Формули арифметичної прогресії: Формулы и свойства арифметической прогрессии.

ᐉ Арифметична прогресія. Формули та приклади — Математика

Арифметична прогресія. Формули та приклади

Арифметичною прогресією називають послідовність чисел (членів прогресії)

 в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталий доданок, який ще називають кроком або різницею прогресії.

Таким чином, задаючи крок прогресії та її перший член можна знайти будь-який її елемент за формулою

Властивості арифметичної прогресії

1) Кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого номера є середнім арифметичним від попереднього та наступного члена прогресії

Обернене твердження також вірне. Якщо середнє арифметичне сусідніх непарних (парних) членів прогресії рівне члену, який стоїть між ними то дана послідовність чисел є арифметичною прогресією. За цим твердженням дуже просто перевірити будь-яку послідовність.

Також за властивістю арифметичної прогресії, наведену вище формулу можна узагальнити до наступної

В цьому легко переконатися, якщо розписати доданки справа від знака рівності

Її часто застосовують на практиці для спрощення обчислень в задачах.

2) Суму n перших членів арифметичної прогресії обчислюють за формулою

Запам’ятайте добре формулу суми арифметичної прогресії, вона незамінна при обчисленнях та досить часто зустрічається в простих життєвих ситуаціях.

3) Якщо потрібно знайти не всю суму, а частину послідовності починаючи з k-го її члена, то в нагоді Вам стане наступна формула суми

4) Практичний інтерес має відшукання суми n членів арифметичної прогресії починаючи з k-го номера. Для використовуйте формулу

На цьому теоретичний матеріал добігає кінця і переходимо до розв’язування поширених на практиці задач.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Куб числа

Приклад 1. Знайти сороковий член арифметичної прогресії 4;7;…

Розв’язання:

Згідно умови маємо

Визначимо крок прогресії

За відомою формулою знаходимо

 

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: ЛОГАРИФМ числа

Приклад 2. Арифметична прогресія задана третім та сьомим її членом . Знайти перший член прогресії та суму десяти.

Розв’язання:

Розпишемо задані елементи прогресії за формулами

Від другого рівняння віднімемо перше, в результаті знайдемо крок прогресії

Знайдене значення підставляємо в любе із рівнянь для відшукання першого члена арифметичної прогресії

Обчислюємо суму перших десяти членів прогресії

Всі шукані величини знайдені.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Відсоток від числа

Приклад 3. Арифметичну прогресію задано знаменником  та одним з її членів . Знайти перший член прогресії , суму 50 її членів починаючи з 50 та суму 100 перших.

Розв’язання:

Запишемо формулу сотого елемента прогресії

та знайдемо перший

На основі першого знаходимо 50 член прогресії

Знаходимо суму частини прогресії

та суму перших 100

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Квадрати чисел

Приклад 4.

Знайти число членів арифметичної прогресії, якщо:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Розв’язання:

Запишемо рівняння через перший член та крок прогресії та визначимо їх

Отримані значення підставляємо у формулу суми для визначення кількості членів у сумі

Виконуємо спрощення

та розв’язуємо квадратне рівняння

    

    

Із знайдених двох значень умові задачі підходить лише число 8. Таким чином, сума перших восьми членів прогресії рівна 111.

ЧИТАЙТЕ ТАКОЖ: Формули скороченого множення. Приклади

Приклад 5.

Розв’язати рівняння

1+3+5+…+х=307.

Розв’язання: Дане рівняння є сумою арифметичної прогресії. Випишемо перший її член та знайдемо різницю прогресії

Знайдені величини підставимо в формулу суми прогресії для відшукання кількості доданків

Як і в попередньому завданні, виконуємо спрощення та розв’яжемо квадратне рівняння

Вибираємо більше із двох значень.

Маємо, що сума 18 членів прогресії з заданими величинами а1=1,d=2 рівна Sn=307.

На цьому знайомство із арифметичними прогресіями завершується. В книжках ви знайдете багато подібних задач та нових, які не були розглянуті. Наведеного матеріалу повинно вистачити Вам з головою, щоб розібратися і роз’вязати задачі самостійно.

Арифметична прогресія формули 9 клас

Скачать арифметична прогресія формули 9 клас fb2

Формула n-го члена арифметической прогрессии. Свойства арифметической прогрессии. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Разбор урока по алгебре в 9 классе с подробными примерами.  По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: an = an-1 + d.

Из неё можно вывести аналитическую формулу. 9 класс. ГДЗ Учебники ДПА Онлайн уроки. Моя Школа.  Формула n-го члена арифметичної прогресії — Розділ 3. Числові послідовності. Формула вычисления n-ого элемента прогрессии: an = a1 + (n − 1) d. Определение. Числовая последовательность, каждый член которой получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа называется арифметической прогрессией. Число называется разностью арифметической прогрессии. То есть арифметическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением.

Например, последовательность нечётных натуральных чисел. является арифметической прогрессией, так как любой её член отличается от предыдущего на 2.

Пример 1. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии, если её первый член а разность. Сформувати в учнів поняття про арифметичну прогресію, різницю арифметичної прогресії, формулу n-го члена арифметичної прогресії, вміння знаходити елементи.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида., то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа.

(шага, или разности прогрессии): Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена: Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью.

При. она является возрастающей, а при. Геометрия 11 класс Контрольная 1. Химия 10 класс Габриелян Самостоятельная 3. Химия 10 класс Габриелян Контрольная 1. Организатор Пятого форума Холокоста.

Поиск конспекта. О проекте. Сайт «УчительPRO» — некоммерческий школьный проект учеников, их родителей и учителей. Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie и других пользовательских данных в целях функционирования сайта, проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт. Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии. Сумма первых n членов арифметической прогрессии. Разбор урока по алгебре в 9 классе с подробными примерами.  По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: an = an-1 + d.

Из неё можно вывести аналитическую формулу.

EPUB, doc, EPUB, doc

Похожее:

Трудове навчання 5 клас за новою програмою

Підручник з я у світі 4 клас за новою програмою

Геометрия 7 клас бевз гдз в школе

Атлас шаблон історія 5 клас

Уроки по хімії 7 клас

Властивості і сума членів арифметичної прогресії

Власне кажучи, знаючи теоретичний матеріал, що міститься в параграфі означення та формула обчислення -го члена арифметичної прогресії, можна знаходити розв’язок практично будь-якої задачі пов’язаної з арифметичною прогресією. Однак, уявіть ситуацію, що треба знайти суму арифметичної прогресії, що складається з ста елементів. Це що ж нам, один за одним додавати всі члени, з першого по останній? Зрозуміло, що такий підхід до рішення поставленої задачі є не досить зручним. В таких випадках використовується спеціальна формула, але перш ніж приступити до її виводу, розглянемо та доведемо необхідні для цього властивості арифметичної прогресії:

1. Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному його сусідніх членів (виняток становить перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

   Покажемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени та будуть сусідніми. За означенням прогресії можемо записати наступне: . Звідси, . Взявши півсуму останніх рівностей, отримаємо , що і треба було довести.

2. У скінченній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють сумі крайніх членів.

   Доведемо дане твердження також. Для цього, випишемо кілька пар членів, рівновіддалених від кінців прогресії: . Переглянувши отримані резільтати можна зробити висновок, що у кожної такої пари, сума їх номерів на одиницю більш числа членів прогресії. Таким чином, якщо на -му місці від початку прогресії знаходиться член , то на -му місці від її кінця знаходиться член . Скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії, знайдемо суму цих елементів:

   Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної арифметичної прогресії. Для прогресії, що має  членів, позначимо цю суму через . Запишемо вираз суми  двічі, один раз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів, і другий раз – по спаданню:

Складемо ці дві рівності:

Всього в правій частині є  дужок. По властивості  два, суми що містяться в цих дужках, рівні між собою і дорівнюють . Тому, , звідки:

Зауваження: якщо у формулі (1), замість підставити його вираз через і крок , то після простих перетворень отримаємо формулу для суми членів арифметичної прогресії в дещо іншому вигляді:

Властивості та сума членів арифметичної прогресії – приклади розв’язання:

Приклад 1: знайти суму перших десяти членів арифметичної прогресії, якщо і .

Отже, скориставшись формулою, яка, для даного випадку, є зручнішою, отримаємо розв’язок поставленої задачі:

Приклад 2: три числа , в зазначеному порядку, утворюють спадну арифметичну прогресію. Знайти значення невідомої та різницю заданої прогресії.

Для цього, скориставшись першою з розглянутих вище властивостей, отримаємо:

Тобто, в результаті виконання даного кроку, поставлена задача зводиться до розв’язку квадратного рівняння, яке має два корені. Перевіримо, який з цих коренів є рішенням задачі. Отже, якщо , то виходить спадна арифметична прогресія з ризніцею . Якщо , то виходить зростаюча прогресія з різницею . Звідси,  і .

Приклад 3: тризначні числа, кратні числу одинадцять, утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею . Знайти суму членів даної прогресії.

Для розв’язку поставленої задачі, на першому кроці, з’ясуємо скільки членів містить прогресія. Для цього, розв’яжемо нерівність наступного вигляду: . В результаті отримаємо:

Тобто, задана арифметична прогресія містить вісімдесят один член. Далі, скориставшись формулою (2) знаходимо шукану суму:

Блок-схема алгоритму знаходження суми членів арифметичної прогресії (формула

1)

Блок-схема алгоритму знаходження суми членів арифметичної прогресії (формула

2)

Математичні проекти з арифметичної прогресії — Рецепти

Математичні прогресії є невід’ємною частиною будь-якої навчальної програми з алгебри середньої школи, що визначається як будь-яка серія чисел, що відповідають шаблону. Два поширені типи математичної п

Зміст

Математичні прогресії є невід’ємною частиною будь-якої навчальної програми з алгебри середньої школи, що визначається як будь-яка серія чисел, що відповідають шаблону. Два поширені типи математичної прогресії, яку викладають у школі, — це геометрична прогресія та арифметична прогресія. Різні властивості арифметичних прогресій можуть бути включені в шкільні проекти.

Визначення

Арифметична прогресія — це будь-яка серія чисел, у яких кожен доданок має постійну різницю з попереднім доданком. Наприклад, «1,2,3 …» — це арифметична прогресія, оскільки кожен термін є на один більший за попередній. Щоб навчити цього студентів, попросіть їх створити арифметичні прогресії з урахуванням загальної різниці. Інша діяльність полягає в тому, щоб вони визначали, які прогресії є арифметичними, і знаходили спільну різницю між термінами.

Рекурсивна формула

Найбільш основним типом формули для будь-якої арифметичної прогресії є рекурсивна формула.

У рекурсивній формулі перший доданок вказується як нуль (0). Формула «a (n + 1) = a (n) + r», в якій «r» — загальна різниця між наступними термінами. Основні проекти, що використовують рекурсивну формулу, включають побудову прогресії з формули та побудову формули з арифметичної прогресії. Це може бути розширенням проекту з попереднього розділу.

Явна формула

Явна формула арифметичної прогресії має вигляд «a (n) = a (1) + n * r», в якій «a (n)» є n-м членом (визначеним як будь-який термін в арифметичній послідовності) прогресія, «a (1)» — це перший термін, а «r» — загальна різниця. Цю формулу можна легко змінити в рекурсивну форму і навпаки. Нехай студенти вправляються у побудові явної формули на основі рекурсивних формул, які вони отримали у проекті Розділу 2.

Підсумовування

Щоб знайти суму арифметичної послідовності від «a (1)» до «a (n)» із загальною різницею «r», підключіть до формули: «n (n + 1) / 2 + r (n) (n-1) / 2 + (a (1) -1) * n. » Нехай студенти використовують формулу, щоб підсумувати ряд послідовних доданків арифметичної прогресії та перевірити свою відповідь отриманою сумою, просто додавши умови. Нехай вони скомпілюють це з іншими заходами в розділах 1–3, щоб створити власний проект арифметичних прогресій.

		305	№ ауд.		381	№ ауд.
Понеділок	3	Іноз. мова за ПС Наумкіна О.В.	216-2	3
	4	Інф.сист.і техн. Маляренко А.О.	216-2	4	Комп. схемотехніка   Уткіна, Бездворний	241-3
	5	Техн. і орг.тур.діяльн. Матвієнко Т.В.	216-2	5	Системне програмув. Левицький, Коленко	241-3
	6			6	Дискрет матем/Чисел мет Рослякова/Філонюк	402-1/ 241-3
Вівторок	3	Друга ін.мова т.і. Вареник А.О.	216-2	3
	4	Рекр.геогр. Матвієнко Т.В.	216-2	4	Іноземна мова за ПС Аносова, Лосєва	241-3, 220-2
	5	Орган. рестор.обслугов. Литвиненко І.В.	216-2	5	Фізичне виховання Береговий М.М.	Сп.зал
	6			6	Осн.метреології, станд. Свириденко О.М.	241-3
Середа	3	Іноземна мова за рів. В2 Наумкіна О.В.	216-2	3	Чисельні методи. Філонюк Г.О.	241-3
	4	Орган.рестор.обслугов. Литвиненко І.В.	216-2	4	Теорія ймов. та мат.ст. Рослякова С.В.	403-1
	5	Техн.і орг.тур.діяльн. Матвієнко Т.В.	216-2	5	Системне програмув. Левицький, Коленко	241-3
	6			6	Комп. схемотехніка   Уткіна, Бездворний	241-3
Четвер	3	Основи маркетингу Воробйова К.Г.	216-2	3	Архіт. комп’ютерів Максимова О.Є.	241-3
	4	Техн. і орг.тур.діяльн. Матвієнко Т.В.	216-2	4	Іноземна мова рівень В2 Аносова, Лосєва	241-3, 220-2
	5	Фізичне виховання Рибкін А.В.	Сп.зал	5	Дискретна математика Рослякова С.В.	402-1
	6			6
П’ятниця	3	Орган.готел.обслугов. Литвиненко І.В.	216-2	3	Системне програмув. / Теорія ймов.та мат.ст. Левицький/Рослякова	241-3/ 403-1
	4	Ін.мова турист.індустрії Наумкіна О.В.	216-2	4	Електрорадіовим. Бездворний, Волошин	241-3
	5	Інф.сис.і техн/Рекр.геогр. Маляренко/Матвієнко	216-2	5	Комп. схемотехніка   Уткіна, Бездворний	241-3
	6			6	Архіт. комп’ютерів Максимова О.Є.	241-3
		311	№ ауд.		361	№ ауд
Понеділок	3			3	Фізичне виховання Гудович В.Ю.	Сп.зал
	4	Основи матеріалооброб. Рябініна О.М.	231-3	4	Інформаційні системи Федотова О.В.	316-2
	5	Обл для формоут пов дет Рябініна О.М.	231-3	5	Осн. підпр. діяльн. Шепель Т.В.	316-2
	6	Загал. електрон.з осн. Клєпов В.П.	231-3	6
Вівторок	3	Інж.та комп.графіка Дядюн К.В, Мироненко Н.В.	231-3	3	Ін. мова рівень В2 Гречана А.С.	316-2
	4	Іноземна мова за ПС Гречана А.С., Сіденко Н.Г.	231-3, 222-2	4	Осн.охорони праці/Основи оподаткув. Живець А.М.	316-2
	5	Основи матеріалооброб. Рябініна О.М.	231-3	5	Облік і звіт в БУ Федотова О. В.	316-2
	6	Взаєм.,станд. і тех. вим. 2 Крижановська О.В.	231-3	6	Фін.облік 2 Комліченко О.О.	316-2
Середа	3	Взаєм.,станд. і тех. вим. 2 Крижановська О.В.	231-3	3
	4	Обл для формоут пов дет Рябініна О.М.	231-3	4	Осн. підпр. діяльн. Шепель Т.В.	316-2
	5	Інж. та комп.графіка Дядюн К.В, Мироненко Н.В.	231-3	5	Управлін.обл. Живець А.М.	316-2
	6			6
Четвер	3	Фізичне виховання Рибкін А.В.	Сп.зал	3
	4	Інж.та комп.графіка Дядюн К.В, Мироненко Н.В.	231-3	4	Іноз. мова за ПС Петречків О.М.	316-2
	5	Обл для формоут пов дет/ Ін. мова за ПС Рябініна/Гречана, Сіденко	231-3/ 231-3, 220-2	5	Менедж. і маркетинг Воробйова К.Г.	316-2
	6			6	Основи оподаткув. Живець А.М.	316-2
П’ятниця	3	Сист. управління якістю Куценко О.І.	231-3	3	Інформаційні системи Федотова О.В.	316-2
	4	Ін. мова рів. В2 Гречана А.С., Сіденко Н.Г.	231-3, 219-2	4	Осн.охорони праці Живець А.М.	316-2
	5	Інж.та комп.графіка Дядюн К.В, Мироненко Н.В.	231-3	5	Менедж. і маркетинг Воробйова К.Г.	316-2
	6	Основи матеріалооброб. Рябініна О.М.	231-3	6
		331	№ ауд.		332	№ ауд.
Понеділок	3	Електроп. 2/Осн стандарт Шаброва/Клєпов	419-2	3	Осн стандарт/Електроп. 2 Клєпов/Шаброва	420-2
	4	Електропостач. 1 Васеньова Ю.О.	419-2	4	Електричні машини 1 Богуш А.Р.	420-2
	5	Осн. та надійн.електр. Васеньова Ю.О.	419-2	5	Ін.мова за ПС Гончарова, Пестушко	420, 222-2
	6	Ін.мова за ПС Гончарова, Пестушко	419, 222-2	6	Осн. та надійн.електр. Васеньова Ю.О.	420-2
Вівторок	3			3	Сис. автомат. проект Савченко С.О.	420-2
	4	Сис. автомат. проект Савченко С.О.	419-2	4	Електропостач. 1 Васеньова Ю.О.	420-2
	5	Електричні машини 1 Богуш А.Р.	419-2	5	Фізичне виховання Коцегубов С.А.	Сп.зал
	6	Основи стандарт Клєпов В.П.	419-2	6	Електричні машини 2 Богуш А.Р.	420-2
Середа	3			3
	4	Електричні машини 2 Богуш А.Р.	419-2	4	Ін.мова рівень В2 Гончарова, Пестушко	420, 222-2
	5	Осн. та надійн.електр. Васеньова Ю.О.	419-2	5	Осн. пром. електр. Савченко С.О.	420-2
	6	Осн. пром. електр. Савченко С.О.	419-2	6	Осн. та надійн.електр. Васеньова Ю.О.	420-2
Четвер	3	Електропостач. 1 Васеньова Ю.О.	419-2	3
	4	Фізичне виховання Коцегубов С.А.	Сп.зал	4	Електропостач. 1 Васеньова Ю.О.	420-2
	5	Сис. автомат. проект Савченко С.О.	419-2	5	Електричні машини 1 Богуш А.Р.	420-2
	6	Електричні машини 1 Богуш А.Р.	419-2	6	Сис. автомат. проект Савченко С.О.	420-2
П’ятниця	3			3
	4	Осн. пром. електр. Савченко С.О.	419-2	4	Основи стандарт Клєпов В.П.	420-2
	5	Ін.мова рівень В2 Гончарова, Пестушко	419, 222-2	5	Осн. пром. електр. Савченко С.О.	420-2
	6	Електричні машини 2/ Осн. та надійн.електр. Богуш/Васеньова	419-2	6	Осн. та надійн.електр./ Електричні машини 2 Васеньова/Богуш	420-2
		351	№ ауд.		352	№ ауд
Понеділок	3	Об’єктно-ор. програмув. Багмет Т.Є	214-2	3
	4	Осн.прогр. інженерії Карлова Н.І.	214-2	4	Іноземна мова за ПС Сіліщенко, Петречків	415-1, 222-2
	5	Дискретна математика Філонюк Г.О.	214-2	5	Комп.схемотехніка  Уткіна, Бездворний	415-1
	6	Архіт. комп.   Бездворний І.І.	214-2	6	Фізичне виховання Рибкін А.В.	Сп.зал
Вівторок	3	Операційні системи Яковенко В.Д.	214-2	3	КП Карлова Н.І.	413-1
	4	Іноземна мова за ПС Петречків О.М.	214-2	4	Операційні системи Яковенко ВД,Яковенко ЄО	402-1
	5	Фізичне виховання Рибкін А.В.	Сп.зал	5	Архіт. комп.   Бездворний,Свириденко	402-1
	6	Комп.схемотехніка  Уткіна Н.Є	214-2	6	Математичний аналіз Рослякова С.В.	402-1
Середа	3	Бази даних   Арбузова Ю.В.	214-2	3	Архіт. комп.   Бездворний,Свириденко	310-1
	4	Математичний аналіз Вічна О.В.	214-2	4	Осн.прогр. інженерії Карлова Н.І.,Багмет Т.Є.	310-1
	5	Архіт. комп.   Бездворний І.І.	214-2	5	Комп.схемотехніка  Уткіна, Бездворний	310-1
	6			6	Об’єкт-ор. програмув. Багмет Т.Є., Носова Г.В.	310-1
Четвер	3	Операційні системи Яковенко В.Д.	214-2	3	Математичний аналіз Рослякова С.В.	415-1
	4	Іноземна мова рів. В2 Сіліщенко О.П.	214-2	4	Операційні системи Яковенко ВД,Яковенко ЄО	415-1
	5	Комп.схемотехніка  Уткіна Н.Є	214-2	5	Бази даних   Карлова, Арбузова	415-1
	6			6
П’ятниця	3			3	Опер. сист./Комп.схемот. Яковенко/Уткіна	312-1
	4	Комп.схемот. /Опер. сист. Уткіна Н.Є./Яковенко В.Д.	214-2	4	Іноземна мова рів. В2 Сіліщенко, Петречків	312-1, 220-2
	5	Математичний аналіз Вічна О.В.	214-2	5	Об’єкт-ор. програмув. Багмет Т.Є., Носова Г.В.	312-1
	6	Об’єктно-ор. програмув. Багмет Т.Є	214-2	6	Дискретна математика Філонюк Г.О.	312-1
		371	№ ауд.		372	№ ауд
Понеділок	3	Осн.техн.машинобудув. Дядюн К.В.	403-1	3
	4	Ін.мова за ПС Павліченко, Пестушко	403-1, 220-2	4	Фізичне виховання Береговий М.М.	Сп.зал
	5	Автомобільні двигуни Якушенко С.О.	403-1	5	Ін.мова за ПС Павліченко, Лосєва	220-2, 305-1
	6	Викор. експ. матер./ Осн.розрах.дет.маш. Литвиненко/Чебукіна	403-1	6	Осн.розрах.дет.маш./ Викор. експ. матер. Рябініна/Литвиненко	305-1
Вівторок	3	Електротех., та електрон. Клєпов В.П.	403-1	3	Тех.експлуат.авто Гладков Г.Б.	305-1
	4	Інж.та комп.гр. Свириденко, Зіменс	403-1	4	Електротех., та електрон. Клєпов В.П.	305-1
	5	Тех.експлуат.авто Якушенко С.О.	403-1	5	Інж.та комп.гр. Свириденко, Зіменс	305-1
	6	Осн.техн.машинобудув. Дядюн К.В.	403-1	6
Середа	3			3	Автом. двиг/Тех.експ.авто Якушенко/Гладков	305-1
	4	Фізичне виховання Береговий М.М.	Сп.зал	4	Ін.мова рівень В2 Павліченко, Лосєва	220-2, 305-1
	5	Ін.мова рівень В2 Павліченко, Пестушко	403-1, 220-2	5	Викор. експ. матер. Литвиненко О.В.	305-1
	6	Автом. двиг/Тех.експ.авто Якушенко С.О.	403-1	6	Осн.техн.машинобудув. Дядюн К.В.	305-1
Четвер	3	Викор. експ. матер. Литвиненко, Гладков	403-1	3
	4	Електротех., та електрон. Клєпов В.П.	403-1	4	Автомобільні двигуни Якушенко С.О.	305-1
	5	Інж.та комп.гр. Свириденко, Зіменс	403-1	5	Електротех., та електрон. Клєпов В.П.	305-1
	6			6	Тех.експлуат.авто Гладков Г.Б.	305-1
П’ятниця	3			3	Автомобільні двигуни Якушенко С.О.	305-1
	4	Осн.розрах.дет.маш. Чебукіна В.Ф.	403-1	4	Інж.та комп.гр. Свириденко, Зіменс	305-1
	5	Автомобільні двигуни Якушенко С.О.	403-1	5	Осн.розрах.дет.маш. Рябініна О.М.	305-1
	6	Тех.експлуат.авто Якушенко С.О.	403-1	6	Осн.техн.машинобудув. Дядюн К.В.	305-1
		341	№ ауд.		391	№ ауд.
Понеділок	3	Інформ системи I підгрупа Федотова О.В.	317-2	3	Інформ системи I підгрупа Федотова О.В.	317-2
	4	Комерцій. товарознавство Наконечна В.І.	317-2	4	Управл.витратами Живець А.М.	324-2
	5	Менедж. і маркетинг Воробйова К.Г.	317-2	5	Менедж. і маркетинг Воробйова К.Г.	317-2
	6	Інфор системи II підгрупа Федотова О.В.	317-2	6	Інфор системи II підгрупа Федотова О.В.	317-2
вівторок	3	Комерційна діяльність Наконечна В.І.	324-2	3	Планув.та орган.діял. Аблова Г.В.	317-2
	4	Менедж. і маркетинг Воробйова К.Г.	317-2	4	Менедж. і маркетинг Воробйова К.Г.	317-2
	5	Осн.охорони праці Живець А.М.	317-2	5	Осн.охорони праці Живець А.М.	317-2
	6	Ціноутворення/—— Живець А.М./——	317-2/ ——-	6	Ціноутворення/—— Живець А.М./——	317-2/ ——-
Середа	3	Ціноутворення Живець А.М.	317-2	3	Ціноутворення Живець А.М.	317-2
	4	Фізичне вих. Коцегубов С.О.	Сп.зал	4	Фізичне вих. Коцегубов С.О.	Сп.зал
	5	Іноземна мова рівень В2 Гречана, Петречків	317, 222-2	5	Іноземна мова рівень В2 Гречана, Петречків	317, 222-2
	6			6	Економ. і нормув.праці Аблова Г.В.	317-2
Четвер	3	Біржова діяльність Мельник М.А.	316-2	3	Істор.екон.та екон.думки/ Економ. і нормув.праці Шепель/Аблова	317-2
	4	Іноземна мова за ПС Гречана, Сіденко	317, 319-2	4	Іноземна мова за ПС Гречана, Сіденко	317, 319-2
	5	Комерцій. товарознавство Наконечна В.І.	317-2	5	Планув.та орган.діял. Аблова Г.В.	319-2
	6	Інформ системи I підгрупа Федотова О.В.	317-2	6	Інформ системи I підгрупа Федотова О.В.	317-2
П’ятниця	3	——/Менедж. і маркетинг  ——/Воробйова К.Г.	——/ 317-2	3	Управління витратами/ Менеджмент і маркетинг Живець/Воробйова	323-2/ 317-2
	4	План та орган діял підпр Аблова Г.В.	317-2	4	Істор.екон.та екон.думки Шепель Т.В.	323-2
	5	Осн.охорони праці Живець А.М.	317-2	5	Осн.охорони праці Живець А.М.	317-2
	6	Інфор системи II підгрупа Федотова О.В.	317-2	6	Інфор системи II підгрупа Федотова О.В.	317-2
		321	№ ауд.		319	№ ауд.
Понеділок	3	Теорія двигунів Якушенко С.О.	307-1	1
	4	Електротех.,електр. Клєпов В.П.	307-1	2	Методол. та орг. наук. Живець А.М.	323-2
	5	Інж. та комп.графіка Свириденко, Зіменс	307-1	3	Іноземна мова за ПС Сіліщенко О.П.	323-2
	6	Констр. та динам. двиг. Якушенко С.О.	307-1	4	——-/Фіз.вих.  ——/Гудович В.Ю.	——/ Сп.зал
Вівторок	3			1
	4	Теорія двиг/—— Якушенко С.О./——-	307-1/ ——-	2	Організ. виробн. Шепель Т.В.	323-2
	5	Іноземна мова за ПС Павліченко, Гончарова	307-1, 220-2	3	Оптиміз. методи та мод./Внутр.економ мех. Філонюк/Шепель	323-2
	6	ТО теплотехніки Куценко С.Д.	307-1	4	Аналіз госп. діяльн. Комліченко О.О.	323-2
Середа	3	———/Деталі машин  ———/Литвиненко О.В.	——/ 307-1	1	Аналіз госп. діяльн./—— Комліченко О.О./——	323-2/ ——-
	4	Інж. та комп.графіка Свириденко, Зіменс	307-1	2	Іноземна мова рівень В2 Сіліщенко О.П.	323-2
	5	Електротех.,електр. Клєпов В.П.	307-1	3	Орг. вир/План.контр.на під. Шепель Т.В.	323-2
	6	Будова автом. і двиг. Гладков Г.Б.	307-1	4
Четвер	3	Констр. та динам. двиг. Якушенко С.О.	307-1	1	Планув та контр.на підпр. Шепель Т.В.	323-2
	4	Фізичне виховання Береговий М.М.	Сп.зал	2	Оптиміз. методи та мод. Філонюк Г.О.	323-2
	5	Будова автом. і двиг. Гладков Г.Б.	307-1	3	Методол. та орг. наук./Сист.техн.пром. Живець А.М.	323-2
	6	Теорія двигунів Якушенко С.О.	307-1	4
П’ятниця	3	Деталі машин Литвиненко О.В.	307-1	1	ДЕНЬ
	4	ТО теплотехніки Куценко С.Д.	307-1	2	КУРСОВОГО
	5	Іноземна мова рівень В2 Павліченко, Гречана	307-1, 220-2	3	ПРОЕКТУВАННЯ
	6			4
		315	№ ауд.		318	№ ауд.
Понеділок	2	Візуальне програмув. Багмет Т.Є.	219-2	3
	3	Алгор. та структури/ Машино-орієнтовані мови Левицький/Нарожний	219-2	4	Архітект. комп’ютерів Максимова О.Є.	136-3
	4	Системне програмув. Нарожний О.В.	219-2	5	Системне програм. Сафонов М.С.	136-3
	5			6	Системне програм. забез. Нарожний О.В.	136-3
вівторок	3			3	Комп’ютерна схемотех Яковенко О.Є.	136-3
	4	Іноземна мова за ПС Наумкіна О.В.	219-2	4	Комп’ютерна логіка Яковенко О.Є.	136-3
	5	Операційні системи Сафонов М.С.	219-2	5	Іноземна мова за ПС Аносова Ю.П.	136-3
	6	Web-програмування Левицький В.М.	219-2	6
Середа	3	Алгор. та структури Левицький В.М.	219-2	3
	4	Машино-орієнтовані мови Нарожний О.В.	219-2	4	Вища математика Сімініченко О.П.	136-3
	5	Бази даних Сафонов М.С.	219-2	5	Комп’ютерні мережі Бабикін С.О.	136-3
	6			6	Фізика Семакова Т.О.	136-3
Четвер	3			2	Фізика/—— Семакова/——	136-3/  ——
	4	Конструюв. ПЗ Багмет Т.Є.	219-2	3	Фізичне виховання Гудович В.Ю.	Сп.зал
	5	Системне програмув. Нарожний О.В.	219-2	4	Системне програм. забез. Нарожний О.В.	136-3
	6	Web-програм/Бази даних Левицький/ Сафонов	219-2	5	———/Комп і мережі  ——-/Бабикін	——/ 136-3
П’ятниця	3	Візуал прогр./Web-прогр Багмет/Левицький	219-2	3	Комп схем/Комп логіка Яковенко О.Є.	136-3
	4	Фізичне виховання Гудович В.М.	Сп.зал	4	Архіт. комп/Сист програм. Максимова/Сафонов	136-3
	5	Іноземна мова рівень В2 Наумкіна О.В.	219-2	5	Іноземна мова рівень В2 Аносова Ю.П.	136-3
	6			6

Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії (9 клас. Алгебра) + Презентація

Автор: Смірнова Ірина Атанасівна

Навчальний заклад: Стрийська ЗШ I-III ст. № 7

Тема.  Арифметична прогресія.  Формула n-го члена арифметичної прогресії

Мета уроку:  домогтися засвоєння учнями: означення арифметичної прогресії, поняття її різниці, рекурентної формули; вивести формулу різниці арифметичної прогресії та п-го члена арифметичної прогресії та формувати навички застосовувати їх до розв’язування задач.

Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв’язування задач, що передбачають виділення арифметичної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули арифметичної прогресії.

Формування предметних компетентностей: Робота з вироблення вміння порівнювати математичні поняття, знаходити подібності й відмінності, уміння спостерігати, помічати закономірності, проводити міркування за аналогією.

Формування ключових компетентностей:

• сприяти усвідомленню цінності нових знань і вмінь;
• формувати вміння доречно та коректно вживати в мовленні математичнутермінологію;
• сприяти підвищенню інтересу до математики, активності, умінню спілкуватися, аргументовано відстоювати свої міркування; критично мислити;
• сприяти самовихованню старанності, дисциплінованості;
• спілкування державною мовою;
• розвивати культуру математичного запису та мовлення.

Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.

Обладнання та наочність: підручник (Алгебра для 9-го класу авторів А. Г. Мерзляк, В. Б. Полянський, М. С. Якір (2016)), конспект уроку, презентація.

Завантажити: Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії (9 клас. Алгебра) + Презентація + Сертифікат (Розмір: 1.0 MB, Завантажень: 38)

Як знайти різницю арифметичної прогресії: формули та приклади рішень

Багато чули про арифметичної прогресії, але не всі добре уявляють, що це таке. У цій статті дамо відповідне визначення, а також розглянемо питання, як знайти різницю арифметичної прогресії, і наведемо ряд прикладів.

Математичне визначення

Отже, якщо мова йде про арифметичної прогресії або алгебраїчної (ці поняття визначають одне і те ж), то це означає, що є певний числовий ряд, що задовольняє наступним законом: кожні два сусідніх числа в ряду відрізняються на одне і те ж значення. Математично це записується так:

an + 1-an = d

Тут n-номер елемента an у послідовності, а число d — це різниця прогресії (її назва випливає з представленої формули).

Про що говорить знання різниці d? Про те, як далеко один від одного відстоять сусідні числа. Однак знання d є необхідною, але не достатньою умовою для визначення (відновлення) всієї прогресії. Необхідно знати ще одне число, яким може бути абсолютно будь-який елемент розглянутого ряду, наприклад, a4, a10, але, як правило, використовують перше число, тобто a1.

Формули для визначення елементів прогресії

Загалом, інформації вище вже достатньо, щоб переходити до вирішення конкретних завдань. Тим не менш до того, як буде дана арифметична прогресія, і знайти різниця її буде необхідно, наведемо кілька корисних формул, полегшивши тим самим подальший процес вирішення завдань.

Нескладно показати, що будь-який елемент послідовності з номером n може бути знайдений наступним чином:

an = a1 + (n — 1) * d

Дійсно, перевірити цю формулу може кожен простим перебором: якщо підставити n = 1, то вийде перший елемент, якщо підставити n = 2, тоді вираз видає суму першого числа і різниці, і так далі.

Умови багатьох завдань складаються таким чином, що за відомою парі чисел, номери яких в послідовності також дані, необхідно відновити весь числовий ряд (знайти різницю і перший елемент). Зараз ми вирішимо цю задачу в загальному вигляді.

Отже, нехай дано два елементи з номерами n і m. Користуючись отриманою вище формулою, можна скласти систему з двох рівнянь:

an = a1 + (n — 1) * d;

am = a1 + (m — 1) * d

Для знаходження невідомих величин скористаємося відомим простим прийомом вирішення такої системи: віднімемо попарно ліву і праву частини, рівність при цьому залишиться справедливим. Маємо:

an = a1 + (n — 1) * d;

an — am = (n — 1) * d — (m — 1) * d = d * (n — m)

Таким чином, ми виключили одну невідому (a1). Тепер можна записати остаточний вираз для визначення d:

d = (an — am) / (n — m), де n > m

Ми отримали дуже просту формулу: щоб обчислити різницю d згідно з умовами задачі, необхідно лише взяти відношення різниць самих елементів і їх порядкових номерів. Слід звернути увагу на один важливий момент увагу: різниці беруться між «старших» і «молодших» членами, тобто n > m («старший» — мається на увазі стоїть далі від початку послідовності, його абсолютне значення може бути як більше, так і менше «молодшого» елемента).

Вираз для різниці d прогресії слід підставити в будь-яке з рівнянь на початку рішення завдання, щоб отримати значення першого члена.

Далі в статті наведемо приклади вирішення задач на обчислення d і на відновлення числового ряду алгебраїчної прогресії. Тут же хотілося б відзначити один важливий момент.

У наше століття розвитку комп’ютерних технологій багато школярі намагаються знайти рішення своїх завдань в Інтернеті, тому часто виникають питання такого типу: знайти різницю арифметичної прогресії онлайн. За подібним запитом пошуковик видасть ряд web-сторінок, перейшовши на які потрібно буде ввести відомі з умови дані (це можуть бути як два члена прогресії, так і сума деякого їх числа) і моментально отримати відповідь. Проте такий підхід до вирішення завдання є непродуктивним в плані розвитку школяра і розуміння суті поставленого перед ним завдання.

Рекомендується за вказаними причин самостійно вирішувати подібні завдання. Крім того, вони не є складними.

Рішення без використання формул

Вирішимо першу задачу, при цьому не будемо використовувати жодні з наведених формул. Нехай дано елементи ряду: а6 = 3, а9 = 18. Знайти різницю арифметичної прогресії.

Відомі елементи стоять близько один до одного в ряду. Скільки разів треба додати різницю d найменшого, щоб отримати найбільшу з них? Три рази (перший раз додавши d, ми отримаємо 7-й елемент, другий раз — восьмий, нарешті, третій раз — дев’ятий). Яке число треба додати до трьох три рази, щоб отримати 18? Це число п’ять. Дійсно:

3 + 5 + 5 + 5 = 18

Таким чином, невідома різниця d = 5.

Звичайно ж, рішення можна було виконати з застосуванням відповідної формули, але цього не було зроблено навмисно. Докладне пояснення розв’язання задачі повинно стати зрозумілим і яскравим прикладом, що таке арифметична прогресія.

Завдання, подібна попередньої

Тепер вирішимо подібну задачу, але змінимо вхідні дані. Отже, слід знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а3 = 2, а9 = 19.

Звичайно, можна вдатися до методу рішення «в лоб». Але оскільки дані елементи ряду, які коштують відносно далеко один від одного, такий метод стане не зовсім зручним. А ось використання отриманої формули швидко приведе нас до відповіді:

d = (а9 — а3) / (9 — 3) = (19 — 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тут ми округлили кінцеве число. Наскільки це округлення призвело до помилки, можна судити, перевіривши отриманий результат:

a9 = a3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Цей результат відрізняється всього на 0,1 % від значення, даного в умові. Тому використане округлення до сотих можна вважати успішним вибором.

Задачі на застосування формули для an члена

Розглянемо класичний приклад завдання на визначення невідомої d: знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 12, а5 = 40.

Коли дано два числа невідомої алгебраїчної послідовності, причому одним з них є елемент a1, тоді не потрібно довго думати, а треба відразу ж застосувати формулу для an члена. В даному випадку маємо:

a5 = a1 + d * (5 — 1) => d = (a5 — a1) / 4 = (40 — 12) / 4 = 7

Ми отримали точне число при діленні, тому немає сенсу перевіряти точність розрахованого результату, як це було зроблено в попередньому пункті.

Вирішимо ще одну аналогічну задачу: знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а1 = 16, а8 = 37.

Використовуємо аналогічний попередньому підхід і отримуємо:

a8 = a1 + d * (8 — 1) => d = (a8 — a1) / 7 = (37 — 16) / 7 = 3

Що ще варто знати про арифметичної прогресії

Крім завдань на знаходження невідомої різниці або окремих елементів, часто необхідно вирішувати проблеми суми перших членів послідовності. Розгляд цих завдань виходить за рамки теми статті, тим не менш для повноти інформації наведемо загальну формулу для суми n чисел ряду:

∑ni = 1(ai) = n * (a1 + an) / 2

Дивіться також:

Выведение суммы арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия, AP
Определение

Арифметическая прогрессия (также называемая арифметической последовательностью) — это последовательность чисел, такая, что разница между любыми двумя последовательными членами является постоянной. Следовательно, каждый член в арифметической прогрессии будет увеличиваться или уменьшаться на постоянное значение, называемое общей разностью, d .

Примеры арифметической прогрессии:

• 2, 5, 8, 11 ,… общая разница = 3
• 23, 19, 15, 11, … общая разница = -4

Вывод формул
Пусть
$ d $ = общая разница
$ a_1 $ = первый член
$ a_2 $ = второй член
$ a_3 $ = третий член
$ a_m $ = m-й член или любой член перед $ a_n $
$ a_n $ = n-й или последний семестр

$ d = a_2 — a_1 = a_3 — a_2 = a_4 — a_3 $ и так далее.

Деривация для a _n в терминах a ₁ и d
$ a_1 = a_1

долларов США

$ a_2 = a_1 + d $

$ a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d $

$ a_4 ​​= a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d $

$ a_5 = a_4 + d = (a_1 + 3d) + d = a_1 + 4d $
…

$ a_m = a_1 + (m — 1) d $
…

$ a_n = a_1 + (n — 1) d $

Аналогично
$ a_n = a_n $

$ a_ {n — 1} = a_n — d $

$ a_ {n — 2} = a_ {n — 1} — d = (a_n — d) — d = a_n — 2d $

$ a_ {n — 3} = a_ {n — 2} — d = (a_n — 2d) — d = a_n — 3d $

$ a_ {n — 4} = a_ {n — 3} — d = (a_n — 3d) — d = a_n — 4d $
…

$ a_m = a_n — (n — m) d $
…

$ a_1 = a_n — (n — 1) d $

Выведение суммы арифметической прогрессии, S
$ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 +… + a_n $

$ S = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + … + [\, a_1 + (n — 1) d \,] $ ← Ур. (1)

$ S = a_n + a_ {n — 1} + a_ {n — 2} + a_ {n — 3} + … + a_1 $

$ S = a_n + (a_n — d) + (a_n — 2d) + (a_n — 3d) + … + [\, a_n — (n — 1) d \,] $ ← Ур. (2)

Сложите уравнения (1) и (2)
$ 2S = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + … + (a_1 + a_n) $

$ 2S = n (a_1 + a_n)

$

$ S = \ dfrac {n} {2} (a_1 + a_n)

$

Подставляем a _n = a ₁ + ( n — 1) d в приведенное выше уравнение, получаем
$ S = \ dfrac {n} {2} \ Big \ {\ , a_1 + \ Big [\, a_1 + (n — 1) d \, \ Big] \, \ Big \} $

$ S = \ dfrac {n} {2} \ Big [\, 2a_1 + (n — 1) d \, \ Big] $

Формула арифметической прогрессии — точка присвоения

Последовательность чисел известна как арифметическая прогрессия (А.P.), если разница между термином и предыдущим термином всегда одинаковая или постоянная. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, такая, что разница между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Например,

• последовательность 1, 2, 3, 4,… является арифметической прогрессией с общей разницей 1.
• Второй пример: последовательность 3, 5, 7, 9, 11,… является арифметической прогрессией с общей разницей 2.
• последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30,… является арифметической прогрессией с общей разностью -10.

Формула арифметической прогрессии

1. Пусть «a» будет первым членом, а «d» — общим отличием арифметической прогрессии. Тогда его

(i) Общий член (n-й член) = t _n = a + (n — 1) d

(ii) Сумма первых n членов = S _n = n / 2 ( a + l) = [Количество членов / 2] (Первый член + Последний член)

или, S _n = n / 2 [2a + (n — 1) d], где l = последний член = n-й член = а + (п — 1) д.

2. (i) Сумма первых n натуральных чисел (S ₂ ) = n / 2 (n + 1)

т.е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ………………. . + n = n / 2 (n + 1)

(ii) Сумма квадратов первых n натуральных чисел (S _n ) = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

т.е. 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + ………………. + n ² = 1/6 n (n + 1) (2n + 1)

(iii) Сумма кубиков первых n натуральных чисел (S ₂ ) = {1/2 n (n + 1)} ²

i.е., 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ + ……… .. + n ³ = {1/2 n (n +1)} ²

3. Среднее арифметическое между двумя заданными величинами «a» и «b» = ½ × (сумма данных величин) = a + b2a + b2.
4. (i) Если дана сумма трех членов в арифметической прогрессии, примите числа как a — d, a и a + d. Здесь общая разница d.

(ii) Если дана сумма четырех членов в арифметической прогрессии, примите числа как a — 3d, a — d, a + d и a + 3d.

(iii) Если дана сумма пяти членов в арифметической прогрессии, примите числа как a — 2d, a — d, a, a + d и a + 2d. Здесь общая разница 2d.

(iv) Если дана сумма шести членов в арифметической прогрессии, примите числа как a — 5d, a — 3d, a — d, a + d, a + 3d и a + 5d. Здесь общая разница 2d.

Источник информации

Калькулятор арифметической прогрессии

Как вычислить n-й член или сумму n членов арифметической прогрессии?

В задачах, которые требуют найти следующий член в арифметической прогрессии, сначала мы находим общее различие, вычитая любой член из его последующего члена, затем мы добавляем общую разницу к последнему члену.{th} `частичная сумма для конечного арифметического ряда, ряд может быть записан следующим образом

$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \ ldots + (a_1 + (n-1) d) $

Так,

$$ S_n = na_1 + [1 + 2 + 3 + \ ldots + (n-1)] d $$

Поскольку сумма первых `(n-1)` целых положительных чисел равна `\ frac {(n-1) n} {2}`, подставляя этот результат в предыдущую формулу, мы получаем

`S_n = na_1 + \ frac {(n-1) n} {2} d` `= \ frac {n} {2} [2a_1 + (n-1) d]`

Когда значение последнего члена an известно, то, используя формулу для члена `n ^ {th}` арифметической прогрессии, `a_n = a_1 + (n — 1) d`, мы можем вывести другую формулу для n-й частичный сумма арифметической прогрессии:

$$ S_n = \ frac {n} {2} (a_1 + a_n) $$

Калькулятор арифметической прогрессии с шагами показывает полное пошаговое вычисление для нахождения члена `n ^ {th}` и частичной суммы `n ^ {th}` арифметической прогрессии, такой, что в в арифметической прогрессии первый член равен «5», а общая разница — «4».Для любых других комбинаций количества терминов, первого члена и общей разницы, просто укажите другие числа в качестве входных данных и нажмите кнопку «СОЗДАТЬ РАБОТУ» . Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор арифметической прогрессии для создания работы, проверки результатов или эффективного выполнения домашних заданий.

Сумма первых n чисел
Сумма первых 100 натуральных чисел	5050
Сумма первых 50 четных чисел	2550
Сумма первых 50 нечетных чисел	90
Сумма первых 50 натуральных чисел	1275
Сумма первых 100 нечетных чисел	10000
Сумма первых 100 четных чисел	10100
Сумма		55
Сумма первых 10 нечетных чисел	100
Сумма первых 10 четных чисел	110
Сумма первых 25 натуральных чисел	325
Сумма натуральных чисел из на 100	3775
Сумма натуральных чисел от 50 до 100	3825
Сумма натуральных чисел от 20 до 50	1085

Важные понятия и формулы — последовательность и ряды

Арифметическая прогрессия (AP)

Арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого получается добавлением константы d к предыдущему члену. \ text {th} $ term $ = a + (n-1) d $

Пример 1

Найдите термины $ 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + \ cdots $ до $ 20 $

$ a = 4 $
$ d = 7-4 = 3 $

$ S_ {20} = \ dfrac {n} {2} [2a + (n-1) d] \\ = \ dfrac {20} {2} [2 × 4 + (20-1) 3] \\ = 10 [8 + 19 × 3] \\ = 10 (8 + 57) \\ = 650 $

Пример 2

Найдите $ 6 + 9 + 12 + \ cdots + 30 $

$ а = 6 \ l = 30 \ d = 9-6 = 3 $

$ n = \ dfrac {(l-a)} {d} +1 \\ = \ dfrac {(30-6)} {3} +1 \\ = 9 $

$ S = \ dfrac {n} {2} (a + l) \\ = \ dfrac {9} {2} (6 + 30) \\ = 162 $

Среднее арифметическое

Если $ a, b, c $ находятся в AP, $ b $ — это среднее арифметическое (AM) между $ a $ и $ c.$ В этом случае $ b = \ dfrac {1} {2} (a + c) $

Среднее арифметическое (AM) между двумя числами $ a $ и $ b $ $ = \ dfrac {1} {2} (a + b) $

Если $ a, a_1, a_2 \ cdots a_n, b $ находятся в AP, тогда $ a_1, a_2 \ cdots a_n $ — средние арифметические значения $ n $ между $ a $ и $ b $

Дополнительные примечания к AP

1. Для решения большинства проблем, связанных с AP, термины могут быть удобно приняты как
   $ 3 $ терминов: $ (a — d), a, (a + d) $
   $ 4 $ терминов: $ (a-3d), ( ad), (a + d), (a + 3d)
   $ 5 $ термины: $ (a-2d), (a — d), a, (a + d), (a + 2d) $

2. $ t_n = S_n-S_ {n-1} $

3. Если каждый член AP увеличивается, уменьшается, умножается или делится на ту же ненулевую константу, результирующая последовательность также будет в AP.

4. В AP сумма членов, равноудаленных от начала и до конца, будет постоянной.

Формула суммы

для каждого арифметического ряда с заданными первым и последним членами — Mathlibra

Арифметическая прогрессия (AP или AP)
Напомним некоторые формулы и свойства, изученные ранее.

Последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…, a _n называется арифметической последовательностью или арифметической прогрессией, если a _{( n +1 )} = a _n + d , n ∈N, где a ₁ называется первым членом, а постоянный член d называется общей разностью A.С.

Рассмотрим A.P. (в его стандартной форме) с первым членом a и общей разностью d , т.е. a , a + d , a +2 d ,….
Тогда n -й член (общий термин) A.P. равен a _n = a + ( n -1) d .

Мы можем проверить следующие простые свойства A.P .:

(i) Если к каждому члену A добавляется константа.P., результирующая последовательность также является AP
(ii) Если константа вычитается из каждого члена AP, результирующая последовательность также является AP
(iii) Если каждый член AP умножается на константу, то результирующая последовательность также является AP
(iv) Если каждый член AP делится на ненулевую константу, то результирующая последовательность также является AP
Здесь мы будем использовать следующие обозначения для арифметической прогрессии:
a = первый член, ℓ = последний член, d = общая разница, n = количество терминов. S _n = сумма n членов AP
Пусть a , a + d , a +2 d , a + ( n -1) d быть AP Тогда ℓ = a + ( n -1) d

S _n = ½ n [2 a + ( n -1 ) д ]
Мы также можем написать: S _n = ½ n ( a + ℓ )

Формула для суммы n Условия AP
Пусть

S _n = a + ( a + d ) + ( a +2 d ) + … + ( a + ( n -2) d ) + ( a + ( n -1) d )… (1)
Записывая выражение в обратном порядке, получаем
S _n = ( a + ( n -1) d ) + ( a + ( n -2) d ) +… + ( a +2 d ) + ( a + d ) + a … (2)
Складывая (1) и (2) по вертикали, получаем
2 S _n = [2 a + ( n -1) d ] + [2 a + ( n — 1) d ] +… + [2 a + ( n -1) d ]… ( n выражений)
⇒ S _n = ½ n [2 a + ( n -1) d ]
Альтернативная форма формулы суммы
S _n = ½ n [ a + a + ( n -1) d ]
⇒ S _n = ½ n [ a + ℓ ]
где ℓ = a + ( n -1) d — последний член AP

(Доказательство 1).Первый и последний члены AP равны и ℓ соответственно. Покажите, что сумма n -го члена от начала и n -го члена в конце равна ( a + ℓ ).
Решение:
В данной AP первый член = a и последний член = ℓ .
Пусть общая разница будет d .
Тогда n -й член от начала будет равен

a _n = a + ( n -1) d … (1)
Аналогично, n -й член от конца равен
a _n = ℓ — ( n -1) d … (2)
Складывая (1) и (2), получаем
a + ( n -1) d + { ℓ — ( n -1) d }
= a + ( n -1) d + ℓ — ( n -1) d
= a + ℓ
Следовательно, сумма n -го члена от начала и n -го члена от конца ( a + ℓ ).

(Доказательство 2). Если p -й член AP равен q , а его q -й член равен p , тогда покажите, что его ( p + q ) -й член равен нулю.
Решение:
В данной AP пусть первый член будет a , а общая разница будет d .
Тогда a _n = a + ( n -1) d

a _p = a + ( p -1) d = q … (i)
a _q = a + ( q -1) d = p … (ii)
Вычитая (i) из (ii), получаем
( q — p ) d = ( p — q )
d = -1
Подставляя d = -1 в (i), получаем
a = ( p + q -1)
. Таким образом, a = ( p + q -1) и d = -1 Итак, a _{( p + q )} = a + ( p + q -1) d
= ( p + q -1) + ( p + q -1) (- 1)
= (p + q-1) — ( p + q -1) = 0
Следовательно, ( p + q ) -й член равен 0 (нулю).

Пример 1. Найдите сумму каждого из следующих арифметических рядов:
(i) 7 + 10½ + 14 + ⋯ +84
(ii) 34 + 32 + 30 + ⋯ +10
(iii) (-5) + (-8) + (- 11) + ⋯ + (- 230)
Решение:
(i) Данный арифметический ряд равен 7 + 10½ + 14 + ⋯ +84.
Здесь a = 7, d = 10½-7 = 3½ и ℓ = 84.
Пусть данная серия содержит n терминов. Тогда a _n = 84.

[ a _n = a + ( n -1) d ]
7+ ( n -1) ∙ 3½ = 84… (× 2)
14+ ( n -1) ∙ 7 = 168
n -1 = (168-14) ÷ 7
n -1 = 22
n = 23

S _n = ½ n [ a + ℓ ]

∴ Требуемая сумма S ₂₃ = ½ ∙ 23 ∙ (7 + 84)
= ½ ∙ 23 ∙ 91
= ½ ∙ 2030
= 1046½

(ii) Данный арифметический ряд равен 34 + 32 + 30 + ⋯ +10.
Здесь a = 34, d = 32-34 = -2 и ℓ = 10.
Пусть в данной серии n членов. Тогда a _n = 10.

[ a _n = a + ( n -1) d ]
34+ ( n -1) ⋅ (-2) = 10
-2 n +36 = 10
-2 n = 10-36 = -26
n = 13.

S _n = ½ n [ a + ℓ ]

∴ Требуемая сумма S ₁₃ = ½ ∙ 13 ∙ (34 + 10)
= ½ ∙ 13 ∙ 44
= ½ ∙ 286

(iii) Данный арифметический ряд равен (-5) + (- 8) + (- 11) + ⋯ + (- 230).
Здесь a = -5, d = -8 — (- 5) = — 8 + 5 = -3 и ℓ = 230.
Пусть в данной серии n членов. Тогда a _n = -230.

[ a _n = a + ( n -1) d ]
-5+ ( n -1) ⋅ (-3) = — 230
-3 n -2 = -230
-3 n = -230 + 2 = -228
n = 76

S _n = ½ n [ a + ℓ ]

∴ Требуемая сумма S ₇₆ = ½ ∙ 76 ∙ (-5-230)
= 38 ∙ (-235)
= -8930

Найдите сумму каждого арифметического ряда от Ex2 до Ex11.
Ex2. 4 + 8 + 12 +… + 200
Решение:

8-4 = 4
12-8 = 4
Общая разница составляет 4.
a ₁ = 4, a _n = 200, d = 4
a _n = a ₁ + ( n — 1) d
200 = 4 + ( n -1) 4
4 n = 200
n = 50
Найдите сумму ряда.
S _n = ½⋅ n ⋅ ( a ₁ + a _n )
S ₅₀ = ½⋅50⋅ (4 + 200)
= 5100
Ответ:
5100

Ex3.-18 + (- 15) + (- 12) +… + 66
Решение:

-15 — (- 18) = 3
-12 — (- 15) = 3
Общая разница составляет 3.
a ₁ = -18, a _n = 66
Найдите значение n .
a _n = a ₁ + ( n -1) d
66 = -18 + ( n -1) 3
3 n = 87
n = 29
Найдите сумму.
S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₂₉ = ½⋅29⋅ (-18 + 66)
= 696
Ответ: 696

Ex4.-24 + (- 18) + (- 12) +… + 72
Решение:

-18 — (- 24) = 6
-12 — (- 18) = 6
Общая разница составляет 6.
a ₁ = -24, a _n = 72
Найдите значение n .
a _n = a ₁ + ( n -1) d
72 = -24 + ( n -1) 6
6 n = 102
n = 17
Найдите сумму.
S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₁₇ = ½⋅17⋅ (-24 + 72)
= 408
Ответ: 408

Ex5. a ₁ = 12, a _n = 188, d = 4
Решение:

a _n = a ₁ + ( n -1) d
188 = 12 + ( n -1) 4
4 n = 180
n = 45
Найдите сумму ряда.
S _n = ½⋅ n ⋅ ( a ₁ + a _n )
S ₄₅ = ½⋅45⋅ (12 + 188)
= 4500
Ответ:
4500

Ex6. a _n = 145, d = 5, n = 21
Решение:

a _n = a ₁ + ( n -1) d
145 = a ₁ + (21-1) 5
a ₁ = 45
Найдите сумму ряда.
S _n = ½⋅ n ⋅ ( a ₁ + a _n )
S ₂₁ = ½⋅21⋅ (45 + 145)
= 1995
Ответ:
1995 г.

Ex7.первые 50 натуральных чисел
Решение:

S ₅₀ = ½⋅50⋅ (1 + 50)
= ½⋅50⋅51
= 1275
Ответ: 1275

Ex8. первые 100 нечетных натуральных чисел
Решение: Здесь a ₁ = 1, a ₁₀₀ = 199 и n = 100
Найдите сумму.

S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₁₀₀ = ½⋅100⋅ (1 + 199)
= 10,000
Ответ: 10 000

Ex9.первые 200 нечетных натуральных чисел
Решение:
Здесь a ₁ = 1 и a ₂₀₀ = 399.
Найдите сумму.

S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₂₀₀ = ½⋅200⋅ (1 + 399)
= 40,000
Ответ: 40 000

Ex10. первые 100 четных натуральных чисел
Решение: Здесь a ₁ = 2 и a ₁₀₀ = 200.
Найдите сумму.

S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₁₀₀ = ½⋅100⋅ (2 + 200)
= 10,100
Ответ: 10 100

Ex11. первые 300 четных натуральных чисел
Решение:
Здесь a ₁ = 2, a ₃₀₀ = 300 и n = 300.
Найдите сумму.

S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₃₀₀ = ½⋅300⋅ (2 + 600)
= 90,300
Ответ: 90 300

Ex12.Определите сумму ряда: 19 + 22 + 25 +… + 121
решение:

a = 19 и d = 3
a _n = 3 n + 16 = 121 = ℓ
3 n = 105
n = 35
S _n = ½ n ( a + ℓ )
S ₃₅ = ½⋅35⋅ (19 +121) = 35⋅½⋅140 = 35⋅70 = 2450

Ex13. Найдите сумму ряда 1 + 3,5 + 6 + 8,5 +… + 101.
Решение:
Это арифметический ряд, потому что разница между членами является постоянной величиной, 2.5. Мы также знаем, что первый член равен 1, а последний член — 101. Но мы не знаем, сколько членов в ряду. Таким образом, нам нужно будет использовать формулу для последнего члена арифметической прогрессии,

ℓ = a + ( n -1) d
чтобы дать нам 101 = 1 + ( n -1) × 2,5.
Теперь это просто уравнение для n , количества членов в ряду, и мы можем его решить. Если мы вычтем 1 из каждой стороны, мы получим
100 = ( n -1) × 2.5
а затем разделив обе стороны на 2,5, мы получим
40 = n -1
так что n = 41. Теперь мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии в версии с ℓ , чтобы получить
S _n = ½ n ( a + ℓ )
S ₄₁ = ½ × 41 × (1 + 101)
= ½ × 41 × 102
= 41 × 51
2091

Ex14. Найдите сумму -6 + 1 + 8 + 15 +… + 141.
решение:
Ряд является арифметическим с u ₁ = -6, d = 7 и u _n = 141.Сначала нам нужно найти n .

u ₁ + ( n -1) d = 141
-6 + 7 ( n -1) = 141
7 ( n -1) = 147
n -1 = 21
n = 22
Используя S _n = ½ n ( u ₁ + u _n )
S ₂₂ = ½⋅22⋅ (-6 + 141)
= 11⋅135 = 1485

Ex15. Найдите количество членов AP -12, -9, -6,…, 21.
Если к каждому члену AP добавляется 1, то получается сумма всех членов AP, полученная таким образом.
Решение:
Дано AP -12, -9, -6,…, 21.
Здесь a = -12, d = -9 — (- 12) = — 9 + 12 = 3 и ℓ = 21.
Предположим, что в AP имеется n терминов.

∴ ℓ = a _n = 21
[ a _n = a + ( n -1) d ]

-12+ ( n -1) ⋅3 = 21
3 n -15 = 21
3 n = 21 + 15 = 36
n = 12.

Таким образом, в AP 12 терминов.
Если к каждому члену AP добавляется 1, то полученная таким образом новая AP будет -11, -8, -5,…, 22.
Здесь первый член a = -11, последний член ℓ = 22 и n = 12.
Получите сумму терминалов этой AP.
S _n = ½ n ( a + ℓ )
∴ S ₁₂ = ½⋅12⋅ (-11 + 22)
= 6⋅11 = 66
Следовательно, необходимая сумма — 66.

Ex16. Сумма первых 20 нечетных натуральных чисел равна
(a) 100 (b) 210 (c) 400 (d) 420
Решение:
Первые 20 нечетных натуральных чисел — это 1, 3, 5,…, 39.
Эти номера указаны в AP.
Здесь a = 1, ℓ = 39 и n = 20.
∴ Сумма первых 20 нечетных чисел

S _n = ½ n ( a + ℓ )
S ₂₀ = ½⋅20⋅ (1 + 19)
= 10⋅40
= 400.
Ответ: (c) 400

Ex17. Найдите сумму всех нечетных чисел от 0 до 50.
Решение:
Все нечетные числа от 0 до 50 равны 1, 3, 5, 7,…, 49.
Это AP, в которой a = 1, d = (3-1) = 2 и ℓ = 49.
Пусть количество членов будет n .
Тогда a _n = 49

a + ( n -1) d = 49
1+ ( n -1) ⋅2 = 49
2 n = 50
n = 25
∴ Требуемая сумма = ½ n ( a + ℓ )
= ½⋅25⋅ (1 + 49)
= 25⋅½⋅50
= 25⋅25 = 625
Следовательно, необходимая сумма — 625.

Пр. 18: Нахождение суммы ряда арифметических операций
Найдите сумму всех нечетных чисел от 51 до 99 включительно.
Решение:
Сначала используйте a ₁ = 51, a _n = 99, чтобы найти n :

a _n = a ₁ + ( n -1) d
99 = 51 + ( n -1) 2
n = 25
Теперь найдите S ₂₅ .
S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
S ₂₅ = ½⋅25⋅ (51 + 99)
= 1,875

Ex19.Найдите сумму всех целых чисел от 100 до 1000, которые делятся на 9.
Решение: Первое целое число больше 100 и делимое на 9 равно 108, а целое число, которое немного меньше 1000 и делится на 9, равно 999. Таким образом, мы должны найти сумму ряда.

108 + 117 + 126 +… + 999.
Здесь t = a = 108, d = 9 и ℓ = 999
Пусть n будет общим количеством членов в ряду n . Тогда
999 = 108 + 9 ( n -1)… (÷ 9)
111 = 12 + ( n -1)
n = 100
Следовательно, требуемая сумма
S _n = ½ n ( a + ℓ )
= ½⋅100⋅ (108 + 999)
= 50 (1107) = 55350.
Давайте читать числа постов, которые делятся на целое число или кратны ему в арифметической последовательности
. Вопрос 1. (5 + 13 + 21 +… + 181) =?
(а) 2476 (б) 2337 (в) 2219 (г) 2139
Решение:
Здесь a = 5, d = (13-5) = 8 и ℓ = 181.
Пусть количество термов будет n . Тогда a _n = 181
a + ( n -1) d = 181
5+ ( n -1) ⋅8 = 181
8 n = 184
n = 23
∴ Требуемая сумма = ½ n ( a + ℓ )
= 23⋅½⋅ (5 + 181) = 23⋅93 = 2139.
Следовательно, необходимая сумма составляет 2139.
Ответ: (г) 2139

Q2. В местном театре 30 мест в первом ряду и всего 50 рядов. Каждый последующий ряд содержит по два дополнительных сиденья. Сколько мест в театре?
решение:
Мне нужно знать, сколько мест в 50-м ряду. Я найду формулу, чтобы начать работу.

a _n = 2 n + x
a ₁ = 2 (1) + x
30 = 2 + x
28 = x
формула для последовательности: a _n = 2 n +28.
Расчет количества мест в 50-м ряду: a ₅₀ = 2 (50) + 28 = 128.
Мне нужно сложить эти числа, чтобы получить ответ: 30 + 32 + 34 +… .. + 128.
Я буду использовать формулу S _n = ½ ( a ₁ + a _n )
S ₅₀ = ½⋅50⋅ (30 + 128) = 25 (158) = 3950
Ответ: Всего 3950 мест.

Q3. Открытый амфитеатр рассчитан на 40 мест в первом ряду, 41 место во втором ряду, 42 места в третьем ряду.Картина продолжается. В амфитеатре 70 рядов.

Сколько мест в амфитеатре?
раствор:
Мне нужно знать, сколько мест в 70-м ряду. Я найду формулу, чтобы начать работу.
a _n = 1 n + x
a ₁ = 1 (1) + x
40 = 1 + x
39 = x
Формула для последовательности: a _n = n +39.
Расчет количества мест в 70-м ряду: a ₇₀ = 70 + 39 = 109.
Мне нужно сложить эти числа, чтобы получить ответ: 40 + 41 + 42 +… .. + 109.
Я буду использовать формулу S _n = ½ ( a ₁ + a _n ).
S ₇₀ = ½⋅70⋅ (40 + 109) = 35 (149) = 5215
Ответ: Всего 5215 мест.

Q4. Первый и последний члены AP — 17 и 350 соответственно. Если общая разница — 9, сколько членов и какова их сумма?
Решение:
Предположим, что в AP имеется n терминов.
Здесь a = 17, d = 9 и ℓ = 350.

a _n = 350
[ a _n = a + ( n -1) d ]
17+ ( n -1) ⋅9 = 350
9 n + 8 = 350
9 n = 350-8 = 342
n = 38.
Таким образом, в P.
S _n = ½ n ( a + ℓ )
S ₃₈ = ½⋅38⋅ (17 + 350)
= 19⋅367
= 6973
Следовательно, необходимая сумма — 6973.

Q5. (Конкурсы) Призы в еженедельном радиоконкурсе начинались с 150 долларов и увеличивались на 50 долларов за каждую неделю, пока длился конкурс. Если конкурс длился одиннадцать недель, сколько всего было присуждено?
Решение:
Дано, a ₁ = 150, d = 50 и n = 11.
Найдите значение a ₁₁ .

a _n = a ₁ + ( n -1) d
a ₁₁ = a ₁ + (11-1) d
= 150 + 10⋅50
= 650
Найдите сумму.
S _n = ½⋅ n ⋅ ( a ₁ + a _n )
= 11⋅½⋅ (150 + 650)
= 4400
Денежный приз за одиннадцатинедельный конкурс составил 4400 долларов.
Ответ: 4400 долларов

Q6. (Драма) У Лауры есть драматический спектакль через 12 дней. Она планирует репетировать свои реплики каждую ночь. В первый вечер она репетирует свои реплики 2 раза. На следующий вечер она репетирует свои реплики 4 раза. На третью ночь она репетирует свои реплики 6 раз. На одиннадцатый вечер, сколько раз она репетировала свои реплики?
Решение:
Арифметическая последовательность, которая представляет ситуацию: 2, 4, 6,….
Замените 2 на a ₁ , 2 на d и 11 на n в формуле для n -го члена и найдите a ₁₁ .

a _n = a ₁ + ( n -1) d
a ₁₁ = 2 + (11-1) 2
= 2 + 20
= 22
Подставьте 2 вместо a ₁ , 22 вместо a _n , 11 вместо n в формуле суммы
S _n = ½ n ( a ₁ + a _n )
= 11⋅½⋅ (2 + 22)
= 11⋅12
= 132
Ответ: 132

Математические проекты по арифметической прогрессии

Математические прогрессии являются неотъемлемой частью любой учебной программы по алгебре в старших классах, определяемой как любая последовательность чисел, следующих по шаблону.В школе преподаются два распространенных типа математических прогрессий: геометрические прогрессии и арифметические прогрессии. В школьные проекты могут быть включены различные свойства арифметических прогрессий.

Определение

Арифметическая прогрессия — это любая последовательность чисел, в которой каждый член имеет постоянную разницу с предыдущим членом. Например, «1,2,3 …» — это арифметическая прогрессия, потому что каждый член на единицу больше предыдущего. Чтобы научить этому студентов, попросите их создать арифметические прогрессии с учетом общей разницы.Другое задание — попросить их определить, какие прогрессии являются арифметическими, и найти общее различие между терминами.

Рекурсивная формула

Самым основным типом формулы для любой арифметической прогрессии является рекурсивная формула. В рекурсивной формуле первый член указан как ноль (0). Формула выглядит так: «a (n + 1) = a (n) + r», в которой «r» является общей разницей между последующими терминами. Основные проекты, в которых используется рекурсивная формула, включают построение прогрессии из формулы и построение формулы из арифметической прогрессии.Это может быть расширение проекта из предыдущего раздела.

Явная формула

Явная формула для арифметической прогрессии имеет форму «a (n) = a (1) + n * r», где «a (n)» — это n-й член (определяется как любой член в арифметической последовательности) прогрессии, «a (1)» — это первый член, а «r» — общая разница. Эта формула может быть легко преобразована в рекурсивную форму и наоборот. Предложите студентам попрактиковаться в построении явной формулы на основе рекурсивных формул, полученных в проекте Раздела 2.

Суммирование

Чтобы найти сумму арифметической последовательности от «a (1)» до «a (n)» с общей разностью «r», подставьте в формулу следующее: «n (n + 1) / 2 + r (n) (n-1) / 2 + (a (1) -1) * n. » Попросите учащихся использовать формулу для суммирования серии последовательных членов арифметической прогрессии и сверить свой ответ с суммой, полученной простым сложением членов. Попросите их скомпилировать это с другими упражнениями в разделах с 1 по 3, чтобы создать свой собственный проект по арифметическим прогрессиям.

Арифметическая прогрессия для 10 класса

Вопрос.1. Что такое арифметическая прогрессия простыми словами?

Ответ: —
Под арифметической прогрессией можно понимать последовательность, имеющую начальный номер и серию, идущую с определенным интервалом. Самый простой и легкий пример — числовой ряд 1,2,3,4,5,6,7. Здесь первое число — 1, а определенный интервал — 1.
Если мы продолжаем добавлять 1 к последнему числу, последовательность будет продолжать развиваться, и да, она станет арифметической прогрессией!

Вопрос: -2.Что такое формулы арифметической прогрессии?

Ответ: —

формулы для арифметической прогрессии
1. Чтобы найти n-й член любой прогрессии,
an = a1 + (n-1) d
2. Найти формулу суммы арифметической прогрессии
Sn = n / 2 (a1 + an)
Или
Sn = n / 2 (2a1 + (n-1) d)

Вопрос: -3. Что такое сумма формулы арифметической прогрессии, кроме последнего члена?

Ответ: —

Поскольку нам нужно выяснить это из последнего термина, назовем его al.Итак, давайте заменим a1 на al, и, поскольку мы должны действовать в обратном порядке, разница d станет (-d).
Заменив все значения, вы получите;
Sn = n / 2 {2a1 + (n-1) d}
Sn = n / 2 {2al + (n-1) (- d)}
Так просто, как, что.
На всякий случай, если вам нужно лучше разобраться, давайте попробуем найти сумму первых 100 четных чисел из последнего числа. Итак, здесь al = 100, d = (- 2), но мы не знаем, сколько там четных чисел от 1 до 100.Итак, сначала нам нужно найти значение n. Давайте начнем.
Известные нам формулы: an = a1 + (n-1) d
Для этой задачи у нас есть следующие значения
an = 100
а1 = 2
d = 2
Подставляя их в уравнение, мы найдем значение n.
an = a1 + (n-1) d
100 = 2 + {(n-1) * 2}
98 = 2н-2
96 = 2n
48 = п
Следовательно, существует 48 четных чисел от 1 до 100.Теперь давайте найдем сумму из последнего числа.
al = 100
п = 48
d = (- 2)
Sn = n / 2 {2al + (n-1) (- d)}
Sn = n / 2 {2al + (n-1) (- d)}
Sn = 48/2 {2 * 100 + (48-1) (- 2)}
Sn = 2,544

Вопрос: -4 Какие термины чаще всего используются в формулах арифметической прогрессии?

Ответ: —

Первый член будет a1,
Разница быть d; и
Последний семестр будет
Теперь добавьте «d» к a1.Что вы получаете? (a1 + d). Это означает, что у вас есть два числа последовательности. Два числа — это a1 и (a1 + d).
а1 = а1
а2 = (а1 + г)
а3 = (а1 + г) + г
a3 = a1 + 2d

Аналогично a4 можно записать как a4 = a1 + 3d;

Вопрос: -5 Предположим, вы изначально положили 500 в свою копилку, а в дальнейшем продолжаете добавлять 100 каждый месяц, сколько денег у вас будет в конце года.