Формулы геометрической и арифметической – (, ), .
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:
Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии:
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних: .
Для решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций – повторите тему «Производная».
Примеры решения задач
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Формулы сокращенного умножения
К оглавлению…
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
К оглавлению…
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
Если D
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета
Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
График параболы задается квадратичной функцией:
При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
Игрек вершины параболы:
Свойства степеней и корней
К оглавлению…
Основные свойства степеней:
Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.
Основные свойства математических корней:
Для арифметических корней:
Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
Для корня четной степени имеется следующее свойство:
Формулы с логарифмами
К оглавлению…
Определение логарифма:
Определение логарифма можно записать и другим способом:
Свойства логарифмов:
Логарифм произведения:
Логарифм дроби:
Вынесение степени за знак логарифма:
Другие полезные свойства логарифмов:
Арифметическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
Формула суммы арифметической прогрессии:
Свойство арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
Формула суммы геометрической прогрессии:
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Свойство геометрической прогрессии:
Тригонометрия
Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла
Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:
Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени
Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла
Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
К оглавлению…
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Геометрия в пространстве (стереометрия)
К оглавлению…
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Координаты
К оглавлению…
Длина отрезка на координатной оси:
Длина отрезка на координатной плоскости:
Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
Таблица умножения
К оглавлению…
Таблица квадратов двухзначных чисел
К оглавлению…
Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
К оглавлению…
educon.by
Геометрическая прогрессия — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b1{\displaystyle b_{1}}, b2{\displaystyle b_{2}}, b3{\displaystyle b_{3}}, …{\displaystyle \ldots } (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q{\displaystyle q} (называемое знаменателем прогрессии), где b1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}, q≠0{\displaystyle q\neq 0}: b1{\displaystyle b_{1}}, b2=b1q{\displaystyle b_{2}=b_{1}q}, b3=b2q{\displaystyle b_{3}=b_{2}q}, …{\displaystyle \ldots }
ru.wikipedia.org
Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия
Понятие числовой последовательности
Введем два определения числовой последовательности:
Определение 1
Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.
Определение 2
Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$
Числовая последовательность обозначается следующим образом:
${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$
где $p_1,p_2,…,p_k,…$ — действительные числа.
Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.
Аналитический.
В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.
Рекуррентный.
Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.
Словесный.
При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.
Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметическая прогрессия
Определение 3
Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.
В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.
Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:
$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$
Замечание 1
Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.
Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:
Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:
$p_k=p_1+(k-1)d$
Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле
$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $
У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:
$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$
Геометрическая прогрессия
Определение 4
Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. Каждое же последующее определяется как произведение предыдущего с наперед заданным конкретным не равным нулю числом $q$.
В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.
Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:
$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.
Замечание 2
Отметим, что частным случаем геометрической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой знаменатель прогрессии равняется единице.
Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:
Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:
$p_k=p_1 q^{(k-1)}$
Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле
$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$
У геометрической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:
$p_k^2=p_{k-1} p_{k+1}$
Примеры задач
Пример 1
Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.
Решение.
Последовательность положительных четных чисел имеет вид
$2,4,6,8,10,…$
Она является арифметической.
Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется
$d=4-2=2$
Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:
$S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$
Ответ: $30$.
Пример 2
Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.
Решение.
Последовательность таких чисел имеет вид
$3,9,27,81,…$
Она является геометрической.
Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется
$q=\frac{9}{3}=3$
Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:
$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$
Ответ: $363$.
spravochnick.ru
Арифметическая прогрессия | Формулы с примерами
Определение
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (an), в которой для любого натурального n
d — разность арифметической прогрессии (заданное число).
ПримерДано | Арифметическая прогрессия | |
1. | a1 = 2; d = 3 | 2; 5; 8; 11; 14; 17; … |
2. | a1 = 11; d = -4,8 | 11; 6,2; 1,4; -3,4; -8,2; … |
Если d > 0, то прогрессия возрастающая.
Если d , то прогрессия убывающая.
Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии: Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов арифметической прогрессии.
Где: S1 = a1; Sn = a1 + a2 + … + an.
Пример решенияa1 = 3,9; d = -1,1. Найти a80 и сумму S100.
a80 = a1 + 79d = — 83.
S100 = 2a1 + 99d2 • 100 = -5055.
СвойствоХарактеристическое свойство.
formula-xyz.ru
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы для вычисления разности арифметической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии.
Более 50 лет существовала система закрытых текстов письменных работ к экзаменам по математике за курс основной и средней школы. Затем был введен экзамен за курс основной школы по открытым текстам. За пять лет до введения ЕНТ и в 11 классе был также введен экзамен по открытым текстам.
Использование тестов в процессе обучения – это требование времени. Задача учителя – подготовить школьников к процессу тестирования, научить рациональным и кратким способам решения задач.
При широком применении тестовых заданий по математике, как и по другим предметам, возникла необходимость принятия быстрого решения того или иного примера.
Так, при изучении темы «Арифметическая прогрессия» учащиеся должны твердо усвоить определение арифметической прогрессии, формулы n-ого члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии. Следует обратить внимание учащихся на формулы, которые используются при решении упражнений.
При вычислении суммы n первых членов прогрессии учащиеся могут использовать ту из двух формул, применение которой в каждом конкретном случае целесообразно. Упражнения, приведенные в учебниках, направлены, прежде всего, на формирование умений применять рассмотренные формулы при решении задач.
Изложение материала по теме «Геометрическая прогрессия» построено по аналогии с изложением арифметической прогрессии: определение, формула ого члена, формула суммы первых членов геометрической прогрессии. Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессии, можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу ого члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением, а умножение – возведением в степень.
Весь материал — смотрите документ.
videouroki.net
Геометрическая прогрессия | Формулы с примерами
ОпределениеГеометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn), в
которой для любого натурального n, bn ? 0, q ? 0.
q — знаменатель геометрической прогрессии (заданное число).
ПримерДано | Геометрическая прогрессия | |
1. | b1 = 0,5; q = 2 | 0,5; 1; 2; 4; 8; 16; … |
2. | b1 = 7; q = -1 | 7; -7; 7; -7; 7; -7; … |
3. | b1 = 100; q = 0,2 | 100; 20; 4; 0,8; 0,16; 0,032; … |
Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии: Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов геометрической прогрессии:
Где: S1 = b1. Sn = b1 + b2 + … + bn.
Пример решенияb1 = 12, b2 = -6. Найти b7 и сумму S8.
Знаменатель q = b2b1 = — 12.
Тогда b7 = b1 • q6 = 12 • (- 12)6 = 3 16 • S8 = b1(q8 — 1)q — 1 = 7 3132.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Правилоformula-xyz.ru