Формула суммы в кубе: § Школьная математика. Математика 6 класс. Уроки по математике. Математика 5 класс
| | Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Квадратные и биквадратные уравнения. Формулы. Методы. / / Решение уравнений. Формулы приведения для полиномов. Разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы, разность и сумма кубов, куб разности и суммы. Они же «формулы сокращенного умножения».
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| TehTab.ru Реклама, сотрудничество: [email protected] | Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления.{3}=3,}Куб суммы. — математика, презентацииУрок «открытия» нового знания (ОНЗ) Цель: изучение новой темы: «Куб суммы». Задачи: 1.Образовательные: повторить и закрепить знание формул сокращённого умножения: «квадрат суммы » и изучить формулы «куб суммы » их применение при раскрытии скобок; отработка вычислительных навыков. 2.Развивающие: развитие у обучающихся способностей по составлению своего плана действий в использовании формул сокращённого умножения. 3.Воспитательные: формирование ответственного отношения к труду, организованности, дисциплинированности, требовательности к себе, развитие самооценки. Оборудование: доска, компьютер, мультимедиа, авторская мультимедийная презентация к уроку «Куб суммы». План урока:
Просмотр содержимого документа«Куб суммы. » Зональный конкурс «Учитель года-2014» Русская пословица. Игра « Третий лишний » . 6 3 ² a ² + b ² (a + b)(a + b) ( а + b) ²
27 4 ² 8 2ав ( а+в ) ² 3а ² в 1 а Формулы сокращенного умножения Возведите в степень: Разбор задания: Классная работа. Куб суммы Классная работа. Куб суммы Возведение в куб суммы ( a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b)= =( a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b)= = a 3 + 2 a 2 b + ab 2 + a 2 b +2 ab 2 + b 3 = = a 3 +3a 2 b +3ab 2 +b 3 Формула куба суммы ( a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 +b 3 Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. Название какого государства скрывается в математическом выражении ответ Гавана – столица Кубы КУБА Физкультминутка Физкультминутка Классная работа. Возведение в куб суммы № 859 (г) Рефлексия.
Домашнее задание. № 862 Вывести формулу Найти информацию о треугольнике Паскаля. ТРУД,ТРУД ,ТРУД — вот три сокровища. Русская пословица Зональный конкурс «Учитель года-2014» Формулы суммы и разницы кубов. Формулы сокращенного умножения. Примеры применения ФСУФормулы сокращенного умножения. Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений. Применение формул сокращенного умножения при решении примеров. Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть . Пусть а, b R. Тогда: 1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Квадрат разности двух выражений равен (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. a 2 — b 2 = (a -b) (a+b) 4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений. a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2) 7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений. a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2) Применение формул сокращенного умножения при решении примеров. Пример 1. Вычислить а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем (40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681 б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим 98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 — 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604 Пример 2. Вычислить Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим Пример 3. Упростить выражение (х — у) 2 + (х + у) 2 Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений (х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2 Формулы сокращенного умножения в одной таблице: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро. В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения. Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул. Формулы сокращенного умножения
Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой. Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений. Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности. Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество. При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. Дополнительные формулы сокращенного умноженияНе будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона. a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле: C n k = n ! k ! · (n — k) ! = n (n — 1) (n — 2) . . (n — (k — 1)) k ! Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно. Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых. a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 a n Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых. a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 + . . + a 2 b n — 2 + b n — 1 Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней. Для четных показателей 2m: a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 + . . + b 2 m — 2 Для нечетных показателей 2m+1: a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 + . . + b 2 m Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на — b . Как читать формулы сокращенного умножения?Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел. a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 . Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения. Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем: квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения. Прочитаем формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение. Переходим к чтению формулы для разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3 . Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения. Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений. Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности. С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так: Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. Доказательство ФСУДоказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках. Для примера рассмотрим формулу квадрата разности. a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 . Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя. a — b 2 = a — b a — b . Раскроем скобки: a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 . Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично. Примеры применения ФСУЦель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры. Пример 1. ФСУ Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2 . Применим формулу суммы квадратов и получим: 9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2 Пример 2. ФСУ Сократим дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 . Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов. 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z . Сокращаем и получаем: 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере. Возведем в квадрат число 79 . Вместо громоздких вычислений, запишем: 79 = 80 — 1 ; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241 . Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения. Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в вид 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4 . Такие преобразования широко используются в интегрировании. Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки . В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения . Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку . Вспомним, как выглядит формула разности кубов. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания. Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону . (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов. Обратим внимание, что «27а 3 » — это «(3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо «a » мы используем «3a ». Используем формулу разности кубов. На месте «a 3 » у нас стоит «27a 3 », а на месте «b 3 », как и в формуле, стоит «b 3 ». Применение разности кубов в обратную сторонуРассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения. Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов «», только вместо «a » стоит «x », а на месте «b » стоит «1 ». Используем для «(x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону. Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов. Если сравнить «(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)
» с правой частью
формулы разности кубов Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов. Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства). Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование. Квадрат суммы Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с². Квадрат разности Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с². Разность квадратов Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a — с). Куб суммы Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³. Сумма кубов Согласно формуле, приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·(а² — ас + с²). Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон. Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто. Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления. Куб разности Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³. Разность кубов Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде разность кубов выглядит следующим образом: а 3 — с 3 = (а — с)(а 2 + ас + с 2). Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба. Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления. Дроби. Формулы сокращенного умноженияФакт 1. Факт 2. Факт 2. Формулы сокращённого умножения кратко АрифметикаПривет, мой друг, тебе интересно узнать все про формулы сокращенного умножения, тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое формулы сокращенного умножения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика При расчете алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть. Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены. Разность квадратовРазность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы. Примеры: Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращенного умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик . Поясним на примере: Найти .
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
Квадрат разностиКвадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа. Также стоит запомнить весьма полезное преобразование: Формула выше доказывается простым раскрытием скобок: Куб суммыКуб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго. Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
Куб разностиКуб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго. Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д. Сумма кубовНе путать с кубом суммы!Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности. Сумма кубов — это произведение двух скобок. Разность кубовНе путать с кубом разности!Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы. Будьте внимательны при записи знаков. Применение формул сокращенного умноженияСледует помнить, что все формулы, приведенные выше, используется также и справа налево. Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберете многочлен обратно. Примеры: Для чего нужны формулы сокращенного умножения?Формулы сокращенного умножения применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро. Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, они приментюся не только для этого . Они широко применятся при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Главной целью их применения развития умения абстрактного разбиение (синтеза и анализа) информации, развитие абстрактного и критического мышления Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про формулы сокращенного умножения Надеюсь, что теперь ты понял что такое формулы сокращенного умножения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика 3 $$Сумма последовательных кубиковТеоретическая арифметика Приложение 3 Раздел 2 Вернуться в раздел 1 Когда одно и то же число повторяется как множитель три раза — как 4 × 4 × 4 — мы называем произведение 3-й степенью этого основания; этот продукт обычно называют кубом. (Это аналог объема твердой фигуры, называемой кубом.) Вот число 4: При многократном добавлении четыре раза — — у нас есть 2-я степень, или квадрат, 4. После многократного добавления этой мощности четыре раза — — у нас есть 3-я степень, или куб, 4. На данный момент будет удобно выразить куб числа с показателем 3.
Теперь мы подошли к одному из самых замечательных фактов в структуре натуральных чисел: Сумма n последовательных кубов равна квадрату 1 3 + 2 3 + 3 3 +. . . + n 3 = (1 + 2 + 3 +… + n ) 2 . до см. то, начнем здесь: Разница между квадратами двух следующих друг за другом треугольных чисел Треугольников: 1 3 6 10 15 21 28
Основание каждого куба — это разности двух треугольников. Смотрите — вот куб 4: Оттуда выделим этот прямоугольный массив — — и переместите его сюда: Тогда у нас есть квадрат стороны 10 — — минус квадрат стороны 6. Разница между квадратами этих двух последовательных треугольников 10 и 6 равна кубу 4 3 . Следовательно, Сумма этих четырех кубиков равна квадрату четвертого треугольника. * В качестве альтернативы, поскольку каждое квадратное число представляет собой сумму последовательных нечетных чисел, квадрат треугольного числа — тоже.
Следовательно, разница этих квадратов — каждого куба — будет суммой последовательных нечетных чисел, хотя и не начинающихся с 1.
Опять же, сумма этих четырех кубов равна квадрату четвертого треугольника. Мы доказали это с помощью математической индукции Вернуться в раздел 1 Введение | Главная | Содержание Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети. Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Электронная почта: themathpage @ яндекс.com Факторинг суммы или разницы кубов8.5 — Факторинг суммы или разницы кубов8.5 — Факторинг суммы или разницы кубов
Вы можете легко проверить оба этих фактора, умножив правые части и заметив, что все условия, кроме условий куба, отменяются. Вот несколько примеров. В каждом случае мы узнаем форму а 3 ± б 3 , (± — это сокращение от « плюс или минус »), затем определите a и b , а затем просто укажите факторизованную форму. Пример: Фактор x 3 + 27.
Пример: Фактор 8 x 6 — 64 y 3 .
Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите Оглавление в рамке слева. Щелкните здесь, чтобы отобразить его. Задача о сумме трех кубов для 42 только что решена Еще в апреле 2019 года мы писали о решении задачи «Сумма трех кубов» для числа 33 . Задачу можно сформулировать так: СВЯЗАННЫЙ: ЧИСЛО 33 КАК СУММА ТРЕХ КУБОВ ПРОБЛЕМА ТОЛЬКО РЕШЕНА Уравнения этой формы, k = x 3 + y 3 + z 3 , где k находится между 1 и 100 называются диофантовыми уравнениями и названы в честь греческого математика Диофанта Александрийского, который жил около –250 годов нашей эры. 1950-е годы дают решенияНачиная с 1950-х годов математики начали работать над решением диофантовых уравнений и нашли решения для всех чисел, кроме 33 и 42 . Числа 4 , 5 , 13 , 14 , 22 , 23 , 31 , 32 никогда не могут быть выражены как сумма трех кубов, потому что их можно записать как: Так и было до April 2019 , когда Эндрю Букер из Бристольского университета создал новый компьютерный алгоритм для решения задачи суммы трех кубов для числа 33 , который полностью исследовал числовую прямую в обоих направлениях. до 99 квадриллионов.Это 9 Букер нашел ответ для 33 : Тайна 42Льюис Кэрролл, автор книг Алиса в стране чудес , на самом деле был математиком и был одержим числом 42 .В Приключения Алисы в стране чудес 42 иллюстраций. «Правило сорок два» в том же произведении гласит: «Все люди выше мили высотой должны покинуть двор», а в «Охота на Снарка», Пекарь имеет «42 коробки, все тщательно упакованные. его имя ясно написано на каждом «. Перенесемся вперед 114 лет, и английский писатель Дуглас Адамс издает свою чрезвычайно популярную книгу Автостопом по Галактике .В нем суперкомпьютер Deep Thought тратит 7,5 миллионов лет на размышления над главным вопросом, но, к сожалению, как только он находит ответ, никто не может вспомнить, в чем был вопрос. Однако ответ — « 42 ». Итак, что это с числом 42 ? Во-первых, это сумма первых 6 положительных четных чисел: 42 — это проническое число , , числа, являющиеся произведением двух последовательных целых чисел: 42 также является избыточным числом , также называемым избыточным числом . Это числа, у которых сумма собственных делителей больше, чем само число. Делители 42 : 42 также является сфеническим числом , которое представляет собой целые положительные числа, являющиеся произведением трех различных простых чисел . Простое число — это число больше 1, которое не может быть образовано путем умножения двух меньших чисел.В случае 42 это произведение: Магия 42Вы можете создать магический квадрат , сумма которого равна 42 : 42 Магический квадрат Источник: Марсия ВендорфИ есть волшебный куб, вершины которого в сумме составляют 42 : 42 Magic Cube Источник: Jaksmata / Wikimedia Commons
Падение 42Эндрю Букер знал, что ему придется преодолеть 99 квадриллионов , чтобы найти решение для 42 , и он объединился с математиком Массачусетского технологического института Эндрю Сазерлендом, который подключил его к Charity Engine.Charity Engine — это краудсорсинговый «всемирный компьютер», состоящий из примерно 500000 домашних компьютеров по всему миру. Charity Engine использует вычислительную мощность компьютера в режиме ожидания, и потребовалось 1 миллион часов времени обработки, чтобы решить диофантово уравнение, где k равно 42 . Ответ: Если вы думаете, что на вопрос о смысле жизни дан ответ, задумайтесь: между числами 100 и 1000 задача суммы трех кубов не решена для чисел: Жизнь, Вселенная и математика: 42 Доказано, что это сумма 3 кубиковЭтот сайт может получать партнерские комиссии за ссылки на этой странице. Условия эксплуатации.Проблема числа 42 — по крайней мере, в том, что касается того, можно ли считать число суммой трех кубиков — наконец-то решена.Вопрос о том, можно ли таким образом выразить каждое число меньше 100, был давней загадкой в мире математики. Два математика, Эндрю Сазерленд из Массачусетского технологического института и Эндрю Букер из Бристоля, совместно доказали, что 42 действительно является суммой трех кубов. В течение многих лет математики работали, чтобы продемонстрировать, что x 3 + y 3 + z 3 = k , где k определяется как числа от 1 до 100.К 2016 году исследователи продемонстрировали, что эта теория верна во всех случаях, за исключением двух недоказанных исключений: 33 и 42. Формальная теория, выраженная Роджером Хит-Брауном в 1992 году, состоит в том, что каждые k не равны 4 или 5 по модулю 9 имеет бесконечное множество представлений в виде суммы трех кубов. Заполнив этот конкретный пробел, мы доказали, что все числа ниже 113 соответствуют этой теории. Ранее в этом году Эндрю Букер из Бристоля был вдохновлен видеороликом Numberphile, чтобы начать работу над решением.Мы встроили это видео ниже:
Букер разработал новый, более эффективный алгоритм поиска решения проблемы для этих двух значений. На поиск решения для 33 потребовалось около трех недель после того, как проблема была запущена на суперкомпьютере в Исследовательском центре перспективных вычислений Великобритании. 42 оказался более крепким орешком, поэтому Букер объединился с Эндрю Сазерлендом, который помимо того, что является математиком, является экспертом в массовых параллельных вычислениях.Эти двое обратились за помощью к Charity Engine, проекту распределенных вычислений, который позволяет ПК зарабатывать деньги на благотворительность, жертвуя вычислительным временем. Спустя более миллиона часов вычислений команда нашла решение. В уравнении x 3 + y 3 + z 3 = k , пусть x = -80538738812075974, y = 80435758145817515, а также «Я чувствую облегчение, — сказал Букер. «В этой игре невозможно быть уверенным, что ты что-то найдешь. Это немного похоже на попытку предсказания землетрясений, поскольку у нас есть лишь приблизительные вероятности. Итак, мы можем найти то, что ищем, через несколько месяцев поиска, или может оказаться, что решение не будет найдено еще столетие ». Возможно, это не доказывает, что 42 — это ответ на главный вопрос жизни, Вселенной и всего остального, но Дуглас Адамс четко обосновал решение , что в математическом и философском учебнике Автостопом по галактике . Попытки понять Главный Вопрос остаются погрязшими в недовольных физических уравнениях, касающихся внутренней сложности создания суперкомпьютеров размером с планету с расплавленным железом в качестве центрального ядра. Изображение вверху предоставлено: Martinultima / Wikipedia Сейчас прочитано : Кубы как сумма шансов, расширенная;Кубы как сумма шансов, расширенная;Revisiting Cubes — Визуальные методы и методы структуры данныхпо Аллен Клингер и Пол Ф.Стеллинг Аннотация Визуальное доказательство утверждения, известного ранним грекам: Куб каждого положительного целого числа представляет собой сумму последовательных нечетных целых чисел . Это утверждение справедливо для всех составных / непростых положительных целых чисел, которые либо нечетны, либо делятся на 4. Для любого такого числа n уникальная наименьшая такая последовательность имеет размер, равный наименьшему простому множителю n . Наконец, дается метод определения количества таких последовательностей для каждых n . Введение В первом веке нашей эры один ответ на вопрос: « Как кубики могут быть представлены в натуральных числах?» было дано следующим образом:
Это первое утверждение перефразирует текст [1], который цитирует Никомаха [2].Мы показываем здесь, что структурные концепции преобладают над обозначениями, позволяя понять, почему первое утверждение имеет место. Первые два случая, выраженные обычным образом, показывают его значение: 2 3 = 8 = 3 + 5 (1) Тогда как первый Утверждение кажется большинству людей неясным. Уравнений (1) и (2) достаточно, чтобы поддержать убедительное визуальное доказательство. Однако дальнейшие вопросы возникают со следующим большим целым числом.Одно его представление выглядит следующим образом: 4 3 = 64 = 13 + 15 + 17 + 19 (3) Кроме того, существуют следующие альтернативные представления: 4 3 = 64 = 31 + 33 (4a) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 (4b) Эти представления наводят на вопросы о размере и количестве этих последовательностей. Первое визуальное доказательство показывает следующее уточнение первого утверждения :
Хотя этот второй оператор намекает на то, как получить последовательность последовательных шансов, суммирующих куб, он не предоставляет метода. Это также не дает реального понимания сути проблемы. Например, как можно разложить 7 3 на сумму последовательных шансов? Есть ли декомпозиции размера, отличного от 7? Краткая математическая запись позволяет кратко представить значение 343, но ограничивает мысли. Для разрешения дилеммы можно использовать визуальные рассуждения [3].Можно увидеть , что означает куб , и использовать его для генерации сумм последовательных нечетных разложений для куба 7, 12, 17, 25 или любого другого натурального числа. То, что куб любого положительного целого числа имеет значение, которое может быть представлено как сумма двух или более последовательных нечетных положительных целых чисел , легко показать визуально. Мы начнем с наброска того, как это сделать для уравнений (1) и (2), а затем покажем, как расширить соответствующие подходы для всех четных и нечетных положительных целых чисел.Подход является фундаментальным, основан на структурах данных и применим к следующим более общим вопросам:
Ответы на эти вопросы легко найти с помощью наглядных доказательств. Эта статья состоит из пяти разделов. В разделе 1 представлено наглядное доказательство исходной проблемы. Раздел 2 упрощает это доказательство с помощью таблиц. Расширения и обобщения следуют в разделе 3, который отвечает на поставленные выше вопросы.В разделе 4 представлено арифметическое доказательство расширенной задачи, а в разделе 5 суммируются наши результаты. Первое заявление — Визуальная основа Формально Для любого положительного целого числа n> 1 арифметический куб n 3 может быть представлен с использованием структуры куба, состоящей из n´ n´ n блоков, каждый по 1´ 1´ 1 размером, как показано на Рисунке 1: (1a) и Рисунке 1: (2a). Куб имеет n слоев из n 2 блоков.Эти слои могут быть пронумерованы от 1 до n , начиная с нижнего уровня. Ясно, что количество блоков в каждом слое будет четным для четных n , в противном случае — нечетных. Если n четное, то два средних слоя пронумерованы ( n /2) и ( n /2 + 1). [ E . g ., Если для n = 2, то эти слои нумеруются (2/2) = 1 и (2/2 + 1) = 2.] Удаление одного блока из слоя ( n /2 + 1) и добавление его к слою ( n /2), как показано на рисунке 1: (1b) (1c), приводит к двум смежным слоям с последовательными нечетными числами блоков.Для значений больше 2 продолжайте этот процесс, удаляя (2 i 1) блоки из каждого слоя ( n /2 + i ) и добавляя их к слою ( n /2 + 1 i ). для каждого i от 2 до ( n /2). Таким образом, для n четное, n 3 является суммой последовательных нечетных целых чисел n от ( n 2 n + 1) до ( n 2 + n 1), что проверяется суммированием. Аналогично, если n нечетное, то средний уровень пронумерован ( n + 1) / 2. [ E . g ., Если для n = 3, то средний слой пронумерован (3 + 1) / 2 = 2.] Удаление двух блоков из слоя над ним [( n + 1) / 2 + 1 = ( n + 3) / 2] и добавив их к слою ниже [( n + 1) / 2 1 = ( n 1) / 2], как показано на рисунке 1: (2b) (2c), дает три смежных слоя, содержащих последовательные нечетные числа блоков.Продолжайте это, беря 2 блока i из каждого слоя [( n + 1) / 2 + i ] и добавляя их к слою [( n + 1) / 2 i ] для i = от 2 до [( n 1) / 2]. Таким образом, для нечетного n , n 3 снова является суммой последовательных нечетных целых чисел от ( n 2 n + 1) до ( n 2 + n 1) . В этом также можно убедиться, суммируя. Рисунок 1.Базовые случаи для кубов как суммы нечетных целых чисел: n = 2 и n = 3. Визуально или неформально После того, как изображения на Рисунке 1 нарисованы, процесс декомпозиции состоит из двух частей. Ключевое наблюдение состоит в том, что все положительные целые числа либо нечетные, либо четные, один подход может использоваться для всех четных целых чисел, а другой, лишь немного отличающийся подход, может использоваться для всех четных целых чисел. Даже для n достаточно изображения на основе n = 2.Горизонтальная плоскость между слоями ( n /2) = 1 и ( n /2 + 1) = 2 симметрично разделяет слои куба. Слой непосредственно над плоскостью уменьшается на единицу, чтобы получить нечетное значение в разложении. Слой непосредственно под плоскостью соответственно увеличивается на единицу. Процесс продолжается, уменьшая и увеличивая соседние слои еще на два, пока не будут исчерпаны все слои. Если n нечетно, то значение n 2 .Значение n 2 представляет собой сумму количества элементов на среднем уровне и, как таковое, является элементом последовательности. Ясно, что это просто количество элементов в среднем слое. Слой непосредственно выше — это значение, уменьшенное на два., А слой, расположенный непосредственно под ним, увеличивается на два, чтобы получить следующие меньшие и большие нечетные значения в разложении. Процесс продолжается аналогично ситуации, когда n является четным, то есть один переходит к уменьшению и увеличению соседних слоев, то есть соседние слои уменьшаются и увеличиваются еще на два, пока не будут исчерпаны все слои. Визуальное доказательство — это, по сути, наблюдение, что представления на Рисунке 1 уравнений (1) и (2), а также аналогичные представления для больших n соответствуют структурам данных. Кроме того, эти структуры можно использовать для генерации последовательности последовательных нечетных целых чисел, суммируемых с любым требуемым кубом. Это Демонстрации на рисунке 1 для уравнений (1) и (2) являются базовыми пошаговыми случаями аргумента, который истинен для любых n путем математической индукции. В результате для любого целого числа n эти структуры данных обеспечивают основу для алгоритмического вывода значений.Эти значения удовлетворяют как первому утверждению , так и второму утверждению для любого целого числа n . Вторая визуальная проверка Заметим, что доказательство опирается только на три факта:
Доказательство не использует тот факт, что каждый слой изначально имеет квадратную форму. Представление каждого слоя в виде строки полезно, поскольку оно заменяет исходный (трехмерный) куб более простым (двумерным) массивом. Массив состоит из n строк с n 2 блоками в каждой строке. Количество блоков в каждой строке нечетное, если n нечетное, и даже если n четное. Можно использовать тот же подход к перемещению блоков, что и при расположении блоков квадратами, как показано на рисунке 2. Рисунок 2. Упрощенное представление базовых случаев. Обратите внимание, что эта конструкция работает для любого положительного целого числа n , которое может быть представлено как произведение двух целых чисел с одинаковой четностью / нечетностью. Т.е. , пусть целые числа будут r (строки) и c (столбцы), где r ≤ c и c и r либо четные, либо оба нечетные. То есть начните со структуры данных, показанной на Рисунке 2: (1a) [Рисунок 2: (2a)], и закончите структурой, подобной показанной на Рисунке 2: (1b) [Рисунок 2: (2b)]. Очевидно, что конструкция применима не только к кубам, но и к любому составному положительному целому числу n , которое либо нечетно, либо делится на 4. В результате каждое положительное целое число больше единицы, которое может быть представлено как k i , где k > 1 и i ≥ 2 целые числа либо нечетные, либо делимые на 4. Таким образом, для таких k i мы можем использовать k строк и k ( i 1 ) столбца, так как k ≤ k ( i 1) и k ( i 1) даже если k четное.Итак, у нас есть следующий ответ на поставленный ранее вопрос: разложение на сумму последовательных нечетных целых чисел может быть выполнено для любой целой степени ≥ 2, а не только для кубов. Наконец, предположим, что любое положительное составное целое число n , которое является нечетным или делится на 4, как описано выше, у нас есть такое n . Тогда наименьшее количество строк, которое можно использовать, будет наименьшим простым множителем n . Отсюда следует, что наименьшее количество последовательных шансов, которое в сумме составляет n , является просто наименьшим простым множителем n .Точно так же наибольшее количество строк, которое может быть использовано, — это наибольший множитель f из n , который меньше не больше и такой, что f и n / f либо оба четные, либо оба нечетные. Таким образом, наибольшее количество последовательных шансов, которые в сумме составляют n , составляет f , как только что определено. Отсюда сразу следует, что каждое положительное целое число больше единицы, которое может быть представлено как k i , где k > 1 и i ≥ 2 являются целыми числами, может быть представлено как сумма последовательных нечетных целых чисел.В этой ситуации мы явно можем использовать k строк и k ( i 1) столбца. (Это справедливо, поскольку k ≤ k ( i 1) и k ( i 1) даже если k четно.) Остается один вопрос. Осталось: для любого заданного положительного целого числа n сколько таких последовательностей существует? Позвольте быть количеством последовательностей последовательных нечетных целых чисел, которые в сумме составляют n .Основываясь на визуальном построении, легко увидеть, что это то же самое, что и количество подходящих прямоугольников, которые можно сформировать из блоков n . Т.е. , количество прямоугольников, в которых количество строк и столбцов либо четное, либо нечетное, и где количество строк не превышает количество в каждой строке. Ясно, что количество строк должно быть кратным n . Коэффициент n равен , собственно , если он не равен 1 или n .Позвольте быть количеством факторов n , и пусть будет количество собственных факторов n . Для нечетного n должно быть количество подходящих множителей n , которые больше 1 и. Этот номер есть. Если n четно, но не делится на 4, тогда. Если n делится на 4, то это количество множителей. Этот номер есть. Обратите внимание, что это даже если n не является квадратом целого числа. Кроме того, легко вычисляется как произведение показателей разложения на простые множители.А именно E . г ., Если разложение на простые множители равно, то. Например, значение 64, куб 4 (64 = 4 3 ), является четным и делится на 4:. Следовательно, 64 можно представить как сумму последовательностей нечетных чисел. Эти последовательности имеют длину 2, 4 и 8 и появляются выше в уравнениях (3) и (4). Арифметическое доказательство Мы утверждаем, что любое составное положительное целое число n , которое либо нечетно, либо делится на 4, может быть представлено как сумма последовательных положительных нечетных целых чисел.Далее существует такая последовательность размером p , где p — наименьший простой множитель n . Это можно продемонстрировать, суммируя последовательные нечетные целые числа в интервале от до. Эта сумма представлена как: (5) Используя (5), можно получить результаты, приведенные в предыдущих разделах, а именно:
Однако вывод выходит за рамки данной статьи. Более того, он был бы более сложным и трудным для понимания, чем простое визуальное доказательство, представленное выше. Выводы Мы продемонстрировали простые наглядные доказательства того, что для любого целого числа n ³ 2, n 3 можно представить как сумму последовательных (положительных) нечетных целых чисел. Расширенное визуальное доказательство, основанное на структурах данных массива, привело к дальнейшим результатам. Они явились визуальным и арифметическим доказательством того, что это свойство справедливо не только для всех n i , где i ³ 2, но для всех составных положительных целых чисел, которые либо нечетны, либо делятся на 4. Ценность визуальных методов и их представлений структур данных очевидна, потому что они позволили дальнейшие расширения. Мы использовали их, чтобы показать две вещи. Во-первых, всякий раз, когда n можно представить как сумму последовательных (положительных) нечетных целых чисел, самая короткая такая последовательность нечетных целых чисел имеет длину, равную наименьшему простому множителю n . Во-вторых, мы показали, как вычислить метод вычисления количества таких последовательностей для любого заданного n . Эти расширения были облегчены и сделаны понятными благодаря идеям, полученным с помощью визуальных представлений. Мы считаем, что данные Структуры данных и визуальные представления математических понятий являются важными полезными инструментами. Наш опыт убедил нас в том, что визуальные доказательства облегчают математическое понимание и. Мы надеемся, что представленные здесь концепции можно будет использовать в других местах. Мы считаем, что подходы визуализации и структур данных имеют ценность как для математиков, так и для обычных людей, не являющихся математиками. Мы приветствуем дальнейшее общение или обсуждение поднятых здесь вопросов. Список литературы [1] Напс, Томас Л., Введение в Структуры данных и анализ алгоритмов , 2-е издание, West Publishing Co., Сент-Пол, Миннесота, 1992, с. 50, проб. 4. [2] Никомах, Введение Арифметика, первый век нашей эры (см. [1]). [3] Адамс, Джеймс Л., Conceptual Blockbusting: A Guide to Better Ideas, 3 ed., Addison-Wesley, Reading, Massachussetts, 1986. [4] Кнут, Дональд Эрвин, Искусство компьютерного программирования: фундаментальные алгоритмы (Vol.I) , Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1968. [5] Грэм, Рональд, Дональд Эрвин Кнут и Орен Паташник, Конкретная математика: фонд компьютерных наук , Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1988. Сумма трех кубов для 42 окончательно решена с использованием реального планетарного компьютераВслед за новаторским решением Sum-Of-Three-Cubes для числа 33 команда под руководством Бристольского университета и Массачусетского технологического института (MIT) решила последнюю часть знаменитого 65 -летняя математическая головоломка с ответом на самое неуловимое число — 42. Исходная задача, поставленная в 1954 году в Кембриджском университете, заключалась в поиске решений диофантова уравнения x 3 + y 3 + z 3 = k, где k — все числа от одного до 100. Помимо легко находимых небольших решений, проблема вскоре стала трудноразрешимой, поскольку более интересные ответы — если они действительно существовали — невозможно было вычислить, так как требовалось их количество. Но постепенно, на протяжении многих лет, каждое значение k было в конечном итоге решено (или оказалось неразрешимым) благодаря сложным методам и современным компьютерам — за исключением двух последних, самых сложных из всех; 33 и 42. Перенесемся в 2019 год, и математическая изобретательность профессора Эндрю Букера плюс несколько недель на университетском суперкомпьютере наконец-то нашла ответ на 33, а это означает, что последним числом, выдающимся в этой давней головоломке, самым трудным орешком, стал твердый фаворит Дугласа Адамса. фанаты повсюду. Однако решение 42 было другим уровнем сложности. Профессор Букер обратился к профессору математики Массачусетского технологического института Эндрю Сазерленду, мировому рекордсмену с массово-параллельными вычислениями, и — как будто в результате дальнейшего космического совпадения — обеспечил услуги планетарной вычислительной платформы, напоминающей «Deep Thought», гигантскую машину, которая дает ответ. 42 в Путеводителе по галактике. Решение профессоров Букера и Сазерленда для 42 можно найти с помощью Charity Engine; «всемирный компьютер», который использует простаивающие, неиспользованные вычислительные мощности более чем 500 000 домашних ПК, чтобы создать супер-зеленую платформу с краудсорсингом, полностью состоящую из неиспользуемых ресурсов. Ответ, на доказательство которого потребовалось более миллиона часов вычислений, выглядит следующим образом: X = -80538738812075974 Y = 80435758145817515 Z = 12602123297335631 И с этими почти бесконечно невероятными числами знаменитые Решения Диофантова Уравнения (1954) могут, наконец, быть прекращены для любого значения k от единицы до 100 — даже 42. Профессор Букер из школы математики Бристольского университета сказал: «Я чувствую облегчение. В этой игре невозможно быть уверенным, что ты что-то найдешь.Это немного похоже на попытку предсказания землетрясений, поскольку у нас есть лишь приблизительные вероятности. «Итак, мы можем найти то, что ищем, через несколько месяцев поиска, или может оказаться, что решение не будет найдено еще столетие».
Бристольский математик разгадывает диофантову загадку Дополнительная информация: Эндрю Р.Букер, Решение проблемы с 33, Research in Number Theory (2019). DOI: 10.1007 / s40993-019-0162-1 Предоставлено Бристольский университет Ссылка : Сумма трех кубов из 42, наконец, решена с использованием реального планетарного компьютера (2019, 6 сентября) получено 16 мая 2021 г. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||