Формула сложения кубов – CGI script error

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов

При изучении формул сокращенного умножения мы уже изучили:

 – квадрат суммы и разности;

 – разность квадратов.

Выведем формулу разности кубов.

.

Наша задача – доказать, что при раскрытии скобок в правой части и приведении подобных слагаемых мы придем в результате к левой части.

Выполняем умножение многочленов:

.

Что и требовалось доказать.

Выражение  называется неполным квадратом суммы, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.

Определение

Разность кубов двух выражений есть произведение разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Выведем формулу суммы кубов.

.

Выполняем умножение многочленов:

.

Что и требовалось доказать.

Выражение  называется неполным квадратом разности, так как отсутствует двойка перед произведением выражений.

Определение

Сумма кубов двух выражений есть произведение суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Пример 1 – упростить выражение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Пример 2 – упростить выражение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – суммы кубов:

.

Пример 3 – разложить на множители:

.

Несложно заметить формулу разности кубов:

.

Применяем изучаемую формулу:

.

Пример 4 – разложить на множители:

.

Несложно заметить формулу разности кубов:

.

Применяем изучаемую формулу: 

.

Пример 5 – решить уравнение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Пример 6 – решить уравнение:

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – суммы кубов:

z3 = -13

z = -1

Пример 7 – вычислить при :

.

Пусть  и , имеем:

.

Это изучаемая формула – разности кубов:

.

Подставим значение переменной:

.

Пример 8: докажите, что .

Доказательство.

Применим формулу разности кубов и разложим заданное выражение на множители:

.

Вторую скобку оставим без изменений, выполним вычисления в первой скобке:

.

Получили произведение чисел, содержащее множитель 25, очевидно, что данное выражение кратно 25.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели формулы разности и суммы кубов и их применение для различных типов задач.

 

Список литературы

  1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
  3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

  1. Задание 1 – упростить выражения:
    а) ; б) .
  2. Задание 2 – разложить на множители:
    a) ; б) .
  3. Задание 3 – № 882, 883 – Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Школьный помощник (Источник).
  2. Инженерный справочник (Источник).
  3. Интернет-портал Grandars.ru (Источник).

interneturok.ru

Сумма кубов

Итог полученный в результате суммы двух значений с неполным квадратом их разности равняется сумме куба этих значений.

Для любых значений а и b данное равенство будет верным.

(а+b)(a2 — ab + b2) = a3 + b3

Доказательством этого будет:

(а+b)(a2 — ab + b2) = a3 + a2b — ab2+ ab2+b3 = a3+ b3

В силу того что равенство будет верным с любыми значениями, значит это тождество. Разберем это утверждение на примере с использованием других значений, но в итоге мы все равно получим тождество.

(2х + у2)(4х2 — 2 ху2 + у4) = 8х3 — у6.

Так же есть формула куба сумм

двух значений равняется сложению куба первого и тройного произведения квадрата первого значения умноженного на второе и тройного произведения первого значения умноженное на второе значение в квадрате и второго значения в кубе.

(а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Или другими словами это правило раскрытия скобок. Как мы знаем в математике любое равенство можно прочитать в обратном порядке, а значит если мы попробуем это сделать, наши действия будут верны. Возьмем равенство с умножением двучлена и проверим.

a+b * (a+b)2 : (a+b)3 = (a+b)(a+b)2 = (a+b)(a2+2ab+b2) = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b 3 ab2 + b3.

Таким образом (а+b)

2 мы заменили на равное выражение из формулы «Сумма кубов»

Разберем для наглядности

Нужно выражение (3х+у)3 вывести за скобки
Решим данный пример в два варианта. В первом мы умножим 3х+у два раза на себя. Во втором — воспользуемся формулой Сумма кубов.

1) (3х+у)3 = (3х+у)(3х+у)2=(3х+у)(9х2+6ху+у2) = 27х3+18х2у+6ху23 =27х3+27х2у

2) (3х+у)3 = (3х)3 + 3*(3х)2 * у + 3 * 3х (у)2 + у3 = 27х2 + 27х2у.

Как следствие, можно сделать вывод. С использованием формулы суммы кубов, решение становиться проще и времени на расчеты затрачивается меньше.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

правила применения формул сокращенного умножения

Формулы или правила сокращенного умножения используются в арифметике, а точнее — в алгебре, для более быстрого процесса вычисления больших алгебраических выражений. Сами же формулы получены из существующих в алгебре правил для умножения нескольких многочленов.

Использование данных формул обеспечивает достаточно оперативное решение различных математических задач, а также помогает осуществлять упрощение выражений. Правила алгебраических преобразований позволяют выполнять некоторые манипуляции с выражениями, следуя которым можно получить в левой части равенства выражение, стоящее в правой части, или преобразовать правую часть равенства (чтобы получить выражение, стоящее в левой части после знака равенства).

Удобно знать формулы, применяемые для сокращенного умножения, на память, так как они нередко используются при решении задач и уравнений. Ниже перечислены основные формулы, входящие в данный список, и их наименование.

Квадрат суммы

Чтобы вычислить квадрат суммы, необходимо найти сумму, состоящую из квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго. В виде выражения данное правило записывается следующим образом: (а + с)² = a² + 2ас + с².

Квадрат разности

Чтобы вычислить квадрат разности, необходимо вычислить сумму, состоящую из квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе (взятое с противоположным знаком) и квадрата второго числа. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а — с)² = а² — 2ас + с².

Разность квадратов

Формула разности двух чисел, возведенных в квадрат, равна произведению суммы этих чисел на их разность. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: a² — с² = (a + с)·(a – с).

Куб суммы

Чтобы вычислить куб суммы двух слагаемых, необходимо вычислить сумму, состоящую из куба первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого слагаемого и второго, утроенного произведения первого слагаемого и второго в квадрате, а также куба второго слагаемого. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: (а + с)³ = а³ + 3а²с + 3ас² + с³.

Сумма кубов

Согласно формуле, сумма кубов приравнивается к произведению суммы данных слагаемых на их неполный квадрат разности. В виде выражения данное правило выглядит следующим образом: а³ + с³ = (а + с)·( а² — ас + с²).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая образована сложением двух кубов. Известны лишь величины их сторон.

Если значения сторон небольшие, то выполнить вычисления просто.

Если же длины сторон выражаются в громоздких числах, то в этом случае проще применить формулу «Сумма кубов», которая значительно упростит вычисления.

Куб разности

Выражение для кубической разности звучит так: как сумма третьей степени первого члена, утроенного отрицательного произведения квадрата первого члена на второй, утроенного произведения первого члена на квадрат второго и отрицательного куба второго члена. В виде математического выражения куб разности выглядит следующим образом: (а — с)³ = а³ — 3а²с + 3ас² — с³.

Разность кубов

Формула разности кубов отличается от суммы кубов лишь одним знаком. Таким образом, разность кубов — формула, равная произведению разности данных чисел на их неполный квадрат суммы. В виде математического выражения разность кубов выглядит следующим образом: а3 – с3 = (а – с)(а2 + ас + с2).

Пример. Необходимо вычислить объем фигуры, которая останется после вычитания из объема синего куба объемной фигуры желтого цвета, которая также является кубом. Известна лишь величина стороны маленького и большого куба.

Если значения сторон небольшие, то вычисления довольно просты. А если длины сторон выражаются в значительных числах, то стоит применить формулу, озаглавленную «Разность кубов» (или «Куб разности»), которае значительно упростит вычисления.

fb.ru