Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°: Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅

Заглавная страница
Π˜Π·Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ
Блучайная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ
ΠŸΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ
НовыС добавлСния
ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ связь

ΠšΠΠ’Π•Π“ΠžΠ Π˜Π˜:

АрхСология
Биология
Π“Π΅Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
ГСография
Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ
Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
ΠœΠ°Ρ€ΠΊΠ΅Ρ‚ΠΈΠ½Π³
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
ΠœΠ΅Π½Π΅Π΄ΠΆΠΌΠ΅Π½Ρ‚
ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ°
ПСдагогика
РСлигия
Боциология
Π’Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ
Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°
Ѐилософия
Ѐинансы
Π₯имия
Экология

ВОП 10 Π½Π° сайтС

ΠŸΡ€ΠΈΠ³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π·ΠΈΠ½Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… растворов Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π’Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ прямой ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ‡ΠΈ мяча.

Π€Ρ€Π°Π½ΠΊΠΎ-прусская Π²ΠΎΠΉΠ½Π° (ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ послСдствия)

ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π±ΠΈΠ½Π΅Ρ‚Π°

БмысловоС ΠΈ мСханичСскоС Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡ… мСсто ΠΈ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² усвоСнии Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π±Π°Ρ€ΡŒΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΈΡ… прСодолСния

ΠžΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΉ мСдицинского назначСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ примСнСния

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·Ρ†Ρ‹ тСкста публицистичСского стиля

Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° измСнСния баланса

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ для ВсСроссийской ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Ρƒ



ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π² написании Π²Π°ΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚!

ЗНАЕВЕ Π›Π˜ Π’Π«?

ВлияниС общСства Π½Π° Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°

ΠŸΡ€ΠΈΠ³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π·ΠΈΠ½Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… растворов Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ для 6 класса

ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π±ΠΈΠ½Π΅Ρ‚Π°

ИзмСнСния Π² Π½Π΅ΠΆΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ осСнью

Π£Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π±ΠΈΠ½Π΅Ρ‚Π°

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡ„Π΅Π΄ΠΆΠΈΠΎ. ВсС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ»ΡŒΡ„Π΅Π΄ΠΆΠΈΠΎ

Π‘Π°Π»ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ систСмы. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠΎΡ€ ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² защСмлСния

⇐ ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°ΡΠ‘Ρ‚Ρ€ 2 ΠΈΠ· 2

Для синуса:

Для косинуса:

Для тангСнса ΠΈ котангСнса:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

РСшСниС любого тригономСтричСского уравнСния состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… этапов:

  • с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ;
  • Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ написанныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹.

Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… основныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

АлгСбраичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄.

Π’ этом ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ дСлаСтся Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ подстановка Π² равСнство.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 2cos2(x+Ο€6)βˆ’3sin(Ο€3β€”x)+1=02cos2(x+Ο€6)-3sin(Ο€3β€”x)+1=0

РСшСниС. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

2cos2(x+Ο€6)βˆ’3cos(x+Ο€6)+1=02cos2(x+Ο€6)-3cos(x+Ο€6)+1=0,

Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ: cos(x+Ο€6)=ycos(x+Ο€6)=y, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° 2y2βˆ’3y+1=02y2-3y+1=0,

Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ: y1=1,y2=12y1=1,y2=12, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° случая:

1. cos(x+Ο€6)=1cos(x+Ο€6)=1, x+Ο€6=2Ο€nx+Ο€6=2Ο€n, x1=βˆ’Ο€6+2Ο€nx1=-Ο€6+2Ο€n.

2. cos(x+Ο€6)=12cos(x+Ο€6)=12, x+Ο€6=Β±arccos12+2Ο€nx+Ο€6=Β±arccos12+2Ο€n, x2=Β±Ο€3βˆ’Ο€6+2Ο€nx2=Β±Ο€3-Ο€6+2Ο€n.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x1=βˆ’Ο€6+2Ο€nx1=-Ο€6+2Ο€n, x2=Β±Ο€3βˆ’Ο€6+2Ο€nx2=Β±Ο€3-Ο€6+2Ο€n.

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: sinx+cosx=1sinx+cosx=1.

РСшСниС. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ равСнства: sinx+cosxβˆ’1=0sinx+cosx-1=0. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ:

sinxβ€”2sin2 x2=0sinxβ€”2sin2 x2=0,

2sin x2cos x2βˆ’2sin2 x2=02sin x2cos x2-2sin2 x2=0,

2sin x2(cos x2βˆ’sin x2)=02sin x2(cos x2-sin x2)=0,

  1. sin x2=0sin x2=0, x2=Ο€nx2=Ο€n, x1=2Ο€nx1=2Ο€n.
  2. cos x2βˆ’sin x2=0cos x2-sin x2=0, tg x2=1tg x2=1, x2=arctg1+Ο€nx2=arctg1+Ο€n, x2=Ο€4+Ο€nx2=Ο€4+Ο€n, x2=Ο€2+2Ο€nx2=Ο€2+2Ο€n.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x1=2Ο€nx1=2Ο€n, x2=Ο€2+2Ο€nx2=Ο€2+2Ο€n.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ

Π’Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ тригономСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ привСсти ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²:

asinx+bcosx=0asinx+bcosx=0 (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни) ΠΈΠ»ΠΈ asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни).

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° cosxβ‰ 0cosxβ‰ 0 β€” для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ случая, ΠΈ Π½Π° cos2xβ‰ 0cos2xβ‰ 0 β€” для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ уравнСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ tg xtg x: a tg x+b=0a tg x+b=0 ΠΈ a tg2x+b tg x+c=0a tg2x+b tg x+c=0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ извСстными способами.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 2sin2x+sinxcosxβ€”cos2x=12sin2x+sinxcosxβ€”cos2x=1.

РСшСниС. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ 1=sin2x+cos2x1=sin2x+cos2x:

2sin2x+sinxcosxβ€”cos2x=2sin2x+sinxcosxβ€”cos2x= sin2x+cos2xsin2x+cos2x,

2sin2x+sinxcosxβ€”cos2xβˆ’2sin2x+sinxcosxβ€”cos2x- sin2xβ€”cos2x=0sin2xβ€”cos2x=0

sin2x+sinxcosxβ€”2cos2x=0sin2x+sinxcosxβ€”2cos2x=0.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ тригономСтричСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ части Π½Π° cos2xβ‰ 0cos2xβ‰ 0, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

sin2xcos2x+sinxcosxcos2xβ€”2cos2xcos2x=0sin2xcos2x+sinxcosxcos2xβ€”2cos2xcos2x=0

tg2x+tgxβ€”2=0tg2x+tgxβ€”2=0. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ tgx=ttgx=t, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ t2+tβ€”2=0t2+tβ€”2=0. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ этого уравнСния: t1=βˆ’2t1=-2 ΠΈ t2=1t2=1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:

  1. tgx=βˆ’2tgx=-2, x1=arctg(βˆ’2)+Ο€nx1=arctg(-2)+Ο€n, n∈Zn∈Z
  2. tgx=1tgx=1, x=arctg1+Ο€nx=arctg1+Ο€n, x2=Ο€4+Ο€nx2=Ο€4+Ο€n, n∈Zn∈Z.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. x1=arctg(βˆ’2)+Ο€nx1=arctg(-2)+Ο€n, n∈Zn∈Z, x2=Ο€4+Ο€nx2=Ο€4+Ο€n, n∈Zn∈Z.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 11sinxβ€”2cosx=1011sinxβ€”2cosx=10.

РСшСниС. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅: 22sin(x2)cos(x2)βˆ’22sin(x2)cos(x2)- 2cos2x2+2sin2x2=2cos2x2+2sin2x2= 10sin2x2+10cos2x210sin2x2+10cos2x2

4tg2x2β€”11tgx2+6=04tg2x2β€”11tgx2+6=0

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² описанный Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ алгСбраичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

  1. tgx2=2tgx2=2, x1=2arctg2+2Ο€nx1=2arctg2+2Ο€n, n∈Zn∈Z,
  2. tgx2=34tgx2=34, x2=arctg34+2Ο€nx2=arctg34+2Ο€n, n∈Zn∈Z.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. x1=2arctg2+2Ο€n,n∈Zx1=2arctg2+2Ο€n,n∈Z, x2=arctg34+2Ο€nx2=arctg34+2Ο€n, n∈Zn∈Z.

⇐ ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ12


Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:

ο»Ώ

Π’Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€Ρ‹ΠΆΠΊΠ° Π² Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ с Ρ€Π°Π·Π±Π΅Π³Π°

ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π±ΠΈΠ½Π΅Ρ‚Π°

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ примСнСния синхронных машин

ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π’ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρƒ ΠΈ ΠšΠ°Π»ΠΌΠ°Π½Ρƒ

ο»Ώ

ПослСднСС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ этой страницы: 2021-04-20; просмотров: 972; ΠΠ°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ авторского ΠΏΡ€Π°Π²Π° страницы; ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π² написании вашСй Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹!

infopedia. su ВсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ прСдставлСнныС Π½Π° сайтС ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ознакомлСния читатСлями ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ коммСрчСских Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ авторских ΠΏΡ€Π°Π². ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ связь — 38.242.236.216 (0.005 с.)

Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ справочник ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для школьников тригономСтрия Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ матСматикСВригономСтрия

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

РСшСниС уравнСния Β  sinΒ xΒ =Β a
РСшСниС уравнСния Β  cosΒ xΒ =Β a
РСшСниС уравнСния Β  tgΒ xΒ =Β a
РСшСниС уравнСния Β  ctgΒ xΒ =Β a

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌΠΈ тригономСтричСскими уравнСниями Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°:

sin x = aΒ , Β Β Β Β cos x = aΒ , Β Β Β Β 
tg x = aΒ , Β Β Β Β ctgxΒ =Β aΒ .

Π³Π΄Π΅ a – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

РСшСниС уравнСния Β  sinΒ 

xΒ =Β a
ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число aΠ’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число a:

Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚.

ГрафичСскоС обоснованиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния Β  sinΒ xΒ =Β aΒ Β  прСдставлСно Π½Π° рисункС 1

Рис. 1

ЧастныС случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Β  sinΒ xΒ =Β a

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
sin x = – 1
sin x = 0
sin x = 1

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

sin x = – 1

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

sin x = 0

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

sin x = 1

РСшСниС:

РСшСниС уравнСния Β  cosΒ 

xΒ =Β a
ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число aΠ’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число a

Π’ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚.

ГрафичСскоС обоснованиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния Β  cosΒ xΒ =Β aΒ Β  прСдставлСно Π½Π° рисункС 2

Рис. 2

ЧастныС случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Β  cosΒ xΒ =Β a

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
cos x = – 1
cos x = 0
cos x = 1

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

cos x = – 1

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

cos x = 0

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

cos x = 1

РСшСниС:

РСшСниС уравнСния Β  tgΒ 

xΒ =Β a
ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число aΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число a:

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

ГрафичСскоС обоснованиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния Β  tg x = a Β  прСдставлСно Π½Π° рисункС 3.

Рис. 3

ЧастныС случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Β  tgΒ xΒ =Β a

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
tg x = – 1
tg x = 0
tg x = 1

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

tg x = – 1

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

tg x = 0

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

tg x = 1

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

РСшСниС уравнСния Β  ctgΒ 

xΒ =Β a
ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число aΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° число a:

ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚.

ГрафичСскоС обоснованиС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния Β  ctgΒ xΒ =Β aΒ Β  прСдставлСно Π½Π° рисункС 4.

Рис. 4

ЧастныС случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Β  ctgΒ xΒ =Β a

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Π Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ctg x = – 1
ctg x = 0
ctg x = 1

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ctg x = – 1

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ctg x = 0

РСшСниС:

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

ctg x = 1

РСшСниС:

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

РСшСниС:

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ° тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ° тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². На ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ личности. ВоТдСства Π½Π΅ относятся ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ гСомСтричСским Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌ, Π½ΠΎ справСдливы для всСх ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Π΄ΡƒΠ³ ΠΈ сСкторов окруТностСй

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора для ΡƒΠ³Π»Π° ΞΈ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ радиусом r .

Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° радиусу r , ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ , Π³Π΄Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ пСрСвСсти градусы Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ количСство градусов Π½Π°
Ο€
/180.
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСктора Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° радиуса, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π³Π΄Π΅, ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΡƒΠ³ΠΎΠ» измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

НаиболСС Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Если ΞΈ β€” ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ синус Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, косинус β€” ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, Π° тангСнс β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ противополоТная сторона сосСднСй сторонС.

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вмСстС извСстны ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΉ SohCahToa. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ваТная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, которая гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон.

Зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° острых ΡƒΠ³Π»Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² суммС 90Β°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ:

  • Если извСстны Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ сторону ΠΈ ΠΎΠ±Π° острых ΡƒΠ³Π»Π°.
  • Если Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ стороны.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΠΎΡΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ для любого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, острого, Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ стандартныС обозначСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ прописными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ

A , B ΠΈ C , Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌ стороны соотвСтствСнно ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ строчными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ a , Π± ΠΈ Π² .

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для косых Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Они Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ косинусов ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ синусов.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π½Π° всС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Он Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ c 2 , ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a 2 Β +Β  b 2 , сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон минус 2. ab Β cos&nbsp C , ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π½Π° косинус ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. Когда ΡƒΠ³ΠΎΠ» C ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΠΎΠ½ становится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ сторонС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ для всСх Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ:

  • Если Π²Π°ΠΌ извСстны Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ сторона, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ стороны.
  • Если извСстны Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ сторону ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Π°.
  • Если Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ стороны ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ (ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ острый ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ), ΠΈ для ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ сторону.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²

БущСствуСт Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, зависит ΠΎΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Ρƒ вас ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Половина основания, умноТСнная Π½Π° высоту. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ способ использования, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ самый простой, ΠΈ Ρƒ вас ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ эта информация. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ сторону для Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π° Π±Π°Π·Ρ‹ b . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли h β€” это расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎ b , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ bh .
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ стороны a , b ΠΈ c Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ s ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΡ… суммы, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ произвСдСния s , s Β —Β  a , s Β —Β  b ΠΈ s Β —Β  c .
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Β«Π±ΠΎΠΊ-ΡƒΠ³ΠΎΠ»-Π±ΠΎΠΊΒ». Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ это, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ стороны, a ΠΈ b , ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», C . ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… сторон Π½Π° синус ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ — ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ | Бписок тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… тригономСтричСскиС тоТдСства, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, основанных Π½Π° сторонах ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ синус, косинус, тангСнс, косСканс, сСканс, котангСнс для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, тоТдСства произвСдСния, тоТдСства ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (ΡƒΠ³Π»Ρ‹ сдвига), тоТдСства суммы ΠΈ разности, тоТдСства Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, тоТдСства ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ Ρ‚. Π΄., Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ….

1. Бписок Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
3. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства
4. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
5. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСриодичСскиС тоТдСства (Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…)
6. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Π² градусах)
7. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства суммы ΠΈ разности
8. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹
9. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ тоТдСств
10. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ
11. ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ синусов ΠΈ косинусов
12. Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Бписок Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π² зависимости ΠΎΡ‚ задСйствованных тригономСтричСских тоТдСств. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ основных тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ: это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, относящиСся ΠΊ основным тригономСтричСским ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ sin, cos, tan ΠΈ Ρ‚. Π΄.
  • Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства: сюда входят Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€ΠΎΠ².
  • Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ: ЗначСния Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ прСдставлСны для стандартных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ тоТдСства: ΠΎΠ½ΠΈ содСрТат Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для сдвига ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° Ο€/2, Ο€, 2Ο€ ΠΈ Ρ‚. Π΄.
  • ВоТдСства ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для тоТдСств ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ взаимосвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями.
  • ВоТдСства суммы ΠΈ разности: Π­Ρ‚ΠΈ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для нахоТдСния значСния тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
  • ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства: Π­Ρ‚ΠΈ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ…, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
  • Sum to Product Identities: Π­Ρ‚ΠΈ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для прСдставлСния произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈΡ… суммы ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, связанныС с ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими функциями, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ синус, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косинус ΠΈ Ρ‚. Π΄.
  • Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинусов

НСкоторыС основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅. Рассмотрим ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ….

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для нахоТдСния ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сторон ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π’ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ основных тригономСтричСских ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… тригономСтричСскими функциями: синус, косинус, сСканс, косСканс, тангСнс ΠΈ котангСнс, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ sin, cos, sec, csc, tan, cot. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ тоТдСства выводятся с использованиСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² качСствС эталона. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ значСния синуса, косинуса, тангСнса, сСканса, косСканса ΠΈ котангСнса, учитывая Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ,

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

  • sin ΞΈ = ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€/Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°
  • cos ΞΈ = основаниС/Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°
  • тангСнс ΞΈ = ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€/ОснованиС
  • с ΞΈ = Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°/основаниС
  • косСк ΞΈ = Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°/пСрпСндикуляр
  • ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ΞΈ = основаниС/пСрпСндикуляр

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства

КосСканс, сСканс ΠΈ котангСнс ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ основных тригономСтричСских ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ синуса, косинуса ΠΈ тангСнса. ВсС Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тоТдСства Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ с использованиСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² качСствС эталона. Π­Ρ‚ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства выводятся с использованиСм тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Ρ… тоТдСствах, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅, часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для упрощСния тригономСтричСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

  • cosec ΞΈ = 1/sin ΞΈ
  • сСк ΞΈ = 1/cos ΞΈ
  • ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ΞΈ = 1/Π·Π°Π³Π°Ρ€ ΞΈ
  • sin ΞΈ = 1/косСк ΞΈ
  • cos ΞΈ = 1/сСк ΞΈ
  • Π·Π°Π³Π°Ρ€ ΞΈ = 1/ΠΊΠΎΡ‚ ΞΈ

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния стандартных тригономСтричСских ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ 0Β°, 30Β°, 45Β°, 60Β° ΠΈ 9Β°.0Β°.

Π£Π³Π»Ρ‹ (Π² градусах) 0Β° 30Β° 45Β° 60Β° 90Β° 180Β° 270Β° 360Β°
Π£Π³Π»Ρ‹ (Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…) 0Β° β„–/6 β„–/4 Ο€/3 Ο€/2 β„– 3Ο€/2 2Ο€
Π³Ρ€Π΅Ρ… 0 1/2 1/√2 √3/2 1 0 -1 0
ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 √3/2 1/√2 1/2 0 -1 0 1
ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ 0 1/√3 1 √3 ∞ 0 ∞ 0
дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ∞ √3 1 1/√3 0 ∞ 0 ∞
косСк ∞ 2 √2 2/√3 1 ∞ -1 ∞
сСк 1 2/√3 √2 2 ∞ -1 ∞ 1

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСриодичСскиС тоТдСства (Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…)

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСриодичСскиС тоТдСства, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для сдвига ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° Ο€/2, Ο€, 2Ο€ ΠΈ Ρ‚. Π΄. ВсС тригономСтричСскиС тоТдСства Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ своСй ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ для Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ пСриодичСских тоТдСств. НапримСр, tan 30Β° = tan 210Β°, Π½ΠΎ это Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для cos 30Β° ΠΈ cos 210Β°. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚:

  • sin (Ο€/2 – ΞΈ) = cos ΞΈ
  • cos (Ο€/2 – ΞΈ) = sin ΞΈ
  • sin (Ο€/2 + ΞΈ) = cos ΞΈ
  • cos (Ο€/2 + ΞΈ) = – sin ΞΈ

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚:

  • sin (3Ο€/2 – ΞΈ) = – cos ΞΈ
  • cos (3Ο€/2 – ΞΈ) = – sin ΞΈ
  • sin (3Ο€/2 + ΞΈ) = – cos ΞΈ
  • cos (3Ο€/2 + ΞΈ) = sin ΞΈ

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚:

  • sin (Ο€ – ΞΈ) = sin ΞΈ
  • соз (Ο€ – ΞΈ) = – соз ΞΈ
  • Π³Ρ€Π΅Ρ… (Ο€ + ΞΈ) = – Π³Ρ€Π΅Ρ… ΞΈ
  • cos (Ο€ + ΞΈ) = – cos ΞΈ

Π§Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚:

  • sin (2Ο€ – ΞΈ) = – sin ΞΈ
  • соз (2Ο€ — ΞΈ) = соз ΞΈ
  • Π³Ρ€Π΅Ρ… (2Ο€ + ΞΈ) = Π³Ρ€Π΅Ρ… ΞΈ
  • , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ (2Ο€ + ΞΈ) = ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΞΈ

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Π² градусах)

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ тоТдСств ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими функциями. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ прСдставлСны Π² градусах Π½ΠΈΠΆΠ΅:

  • sin(90Β° βˆ’ x) = cos x
  • cos(90Β° — x) = sin x
  • Π·Π°Π³Π°Ρ€(90Β° — Ρ…) = Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡƒΡˆΠΊΠ° Ρ…
  • ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ°(90Β° — Ρ…) = Π·Π°Π³Π°Ρ€ Ρ…
  • сСк(90Β° — Ρ…) = косСк Ρ…
  • косСк(90Β° — Ρ…) = сСк Ρ…

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства суммы ΠΈ разности

ВоТдСства суммы ΠΈ разности Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ sin(x + y), cos(x — y), cot(x + y) ΠΈ Ρ‚. Π΄.

  • sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
  • cos(x + y) = cos(x)cos(y) — sin(x)sin(y)
  • tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 — tan x β€’ tan y)
  • sin(x – y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
  • cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
  • тангСнс(Ρ… — Ρƒ) = (тангСнс Ρ… — тангСнс Ρƒ)/(1 + тангСнс Ρ… β€’ тангСнс Ρƒ)

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ для расчСта значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ Ρ‚. Π΄.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½ ΡƒΠ³Π»Π°

Половина ΡƒΠ³Π»Π° x прСдставлСна β€‹β€‹Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ тригономСтричСскими Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

sin (x/2) = ±√[(1 — cos x)/2]

cos (x/2) = ± √[(1 + cos x)/2]

tan (x/2) = ±√[(1 — cos x)/(1 + cos x)]

ΠΈΠ»ΠΈ, tan (x/2) = ±√[(1 — cos x)(1 — cos x)/(1 + cos x) )(1 — cos x)]

tan (x/2) = ±√[(1 — cos x) 2 /(1 — cos 2 x)]

β‡’ tan (x/2) = (1 — cos x)/sin x

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» x прСдставлСн нСсколькими ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ тригономСтричСскими Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ.

  • sin (2x) = 2sin(x) β€’ cos(x) = [2tan x/(1 + tan 2 x)]
  • cos (2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x) = [(1 — tan 2 x)/(1 + tan 2 x)]
  • cos (2x) = 2cos 2 (x) — 1 = 1 — 2sin 2 (x)
  • тангСнс (2x) = [2tan(x)]/ [1 — тангСнс 2 (Ρ…)]
  • сСк (2x) = сСк 2 Ρ…/(2 — сСк 2 Ρ…)
  • косСк (2x) = (сСк Ρ… β€’ косСк Ρ…)/2

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π’Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° ΡƒΠ³Π»Π° x прСдставлСна ​​в Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ….

  • sin 3x = 3sin x — 4sin 3 x
  • cos 3x = 4 cos 3 x — 3cos x
  • tan 3x = [3tanx — tan 3 x]/[1 — 3tan 2 Ρ…]

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” тоТдСства суммы ΠΈ произвСдСния

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для суммы ΠΈΠ»ΠΈ произвСдСния тоТдСств ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для прСдставлСния суммы Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΈΡ… произвСдСния ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ²

  • sinxβ‹…cosy = [sin(x + y) + sin(x βˆ’ y)]/2
  • cosxβ‹…cosy = [cos(x + y) + cos(x βˆ’ y)]/2
  • sinxβ‹…siny = [cos(x βˆ’ y) βˆ’ cos(x + y)]/2

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства суммы ΠΈ произвСдСния

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² A ΠΈ B ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ тригономСтричСских ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ….

  • sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x βˆ’ y)/2)]
  • sinx βˆ’ siny = 2[cos((x + y)/2) sin((x βˆ’ y)/2)]
  • cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x βˆ’ y)/2)]
  • cosx — ΡƒΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ = -2 [sin ((x + y)/2) sin ((x — y)/2)]

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, тригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для создания ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ sin ΞΈ = x ΠΈ ΞΈ = sin βˆ’1 x. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ значСния Π² Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… числах, дСсятичных дробях, дробях ΠΈ показатСлях стСпСни.

  • sin -1 (-x) = -sin -1 x
  • cos -1 (-x) = Ο€ — cos -1 x
  • Ρ€Ρ‹ΠΆΠ΅Π²Π°Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ -1 (-x) = -tan -1 x
  • косСк -1 (-x) = -косСк -1 x
  • сСк -1 (-x) = Ο€ — сСк -1 x
  • дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° -1 (-x) = Ο€ — дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° -1 x

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ синусов ΠΈ косинусов

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синуса: Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синуса ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синусов Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сторон ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ сторонС. Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° бСрСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стороны Β«Π°Β» ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Π° «А».

(sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса: Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ стороны для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ». НапримСр, Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Β«Π°Β» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… сторон Β«bΒ» ΠΈ «с» ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° «А».

  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cosA
  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac cosB
  • с 2 = Π° 2 + b 2 — 2ab cosC

Π³Π΄Π΅, a, b, c β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° A, B, C β€” ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

БвязанныС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹

  • Π“Ρ€Π΅Ρ… Кос Π’Π°Π½
  • ВригономСтричСскиС тоТдСства
  • Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косСканса, сСканса ΠΈ котангСнса
  • ВригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ
  • ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для класса 10
  • ВригономСтричСский ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

  1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: РэйчСл Π΄Π°Π½ΠΎ тригономСтричСскоС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΞΈ = 5/12. ΠŸΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΈΡ‚Π΅ РэйчСл Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ тригономСтричСскоС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ cosec ΞΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

    РСшСниС:

    tan ΞΈ = пСрпСндикуляр/ основаниС = 5/12

    ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ = 5 ΠΈ основаниС = 12

    Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Π°Π·Π° 2 = пСрпСндикуляр 2 + Π‘Π°Π·Π° 2

    2 + Π‘Π°Π·Π° 2

    2 + Π±Π°Π·Π° 2

    2 + Π±Π°Π·Π° 2 3 2 + Π±Π°Π·Π° 2 3 2 + Π±Π°Π·Π°0002 Hypotenuse 2 = 5 2 + 12 2

    Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Π°Π·Π° 2 = 25 + 144

    ГипотСновая

    cosec ΞΈ = Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°/пСрпСндикуляр = 13/5

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, cosec ΞΈ = 13/5

  2. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π’ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… задания Бэмюэль Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Sin 15ΒΊ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Как ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π‘Π°ΠΌΡƒΡΠ»ΡŽ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ?
    РСшСниС:

    sin 15Β°

    = sin (45Β° — 30Β°)

    = sin 45Β°cos 30Β° — cos 45Β°sin 30Β°

    = [(1/√3) -2 (1/√3) √2) Γ— (1/2)] = (√3 — 1)/2√2

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: sin 15Β° = (√3 — 1)/2√2

  3. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Если sin ΞΈcos ΞΈ = 5, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (sin ΞΈ + cos ΞΈ) 2 , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

    РСшСниС:

    (sin ΞΈ + cos ΞΈ) 2

    = sin 2 ΞΈ + cos 2 ΞΈ + 2sinΞΈcosΞΈ

    = (1) + 2 (5) = 1 + 10 = 11

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: (sin ΞΈ + cos ΞΈ) 2 3. = 11

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Π Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΠΉΡ‚Π΅ слоТныС ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простых Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… срСдств.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° большС Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ слоТным ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° бСсплатный ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ вопросы ΠΏΠΎ тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

Β 

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ слайдупСрСйти ΠΊ слайду

Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ…

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹?

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, основанных Π½Π° сторонах ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, с использованиСм Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских тоТдСств. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для вычислСния тригономСтричСских ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… тригономСтричСскими функциями), sin, cos, tan, csc, sec ΠΈ cot.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Основная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ?

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ прСдставлСниС основных тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… сторон ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Они Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: sin ΞΈ = ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ сторона/Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°, cos ΞΈ = ΠŸΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сторона/Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°, tan ΞΈ = ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ сторона/ΠŸΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сторона.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ?

Π’ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Ρ€ΠΈ основныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: синус, косинус ΠΈ тангСнс. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ тригономСтричСских ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

  • Ѐункция синуса: sin(ΞΈ) = ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ / Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°
  • Ѐункция косинуса: cos(ΞΈ) = смСТная / Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°
  • Ѐункция касания: tan(ΞΈ) = ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ / Π‘ΠΌΠ΅ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… тоТдСств?

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства, Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

  • sin(–x) = –sin x
  • cos(-x) = cosx
  • тангСнс(–х) = –тангСнс Ρ…
  • csc (–x) = –csc x
  • сСк (–x) = сСк Ρ…
  • дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (-x) = -ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x

КакиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ пифагорСйскиС тоТдСства?

Π’Ρ€ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пифагорСйскиС тоТдСства, Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

  • 1 + тангСнс 2 А = сСк 2 А
  • 1 + дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° 2 А = cosec 2 А
  • К ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹?

    Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ.