Формула сокращенного умножения примеры: Формулы сокращенного умножения, примеры, тесты

Применение формул сокращённого умножения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Формулы сокращенного умножения

(a + b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b²

Приведя подобные члены получим:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Эту формулу следует запомнить как в приведенной записи, так и в словесном выражении.

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Примеры:
1)

(3a + 2b)² = (3a)² + 2 * 3a * 2b + (2b)² = 9a² + 12ab + 4b².

Следует приобрести навык писать сразу окончательный результат, не проводя промежуточной записи, которая показана в этом примере.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного больших «круглого» числа, например:

41² = (40 + 1)² = 40² + 2 * 40 * 1 + 12 = 1681;
32² = (30 + 2)² = 30² + 2 * 2 * 30 + 2² = 900 + 120 + 4 = 1024.

3) Особенно легко запомнить прием возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятеркой. Положим, число имеет a десятков и 5 единиц. Тогда его можно записать так:

10a + 5.

Возведем это число в квадрат по формуле:

(10a + 5)² = 100a² + 2 * 5 * 10a + 5² = 100a² + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Полученное выражение показывает, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося пятеркой, надо число его десятков умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать 25. Например:

65² = 6 * 7 * 100 + 25 = 4225;
85² = 8 * 9 (сотен) + 25 = 7225;
3,5² = 3 * 4 + 0,25 = 12,25.

Последний пример можно записать так:

Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная которого равна, достаточно целую часть умножить на число, единицей большее, и к произведению прибавить.

2. Квадрат разности.

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Эта формула отличается от ранее выделенной формулы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут сразу обе формулы так:

Примеры:

1)

(4a²b – ab)² = 16a⁴b² – 8a²b * ab + a²b² = 16a⁴b² – 8a³b² + a²b².

И здесь следует стараться написать сразу результат, производя промежуточные вычисления в уме.

2) Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного меньших «круглого» числа, например:

39² = (40 – 1)² = 40² – 2 * 40 + 1 = 1521;
48² = (50 – 2)² = 2500 – 2 * 2 * 50 + 4 = 2304;
79² = (80 – 1)² = 6400 – 160 + 1 = 6241.

3. Произведение суммы двух чисел на их разность.

(a + b)(a – b) = a² + ab – ab – b².
(a + b)(a – b) = a² – b².

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Примеры.

1) (5a + 2b)(5a – 2b) = 25a² – 4b².

2) (2a² + 3b³)(2a² – 3b³) = 4a⁴ – 9b⁶.

3) Эта формула применяется при устном умножении двух чисел, из которых одно на несколько единиц больше «круглого» числа, на сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.

47 * 53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2491;
68 * 72 = 70² – 4 = 4896;
33 * 27 = 900 – 9 = 891.

4) Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычисления разности квадратов двух чисел заменить эту разность произведением суммы оснований на их разность, например:

102² — 101² = (102 – 101)(102 + 101) = 203;
54² — 46² = (54 – 46)(54 + 46) = 800;

4. Куб суммы.

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³;
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

Примеры.

1) (2a + 3b)³ = 8a³ + 3 * 4a² * 3b + 3 * 2a * 9b² + 27b³ = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³.

2) 11³ = 10³ + 3 * 10² + 3 * 10 + 1 = 1331.

5. Куб разности.

(a – b)³ = (a – b)²(a – b) = (a² – 2ab + b²)(a – b).

Произведя умножение и приведя подобные члены, получим:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

Примеры.
1) (x – 2)³ = x³ – 6x² + 12x – 8.
2) (3a – 2b)³ = 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³.

Формулы сокращенного умножения — методическая рекомендация. Алгебра, 7 класс.

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, квадрат суммы, разность кубов, бином Ньютона.

Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или квадрата суммы просто невозможно. Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,16² — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,16². Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:

Версия для печати в формате png

Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B)⁴, (A + B)⁵ и даже (A + B)ⁿ, где n — произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую — либо закономерность?

Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)ⁿ называется биномом Ньютона. Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)⁴ и (A + B)⁵, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

(A + B)ⁿ = Aⁿ + C_n¹A^n-1B + C_n²A^n-2B² + … + C_n^kA^n-kB^k + … + Bⁿ.

Здесь C_n^k = n!/(k! • (n-k)!).

Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для Aⁿ — Bⁿ?

Да, можно. Вот эта формула:

Aⁿ — Bⁿ = (A — В)(A^n-1 + A^n-2B + A^n-3B² + … + B^n-1).

Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

Aⁿ + Bⁿ = (A + В)(A^n-1 — A^n-2B + A^n-3B² — … + B^n-1).

Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.

Формулы ⚠️ сокращенного умножения: для старших степеней, многочленов

Что такое формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения — это алгебраические тождества, которые используются для упрощенного решения типичных часто встречающихся многочленов. Формулы позволяют возвести в степень сложные выражения быстрее в ряде случаев. Слово «сокращенное» в названии объясняется тем, что при использовании формул частично пропускаются вычисления.

Формулы сокращенного умножения используются для алгебраических выражений и алгебраических дробей, для разложения на множители, решения неравенств и уравнений. Кроме этого с помощью формул можно привести многочлен к стандартному виду без раскрытия скобок.

Доказательство

Формулы сокращенного умножения естественным образом следуют из правила умножения многочлена на многочлен.

Докажем, что (a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)² тождественно (a + b)(a + b)

Раскроем скобки (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Проделаем то же самое в обратную сторону с квадратом разности

a² − 2ab + b² = (a² − ab) + (-ab + b²)

Вынесем общий множитель за скобки a(a − b) − b(a − b) = (a − b)(a − b) = (a − b)²

Список формул

Формулы квадратов

(a − b)(a + b) = a² − b²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Формулы кубов

(a + b)(a² − ab + b²) = a³ + b³

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Формулы четвертой степени

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴

a⁴ – b⁴ = (a – b)(a + b)(a² + b²)

Формула квадрата суммы 

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат суммы выражений a и b равен квадрату первого выражения, прибавить квадрат второго выражения и их удвоенное произведение. 

Формула квадрата разности

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Квадрат разности чисел a и b равен сумме квадратов a и b минус их удвоенное произведение.

Формула куба суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб суммы выражений a и b равен возведенному в третью степень первому выражению плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго выражения плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго выражения плюс второе выражение, возведенное в третью степень.

Куб суммы двух выражений

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб суммы чисел a и b равен сумме кубов этих чисел, утроенного произведения квадрата первого числа и второго и утроенного произведения квадрата второго числа и первого числа.

Формула куба разности

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Куб разности выражений a и b равен возведенному в третью степень первому выражению минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус возведенное в третью степень второе выражение.

Формула разности квадратов

a² – b² = (a – b)(a + b)

Разность квадратов чисел a и b равна произведению их разности на их сумму.

Формула суммы кубов

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Сумма кубов выражений a и b равна произведению суммы выражений на квадрат их разности.

Формула разности кубов

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Разность кубов чисел a и b равна разности чисел умноженной на неполный квадрат их суммы.

Примеры применения формул

Выполним вычисления через упрощение на основе приведенных выше формул. С помощью них мы сократим выражение, что позволит нам решать его намного быстрее и проще.

Пример

Используем формулу квадрата суммы:

(5+3x)² = 5 + (3x)² + 2 ⋅ 5 ⋅ 3x = 25 +9x² +30x

x² + 4xy + 4y² = x² + (2y)² + 2 ⋅ x ⋅ 2y = (x + 2y)²

Пример

Используем формулу разности квадратов:

49x² − 9y² = (7x)² − (3y)² + (7x − 3y)(7x + 3y)

(x +3)² − 16 = (x +3)² — 4² = (x + 3 − 4)(x + 3 + 4) = (x − 1)(x +7)

Пример

Используем формулу квадрата разности:

(1 − 2xy)² = 1² +(2xy)² − 2 ⋅ 1 ⋅ 2xy + 1 + 4x²y² − 4xy

4x² − 4x + 1 = (2x)² + 1 − 2 ⋅ 2x ⋅ 1 = (2x − 1)²

Пример

Используем формулу куба суммы:

(2x + y)³ = (2x)³ + 3 ⋅ (2x)² ⋅ y + 3 ⋅ 2x ⋅ y² +y³ = 8x³ +12x² ⋅ y + 6x ⋅ y² +y³

Пример

Используем формулу куба разности:

(4x − 3y)³ = ((4x)³ − 3 ⋅ (4x)²) ⋅ 3y + 3 ⋅ 4x (3y)² − (3y)³) = 64x³ — 144x² ⋅ y² = 27y³

Пример

Используем формулу сумма кубов:

(3a + 2)(9a² − 6 6a + 4) = (3a)³ + (2)³ = 27a³ + 8

Пример

Используем формулу разности кубов:

(2 − y)(4 + 2y + y²) = (2 − y)(2² + 2y + y²) = 2³ — y³ = 8 − y³

Пример

Рассмотрим пример с дробями: 

\(\frac{8x^3\;-\;z^6}{4x^{2\;}-\;z^4}\)

Необходимо сократить эту дробь.4)}{(2x\;+\;z)}\)

Алгебра 7-9 классы. 7. Формулы сокращенного умножения

Алгебра 7-9 классы. 7. Формулы сокращенного умножения

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ НА ИХ СУММУ

Умножим разность на сумму :

Значит,

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Тождество выше является одной из формул сокращенного умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять умножение разности выражений на их сумму. Например:

 РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ

Поменяем местами в тождестве правую и левую части. Получим:

Это тождество называют формулой разности квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов применяется для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Разложим» например, на множители двучлен . Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив формулу, получим:

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ

Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения. Возведем в квадрат сумму . Для этого представим выражение в виде произведения и выполним умножение:

Значит,

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух выражений. Например,

Рассмотрим теперь квадрат разности а. Так как разность можно представить в виде суммы то по формуле квадрата суммы имеем:

Значит,

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой разности. Например,

Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением на  по правилу умножения многочлена на многочлен.

  РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ

Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают возможность не только упрощать возведение в квадрат суммы и разности, но и раскладывать на множители выражения вида .

Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Разложим на множители трехчлен .

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения 3х, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:

Пример 2. Разложим на множители многочлен

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ

Умножим сумму на выражение

Мы получили тождество

Выражение напоминает трехчлен , который равен квадрату разности а и b. Однако в этом выражении вместо удвоенного произведения а и Ъ стоит просто их произведение. Выражение вида называют неполным квадратом разности.

Полученное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Представим в виде многочлена произведение

Так как первый множитель есть сумма выражений m и Зn, а второй — неполный квадрат их разности, то данное произведение равно сумме кубов этих выражений:

Преобразуем теперь в многочлен произведение разности и выражения , которое называют неполным квадратом суммы а и b:

Мы получили тождество

Это тождество представляет собой формулу сокращенного умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 2. Представим в виде многочлена выражение

Это выражение является произведением разности двух одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому

 РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ

Поменяем в тождестве местами левую и правую части. Получим:

Это тождество называют формулой суммы кубов.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Формула суммы кубов применяется для разложения на множители суммы кубов любых двух выражений.

Пример 1. Разложим на множители многочлен .

Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

Применив формулу суммы кубов, получим:

Итак,

Аналогично может быть получена формула разности кубов. Поменяв местами в формуле левую и правую части, будем иметь:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен .

Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

 ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Для разложения многочлена на множители иногда приходится применять несколько способов.

Пример 1. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. Вынесем этот множитель за скобки:

Трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и  1. Поэтому

Итак,

Пример 2. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесем за скобки общий множитель :

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым, будем иметь:

Окончательно получим:

Пример 3. Разложим на множители многочлен .

Сгруппировав первый, второй и четвертый члены многочлена, получим трехчлен, который можно представить в виде квадрата разности:

Полученное выражение можно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Следовательно,

Формулы сокращенного умножения – примеры в таблице, объяснение применения

Формулы сокращенного умножения это основные формулы математики, которые необходимо знать для увеличения скорости счета. Рассмотрим по блокам все формулы и их назначения.2)$$ – разность кубов это произведение разности чисел на квадрат суммы этих чисел.

Как показывает практика, последние две формулы проще запомнить в словесной форме.

Понятие неполного квадрата еще не раз встретится на просторах математики школьного курса. Поэтому запомнить его придется в любом случае. Некоторые учебники приводят таблицы формул для лучшего их запоминания.

Что мы узнали?

Мы привели не просто примеры формул сокращенного умножения, а записали весь список. Разбили формулы на 4 небольших блока, каждый из которых достаточно легко запоминается. Поговорили о сложных моментах, для больших формул привели методы быстрого запоминания. Указали на наиболее частые ошибки, которые возникают при запоминании формул и привели определение формулы неполного квадрата.

АлгебраВиды уравнений в таблице (математика, 5 класс)

АлгебраНеполные квадратные уравнения – формула и примеры

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в стандартный многочлен.

Иногда члены многочлена необходимо разделить на группы, заключив каждую группу в круглые скобки. Поскольку круглые скобки противоположны раскрытию скобок, легко сформулировать правила раскрытия скобок :

Если перед скобками стоит знак «+», то члены, заключенные в квадратные скобки, записываются с теми же знаками.3 \\)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируется как правило.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, вам нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.

Мы уже много раз использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

В общем, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.2 = (a — b) (a + b) \) — разность квадратов равна произведению разницы на сумму.

Эти три идентичности позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и наоборот — правые части левыми. Самое сложное — увидеть соответствующие выражения и понять, что в них заменяет переменные a и b. Давайте рассмотрим несколько примеров использования сокращенных формул умножения.

Сокращенные формулы умножения (ACF) используются для возведения в степень и умножения чисел и выражений.Часто эти формулы позволяют сделать расчеты более компактными и быстрыми.

В этой статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательства формул сокращенного умножения.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Впервые тема БСС рассматривается в рамках курса «Алгебра» для 7 класса. Ниже приведены 7 основных формул.

Сокращенные формулы умножения

1. Формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
Формула куба суммы
3. : a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Формула разностного куба
4. : a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубиков: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубиков: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквы a, b, c в этих выражениях могут быть любыми числами, переменными или выражениями.Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и представим ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислить, соответственно, квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разницу квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы представляют собой, соответственно, умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Сокращенную формулу умножения иногда также называют сокращенной формулой умножения. Это неудивительно, поскольку всякое равенство — это тождество.

При решении практических примеров часто используются сокращенные формулы умножения с переставленными левой и правой частями. Это особенно удобно, когда имеет место факторизация многочлена.

Дополнительные сокращенные формулы умножения

Не будем ограничиваться курсом алгебры 7-го класса и добавим еще несколько формул в нашу таблицу БСС.

Сначала рассмотрим биномиальную формулу Ньютона.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n — 1 b + C n 2 a n — 2 b 2 +. … + C n n — 1 a b n — 1 + C n n b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые находятся в строке n в треугольнике Паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитываются по формуле:

C n k = n! к! (N — k)! = n (n — 1) (n — 2). … (п — (к — 1)) к!

Как видите, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы является частным случаем биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3 соответственно.

А что, если в сумме, которую нужно возвести во власть, больше двух? Пригодится формула квадрата суммы трех, четырех и более членов.

а 1 + а 2 +. … + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. … + а п 2 + 2 а 1 а 2 + 2 а 1 а 3 +. … + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. … + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 и n

Другая формула, которая может пригодиться, — это формула для разности n-х степеней двух членов.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 +…. + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно делят на две формулы — для четной и нечетной степеней соответственно.

Для четных индикаторов 2 м:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 +. … + b 2 м — 2

Для нечетных показателей 2m + 1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 +. … + b 2 м

Формулы разности квадратов и разности кубиков, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно.Для разности кубов b также заменяется на — b.

Как читать сокращенные формулы умножения?

Мы дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала мы поймем принцип чтения формул. Удобнее всего это сделать на собственном примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

а + б 2 = а 2 + 2 а б + б 2.

Они говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разницы между двумя выражениями a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

Прочтите формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубиков этих выражений, трижды квадрат первого выражения на второе и троекратный квадрат второго выражения на первое выражение.

Приступаем к чтению формулы разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 ab 2 — b 3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первое выражение минус три раза квадрат первого выражения и второго плюс три раза квадрат второго выражения и первого выражения минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается следующим образом: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называются неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности соответственно.

Имея это в виду, формулы для суммы и разности кубиков выглядят следующим образом:

Сумма кубиков двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разница между кубиками двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Сертификат FSU

Доказать ФСО довольно просто. Исходя из свойств умножения, умножаем части формул в скобки.

Например, рассмотрим формулу квадрата разницы.

а — б 2 = а 2 — 2 а б + б 2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, вам нужно умножить это выражение само на себя.

а — б 2 = а — б а — б.

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2.

Формула доказана. Остальные FSO доказываются аналогично.

Примеры применения БСС

Целью использования сокращенных формул умножения является быстрое и краткое умножение и возведение в степень выражений. Однако это далеко не все возможности ФСО. Они широко используются для сокращения выражений, сокращения дробей, разложения многочленов на множители. Вот несколько примеров.

Пример 1. FSO

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2.

Применяем формулу суммы квадратов и получаем:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. FSO

Уменьшить дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4.

Обратите внимание, что выражение в числителе — это разница между кубиками, а знаменатель — это разница в квадратах.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z.

Сокращаем и получаем:

8 х 3 — z 6 4 х 2 — z 4 = (4 х 2 + 2 х z + z 4) 2 х + z

FSO также помогают вычислить значения выражений. Главное — уметь замечать, где применять формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений напишем:

79 = 80 — 1; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241.

Казалось бы, сложный расчет был выполнен быстро с использованием сокращенных формул умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — это выбор квадрата двучлена. Выражение 4 x 2 + 4 x — 3 можно преобразовать в 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 — 4 = 2 x + 1 2 — 4. Подобные преобразования широко используются при интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Они используются для упрощения вычислений, а также факторизации многочленов, быстрого умножения многочленов. Большинство сокращенных формул умножения можно получить из бинома Ньютона — вы скоро это увидите.

Формулы для квадратов, которые чаще всего используются в расчетах. Их начинают изучать в школьной программе с 7 класса до конца обучения, формулы квадратов и кубиков должны знать школьники.

Формулы куба не очень сложные, и вам нужно знать их при приведении многочленов к стандартной форме, чтобы упростить преобразование суммы или разности переменной и числа в куб.

Формулы, отмеченные красным, получены из предыдущей группировки похожих терминов.2 + 4x + 29

Решение. а) Переставим члены

б) Упрощение на основе предыдущего рассуждения

Пример 9. Разверните рациональную дробь

Решение. Применяем формулу для разности квадратов

Составим систему уравнений для определения констант

Добавим второе к тройному первому уравнению. Подставляем найденное значение в первое уравнение

Окончательное разложение примет вид

Часто бывает необходимо расширить рациональную дробь перед интегрированием, чтобы уменьшить степень знаменателя.7.

Решение. Что такое бином Ньютона, вы, наверное, уже знаете. Если нет, то ниже биномиальные коэффициенты

Они формируются следующим образом: единицы идут по краю, коэффициенты между ними в нижней строке формируются путем суммирования соседних верхних. Если мы ищем какую-то разницу, то в расписании знаки меняются с плюса на минус. Таким образом, для седьмого порядка получаем следующую раскладку

Также внимательно посмотрите, как меняются индикаторы — для первой переменной они уменьшаются на единицу в каждом следующем члене, соответственно, для второй — они растут на единицу.Сумма показателей всегда должна быть равна степени декомпозиции (= 7).

Я думаю, что на основе вышеприведенного материала вы сможете решать задачи в биноме Ньютона. Изучите сокращенные формулы умножения и применяйте их везде, где это может упростить вычисления и сэкономить время.

Сокращенные формулы выражений очень часто используются на практике, поэтому желательно выучить их все наизусть. До этого момента он будет служить нам верой и правдой, который мы рекомендуем распечатать и постоянно держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы сокращенных формул умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений.Пятый — для краткого умножения разницы на сумму двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называется выражение в форме a 2 −ab + b 2) и разность двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему сокращенные формулы умножения также называют сокращенными тождествами умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место факторизация многочлена, FSO часто используется в форме с переставленными левой и правой сторонами:

Последние три идентификатора в таблице имеют собственные имена. Формула a 2 — b 2 = (a — b) (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −ab + b 2 ) — формула суммы кубиков , а a 3 −b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2) — разница между кубиками … Обратите внимание, что мы не назвали FSU для соответствующих формул с переставленными частями из предыдущей таблицы.

Дополнительные формулы

Не помешает добавить еще несколько тождеств в таблицу формул сокращенного умножения.

Сферы применения формул приведенного умножения (FSU) и примеры

Основное назначение сокращенных формул умножения (fsu) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако сфера применения FSU намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение сокращенной формулы умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе упрощения выражения .

Пример.

Упростим выражение 9 y− (1 + 3 y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно коротко выполнить, имеем 9 y− (1 + 3 y) 2 = 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2)… Осталось только раскрыть скобки и вывести аналогичные слагаемые: 9 y− (1 2 + 2 1 3 y + (3 y) 2) = 9 y — 1−6 y — 9 y 2 = 3 y — 1−9 л 2.

Формулы мощности используются в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, при решении уравнений и неравенств.

Число c является степенью n числа a , когда:

Операции со степенями.

1. Умножая градусы с одинаковым основанием, их показатели складываются:

a m A n = a m + n.

2. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаются их показатели:

3. Степень произведения 2 или более факторов равна произведению степеней этих факторов:

(abc …) n = a n b n c n …

4. Степень дроби равна отношению степеней делимого и делителя:

(а / б) п = а н / б н.

5. Повышая градус в градус, показатель степени умножается:

(а м) п = а м н.

Каждая из приведенных выше формул верна слева направо и наоборот.

например . (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень произведения нескольких факторов равен произведению корней этих факторов:

2. Корень отношения равен отношению делимого к делителю корней:

3.При возведении корня в степень достаточно возвести число корня в эту степень:

4. Если вы увеличите степень корня в n один раз и одновременно построите n -ю степень числа корня, значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в n извлечь корень один раз и одновременно n -ю степень радикального числа, то значение корня не изменится:

Градус с отрицательной экспонентой. Степень числа с неположительной (целой) экспонентой определяется как единица, деленная на степень того же числа с показателем, равным абсолютному значению неположительной экспоненты:

Формула a m : a n = a m — n может использоваться не только для m > n , но и для m n.

например . a 4: a 7 = a 4-7 = a -3 .

Чтобы формула a m : a n = a m — n стала справедливой при m = n , нужно наличие нулевой степени.

Нулевая оценка. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем степени равна единице.

например . 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.

Дробная экспонента. Чтобы возвести действительные числа и в степень m / n , нужно извлечь корень n -ю степень m -ю степень этого числа и .

Функции сокращенного умножения. Сокращенные формулы умножения

Для упрощения алгебраических многочленов существует сокращенных формул .Их не так много и их легко запомнить, но запомнить их нужно. Обозначения, используемые в формулах, могут быть любого вида (числовые или полиномиальные).

Первая формула сокращенного умножения называется разностью квадратов . Он заключается в том, что квадрат второго числа взят из квадрата одного числа, равного величине разности этих чисел, а также их произведения.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Разберем для наглядности:

22 2 — 4 2 = (22-4) (22 + 4) = 18 * 26 = 468
9a 2 — 4b 2 c 2 = (3a — 2bc) (3a + 2bc)

Вторая формула о сумме квадратов .Похоже, сумма двух квадратов величин равна квадрату первой величины; к нему добавляется двойное произведение первой величины, умноженной на вторую; к ним добавляется квадрат второй величины.

(а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

Благодаря этой формуле становится намного проще вычислить квадрат большого числа без использования компьютерной техники.

Так, например: квадрат из 112 будет равен
1) Вначале разберем 112 на числа, квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Введите полученный квадрат в скобки
112 2 = (100 + 12) 2
3) Используя формулу, получаем:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Третья формула — это квадратов разностей .Это говорит о том, что два значения, вычитаемые друг из друга в квадрате, равны тому факту, что из первого значения в квадрате мы вычитаем двойное произведение первой величины, умноженной на вторую, добавляя к ним квадрат вторая величина.

(a + b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

где (a — b) 2 равно (b — a) 2. В доказательство чего, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Четвертая формула сокращенного умножения называется на сумму куба .Это звучит так: два члена в кубе равны кубу 1 величины, к ним добавляется тройное произведение 1 величины в квадрате, умноженное на 2 величины, тройное произведение 1 величины, умноженной на квадрат 2 величины, равно добавлен к ним плюс вторая величина в кубе.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Пятый, как вы уже поняли, называется кубом разности . Что находит различия между значениями, поскольку мы вычитаем из первого символа в кубе тройное произведение первого символа в квадрате, умноженное на второе, они добавляют тройное произведение первого символа, умноженное на квадрат второго символа. , минус второй символ в кубе.

(а-б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

Шестой называется — сумма кубиков . Сумма кубиков равна произведению двух членов, умноженных на неполный квадрат разницы, поскольку в середине нет двойного значения.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)

По-другому можно назвать сумму кубиков, можно назвать произведение в двух скобках.

Седьмой и последний называется разницей в кубов (ее легко спутать с формулой разностного куба, но это разные вещи).Разность кубиков равна произведению разницы двух величин на частичный квадрат суммы, поскольку в середине нет двойного значения.

a 3 — b 3 = (a-b) (a 2 + ab + b 2)

А так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, главное не запутаться в знаках. Они также предназначены для использования в обратном порядке, и в учебниках собрано довольно много таких заданий.Будьте осторожны и у вас все получится.

Если у вас возникнут вопросы по формулам, обязательно напишите их в комментариях. Будем рады Вам ответить!

Если вы находитесь в декретном отпуске, но хотите заработать. Просто перейдите по ссылке Интернет-бизнес с Орифлейм. Там все написано и показано очень подробно. Это будет интересно!

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

Как мы используем вашу личную информацию:

• Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях, а также предстоящих событиях.
• Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, например, для проведения аудита, анализа данных и различных исследований, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и дать вам рекомендации относительно наших услуг.
• Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• При необходимости — в соответствии с законом, судебной системой, в ходе судебного разбирательства и / или на основании публичных запросов или запросов государственных органов в Российской Федерации — раскрыть вашу личную информацию.Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно в целях безопасности, поддержания правопорядка или в других социально значимых случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу, правопреемнику.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Уважайте вашу конфиденциальность на уровне компании

Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы сообщаем нашим сотрудникам правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

Сокращенные формулы умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений; куб суммы и куб разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения в примерах решения.

Для упрощения выражений, факторизации многочленов, приведения многочленов к стандартной форме используются формулы сокращенного умножения. Сокращенные формулы умножения, которые нужно знать наизусть .

Пусть a, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс двойное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

а 2 — б 2 = (а -б) (а + б)

4. Количество кубов двух выражений равно кубу первого выражения плюс тройное произведение квадрата первого выражения и второго плюс тройное произведение первого выражения и квадрат второго плюс куб второго. выражение.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус тройное произведение квадрата первого выражения на второе плюс тройное произведение первого выражения и квадрат второго за вычетом куб второго выражения.

(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

6. Сумма кубиков двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражений на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения в примерах решения.

Пример 1

Рассчитать

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получаем

98 2 = (100-2) 2 = 100 2-2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000-400 + 4 = 9604

Пример 2

Рассчитать

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получаем

Пример 3

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(x — y) 2 + (x + y) 2 = x 2 — 2hu + y 2 + x 2 + 2hu + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Сокращенные формулы умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a + b )
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 \ u003d (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

При вычислении алгебраических многочленов для упрощения вычислений использовано сокращение формулы .Таких формул семь. Их все нужно знать наизусть.

Также следует помнить, что вместо a и b в формулах могут быть как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разница в квадрате

Разность квадратов двух чисел равна произведению разницы этих чисел на их сумму.

а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)

Сумма в квадрате

Квадрат суммы двух чисел — это квадрат первого числа плюс произведение двойного первого числа и второго плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращения легко найти квадраты больших чисел без использования калькулятора или умножения на столбцы. Проиллюстрируем на примере:

Найдите 112 2.

Разложим 112 на сумму чисел, квадраты которых мы хорошо помним.
112 = 100 + 1

Напишите сумму чисел в скобках и поставьте квадрат над скобками.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 х 100 х 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Помните, что формула суммы квадратов также верна для любых алгебраических многочленов.

(8a + s) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Внимание !!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разницы

Квадрат разницы двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго числа.

(а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2

Также стоит вспомнить очень полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2
Приведенная выше формула доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Количество кубов

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс тройное произведение квадрата первого числа и второго плюс тройное произведение первого числа и квадрата второго плюс куб второй.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «пугающую» формулу довольно просто.

Узнай, что в начале идет тройка.

Два полинома в середине имеют коэффициенты 3.

IN напомним, что любое число до нулевой степени равно 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко видеть, что в формуле есть уменьшение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Внимание !!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус троекратное произведение квадрата первого числа и второго плюс три умноженное на произведение первого числа и квадрата второго минус второй куб.

(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

Эта формула запоминается как предыдущая, но только с учетом чередования знаков «+» и «-». Первому члену числа 3 предшествует «+» (по правилам математики мы его не пишем). Итак, следующий член будет «-», затем снова «+» и т. Д.

(а — б) 3 = + а 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубиков ( Не путать с кубиком суммы!)

Сумма кубиков — это произведение суммы двух чисел на неполный квадрат разницы.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

Сумма кубиков равна произведению двух скобок.

Первая скобка представляет собой сумму двух чисел.

Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполный квадрат разницы — это выражение:

A 2 — ab + b 2
Этот квадрат неполный, так как в середине вместо удвоенного произведения стоит обычное произведение чисел.

Разница кубиков (Не путать с кубом разницы !!!)

Разность кубиков равна произведению разницы двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Будьте осторожны при написании символов. Следует помнить, что все приведенные выше формулы также используются справа налево.

Трудно ли запомнить формулы сокращений? Дело легко помочь.Вам просто нужно вспомнить, как изображена такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы всегда и везде будете помнить эти формулы, а точнее не вспоминать, а восстанавливать.

Что такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена формы в многочлен.

Разверните, например:

Легко запомнить эту запись, что сначала идет куб первого числа, а в конце — куб второго числа.Но что посередине, вспомнить сложно. И даже то, что в каждом следующем члене степень одного фактора все время уменьшается, а второго увеличивается, это легко заметить и запомнить, сложнее запомнить коэффициенты и знаки (плюс или минус?).

Итак, во-первых, шансы. Не нужно их запоминать! На полях блокнота мы быстро рисуем треугольник Паскаля, и теперь они — коэффициенты, уже перед нами. Начинаем рисовать с трех, одна сверху, две снизу, справа и слева — ага, уже получается треугольник:

Первая строка, с единицей — ноль.Затем идет первое, второе, третье и так далее. Чтобы получить вторую строку, вам нужно снова назначить единицы по краям, а в центре написать число, полученное сложением двух чисел над ним:

Пишем третью строку: снова по краям блока, и снова, чтобы получить следующее число в новой строке, складываем числа над ним в предыдущей:

Как вы могли догадаться, в каждой строке мы получаем коэффициенты разложения бинома в полином:

Ну, знаки запомнить еще проще: первый такой же, как в расширяемом биноме (раскрытие суммы означает плюс, разность означает минус), а затем знаки чередуются!

Вот такая вот полезная штука — треугольник Паскаля.Используй это!

Сокращенные формулы очень часто применяются на практике, поэтому желательно запомнить их все. До этого момента нам будут служить верой и правдой, которые мы рекомендуем распечатать и держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возвести в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятый предназначен для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (как называется выражение формы a 2 — a · b + b 2) и разности два выражения a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 + ab + b 2) соответственно.

Стоит отдельно отметить, что каждое равенство в таблице является тождеством. Это объясняет, почему формулы сокращенного умножения также называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых многочлен факторизован, FSU часто используются в форме с переставленными левой и правой частями:

Последние три идентификатора в таблице имеют свои имена. Формула a 2 −b 2 = (a — b) · (a + b) называется формулой разности квадратов , a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 −a · b + b 2) — кубиков по формуле , aa 3 −b 3 = (a — b) · (a 2 + a · b + b 2) — кубиков по формуле разности .Обратите внимание, что мы не называли соответствующие формулы с переставленными частями из предыдущей таблицы FSU.

Дополнительные формулы

Хорошо бы добавить еще несколько идентификаторов в таблицу формул сокращенного умножения.

Области применения формул сокращенного умножения (fsu) и примеры

Основное назначение формул сокращенного умножения (fsu) объясняется их названием, то есть состоит в кратком умножении выражений.Однако сфера применения FSF намного шире и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное применение формулы сокращенного умножения было найдено в выполнении идентичных преобразований выражений. Чаще всего эти формулы используются в процессе. упрощение выражений .

Пример.

Упростим выражение 9 · y− (1 + 3 · y) 2.

Решение.

В этом выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9 · y− (1 + 3 · y) 2 = 9 · y− (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2) .Осталось только раскрыть скобки и указать аналогичные элементы: 9 · y− (1 2 + 2 · 1 · 3 · y + (3 · y) 2) = 9 · y — 1−6 · y — 9 · y. 2 = 3 · y — 1−9 · y 2.

Разница и сумма кубиков — математическая формула. Формулы сокращенного умножения

Сокращенные формулы умножения.

Изучение сокращенных формул умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений; куб суммы и куб разности двух выражений; сумма и разность кубов двух выражений.

Применение сокращенных формул умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, факторизации многочленов и приведения многочленов к стандартной форме используются сокращенные формулы умножения. Сокращенные формулы умножения необходимо знать наизусть .

Пусть a, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(а + б) 2 = а 2 + 2аб + б 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

а 2 — б 2 = (а -б) (а + б)

4. Сумма куба двух выражений равна кубу первого выражения плюс три раза квадрат первого выражения и второй плюс три раза первое выражение и квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус троекратный квадрат первого выражения, а второго плюс три умноженный на произведение первого выражения и квадрат второго минус куб второе выражение.

(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3

6. Сумма кубиков двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражений на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Применение сокращенных формул умножения при решении примеров.

Пример 1.

Рассчитать

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, получаем

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получаем

98 2 = (100-2) 2 = 100 2-2 100 2 + 2 2 = 10000-400 + 4 = 9604

Пример 2.

Рассчитать

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получаем

Пример 3.

Упростить выражение

(х — у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(x — y) 2 + (x + y) 2 = x 2 — 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Сокращенные формулы умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a + b )
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3
a 3 + b 3 \ u003d (a + b) (a 2 — ab + b 2)
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2)

Сокращенные формулы умножения (FSF) используются для возведения в степень и умножения чисел и выражений.Часто эти формулы позволяют сделать расчеты более компактными и быстрыми.

В этой статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательства формул сокращенного умножения.

Впервые тема БСС рассматривается в рамках курса «Алгебра» для 7 класса. Ниже приведены 7 основных формул.

Сокращенные формулы умножения

1. Формула квадрата суммы: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. формула квадрата разности: a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2
Формула куба суммы
3. : a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Формула разностного куба
4. : a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3
5. формула разности квадратов: a 2 — b 2 = a — b a + b
6. формула суммы кубиков: a 3 + b 3 = a + b a 2 — a b + b 2
7. формула разности кубиков: a 3 — b 3 = a — b a 2 + a b + b 2

Буквы a, b, c в этих выражениях могут быть любыми числами, переменными или выражениями.Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и представим ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислить, соответственно, квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разницу квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы представляют собой, соответственно, умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Сокращенную формулу умножения иногда также называют сокращенной формулой умножения. Это неудивительно, поскольку всякое равенство — это тождество.

При решении практических примеров часто используются сокращенные формулы умножения с переставленными левой и правой частями. Это особенно удобно, когда имеет место факторизация многочлена.

Дополнительные сокращенные формулы умножения

Не будем ограничиваться курсом алгебры 7-го класса и добавим еще несколько формул в нашу таблицу БСС.

Сначала рассмотрим биномиальную формулу Ньютона.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n — 1 b + C n 2 a n — 2 b 2 +. … + C n n — 1 a b n — 1 + C n n b n

Здесь C n k — биномиальные коэффициенты, которые находятся в строке n в треугольнике Паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитываются по формуле:

C n k = n! к! (N — k)! = n (n — 1) (n — 2). … (п — (к — 1)) к!

Как видите, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы является частным случаем биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3 соответственно.

А что, если в сумме, которую нужно возвести во власть, больше двух? Пригодится формула квадрата суммы трех, четырех и более членов.

а 1 + а 2 +. … + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. … + а п 2 + 2 а 1 а 2 + 2 а 1 а 3 +. … + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. … + 2 a 2 a n + 2 a n — 1 и n

Другая формула, которая может пригодиться, — это формула для разности n-х степеней двух членов.

a n — b n = a — b a n — 1 + a n — 2 b + a n — 3 b 2 +…. + a 2 b n — 2 + b n — 1

Эту формулу обычно делят на две формулы — для четной и нечетной степеней соответственно.

Для четных индикаторов 2 м:

a 2 m — b 2 m = a 2 — b 2 a 2 m — 2 + a 2 m — 4 b 2 + a 2 m — 6 b 4 +. … + b 2 м — 2

Для нечетных показателей 2m + 1:

a 2 m + 1 — b 2 m + 1 = a 2 — b 2 a 2 m + a 2 m — 1 b + a 2 m — 2 b 2 +. … + b 2 м

Формулы разности квадратов и разности кубиков, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n = 2 и n = 3 соответственно.Для разности кубов b также заменяется на — b.

Как читать сокращенные формулы умножения?

Мы дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала мы поймем принцип чтения формул. Удобнее всего это сделать на собственном примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

а + б 2 = а 2 + 2 а б + б 2.

Они говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a — b 2 = a 2 — 2 a b + b 2 запишем:

квадрат разницы между двумя выражениями a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

Прочтите формулу a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубиков этих выражений, трижды квадрат первого выражения на второе и троекратный квадрат второго выражения на первое выражение.

Приступаем к чтению формулы разности кубов a — b 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 ab 2 — b 3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первое выражение минус три раза квадрат первого выражения и второго плюс три раза квадрат второго выражения и первого выражения минус куб второго выражения.

Пятая формула a 2 — b 2 = a — b a + b (разность квадратов) читается следующим образом: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a 2 + a b + b 2 и a 2 — a b + b 2 для удобства называются, соответственно, неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

Имея это в виду, формулы для суммы и разности кубиков выглядят следующим образом:

Сумма кубиков двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разница между кубиками двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Сертификат FSU

Доказать ФСО довольно просто. Исходя из свойств умножения, умножаем части формул в скобки.

Например, рассмотрим формулу квадрата разницы.

а — б 2 = а 2 — 2 а б + б 2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, вам нужно умножить это выражение само на себя.

а — б 2 = а — б а — б.

Раскроем скобки:

a — b a — b = a 2 — a b — b a + b 2 = a 2 — 2 a b + b 2.

Формула доказана. Остальные FSO доказываются аналогично.

Примеры применения БСС

Целью использования сокращенных формул умножения является быстрое и краткое умножение и возведение в степень выражений. Однако это далеко не все возможности ФСО. Они широко используются для сокращения выражений, сокращения дробей, разложения многочленов на множители. Вот несколько примеров.

Пример 1. FSO

Упростим выражение 9 y — (1 + 3 y) 2.

Применяем формулу суммы квадратов и получаем:

9 y — (1 + 3 y) 2 = 9 y — (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y — 1 — 6 y — 9 y 2 = 3 y — 1 — 9 y 2

Пример 2. FSO

Уменьшить дробь 8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4.

Обратите внимание, что выражение в числителе — это разница между кубиками, а знаменатель — это разница в квадратах.

8 x 3 — z 6 4 x 2 — z 4 = 2 x — z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x — z 2 x + z.

Сокращаем и получаем:

8 х 3 — z 6 4 х 2 — z 4 = (4 х 2 + 2 х z + z 4) 2 х + z

Также ФСО помогают вычислить значения выражений. Главное — уметь замечать, где применять формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений напишем:

79 = 80 — 1; 79 2 = 80 — 1 2 = 6400 — 160 + 1 = 6241.

Казалось бы, сложный расчет был выполнен быстро с использованием сокращенных формул умножения и таблицы умножения.2 $.

Для этого запомните следующее правило:

Если мы добавим какой-либо одночлен к выражению и вычтем тот же одночлен, то мы получим правильное тождество. 3 $.2 \ справа) \]

Как умножить в Excel в 2020 году (+ примеры и снимки экрана)

Microsoft Excel может мгновенно решить любую математическую задачу за вас.

Проблема, с которой сталкиваются многие люди, заключается в том, что они не знают, как ввести эти проблемы в Excel.

Вот где я и пришел.

Я потратил много времени на использование Microsoft Excel. Итак, я могу научить вас вычитать в Excel, как складывать в Excel и как делить в Excel.Может быть, немного о том, как объединить ячейки в Excel? Этот список можно продолжить.

Но в этой конкретной статье я здесь, чтобы научить вас умножать в Excel.

Как умножить в Excel ярлык

Для умножения в Excel вам нужно написать формулу с арифметическим оператором умножения, символом звездочки (*). Не забывайте, все формулы должны начинаться со знака равенства (=)!

Пр. = 5 * 5 дает 25

А теперь перейдем к делу.

Если вы хотите умножать в Excel, вам нужно знать, что такое формулы Excel и как их писать.

 MINIMATH - это веб-приложение алгебры для решения уравнений и упрощения
 выражения одночленов, многомерных многочленов и рациональных дробей
 (с целыми или рациональными коэффициентами), показывая все шаги.3) можно набрать следующим образом: 1 / 2x2cb3
 
 Для переменных можно использовать только следующие символы:
 
                 АБВГДЕЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЫЭЮЯ

 Во избежание двусмысленности переменные верхнего регистра будут преобразованы в нижний регистр.
 
 Если введены десятичные дроби, они будут автоматически преобразованы в дроби.
 Повторяющиеся десятичные дроби должны быть набраны с использованием круглых скобок для обозначения повторения.)
 - деление / дробь (/), деление (:), умножение (*)
 - сложение (+), вычитание (-)
 - квадратный корень из m (sqrt (m)), только если m - полный квадрат
 - корень n из m (root (n) (m)), только если n - целое число, а m - совершенная степень

 Наибольший общий делитель - НОД ($) и наименьшее общее кратное - операторы НОК (&)
 можно использовать для вычисления одного из полиномов, принадлежащих НОД и НОК
 наборы заданной пары многочленов.ПРИМЕР = (x4-9x2-4x + 12) $ (x3 + 5x2 + 2x-8) => вычисляет один наибольший общий делитель
 РЕЗУЛЬТАТ = x2 + x-2 => полиномиальный НОД определяется только вверх
                                           умножению на обратимый
                                           постоянный

 Наибольший общий делитель также называется наибольшим общим делителем (ОКФ).
 
 ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: приложение MINIMATH предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий.
 Вы несете риск его использования.Авторы не могут считаться ответственными за
 любые последствия из-за использования приложения.