Формулы геометрической и арифметической – (, ), .

Содержание

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:


Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних: .

Для решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций – повторите тему «Производная».

 

Примеры решения задач

 

 

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

 

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то

разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

 

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

 

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

 

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения

задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

 

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника

:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

 

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению…

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

 

Координаты

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

 

Таблица умножения

К оглавлению…

 

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

 

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

educon.by

Геометрическая прогрессия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b1{\displaystyle b_{1}}, b2{\displaystyle b_{2}}, b3{\displaystyle b_{3}}, …{\displaystyle \ldots } (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q{\displaystyle q} (называемое знаменателем прогрессии), где b1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}, q≠0{\displaystyle q\neq 0}: b1{\displaystyle b_{1}}, b2=b1q{\displaystyle b_{2}=b_{1}q}, b3=b2q{\displaystyle b_{3}=b_{2}q}, …{\displaystyle \ldots }

ru.wikipedia.org

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

Понятие числовой последовательности

Введем два определения числовой последовательности:

Определение 1

Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ — действительные числа.

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

  • Аналитический.

    В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

  • Рекуррентный.

    Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

  • Словесный.

    При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение 3

Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

Замечание 1

Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1+(k-1)d$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $

У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

Геометрическая прогрессия

Определение 4

Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. Каждое же последующее определяется как произведение предыдущего с наперед заданным конкретным не равным нулю числом $q$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.

Замечание 2

Отметим, что частным случаем геометрической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой знаменатель прогрессии равняется единице.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1 q^{(k-1)}$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$

У геометрической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k^2=p_{k-1} p_{k+1}$

Примеры задач

Пример 1

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.

Решение.

Последовательность положительных четных чисел имеет вид

$2,4,6,8,10,…$

Она является арифметической.

Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется

$d=4-2=2$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$

Ответ: $30$.

Пример 2

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.

Решение.

Последовательность таких чисел имеет вид

$3,9,27,81,…$

Она является геометрической.

Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

$q=\frac{9}{3}=3$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

Ответ: $363$.

spravochnick.ru

Арифметическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (an), в которой для любого натурального n

d — разность арифметической прогрессии (заданное число).

Пример
ДаноАрифметическая прогрессия
1.a1 = 2; d = 32; 5; 8; 11; 14; 17; …
2.a1 = 11; d = -4,811; 6,2; 1,4; -3,4; -8,2; …

Если d > 0, то прогрессия возрастающая.
Если d , то прогрессия убывающая.

Формула
Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии:

Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов арифметической прогрессии.

Где: S1 = a1;   Sn = a1 + a2 + … + an.

Пример решения
a1 = 3,9;   d = -1,1.   Найти a80 и сумму S100.

a80 = a1 + 79d = — 83.

S100 = 2a1 + 99d2 • 100 = -5055.

Свойство
Характеристическое свойство.

formula-xyz.ru

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы для вычисления разности арифметической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии.

Более 50 лет существовала система закрытых текстов письменных работ к экзаменам по математике за курс основной и средней школы. Затем был введен экзамен за курс основной школы по открытым текстам. За пять лет до введения ЕНТ и в 11 классе был также введен экзамен по открытым текстам.

Использование тестов в процессе обучения – это требование времени. Задача учителя – подготовить школьников к процессу тестирования, научить  рациональным  и кратким способам решения задач.

При широком применении тестовых заданий по математике, как и по другим предметам, возникла необходимость принятия быстрого решения того или иного примера.

Так, при изучении темы «Арифметическая прогрессия» учащиеся должны твердо усвоить определение арифметической прогрессии, формулы n-ого члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии. Следует обратить внимание учащихся на формулы, которые используются при решении упражнений.

При вычислении суммы n первых членов прогрессии учащиеся могут использовать ту из двух формул, применение которой в каждом конкретном случае целесообразно. Упражнения, приведенные в учебниках, направлены, прежде всего, на формирование умений применять    рассмотренные формулы при решении задач.       

Изложение материала по теме «Геометрическая прогрессия» построено по аналогии с изложением арифметической прогрессии: определение, формула ого члена, формула суммы первых членов геометрической прогрессии. Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессии, можно обратить внимание на то, что они похожи. Надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу ого члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением, а умножение – возведением в степень.

Весь материал — смотрите документ.

videouroki.net

Геометрическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (bn), в
которой для любого натурального n, bn ? 0, q ? 0.

q — знаменатель геометрической прогрессии (заданное число).

Пример
ДаноГеометрическая прогрессия
1.b1 = 0,5; q = 20,5; 1; 2; 4; 8; 16; …
2.b1 = 7; q = -17; -7; 7; -7; 7; -7; …
3.b1 = 100; q = 0,2100; 20; 4; 0,8; 0,16; 0,032; …
Формула
Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии:

Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов геометрической прогрессии:

Где: S1 = b1.   Sn = b1 + b2 + … + bn.

Пример решения
b1 = 12, b2 = -6.   Найти b7 и сумму S8.

Знаменатель q = b2b1 = — 12.

Тогда b7 = b1 • q6 = 12 • (- 12)6 =   3   16 • S8 = b1(q8 — 1)q — 1 = 7 3132.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Правило

formula-xyz.ru