Формулы геометрической прогрессии и арифметической: Формулы прогрессий (арифметическая и геометрическая)
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
Определение арифметико-геометрической прогрессии
Рассмотрим более сложный, чем арифметическая или геометрическая прогрессии, тип последовательности чисел. Эта последовательность носит название арифметико-геометрической прогрессии, поскольку обладает рядом свойств, присущих, как арифметической, так и геометрической прогрессиям.
Определение. Арифметико-геометрической прогрессией называют числовую последовательность
x1 , x2 , … xn , …
заданную рекуррентной формулой
| xn = q xn – 1 + d , n > 1 | (1) |
с начальным условием
где буквами
q , d , c1 ,
обозначены заданные числа, удовлетворяющие условиям
| (3) |
Замечание. Условия (3) входят в определение, поскольку при q = 1 арифметико–геометрическая прогрессия превращается в арифметическую прогрессию, а при d = 0 арифметико–геометрическая прогрессия превращается в геометрическую прогрессию.
Вывод формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии
Перейдем от последовательности
x1 , x2 , … xn , …
к последовательности
y1 , y2 , … yn , …
по формулам
где t – некоторое число, которое мы определим чуть позже.
Поскольку
xn – 1 = yn – 1 + t ,
то формула (1) преобразуется следующим образом:
Следовательно,
| yn = q yn – 1 + + ( q – 1) t + d , n > 1 . | (5) |
Если теперь положить
| (6) |
то формула (5) принимает вид
| yn = q yn – 1 , n > 1 , | (7) |
откуда вытекает, что последовательность
y1 , y2 , … yn , …
является геометрической прогрессией со знаменателем q.
Для того, чтобы найти первый член этой геометрической прогрессии, воспользуемся равенствами (2) и (4):
Итак,
| (8) |
Поскольку
yn = y1q n – 1,
то из формул (7) и (8) получаем формулу для общего члена геометрической прогрессии (7):
| (9) |
Из формулы (9) с помощью равенств (4) и (6) получаем формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии:
Итак, формула общего члена арифметико-геометрической прогрессии имеет вид:
Вывод формулы общего члена закончен.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Для \(14\) задания необходимо знать теорию арифметической и геометрической прогрессий.
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.
an+1=an+d, где an+1 — последующий член, an — предыдущий член и d — разность арифметической прогрессии.
Формула для нахождения разности: d=an+1−an.
Для арифметической прогрессии, где известен первый член a1 и разность d, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:
an=a1+n −1⋅d.
Свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
an=an−1+an+12.
Сумма первых членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:
И вторая формула для вычисления суммы: Sn=2a1+d⋅n−12⋅n.
Более подробно можно познакомиться с темой здесь.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
bn+1=bn⋅q, где bn+1 — последующий член, bn — предыдущий член и q — знаменатель геометрической прогрессии.
Формула для нахождения знаменателя: q=bn+1bn.
Для геометрической прогрессии, где дан первый член b1 и знаменатель q, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:
bn=b1⋅qn−1.
Свойство геометрической прогрессии: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов.
bn2=bn−1⋅bn+1.
Сумму первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, не равным нулю, можно найти по формуле:
Sn=b1⋅qn−1q−1, где q≠1.
Также можно найти сумму по формуле: Sn=bnq−b1q−1.
Более подробно можно познакомиться с темой здесь.
ПРОГРЕССИЯ | Энциклопедия Кругосвет
Содержание статьиПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел, получаемых по некоторому правилу. Термин ныне во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый член получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью этой арифметической прогрессии, например 1, 2, 3, 4, ј или 2, 5, 8, 11, 14, ј (многоточие означает «и т.д.»).
Разность между последовательными членами необязательно должна быть положительной, например, для прогрессии 3, 1, -1, -3, -5, ј она равна -2. Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной прогрессии число, называемое знаменателем прогрессии, например 5, 10, 20, 40, 80, ј или 5, -10, 20, -40, 80, ј (в первом случае знаменатель равен 2, во втором равен –2).
Формулы.
Рассмотрим n членов арифметической прогрессии. Пусть a – первый член, l – последний член и d – разность между последовательными членами. Тогда
l = a +(n – 1) d.
Сумма первых n членов прогрессии вычисляется следующим образом:
Эту формулу легко запомнить, суть ее в том, что сумма n членов равна числу членов, умноженному на полусумму первого и последнего членов. Например, сумма последовательных целых чисел от 1 до 50 равна (1/2) Ч 50 Ч 51 = 1275.
Рассмотрим теперь n членов геометрической прогрессии; пусть
и
Например, если бы за первый день месяца вам заплатили 1 цент, а за каждый последующий день вы получали бы вдвое больше, чем за предыдущий, то за первые 10 дней вы заработали бы всего 10,23 долл., а за первые 30 дней уже 10737418,23 долл. Эти выкладки показывают, что при r >1 члены геометрической прогрессии в конце концов возрастают очень быстро. Такие геометрические прогрессии называются возрастающими. Они используются, например, при вычислении сложных процентов. Если 0 r r
Если знаменатель прогрессии r заключен между -1 и +1, то величина r n при больших n очень мала, и при n ® Ґ сумма стремится к пределу a/(1 – r), называемому суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. также РЯДЫ).
Если a и b – два заданных числа, то числа a, (a + b)/2 и b являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии, а числа a, и b (a > 0, b > 0) – тремя последовательными членами геометрической прогрессии. Средние члены (a + b)/2 и называются соответственно средним арифметическим и средним геометрическим чисел
Другие прогрессии.
Множество чисел иногда называется гармонической прогрессией, если величины, обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, ј образуют гармоническую прогрессию. Числа a, 2ab/(a + b) и b являются тремя последовательными членами гармонической прогрессии, а средний член называется гармоническим средним чисел a и b. Для суммы первых n членов гармонической прогрессии простой формулы не существует, но разность между суммой первых
при n ® Ґ стремится к некоторому пределу; этот предел называется постоянной Эйлера; ее приближенное значение равно 0,5772.
В арифметической прогрессии разности между последовательными членами постоянны. Если разности не постоянны, а постоянны разности разностей, то прогрессия называется арифметической прогрессией второго порядка. Аналогичным образом определяются арифметические прогрессии более высоких порядков. Например, 2, 6, 12, 20, 30, ј – арифметическая прогрессия второго порядка, так как разности 4, 6, 8, 10, ј образуют арифметическую прогрессию с d = 2.
ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).
. Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности
Подробнее Тема 29 «Геометрическая прогрессия»
Тема 29 «Геометрическая прогрессия» Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Это число называется
ПодробнееКиселёв А.П. Кочетковы 9 класс Выготский М.И. Сканави.Теория. Арифметическая и геометрическая прогрессии. В следующих задачах (тема VII) предполагается N {1,, 3,…} если
ПодробнееУчебный центр «Резольвента»
ООО «Резольвента» www.resolveta.ru [email protected] (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ ПРОГРЕССИИ Учебно-методическое пособие для школьников
ПодробнееАрифметическая прогрессия
Павел Бердов Репетитор по математике www.berdov.com Арифметическая прогрессия Ответы. 8; ;.. ; ; 6.. а 9 0.. а 0,.. 76. 6.. 7. 8. 8. ;. 9. 0; ; или ; ; 7. 0. 6.. 0 детали.. 60 книг.. 6.. ; ; ; ;…. ;
ПодробнееТема модуля «Последовательности»
9 класс (профильный уровень) 08-09уч.год Примерный банк заданий для подготовки к тестированию по математике (учебник Макарычев Ю.Н., углублённый уровень) Тема модуля «Последовательности» Основные теоретические
Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному
ПодробнееТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ
Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии
Рассмотрим последовательность чисел: 2, 4, 6,, 2n,., которую можно записать также в виде a a a… a… элементы последовательности в общем виде.
Тема: АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Рассмотрим последовательность чисел:, 4, 6,, n,., которую можно записать также в виде a a a… a… элементы последовательности в общем виде.,, 3,, n а первый член последовательности
Подробнее, а всю числовую последовательность — y
Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности
ПодробнееЗадания С6 ЕГЭ олимпиадного характера
Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера 1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз
Подробнее12. Арифметическая прогрессия
. Арифметическая прогрессия. Найти двенадцатый член арифметической прогрессии, у которой первый член равен, а разность равна.. Найти сумму двенадцати членов арифметической прогрессии, у которой первый
ПодробнееТренировочные задачи
И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Арифметическая прогрессия 1. Придумайте формулу n-го члена для следующих последовательностей: а) 1, 3, 5, 7,… б) 5, 8, 11, 14,…
ПодробнееАрифметическая прогрессия
Прогрессия Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания,
ПодробнееЛогарифмические неравенства
Логарифмические неравенства 1. 1. Решите неравенство: Решим неравенство:. 2. 2. Решите неравенство: Найдём значения, при которых определены обе части неравенства: Для таких получаем: Тогда исходное неравенство
Подробнее, то Т.к. S 10 = 1 +
96. a) а 0; d ; a 99. Т.к. a a + ( )d, то 99 0 +. Тогда 90; a + a 90 0 + 99 S90 90 90 09 90. б) а 00; d ; a 999. Т.к. a a + ( )d, то 999 00 +. Т.е. 900; a + a 900 00 + 999 S900 900 900 099 0 90. 97. )
ПодробнееПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ
Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и
ПодробнееРешение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.
ПодробнееРЯДЫ. Методические указания
Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПодробнееМАТЕМАТИКА. Квадратные корни
МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием
Подробнее1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ;
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа Математическое отделение МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 0-й класс, задание ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ Приступая
ПодробнееГлава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ
Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН… Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена
Подробнее11 класс 1. Существуют ли целые числа a 1,a 2,,, a 2016 такие, что a 1 +a a = и a 1 3 +a a =
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 11 класс 1. Существуют ли целые числа a 1,a,,, a 016 такие, что a 1 +a + +a 016 016 =015016 и a 1 3 +a + +a 016 018 =016017. В центре детского творчества имеется 3 кружка. Известно, что в
ПодробнееТиповые задачи c решениями.
Типовые задачи c решениями. Формальное суммирование рядов. Формула рекурсии k a k a + a k k Формула умножения λ a k λa k Формула сложения k k k a k + b k a k + k b k k Пример Геометрическая прогрессия.
ПодробнееТема 5 Рациональные системы уравнений
Тема 5 Рациональные системы уравнений F ( x, x,…, ) 0, F ( x, x,…, ) 0, Система уравнений вида где… Fk ( x, x,…, ) 0, F i( x, x,…, ), i,…, k, некоторые многочлены, называется системой рациональных
Подробнее= 2. 3x + 2y + z, если x : y : z = 2 : 1 : 3. 2x 3y z
В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 С1 С2 С3 С4 Сумма ШИФР Заполняет сотрудник ОКО Вступительная работа по математике для поступающих в 10 физико-химический и химико-биологический классы СУНЦ УрФУ 1 мая 2017 года
ПодробнееРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ I Рациональные алгебраические уравнения Равносильность уравнений Равносильность уравнений на множестве Равносильность
ПодробнееПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ ГОУ ДПО «ДОНЕЦКИЙ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ» ПРОГРАММЫ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРА И НАЧАЛА
ПодробнееТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ
Лекции по Математике Вып ТММ- Ю В Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 00 УДК 5+5 ББК Ч35 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С-Петерб техн ун-та М А Салль Кандидат
ПодробнееДомашняя работа по алгебре за 10 класс
Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов ША и др, М: «Просвещение», 00 г учебно-практическое пособие Содержание Глава I Действительные числа Глава II
ПодробнееЕ. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА
Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. ФИЛАТОВ АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 06 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный
ПодробнееДелимость целых чисел в задачах
Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, — Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический
ПодробнееИнформатика — Арифметическая прогрессия
1. Определения.
Определение. Арифметическая прогрессия – это такая последовательность
a1, …, an,
что для всех n > 1 разность an,- an-1 постоянна и равна одному и тому же числу d. Это число d называется знаменателем прогрессии.
Таким образом,
a2 = a1+d;
a3 = a2+d = a1+d + d = a1+2d;
a4 = a3+d = a1+2d + d = a1+3d;
….
an = an-1+d = a1+(n-2)*d + d = a1+(n-1)*d;
Замечание. Иногда арифметической прогрессией называют бесконечную последовательность, у которой разность между соседними числами постоянна. Тогда конечную последовательность a1, …, anназывают начальным участком арифметической прогрессии.
2. Сумма арифметической прогрессии
Задача. Дана арифметическая прогрессия a1, …, an; знаменатель прогрессии равен d. Найти сумму
S = a1+ …+ an
Решение.
Имеем:
S = a1+ …+ an (1)
Запишем слагаемые в сумме в обратном порядке:
S = an+ …+ a1 (2)
Сложим (1) и (2) и сгруппируем в правой части слагаемые, которые стоят друг под другом:
2S = (a1+ an ) + (a2+ an-1 ) + (a3+ an-2 ) +…+ (an+ a1 ) (3)
Докажем, что все слагаемые в правой части равенства (3) равны. Действительно, k—е слагаемое имеет вид:
ak+ an+1-k ; k = 1, … , n
Воспользуемся формулой (см. раздел 1)
ak = a1+(k-1)*d (4)
Тогда
an+1-k = a1+((n+1-k)-1)*d = a1+(n-k)*d (5)
Складываем (4) и (5). Получим:
ak+ an+1-k = a1+(k-1)*d + a1+(n-k)*d = 2*a1+(n-1)*d (6)
Итак, в правой части формулы (3) есть n слагаемых и каждое из них равно
2*a1+(n-1)*d = a1+ an (7)
Поэтому из (3) и (7) получаем:
2S = n* (2*a1+(n-1)*d) = n*(a1+ an)
Отсюда получаем две формулы для суммы арифметической прогрессии.
Формула 1.
S = n* (2*a1+(n-1)*d)/2 = n* a1+n*(n-1)*d/2
Формула 2.
S = n*(a1+ an)/2
3. Пример: сумма n первых натуральных чисел.
Рассмотрим последовательность 1, …, n .Это – арифметическая прогрессия со знаменателем 1. Поэтому по Формуле 2 для суммы 1 + …+ n получаем:
1 + …+ n = n*(n+1)/2
Формула 1, естественно, даст тот же результат. 🙂
| Шаг (разность) прогрессии d | |
| Произвести вычисления для n равного | |
Геометрическая серия
А геометрическая серия это ряд чьи родственные последовательность геометрический. Это результат добавления термины из геометрическая последовательность .
Пример 1:
Конечная геометрическая последовательность: 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , … , 1 32768
Связанные конечные геометрические ряды: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + … + 1 32768
Написано в сигма-нотации: ∑ k знак равно 1 15 1 2 k
Пример 2:
Бесконечная геометрическая последовательность: 2 , 6 , 18 , 54 , …
Связанные бесконечные геометрические серии: 2 + 6 + 18 + 54 + …
Написано в сигма-нотации: ∑ п знак равно 1 ∞ ( 2 ⋅ 3 п — 1 )
Конечный геометрический ряд
Чтобы найти сумму конечного геометрического ряда, используйте формулу
S
п
знак равно
а
1
(
1
—
р
п
)
1
—
р
,
р
≠
1
,
где
п
это количество терминов,
а
1
это первый член и
р
это
обычное отношение
.
Пример 3:
Найдите сумму первых 8 члены геометрического ряда, если а 1 знак равно 1 а также р знак равно 2 .
S 8 знак равно 1 ( 1 — 2 8 ) 1 — 2 знак равно 255
Пример 4:
Находить S 10 , десятая частичная сумма бесконечного геометрического ряда 24 + 12 + 6 + … .
Сначала найдите р .
р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 24 знак равно 1 2
Теперь найдите сумму:
S 10 знак равно 24 ( 1 — ( 1 2 ) 10 ) 1 — 1 2 знак равно 3069 64
Пример 5:
Оценивать.
∑ п знак равно 1 10 3 ⋅ ( — 2 ) п — 1
(Вы находите S 10 для сериала 3 — 6 + 12 — 24 + … , обыкновенное отношение которого — 2 .)
S п знак равно а 1 ( 1 — р п ) 1 — р S 10 знак равно 3 [ 1 — ( — 2 ) 10 ] 1 — ( — 2 ) знак равно 3 ( 1 — 1024 ) 3 знак равно — 1023
Бесконечная геометрическая серия
Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с
абсолютная величина
меньше единицы, используйте формулу,
S
знак равно
а
1
1
—
р
,
где
а
1
это первый член и
р
это обычное отношение.
Пример 6:
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
27
+
18
+
12
+
8
+
…
.
Первая находка р :
р знак равно а 2 а 1 знак равно 18 27 знак равно 2 3
Затем найдите сумму:
S знак равно а 1 1 — р S знак равно 27 1 — 2 3 знак равно 81 год
Пример 7:
Найдите сумму бесконечного геометрического ряда
8
+
12
+
18
+
27
+
…
если он существует.
Первая находка р :
р знак равно а 2 а 1 знак равно 12 8 знак равно 3 2
С р знак равно 3 2 не меньше единицы, ряды не сходятся.То есть в нем нет суммы.
Использование формулы для геометрического ряда
Так же, как сумма членов арифметической последовательности называется арифметическим рядом, сумма членов геометрической последовательности называется геометрическим рядом . Напомним, что геометрическая последовательность — это последовательность, в которой соотношение любых двух последовательных членов равно общему соотношению , [латекс] r [/ латекс]. {n — 1} {a} _ {1} [/ latex].{k} [/ латекс]
Решение
Пример 5: Решение прикладной задачи с помощью геометрической серии
На новой работе стартовая зарплата сотрудника составляет 26 750 долларов. Он получает повышение на 1,6% годовых. Найдите его общий заработок по истечении 5 лет.
Решение
Задачу можно представить в виде геометрического ряда с [латексом] {a} _ {1} = 26,750 [/ latex]; [латекс] n = 5 [/ латекс]; и [латекс] r = 1,016 [/ латекс]. Подставьте значения для [latex] {a} _ {1} [/ latex], [latex] r [/ latex] и [latex] n [/ latex] в формулу и упростите, чтобы найти общую сумму заработка в конце. от 5 лет.{5} \ right)} {1 — 1.016} \ приблизительно 138 \ text {,} 099.03 \ hfill \ end {array} [/ latex]
К концу 5 лет он заработает в общей сложности 138 099,03 доллара.
Попробуй 8
На новой работе стартовая зарплата сотрудника составляет 32 100 долларов. Ежегодно она получает 2% -ное повышение. Сколько она заработает к концу 8 лет?
Решение
Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда
До сих пор мы рассматривали только конечные серии. Однако иногда нас интересует сумма членов бесконечной последовательности, а не сумма только первых [latex] n [/ latex] членов.{\ infty} 2k [/ latex], где верхний предел суммирования равен бесконечности. Поскольку члены не стремятся к нулю, сумма ряда неограниченно увеличивается по мере того, как мы добавляем новые члены. Следовательно, сумма этого бесконечного ряда не определена. Когда сумма не является действительным числом, мы говорим, что ряд расходится на .
Определение того, определена ли сумма бесконечного геометрического ряда
Если члены бесконечного геометрического ряда приближаются к нулю, можно определить сумму бесконечного геометрического ряда.{n} [/ latex] становятся очень маленькими и приближаются к нулю. Каждый последующий член влияет на сумму меньше, чем предыдущий член. По мере того, как каждый последующий член приближается к 0, сумма членов приближается к конечному значению. Члены любого бесконечного геометрического ряда с [latex] -1 Сумма бесконечного ряда определяется, если ряд геометрический и [латекс] -1 Определите, определена ли сумма бесконечного ряда. [латекс] \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2} + \ frac {3} {4} + \ frac {9} {8} +.{k} [/ латекс] Решение Для рисунков из точек ниже нарисуйте следующий рисунок в последовательности. Затем дайте рекурсивное определение и замкнутую формулу для количества точек в \ (n \) -м шаблоне. Теперь перейдем к вопросу о нахождении замкнутых формул для определенных типов последовательностей. Если члены последовательности отличаются на константу, мы говорим, что последовательность равна арифметическим .Если начальный член (\ (a_0 \)) последовательности равен \ (a \), а общая разность равна \ (d \ text {,} \), то мы имеем, Рекурсивное определение: \ (a_n = a_ {n-1} + d \) с \ (a_0 = a \ text {.} \) Замкнутая формула: \ (a_n = a + dn \ text {.} \) Откуда мы это знаем? Для рекурсивного определения нам нужно указать \ (a_0 \ text {.} \) Затем нам нужно выразить \ (a_n \) через \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Если мы вызовем первый член \ (a \ text {,} \), затем \ (a_0 = a \ text {.} \) Для рекуррентного отношения, по определению арифметической последовательности, разница между последовательными членами является некоторой константой, скажем \ (д \ текст {.} \) Итак \ (a_n — a_ {n-1} = d \ text {,} \) или, другими словами, Чтобы найти замкнутую формулу, сначала напишите общую последовательность: Мы видим, что для нахождения \ (n \) -го члена нам нужно начать с \ (a \), а затем добавить \ (d \) несколько раз. Фактически, добавьте это \ (n \) раз.Таким образом, \ (a_n = a + dn \ text {.} \) Найдите рекурсивные определения и закрытые формулы для приведенных ниже последовательностей. Предположим, что первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \) Сначала мы должны проверить, действительно ли эти последовательности являются арифметическими, взяв разности последовательных членов. Так вы обнаружите общую разницу \ (d \ text {.} \) Здесь общая разница \ (- 7 \ text {,} \), поскольку мы прибавляем \ (- 7 \) к 50, чтобы получить 43, и так далее. Таким образом, у нас есть рекурсивное определение \ (a_n = a_ {n-1} — 7 \) с \ (a_0 = 50 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 50 — 7n \ text {.} \) А как насчет последовательностей типа \ (2, 6, 18, 54, \ ldots \ text {?} \) Это не арифметика, потому что разница между терминами непостоянна.Однако соотношение между последовательными членами постоянно. Мы называем такие последовательности геометрическими . Рекурсивное определение геометрической последовательности с начальным членом \ (a \) и общим отношением \ (r \): \ (a_n = a_ {n} \ cdot r; a_0 = a \ text {. 2 \\
\ amp \ vdots
\ end {выровнять *} Мы должны умножить первый член \ (a \) на \ (r \) несколько раз, а точнее, \ (n \) раз.{n} \ text {.} \) Найдите рекурсивную и замкнутую формулу для последовательностей ниже. Опять же, первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \) Опять же, мы должны сначала проверить, действительно ли эти последовательности геометрически, на этот раз разделив каждый член на его предыдущий член. Предполагая, что это соотношение является постоянным, мы найдем \ (r \ text {.} \) В приведенных выше примерах и формулах мы предположили, что начальный термин был \ (a_0 \ text {.} \). Если ваша последовательность начинается с \ (a_1 \ text {,} \), вы можете легко найти термин, который были \ (a_0 \) и используйте это в формуле. Например, если мы хотим получить формулу для последовательности \ (2, 5, 8, \ ldots \) и настаиваем на том, чтобы \ (2 = a_1 \ text {,} \), то мы можем найти \ (a_0 = -1 \) (поскольку последовательность арифметическая с общей разностью 3, имеем \ (a_0 + 3 = a_1 \)). Тогда закрытая формула будет \ (a_n = -1 + 3n \ text {.} \) В вашем соседском продуктовом магазине есть автомат с кеглями. Предположим, что автомат с конфетами в настоящее время вмещает ровно 650 кеглей, и каждый раз, когда кто-то вставляет четверть, из автомата выходит ровно 7 кеглей. Сколько кеглей останется в машине после того, как будут вставлены 20 четвертей? Останется ли когда-нибудь в машине ровно ноль кеглей? Объяснять. Что, если автомат выдаст 7 Skittles первому покупателю, вложившему четверть, 10 — второму, 13 — третьему, 16 — четвертому и т.д. в машину? Теперь, что, если автомат выдаст 4 Skittles первому покупателю, 7 — второму, 12 — третьему, 19 — четвертому и т. Д. Сколько Skittles выдаст автомат после того, как 20 четвертей помещены в автомат? Посмотрите на последовательность \ ((T_n) _ {n \ ge 1} \), которая начинается с \ (1, 3, 6, 10, 15, \ ldots \ text {.} \) Эти числа называются треугольными числами , поскольку они представляют количество точек в равностороннем треугольнике (подумайте о том, как вы располагаете 10 кеглей: ряд из 4 плюс ряд из 3 плюс ряд из 2 и ряд из 1). Это арифметическая последовательность? Нет, поскольку \ (3-1 = 2 \) и \ (6-3 = 3 \ ne 2 \ text {,} \), поэтому нет общей разницы. Последовательность геометрическая? Нет. \ (3/1 = 3 \), но \ (6/3 = 2 \ text {,} \), поэтому нет общего отношения. Что делать? Обратите внимание, что различия между терминами образуют арифметическую последовательность: \ (2, 3, 4, 5, 6, \ ldots \ text {.} \) Это означает, что \ (n \) -й член последовательности \ (1,3,6,10,15, \ ldots \) является суммой первых \ (n \) членов последовательности \ (1,2,3,4,5, \ ldots \ text {.} \) Мы говорим, что первая последовательность — это последовательность частичных сумм второй последовательности (частичные суммы, потому что мы не берем сумму всего бесконечно много терминов). Если мы знаем, как складывать члены арифметической последовательности, мы могли бы использовать это, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности, отличия которой являются членами этой арифметической последовательности. Это станет яснее, если мы запишем треугольные числа так: Подумайте, как мы можем найти сумму первых 100 натуральных чисел (то есть \ (T_ {100} \)). Вместо того, чтобы складывать их по порядку, мы перегруппируем и добавим \ (1 + 100 = 101 \ text {.} \) Следующая пара, которую нужно объединить, это \ (2 + 99 = 101 \ text {.} \) Затем \ (3+ 98 = 101 \ текст {.}\) Продолжать. Это дает 50 пар, каждая из которых в сумме дает \ (101 \ text {,} \), поэтому \ (T_ {100} = 101 \ cdot 50 = 5050 \ text {.} \) В общем, используя такую же перегруппировку, мы обнаруживаем, что \ (T_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Между прочим, это в точности то же самое, что \ ({n +1 \ choose 2} \ text {,} \), что имеет смысл, если вы думаете о треугольных числах как о подсчете количества рукопожатий на вечеринке с \ (n + 1 \) людьми: первый человек трясет \ (n \) рук, следующий пожимает еще \ (n-1 \) рук и так далее. Суть всего этого в том, что некоторые последовательности, хотя и не арифметические или геометрические, могут быть интерпретированы как последовательность частичных сумм арифметических и геометрических последовательностей. К счастью, есть методы, которые можно использовать для быстрого вычисления этих сумм. Вот метод, который позволяет нам быстро найти сумму арифметической последовательности. Найдите сумму: \ (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \ cdots + 470 \ text {.} \) Идея состоит в том, чтобы имитировать, как мы нашли формулу для треугольных чисел. Если мы сложим первый и последний члены, мы получим 472. Второй член и предпоследний член также в сумме составляют 472. Чтобы отслеживать все, мы могли бы выразить это следующим образом. Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Тогда Чтобы найти \ (2S \), мы прибавляем 472 к себе несколько раз.Какой номер? Нам нужно решить, сколько членов ( слагаемых, ) содержится в сумме. Поскольку члены образуют арифметическую последовательность, \ (n \) -й член в сумме (считая \ (2 \) как 0-й член) можно выразить как \ (2 + 3n \ text {.} \) Если \ ( 2 + 3n = 470 \), тогда \ (n = 156 \ text {.} \) Итак, \ (n \) находится в диапазоне от 0 до 156, что дает 157 членов в сумме. Это число 472 в сумме для \ (2S \ text {.} \) Таким образом, Теперь легко найти \ (S \ text {:} \) Это будет работать для любой суммы из арифметических последовательностей.Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Обратный и сложите. Это дает одно число, добавленное к самому себе много раз. Найдите количество раз. Умножить. Разделить на 2. Готово. Найдите замкнутую формулу для \ (6 + 10 + 14 + \ cdots + (4n — 2) \ text {.} \) Опять же, у нас есть сумма арифметической последовательности. Нам нужно знать, сколько терминов в последовательности. Ясно, что каждый член в последовательности имеет вид \ (4k -2 \) (о чем свидетельствует последний член). Но для каких значений \ (k \)? Чтобы получить 6, \ (k = 2 \ text {.} \) Чтобы получить \ (4n-2 \), возьмите \ (k = n \ text {.} \) Итак, чтобы найти количество членов, нам нужно знать, сколько целых чисел находится в диапазоне \ (2,3, \ ldots, n \ text {.} \) Ответ: \ (n-1 \ text {.} \) (Есть \ (n \) числа от 1 до \ (n \ text {,} \), поэтому один меньше, если мы начнем с 2.) Теперь переверните и добавьте: Поскольку есть \ (n-2 \) членов, получаем Помимо нахождения сумм, мы можем использовать эту технику для нахождения замкнутых формул для последовательностей, которые мы распознаем как последовательности частичных сумм. Используйте частичные суммы, чтобы найти замкнутую формулу для \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (2, 3, 7, 14, 24, 37, \ ldots \ ldots \) Во-первых, если вы посмотрите на различия между терминами, вы получите последовательность различий: \ (1,4,7,10,13, \ ldots \ text {,} \), которая является арифметической последовательностью. Написано по-другому: и так далее. Мы можем записать общий член \ ((a_n) \) в терминах арифметической последовательности следующим образом: (мы используем \ (1 + 3 (n-1) \) вместо \ (1 + 3n \), чтобы индексы выровнялись правильно; для \ (a_3 \) мы складываем до 7, что составляет \ ( 1 + 3 (3-1) \)). Мы можем перевернуть и сложить, но начальные 2 не соответствуют нашему шаблону. Это просто означает, что нам нужно убрать 2 из обратной части: Не считая первого члена (4), есть \ (n \) слагаемых в \ (2 + 3 (n-1) = 3n-1 \), поэтому правая часть становится \ (2+ (3n-1 ) п \ текст {.} \) Наконец, решая \ (a_n \), получаем На всякий случай проверяем \ (a_0 = \ frac {4} {2} = 2 \ text {,} \) \ (a_1 = \ frac {4 + 2} {2} = 3 \ text {,} \) и т.д. У нас есть правильная замкнутая формула. Чтобы найти сумму геометрической последовательности, мы не можем просто перевернуть и сложить. Вы понимаете почему? Причина, по которой мы добавляли один и тот же термин много раз к самому себе, заключается в том, что разница была постоянной.Таким образом, когда мы добавили разницу в одном направлении, мы вычли разницу в другом направлении, оставив постоянную сумму. Для геометрических сумм у нас есть другая техника. Что такое \ (3 + 6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \ text {?} \) Умножьте каждый член на 2, обычное отношение. Вы получите \ (2S = 6 + 12 + 24 + \ cdots + 24576 \ text {.} \) Теперь вычтите: \ (2S — S = -3 + 24576 = 24573 \ text {.} \) Поскольку \ (2S — S = S \ text {,} \) у нас есть ответ. Чтобы лучше понять, что произошло в приведенном выше примере, попробуйте написать это так: Затем разделите обе части на \ (- 1 \), и мы получим тот же результат для \ (S \ text {.{n + 1}} {- 4} \) Даже если это может показаться новой техникой, вы, вероятно, использовали ее раньше. Экспресс \ (0,464646 \ ldots \) в виде дроби. Пусть \ (N = 0.46464646 \ ldots \ text {.} \) Рассмотрим \ (0.01N \ text {.} \) Получаем: Итак \ (N = \ frac {46} {99} \ text {.} \) Что мы сделали? Мы рассматривали повторяющуюся десятичную дробь \ (0,464646 \ ldots \) как сумму геометрической последовательности \ (0,46, 0,0046, 0,000046, \ ldots \). Общее отношение равно \ (0,01 \ text {.} \) Единственная реальная разница в том, что что теперь мы вычисляем бесконечную геометрическую сумму , у нас нет лишнего «последнего» члена для рассмотрения. На самом деле, это результат взятия предела, как в исчислении, когда вы вычисляете бесконечных геометрических сумм.п к = п! \ текст {.} \) Рассмотрим последовательность \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots \) с \ (a_1 = 5 \) Дайте рекурсивное определение последовательности. Приведите замкнутую формулу для \ (n \) -го члена последовательности. Является ли \ (2013 \) членом последовательности? Объяснять. Сколько членов в последовательности \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots, 533 \)? Найдите сумму: \ (5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \ cdots + 533 \ text {.{th} \) член \ (1, 6, 15, 28, 45, \ ldots \ text {,} \), где \ (b_0 = 1 \) Да, поскольку \ (2013 = 5 + 4 (503-1) \) (поэтому \ (a_ {503} = 2013 \)). 133 Рассмотрим последовательность \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (8, 14, 20, 26, \ ldots \ text {.{99} a_k \ text {.} \) \ (32 \ text {,} \) то есть \ (26 + 6 \ text {.} \) Рассмотрим сумму \ (4 + 11 + 18 + 25 + \ cdots + 249 \ text {.} \) Сколько членов (слагаемых) в сумме? Вычислите сумму.Не забудьте показать всю свою работу. 36. Рассмотрим последовательность \ (1, 7, 13, 19, \ ldots, 6n + 7 \ text {.} \) Сколько терминов в последовательности? Какой предпоследний срок? Найдите сумму всех членов последовательности. Найдите \ (5 + 7 + 9 + 11+ \ cdots + 521 \ text {.} \) \ (68117 \ text {.} \) Если мы возьмем \ (a_0 = 5 \ text {,} \), члены суммы будут арифметической последовательностью с закрытой формулой \ (a_n = 5 + 2n \ text {.{30}} \ text {.} \) Найдите \ (x \) и \ (y \) такие, что \ (27, x, y, 1 \) является частью арифметической последовательности. Затем найдите \ (x \) и \ (y \), чтобы последовательность была частью геометрической последовательности. (Предупреждение: \ (x \) и \ (y \) могут быть не целыми числами.) Начиная с любого прямоугольника, мы можем создать новый прямоугольник большего размера, прикрепив квадрат к длинной стороне. Например, если мы начнем с прямоугольника \ (2 \ times 5 \), мы приклеим квадрат \ (5 \ times 5 \), образуя прямоугольник \ (5 \ times 7 \): Создайте последовательность прямоугольников, используя это правило, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 2 \).Затем запишите последовательность из периметров для прямоугольников (первый член последовательности будет равен 6, так как периметр прямоугольника \ (1 \ times 2 \) равен 6 — следующий член будет 10). Повторите вышеупомянутую часть на этот раз, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 3 \). Найдите рекурсивные формулы для каждой из последовательностей периметров, которые вы нашли в частях (a) и (b). Не забудьте также указать начальные условия. Являются ли последовательности арифметическими? Геометрический? Если нет, то близки ли они к к одному из них (т.е., являются ли разности или соотношения почти постоянными)? Объяснять. Рассмотрим последовательность \ (2, 7, 15, 26, 40, 57, \ ldots \) (с \ (a_0 = 2 \)). Рассматривая различия между терминами, выразите последовательность как последовательность частичных сумм. Затем найдите замкнутую формулу для последовательности, вычислив \ (n \) -ю частичную сумму. У нас есть \ (2 = 2 \ text {,} \) \ (7 = 2 + 5 \ text {,} \) \ (15 = 2 + 5 + 8 \ text {,} \) \ (26 = 2 + 5 + 8 + 11 \ text {,} \) и так далее.n (2 + 3k) \ text {.} \) Чтобы найти замкнутую формулу, мы переворачиваем и складываем. Мы получаем \ (a_n = \ frac {(4 + 3n) (n + 1)} {2} \) (у нас там \ (n + 1 \), потому что в сумме есть \ (n + 1 \) слагаемые для\)). Если у вас достаточно зубочисток, вы можете сделать большую треугольную сетку. Ниже представлены треугольные решетки размера 1 и размера 2. Для сетки размера 1 требуется 3 зубочистки, для сетки размера 2 требуется 9 зубочисток. Пусть \ (t_n \) будет количеством зубочисток, необходимых для создания треугольной сетки размером \ (n \).Выпишите первые 5 членов последовательности \ (t_1, t_2, \ ldots \ text {.} \) Найдите рекурсивное определение последовательности. Объясните, почему вы правы. Последовательность арифметическая или геометрическая? Если нет, то это последовательность частичных сумм арифметической или геометрической последовательности? Объясните, почему ваш ответ правильный. Используйте результаты из части (c), чтобы найти замкнутую формулу для последовательности. Показать свою работу. Используйте нотацию суммирования (\ (\ sum \)) или произведения (\ (\ prod \)), чтобы переписать следующее.n (2 + 3k) = (2) (5) (8) (11) (14) \ cdots (2 + 3n) \ text {.} \) Геометрическая прогрессия, GP Примеры GP: n th член геометрической прогрессии Приведенная выше формула подходит для GP с r <1.{\, n}} {1 - r} Для n → ∞ величина ( a 1 r n ) / (1- r ) → 0 для -1,0 <( r ≠ 0) <+1,0, таким образом , $ S = \ dfrac {a_1} {1 — r} [1] 2021/03/28 16:30 Мужчина / 30 лет / Инженер / Очень / [2] 2020/07/11 02:59 Мужчина / До 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень / [3] 2020/06/04 10:42 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Очень / [4] 2020/04/16 21:47 Мужчина / 20-летний уровень / Инженер / Полезный / [5] 03.03.2020 18:35 Женский / 30-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень / [6] 2019/09/05 04:55 Мужской / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Очень / [7] 15.04.2019 19:26 Мужчина / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень / [8] 2019/02/15 08:04 Мужской / До 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Полезно / [9] 2018/03/17 07:43 Женский / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Не совсем / [10] 23.03.2013 03:56 Мужчина / 50 лет / Другое / Немного / Введение Геометрическая последовательность — это второй тип последовательности. Одним из важных приложений геометрической прогрессии является вычисление процентов по сберегательным счетам. Другие приложения можно найти в биологии и физике. Геометрическая последовательность также имеет приложение для определения национального дохода или населения для любого конкретного будущего года при условии, что значения для текущего года и темпы роста известны. Геометрическая последовательность геометрическая ( экспоненциальная ) последовательность или прогрессия (сокращенно G.P ) — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого получается путем умножения предыдущего члена на фиксированное число. Фиксированное число называется обыкновенным коэффициентом и обычно обозначается как $$ r $$. Для определения того, является ли последовательность чисел номером G.П., делим каждый член на тот, который ему предшествует. Например, последовательность Другими словами, считается, что количества находятся в геометрической прогрессии, когда они увеличиваются или уменьшаются на постоянный коэффициент . Эн-й член геометрической последовательности Пусть $$ {a_1} $$ будет первым членом, а $$ r $$ будет обычным соотношением.5} {\ text {}} \ Rightarrow \ frac {{27}} {{9 \ sqrt 3}} = {a_1} {\ text {}} \ Rightarrow {a_1} = \ sqrt 3 $$ Геометрическая последовательность. Последовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущего числа и некоторой константы r ., Или геометрической прогрессии, используемой при ссылке на геометрическую последовательность., Представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущее число и некоторая константа r . an = ran − 1 Геометрическая последовательность И поскольку anan − 1 = r, постоянный коэффициент r называется общим отношением Константа r , которая получается делением любых двух последовательных членов геометрической последовательности; anan − 1 = r .. Например, следующая геометрическая последовательность, 9,27,81,243,729… Здесь a1 = 9, а отношение между любыми двумя последовательными членами равно 3. Мы можем построить общий член an = 3an − 1, где, a1 = 9a2 = 3a1 = 3 (9) = 27a3 = 3a2 = 3 (27) = 81a4 = 3a3 = 3 (81) = 243a5 = 3a4 = 3 (243) = 729 ⋮ В общем, учитывая первый член a1 и знаменатель r геометрической последовательности, мы можем записать следующее: a2 = ra1a3 = ra2 = r (a1r) = a1r2a4 = ra3 = r (a1r2) = a1r3a5 = ra3 = r (a1r3) = a1r4 ⋮ Из этого мы видим, что любую геометрическую последовательность можно записать в терминах ее первого элемента, ее общего отношения и индекса следующим образом: an = a1rn − 1 Геометрическая последовательность Фактически, любой общий член, являющийся экспонентой в числах n , является геометрической последовательностью. Найдите уравнение для общего члена данной геометрической последовательности и используйте его для вычисления 10 -го члена : 3,6,12,24,48… Решение: Начните с определения общего отношения, г = 63 = 2 Обратите внимание, что соотношение между любыми двумя последовательными членами равно 2. Последовательность действительно представляет собой геометрическую прогрессию, где a1 = 3 и r = 2. an = a1rn − 1 = 3 (2) n − 1 Следовательно, мы можем записать общий член an = 3 (2) n − 1, а член 10 th можно вычислить следующим образом: a10 = 3 (2) 10−1 = 3 (2) 9 = 1,536 Ответ: an = 3 (2) n − 1; а10 = 1,536 Термины между данными элементами геометрической последовательности называются средними геометрическими. Термины между данными элементами геометрической последовательности.. Найдите все члены геометрической последовательности между a1 = −5 и a4 = −135. Другими словами, найдите все геометрические средние между 1 и 4 членами. Решение: Начнем с нахождения общего отношения r . В данном случае нам даны первый и четвертый слагаемые: an = a1rn − 1 Используйте n = 4.a4 = a1r4−1a4 = a1r3 Подставляем a1 = −5 и a4 = −135 в приведенное выше уравнение, а затем решаем относительно r . −135 = −5r327 = r33 = r Затем используйте первый член a1 = −5 и общее отношение r = 3, чтобы найти уравнение для n -го члена последовательности. an = a1rn − 1an = −5 (3) n − 1 Теперь мы можем использовать an = −5 (3) n − 1, где n — положительное целое число, чтобы определить пропущенные члены. a1 = −5 (3) 1−1 = −5⋅30 = −5a2 = −5 (3) 2−1 = −5⋅31 = −15a3 = −5 (3) 3−1 = −5⋅32 = −45} средние геометрические a4 = −5 (3) 4−1 = −5⋅33 = −135 Ответ: −15, −45, Первый член геометрической последовательности не может быть указан. Найдите общий член геометрической последовательности, где a2 = −2 и a5 = 2125. Решение: Чтобы определить формулу для общего члена, нам нужны a1 и r. Нелинейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an = a1rn − 1: {a2 = a1r2−1a5 = a1r5−1 ⇒ {−2 = a1r2125 = a1r4 Используйте a2 = −2. Используйте a5 = 2125. Решите относительно a1 в первом уравнении, {−2 = a1r ⇒ −2r = a12125 = a1r4 Подставляем a1 = −2r во второе уравнение и решаем: r . 2125 = a1r42125 = (- 2r) r42125 = −2r3−1125 = r3−15 = r Обратный заменитель, чтобы найти a1: a1 = −2r = −2 (−15) = 10 Следовательно, a1 = 10 и r = −15. Ответ: an = 10 (−15) n − 1 Попробуй! Найдите уравнение для общего члена данной геометрической последовательности и используйте его для вычисления его 6 -го члена : 2,43,89,… Ответ: an = 2 (23) n − 1; а6 = 64243 Геометрический ряд Сумма членов геометрической последовательности.представляет собой сумму членов геометрической последовательности. Например, сумма первых 5 членов геометрической последовательности, определенной как an = 3n + 1, выглядит следующим образом: S5 = Σn = 153n + 1 = 31 + 1 + 32 + 1 + 33 + 1 + 34 + 1 + 35 + 1 = 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1089 Можно добавить 5 натуральных чисел. Однако задача добавления большого количества терминов не стоит. Поэтому затем мы разработаем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n членов любой геометрической последовательности.В целом Sn = a1 + a1r + a1r2 +… + a1rn − 1 Умножая обе стороны на r , мы можем написать, rSn = a1r + a1r2 + a1r3 +… + a1rn Вычитая эти два уравнения, получаем Sn-rSn = a1-a1rnSn (1-r) = a1 (1-rn) Если предположить, что r ≠ 1, деление обеих сторон на (1 − r), приводит нас к формуле для n -й частичной суммы геометрической последовательности Сумма первых n членов геометрической последовательности, заданной формулой: Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1.: Sn = a1 (1 − rn) 1 − r (r ≠ 1) Другими словами, n -я частичная сумма любой геометрической последовательности может быть вычислена с использованием первого члена и общего отношения. Например, чтобы вычислить сумму первых 15 членов геометрической последовательности, определенной как an = 3n + 1, используйте формулу с a1 = 9 и r = 3. S15 = a1 (1 − r15) 1 − r = 9⋅ (1−315) 1−3 = 9 (−14,348,906) −2 = 64,570,077 Найдите сумму первых 10 членов заданной последовательности: 4, −8, 16, −32, 64,… Решение: Определите, существует ли общее соотношение между данными терминами. г = −84 = −2 Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно -2; следовательно, данная последовательность является геометрической последовательностью. Используйте r = −2 и тот факт, что a1 = 4, чтобы вычислить сумму первых 10 членов, Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 4 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2) = 4 (1−1,024) 1 + 2 = 4 (−1,023) 3 = −1,364 Ответ: S10 = −1,364 Вычислить: Σn = 162 (−5) n. Решение: В этом случае нас просят найти сумму первых 6 членов геометрической последовательности с общим членом an = 2 (−5) n.Используйте это, чтобы определить член 1 st и обыкновенное отношение r : а1 = 2 (−5) 1 = −10 Чтобы показать, что существует общее отношение, мы можем использовать следующие друг за другом следующие термины: r = anan − 1 = 2 (−5) n2 (−5) n − 1 = (- 5) n− (n − 1) = (- 5) 1 = −5 Используйте a1 = −10 и r = −5, чтобы вычислить частичную сумму 6 th . Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS6 = −10 [1 — (- 5) 6] 1 — (- 5) = — 10 (1−15,625) 1 + 5 = −10 (−15,624) 6 = 26 040 Ответ: 26 040 Попробуй! Найдите сумму первых 9 членов заданной последовательности: −2, 1, −1 / 2,… Ответ: S9 = −171128 Если общее отношение r бесконечной геометрической последовательности является дробью, где | r | <1 (то есть -1 1− (110) 2 = 1−0,01 = 0,991− (110) 4 = 1−0,0001 = 0,99991− (110) 6 = 1−0,000001 = 0,999999 Здесь мы видим, что этот коэффициент становится все ближе и ближе к 1 для все больших значений n . Это иллюстрирует идею предела, важную концепцию, широко используемую в математике более высокого уровня, которая выражается с помощью следующих обозначений: limn → ∞ (1 − rn) = 1, где | r | <1 Читается так: «предел (1-rn), когда n приближается к бесконечности, равен 1.«Хотя это дает предварительный обзор того, что должно произойти в вашем продолжающемся изучении математики, на данный момент мы заинтересованы в разработке формулы для специальных бесконечных геометрических рядов. Рассмотрим n -ю частичную сумму любой геометрической последовательности, Sn = a1 (1 − rn) 1 − r = a11 − r (1 − rn) Если | r | <1, то предел частичных сумм, когда n приближается к бесконечности, существует, и мы можем написать, Sn = a11 − r (1 − rn) ⇒n → ∞ S∞ = a11 − r⋅1 Следовательно, сходящийся геометрический ряд — это бесконечный геометрический ряд, где | r | <1, сумма которого определяется формулой: S∞ = a11 − r.бесконечный геометрический ряд, где | r | <1; его сумму можно рассчитать по формуле: S∞ = a11 − r Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: 32 + 12 + 16 + 118 + 154 + ⋯ Решение: Определить обычное отношение, г = 1232 = 12⋅23 = 13 Поскольку знаменатель r = 13 является дробью от -1 до 1, это сходящийся геометрический ряд.Используйте первый член a1 = 32 и обыкновенное отношение, чтобы вычислить его сумму. S∞ = a11 − r = 321− (13) = 32 23 = 32⋅32 = 94 Ответ: S∞ = 94 Примечание : В случае бесконечного геометрического ряда, где | r | ≥1, ряд расходится, и мы говорим, что нет суммы. Например, если an = (5) n − 1, то r = 5, и мы имеем S∞ = Σn = 1∞ (5) n − 1 = 1 + 5 + 25 + Мы видим, что эта сумма неограниченно растет и не имеет суммы. Попробуй! Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: Σn = 1∞ − 2 (59) n − 1. Ответ: −9/2 Повторяющаяся десятичная дробь может быть записана как бесконечный геометрический ряд, значащий коэффициент которого равен степени 1/10. Следовательно, формулу сходящегося геометрического ряда можно использовать для преобразования повторяющегося десятичного числа в дробь. Запишите в виде дроби: 1.181818… Решение: Начните с определения повторяющихся цифр справа от десятичной дроби и перепишите их в геометрической прогрессии. 0,181818… = 0,18 + 0,0018 + 0,000018 +… = 18100 + 1810 000 + 181 000 000 +… В этой форме мы можем определить общее отношение, г = 1810,000 18100 = 1810,000 × 10018 = 1100 Обратите внимание, что соотношение между любыми двумя последовательными членами равно 1100. Используйте это, а также тот факт, что a1 = 18100, чтобы вычислить бесконечную сумму: S∞ = a11 − r = 181001− (1100) = 1810099100 = 18100⋅10099 = 211 Следовательно, 0.181818… = 211 и имеем 1,181818… = 1 + 211 = 1211 Ответ: 1211 Определенный мяч отскакивает назад на две трети высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с высоты 27 футов, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит. Решение: Мы можем вычислить высоту каждого последующего отскока: 27⋅23 = 18 футов Высота первого отскока 18⋅23 = 12 футов Высота второго отскока 12⋅23 = 8 футов Высота третьего отскока Общее расстояние, которое проходит мяч, складывается из расстояний, на которые мяч падает, и расстояний, на которые мяч поднимается.Расстояния, на которые падает мяч, образуют геометрическую серию 27 + 18 + 12 + ⋯ Дистанция падения мяча , где a1 = 27 и r = 23. Поскольку r представляет собой дробную часть от -1 до 1, эту сумму можно рассчитать следующим образом: S∞ = a11 − r = 271−23 = 2713 = 81 Следовательно, мяч падает на общую дистанцию 81 фут. Расстояния, на которые мяч поднимается, образуют геометрическую серию 18 + 12 + 8 + ⋯ Расстояние подъема мяча , где a1 = 18 и r = 23.Вычислите эту сумму аналогично: S∞ = a11 − r = 181−23 = 1813 = 54 Следовательно, мяч поднимается на общую дистанцию 54 фута. Приблизительно общее пройденное расстояние, сложив общее расстояние подъема и падения: 81 + 54 = 135 футов Ответ: 135 футов Запишите первые 5 членов геометрической последовательности с учетом ее первого члена и общего отношения. Найдите формулу для его общего члена. Учитывая геометрическую последовательность, найдите формулу для общего члена и используйте ее, чтобы определить 5 -й член в последовательности. −3.6, −4,32, −5,184,… Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 1, x2, x24,… Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 2, −6x, 18×2,… Количество клеток в культуре определенных бактерий удваивается каждые 4 часа.Если изначально присутствует 200 ячеек, напишите последовательность, которая показывает популяцию ячеек после каждых n -го 4-часового периода в течение одного дня. Напишите формулу, которая дает количество ячеек после любого 4-часового периода. Определенный мяч отскакивает назад на половине высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с 12 футов, найдите формулу, которая дает высоту мяча на отскоке n и используйте его, чтобы найти высоту мяча на 6 -м отскоке . Для геометрической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an = 4an − 1, где a1 = 2 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общего отношения r . Учитывая геометрическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = 6an − 1, где a1 = 12 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общего отношения r . Учитывая члены геометрической последовательности, найдите формулу для общего члена. a4 = −2.4 × 10−3 и a9 = −7,68 × 10−7 Найдите все средние геометрические между заданными членами. a2 = −20 и a5 = −20 000 Рассчитайте указанную сумму. ∑n = 155n ∑n = 16 (−4) п ∑k = 1102k + 1 ∑k = 1142k − 1 ∑k = 110−2 (3) к ∑k = 185 (−2) к ∑n = 152 (12) n + 2 ∑n = 14−3 (23) п ∑n = 1∞2 (13) n − 1 ∑n = 1∞ (15) п ∑n = 1∞3 (2) n − 2 N = 1∞ − 14 (3) n − 2 ∑n = 1∞12 (−16) п ∑n = 1∞13 (−25) п Запишите смешанное число. Предположим, вы согласились работать за гроши в день в течение 30 дней.Вы заработаете 1 пенни в первый день, 2 пенни во второй день, 4 пенни в третий день и так далее. Сколько всего пенни вы заработаете в конце 30-дневного периода? Какая сумма в долларах? Первоначальная ставка в рулетке 100 долларов делается (красное поле) и проигрывает. Чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку, делает ставку 200 долларов и проигрывает.Опять же, чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку до 400 долларов и проигрывает. Если игрок продолжает удваивать свою ставку таким образом и проигрывает 7 раз подряд, сколько в целом он проиграет? Определенный мяч отскакивает назад на половину высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с 12 футов, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит. Мяч для гольфа отскакивает от цементного тротуара на три четверти высоты, с которой он упал. Если мяч изначально падает с 8 метров, приблизьте общее расстояние, которое он пролетит. Структурированное поселение ежегодно приносит сумму в долларах, представленную как n , согласно формуле pn = 6000 (0.80) п — 1. Какова общая сумма дохода от урегулирования через 10 лет? Начните с квадрата, каждая сторона которого составляет 1 единицу, начертите еще один квадрат, соединив середины каждой стороны. Продолжайте писать квадраты таким образом до бесконечности, как показано на рисунке: Найдите сумму площадей всех квадратов на рисунке.(Подсказка: начните с поиска последовательности, сформированной с использованием площадей каждого квадрата.) Определите последовательность как арифметическую, геометрическую или ни то ни другое. Укажите общее различие или соотношение, если оно существует. Определите последовательность как арифметическую или геометрическую, а затем вычислите указанную сумму. Рассчитайте указанную сумму. ∑n = 150 (3n − 5) ∑n = 125 (4−8n) ∑n = 112 (−2) n − 1 ∑n = 1∞5 (−12) n − 1 ∑n = 1405 ∑n = 1∞0.6n Используйте методы, описанные в этом разделе, чтобы объяснить, почему 0,999… = 1. Постройте геометрическую последовательность, где r = 1. Изучите n -ю частичную сумму такой последовательности.Какие выводы мы можем сделать? 1, 5, 25, 125, 625; ан = 5n − 1 2, 6, 18, 54, 162; ан = 2 (3) п − 1 2, -6, 18, -54, 162; ан = 2 (−3) п − 1 3, 2, 43, 89, 1627; ан = 3 (23) п − 1 1.2, 0,72, 0,432, 0,2592, 0,15552; ан = 1,2 (0,6) п − 1 an = — (- 23) n − 1, a5 = −1681 ан = −3.6 (1,2) n − 1, a5 = −7,46496 400 ячеек; 800 ячеек; 1600 ячеек; 3200 ячеек; 6400 ячеек; 12800 ячеек; pn = 400 (2) n − 1 ячеек 1,073,741,823 пенни; 10 737 418 долларов.23 Общее примечание: определение того, определена ли сумма бесконечного геометрического ряда
Практическое руководство. Учитывая несколько первых членов бесконечного ряда, определите, существует ли сумма ряда.
Решение
, что не совпадает с отношением третьего члена к второй, [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex]. Серия не геометрическая. Попробуй 9
Арифметических и геометрических последовательностей
Расследуй! 18
Арифметические последовательности
Пример2.2.1
Решение Пример2.2.2
Решение Подраздел Суммы арифметических и геометрических последовательностей
¶ Расследуй! 19
Подраздел Суммирование арифметических последовательностей: обратное и сложение
¶ Пример2.2.4
\ (S = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (5 \) \ (+ \) \ (8 \) \ (+ \ cdots + \) \ (467 \) \ (+ \) 470 \ (+ \ quad S = \) \ (470 \) \ (+ \) \ (467 \) \ (+ \) \ (464 \) \ (+ \ cdots + \) \ (5 \) \ (+ \) 2 \ (2S = \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \ cdots + \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) Пример2.2.5
\ (S = \) \ (6 \) \ (+ \) \ (10 \) \ (+ \ cdots + \) \ (4н-6 \) \ (+ \) \ (4н-2 \) \ (+ \ quad S = \) \ (4н-2 \) \ (+ \) \ (4н-6 \) \ (+ \ cdots + \) \ (10 \) \ (+ \) 6 \ (2S = \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \) Пример2.2.6
\ (a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 \) \ (+ \) \ (4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 + 3 (п-1) \) \ (+ ~ a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (1 + 3 (п-2) \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 \) \ (2a_n = \) \ (4 \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \ cdots + \) \ (2 + 3 (п-1) \) Подраздел Суммирование геометрических последовательностей: умножение, сдвиг и вычитание
¶ Пример2.2.7
\ (S = \) \ (3 \, + \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \) \ (- ~ 2S = \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \) \ (+ 24576 \) \ (- S = \) \ (3 \, + \) \ (0 + 0 + 0 + \ cdots + 0 \) \ (- 24576 \) Пример2.2.9
\ (N = \) \ (0,4646464 \ ldots \) \ (- \) \ (0,01N = \) \ (0,00464646 \ ldots \) \ (0.99N = \) \ (0,46 \) Подраздел Упражнения
¶ 1
Решение 2
3
Решение 4
Решение 5
8
9
10
11
12
Выведение суммы конечной и бесконечной геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия (также известная как геометрическая последовательность) — это последовательность чисел, в которой соотношение любых двух соседних членов постоянно. Постоянное отношение называется обычным отношением, r геометрической прогрессии. Таким образом, каждый член в геометрической прогрессии находится путем умножения предыдущего на r .
Для каждого члена GP как a 1 , a 2 , a 3 , a ,… 4 , a m ,…, a n , выразив все эти термины в соответствии с первым членом a 1 , мы получим. {\, n})} {1 — r} Калькулятор геометрической прогрессии — Расчет высокой точности
Геометрическая последовательность или геометрическая прогрессия
геометрических последовательностей и серии
Геометрические последовательности
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Геометрическая серия
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Основные выводы
Тематические упражнения
Часть A: Геометрические последовательности
Часть B: геометрическая серия
Часть C: Последовательности и серии
Часть D: Обсуждение
ответов
.