Формула квадратичная – Квадратичная функция одной переменной — Википедия

Содержание

2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

 Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или

нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции

www.sites.google.com

[Билет 24] Квадратичная функция. Выделение полного квадрата. Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Квадратичная функция.

Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y — переменные, а a, b, c — заданные числа, причем a  не равно 0 ,
называется квадратичной функцией

Выделение полного квадрата.

Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.

 – дискриминант квадратного уравнения.

Прямая и обратная теоремы Виета.

3. Теорема Виета

Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член — буквой q.Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня:
и найдём сумму и произведение корней:

3.1 Теорема, обратная теореме Виета

Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения
Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнениеможно записать в виде:
Подставив вместо x число m, получим:
Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения:

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Теорема. Пусть

x1 и x2 — корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x2 + px + q = (x — x1) (x — x2).

Доказательство. Подставим вместо

p и q их выражения через x1 и x2 и воспользуемся способом группировки:

x2 + px + q = x2 — (x1 + x2x + x1 x

2 = x2 — x1 x — x2 x + x1 x2 = x (x — x1) — x2 (x — x1) = = (x — x1) (x — x2). Теорема доказана. 


Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена

• Уравнение вида

называется квадратным уравнением. Число D = b2 — 4ac — дискриминант этого уравнения.
Если



то числа

являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни совпадают:

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:

— формулы Виета; а
ах2 + bх + с = а(х — х1)(х — х2) —
формула разложения на множители.
Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах2 + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.

Числа х1 и х2 на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах2 + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях

точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах2 + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
Рассмотрим понятие касательной к параболе (или окружности). Прямую у — kx + 1 назовем касательной к параболе (или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.

В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах2 + bх + с (для окружности — равенство (х — х0)2 + (kx + 1 — у0)2 — R2). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.

fizmatinf.blogspot.com

Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритмы решения квадратного уравнения и неравенства. Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Примерно 7 класс (13 лет)


Техническая информация тут
  • Перевод единиц измерения величин
  • Таблицы числовых значений
  • Алфавиты, номиналы, единицы
  • Математический справочник тут
  • Физический справочник
  • Химический справочник
  • Материалы
  • Рабочие среды
  • Оборудование
  • Инженерное ремесло
  • Инженерные системы
  • Технологии и чертежи
  • Личная жизнь инженеров
  • Калькуляторы
  • Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление


    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритмы решения квадратного уравнения и неравенства. Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Примерно 7 класс (13 лет)

    Квадратные уравнения и неравенства. Алгоритм решения квадратного уравнения.
    Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Решение неполных квадратных
    уравнений. Теорема Виета. Алгоритм решения квадратного неравенства. Примерно 7 класс (13 лет)

     

    Алгоритм решения квадратного уравнения

    • Перевести все слагаемые в левую часть уравнения, упростить ее, получив уравнение вида:
    • Вычислить дискриминант D.
      • Если D≥0, вычислить корни уравнения.
      • Если D<0, записать ответ:»корней нет»

    Формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения

    • В общем случае:

    • Если b-четное, удобнее считать:

    Решение неполных квадратных уравнений

    dpva.ru

    Квадратичная функция

     

    Квадратичная функция — функция вида:

    f(x)=ax2

    +bx+c

    или

    y(x)=ax2+bx+c

    Где  a≠0.

    В уравнении квадратичной функции:

    a –старший коэффициент

    b – второй коэффициент

    с  свободный член.

    Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

    y(x)=x2

    или

    f(x)=x2

    .

    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

    a>0

    x

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    y

    9

    4

    1

    0

    1

    4

    9

    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y  положительные.

    y(x)>0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

    Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

    Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x2 при любых значениях остальных коэффициентов.

    График функции

    y(x)=-x2 

    Имеет вид и строится по «базовым точкам»:


    x

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    y

    -9

    -4

    -1

    0

    -1

    -4

    -9

     

    Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y  отрицательные, а вторая часть – в IV четверти, где значения X  положительные, а значения Y отрицательные.

    y(x)<0, при x∈(-∞;0)∪(0;+∞)

    Если двигаться по одной ветви параболы от  -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до  +∞, то мы замечаем, что функция убывает.

     

    Свойства функции y(x)=x2:

     

    1)    Область определения функции:

    D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞). 

    2)Область значения функции:

    Если a<0

    E(f)=(-∞;0].

    Если a>0

    E(f)=[0;+∞).

    3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

    Если a<0, то Yнаиб=0,Yнаим нет.

    Если a>0, тоYнаим=0, Yнаиб нет.

    4)Y(x)=x2— четная функция(т.к.f(-x)=x2=(-x)2=f(x) ).

    График симметричен относительно оси oY  .

    5) Ограниченность функции:

    Если a>0, функция ограничена снизу.

    Если a<0, функция ограничена сверху.

    6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)

    Перемещение параболы y(x)=x2

    Если добавить константу (где любое число), в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение параболыпо оси  (вместе с вертикальной асимптотой).

    В таком случае уравнением функции станет:

    y(x)=(x±d)2

    Если d>0 (y(x)=(x+d)2), то график функции передвигается по оси oX  влево.

    Для примера возьмем уравнение y=(x+2)2


    Если d<0 (y(x)=(x-d)2), то график функции передвигается по оси oX  вправо.

    Для примера возьмем уравнение y=(x-2)2


    Если добавить константу c(где cлюбое число) к X2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

     

    В таком случае уравнением функции станет:

     y(x)=(x)2±c

     Если  c>0 (y(x)=(x)2+c), то график функции передвигается по оси oY вверх.

    Для примера возьмем уравнение y=(x)2+2


    Если  c<0 (y(x)=(x)2-c), то график функции передвигается по оси oY вниз.

    Для примера возьмем уравнение y=(x)2-3

     

     

    Дискриминант и нахождение корней

    y=ax2+bx+c

    ax2+bx+c=0

    D=(b)2-4ac

    1) 1) Если D>0 то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 2 решения,  уравнение y=ax2+bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:


    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


    2) Если D=0, то уравнение ax2+bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax2+bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:


    3) Если  D<0, то уравнение ax2+bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax2+bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

    Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

     

    Координаты вершины параболы

    Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:


    Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

       Точка пересечения с осью oY

    Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax2+bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c. 

    Алгоритм построения квадратичной параболы

    1) Направление ветвей.

    2) Координаты вершины параболы.

    3) Корни дискриминанта.

    4) Дополнительные точки.

    5) Построение графика.

    Разложениеквадратного трехчлена

    Пример №1

    Построим функцию y=x2-6x+15

    В квадратичном трехчлене x2-6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

    Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,

    Выразим квадрат разности: x2-6x+15=(x2-6x+9)+6,

    Соберем формулу: (x2-6x+9)+6=(x-3)2+6,

    У нас получилась функция y=(x-3)2+6,

    Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

    Следовательно, график функции y=(x-3)2+6 будет выглядеть таким образом:

     

    Пример №2

    Построим функцию y=x2+8x+17

    В квадратичном трехчлене x2+8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

    Базовая формула: (a±b)2=x2±2ab+b2,

    Выразим квадрат разности: x2+8x+17=(x2+8x+16)+1,

    Соберем формулу: (x2+8x+16)+1=(x+4)2+1,

    У нас получилась функция y=(x+4)2+1,

    Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

    Следовательно, график функции y=(x+4)2+1 будет выглядеть таким образом:


    Итог:

    Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

    1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

    2) Соберем, получившуюся формулу;

    3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

    4) Построим график.

    Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

    Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

    www.teslalab.ru

    Квадратичная формула — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

    Квадратичная формула

    Cтраница 1

    Квадратичные формулы никогда не приводят к физически неприемлемым соотношениям еЭМ, что возможно при использовании линейных формул и особенно неудобно П ри решении тех задач, в которых величина параметра е находится только в конце расчета.  [1]

    Однако квадратичные формулы Шези и Дарси-Вейсбаха очень удобны для практических целей и целесообразны с точки зрения единообразия расчета и обычно применяются как для турбулентного, так и для ламинарного режимов. Отклонения же от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты Я, и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Таким образом, эти формулы устанавливают только общую форму закона сопротивлений. Для определения же численного значения потери напора необходимо в каждом отдельном случае учесть, кроме того, еще и влияние всех указанных выше факторов.  [2]

    Точность квадратичных формул значительно выше, чем линейных, и является практически достаточной при любых значениях исходных величин.  [3]

    Это уравнение легко решается по квадратичной формуле ( см. раздел III.  [4]

    Действительные значения параметров рассчитываются с помощью линейных и квадратичных формул.  [5]

    Это значение 2 точнее, чем полученное с применением квадратичной формулы.  [6]

    Для этой цели, вообще говоря, могут быть использованы как линейные, так и квадратичные формулы.  [7]

    Уравнение ( 2) дает общее решение уравнения второй степени с одним неизвестным; его часто называют квадратичной формулой. Однако только одно из них имеет физический смысл, поскольку все отрицательные и невещественные решения должны быть отброшены. И даже когда оба корня положительны, один из них обычно приводит к отрицательному значению других неизвестных в системе уравнений, которые привели в результате преобразований к квадратному уравнению.  [8]

    Re; потери напора при движении осадков и однородных жидкостей практически одинаковы, и коэффициент /, может быть определен по любой квадратичной формуле, используемой при расчете канализационной сети.  [9]

    При турбулентном режиме коэффициент Я, практически не зависит от Re; потери напора при движении осадков и однородных жидкостей практически одинаковы, и коэффициент К может быть определен по любой квадратичной формуле, используемой при расчете канализационной сети.  [10]

    Применение квадратичных формул ни в коей мере не оправдывается точностью существующих в настоящее время данных и может даже увеличить ошибку в экстраполированном значении величины а благодаря усилению влияния экспериментальных ошибок.  [11]

    Уравнение второй степени может быть решено алгебраически. Однако необдуманное использование квадратичной формулы иногда приводит к невразумительным и неточным результатам; поэтому данный способ решения не всегда наилучший.  [12]

    Придавая определенные значения величинам [ Н ] и С, решим квадратное уравнение относительно [ Fe3 ] для каждой точки. Это можно было бы сделать по квадратичной формуле, но поскольку обычно известно приближенное значение величины [ Fe3 ], то легче использовать его для оценки последнего члена. Тогда новое значение величины [ Fe3 ], полученное из уравнения ( 10), можно подставить еще раз — для получения лучшего приближения. Такое вычисление легко поддается программированию для решения на ЭВМ.  [14]

    Этим завершается вольное описание желаемого исполнения алгоритма для решения квадратных уравнений. Вернемся теперь к рассмотрению некоторых типичных уравнений, чтобы посмотреть, как работают для них квадратичные формулы.  [15]

    Страницы:      1    2

    www.ngpedia.ru

    График квадратичной функции | Формулы с примерами

    Графики квадратичной функции 9 класс

    Правило
    Любую квадратичную функцию можно представить в виде , где

    Примеры, свойства, правила

    Правила
    1)  y = 2x2 — 4x + 3.

       I способ — выделение полного квадрата:

    y = 2x2 — 4x + 3 = 2(x2 — 2x) + 3 =

    = 2(x2 — 2 • x • 1 + 12) — 2 • 12 + 3 = 2(x — 1)2 + 1;

       II способ — по формулам:

    x0 =    -4   2 • 2 = 1,    y0 = y(1) = 2 • 12 — 4 • 1 + 3 = 1, значит y = 2(x — 1)2 + 1.

    2)  y = 2 — 3x2 + x = 2 — 3(x213x) =

    = 2 — 3(x2 — 2 • 16 • x + (16)2 + 3 • (16)2) = -3 (x — 16)2 + 2 1 12.

    График квадратичной функции, рисунок

    Правило
    График функции — y = a(x — x0)2 + y0 — парабола, которую можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов (сдвигов:

    1)  вдоль оси OX на X0 вправо, если x0 > 0,
    или на |x0| влево, если x0

    2)  вдоль оси OY на y0 вверх, если y0 > 0,
    или на |y0| вниз, если y0

    Порядок выполнения сдвигов — любой.

    Правило
    Вершина параболы y = a(x — x0)2 + y0— точка O1(x0,y0).

    Ось симметрии — прямая x = x0.

    Область значений — интервал [y0, +?), если a > 0, или (-?, y0], если a

    Пример 1
    1)  y = 2x2 — 4x + 3 y = 2(x -1)2 + 1

    Пример 2
    2)  y = 1 — 12x2 — 2x y = -(x + 2)2 + 3

    Формулы по алфавиту:

    © 2019 Все права защищены
    При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

    formula-xyz.ru

    2.2 Первая основная квадратичная форма поверхности.

    В произвольной точке Р поверхности (u,v) зададим направление, выбрав u=u(t), v=v(t). Отношение дифференциалов

    определяет направление на поверхности , имеем

    .

    Производная от (u,v) по направлению du: dv имеет вид:

    .

    Малое смещение ds по кривой (u(t),v(t)) на поверхности вычисляется на основании равенств .

    Отсюда получаем ,вычисляя скалярный квадрат

    =,

    ds2=.

    Введем обозначения

    , .

    Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки Р поверхности . Выражение:

    называется первой квадратичной формой поверхности (u,v).

    Вычисление первой квадратичной формы в произвольной и выбранной точке.

    Вычислим первую квадратичную форму в выбранной точке.

    Найдем

    Теперь, когда найдены значения E,F и G, напишем формулу первой квадратичной формы в произвольной точке:

    Нами получена формула первой квадратичной формы в произвольной точке.

    Теперь, подставив наши значения в формулу первой квадратичной формы, найдем ее значение в выбранной точке:

    Первая квадратичная форма в выбранной точке найдена.

    2.3Вторая квадратичная форма поверхности.

    На поверхности (u,v) рассмотрим линию u=u(s), v=v(s) в естественной параметризации : .

    Кривизна кривой : (s) =,

    где k1 кривизна кривой, — единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим- единичный вектор нормали поверхности

    (u,v) , это вектор .

    Умножим скалярно и:

    ,

    если — угол междуи. Величина

    Называется нормальной кривизной (s) на поверхности (u,v) или нормальной кривизной поверхности

    .

    Вычислим kn в окрестности точки Р=(x0,y0,z0) . Находим

    ,

    ,

    ,

    здесь и, так как. Обозначим

    , ,.

    На основании формул:

    и имеем

    Коэффициенты L,M,N вычислены в точке Р поверхности .Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:

    .

    Отсюда получаем

    .

    Воспользуемся значением ds2 из первой квадратичной формы поверхности

    .

    Квадратичная форма

    Называется второй квадратичной формой поверхности.

    Вычисление второй квадратичной формы поверхности в произвольной и выбранной точке.

    Найдем вторую квадратичную форму в произвольной точке:

    Вычислим, для начала чему равен , подставив ранее полученные значенияE, G и F для первой квадратичной формы:

    Найдем векторное произведение и:

    =

    Затем вычислим ,и:

    Найдем коэффициенты второй квадратичной формы, подставив в формулы

    наши значения:

    L=

    M=

    N=0

    Теперь напишем формулу второй квадратичной формы поверхности в произвольной точке

    Вторая квадратичная форма в произвольной точке найдена.

    Подставив значения в нашу формулу, получим уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке:

    Уравнение второй квадратичной формы в выбранной точке найдено.

    2.4 Полная и средняя кривизны поверхности.

    Рассмотрим регулярную (u,v) в окрестности точки Р.

    .

    Отсюда получаем

    .

    Дифференцируем это неравенство по x и по y

    .

    Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае ∆=0

    Значение определителя

    .

    Главные кривизны есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета

    ,

    где К- полная кривизна поверхности (Гауссова кривизна),

    Н- средняя кривизна поверхности.

    Вычисление полной и средней кривизны поверхности

    Мы вычислили полную и среднюю кривизну поверхности.

    studfiles.net