Формула квадратичная – Квадратичная функция одной переменной — Википедия

Содержание

2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

 Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так
называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для
функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции

www.sites.google.com

[Билет 24] Квадратичная функция. Выделение полного квадрата. Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Квадратичная функция.

Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y — переменные, а a, b, c — заданные числа, причем a  не равно 0 ,
называется квадратичной функцией

Выделение полного квадрата.

Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.

 – дискриминант квадратного уравнения.

Прямая и обратная теоремы Виета.

3. Теорема Виета

Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член — буквой q.Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня:

и найдём сумму и произведение корней:

3.1 Теорема, обратная теореме Виета

Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения

Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнениеможно записать в виде:

Подставив вместо x число m, получим:

Значит, число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения:

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Теорема. Пусть

x1 и x2 — корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x2 + px + q = (x — x1) (x — x2).

Доказательство. Подставим вместо

p и q их выражения через x1 и x2 и воспользуемся способом группировки:

x2 + px + q = x2 — (x1 + x2x + x1 x2 = x2 — x1 x — x2 x + x1 x2 = x (x — x1) — x2 (x — x1) = = (x — x1) (x — x2). Теорема доказана. 



Квадратное уравнение.
График квадратного трехчлена

• Уравнение вида

называется квадратным уравнением. Число D = b2 — 4ac — дискриминант
этого уравнения.
Если

то числа

являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни
совпадают:

Если D < 0, то квадратное
уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:

— формулы Виета; а
ах2 + bх + с
= а(х — х1)(х — х2) —
формула разложения на множители.
Графиком квадратичной функции
(квадратного трехчлена) у = ах2 + bх + с является парабола. Расположение
параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено
на рис.

Числа х1 и х2
на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0;
координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях

точка пересечения параболы
с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности
парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты
всех точек удовлетворяют неравенству у > ах2 + bх + с, а в другой
— противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем,
найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
Рассмотрим понятие касательной
к параболе (или окружности). Прямую у — kx + 1 назовем касательной к параболе
(или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.

В точке касания М(х; у)
для параболы выполняется равенство kx +1 = ах2 + bх + с (для окружности
— равенство (х — х0)2 + (kx + 1 — у0)2
— R2). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения
нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям
для вычисления коэффициентов касательной.

fizmatinf.blogspot.com

Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритмы решения квадратного уравнения и неравенства. Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Примерно 7 класс (13 лет)

Техническая информация тут

  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
  • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление

    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритмы решения квадратного уравнения и неравенства. Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Примерно 7 класс (13 лет)


    Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритм решения квадратного уравнения.

    Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Решение неполных квадратных

    уравнений. Теорема Виета. Алгоритм решения квадратного неравенства. Примерно 7 класс (13 лет)

     






    Алгоритм решения квадратного уравнения

    • Перевести все слагаемые в левую часть уравнения, упростить ее, получив уравнение вида:
    • Вычислить дискриминант D.
      • Если D≥0, вычислить корни уравнения.
      • Если D<0, записать ответ:»корней нет»

    Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения

    • В общем случае:

    • Если b-четное, удобнее считать:

    Решение неполных квадратных уравнений

    dpva.ru

    Квадратичная функция


     


    Квадратичная функция
    — функция вида:


    f(x)=ax2+bx+c


    или


    y(x)=ax2+bx+c


    Где  a≠0.


    В уравнении квадратичной функции:


    a –старший коэффициент


    b – второй коэффициент


    с  свободный член.


    Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции


    y(x)=x2


    или


    f(x)=x2


    .


    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:


    a>0




    x


    -3


    -2


    -1


    0


    1


    2


    3


    y


    9


    4


    1


    0


    1


    4


    9


    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y  положительные.


    y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)


    Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.


    Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x2
    при любых значениях остальных коэффициентов
    .


    График функции


    y(x)=-x2 


    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:




    x


    -3


    -2


    -1


    0


    1


    2


    3


    y


    -9


    -4


    -1


    0


    -1


    -4


    -9


     


    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y  отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X  положительные, а значения Y отрицательные.


    y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)


    Если двигаться по одной ветви параболы от  -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до  +∞, то мы замечаем, что функция убывает.


     


    Свойства функции y(x)=x2:


     


    1)    Область определения функции:


    D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞). 


    2)Область значения функции:


    Если a<0


    E(f)=(-∞;0].


    Если a>0


    E(f)=[0;+∞).


    3)Наибольшее и наименьшее значение функции:


    Если a<0, то Yнаиб=0,Yнаим нет.


    Если a>0, тоYнаим=0, Yнаиб нет.


    4)Y(x)=x2— четная функция(т.к.f(-x)=x2=(-x)2=f(x) ).


    График симметричен относительно оси oY  .


    5) Ограниченность функции:


    Если a>0, функция ограничена снизу.


    Если a<0, функция ограничена сверху.


    6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)


    Перемещение параболы y(x)=x2


    Если добавить константу (где любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси  (вместе с вертикальной асимптотой).


    В таком случае уравнением функции станет:


    y(x)=(x±d)2


    Если d>0 (y(x)=(x+d)2), то график функции передвигается по оси oX  влево.


    Для примера возьмем уравнение y=(x+2)2




    Если d<0 (y(x)=(x-d)2), то график функции передвигается по оси oX  вправо.


    Для примера возьмем уравнение y=(x-2)2




    Если добавить константу c(где cлюбое число) к X2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)


     


    В таком случае уравнением функции станет:


     y(x)=(x)2±c


     Если  c>0 (y(x)=(x)2+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.


    Для примера возьмем уравнение y=(x)2+2



    Если  c<0 (y(x)=(x)2-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.


    Для примера возьмем уравнение y=(x)2-3


     


     


    Дискриминант и нахождение корней


    y=ax2+bx+c


    ax2+bx+c=0


    D=(b)2-4ac


    1) 1) Если D>0 то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 2 решения,  уравнение y=ax2+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:



    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:



    2) Если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax2+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.


    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:



    3) Если  D<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax2+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.


    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


     


    Координаты вершины параболы


    Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:



    Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.


       Точка пересечения с осью oY


    Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c. 


    Алгоритм построения квадратичной параболы


    1) Направление ветвей.


    2) Координаты вершины параболы.


    3) Корни дискриминанта.


    4) Дополнительные точки.


    5) Построение графика.


    Разложениеквадратного трехчлена


    Пример №1


    Построим функцию y=x2-6x+15


    В квадратичном трехчлене x2-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.


    Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,


    Выразим квадрат разности: x2-6x+15=(x2-6x+9)+6,


    Соберем формулу: (x2-6x+9)+6=(x-3)2+6,


    У нас получилась функция y=(x-3)2+6,


    Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.


    Следовательно, график функции y=(x-3)2+6 будет выглядеть таким образом:


     


    Пример №2


    Построим функцию y=x2+8x+17


    В квадратичном трехчлене x2+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.


    Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,


    Выразим квадрат разности: x2+8x+17=(x2+8x+16)+1,


    Соберем формулу: (x2+8x+16)+1=(x+4)2+1,


    У нас получилась функция y=(x+4)2+1,


    Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.


    Следовательно, график функции y=(x+4)2+1 будет выглядеть таким образом:



    Итог:


    Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:


    1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;


    2) Соберем, получившуюся формулу;


    3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;


    4) Построим график.


    Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович


    Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

    www.teslalab.ru

    Квадратичная формула — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

    Квадратичная формула

    Cтраница 1

    Квадратичные формулы никогда не приводят к физически неприемлемым соотношениям еЭМ, что возможно при использовании линейных формул и особенно неудобно П ри решении тех задач, в которых величина параметра е находится только в конце расчета.
     [1]

    Однако квадратичные формулы Шези и Дарси-Вейсбаха очень удобны для практических целей и целесообразны с точки зрения единообразия расчета и обычно применяются как для турбулентного, так и для ламинарного режимов. Отклонения же от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты Я, и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Таким образом, эти формулы устанавливают только общую форму закона сопротивлений. Для определения же численного значения потери напора необходимо в каждом отдельном случае учесть, кроме того, еще и влияние всех указанных выше факторов.
     [2]

    Точность квадратичных формул значительно выше, чем линейных, и является практически достаточной при любых значениях исходных величин.
     [3]

    Это уравнение легко решается по квадратичной формуле ( см. раздел III.
     [4]

    Действительные значения параметров рассчитываются с помощью линейных и квадратичных формул.
     [5]

    Это значение 2 точнее, чем полученное с применением квадратичной формулы.
     [6]

    Для этой цели, вообще говоря, могут быть использованы как линейные, так и квадратичные формулы.
     [7]

    Уравнение ( 2) дает общее решение уравнения второй степени с одним неизвестным; его часто называют квадратичной формулой. Однако только одно из них имеет физический смысл, поскольку все отрицательные и невещественные решения должны быть отброшены. И даже когда оба корня положительны, один из них обычно приводит к отрицательному значению других неизвестных в системе уравнений, которые привели в результате преобразований к квадратному уравнению.
     [8]

    Re; потери напора при движении осадков и однородных жидкостей практически одинаковы, и коэффициент /, может быть определен по любой квадратичной формуле, используемой при расчете канализационной сети.
     [9]

    При турбулентном режиме коэффициент Я, практически не зависит от Re; потери напора при движении осадков и однородных жидкостей практически одинаковы, и коэффициент К может быть определен по любой квадратичной формуле, используемой при расчете канализационной сети.
     [10]

    Применение квадратичных формул ни в коей мере не оправдывается точностью существующих в настоящее время данных и может даже увеличить ошибку в экстраполированном значении величины а благодаря усилению влияния экспериментальных ошибок.
     [11]

    Уравнение второй степени может быть решено алгебраически. Однако необдуманное использование квадратичной формулы иногда приводит к невразумительным и неточным результатам; поэтому данный способ решения не всегда наилучший.
     [12]

    Придавая определенные значения величинам [ Н ] и С, решим квадратное уравнение относительно [ Fe3 ] для каждой точки. Это можно было бы сделать по квадратичной формуле, но поскольку обычно известно приближенное значение величины [ Fe3 ], то легче использовать его для оценки последнего члена. Тогда новое значение величины [ Fe3 ], полученное из уравнения ( 10), можно подставить еще раз — для получения лучшего приближения. Такое вычисление легко поддается программированию для решения на ЭВМ.
     [14]

    Этим завершается вольное описание желаемого исполнения алгоритма для решения квадратных уравнений. Вернемся теперь к рассмотрению некоторых типичных уравнений, чтобы посмотреть, как работают для них квадратичные формулы.
     [15]

    Страницы:  

       1

       2




    www.ngpedia.ru

    График квадратичной функции | Формулы с примерами

    Графики квадратичной функции 9 класс

    Правило

    Любую квадратичную функцию можно представить в виде , где

    Примеры, свойства, правила

    Правила

    1)  y = 2x2 — 4x + 3.

       I способ — выделение полного квадрата:

    y = 2x2 — 4x + 3 = 2(x2 — 2x) + 3 =

    = 2(x2 — 2 • x • 1 + 12) — 2 • 12 + 3 = 2(x — 1)2 + 1;

       II способ — по формулам:

    x0 =    -4   2 • 2 = 1,    y0 = y(1) = 2 • 12 — 4 • 1 + 3 = 1, значит y = 2(x — 1)2 + 1.

    2)  y = 2 — 3x2 + x = 2 — 3(x213x) =

    = 2 — 3(x2 — 2 • 16 • x + (16)2 + 3 • (16)2) = -3 (x — 16)2 + 2 1 12.

    График квадратичной функции, рисунок

    Правило

    График функции — y = a(x — x0)2 + y0 — парабола, которую можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов (сдвигов:

    1)  вдоль оси OX на X0 вправо, если x0 > 0,


    или на |x0| влево, если x0

    2)  вдоль оси OY на y0 вверх, если y0 > 0,


    или на |y0| вниз, если y0

    Порядок выполнения сдвигов — любой.

    Правило

    Вершина параболы y = a(x — x0)2 + y0— точка O1(x0,y0).

    Ось симметрии — прямая x = x0.

    Область значений — интервал [y0, +?), если a > 0, или (-?, y0], если a

    Пример 1

    1)  y = 2x2 — 4x + 3 y = 2(x -1)2 + 1

    Пример 2

    2)  y = 1 — 12x2 — 2x y = -(x + 2)2 + 3

    Формулы по алфавиту:

    © 2019 Все права защищены
    При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

    formula-xyz.ru

    2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности.

    В
    произвольной точке Р поверхности
    (
    u,v)
    зададим направление, выбрав
    u=u(t),
    v=v(t).
    Отношение дифференциалов

    определяет
    направление на поверхности , имеем

    .

    Производная
    от
    (
    u,v)
    по направлению
    du:
    dv
    имеет вид:

    .


    Малое
    смещение
    ds
    по кривой
    (u(t),v(t))
    на поверхности вычисляется на основании
    равенств
    .

    Отсюда
    получаем ,вычисляя скалярный квадрат

    =,

    ds2=.

    Введем
    обозначения

    ,
    .

    Значения
    этих скалярных произведений зависят
    от выбора точки Р поверхности . Выражение:


    называется
    первой
    квадратичной формой поверхности
    (
    u,v).

    Вычисление
    первой квадратичной формы в произвольной
    и выбранной точке.

    Вычислим
    первую квадратичную форму в выбранной
    точке.

    Найдем

    Теперь,
    когда найдены значения
    E,F
    и
    G,
    напишем формулу первой квадратичной
    формы в произвольной точке:

    Нами
    получена формула первой квадратичной
    формы в произвольной точке.

    Теперь,
    подставив наши значения

    в
    формулу первой квадратичной формы,
    найдем ее значение в выбранной точке:

    Первая
    квадратичная форма в выбранной точке
    найдена.

    2.3Вторая квадратичная форма поверхности.

    На
    поверхности
    (
    u,v)
    рассмотрим линию
    u=u(s),
    v=v(s)
    в естественной параметризации :
    .

    Кривизна
    кривой :
    (s)
    =,

    где
    k1
    кривизна
    кривой,
    — единичный вектор главной нормали
    кривой. Обозначим-
    единичный вектор нормали поверхности

    (u,v)
    , это вектор
    .

    Умножим
    скалярно
    и:

    ,

    если

    угол междуи.
    Величина

    Называется
    нормальной кривизной
    (
    s)
    на поверхности
    (
    u,v)
    или нормальной кривизной поверхности

    .

    Вычислим
    kn
    в окрестности точки Р=(
    x0,y0,z0)
    . Находим

    ,

    ,

    ,

    здесь
    и,
    так как.
    Обозначим

    ,
    ,.

    На
    основании формул:

    и

    имеем

    Коэффициенты
    L,M,N
    вычислены в точке Р поверхности
    .Выражение для нормальной кривизны
    линии на поверхности таково:

    .

    Отсюда
    получаем

    .

    Воспользуемся
    значением
    ds2
    из
    первой квадратичной формы поверхности

    .

    Квадратичная
    форма

    Называется
    второй квадратичной формой поверхности.

    Вычисление
    второй квадратичной формы поверхности
    в произвольной и выбранной точке.


    Найдем
    вторую квадратичную форму в произвольной
    точке:

    Вычислим,
    для начала чему равен
    ,
    подставив ранее полученные значения
    E,
    G
    и
    F
    для первой квадратичной формы:

    Найдем
    векторное произведение
    и:

    =

    Затем
    вычислим
    ,и:

    Найдем
    коэффициенты второй квадратичной формы,
    подставив в формулы

    наши
    значения:

    L=

    M=

    N=0

    Теперь
    напишем формулу второй квадратичной
    формы поверхности в произвольной точке


    Вторая
    квадратичная форма в произвольной точке
    найдена.

    Подставив
    значения
    в нашу формулу, получим уравнение второй
    квадратичной формы в выбранной точке:

    Уравнение
    второй квадратичной формы в выбранной
    точке найдено.

    2.4 Полная и средняя кривизны поверхности.

    Рассмотрим
    регулярную
    (
    u,v)
    в окрестности точки Р.

    .

    Отсюда
    получаем

    .

    Дифференцируем
    это неравенство по
    x
    и по
    y

    .

    Главные
    направления в касательной плоскости
    определяются этой системой уравнений,
    если она имеет ненулевые решения, т.е.
    в случае ∆=0

    Значение
    определителя

    .

    Главные
    кривизны
    есть корни выписанного уравнения.
    Воспользуемся теоремой Виета

    ,

    где
    К- полная кривизна поверхности (Гауссова
    кривизна),

    Н-
    средняя кривизна поверхности.

    Вычисление
    полной и средней кривизны поверхности

    Мы
    вычислили полную и среднюю кривизну
    поверхности.

    studfiles.net