Формула квадратичная – Квадратичная функция одной переменной — Википедия
2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики
В уравнении квадратичной функции:
a – старший коэффициент
b – второй коэффициент
с — свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции имеет вид:
Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
Второй параметр для построения графика функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции — это точки пересечения графика функции
www.sites.google.com
[Билет 24] Квадратичная функция. Выделение полного квадрата. Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.
Квадратичная функция.Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y — переменные, а a, b, c — заданные числа, причем a не равно 0 ,
называется квадратичной функцией
Выделение полного квадрата.
Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.
Прямая и обратная теоремы Виета.
3. Теорема ВиетаТеорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член — буквой q.Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня: и найдём сумму и произведение корней: |
3.1 Теорема, обратная теореме ВиетаТеорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравненияДоказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнениеможно записать в виде: Подставив вместо x число m, получим: Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения: |
Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.
Теорема. Пусть
x1 и x2 — корни квадратного трехчлена x2Доказательство. Подставим вместо
p и q их выражения через x1 и x2 и воспользуемся способом группировки:x2 + px + q = x2 — (x1 + x2) x + x1 x2 = x2 — x1 x — x2 x + x1 x2 = x (x —
Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена
• Уравнение вида
называется квадратным уравнением. Число D = b2 — 4ac — дискриминант
этого уравнения.
Если
то числа
являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни совпадают:
Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:
— формулы Виета; а
ах2 + bх + с = а(х — х1)(х — х2) —
формула разложения на множители.
Числа х1 и х2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях
точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах2 + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах2 + bх + с (для окружности — равенство (х — х0)2 + (kx + 1 — у0)2 — R2). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.
Техническая информация тут | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритмы решения квадратного уравнения и неравенства. Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Примерно 7 класс (13 лет)
|
dpva.ru
Квадратичная функция
Квадратичная функция — функция вида:
f(x)=ax2+bx+c
или
y(x)=ax2+bx+c
Где a≠0.
В уравнении квадратичной функции:
a –старший коэффициент
b – второй коэффициент
с свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции
y(x)=x2
или
f(x)=x2
.
Имеет вид и строится по «базовым точкам»:
a>0
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные.
y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)
Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции
y(x)=-x2
Имеет вид и строится по «базовым точкам»:
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
y |
-9 |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
-9 |
Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.
y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)
Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция убывает.
Свойства функции y(x)=x2:
1) Область определения функции:
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).
2)Область значения функции:
Если a<0
E(f)=(-∞;0].
Если a>0
E(f)=[0;+∞).
3)Наибольшее и наименьшее значение функции:
Если a<0, то Yнаиб=0,Yнаим нет.
Если a>0, тоYнаим=0, Yнаиб нет.
4)Y(x)=x2— четная функция(т.к.f(-x)=x2=(-x)2=f(x) ).
График симметричен относительно оси oY .
5) Ограниченность функции:
Если a>0, функция ограничена снизу.
Если a<0, функция ограничена сверху.
6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)
Перемещение параболы y(x)=x2
Если добавить константу d (где d любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси (вместе с вертикальной асимптотой).
В таком случае уравнением функции станет:
y(x)=(x±d)2
Если d>0 (y(x)=(x+d)2), то график функции передвигается по оси oX влево.
Для примера возьмем уравнение y=(x+2)2
Если d<0 (y(x)=(x-d)2), то график функции передвигается по оси oX вправо.
Для примера возьмем уравнение y=(x-2)2
Если добавить константу c(где cлюбое число) к X2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)
В таком случае уравнением функции станет:
y(x)=(x)2±c
Если c>0 (y(x)=(x)2+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.
Для примера возьмем уравнение y=(x)2+2
Если c<0 (y(x)=(x)2-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.
Для примера возьмем уравнение y=(x)2-3
Дискриминант и нахождение корней
y=ax2+bx+c
ax2+bx+c=0
D=(b)2-4ac
1) 1) Если D>0 то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 2 решения, уравнение y=ax2+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:
Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:
2) Если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax2+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.
Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:
3) Если D<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax2+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.
Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:
Координаты вершины параболы
Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:
Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.
Точка пересечения с осью oY
Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c.
Алгоритм построения квадратичной параболы
1) Направление ветвей.
2) Координаты вершины параболы.
3) Корни дискриминанта.
4) Дополнительные точки.
5) Построение графика.
Разложениеквадратного трехчлена
Пример №1
Построим функцию y=x2-6x+15
В квадратичном трехчлене x2-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.
Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,
Выразим квадрат разности: x2-6x+15=(x2-6x+9)+6,
Соберем формулу: (x2-6x+9)+6=(x-3)2+6,
У нас получилась функция y=(x-3)2+6,
Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.
Следовательно, график функции y=(x-3)2+6 будет выглядеть таким образом:
Пример №2
Построим функцию y=x2+8x+17
В квадратичном трехчлене x2+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.
Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,
Выразим квадрат разности: x2+8x+17=(x2+8x+16)+1,
Соберем формулу: (x2+8x+16)+1=(x+4)2+1,
У нас получилась функция y=(x+4)2+1,
Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.
Следовательно, график функции y=(x+4)2+1 будет выглядеть таким образом:
Итог:
Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:
1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;
2) Соберем, получившуюся формулу;
3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;
4) Построим график.
Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович
Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна
www.teslalab.ru
Квадратичная формула — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Квадратичная формула
Cтраница 1
Квадратичные формулы никогда не приводят к физически неприемлемым соотношениям еЭМ, что возможно при использовании линейных формул и особенно неудобно П ри решении тех задач, в которых величина параметра е находится только в конце расчета. [1]
Однако квадратичные формулы Шези и Дарси-Вейсбаха очень удобны для практических целей и целесообразны с точки зрения единообразия расчета и обычно применяются как для турбулентного, так и для ламинарного режимов. Отклонения же от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты Я, и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Таким образом, эти формулы устанавливают только общую форму закона сопротивлений. Для определения же численного значения потери напора необходимо в каждом отдельном случае учесть, кроме того, еще и влияние всех указанных выше факторов. [2]
Точность квадратичных формул значительно выше, чем линейных, и является практически достаточной при любых значениях исходных величин. [3]
Это уравнение легко решается по квадратичной формуле ( см. раздел III. [4]
Действительные значения параметров рассчитываются с помощью линейных и квадратичных формул. [5]
Это значение 2 точнее, чем полученное с применением квадратичной формулы. [6]
Для этой цели, вообще говоря, могут быть использованы как линейные, так и квадратичные формулы. [7]
Уравнение ( 2) дает общее решение уравнения второй степени с одним неизвестным; его часто называют квадратичной формулой. Однако только одно из них имеет физический смысл, поскольку все отрицательные и невещественные решения должны быть отброшены. И даже когда оба корня положительны, один из них обычно приводит к отрицательному значению других неизвестных в системе уравнений, которые привели в результате преобразований к квадратному уравнению. [8]
Re; потери напора при движении осадков и однородных жидкостей практически одинаковы, и коэффициент /, может быть определен по любой квадратичной формуле, используемой при расчете канализационной сети. [9]
При турбулентном режиме коэффициент Я, практически не зависит от Re; потери напора при движении осадков и однородных жидкостей практически одинаковы, и коэффициент К может быть определен по любой квадратичной формуле, используемой при расчете канализационной сети. [10]
Применение квадратичных формул ни в коей мере не оправдывается точностью существующих в настоящее время данных и может даже увеличить ошибку в экстраполированном значении величины а благодаря усилению влияния экспериментальных ошибок. [11]
Уравнение второй степени может быть решено алгебраически. Однако необдуманное использование квадратичной формулы иногда приводит к невразумительным и неточным результатам; поэтому данный способ решения не всегда наилучший. [12]
Придавая определенные значения величинам [ Н ] и С, решим квадратное уравнение относительно [ Fe3 ] для каждой точки. Это можно было бы сделать по квадратичной формуле, но поскольку обычно известно приближенное значение величины [ Fe3 ], то легче использовать его для оценки последнего члена. Тогда новое значение величины [ Fe3 ], полученное из уравнения ( 10), можно подставить еще раз — для получения лучшего приближения. Такое вычисление легко поддается программированию для решения на ЭВМ. [14]
Этим завершается вольное описание желаемого исполнения алгоритма для решения квадратных уравнений. Вернемся теперь к рассмотрению некоторых типичных уравнений, чтобы посмотреть, как работают для них квадратичные формулы. [15]
Страницы: 1 2
www.ngpedia.ru
График квадратичной функции | Формулы с примерами
Графики квадратичной функции 9 класс
ПравилоЛюбую квадратичную функцию можно представить в виде , где
Примеры, свойства, правила
Правила1) y = 2x2 — 4x + 3.
I способ — выделение полного квадрата:
y = 2x2 — 4x + 3 = 2(x2 — 2x) + 3 =
= 2(x2 — 2 • x • 1 + 12) — 2 • 12 + 3 = 2(x — 1)2 + 1;
II способ — по формулам:
x0 = -4 2 • 2 = 1, y0 = y(1) = 2 • 12 — 4 • 1 + 3 = 1, значит y = 2(x — 1)2 + 1.
2) y = 2 — 3x2 + x = 2 — 3(x2 — 13x) =
= 2 — 3(x2 — 2 • 16 • x + (16)2 + 3 • (16)2) = -3 (x — 16)2 + 2 1 12.
График квадратичной функции, рисунок
ПравилоГрафик функции — y = a(x — x0)2 + y0 — парабола, которую можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов (сдвигов:
1) вдоль оси OX на X0 вправо, если x0 > 0,
или на |x0| влево, если x0
2) вдоль оси OY на y0 вверх, если y0 > 0,
или на |y0| вниз, если y0
Порядок выполнения сдвигов — любой.
ПравилоВершина параболы y = a(x — x0)2 + y0— точка O1(x0,y0).
Ось симметрии — прямая x = x0.
Область значений — интервал [y0, +?), если a > 0, или (-?, y0], если a
Пример 11) y = 2x2 — 4x + 3 y = 2(x -1)2 + 1 Пример 2
2) y = 1 — 12x2 — 2x y = -(x + 2)2 + 3
Формулы по алфавиту:
© 2019 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник
formula-xyz.ru
2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности.
В произвольной точке Р поверхности (u,v) зададим направление, выбрав u=u(t), v=v(t). Отношение дифференциалов
определяет направление на поверхности , имеем
.
Производная от (u,v) по направлению du: dv имеет вид:
.
Малое смещение ds по кривой (u(t),v(t)) на поверхности вычисляется на основании равенств .
Отсюда получаем ,вычисляя скалярный квадрат
=,
ds2=.
Введем обозначения
, .
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки Р поверхности . Выражение:
называется первой квадратичной формой поверхности (u,v).
Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке.
Вычислим первую квадратичную форму в выбранной точке.
Найдем
Теперь, когда найдены значения E,F и G, напишем формулу первой квадратичной формы в произвольной точке:
Нами получена формула первой квадратичной формы в произвольной точке.
Теперь, подставив наши значения в формулу первой квадратичной формы, найдем ее значение в выбранной точке:
Первая квадратичная форма в выбранной точке найдена.
2.3Вторая квадратичная форма поверхности.
На поверхности (u,v) рассмотрим линию u=u(s), v=v(s) в естественной параметризации : .
Кривизна кривой : (s) =,
где k1 кривизна кривой, — единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим- единичный вектор нормали поверхности
(u,v) , это вектор .
Умножим скалярно и:
,
если — угол междуи. Величина
Называется нормальной кривизной (s) на поверхности (u,v) или нормальной кривизной поверхности
.
Вычислим kn в окрестности точки Р=(x0,y0,z0) . Находим
,
,
,
здесь и, так как. Обозначим
, ,.
На основании формул:
и имеем
Коэффициенты L,M,N вычислены в точке Р поверхности .Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:
.
Отсюда получаем
.
Воспользуемся значением ds2 из первой квадратичной формы поверхности
.
Квадратичная форма
Называется второй квадратичной формой поверхности.
Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке.
Найдем вторую квадратичную форму в произвольной точке:
Вычислим, для начала чему равен , подставив ранее полученные значенияE, G и F для первой квадратичной формы:
Найдем векторное произведение и:
=
Затем вычислим ,и:
Найдем коэффициенты второй квадратичной формы, подставив в формулы
наши значения:
L=
M=
N=0
Теперь напишем формулу второй квадратичной формы поверхности в произвольной точке
Вторая квадратичная форма в произвольной точке найдена.
Подставив значения в нашу формулу, получим уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке:
Уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке найдено.
2.4 Полная и средняя кривизны поверхности.
Рассмотрим регулярную (u,v) в окрестности точки Р.
.
Отсюда получаем
.
Дифференцируем это неравенство по x и по y
.
Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае ∆=0
Значение определителя
.
Главные кривизны есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета
,
где К- полная кривизна поверхности (Гауссова кривизна),
Н- средняя кривизна поверхности.
Вычисление полной и средней кривизны поверхности
Мы вычислили полную и среднюю кривизну поверхности.
studfiles.net