Формулы арифметических прогрессий: Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

 

1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

   «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»



2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: y_n = f(n).

   Последовательность y_n = C называют постоянной или стационарной.



3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

   Арифметическая прогрессия — (a_n), задана таким соотношением:
   a₁ = a, a_n+1= a_n + d.

   Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a_n+1 = a_n

   + a_n-1.

   Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…



4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
   1, 2, 3, 4…
   

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

 

1. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

   y₁ < y₂ < y₃ < … < y

   n < y_n+1 < …



2. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:

   y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > …

   Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.



3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: y_n = y_n+T. Число T — длина периода.

 

Разобраться во всех правилах и быстро щелкать задачки помогут внимательные учителя детской школы Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой, увлекательные математические комиксы и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как все устроено и вдохновим на учебу.

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a₁,

a₂,…, a₁₀…, a_n.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

• Формула a_n = 3_n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
• Формула a_n = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a 1, a2,. .., an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство: an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 

1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

   Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.



2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

   Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.



3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.
   Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 

1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

   a₂ = a₁ + d = 0 + 2 = 2;

   a₃ = a₂ + d = 2 + 2 = 4;

   a₄ = a₃ + d = 4 + 2 = 6;

   a₅ = a₄ + d = 6 + 2 = 8.



2. Используем общую формулу a_n = a₁ + d * (n — 1).

   По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

   a₁₀ = a₁ + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

1. Рекуррентной формулой:


2. Формулой n-го члена: a_n = a₁+ d · (n — 1).


3. Формулой вида a_n = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

и т.

д.

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n = a₁ + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Как доказываем:

 

1. Формула верна при n = 1.

   Действительно,



2. Предположим, что формула верна при n = k, то есть


3. Докажем, что формула верна и при n = k + 1, то есть


4. Из условия и предположения получаем:

   Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

• b₂ = b₁ * q;
• b₃ = b₂ * q = b₁ * q * q = b₁ * q²;
• b₄ = b₁ * q³;
• и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * qⁿ⁻¹, где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член последовательности, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Приходите тренироваться: весело, современно и с результатом. В детской школе Skysmart знают, как подружить ребенка с самой коварной темой по математике и повысить оценки в школе.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1. Числовую последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

называют арифметической прогрессией, если справедливы равенства

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =
= … = a_n – a_{n – 1} =…

      Определение 2. Если последовательность чисел

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

является арифметической прогрессией, то число d, определенное формулой

d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ =
= a₄ – a₃ = … =
= a_n – a_{n – 1} =… ,

называют разностью этой арифметической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 вытекает, что для того, чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член арифметической прогрессии a₁ и разность арифметической прогрессии   d.   Если числа a₁ и d известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

a2 = a1 + d , a3 = a2 + d , … an = an – 1 + d …

(1)

      По этой причине многие задачи на арифметическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел a₁ и d .

      Из формул (1) вытекает общая формула

an = a 1 + d ( n – 1),       n = 1, 2, 3, …

(2)

позволяющая по любому номеру n вычислить член арифметической прогрессии a_n , зная первый член и разность прогрессии.  Эта формула носит название формулы общего члена арифметической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством арифметической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство арифметической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

      Из формулы (2) также вытекают следующие соотношения:

a₁ + a_n = a₂ + a_{n – 1} =
= a₃ + a_{n – 2} = … ,

которые используются, в частности, при выводе формулы для суммы первых n членов арифметической прогрессии, и при решении различных примеров и задач.

      Если для суммы первых n членов арифметической прогрессии ввести обозначение

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n  ,      
n = 1, 2, 3, … ,

то будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

      С примерами решений различных задач по теме «Арифметическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется \( \displaystyle 6\) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

\( \displaystyle 6;\text{ }5;\text{ }4;\text{ }3;\text{ }2;\ 1\).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\~~{{S}_{6}}=\frac{\left( 6+1 \right)\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21\\~\end{array}\)

Способ 2.

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\)

\( {{S}_{n}}=\frac{2\cdot 6+1\left( 6-1 \right)}{2}\cdot 6=\frac{12+5\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=\frac{42}{2}=21\)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму \( \displaystyle n\)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из \( \displaystyle 6\) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из \( \displaystyle 60\)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – \( \displaystyle 1830\) блоков:

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\{{S}_{60}}=\frac{\left( 60+1 \right)\cdot 60}{2}=\frac{61\cdot 60}{2}=61\cdot 30=1830.\end{array}\)

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 261 Опубликовано 25 сентября 2012

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называют арифметической прогрессией. Число, которое каждый раз прибавляют к предыдущему числу, называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

Так, числовая последовательность а₁;  а₂;  а₃;  а₄;  а₅; … а_n будет являться арифметической  прогрессией, если а₂ = а₁ + d;

а₃ = а₂ + d;

a₄ = a₃ + d;

a₅ = a₄ + d;

………….

a_n = a_n-1 + d

Говорят, что дана арифметическая прогрессия с общим членом а_n. Записывают: дана арифметическая  прогрессия {a_n}.

Арифметическая прогрессия считается определенной, если известны ее первый член a₁ и разность d.

Примеры арифметической прогрессии

Пример 1.    1; 3; 5; 7; 9;…      Здесь а₁ = 1; d = 2.

Пример 2.   8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;…   Здесь а₁ = 8; d =-3.

Пример 3.   -16; -12; -8; -4;…    Здесь а₁ = -16; d = 4.

Заметим, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

В 1 примере второй член 3 =(1+5):2  ;  т.е. а₂ = (а₁+а₃):2;  третий член   5 =(3+7):2;

т. е. а₃ = (а₂+а₄):2.

Значит, справедлива формула:

Но, на самом деле, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому не только соседних с ним членов, но и равноотстоящих от него членов, т. е.

Обратимся  примеру 2.  Число -1 является четвертым членом арифметической прогрессии и одинаково отстоит от первого и  седьмого членов (а₁ = 8, а₇ = -10).

По формуле (**) имеем:

Выведем формулу n- го члена арифметической прогрессии.

Итак, второй член арифметической прогрессии мы получим, если к первому прибавим разность d; третий член получим, если ко второму прибавим разность d или к первому члену прибавим две разности d; четвертый член получим, если к третьему прибавим разность d или к первому прибавим три разности d и так далее.

Вы уже догадались: а₂ = а₁ + d;

a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d;

a₄ = a₃ + d = a₁ + 3d;

…………………….

a_n = a_n-1 + d = a₁ + (n-1) d.

Полученную формулу a_n = a₁ + (n-1)d               (***)

называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Теперь поговорим о том, как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии. Обозначим эту сумму через S_n.

От перестановки мест слагаемых значение суммы не изменится, поэтому ее можно записать двумя способами.

S_n = a₁ + a₂ + a₃  + a₄ + … + a_n-3 + a_n-2 + a_n-1+ a_n                    и

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 + a_n-3 + …. ..+ a₄ + a₃ + a₂ + a₁

Сложим почленно эти два равенства:

2S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + (a₃ + a_n-2) + (a₄ + a_n-3) + …

Значения в скобках равны между собой, так как являются суммами равноотстоящих членов ряда, значит, можно записать: 2S_n = n· (a₁ + a_n).

Получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                         (****)

Если заменим а_n  значением а₁ + (n-1) d    по формуле  (***), то получим еще одну формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

                (*****)

Арифметическая прогрессия: определение, формулы, свойства

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему плюс постоянное слагаемое.

Общий вид арифметической прогрессии

a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, … a₁ + (n – 1) d, …

d – шаг или разность прогрессии; это и есть постоянное слагаемое.

Члены прогрессии:

• a₁
• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d
• и т.д.

Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.

Свойства и формулы арифметической прогрессии

1. Нахождение общего n-ого члена (a_n)

• a_n = a_n-1 + d
• a_n = a₁ + (n – 1) d
• a_n = a_m – (m – n) d

2. Разность прогрессии

d = a_n – a_n-1

Также для нахождения шага используется такая формула:

3. Характеристическое свойство

Последовательность чисел a₁, a₂, a₃ … является арифметической прогрессией, если для любого ее члена выполняется следующее условие:

4. Сумма первых членов прогрессии

Чтобы найти сумму первых членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться формулой:

• n – количество суммируемых членов.

Если a_n заменить на a₁ + (n – 1) d, то получится:

5. Сумма членов прогрессии с n-ого по m-ный

• (m – n + 1) – количество суммируемых членов.

Если a_m заменить на a_n + (m – n) d, то получим:

6. Сходимость прогрессии

Арифметическая прогрессия сходится при d = 0, во всех остальных случаях она расходится.

При этом, если:

• d > 0, прогрессия называется возрастающей;
• d < 0 – убывающей;
• d = 0 – стационарной.

Подготовка к ОГЭ. Последовательности. Арифметическая прогрессия.

Любой ученик девятого класса при желании легко сможет понять, что такое арифметическая или геометрическая прогрессия. Решение большинства задач на тему прогрессий из заданий ОГЭ по математике тоже не вызовет трудностей. Однако есть ряд задач, требующих понимания правильного использования формул прогрессий. Поэтому разберёмся, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии и как применяются формулы этих прогрессий.

Запишем произвольный набор чисел, например: 2; 5; 8; 12; 19; 25;… Есть ли какая либо связь между этими числами? Как бы мы не пытались найти связь или закономерность, обнаружить этого нам не удастся. Единственное, что мы сможем сделать – это пронумеровать по порядку все числа. Тогда каждое число будет иметь свой порядковый номер, например, под номером 4 находится только число 12, и ни какое другое и т.д.

Набор чисел мы сможем рассматривать просто как числовую последовательность.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Теперь рассмотрим пару других наборов чисел, точнее, пару последовательностей: 

-1; 2; 3; 4; 5; 6; …

 — 5; 10; 15; 20; 25; … В этих последовательностях, кроме того, что каждое число или каждый элемент стоит на определённом месте, можно заметить и некоторую закономерность. В первой последовательности каждый следующий элемент на единицу больше предыдущего. Во второй последовательности каждый следующий элемент на 5 больше предыдущего. В обеих последовательностях каждый следующий элемент, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число.

Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. 

 Сформулируем более точно определение арифметической прогрессии. 

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый элемент которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. 

Число d может быть положительным, в рассмотренных выше арифметических прогрессиях d=1 и d=5. Число d может быть отрицательным, например, прогрессия 100; 90; 80; 70;… Здесь число d = — 10. Легко можно заметить, что если разность прогрессии, число d , больше нуля, то прогрессия возрастающая. Если разность прогрессии меньше нуля, то прогрессия убывающая .

Если мы знаем, как образуется прогрессия и хотим записать некоторую прогрессию, которая начинается, например, с числа 8 и имеет разность прогрессии d = 4, то мы легко запишем первые её члены – 8; 12; 16; 20;… А если нам необходимо узнать член прогрессии под номером, например, 50. Прибавлять по 4 очень долго. В этом случае используют формулу аn = a1 +(n-1)d. 

Для нашей задачи а50 = a1+(50 – 1)*4= 8 +49*4=204. На 50 месте будет находиться число 204.

Формулу аn = a1 +(n-1)d (1) называют уравнением арифметической прогрессии. Эту формулу используют при решении самых разных задач на арифметическую прогрессию.

Вспомним ещё одну формулу арифметической прогрессии. Начнём с интересной задачи. Допустим, есть последовательность — 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;…..98; 99; 100. и необходимо найти сумму всех её чисел. Заданная последовательность – это арифметическая прогрессия и нам необходимо найти сумму ста её чисел. Если будем складывать числа по порядку, то это займёт очень много времени. Давайте сделаем по-другому. Первое и последнее число в сумме дают 101, второе и предпоследнее в сумме также дают 101, третье и пред предпоследнее опять в сумме дают 101. Значит, объединяя определённым образом числа в пары, в сумме всегда, для данной прогрессии, будем получать 101. А сколько получится пар? Не сложно заметить, что пар будет ровно 50. Тогда сумма заданной прогрессии будет 101*50=5050.

Есть несколько предположений, легенд, по вопросу — кто первый начал считать, таким образом, сумму нескольких членов арифметической прогрессии. Возможно, это был великий математик Карл Гаус или строители египетских пирамид ( зная количество блоков в первом и последнем ряду, а также количество рядов можно рассчитать общее количество блоков) или математики древней Греции. 

Формула суммы нескольких членов арифметической прогрессии является второй основной формулой арифметической прогрессии. Sn = (2a1+d(n-1))*n/2 (2)

Данная формула легко выводится, если рассуждать, как мы рассуждали выше, при расчёте суммы прогрессии от 1 до 100. Sn =( a1 +an)*n/2. Подставляя значение a n из формулы (1), получаем формулу (2).

В указанном видео https://youtu.be/fwWbim7yg1w  мы решаем задачи на последовательности чисел и на арифметическую прогрессию. В задачах на прогрессию рассмотрели, как правильно использовать две основные формулы, указанные в статье.

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Формулы арифметической прогрессии: Загрузить все формулы AP

Формулы арифметической прогрессии : Арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность — это последовательность чисел, такая, что разница между последовательными членами является постоянной. Например: 3, 6, 9, 12, 15,…, 30. Здесь каждое последующее число отличается от предыдущего на 3. Итак, это арифметическая прогрессия с общей разницей 3.

В этой статье мы предоставили определение арифметической прогрессии вместе со всей формулой AP и решенными примерами.

Формулы арифметической прогрессии: что такое арифметическая прогрессия?

Что такое AP? Арифметическая последовательность или прогрессия определяется как последовательность чисел, в которой для каждой пары следующих друг за другом членов мы получаем второе число, добавляя фиксированное число к первому. Фиксированное число, которое должно быть добавлено к любому члену AP, чтобы получить следующий член, известно как общая разница арифметической прогрессии.

AP полная форма — это арифметическая прогрессия.В AP есть 3 основных термина, которые используются для решения математических задач:

• (i) Общая разница (d)
• (ii) n-й срок (a _n )
• (iii) Сумма первых n условий (S _n )

Эти три термина определяют свойство Арифметическая прогрессия. Мы можем понять концепцию арифметической прогрессии на примере.

2, 6, 10, 14, 18, 22,…, 50

Эта AP имеет первый член, a = 2, общую разность, d = 4, и последний член, l = 50.

5, 10, 15, 20, 25, 30,…, 60

Эта AP имеет первый член, a = 5, общую разность, d = 5, и последний член, l = 60.

Получите формулы алгебры ниже:

Формулы арифметической прогрессии

Это основная формула арифметической прогрессии Класс 10:

• (i) Последовательность
• (ii) Общая разница
• (iii) n-й член AP
• (iv) n-й член из последнего члена
• (v) Сумма первых n членов

Давайте посмотрим все формулы подробно.

Формула серии AP

Бесконечная арифметическая последовательность обозначается следующей формулой:

Поведение последовательности зависит от значения общей разности d.

• (i) Если значение «d» равно положительному , то члены увеличиваются до положительной бесконечности .
• Если значение «d» равно отрицательному , то члены увеличиваются до отрицательной бесконечности .

Формула общей разности

Общим отличием является фиксированная константа, значение которой остается неизменным на протяжении всей последовательности. Это разница между любыми двумя последовательными сроками AP. Формула общей разницы AP:

Здесь _{n + 1} и _n — два последовательных элемента AP.

Энтерпрайз AP Formula

Формула для нахождения n-го члена AP:

Здесь,

a = Первый член
d = Общая разница
n = Количество терминов
a _n = n-й член

90

Давайте разберемся с этой формулой на примере:

Пример: Найдите n-й член AP: 5, 8, 11, 14, 17,…, a _n , если количество членов равно 12.

Решение: AP: 5, 8, 11, 14, 17,…, a _n (дано)
n = 12
По известной нам формуле a _n = a + (n — 1) d
Первый член, a = 5
Общая разница, d = (8-5)
= 3
Следовательно, a _n = 5 + (12-1) 3
= 5 + 33
= 38

Сумма n членов формулы AP

Для AP сумма первых n членов может быть вычислена, если известны первый член и общее количество членов.Формула для суммы AP:

Здесь,

S = Сумма n членов AP

n = Общее количество терминов

a = Первый член

d = Общая разница

Формула суммы арифметической прогрессии, когда даны первые и последние члены:

Когда мы знаем первый и последний член AP, мы можем вычислить сумму AP по следующей формуле:

Деривация:

Рассмотрим AP, состоящий из n членов, имеющих последовательность a, a + d, a + 2d,…, a + (n — 1) × d
Сумма первых n членов = a + (a + d) + (a + 2г) + ………. + [a + (n — 1) × d] —— (i)
Записывая члены в обратном порядке, получаем:
S = [a + (n — 1) × d] + [a + (n — 2 ) × d] + [a + (n — 3) × d] + ……. (а) —— (ii)

Складывая оба уравнения почленно, получаем:

2S = [2a + (n — 1) × d] + [2a + (n — 1) × d] + [2a + (n — 1) × d] +… + [2a + (n — 1) × d] (n-член)
2S = n × [2a + (n — 1) × d] S = n / 2 [2a + (n — 1) × d]

Давайте разберемся с этой формулой на примерах:

Пример 1: Найдите сумму следующей арифметической прогрессии: 9, 15, 21, 27,… Общее количество членов 14.

Решение: AP = 9, 15, 21, 27,…
Имеем: a = 9, d = (15 — 9) = 6 и n = 14
По формуле суммы AP мы знаем:
S = n / 2 [2a + (n — 1) × d]
= 14/2 [2 x 9 + (14 — 1) x 6] = 14/2 [18 + 78]
= 14/2 [96]
= 7 x 96
= 672
Следовательно, сумма AP равна 672.

Пример 2: Найдите сумму следующих AP: 15, 19, 23, 27,…, 75.

Решение: AP: 15, 19, 23, 27,…, 75
Имеем: a = 15, d = (19-15) = 4 и l = 75
Нам нужно найти n.Итак, используя формулу: l = a + (n — 1) d, получаем
75 = 15 + (n — 1) x 4
60 = (n — 1) x 4
n — 1 = 15
n = 16
Здесь даны первый и последний члены, поэтому по формуле суммы AP мы знаем:
S = n / 2 [первый член + последний член]
Подставляя значения, мы получаем:
S = 16/2 [15 + 75] = 8 x 90
= 720
Следовательно, сумма AP равна 720.

n-й срок из формулы последнего срока

Когда нам нужно узнать n-й член AP не с самого начала, а с последнего, мы используем следующую формулу:

Здесь,

a _n = n-й член из последнего

l = последний срок

n = общее количество терминов

d = Общая разница

Список формул арифметической прогрессии

Здесь мы представили все арифметические формулы в таблице ниже для вашего удобства. Ознакомьтесь с этими формулами здесь или вы также можете загрузить их в формате PDF.

Последовательность	a, a + d, a + 2d, ……, a + (n — 1) d,….
Общая разница	d = ( 2 — 1 ), где 2 и 1 являются последовательным и предшествующим членами соответственно.
Общий срок (n th term)	a n = a + (n — 1) d
n th Срок от последний член	a n ‘ = l — (n — 1) d, где l последний член
Сумма первых n членов	S n = n / 2 [2a + (n — 1) d]
Сумма первых n членов, если задан первый и последний член	S n = n / 2 [первый член + последний член]

Загрузить — Формула арифметической прогрессии PDF

Решенные примеры формул, относящихся к арифметической прогрессии

Давайте посмотрим на некоторые примеры арифметической прогрессии с решениями:

Вопрос 1: Первый член арифметической последовательности равен 4, а десятый член — 67. Какая общая разница?

Решение: Пусть первый член будет a, а общая разность d
Используйте формулу для n-го члена: x _n = a + d (n — 1)
Первый член = 4
⇒ a = 4 — —- (1)
Десятый член = 67
⇒ x ₁₀ = a + d (10-1)
= 67
⇒ a + 9d = 67 ——- (2)
Заменить a = 4 из (1 ) в (2)
⇒ 4 + 9d = 67
⇒ 9d = 63
⇒ d = 63 ÷ 9
= 7
. Общая разница равна 7.

Вопрос 2: Какой тридцать второй член арифметической последовательности -12, -7, -2, 3,…?

Решение: В этой последовательности разница между каждой парой чисел равна 5.
Значения a и d:
a = -12 (первый член)
d = 5 («общая разница»)
Правило может быть вычислено:
x _n = a + d (n — 1 )
= -12 + 5 (n — 1)
= -12 + 5n — 5
= 5n — 17
Итак, 32-й член:
x ₃₂ = 5 × 32-17
= 160-17
= 143

Вопрос 3: Какой двадцатый член арифметической последовательности 21, 18, 15, 12,…?

Решение: Эта последовательность убывающая, поэтому разница между каждой парой чисел составляет -3.
Значения a и d:
a = 21 (первый член)
d = -3 («общая разница»)
Правило может быть вычислено:
x _n = a + d (n-1 )
= 21 + -3 (n-1)
= 21 — 3n + 3
= 24 — 3n
Итак, 20-й член равен:
x ₂₀ = 24 — 3 × 20
= 24-60
= -36

Вопрос 4: Какова сумма первых тридцати членов арифметической последовательности: 50, 45, 40, 35,…?

Решение: 50, 45, 40, 35,…
Значения a, d и n:
a = 50 (первый член)
d = -5 (обычная разница)
n = 30 (сколько условия суммирования)

Используя формулу суммы AP — S _n = n / 2 (2a + (n — 1) d), получаем:
S ₃₀ = 30/2 (2 × 50 + 29 × -5))
= 15 (100 — 145)
= 15 × -45
= -675

Вопрос 5: Какова сумма от одиннадцатого до двадцатого (включительно) членов арифметической последовательности: 7, 12, 17, 22,…?

Решение: Дано AP: 7, 12, 17, 22,…
Значения a и d:
a = 7 (первый член)
d = 5 (обычная разница)
Найти сумму от одиннадцатого до двадцатого членов вычитаем сумму первых десяти членов из суммы первых 20 членов

Следовательно, сумма с одиннадцатого по двадцатый слагаемые = 1090 — 295
= 795

Другие важные статьи по математике:

Задачи арифметической прогрессии

Вот несколько вопросов по арифметической прогрессии для практики.

Вопрос 1: Какой седьмой член арифметической прогрессии 2, 7, 12, 17,…? Вопрос 2: Какова сумма первых 50 нечетных положительных целых чисел? Вопрос 3: 13 + 28 + 43 + ⋯ + a n = 68210 Члены n , добавляемые в левой части приведенного выше уравнения, образуют арифметическую прогрессию в этом порядке. Что такое n ? Вопрос 4: Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член и общая разность равны 100.Если n -й член этой прогрессии равен 100 !, найдите n . Вопрос 5: Вы стоите рядом с ведром, и вам поручено собрать 100 картошек, но вы можете нести только одну картошку за раз. Картофель выстроен в линию перед вами, первый картофель находится на расстоянии 1 метра, а каждый последующий картофель расположен еще на расстоянии одного метра. Какое расстояние вы бы преодолели, выполняя эту задачу? Вопрос 6: Решите следующее выражение: (100001 + 100003 + 100005+ + 199999) / (1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 99999) =? Вопрос 7: Для определенной арифметической прогрессии с S 1729 = S 29 , где S n обозначает сумму первых n членов, найдите S 1758 . Вопрос 8: Сунил получил -10 баллов на своем первом экзамене и 15 баллов на 15-м экзамене. Если все его оценки соответствуют арифметической прогрессии с положительной общей разницей, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

Также чек

Часто задаваемые вопросы, связанные с формулами арифметической прогрессии

Вот некоторые из часто задаваемых вопросов:

Q1: Что такое арифметическая прогрессия?

A: Арифметическая прогрессия определяется как последовательность чисел, в которой каждое число отличается от предыдущего на постоянную величину (известную как общее различие).

Q2: Что такое формула арифметической прогрессии?

A: Арифметическая последовательность задается как a, a + d, a + 2d, a + 3d,…. Следовательно, формула для нахождения n-го члена:
a _n = a + (n — 1) × d.
Сумма n членов AP = n / 2 [2a + (n — 1) × d].

Q3: Что такое d в формуле AP?

A: d — общая разница. Арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого получается добавлением константы d к предыдущему члену.

Q4: Какова сумма первых n натуральных чисел?

A: С помощью формулы суммы AP мы можем вычислить сумму первых n натуральных чисел.
S = n (n + 1) / 2

Q5: Какова сумма первых n четных чисел?

A: Пусть сумма первых n четных чисел равна S _n
S _n = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ………………… .. + (2n)
Решение уравнения используя формулу суммы AP, мы получаем:
Сумма n четных чисел = n (n + 1)

Q6: Сколько формул имеется в классе 10 арифметической прогрессии?

A: В основном есть две формулы, связанные с арифметической прогрессией:
(i) n-й член AP
(ii) сумма n членов AP

Теперь вам предоставлена ​​вся необходимая информация о формулах арифметической прогрессии. Мы надеемся, что вы скачали PDF-файл с формулами AP, доступный на этой странице. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией.

Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.

Мы надеемся, что эта подробная статья о формулах AP вам поможет. Если у вас есть какие-либо вопросы по этой статье, свяжитесь с нами через раздел комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.

5127 просмотров

арифметических прогрессий | Блестящая вики по математике и науке

Важная терминология

• Начальный член: В арифметической прогрессии первое число в ряду называется «начальным членом».«
• Общее различие: Значение, на которое увеличиваются или уменьшаются следующие друг за другом члены, называется «общей разницей».

Рекурсивная формула

Мы можем описать арифметическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в арифметической последовательности каждый член задается предыдущим термином с добавленной общей разницей, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

Срок = Предыдущий срок + Общая разница.\ text {Срок} = \ text {Предыдущий термин} + \ text {Общая разница.} Срок = Предыдущий термин + Общая разница.

Короче, с общей разницей ddd, имеем:

an = an − 1 + d.a_n = a_ {n-1} + d.an = an − 1 + d.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

Если мы знаем начальный термин, следующие термины связаны с ним путем повторного добавления общей разницы. Таким образом, явная формула

Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока. \ text {Срок} = \ text {Начальный термин} + \ text {Общая разница} \ times \ text {Число шагов от начального срока}. Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока.

Мы можем записать это с общей разницей ddd как:

an = a1 + d (n — 1).a_n = a_1 + d (n-1) .an = a1 + d (n-1).

Какая последовательность описывается выражением an = 2 + 4 (n − 1) a_n = 2 + 4 (n-1) an = 2 + 4 (n − 1)?

Показать ответ

Последовательность 2,6,10,14,… 2, 6, 10, 14, \ dots2,6,10,14,….

Из явной формулы видно, что начальный член равен 2, а общая разница равна 4.

Какова явная формула арифметической прогрессии 3,6,9,12,… 3, 6, 9, 12, \ dots3,6,9,12,…?

Показать ответ

Используя приведенную выше форму, у нас есть начальный член, a1 = 3a_1 = 3a1 = 3, и общая разница, ddd, равная 3.Таким образом, an = 3 + 3 (n − 1) a_n = 3 + 3 (n-1) an = 3 + 3 (n − 1).

Обратите внимание, что мы можем упростить это выражение до an = 3 + 3n − 3 = 3na_n = 3 + 3n-3 = 3nan = 3 + 3n − 3 = 3n. {\ text {th}} 15-м экзамене.

Если все его оценки соответствуют арифметической прогрессии с положительной общей разницей, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

Арифметическая прогрессия — определения, формулы и решенные задачи | Алгебра — Cuemath

Содержание

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». Студенты могут исследовать огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.{th} \) член данной последовательности?

Как это сделать, можно узнать из этой статьи.

---

Определение арифметической прогрессии

Мы можем определить арифметическую прогрессию двумя способами:

• Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой различия между каждыми двумя последовательными членами одинаковы.
  
• Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, кроме первого, получается добавлением фиксированного числа к его предыдущему члену.

Например:

Мария только что завершила свой MCA и была нанята на работу, которая оплачивается рупий. \ (60,000 \) в месяц с годовым приростом рупий. \ (10,000 \) в месяц. Но она ожидала, что начальная зарплата составит рупий. \ (1,00,000 \) в месяц.

Она хочет знать, сколько лет ей понадобится, чтобы получить желаемую зарплату.

Ее зарплата в месяц будет следующей:

Она поняла, что получит желаемую зарплату в размере рупий.\ (1,00,000 \) в месяц на пятом году работы на этой должности.

Если мы рассмотрим приведенную выше последовательность, мы можем заметить, что каждое число, кроме первого числа, получается путем добавления фиксированной суммы рупий. \ (10000 \) к предыдущему номеру.

Таким образом, согласно определению арифметической прогрессии, приведенная выше последовательность является арифметической прогрессией.

Фиксированное число \ (10,000 \) называется «общей разницей».

Вот вам иллюстрация.

Мы можем ввести здесь последовательность чисел и увидеть, является ли эта последовательность арифметической прогрессией или нет.

---

Арифметическая прогрессия — терминология

С этого момента мы будем сокращать арифметическую прогрессию как AP.

Вот еще несколько примеров арифметических прогрессий:

\ [\ begin {array} {l}
6,13,20,27,34, \ ldots \\ [0,3 см]
91,81,71,61,51, \ ldots \ [0,3 см]
\ пи, 2 \ пи, 3 \ пи, 4 \ пи, 5 \ пи, \ ldots \\ [0,3 см]
— \ sqrt {3}, — 2 \ sqrt {3}, — 3 \ sqrt {3}, — 4 \ sqrt {3}, — 5 \ sqrt {3}, \ ldots
\ end {array} \]

AP обычно отображается следующим образом:

\ [a_1, a_2, a_3, \ ldots \]

Используется следующая терминология.

Первый семестр

Как следует из названия, первый член AP — это первое число в прогрессии.

Обычно обозначается как \ (a_1 \) (или) \ (a \).

Например, в последовательности \ (6,13,20,27,34, \ ldots \) ​​первым членом будет \ (6 \).

, т.е. \ (a_1 = 6 \) (или) \ (a = 6 \).

CLUEless по математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Arithmetic Progressions , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

Общая разница

Мы знаем, что арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, кроме первого, получается добавлением фиксированного числа к его предыдущему члену.

Здесь «фиксированное число» называется «общей разницей» и обозначается \ (d \).

то есть, если первый член \ (a_1 \), то:

• второй член \ (a_1 + d \).
• третий член равен \ (a_1 + d + d = a_1 + 2d \).
• четвертый член равен \ (a_1 + 2d + d = a_1 + 3d \) и так далее.

Например, в последовательности \ (6,13,20,27,34, \ ldots \), каждый член, кроме первого, получается добавлением \ (7 \) к его предыдущему члену.

Таким образом, общая разница равна \ (d = 7 \).

В общем, общая разница — это разница между каждыми двумя последовательными терминами AP.

Таким образом, формула для вычисления общей разницы AP:

Общие ошибки

1. Ошибка: Общая разница всегда положительна.

   Факт: Общая разница не всегда должна быть положительной.

   Например, в последовательности \ (16, 8, 0, -8, -16, …. \) общая разница составляет

   \ (d \) = 8-16 = 0-8 = -8-0 = -16 — (-8) = … = -8

   Здесь общая разница отрицательная.

2. Ошибка: Общее различие AP — это разница между двумя последовательными терминами AP в любом порядке.{th} \) срок

   AP \ (а \) \ (г \) \ (a_n = a + (n-1) d \) \ (91,81,71,61,51, \ ldots \) ​​ \ (91 \) \ (- 10 \) \ (\ begin {align}
   -10n + 101
   \ end {align} \) \ (\ пи, 2 \ пи, 3 \ пи, 4 \ пи, 5 \ пи, \ ldots \) ​​ \ (\ pi \) \ (\ pi \)
   \ (\ begin {align}
   \ pi n
   \ end {align} \) \ (- \ sqrt {3}, — 2 \ sqrt {3}, — 3 \ sqrt {3}, — 4 \ sqrt {3}, \ ldots \) ​​ \ (- \ sqrt {3} \) \ (- \ sqrt {3} \)
   \ (\ begin {align}
   — \ sqrt {3} n
   \ end {align} \)

   ---

   Арифметическая прогрессия — формула суммы

   Рассмотрим арифметическую прогрессию (AP), первый член которой равен \ (a_1 \) (или) \ (a \), а общая разница — \ (d \).{th} \) срок, \ (a_n \) известен:

\ [S_n = \ frac {n} {2} [a_1 + a_n] \]

Пример :

Г-н Каран зарабатывает рупий. \ (4,00,000 \) в год, а его зарплата увеличивается на рупий. \ (50,000 \) в год. Тогда сколько он зарабатывает в конце первых \ (3 \) лет?

Решение :

Сумма, заработанная мистером Караном за первый год, составляет \ (a = 4,00,000 \).

Годовое приращение составляет \ (d = 50 000 \).

Мы должны рассчитать его заработок за \ (3 \) года. Итак, \ (n = 3 \).

Подставляя эти значения в формулу суммы арифметической прогрессии,

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} [2 a + (n-1) d] \\ [0,3 см]
S_3 & = \ frac {3} {2} (2 (400000) + (3-1) (50000)) \\ [0,3 см]
& = \ frac {3} {2} (800000+ 100000) \\ [0,3 см]
& = \ frac {3} {2} (

0) \\ [0,3 см]


& = 1350000
\ end {align} \]

\ (\ поэтому \ text {Он заработал рупий.13,50,000 за 3 года} \)

Мы можем получить тот же ответ, рассуждая также следующим образом:

Годовая сумма, заработанная г-ном Караном за первые три года, выглядит следующим образом.

Это можно вычислить вручную, поскольку \ (n \) — меньшее значение.

Но приведенные выше формулы полезны, когда \ (n \) — большее значение.

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации.{th} \) срок AP

\ (a_n = a + (n-1) d \)

Сумма \ (n \) условий AP

\ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \ end {align} \)

---

Решенные примеры

Вот некоторые задачи арифметической прогрессии / суммы арифметической прогрессии.

Найдите общий член AP \ (- 3, — \ dfrac {1} {2}, 2… \).

Решение:

Данная последовательность:

\ [- 3, — \ frac {1} {2}, 2… \]

Здесь первый член:

\ [a = -3 \]

Общая разница:

\ [d = — \ frac {1} {2} — (- 3) = — \ frac {1} {2} +3 = \ frac {5} {2} \]

Общий срок AP рассчитывается по формуле:

\ [\ begin {align}
a_n & = a + (n-1) d \\ [0,3 см]
a_n & = -3 + (n-1) \ frac {5} {2} \\ [0,3 см]
& = -3+ \ frac {5} {2} n — \ frac {5} {2} \\ [0.3см]
& = \ frac {5} {2} n — \ frac {11} {2}
\ end {align} \]

Следовательно, общий срок данного AP:

\ (a_n = \ frac {5} {2} n — \ frac {11} {2} \)

Какой член AP \ (3, 8, 13, 18, … \) равен \ (78 \)?

Решение:

Данная последовательность:

\ [3,8,13,18, … \]

Здесь первый член —

.

\ [a = 3 \]

Общая разница:

\ [d = 8-3 = 13-8 =.{th} \ text {term} \)

Найдите сумму AP \ (2, 5, 8,… \) до \ (10 ​​\) членов.

Решение:

Данная последовательность:

\ [2, 5, 8,… \]

Здесь первый член —

.

\ [a = 2 \]

Общая разница:

\ [d = 5-2 = 8-5 = … = 3 \]

Нам нужно найти сумму \ (10 ​​\) членов. Итак

\ [n = 10 \]

Подставьте все эти значения в формулу суммы арифметической прогрессии:

\ [\ begin {align}
S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \\ [0.3см]
S_ {10} & = \ frac {10} {2} (2 (2) + (10-1) 3) \\ [0,3 см]
& = 5 (4 + 9 (3)) \\ [0,3 см]
& = 5 (4 + 27) \\ [0,3 см]
& = 5 (31) \ [0,3 см]
& = 155
\ end {align} \]

\ (\ text {Сумма 10 членов данной AP} = 155 \)

Аналитический центр

1. Каков общий член AP \ (16,13,10, \ ldots \)?
2. Проверьте, является ли \ (301 \) термином для AP \ (5,11,17,23, \ ldots \) ​​
3. Какова сумма первых \ (50 \), кратных \ (3 \)?
4. Сколько чисел, кратных \ (4 \), находится между \ (8 \) и \ (200 \)?
Практические вопросы

---

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников.Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое арифметическая прогрессия с примером?

Мы можем определить арифметическую прогрессию двумя способами.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой различия между каждыми двумя последовательными членами одинаковы.

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, кроме первого, получается добавлением фиксированного числа к его предыдущему члену.

Вот еще несколько примеров арифметической прогрессии:

\ [\ begin {array} {l}
6,13,20,27,34, \ ldots \\ [0,3 см]
91,81,71,61,51, \ ldots \ [0,3 см]
\ пи, 2 \ пи, 3 \ пи, 4 \ пи, 5 \ пи, \ ldots \\ [0,3 см]
— \ sqrt {3}, — 2 \ sqrt {3}, — 3 \ sqrt {3}, — 4 \ sqrt {3}, — 5 \ sqrt {3}, \ ldots
\ end {array} \]

Мы также можем найти некоторые вопросы по арифметической прогрессии в разделах «Решенные примеры» и «Think Tank» на этой странице.

2. Какие бывают виды арифметической прогрессии?

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой различия между каждыми двумя последовательными членами одинаковы.

Арифметическая прогрессия не подразделяется ни на какие другие. Однако есть три типа прогрессий. Их:

• Арифметические прогрессии
• Геометрические прогрессии
• Гармонические прогрессии

3. Какова формула суммы арифметической прогрессии?

Формулы, относящиеся к арифметической прогрессии для класса 10 ^th :

Сумма \ (n \) условий AP

\ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \ end {align} \)

Сумма \ (n \) условий AP

\ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (2a + (n-1) d) \ end {align} \)

Сумма \ (n \) условий AP

\ (\ begin {align} S_n & = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n) \ end {align} \)


Мы также можем увидеть задачи арифметической прогрессии / суммы арифметической прогрессии в этой статье в разделе практических вопросов.

4. Где используется арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия используется, когда мы придумываем последовательность чисел, в которой каждые два последовательных члена имеют одинаковую разницу.

Вы можете обратиться к разделу «Определение арифметической прогрессии» на этой странице за реальным примером.


Progressions (AP, GP, HP) — GeeksforGeeks

Progressions (или Последовательности и серии) — это числа, расположенные в определенном порядке, так что они образуют предсказуемый порядок.Под предсказуемым порядком мы подразумеваем, что по некоторым числам мы можем найти следующие числа в ряду.

Арифметическая прогрессия (AP)

Последовательность чисел называется арифметической прогрессией, если разница между любыми двумя последовательными членами всегда одинакова. Проще говоря, это означает, что следующее число в серии рассчитывается путем добавления фиксированного числа к предыдущему числу в серии. Это фиксированное число называется общей разницей.
Например, 2,4,6,8,10 является AP, потому что разница между любыми двумя последовательными членами в серии (общая разница) одинакова (4-2 = 6-4 = 8-6 = 10-8 = 2 ).

Если «a» — это первый член, а «d» — общая разница,
• n-й член AP = a + (n-1) d
• Среднее арифметическое = Сумма всех членов в AP / Количество терминов в AP
• Сумма n членов AP = 0,5 n (первый член + последний член) = 0,5 n [2a + (n-1) d]

Геометрическая прогрессия (GP)

Последовательность числа называется геометрической прогрессией, если соотношение любых двух последовательных членов всегда одинаково. Проще говоря, это означает, что следующее число в серии вычисляется путем умножения фиксированного числа на предыдущее число в серии.Это фиксированное число называется обычным отношением.
Например, 2,4,8,16 — это GP, потому что соотношение любых двух последовательных членов в серии (общая разница) одинаково (4/2 = 8/4 = 16/8 = 2).

Если ‘a’ — первый член, а ‘r’ — обычное отношение,


• n-й член GP = ar ^n-1
• Среднее геометрическое = n-й корень произведения n членов в GP
• Сумма n членов GP (r <1) = [a (1 - r ⁿ )] / [1 — r]
• Сумма n членов GP (r> 1) = [a (r ⁿ — 1)] / [r — 1]
• Сумма бесконечных членов GP (r <1) = (a) / (1 - r)

Гармоническая прогрессия (HP)

Последовательность чисел называется гармонической прогрессией, если величина, обратная членам, находится в AP.Проще говоря, a, b, c, d, e, f находятся в HP, если 1 / a, 1 / b, 1 / c, 1 / d, 1 / e, 1 / f находятся в AP.

Для двух терминов «a» и «b»
• Среднее гармоническое = (2 ab) / (a ​​+ b)

Для двух чисел, если A, G и H являются соответственно средними арифметическими, геометрическими и гармоническими, тогда

• A ≥ G ≥ H
• AH = G ² , т. е. A, G, H находятся в GP

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите n-й член для AP: 11, 17, 23, 29,…
Решение: Здесь a = 11, d = 17 — 11 = 23 — 17 = 29 — 23 = 6
Мы знаем, что n-й член AP равен a + (n — 1) d
=> n-й член для данной AP = 11 + (n — 1) 6
=> n-й член для данной AP = 5 + 6 n
Мы можем проверить ответ, подставив значения ‘n’.
=> n = 1 -> Первый член = 5 + 6 = 11
=> n = 2 -> Второй член = 5 + 12 = 17
=> n = 3 -> Третий член = 5 + 18 = 23
и так далее…

Вопрос 2: Найдите сумму AP в приведенном выше вопросе до первых 10 членов.
Решение: Из приведенного выше вопроса
=> n-й член для данной AP = 5 + 6 n
=> Первый член = 5 + 6 = 11
=> Десятый член = 5 + 60 = 65
=> Сумма из 10 членов AP = 0,5 n (первый член + последний член) = 0.5 x 10 (11 + 65)
=> Сумма 10 членов AP = 5 x 76 = 380

Вопрос 3: Для элементов 4 и 6 убедитесь, что A ≥ G ≥ H.
Решение: A = Среднее арифметическое = (4 + 6) / 2 = 5
G = Среднее геометрическое = = 4,8989
H = Среднее гармоническое = (2 x 4 x 6) / (4 + 6) = 48/10 = 4,8
Следовательно , A ≥ G ≥ H

Вопрос 4: Найдите сумму ряда 32, 16, 8, 4,… до бесконечности.
Решение: Первый член, a = 32
Общее отношение, r = 16/32 = 8/16 = 4/8 = 1/2 = 0.5
Мы знаем, что для бесконечного GP Сумма членов = a / (1 — r)
=> Сумма членов GP = 32 / (1 — 0,5) = 32 / 0,5 = 64

Вопрос 5: Сумма трех чисел в GP равна 26, а их произведение — 216. ind числа.
Решение: Пусть числа будут a / r, a, ar.
=> (a / r) + a + ar = 26
=> a (1 + r + r ² ) / r = 26
Также указано, что product = 216
=> (a / r) x (a) x (ar) = 216
=> a ³ = 216
=> a = 6
=> 6 (1 + r + r ² ) / r = 26
=> (1 + r + r ² ) / r = 26/6 = 13/3
=> 3 + 3 r + 3 r ² = 13 r
=> 3 r ² — 10 r + 3 = 0
=> (r — 3) (r — (1/3)) = 0
=> r = 3 или r = 1/3
Таким образом, требуются числа 2, 6 и 18.

Проблемы развития (AP, GP, HP) | Set-2

Эта статья была предоставлена ​​ Nishant Arora

Пожалуйста, напишите комментарии, если у вас есть какие-либо сомнения по теме, обсуждаемой выше, или если вы столкнулись с трудностями в любом вопросе или если вы хотите обсудить вопрос кроме упомянутых выше.

Напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное или хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсужденной выше

сумма арифметической прогрессии

Сумма арифметической прогрессии обозначается $ S_ {n} $.Это не что иное, как сумма n членов A.P. с первым термином «a» и общей разницей «d».
Формула для суммы n членов AP:
$ S_ {n} = \ frac {n} {2} [2a + (n-1) d] $

$ S_ {n} = \ frac {n} { 2} [a + l] $, где l = последний член = a + (n -1) d

Доказательство: Пусть $ a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, …, a_ {n} $ — точка доступа с первым членом как ‘a’ и общим отличием как ‘d’.
$ а_ {1} $ = а; $ a_ {2} $ = а + г; $ a_ {3} $ = a + 2d; … $ a_ {n} $ = a + (n -1) d
$ S_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} +… + a_ {n-1} + a_ {n} $
⇒ $ S_ {n} $ = a + (a + d) + (a + 2d) +… + [a + (n-2) d] + [a + (n -1) d] —— (i)
Запишите приведенное выше уравнение в обратном порядке:
$ S_ {n} $ = [a + (n -1) d] + [ a + (n-2) d] +… + (a + 2d) + (a + d) + a —— (ii)
Теперь сложите два уравнения,
2 $ S_ {n} $ = [ 2a + (n -1) d] + [2a + (n-1) d] +… + [2a + (n-1) d]
[2a + (n-1) d] повторяет ‘n’ раз
∴ 2 $ S_ {n} $ = n [2a + (n -1) d]
$ S_ {n} = \ frac {n} {2} $ [2a + (n -1) d]

С момента последнего член l = a + (n — 1) d
∴ $ S_ {n} = \ frac {n} {2} $ [a + a + (n -1) d]

$ S_ {n} = \ frac {n} {2} $ [a + l]

Примечание: В приведенной выше формуле 4 неизвестных величины.Итак, если даны какие-либо три, мы можем найти четвертый.
Если дана сумма $ S_ {n} $ n элементов последовательности, то n-й член $ a_ {n} $ последовательности может быть определен с помощью следующей формулы.
$ a_ {n} = S_ {n} — S_ {n — 1} $


Решенные примеры на сумму арифметической прогрессии

1) 50,46,42,… 10 членов.
Решение: 50,46,42,… 10 членов
Формула для нахождения суммы:
$ S_ {n} = \ frac {n} {2} $ [2a + (n -1) d]

Количество термины = n = 10; Первый член = а = 50; Общая разница = d = 46 — 50 = -4
Поместите все заданные значения в формулу, которую мы получим,
$ S_ {10} = \ frac {10} {2} [2 \ times $ 50 + (10 -1) (-4)]
$ S_ {10} $ = 5 [100 + (9) (- 4)]
$ S_ {10} $ = 5 [100 + (-36)]
$ S_ {10} $ = 5 (64)
$ S_ {10} $ = 320

2) 3, $ \ frac {9} {2} $, 6, $ \ frac {15} {2} $,… 25 членов.


Решение: 3, $ \ frac {9} {2} $, 6, $ \ frac {15} {2} $,… 25 членов.
Формула для вычисления суммы:
$ S_ {n} = \ frac {n} {2} $ [2a + (n -1) d]

Количество членов = n = 25; Первый член = а = 3; Общая разница = d =, $ \ frac {9} {2} $ — 3 = $ \ frac {3} {2} $
Поместите все заданные значения в полученную формулу,
$ S_ {25} = \ frac {25} {2} [2 \ times 3 + (25 -1) \ frac {3} {2} $]
$ S_ {25} $ = 12,5 [6 + (24) (1,5)]
$ S_ { 25} $ = 12,5 [6 + 36]
$ S_ {25} $ = 12,5 (42)
$ S_ {25} $ = 525

3) В A.{2}} {2} + \ frac {13} {2} \ times24 $.

$ S_ {24} $ = 1080
Как мы знаем,
$ a_ {n} = S_ {n} — S_ {n -1} $
$ a_ {25} = S_ {25} — S_ {24 } $
$ a_ {25} $ = 1100 — 1080 = 80
∴ 25-й семестр — 80.

Математика в 11-м классе

От суммы арифметической прогрессии до дома

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Арифметические последовательности и серии

Арифметические последовательности

Арифметическая последовательность Последовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущего числа и некоторой константы d ., Или арифметическая прогрессия, используемая при обращении к арифметической последовательности., Представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее число является суммой предыдущее число и некоторая константа d .

an = an − 1 + d Арифметическая последовательность

И поскольку an − an − 1 = d, константа d называется общей разностью Константа d , которая получается вычитанием любых двух последовательных членов арифметической последовательности; an − an − 1 = d .. Например, последовательность положительных нечетных целых чисел является арифметической последовательностью,

1,3,5,7,9,…

Здесь a1 = 1, а разница между любыми двумя последовательными членами равна 2. Мы можем построить общий член an = an − 1 + 2, где,

a1 = 1a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5a4 = a3 + 2 = 5 + 2 = 7a5 = a4 + 2 = 7 + 2 = 9 ⋮

В общем, учитывая первый член a1 арифметической последовательности и его общую разницу d , мы можем записать следующее:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2da4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3da5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d ⋮

Отсюда мы видим, что любая арифметическая последовательность может быть записана в терминах ее первого элемента, общей разности и индекса следующим образом:

an = a1 + (n − 1) d Арифметическая последовательность

Фактически, любой общий член, линейный в n , определяет арифметическую последовательность.

Пример 1

Найдите уравнение для общего члена данной арифметической последовательности и используйте его, чтобы вычислить его 100 ^{-й член} : 7,10,13,16,19,…

Решение:

Начните с поиска общей разницы,

d = 10-7 = 3

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 3. Последовательность действительно является арифметической прогрессией, где a1 = 7 и d = 3.

an = a1 + (n − 1) d = 7 + (n − 1) ⋅3 = 7 + 3n − 3 = 3n + 4

Следовательно, мы можем написать общий член an = 3n + 4. Уделите минуту, чтобы убедиться, что это уравнение описывает заданную последовательность. Используйте это уравнение, чтобы найти член 100 ^th :

а100 = 3 (100) + 4 = 304

Ответ: an = 3n + 4; а100 = 304

Общая разница арифметической последовательности может быть отрицательной.

Пример 2

Найдите уравнение для общего члена данной арифметической последовательности и используйте его, чтобы вычислить его 75 ^{-й член} : 6,4,2,0, −2,…

Решение:

Начните с поиска общей разницы,

d = 4−6 = −2

Затем найдите формулу для общего члена, здесь a1 = 6 и d = −2.

an = a1 + (n − 1) d = 6 + (n − 1) ⋅ (−2) = 6−2n + 2 = 8−2n

Следовательно, an = 8−2n и член 75 ^th можно рассчитать следующим образом:

a75 = 8−2 (75) = 8−150 = −142

Ответ: an = 8−2n; а100 = −142

Термины между данными членами арифметической последовательности называются средними арифметическими. Термины между данными членами арифметической последовательности.

Пример 3

Найдите все члены арифметической последовательности между a1 = −8 и a7 = 10.Другими словами, найдите все средние арифметические значения между 1 ^-м и 7 ^-м членами.

Решение:

Начните с поиска общей разницы d . В этом случае нам дается первый и седьмой член:

an = a1 + (n − 1) d Используйте n = 7. a7 = a1 + (7−1) da7 = a1 + 6d

Подставляем a1 = −8 и a7 = 10 в приведенное выше уравнение, а затем решаем общую разность d .

10 = −8 + 6d18 = 6d3 = d

Затем используйте первый член a1 = −8 и общую разность d = 3, чтобы найти уравнение для n -го члена последовательности.

an = −8 + (n − 1) ⋅3 = −8 + 3n − 3 = −11 + 3n

При an = 3n − 11, где n — положительное целое число, найдите пропущенные члены.

a1 = 3 (1) −11 = 3−11 = −8a2 = 3 (2) −11 = 6−11 = −5a3 = 3 (3) −11 = 9−11 = −2a4 = 3 (4) — 11 = 12−11 = 1a5 = 3 (5) −11 = 15−11 = 4a6 = 3 (6) −11 = 18−11 = 7} среднее арифметическое a7 = 3 (7) −11 = 21−11 = 10

Ответ: −5, −2, 1, 4, 7

В некоторых случаях первый член арифметической последовательности может не указываться.

Пример 4

Найдите общий член арифметической последовательности, где a3 = −1 и a10 = 48.

Решение:

Чтобы определить формулу для общего члена, нам нужны a1 и d. Линейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an = a1 + (n − 1) d:

{a3 = a1 + (3−1) da10 = a1 + (10−1) d⇒ {−1 = a1 + 2d48 = a1 + 9d Используйте a3 = −1. Используйте a10 = 48.

Исключите a1, умножив первое уравнение на -1, и прибавьте результат ко второму уравнению.

{−1 = a1 + 2d48 = a1 + 9d ⇒ × (−1) + {1 = −a1−2d48 = a1 + 9d¯ 49 = 7d7 = d

Подставляем d = 7 в −1 = a1 + 2d, чтобы найти a1.

−1 = a1 + 2 (7) −1 = a1 + 14−15 = a1

Затем используйте первый член a1 = −15 и общую разность d = 7, чтобы найти формулу для общего члена.

an = a1 + (n − 1) d = −15 + (n − 1) ⋅7 = −15 + 7n − 7 = −22 + 7n

Ответ: an = 7n − 22

Попробуй! Найдите уравнение для общего члена данной арифметической последовательности и используйте его, чтобы вычислить его 100 ^{-й член} : 32,2,52,3,72,…

Ответ: an = 12n + 1; а100 = 51

Арифметическая серия

Арифметический ряд Сумма членов арифметической последовательности.представляет собой сумму членов арифметической последовательности. Например, сумма первых 5 членов последовательности, определенной как an = 2n − 1, выглядит следующим образом:

S5 = Σn = 15 (2n − 1) = [2 (1) −1] + [2 (2) −1] + [2 (3) −1] + [2 (4) −1] + [2 (5) −1] = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Добавлением 5 положительных нечетных целых чисел, как мы сделали выше, можно управлять. Однако рассмотрите возможность добавления первых 100 положительных нечетных целых чисел. Это было бы очень утомительно. Поэтому далее мы разработаем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n членов, обозначенных Sn, любой арифметической последовательности.В целом

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) +… + an

Записывая эту серию в обратном порядке, мы имеем,

Sn = an + (an − d) + (an − 2d) +… + a1

И сложив эти два уравнения вместе, члены, включающие d , прибавляют к нулю, и мы получаем n множителей a1 + an:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) +… + (an + a1) 2Sn = n (a1 + an)

Деление обеих сторон на 2 приводит к формуле для n -й частичной суммы арифметической последовательности Сумма первых n членов арифметической последовательности, заданной формулой: Sn = n (a1 + an) 2.:

Sn = n (a1 + an) 2

Используйте эту формулу для вычисления суммы первых 100 членов последовательности, определенной как an = 2n − 1. Здесь a1 = 1 и a100 = 199.

S100 = 100 (a1 + a100) 2 = 100 (1 + 199) 2 = 10 000

Пример 5

Найдите сумму первых 50 членов заданной последовательности: 4, 9, 14, 19, 24,…

Решение:

Определите, есть ли общее различие между данными терминами.

d = 9−4 = 5

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 5. Последовательность действительно является арифметической прогрессией, и мы можем написать

an = a1 + (n − 1) d = 4 + (n − 1) ⋅5 = 4 + 5n − 5 = 5n − 1

Следовательно, общий член an = 5n − 1. Чтобы вычислить частичную сумму 50 ^-го этой последовательности, нам понадобятся 1 ^-е и 50 ^-е слагаемые:

а1 = 4а50 = 5 (50) -1 = 249

Затем используйте формулу, чтобы определить частичную сумму 50 ^-й заданной арифметической последовательности.

Sn = n (a1 + an) 2S50 = 50. (A1 + a50) 2 = 50 (4 + 249) 2 = 25 (253) = 6,325

Ответ: S50 = 6,325

Пример 6

Вычислить: Σn = 135 (10−4n).

Решение:

В этом случае нас просят найти сумму первых 35 членов арифметической последовательности с общим членом an = 10−4n. Используйте это, чтобы определить 1 ^st и 35 ^th член.

a1 = 10−4 (1) = 6a35 = 10−4 (35) = — 130

Затем используйте формулу для определения частичной суммы 35 ^-го .

Sn = n (a1 + an) 2S35 = 35⋅ (a1 + a35) 2 = 35 [6 + (- 130)] 2 = 35 (−124) 2 = −2,170

Ответ: −2,170

Пример 7

Первый ряд сидений в амфитеатре под открытым небом содержит 26 сидячих мест, второй ряд — 28 сидений, третий ряд — 30 сидячих мест и так далее. Если рядов 18, какова общая вместимость театра?

Рисунок 9.2

Римский театр (Википедия)

Решение:

Начните с поиска формулы, которая дает количество мест в любом ряду.Здесь количество мест в каждом ряду образует последовательность:

26,28,30,…

Обратите внимание, что разница между любыми двумя последовательными членами равна 2. Последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, где a1 = 26 и d = 2.

an = a1 + (n − 1) d = 26 + (n − 1) ⋅2 = 26 + 2n − 2 = 2n + 24

Таким образом, количество мест в каждом ряду равно an = 2n + 24. Чтобы рассчитать общую вместимость 18 рядов, нам нужно вычислить частичную сумму 18 ^th .Для этого нам понадобятся термины 1 ^st и 18 ^th :

а1 = 26а18 = 2 (18) + 24 = 60

Используйте это, чтобы вычислить частичную сумму 18 ^th следующим образом:

Sn = n (a1 + an) 2S18 = 18⋅ (a1 + a18) 2 = 18 (26 + 60) 2 = 9 (86) = 774

Ответ: Всего 774 места.

Попробуй! Найдите сумму первых 60 членов заданной последовательности: 5, 0, −5, −10, −15,…

Ответ: S60 = −8,550

Основные выводы

• Арифметическая последовательность — это последовательность, в которой разница d между последовательными членами является постоянной.
• Общий член арифметической последовательности может быть записан в терминах его первого члена a1, общей разности d и индекса n следующим образом: an = a1 + (n − 1) d.
• Арифметический ряд — это сумма членов арифметической последовательности.
• Частичная сумма n арифметической последовательности может быть вычислена с использованием первого и последнего членов следующим образом: Sn = n (a1 + an) 2.

Тематические упражнения

Часть A: Арифметические последовательности

Запишите первые 5 членов арифметической последовательности, учитывая их первый член и общую разницу.Найдите формулу для его общего члена.

Учитывая арифметическую последовательность, найдите формулу для общего члена и используйте ее для определения члена 100 ^th .

13. −3, −7, −11, −15, −19,…

14. −6, −14, −22, −30, −38,…

15. −5, −10, −15, −20, −25,…

18. −13, 23, 53, 83, 113,…

19. 13, 0, −13, −23, −1,…

20. 14, −12, −54, −2, −114,…

21. 0.8, 2, 3.2, 4.4, 5.6,…

22. 4,4, 7,5, 10,6, 13,7, 16,8,…

23. Найдите положительное нечетное целое число 50 ^-го .

24. Найдите 50 ^-е четное положительное целое число.

25. Найдите 40 ^{-й член} в последовательности, которая состоит из всех остальных положительных нечетных целых чисел: 1, 5, 9, 13,…

26. Найдите 40 ^{-й член} в последовательности, состоящей из всех остальных положительных четных целых чисел: 2, 6, 10, 14,…

27. Какое число представляет собой член 355 в арифметической последовательности −15, −5, 5, 15, 25,…?

28. Какое число является членом −172 в арифметической последовательности 4, −4, −12, −20, −28,…?

29. Учитывая арифметическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = an − 1 + 5, где a1 = 2 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и общую разность d .

30. Учитывая арифметическую последовательность, определяемую рекуррентным соотношением an = an − 1−9, где a1 = 4 и n> 1, найдите уравнение, которое дает общий член в терминах a1 и общей разности d .

Учитывая члены арифметической последовательности, найдите формулу для общего члена.

41. a4 = −2310 и a21 = −252

Найдите все средние арифметические значения между заданными членами.

Часть B: Арифметическая серия

Рассчитайте указанную сумму по формуле для общего члена.

Оценить.

61. ∑n = 1160 (3n)

62. ∑n = 1121 (−2n)

63. ∑n = 1250 (4n − 3)

64. ∑n = 1120 (2n + 12)

65. ∑n = 170 (19−8n)

66. ∑n = 1220 (5 − п)

67. ∑n = 160 (52−12n)

68. ∑n = 151 (38n + 14)

69. ∑n = 1120 (1.5n − 2,6)

70. ∑n = 1175 (-0,2n-1,6)

71. Найдите сумму первых 200 натуральных чисел.

72. Найдите сумму первых 400 натуральных чисел.

Общий член для последовательности положительных нечетных целых чисел задается как an = 2n − 1, а общий член для последовательности положительных четных целых чисел задается как an = 2n. Найдите следующее.

73. Сумма первых 50 положительных нечетных целых чисел.

74. Сумма первых 200 положительных нечетных целых чисел.

75. Сумма первых 50 положительных четных целых чисел.

76. Сумма первых 200 положительных четных целых чисел.

77. Сумма первых k положительных нечетных целых чисел.

78. Сумма первых k положительных четных чисел.

79. Первый ряд сидений в малом театре состоит из 8 посадочных мест. После этого в каждом ряду будет на 3 места больше, чем в предыдущем. Если рядов 12, сколько всего мест в театре?

80. Первый ряд сидений в амфитеатре под открытым небом содержит 42 сиденья, второй ряд — 44 сиденья, третий ряд — 46 сидячих мест и так далее.Если рядов 22, какова общая вместимость театра?

81. Если треугольная стопка кирпичей имеет 37 кирпичей в нижнем ряду, 34 кирпича во втором ряду и так далее, с одним кирпичом наверху. Сколько кирпичей в стопке?

82. В каждом последующем ряду треугольной стопки кирпичей на один кирпич меньше, пока наверху не останется только один кирпич.Сколько рядов в стеке, если всего 210 кирпичей?

83. 10-летний договор о заработной плате предлагает 65 000 долларов в первый год с повышением на 3200 долларов каждый дополнительный год. Определите общую сумму обязательств по заработной плате за 10-летний период.

84. Башня с часами бьет в колокол количество раз, указанное в часах.В час дня он ударяет один раз, в два часа — дважды и так далее. Сколько раз за день башня с часами бьет в колокол?

Часть C: Обсуждение

85. Является ли последовательность Фибоначчи арифметической последовательностью? Объяснять.

86. Используйте формулу для n -й частичной суммы арифметической последовательности Sn = n (a1 + an) 2 и формулу для общего члена an = a1 + (n − 1) d, чтобы получить новую формулу для n -я частичная сумма Sn = n2 [2a1 + (n − 1) d].При каких обстоятельствах эта формула была бы полезной? Объясните на собственном примере.

87. Обсудите методы расчета сумм, в которых индекс не начинается с 1. Например, Σn = 1535 (3n + 4) = 1,659.

88. Известная история связана с плохим поведением Карла Фридриха Гаусса в школе.В наказание учитель поручил ему сложить первые 100 целых чисел. Легенда гласит, что молодой Гаусс правильно ответил в считанные секунды. Каков ответ и как, по-вашему, он смог так быстро найти сумму?

ответов

1. 5, 8, 11, 14, 17; ан = 3n + 2

3. 15, 10, 5, 0, −5; ан = 20−5н

5. 12, 32, 52, 72, 92; an = n − 12

7. 1, 12, 0, −12, −1; ан = 32−12н

9. 1.8, 2,4, 3, 3,6, 4,2; ан = 0,6n + 1,2

21. ан = 1.2n − 0,4; а100 = 119,6

Арифметическая прогрессия и как решить арифметическую прогрессию (AP)

В природе многие вещи следуют этому образцу, например, отверстие в виде сот, Лепестки цветка розы.Подобно этому Арифметическая прогрессия — это тип числового шаблона. В этом номере расположены по шаблону.
Последовательность: это набор чисел, расположенных в определенном порядке. Последовательность:
a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ … .a _n

Например, последовательность нечетных чисел

1, 3, 5, 7 …… ..

Серия: Серия — это несколько терминов в последовательности. Если в последовательности n членов, то сумма n членов обозначается S _n .

S _n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n

Общий n-й член серии AP:

a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,… .., a _n

a, a + d, a + d + d, a + d + d + d, …… ..

а1 = а = а (1-1) d

a2 = a + d = a (2-1) d

a3 = a + 2d = a (3-1) d

a _n = a + (n-1) d

Итак, формула для вычисления n-го члена равна

.

a _n = Первый член + (номер члена — 1) общая разница

Q1: найдите 13 член серии AP

2, 4, 6, 8, 10 …………

Решение:

Первый член a = 2 Общая разница (d) = 4-2 = 2 = 6-4

Итак, примените формулу I.е. а _п = а + (п-1) г

а ₁₃ = 2+ (13-1) 2

а ₁₃ = 26

Q2: Если 11

^{-й член} равен 47, а первый член равен 7. В чем разница между ними?

Решение:

a = 7 a ₁₁ = 47 n = 11 d =?

а ₁₁ = а + (п-1) д

47 = 7 + (11-1) д

47-7 = 10 дней

40 = 10 дней

д = 4

Общая разница (d) = 4.

Сумма первых n членов ряда AP:

Предположим, что это AP серий 1, 2, 3, 4, ……, 49, 50

Таким образом, сумма этих членов составляет S ₅₀ = 1 + 2 + 3 + 4 +….+ 49 + 50 …… (1)

Запишите в обратном порядке получим

S ₅₀ = 50 + 49 + …… + 4 + 2 + 3 + 1 …… (2)

Теперь сложите уравнение 1 и 2

2 S ₅₀ = 51 + 51 + …… + 51 + 51 + 51 + 51 (50 раз)

2S ₅₀ = 50X51

S ₅₀ = 50X51 / 2

Теперь о n условиях AP

Первые n членов серии AP

a, a + d, a + 2d, ………. а + (п-2) г, а + (п-1) г

, поэтому S _n = a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [A + (n-2) d] + [a + (n-1) d]

Запишите в обратном порядке

S _n = [a + (n-1) d] + [a + (n-2) d] + …… + (a + d) + a

Теперь добавьте их

2S _n = [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] + ……… [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] …… (n терминов)

2S _n = n [2a + (n-1) d]

Sn = n / 2 [2a + (n-1) d]

S _n = n / 2 {a + a _n }; где a _n = a + (n-1) d = l (последний член)

Так S _n = n / 2 {a + l)

Q3: Найдите сумму первых 10 членов

11,17, 23, 29,35, …………

Решение:

Из уравнения a = 11 d = 6 n = 10

Таким образом, мы можем использовать формулу S _n = n / 2 (2a + (n-1) d)

S _n = 10/2 (2X 11+ (10-1) 6)

S _n = 5 (22 + 9X6)

S _n = 5 (22 + 54)

S _n = 5 (76)

S _n = 380

Q4: Найдите сумму этой последовательности….