Формулы квадратов и кубов: Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения 💣

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

 

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.


2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.


3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.


4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.


5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.


6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.


7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a² — b² = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a² — b².

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a² — b² ≠ (a — b)².

Докажем, что a² — b² = (a — b) * (a + b).

Поехали:

1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

   + a * b — a * b = 0

   a² — b² = a² — b² + ab — ab

2. Сгруппируем иначе: a² — b² + a * b — a * b = a² — a * b + a * b — b²


3. Продолжим группировать: a² — a * b — b² +a * b = (a² — a * b) + (a * b — b²)


4. Вынесем общие множители за скобки:

   (a² — a * b) + (a * b — b²) = a *(a — b) + b *(a — b)

5. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)


6. Результат доказательства: a² — b² = (a — b) * (a + b)


7. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a² — b², нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a² — b².

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

 

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.  

(a₁+a₂+…+a_n)² = a₁² + a₂

2 + … + a_n-1² + a_n² + 2 * a₁ * a₂ + 2 * a₁ * a₃ + 2 * a₁ * a₄ + … +

+ 2 * a₁ * a_n-1 + 2 * a₁ * a_n + 2 * a₂ * a₃ + 2 * a₂ * a₄ + … + 2 * a₂ * a_n-1 + 2 * a₂ * a_n +…+

+ 2 * a_n-1 * a_n

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

aⁿ − bⁿ = (a − b) * (a^n-1 + a^n-2 * b + a

n-3 * b² + … + a * b^n-2 + b^n-1).

Для четных показателей можно записать так:

a^2*m − b^2*m = (a² − b²) *(a^2*m−2 + a^2*m−4 * b² + a^2*m−6 * b⁴ + … + b^2*m−2).

Для нечетных показателей:

a^2*m+1 − b^2*·m+1 = (a − b) * (a^2*m + a^2*m−1 * b + a^2*m−2 * b² + … + b^2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)².

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)² = 55² + 2 * 55 * 10 + 10² = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с³ – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с³ – 8 = (4 * с)³ – 2³ = (4 * с – 2)((4 * с)² + 4 * с * 2 + 2²) = (4 * с – 2)(16 * с

2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).

Как решаем:

1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y² + 7 * y * x — 7 * y * x — x² = 49 * y² — x².
2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)² — x² = 49 * y² — x².

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

---

---

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, квадрат суммы, разность кубов, бином Ньютона.

Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или квадрата суммы просто невозможно. Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,16

2 — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,16². Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:

Название	Формула
Квадрат суммы	(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Квадрат разности	(A — B)2 = A2 — 2AB + B2
Разность квадратов	(A — B)(A + B) = A2 — B2
Куб суммы	(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2+ B3
Куб разности	(A — B)3 = A3 — 3A2B + 3AB2 — B3
Сумма кубов	A3 + B3 = (A + B)(A2 — AB + B2)
Разность кубов	A3 — B3 = (A — B)(A2 + AB + B2)

Версия для печати в формате png

Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B)⁴, (A + B)⁵ и даже (A + B)ⁿ, где n — произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую — либо закономерность?

Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)ⁿ называется биномом Ньютона. Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)⁴ и (A + B)⁵, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

(A + B)ⁿ = Aⁿ + C_n¹A^n-1B + C_n²A^n-2B² + … + C_n^kA^n-kB^k + … + Bⁿ.

Здесь C_n^k = n!/(k! • (n-k)!).

Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для Aⁿ — Bⁿ?

Да, можно. Вот эта формула:

Aⁿ — Bⁿ = (A — В)(A^n-1 + A^n-2B + A^n-3B² + … + B^n-1).

Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

Aⁿ + Bⁿ = (A + В)(A^n-1 — A^n-2B + A^n-3B² — … + B^n-1).

Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.

Суммы квадратов, суммы кубов…

Суммы квадратов, суммы кубов…

опубликовано на «Элементах»

Задача

Еще в древнем Египте была известна формула для суммы последовательных натуральных чисел: $$ 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2 $$ (чтобы убедиться в этом, сложите первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т. 2}4. $$

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11… Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.

$n$	1	2	3	4	5	6
$S_2$	1	5	14	30	55	91
$S_4$	1	17	98	354	979	2275
$S_4/S_2$	1	17/5	7	59/5	89/5	25

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125… Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна… Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30… — закономерность сразу видна!

Таким образом, гипотеза состоит в том, что $$ S_4(n)/S_2(n)= \frac{5+6\cdot2+6\cdot3+\ldots+6n}5= \frac{6\frac{n(n+1)}2-1}5= \frac{3n^2+3n-1}5, $$ и соответственно $$ S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}. 2}6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии…

Литература

1. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
   http://ilib.mccme.ru/djvu/polya/rassuzhdenija.htm
   Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
2. Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
   http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
   В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
3. В. С. Абрамович. наверх

   Формулы сокращенного умножения.

   Формулы сокращенного умножения.

   Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

   Разность квадратов	a2-b2 = (a-b)(a+b)
   Квадрат суммы	(a+b)2 = a2+2ab+b2
   Квадрат разности	(a-b)2 = a2-2ab+b2
   Куб суммы	(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
   Куб разности	(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
   Сумма кубов	a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
   Разность кубов	a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
   Разность четвертых степеней	a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2)

   Справочно, только для тех кто хочет больше представлять тему: Бином Ньютона. Целая положительная степень n суммы. (a + b)ⁿ=

   Формулы сокращенного умножения

   Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).

   Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.
   
   а² — b² = (а — b)(a + b)

   Разберем для наглядности:

   22² — 4² = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
   9а² — 4b²c² = (3a — 2bc)(3a + 2bc)

   Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.

   (а + b)² = a² +2ab + b²

   Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.

   Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
   1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
   112 = 100 + 12
   2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат
   112² = (100+12)²
   3) Применяя формулу, получаем:
   112² = (100+12)² = 100² + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

   Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.
   
   (а +b)² = а² — 2аb + b²

   где (а — b)² равняется (b — а)². В доказательство чему, (а-b)² = а²-2аb+b² = b²-2аb + а² = (b-а)²

   Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.

   (а+b)³ = а³ + 3а²b + 3аb² + b³

   Пятая, как вы уже поняли называется куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.
   
   (а-b)³ = а³ — 3а²b + 3аb² — b³

   Шестая называется — сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.
   
   а³ + b³ = (а+b)(а²-аb+b²)

   По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.

   Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.
   

   
   а³ — b³ = (а-b)(а²+аb+b²)

   И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.

   Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в комментариях. Будем рады ответить вам!

   Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!

   ---

   Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

   ---

   Формулы сокращённого умножения — это… Что такое Формулы сокращённого умножения?

   Формулы сокращённого умножения

   Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

   Формулы для квадратов

   • a² − b² = (a + b)(a − b)
   • (a + b − c)² = a² + b² + c² + 2ab − 2ac − 2bc

   Формулы для кубов

   Формулы для четвертой степени

   Формулы для n-ой степени

   • aⁿ − bⁿ = (a − b)(a^{n − 1} + a^{n − 2}b + a^{n − 3}b² + . .. + a²b^{n − 3} + ab^{n − 2} + b^{n − 1})

   Некоторые свойства формул

   • (a − b)²ⁿ = (b − a)²ⁿ, где
   • (a − b)^{2n + 1} = − (b − a)^{2n + 1}, где

   Интересные формулы

   • a⁴ − b⁴ = (a − b)(a + b)(a² + b²) (выводится из a² − b²)

   См. также

   Источники

   • М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике, Москва, 1958

   Wikimedia Foundation. 2010.

   • Формулы Байеса
   • Формулы сокращенного умножения

   Полезное

   
   

   Смотреть что такое «Формулы сокращённого умножения» в других словарях:

   • Формулы сокращённого умножения многочленов — Формулы сокращённого умножения многочленов  часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры. Содержание 1 Формулы для квадратов 2 Формулы для… …   Википедия

   • Форумулы сокращённого умножения многочленов — Формулы сокращённого умножения многочленов часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры. Содержание 1 Формулы для квадратов 2 Формулы для кубов …   Википедия

   • Формулы сокращенного умножения — Формулы сокращённого умножения многочленов часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры. Содержание 1 Формулы для квадратов 2 Формулы для кубов …   Википедия

   • Формулы сокращенного умножения многочленов — Формулы сокращённого умножения многочленов часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры. Содержание 1 Формулы для квадратов 2 Формулы для кубов …   Википедия

   • Форумулы сокращенного умножения многочленов — Формулы сокращённого умножения многочленов часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры. Содержание 1 Формулы для квадратов 2 Формулы для кубов …   Википедия

   • Бином Ньютона — Бином Ньютона  формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид , где   биномиальные коэффициенты,   неотрицательное целое число. В таком виде эта формула была известна… …   Википедия

   • Холодная, Марина Александровна — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Холодная. Марина Александровна Холодная Дата рождения: 1949 год(1949) Научная сфера: психология Место работы: Институт психологии РАН …   Википедия

   • Бином ньютона — Бином Ньютона  это формула , где   биномиальные коэффициенты, n  неотрицательное целое число. Содержание 1 Доказательство …   Википедия

   • Марина Александровна Холодная — (р. 1949)  современный российский психолог, профессор, д.пс.н., заведующая лаб. психологии способностей им. В. Н. Дружинина Института психологии РАН. Известна прежде всего исследованиями в сфере психологии интеллекта, одарённости, педагогической… …   Википедия

   • Марина Холодная — Марина Александровна Холодная (р. 1949)  современный российский психолог, профессор, д.пс.н., заведующая лаб. психологии способностей им. В. Н. Дружинина Института психологии РАН. Известна прежде всего исследованиями в сфере психологии интеллекта …   Википедия

   Книги

   • Все формулы по математике (алгебра, тригонометрия и начала математического анализа). Учебно-справочное пособие, Томилина Марина Ефимовна. Книга адресована ученикам 5 11 классов. В краткой и наглядной форме представлены многие темы школьной программы: обыкновенные дроби и действия с дробями, формулы сокращённого умножения,… Подробнее  Купить за 183 грн (только Украина)
   • Все формулы по математике, Томилина Марина Ефимовна. Книга адресована ученикам 5-11 классов. В краткой и наглядной форме представлены многие темы школьной программы: обыкновенные дроби и действия с дробями, формулы сокращённого умножения,… Подробнее  Купить за 171 руб
   • Все формулы по математике (алгебра, тригонометрия и начала математического анализа). Учебно-справочное пособие, Томилина Марина Ефимовна. Книга адресована ученикам 5–11 классов. В краткой и наглядной форме представлены многие темы школьной программы: обыкновенные дроби и действия с дробями, формулы сокращённого умножения,… Подробнее  Купить за 147 руб
   Другие книги по запросу «Формулы сокращённого умножения» >>
   

   Чему равен куб суммы двух чисел. Формулы сокращенного умножения

   При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

   Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

   Разность квадратов

   Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

   a 2 — b 2 = (a — b)(a + b)

   Квадрат суммы

   Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

   (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

   Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

   Найти 112 2 .

   Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
   112 = 100 + 1

   Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
   112 2 = (100 + 12) 2

   Воспользуемся формулой квадрата суммы:
   112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

   Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

   (8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

   Предостережение!!!

   (a + b) 2 не равно a 2 + b 2

   Квадрат разности

   Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

   (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

   Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

   (a — b) 2 = (b — a) 2
   Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

   (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2
   

   Куб суммы

   Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

   (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

   Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

   Выучите, что в начале идёт a 3 .

   Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

   В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
   (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

   Предостережение!!!

   (a + b) 3 не равно a 3 + b 3

   Куб разности

   Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

   (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

   Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

   (a — b) 3 = + a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

   Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

   Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

   a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2)

   Сумма кубов — это произведение двух скобок.

   Первая скобка — сумма двух чисел.

   Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

   A 2 — ab + b 2
   Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

   Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

   Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

   a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2)

   Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

   Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

   Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

   Разложим, например, :

   В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце — куб второго числа. А вот что посередине — запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго — увеличивается — несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

   Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они — коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее — ага, уже треугольник получается:

   Первая строка, с одной единичкой — нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

   Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

   
   

   Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

   
   

   Ну а знаки запомнить еще проще: первый — такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму — значит, плюс, разность — значит, минус), а дальше знаки чередуются!

   Вот такая это полезная штука — треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

   Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

   Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

   Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

   Квадрат суммы

   Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

   Квадрат разности

   Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

   Разность квадратов

   Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с).

   Куб суммы

   Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

   Сумма кубов

   Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²).

   Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

   Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

   Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

   Куб разности

   Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

   Разность кубов

   Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2).

   Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

   Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

   Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

   Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

   Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

   При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

   
   

   Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) — формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) — формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

   Дополнительные формулы

   В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

   Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

   Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

   Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

   Пример.

   Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

   Решение.

   В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

   Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

   Сбор и использование персональной информации

   Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

   От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

   Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

   Какую персональную информацию мы собираем:

   • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

   Как мы используем вашу персональную информацию:

   • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
   • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
   • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
   • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

   Раскрытие информации третьим лицам

   Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

   Исключения:

   • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
   • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

   Защита персональной информации

   Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

   Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

   Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

   В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи — ФСУ.

   Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

   Разбираемся?)

   Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

   Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

   Они берутся из умножения.) Например:

   (a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

   Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

   ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

   Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

   Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

   Если Вам нравится этот сайт…

   Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

   Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

   можно познакомиться с функциями и производными.

   Решение уравнений с квадратами и кубиками — концепция

   В геометрии вы собираетесь решать с квадратными корнями и кубическими корнями. Итак, мы рассмотрим здесь 3 быстрые задачи.
   Первое уравнение с одной переменной r и r возводится в квадрат. Итак, вам нужно сделать здесь пару шагов. Первый шаг — вы собираетесь исключить умножение r в квадрате, а это 4 пи. Итак, я собираюсь разделить обе стороны на 4 пи.Это должно показаться знакомым, это то, что вы делали в прошлом году по алгебре. 4 пи, деленные на 4 пи, равны 1. Все, что делится само на себя, равно 1. Единственное, что остается справа, — это квадрат r. С левой стороны у нас есть число Пи, разделенное на Пи, которое равно 1, и 80, разделенное на 4, что составляет 20. Итак, чтобы решить эту проблему для r, мне нужно отменить возведение в квадрат, которое возводит в квадрат квадратный корень. Итак, квадратный корень из 20, который я люблю упрощать, — это думать о нем как о двух квадратных корнях, умноженных вместе. И я могу сказать, что 20 равно 10 умноженным на 2, но я не знаю ни одного из этих квадратных корней в виде целого числа, но я могу записать его как квадратный корень из 4 умноженный на квадратный корень из 5.Квадратный корень из 4 равен 2. Итак, мы собираемся сказать, что r равно двукратному квадратному корню из 5.
   Давайте посмотрим еще на два. Вот следующий. x в кубе равно 27. Чтобы что-то отменить в кубе, я возьму не квадратный корень, а кубический корень. Таким образом, кубический корень из куба x будет равен x. Я должен проделать ту же операцию с другой стороны, и кубический корень из 27 будет равен 3. Теперь, если мы вернемся к нашей первой проблеме, мы заметим, что я мог бы сказать, что это было положительным или минус 2, умноженный на квадратный корень из 5.Поскольку мы занимаемся геометрией и почти всегда говорим о расстояниях, мы почти всегда будем брать положительный корень. Потому что двукратный квадратный корень из 5 умноженный на себя равен 20, и если я возьму отрицательное значение, умноженное на само по себе, мы получим также 20. Так что здесь может быть два ответа. Однако, если мы вернемся к этому кубическому корню, если бы я сказал, что x может быть -3, давайте просто кратко рассмотрим это на самом деле. -3 куб. -3 умножить на -3 будет 9. Итак, у меня будет 9 умноженное на -3, что равно -27. Заметьте, что с кубическим корнем вы получите только один ответ.Отрицательный не будет одним из ваших ответов.
   Последний вопрос, который мы собираемся рассмотреть, — это то, что вы решите, когда говорите об объеме сферы. Чтобы выделить здесь r, сначала возьмем величину, обратную четырем третям. Итак, я умножу обе стороны на три четверти. Итак, это три четверти, умноженные на 823. Я введу это в свой калькулятор. 823, умноженные на три четверти, составляют 617,25. Итак, мы выделили число пи умноженное на r в кубе. Я пока не могу извлечь кубический корень, поэтому я собираюсь разделить обе стороны на число пи.Итак, теперь я собираюсь получить еще одну десятичную дробь, я собираюсь разделить это на число пи, и я получу 196,5, которые мы округлим. 196.5 равно r в кубе.
   Теперь, когда единственное, что у нас есть, это куб r, мы можем взять кубический корень и выделить r. Итак, мы берем кубический корень из обеих сторон, и я скажу, что кубический корень нашего куба равен r, и в моем калькуляторе я собираюсь напечатать, если ваш учитель не показал вам, как вы вводите это, вы собираетесь ввести 196,5, а затем сказать ему, чтобы он увеличил его до дроби. Потому что дробный корень, или извините, дробная экспонента, на самом деле пускает корень. Итак, вы собираетесь возвести его в степень одной трети. Итак, в моем калькуляторе я наберу 196,5, и мы увеличим его до, теперь не забудьте поставить здесь эти круглые скобки, иначе ваш калькулятор просто поднимет его до первого, а затем разделит все на 3. Итак, я собираюсь сказать треть, и я получу 5,8. Так что я собираюсь написать немного здесь. r = 5.8, и мы не знаем, какие у нас единицы, поэтому оставим это как есть.
   Итак, помните, что когда вы пытаетесь решить проблемы с площадью поверхности, каждый раз, когда что-то возводится в квадрат, каждый раз, когда что-то строится в кубе, вы собираетесь извлекать квадратный корень или кубический корень, чтобы изолировать свои переменные.
   

   Специальный факторинг: суммы и разности кубов и идеальные квадраты

   Purplemath

   Две другие специальные формулы факторизации, которые вам нужно запомнить, очень похожи друг на друга; это формулы для разложения сумм и разностей кубов. Вот две формулы:

   Факторинг суммы кубов:

   a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² — ab + b ² )

   Фактор разницы кубов:

   a ³ — b ³ = ( a — b ) ( a ² + ab + b ² )

   В более продвинутых классах вы узнаете, как они пришли к этим формулам.А пока просто запомните их.

   MathHelp.com

   Чтобы помочь с запоминанием, сначала обратите внимание, что членов в каждой из двух формул факторизации абсолютно одинаковы. Затем обратите внимание, что в каждой формуле есть только один знак «минус». Разница между двумя формулами заключается в расположении одного знака «минус»:

   Для разницы кубов знак «минус» ставится в линейном множителе: a — b ; для суммы кубиков знак «минус» стоит в квадратичном множителе: a ² — ab + b ² .

   Некоторые люди используют мнемонику « SOAP », чтобы отслеживать знаки; буквы обозначают линейный множитель, имеющий «тот же» знак, что и знак в середине исходного выражения, затем квадратичный множитель, начинающийся со «противоположного» знака того, что было в исходном выражении, и, наконец, второй знак внутри квадратичный множитель «всегда положителен».

   a ³ ± b ³ = ( a [ Тот же знак ] b ) ( a ² [ Противоположный знак ] ab [ Всегда Положительный ] b ² )

   Какой метод лучше всего поможет вам сохранить эти формулы в точности, используйте его, потому что вы не должны предполагать, что вам дадут эти формулы на тесте. Вы должны ожидать, что вам нужно будет их знать.

   Примечание. Квадратичная часть каждой формулы куба не учитывает множитель , поэтому не тратьте время на попытки разложить его на множители. Да, a ² -2 ab + b ² и a ² + 2 ab + b ² фактор, но это из-за двойки в середине условия. Квадратичные члены этих формул суммы и разности кубов не имеют , равного «2», и, таким образом, не может разложить на множители .

   ---

   Когда вам дается пара кубиков для факторизации, внимательно примените соответствующее правило. Под «осторожно» я имею в виду «использование круглых скобок для отслеживания всего, особенно отрицательных знаков». Вот несколько типичных проблем:

   Это эквивалентно x ³ -2 ³ . Со знаком «минус» посередине это разница кубиков. Чтобы провести факторинг, я подставлю x и 2 в формулу разности кубов.Так я получаю:

   x ³ — 8 = x ³ — 2 ³

   = ( x -2) ( x ² + 2 x + 2 ² )

   = ( x -2) ( x ² + 2 x + 4)

   ---

   Первый член содержит куб 3 и куб x .А как насчет второго срока?

   Прежде чем паниковать по поводу отсутствия кажущегося куба, я помню, что 1 можно рассматривать как возведенную в любую степень, которая мне нравится, поскольку 1 для любой степени все еще равна 1. В данном случае мне нужна степень 3, так как это даст мне сумму кубиков. Это означает, что выражение, которое они мне дали, можно выразить как:

   Итак, чтобы разложить множители, я подставлю 3 x и 1 в формулу суммы кубов. Это дает мне:

   27 x ³ + 1 = (3 x ) ³ + 1 ³

   = (3 x + 1) ((3 x ) ² — (3 x ) (1) + 1 ² )

   = (3 x + 1) (9 x ² — 3 x + 1)

   ---

   Во-первых, я отмечаю, что они дали мне бином (двухчленный многочлен) и что мощность x в первом члене равна 3, поэтому, даже если я не работал с «суммами и разностями» кубиков »в моем учебнике, я бы заметил, что, возможно, мне следует думать в терминах этих формул.

   Глядя на другую переменную, я замечаю, что степень 6 является кубом степени 2, поэтому другая переменная в первом члене также может быть выражена в кубе; а именно, как куб квадрата на .

   Второй член — 64, который, как я помню, является кубом 4. (Если бы я не вспомнил или не был уверен, я бы схватил свой калькулятор и попытался вычислить куб, пока не получил правильное значение. , иначе я бы взял кубический корень из 64.)

   Итак, теперь я знаю, что с минусом в середине это разница в два куба; а именно это:

   Подставляя подходящую формулу, я получаю:

   x ³ y ⁶ — 64 = ( xy ² ) ³ — 4 ³

   = ( xy ² -4) (( xy ² ) ² + ( xy ² ) (4) + 4 ² )

   = ( xy ² -4) ( x ² y ⁴ + 4 xy ² + 16)

   ---

   • Используя соответствующую формулу, множите 16

     x ³ — 250.

   Гм … Я знаю, что 16 — это , а не куб чего-либо; на самом деле он равен 2 ⁴ . Как дела?

   Что случилось, так это то, что они ожидают, что я использую то, что я узнал о простом факторинге, чтобы сначала преобразовать это в разность кубов. Да, 16 = 2 ⁴ , но 8 = 2 ³ , куб. Я могу получить 8 из 16, разделив на 2.Что будет, если я разделю 250 на 2? Я получаю 125, что является кубом из 5. То, что они мне дали, можно переформулировать как:

   Я могу применить формулу разности кубов к тому, что находится в круглых скобках:

   2 ³ x ³ — 5 ³ = (2 x ) ³ — (5) ³

   = (2 x — 5) ((2 x ) ² + (2 x ) (5) + (5) ² )

   = (2 x — 5) (4 x ² + 10 x + 25)

   Собирая все вместе, я получаю окончательную формулировку:

   2 (2 x -5) (4 x ² + 10 x + 25)

   ---

   Моей первой реакцией могло бы стать применение формулы разности кубов, поскольку 125 = 5 ³ . Но как насчет того знака «минус» впереди?

   Поскольку ни одна из приведенных мне формул факторинга не включает в себя «минус» впереди, может быть, я смогу вычесть «минус» …?

   — x ³ — 125 = –1 x ³ — 125

   Ага! Теперь то, что внутри скобок — это сумма кубов, которую я могу разложить на множители. У меня есть сумма куба x и куба 5, поэтому:

   x ³ + 5 ³ = ( x + 5) (( x ) ² — ( x ) (5) + (5) ² )

   = ( x + 5) ( x ² -5 x + 25)

   Собирая все вместе, получаем:

   –1 ( x + 5) ( x ² — 5 x + 25)

   ---

   Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в вычислении суммы кубов. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

   (Щелкнув «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета, вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления .)

   ---

   ---

   URL: https://www.purplemath.com/modules/specfact2.htm

   Формулы объема

   ( pi = = 3.141592 …)

   Формулы объема

   Примечание: «ab» означает «а», умноженное на «б». «а

   ² » означает «в квадрате», что то же самое, что «а» умножить на «а». «b ³ » означает «b в кубе», что то же самое как «b» умножить на «b» раз «б».

   Будьте осторожны !! Количество единиц.

   Используйте одни и те же единицы для всех измерений. Примеры

   куб = a ³

   прямоугольная призма = abc

   неправильная призма = b h

   цилиндр = b h = pi r ² h

   пирамида = (1/3) b h

   конус = (1/3) b h = 1/3 pi r ² h

   сфера = (4/3) pi r ³

   эллипсоид = (4 / 3) pi r ₁ r ₂ r ₃

   шт.

   Объем измеряется в «кубических» единицах.Громкость фигуры — это количество кубиков, необходимых для ее полного заполнения, например блоки в коробке.

   Объем куба = сторона, умноженная на сторону, умноженную на сторону. С каждая сторона квадрата одинакова, это может быть просто длина одного сторона в кубе.

   Если у квадрата одна сторона 4 дюйма, объем будет быть 4 дюйма на 4 дюйма на 4 дюйма, или 64 кубических дюйма. (Кубический дюймы также можно записать в ³ .)

   Обязательно используйте одни и те же единицы для всех измерений. Вы не можете умножить футы на дюймы на ярды, это не дает идеальное измерение в кубе.

   Объем прямоугольной призмы равен длине сторона, умноженная на ширину, умноженную на высоту. Если ширина составляет 4 дюйма, длина 1 фут, а высота 3 фута, каков объем?

   НЕ ПРАВИЛЬНО …. 4 раза 1 раз 3 = 12

   ПРАВИЛЬНО …. 4 дюйма равны 1/3 фута. Объем равен 1/3 фута, умноженному на 1 фут, умноженному на 3 фута = 1 кубический фут (или 1 куб. футов или 1 фут ³ ).

   Квадратные корни и кубические корни

   Чтобы найти кубический корень числа, вы хотите найти какое-то число, которое при двойном умножении на себя дает вам исходное число. Другими словами, чтобы найти кубический корень из 8, вы хотите найти число, которое при двойном умножении на само себя дает 8. Таким образом, кубический корень из 8 равен 2, потому что 2 × 2 × 2 = 8. Обратите внимание, что символ кубического корня — это знак корня с маленькой тройкой (так называемый индекс ) вверху и слева. Остальные корни определяются аналогично и идентифицируются указанным индексом. (Под квадратным корнем понимается индекс два, который обычно не записывается.) Ниже приводится список первых одиннадцати идеальных (целых) кубических корней.

   Чтобы найти квадратный корень из числа, которое не является полным квадратом, необходимо будет найти приблизительный ответ , используя процедуру, приведенную в примере

   .

   Пример 1

   Приблизительно.

   Поскольку 6 ² = 36 и 7 ² = 49, то находится между и.

   Следовательно, это значение от 6 до 7. Так как 42 находится примерно на полпути между 36 и 49, можно ожидать, что это будет примерно посередине между 6 и 7, или примерно 6,5. Чтобы проверить эту оценку, 6,5 × 6,5 = 42,25, или около 42.

   Квадратные корни из несовершенных квадратов можно аппроксимировать, найти в таблицах или найти с помощью калькулятора. Вы можете иметь в виду эти два:

   Упрощение квадратных корней

   Иногда вам придется упростить квадратных корней или записать их в простейшей форме.В долях может быть уменьшено до. В квадратных корнях можно упростить до.

   Есть два основных метода упростить извлечение квадратного корня.

   Метод 1: Разложите число под двумя множителями, один из которых является наибольшим возможным полным квадратом. (Совершенные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…)

   Метод 2: Полностью разложите число под множителями на простые множители, а затем упростите, выведя все множители попарно.

   Пример 2

   Упростить.

   В примере

   , самый большой идеальный квадрат легко увидеть, и метод 1, вероятно, является более быстрым методом.

   Пример 3

   Упростить.

   В примере

   , не так очевидно, что наибольший идеальный квадрат равен 144, поэтому метод 2, вероятно, более быстрый.

   Многие квадратные корни нельзя упростить, потому что они уже представлены в простейшей форме, например, и.

   Сумма квадратов и кубов: определение и вычисления

   Сумма квадратов

   Сумма квадратов первых n целых чисел может быть записана с помощью следующего ряда.

   Прежде чем приступить к выводу формулы для суммы первых n квадратов, было бы поучительно узнать формулу суммы первых n целых чисел. Рассмотрим следующую сумму.

   Sn = 1 + 2 + 3 + … + n

   2Sn = (1 + 2 + 3 + … + n — 1 + n) + (1 + 2 + 3 + … + n — 1 + n) =

   (1 + 2 + 3 + … + n — 1 + n) +

   (n + (n — 1) + (n — 2) +… + 2 + 1) = n (n + 1)

   Таким образом, сумма первых n целых чисел равна n (n + 1) / 2. Мы будем использовать этот результат, чтобы найти формулу для суммы первых n квадратов. Мы получаем сумму квадратов, используя телескопическую сумму .

   Левую часть уравнения можно переформулировать следующим образом.

   Приравняв левую и правую части исходного уравнения, мы получим следующее.

   Таким образом, у нас есть формула для суммы первых n квадратов.

   Сумма кубов

   Сумма куба первых n целых чисел может быть записана с помощью следующего ряда.

   Рассмотрим следующее алгебраическое тождество :

   Используя эту идентичность, сложите левую и правую части следующих уравнений.

   После сложения получаем такую ​​идентификацию:

   Теперь у нас есть следующая формула для суммы кубиков первых n целых чисел.

   Примеры

   (1) Найдите сумму квадратов первых семи целых чисел. Для n = 7 получаем:

   (2) Найдите сумму кубиков первых пяти целых чисел.

   Резюме урока

   В этом уроке мы разработали эффективные методы для вычисления суммы квадратов первых n целых чисел и для вычисления суммы кубов первых n целых чисел. Формула для суммы квадратов первых n целых чисел:

   Формула суммы кубов первых n целых чисел:

   Корень куба — Формула, примеры

   Каждый раз, когда число (x) умножается три раза, полученное число называется кубом этого числа. Таким образом, куб для числа (x) становится x ³ или x-cubed. Например, возьмем число 5. Мы знаем, что 5 × 5 × 5 = 125. Следовательно, 125 называется кубом 5. С другой стороны, кубический корень числа — это процесс, обратный кубу. числа и обозначается ∛. Рассматривая тот же пример, 5 называется кубическим корнем числа 125. На этой странице мы узнаем больше о кубах и кубических корнях числа.

   Что такое кубический корень?

   Когда мы думаем о словах куб и корень, первая картина, которая может прийти нам в голову, — это буквальный куб и корни дерева.Не так ли? Что ж, идея аналогичная. Корень означает первоисточник или происхождение. Итак, нам просто нужно подумать, «куб из какого числа нужно взять, чтобы получить данное число». В математике определение кубического корня записывается так: « Кубический корень — это число, которое нужно умножить три раза, чтобы получить исходное число». Теперь давайте посмотрим на формулу кубического корня, где y — кубический корень из x. ∛x = y. Знак корня ∛ используется как символ корня куба для любого числа с маленькой тройкой, написанной в верхнем левом углу знака.Другой способ обозначить корень куба — написать 1/3 как показатель степени числа.

   Кубический корень — это операция, обратная кубу числа.

   Perfect Cubes:

   Идеальный куб — это целое число, которое может быть выражено как произведение трех одинаковых или равных целых чисел. Например, 125 — идеальный куб, потому что 5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125. Однако 121 не идеальный куб, потому что нет числа, которое при трехкратном умножении дает произведение 121.Другими словами, идеальный куб — это число, корень куба которого является целым числом. В следующей таблице показаны идеальные кубики первых 10 натуральных чисел.

   Число / Кубический корень	Идеальный куб
   1	1
   2	8
   3	27
   4	64
   5	125
   6	216
   7	343
   8	512
   9	729
   10	1000

   Как найти кубический корень числа?

   Кубический корень числа можно определить с помощью метода разложения на простые множители. Чтобы найти кубический корень числа, начните с факторизации данного числа на простые множители. Затем разделите полученные факторы на группы, содержащие три одинаковых фактора. После этого удалите символ кубического корня и умножьте множители, чтобы получить ответ. Если остался какой-либо фактор, который нельзя разделить поровну на группы по три, это означает, что данное число не является идеальным кубом, и мы не можем найти кубический корень из этого числа. Например, давайте посмотрим, как мы находим кубический корень из 15625.

   Что такое куб числа?

   Когда мы умножаем число три раза на себя, полученное число (произведение) называется кубом исходного числа. Мы называем это кубом, потому что он используется для представления объема куба. Другими словами, число, возведенное в степень 3, называется кубом этого числа. Например, куб 3 равен 27. Это означает, что 3 × 3 × 3 = 27, и это можно записать как 3 ³ . Точно так же куб 4 равен 64, а куб 5 равен 125 и так далее.

   Чтобы найти куб числа, сначала умножьте это число само на себя, затем снова умножьте полученное произведение на исходное число. Давайте найдем куб 7 с помощью того же процесса. Мы знаем, что куб числа N равен N × N × N. Итак, куб числа 7 равен 7 × 7 × 7. Теперь, чтобы найти куб числа 7, мы сначала найдем значение 7 × 7. Это значение 49. Теперь мы найдем 49 × 7. Это равно 343. Следовательно, мы можем сказать, что куб числа 7 равен 343.

   Куб дроби

   Подобно кубу числа, куб дроби можно найти, умножив его на три раза.Например, куб дроби (2/5) можно записать как 2/5 × 2/5 × 2/5. Упрощая его дальше, мы получаем значение куба как (2 × 2 × 2) / (5 × 5 × 5). Это равно (2 ³ /5 ³ ) = 8/125.

   Куб отрицательных чисел

   Процесс нахождения куба отрицательного числа такой же, как и для целого числа и дроби. Здесь всегда помните, что куб отрицательного числа всегда отрицателен, а куб положительного числа всегда положителен.Например, давайте попробуем найти куб -7.

   Мы знаем, что куб -7 равен (-7) × (-7) × (-7). Теперь, чтобы найти куб (-7), мы сначала найдем значение (-7) × (-7). Это значение 49. Теперь мы найдем 49 × (-7). Это равно -343. Следовательно, мы можем сказать, что куб числа -7 равен -343.

   Связанные темы:

   Ознакомьтесь с этими интересными статьями, связанными с кубическим корнем.

   Список кубических корней чисел

   Часто задаваемые вопросы о Cube Root

   Что такое кубический корень числа?

   Куб числа — это значение третьей степени числа.Например, куб 2 равен 2 ³ = 2 × 2 × 2 = 8. В то время как кубический корень является обратным кубу числа и обозначается символом ∛. Например, ∛216, то есть кубический корень из 216 = 6, потому что если 6 умножить на себя трижды, получится 216.

   Для чего используется кубический корень?

   Кубический корень используется для решения кубических уравнений. Они также используются для определения размеров куба, если задан объем.

   Как упростить кубический корень?

   Кубический корень можно упростить, используя метод разложения на простые множители.Сначала произведите факторизацию данного числа на простые множители, затем разделите общие множители на группы по 3. Умножьте эти общие множители, чтобы получить ответ.

   Можно ли упростить отрицательный корень куба?

   Да, отрицательные кубические корни упрощаются так же, как положительные кубические корни. Единственное отличие — наличие знака минус у кубического корня отрицательного числа.

   Что не является идеальным кубом?

   Число не является идеальным кубом, если мы не можем составить 3 равные группы множителей числа после выполнения разложения на простые множители.Например, 121 не является идеальным кубом, потому что нет числа, которое при трехкратном умножении на себя дает 121 в качестве произведения. Другими словами, если кубический корень числа не является целым числом, то это не идеальный куб.

   Что такое куб нечетного натурального числа?

   Куб нечетного натурального числа всегда является нечетным числом. Например, 5 ³ = 125, 7 ³ = 343, 9 ³ = 729 и т. Д.

   Может ли кубический корень любого нечетного числа быть четным?

   Нет, кубический корень нечетного числа всегда нечетный.Например, кубический корень из 27 = (27) ^1/3 = 3. Здесь 3 и 27 — нечетные числа.

   Как легко вычислить кубический корень любого числа?

   Самый простой и простой способ найти кубический корень любого числа — это метод разложения на простые множители.

   Какова формула кубического корня?

   Формула кубического корня: a = ∛b, где a — кубический корень из b. Например, кубический корень из 125 равен 5, потому что 5 × 5 × 5 = 125.

   Сумма n, n² или n³

   Как и в предыдущем разделе, пусть sa, n = ∑k = 1nka.он же

   .