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a² + b² = (a + b)² — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)² — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a² + ab + ab + b² — 2ab = a² + b².

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a² — b² = (a + b)(a — b).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a — b) = a² — ab + ab — b² = a² — b².

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(a — b)² = a² — 2ab + b².

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b².

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a³ + b³ = (a + b)(a² — ab + b²).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a² — ab + b²) = a³ — a²b + ab² + a²b — ab² + b³ = a³ + b³.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a³ — b³ = (a — b)(a² + ab + b²).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a — b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² — a²b — ab² — b³ = a³ — b³.

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)² = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b)³ = (a — b)(a — b)² = (a — b)(a² — 2ab + b²) = a³ — 2a²b + ab² — a²b + 2ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Неполный квадрат суммы

Выражение:

a² + 2ab + b²

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a² + ab + b²,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

Выражение:

a² — 2ab + b²

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a² — ab + b²,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Сумма и разность кубов

Горячая математика

Сумма или разность двух кубов может быть разложена на произведение биномиальный умножить на трехчлен.

То есть, Икс 3 + у 3 знак равно ( Икс + у ) ( Икс 2 − Икс у + у 2 ) а также Икс 3 − у 3 знак равно ( Икс − у ) ( Икс 2 + Икс у + у 2 ) .

Мнемоникой для знаков факторизации является слово «МЫЛО», буквы обозначают «Тот же знак», что и в середине исходного выражения, «Противоположный знак» и «Всегда положительный».

То есть, Икс 3 ± у 3 знак равно ( Икс [ Такой же знак ] у ) ( Икс 2 [ Противоположный знак ] Икс у [ Всегда Положительный ] у 2 )

Пример 1:

Фактор 27 п 3 + д 3 .

Попробуйте записать каждое из условий в виде куба выражения.

27 п 3 + д 3 знак равно ( 3 п ) 3 + ( д ) 3

Используйте факторизацию суммы кубов, чтобы переписать.

27 п 3 + д 3 знак равно ( 3 п ) 3 + ( д ) 3 знак равно ( 3 п + д ) ( ( 3 п ) 2 − 3 п д + д 2 ) знак равно ( 3 п + д ) ( 9п 2 − 3 п д + д 2 )

Пример 2:

Фактор 40 ты 3 − 625 в 3 .

Фактор из ЗКФ из двух терминов.

40 ты 3 − 625 в 3 знак равно 5 ( 8 ты 3 − 125 в 3 )

Попробуйте записать каждое из условий бинома в виде куба выражения.

8 ты 3 − 125 в 3 знак равно ( 2 ты ) 3 − ( 5 в ) 3

Используйте факторизацию разности кубов для перезаписи.

5 ( 8 ты 3 − 125 в 3 ) знак равно 5 ( ( 2 ты ) 3 − ( 5 в ) 3 ) знак равно 5 [ ( 2 ты − 5 в ) ( ( 2 ты ) 2 + 10 ты в + ( 5 в ) 2 ) ] знак равно 5 ( 2 ты − 5 в ) ( 4 ты 2 + 10 ты в + 25 в 2 )

Как разбить кубическую разность или сумму

Авторы: Ян Куанг и Эллейн Кейс и

Обновлено: 26 марта 2016 г. + Онлайн-викторины по главам)

Исследуйте книгу Купить на Amazon

После того, как вы проверили наличие наибольшего общего делителя (НОД) в заданном многочлене и обнаружили, что это двучлен, который не является разностью квадратов, вы должны учтите, что это может быть разность или сумма кубов.

Разность кубов очень похожа на разность квадратов, но действует совсем иначе. Разность кубов — это двучлен вида (что-то) ³ — (что-то еще) ³ . To factor any difference of cubes, you use the formula a ³ – b ³ = ( a – b )( a ² + ab + b ² ).

Сумма кубов является двучленом вида: (что-то) ³ + (что-то еще) ³ . When you recognize a sum of cubes a ³ + b ³ , it factors as ( a + b )( a ² – ab + b ² ).

Например, чтобы разложить 8 x ³ + 27, вы сначала ищете GCF. Вы не нашли ничего, поэтому теперь вы используете следующие шаги:

1. Проверить, является ли выражение разностью квадратов.

   Вы хотите рассмотреть возможность, потому что выражение состоит из двух членов, но знак плюс между двумя членами быстро говорит вам, что это не разность квадратов.

2. Определите, должны ли вы использовать сумму или разность кубов.

   Знак плюса говорит вам, что это может быть сумма кубов, но эта подсказка не является надежной. Время проб и ошибок: попробуйте переписать выражение в виде суммы кубов; если попробуешь (2 x ) ³ + (3) ³ , вы нашли победителя.

3. Разложите сумму или разность кубов, используя ярлык факторинга.

   Замените a на 2 x и b на 3. Формула примет вид [(2 x ) + (3)] [(2 x ) ² – (2 x ) 3) + (3) ² ].