Доказательство бернулли: Неравенства Бернулли в математике с примерами решения

Неравенства Бернулли в математике с примерами решения

Неравенства Бернулли

Бернулли Якоб (1654-1705) — швейцарский учёный, профессор Базель-ского университета (Швейцария). Известен своими работами по дифференциальной геометрии, вариационному исчислению и математической физике.

Теорема 1 (неравенство Бернулли с натуральным показателем). При любом действительном x (x > — 1) и при любом натуральном n справедливо неравенство

Доказательство. Воспользуемся для доказательства методом полной математической индукции (по параметру n ).

1) При n=1 имеем: — верно.

2) Предположим, что неравенство выполняется при некотором произвольном n = k , т.е. и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т.

е. . В самом деле,

3) В силу произвольности k отсюда следует, что данное неравенство выполнено сразу при всех натуральных n . Заметим, что неравенство Бернулли обращается в равенство только при x = 0 или n = 1.

Сформулируем без доказательства неравенство Бернулли в случае, когда показатель степени в неравенстве не является натуральным.

Теорема 2 (неравенство Бернулли с произвольным показателем). Пусть . Тогда справедливы неравенства

причём неравенства обращаются в равенства только при

x = 0.

Пример №135.

Найти наибольшее значение функции

Решение:

Дважды воспользуемся на области определения функции неравенством Бернулли:

Складывая эти неравенства, получаем неравенство

причём равенство достигается при x = 0 (в каждом из двух неравенств). Поэтому f(о) = 2 — наибольшее значение функции.

Ответ:

Рассмотрим, наконец, обобщённое неравенство Бернулли для нескольких действительных чисел.

Теорема 3 (неравенство Бернулли для n чисел). Пусть— числа одного знака, Тогда

Доказательство (методом математической индукции).

1) При n = 1 неравенство, очевидно, выполняется.

2) Предположим, что неравенство верно при некотором n = k , т.е.

и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т.е.

Действительно,

3) В силу произвольности k отсюда заключаем, что данное неравенство выполняется при любом натуральном n

. Неравенство обращается в равенство, только если n = 1 или

В частности, при получаем

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Элементарное доказательство неравенства Бернулли для рациональных показателей

Мне было интересно, есть ли или может ли кто-нибудь предоставить доказательство $(1+\alpha)^q \geq 1+q\alpha$ с участием $q>1$ рациональное число и $\alpha >0 $реальное число. Неравенство Бернулли легко доказывается для показателей натуральных чисел с помощью индукции и общих вещественных показателей с использованием производных. Я хотел бы увидеть, есть ли элементарное доказательство, которое просто использует аксиомы поля и их непосредственные результаты, простую арифметику и т. Д. Другими словами, я просто не хочу использовать дифференцирование и прочее. Аргументы с последовательностями и сходимостью были бы хороши, но я все же предпочел бы просто алгебру / арифметику. Также мы можем позволить$\alpha \geq -1$, но меня беспокоит только позитив $\alpha$. Предположительно, как только я приведу аргумент в пользу$\alpha>0$, то его будет легко расширить до допустимых отрицательных значений. Точно так же я буду беспокоиться о$0<q<1$ позже предполагая, что это простое расширение результата для $q>1$.

Позволять $\alpha>0$ и $n,k\in\mathbb N$ с участием $q=\frac{n+k}{n}>1$- рациональный показатель, который мы рассматриваем. Это легко показать$(1+\alpha)^q=1+\delta$ для некоторых $\delta\in\mathbb R$ такой, что $\delta>\alpha$ и $(1+\alpha)^{n+k}=(1+\delta)^n$ (с рациональным возведением в степень, определенным именно так). \frac32$, но я просто в тупике и думаю, может быть, я просто рискую спуститься в кроличью нору. Или, может быть, мне нужно больше узнать о мнении экспертов, прежде чем я буду тратить на это время.

Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

1. Приемы доказательства неравенств, содержащих переменные

Математика
Приемы доказательства
неравенств, содержащих
переменные

2. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам

потом огромную
помощь во всей вашей работе.
(М.И. Калинин)

3. Представление левой части неравенства в виде суммы неотрицательных слагаемых (правая часть равна 0) с использованием тождеств.

1. Представление левой части неравенства в виде
суммы неотрицательных слагаемых (правая
часть равна 0) с использованием тождеств.
Пример 1. Доказать что для любого хϵR
Доказательство. 1 способ.
для хϵR
2 способ.
для хϵR
для хϵR
т. к.
для квадратичной функции
что означает её положительность при любом действительном х.
Пример 2. Доказать, что для любых x и y
Доказательство.
для любых действительных х и у
Пример 3. Доказать, что
Доказательство.
Пример 4. Доказать, что для любых a и b
Доказательство.

5. 2. Метод от противного

Вот хороший пример применения данного
метода.
Доказать, что
для a, b ϵ R.
Доказательство.
Предположим, что
.
Но
,что явно
доказывает, что наше предположение
неверно.
Ч.Т.Д.
Пример 5. Доказать, что для любых
чисел А,В,С справедливо неравенство
Доказательство. Очевидно, что данное
неравенство достаточно установить для
неотрицательных А, В и С, так как будем
иметь следующее отношения:
, что
является обоснованием исходного
неравенства.
Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа А,
В и С, для которых выполняется неравенство
, что невозможно ни при каких
действительных А,В и С. Сделанное выше
предположение опровергнуто, что доказывает
исследуемое исходное неравенство.

8. Использование свойств квадратного трехчлена

Метод основан на свойстве неотрицательности
квадратного трехчлена
, если
и
.
для хϵR
Пример 6. Доказать, что
Доказательство.
Пусть
, a=2, 2>0
=>
для хϵR
Пример 7. Доказать, что для любых действительных
х и у имеет место быть неравенство
Доказательство. Рассмотрим левую часть неравенство
как квадратный трехчлен относительно х:
, а>0, D
D=
=> P(x)>0 для хϵR и
верно при любых действительных
значениях х и у.
Пример 8. Доказать, что
для любых действительных значениях х и у.
Доказательство. Пусть
,
для хϵR
Это означает, что
для любых
действительных у и неравенство
выполняется при любых
действительных х и у.

11. Метод введения новых переменных или метод подстановки

Пример 9. Доказать, что для любых
неотрицательных чисел х, у, z
Доказательство. Воспользуемся верным
неравенством для
,
,
.
Получаем исследуемое неравенство

12. Использование свойств функций.

Пример 10. Докажем неравенство
для любых а и b.
Доказательство. Рассмотрим 2 случая:
1) Если а=b,то
верно для аϵR
причем равенство достигается только при а=b=0.
2)Если
,
на R =>
(
)* (
)>0, что доказывает неравенство
Пример 11. Докажем, что для любых
Доказательство.
на R.
Если
, то знаки чисел
и
совпадают, что означает положительность
исследуемой разности =>

14. Применение метода математической индукции

Данный метод применяется для доказательства
неравенств относительно натуральных чисел.
Пример 12. Доказать, что для любого nϵN
1) Проверим истинность утверждения при
— (верно)
2) Предположим верность утверждения при
(k>1)
3) Докажем истинность утверждения при n=k+1.
*3
Сравним
и
:
,
Имеем:
Вывод: утверждение верно для любого nϵN.

16. Использование замечательных неравенств

• Теорема о средних (неравенство Коши)
• Неравенство Коши – Буняковского
• Неравенство Бернулли
Рассмотрим каждое из перечисленных
неравенств в отдельности.

17. Применение теоремы о средних (неравенства Коши)

Среднее арифметическое нескольких
неотрицательных чисел больше или
равно их среднего геометрического
, где
Знак равенства достигается тогда и только
тогда, когда
Рассмотрим частные случаи этой теоремы:
1. Пусть n=2,
,
, тогда
2. Пусть n=2, a>0, тогда
3. Пусть n=3,
,
,
, тогда
Пример 13. Доказать, что для всех
неотрицательных a,b,c выполняется
неравенство
Доказательство.

19. Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши — Буняковского утверждает,
что для любых
;
справедливо соотношение
Доказанное неравенство имеет геометрическую
интерпретацию. Для n=2,3 оно выражает известный
факт, что скалярное произведение двух векторов на
плоскости и в пространстве не превосходит
произведение их длин. Для n=2 неравенство имеет
вид:
. Для n=3 получим
Пример 14. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R
справедливо неравенство
Доказательство. Запишем исследуемое неравенство в
следующем виде:
Это заведомо истинное неравенство, так как является
частным случаем неравенства Коши – Буняковского.
Пример 15. Доказать, что для любых a,b,c ϵ R
справедливо неравенство
Доказательство. Достаточно записать данное
неравенство в виде
и сослаться
на неравенство Коши – Буняковского.

21. Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли утверждает, что если х>-1,
то для всех натуральных значений n
выполняется неравенство
Неравенство может применяться для выражений
вида
Кроме того, очень большая группа неравенств
может быть легко доказана с помощью
теоремы Бернулли.
Пример 16. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
Положив х=0,5 и
применив теорему Бернулли для выражения

, получим требуемое неравенство.
Пример 17. Доказать, что для любых n ϵ N
Доказательство.
по теореме Бернулли,
что и требовалось.

23. Давида Гильберта спросили об одном из его бывших учеников. «А, такой-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики

Давида Гильберта спросили об
одном из его бывших учеников.
«А, такой-то? — вспомнил
Гильберт. — Он стал поэтом. Для
математики у него было
слишком мало воображения.

Доказательство неравенств | Алгебра

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

Определения

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a<b, если a-b<o.

3)a≥b, если a-b>0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b<0 или a=b (то есть a-b≤0).

 

I. Доказательство неравенств с помощью определения.

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

Примеры.

1) Доказать неравенство: (a+9)(a-2)<a(a+7a).

Доказательство:

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

(a+9)(a-2)-a(a+7a)=a²-2a+9a-18-a²-7a=-18<0.

Поскольку разность равна отрицательному числу,

(a+9)(a-2)<a(a+7a).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что при любом действительном значении переменной x верно неравенство:

9x²+48>30x.

Доказательство:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

9x²+48-30x=(3x)²-2·3x·5+5²-5²+48=(3x-5)²+23.

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

23>0.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

Доказательство:

Выделим полные квадраты в левой части неравенства:

x²+y²+16x-20y=(x²+16x)+(y²-20y)+190=

=(x²+2·x·8+8²)-8²+(y²-2·y·10+10²)-10²+190=(x+8)²+(y-10)²+26.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

26>0.

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

 

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Пример.

Доказать неравенство: (a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Доказательство:

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

(a₁b₁+a₂b₂)²>(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Значит (a₁b₁+a₂b₂)²-(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)>0.

Раскрываем скобки и упрощаем:

a₁²b₁²+2a₁b₁a₂b₂+a₂²b₂² -a₁²b₁²-a₁²b₂²-a₂²b₁²-a₁²b₁²>0,

2a₁b₁a₂b₂-a₁²b₂²-a₁²b₁²>0,

-(a₁²b₂²-2a₁b₁a₂b₂+a₁²b₁²)>0.

Отсюда

-(a₁b₂-a₁b₁)²>0.

Поскольку (a₁b₂-a₁b₁)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a

1b₂-a₁b₁)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²).

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Неравенство (a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²) является частным случаем неравенства Коши-Буняковского:

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²).

 

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

 

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Пример.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Доказательство:

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²≥0,

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0.

Разделим на 2 обе части неравенства:

a²+b²+c²-ab-bc-ac≥0.

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

• Неравенство Коши:

   

при a₁>0, a₂>0, …, a_n>0 и n>2.

При a₁= a₂= …= a_n неравенство превращается в равенство.

В частности, при a₁= a, a₂=b, n=2:

   

• Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

при x>0

   

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x<0

   

• Неравенство Коши-Буняковского

(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²), где n≥2.

Равенство достигается лишь в случае, когда числа x_i и y_i пропорциональны, то есть существует число k  такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство x_i=ky_i.

• Неравенство Бернулли

   

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

• Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

1. При n<0 и n>1

      

2. При 0<n<1

      

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

• Модуль суммы не превосходит суммы модулей

     

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

• Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

   

 

Примеры.

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

   

 

Доказательство:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

   

для каждого из множителей:

   

   

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

   

Значит, полученные неравенства можем почленно перемножить:

   

Отсюда

   

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

   

Доказательство:

Очевидно, что

   

то есть

   

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

   

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

   

   

Применим неравенство Бернулли:

   

   

Так как в неравенстве 

   

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

   

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Название прибора для доказательства закона бернулли. Течение жидкости и уравнение бернулли для новичков.

К какому виду механических сил относится сила, ускоряющая движение жидкости в узких местах трубы
Возьмём трубу, через которую протекает жидкость. Наша труба не одинакова по всей длине, а имеет различный диаметр сечения. Закон Бернулли выражается в том, что несмотря на различный диаметр, через любое сечение в этой трубе за одно и тоже время протекает одинаковый объём жидкости.

Т.е. сколько жидкости проходит через одно сечение трубы за некоторое время, столько же ее должно пройти за такое же время через любое другое сечение. А так как объём жидкости не изменяется, а сама жидкость практически не сжимается, то изменяется что-то другое.

В более узкой части трубы скорость движения жидкости выше, а давление ниже. И наоборот, в широких частях трубы скорость ниже, а давление выше.

Изменяется давление жидкости и её скорость. Если трубу, по которой течет жидкость, снабдить впаянными в нее открытыми трубками-манометрами (рис. 209), то можно будет наблюдать распределение давления вдоль трубы.

Все сказанное о движении жидкости по трубам относится и к движению газа. Если скорость течения газа не слишком велика и газ не сжимается настолько, чтобы изменялся его объем, и если, кроме того, пренебречь трением, то закон Бернулли верен и для газовых потоков. В узких частях труб, где газ движется быстрее, давление его меньше, чем в широких частях.

Применительно аэродинамике закон Бернулли выражается в том, что набегающий на крыло воздушный поток имеет различную скорость и давление под крылом и над крылом, ввиду чего возникает подъёмная сила крыла

Проведём простой эксперимент. Возьмём небольшой листок бумаги и разместим его прямо перед собой таким образом:

А затем подуем над его поверхностью, то листок бумаги, попреки ожиданиям, вместо того, чтобы прогнуться ещё больше по направлению к Земле, наоборот выпрямится. Всё дело в том, что выдувая воздух над поверхностью листка мы уменьшаем его давление, в то время как давление воздуха под листком остаётся прежним. Получается, что над листком область пониженного давления, а под листком повышенного. Воздушные массы пытаются «перебраться» из области высокого давления в область низкого, и это приводит к тому, что листок выпрямляется.

Можно провести и другой опыт. Взяв 2 листка бумаги и разместив их перед собой следующим образом:

А затем подув в область между ними, листки бумаги, вопреки нашим ожиданиям, вместо того, чтобы отодвинуться друг от друга, наоборот приблизятся. Здесь мы наблюдаем тот же самый эффект. Воздушные массы с внешних сторон листком имеют большее давление, нежели ускоренный нами воздух между листками. Это и приводит к тому, что листки бумаги притягиваются к друг другу.

Этот же принцип используют для осуществления своих полётов парапланы, дельтапланы, самолёты, планёры, вертолёты и др. летательные аппараты. Именно это позволяет взлететь вверх многотонному пассажирскому самолёту.

Принцип Бернулли описывает поток жидкости. Он стал одним из самых ранних примеров сохранения энергии, известных людям. В нем говорится, что в установившемся потоке энергия в любой точке трубы представляет собой сумму величины динамического давления (V), весового (высотного; гидростатического) давления (Z) и статического давления (P). Она принимает форму уравнения сохранения, в которой сумма трех переменных всегда будет оставаться постоянной при отсутствии потерь или добавления энергии.

Энергия = V + Z + P = константа

Сумма трех слагаемых равна полному давлению. Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию, второе слагаемое потенциальную энергию сил тяжести, а третье потенциальную энергию сил давления. Полное давление будет оставаться постоянным, пока в систему не добавляется или из системы не отнимается дополнительная энергия.

1/2ρv 2 (динамическое давление) + ρgz (весовое давление) + P (статическое давление) = P общ = константа

где:
ρ = плотность
v = скорость потока
g = ускорение свободного падения
z = высота

P = давление

С помощью уравнения Бернулли также могут сравниваться давления в любых двух точках трубы с потоком жидкости. Еще раз, если не добавляется (не отнимается) энергия, сумма трех слагаемых в левой части будет равна сумме слагаемых в правой части.

(1/2ρv a 2 + ρgz a + P a) = (1/2ρv b 2 + ρgz b + P b)

где:
a и b – точки в разных местах трубы

Теория Бернулли в действии

На рисунке 1 показан принцип Бернулли в действии. Поток течет в горизонтальной трубе слева направо без потерь энергии на трение. Диаметр левой и правой части равен, а часть в центре составляет две трети от этого диаметра. Вертикальные трубки (пьезометрические трубки) слева и в центре выводятся в атмосферу, и уровень воды в них пропорционален статическому давлению (P) в этих зонах. Они измеряют статическое давление так же как и манометр. Обратите внимание, что измеренное давление в части с большим диаметром больше измеренного давления в суженной части. Этого можно ожидать, так как скорость в центральной части, очевидно, выше. В соответствии с уравнением Бернулли, давление уменьшается с увеличением скорости.

Рисунок 1. Горизонтальная труба с постоянным потоком слева направо без потерь энергии на трение

Тем не менее, нечто необычное происходит со статическим давлением (P), которое показано уровнем воды в вертикальной трубке справа. Можно было бы ожидать, что давление вернется к уровню как в левой пьезометрической трубке при отсутствии потерь на трение на суженном участке. Но уровень справа указывает на большее давление, и никакой дополнительной энергии в систему не добавляется. Оказывается, столбик справа – это трубка Пито. Это устройство измеряет давление иным способом – кроме статического давления, она также измеряет дополнительное давление, создаваемое скоростью потока.

Если бы клапан со стороны выхода потока был закрыт, и поток прекратился, все три вертикальные трубки показывали бы одинаковое статическое давление, независимо от формы и положения. После возобновления потока, статическое давление, измеряемое пьезометрическими трубками, будет соответствовать статическому давлению на определенном участке. Однако, в отличие от пьезометрической трубки, впускное отверстие трубки Пито направлено в сторону потока, при этом поток вталкивает в трубку большее количество воды. Когда вода перестает течь в трубку (застой), вертикальный уровень в ней максимальный и равен сумме статического и динамического давления. Давление, измеряемое трубкой Пито – это полное давление в трубе с потоком.

На рисунке 2 графически представлено Уравнение Бернулли. Оно часто используется при проектировании трубопроводов и систем с открытым каналом. Уравнение показывает влияние на гидравлическую систему при изменениях размера трубы, высоты, давления и при потерях на соединительных элементах и клапанах. Этот пример иллюстрирует давление в трех точках трубы с равномерным непрерывным потоком без изменения высоты.

Рисунок 2. Графическое представление уравнения Бернулли. Гидравлический градиент отражает изменение статического давления P из-за потерь на трения. Градиент энергии отражает изменение полного давления (V+P). Весовое давление (Z) в данном примере не влияет на полное давление, поскольку нет перепада высот.

Уровень воды в вертикальных трубках соответствует статическому давлению (P) в этих точках. Наклонная линия, соединяющая трубки, называется гидравлическим градиентом или пьезометрической линией. Наклонная линия выше гидравлического градиента, параллельная ему – это градиент энергии, который соответствует полному давлению в трубопроводе. Его можно измерить с помощью трубки Пито, либо рассчитать, используя скорость потока и уравнение для скоростного давления (1/2ρv 2).

Градиент энергии или напорная линия – это сумма скоростного напора и статического давления в любой точке. В этом примере скоростной напор остается постоянным в каждой точке, а гидростатический набор уменьшается в зависимости от полного трения в каждой точке. В более сложных примерах эти два градиента не параллельны друг другу, а будут перемещаться в обоих направлениях в зависимости от размера трубы, высоты и других факторов.

Принцип Бернулли работает, когда летит самолет или искривляется траектория полета вращающегося мяча. Этот принцип также справедлив для кораблей в море – корабли не должны проходить слишком близко друг от друга, так как повышенная скорость потока воды между ними создает зону с низким давлением, которая может привести к бортовому столкновению. По этой причине в больших доках стремятся устанавливать сваи, а не сплошные стенки. Наконец, существует эффект «занавески для ванной» (когда занавеска для ванной притягивается водой, текущей из душа).

В следующей статье мы изучим некую аналогичную работу, выполненную Джованни Вентури и Эванджелиста Торричелли, и увидим, как она расширила наше понимание гидравлики. Мы проиллюстрируем важность учета скоростного напора при испытаниях насосов в месте установки.

Материал подготовил Алексей Циммер

Закон Бернулли Закон Бернулли Швейцарский учёный в области математики, механики, физиологии, медицины, академик (1725), иностранный почётный член Петербургской АН (1733). Один из основоположников теоретической гидродинамики. Вывел основное уравнение стационарного движения идеальной несжимаемой жидкости, находящейся под действием только сил тяжести. Разрабатывал кинетические представления о газах. ()

1. Что утверждает закон сохранения полной механической энергии? 2. Что называется полной механической энергией? 3. Какая энергия называется кинетической? По какой формуле рассчитывается? 4. Какая энергия называется потенциальной? Формулы потенциальной энергии.

При переходе жидкости из широкого участка в узкий скорость течения увеличивается, то это значит, что где-то на границе между узким и широким участком трубы жидкость получает ускорение. А по второму закону Ньютона для этого на этой границе должна действовать сила. Этой силой может быть только разность между силами давления в широком и узком участках трубы. В широком участке трубы давление должно быть больше, чем в узком. Этот вывод следует из закона сохранения энергии.

Сила давления жидкости – это и есть сила упругости сжатой жидкости. В широкой части трубы жидкость несколько сильнее сжата, чем в узкой. Правда, мы только что говорили, что жидкость считается несжимаемой. Но это значит, что жидкость не настолько сжата, чтобы сколько-нибудь заметно изменился ее объем. Очень малое сжатие, вызывающее появление силы упругости, неизбежно. Оно и уменьшается в узких частях трубы.

Если в узких местах трубы увеличивается скорость жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия. А так как мы условились, что жидкость течет без трения, то этот прирост кинетической энергии должен компенсироваться уменьшением потенциальной энергии, потому что полная энергия должна оставаться постоянной. Но это не потенциальная энергия mgh, потому что труба горизонтальная и высота h везде одинакова. Значит, остается только потенциальная энергия, связанная с силой упругости.

Чтобы разобраться в причинах уменьшения давления в узких частях и увеличения в широких, используем закон сохранения энергии и математические навыки. Работа сил давления, совершенная над элементом жидкости при его перемещении, равна: Вывод: Чем больше скорость потока жидкости, тем меньше ее давление.

Зависимость давления от скорости течения называют эффектом, а уравнение – законом Бернулли в честь автора, швейцарского ученого Даниила Бернулли, который работал в Санкт-Петербурге. Закон Бернулли для ламинарных потоков жидкости и газов является следствием закона сохранения энергии. Здесь плотность жидкости,плотность скорость потока,скорость высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,высота давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,давление ускорение свободного падения.ускорение свободного падения

Практические следствия Закон Бернулли объясняет эффект притяжения между телами, находящимися вблизи границ потоков движущихся жидкостей (газов). Иногда это притяжение может создавать угрозу безопасности. Например, при движении скоростного поезда «Сапсан» (скорость движения более 200 км/час) для людей на платформах возникает опасность сброса под поезд.

Встречные поезда. Скоростные поезда при встрече должны замедлить ход, иначе стекла в вагонах разобьются. Почему? В какую сторону при этом выпадают стекла: внутрь вагонов или наружу? Может ли случиться подобное, если поезда движутся в одном направлении? Будет ли вас притягивать к поезду или отталкивать от него, если вы окажетесь слишком близко от быстро идущего поезда? (Впереди быстро идущего поезда создается фронт высокого давления, а за ним — область низкого давления. Когда встречные поезда разъезжаются, стекла в вагонах могут быть выдавлены наружу, поскольку между поездами возникает область пониженного давления).

Осенью 1912 г океанский пароход «Олимпик» плыл в открытом море, а почти параллельно ему, на расстоянии сотни метров, проходил с большой скоростью другой корабль, гораздо меньший, броненосный крейсер «Гаук». Когда оба судна заняли положение, изображенное на рисунке, произошло нечто неожиданное: меньшее судно стремительно свернуло с пути, словно повинуясь неведомой силе, повернулось носом к большому кораблю и, не слушаясь руля, двинулось почти прямо на него. «Гаук» врезался носом в бок «Олимпика».Удар был так силен, что «Гаук» проделал в борту «Олимпика» большую пробоину. Случай столкновения двух кораблей рассматривался в морском суде. Капитана корабля «Олимпик» обвинили в том, что он не дал команду пропустить броненосец. Как вы думаете, что произошло? Почему меньший корабль, не слушаясь руля, пошел наперерез «Олимпику»?

Уравнение Бернулли считается одним из основных законов гидромеханики, он устанавливает связь между давлением в потоке жидкости и скоростью его движения в гидравлических системах: с увеличением скорости движения потока давление в нем должно падать. С его помощью объясняются многие гидродинамические эффекты.

Рассмотрим некоторые хорошо известные из них. Подъем и распыление жидкости в пульверизаторе (рис. 1) происходит благодаря пониженному давлению в струе воздуха, проходящему с большой скоростью над трубочкой, опущенной в сосуд с жидкостью. Подниматься жидкость вверх заставляет атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха.

Если подуть между двумя листами бумаги, касающимися друг друга (рис. 5), то они не разойдутся, как казалось бы, должно произойти, а, наоборот, прижмутся друг к другу. Листки двинутся друг к другу, хотя, казалось бы, вы вдунули между ними «больше» воздуха и они должны были раздвинуться. Но ведь вы выдуваете воздух между листками прочь, создавая здесь давление даже ниже, чем вокруг. Значит, давление воздуха между листками делается меньше, чем снаружи, и возникает сила, сводящая их вместе.

ОПЫТ С ШАРИКОМ К шарику от настольного тенниса прикрепите пластилином нитку длиной 4050 см и, держа шарик за нить, поднесите его к струе воды. Почему шарик притягивается и удерживается в струе? Когда из водопроводного крана течет струя воды, то она увлекает прилегающий слой воздуха. Когда шарик подносят к струе, происходит следующее: вблизи струи воздух движется с некоторой скоростью и давление здесь меньше, чем по другую сторону шарика. В итоге за счет разности давлений на шарик действует сила, прижимающая его к струе.

Ситуация 1. Ветер под зданием. В США был предложен проект жилого дома, в котором этажи, подобно мостам, «подвешиваются» между двумя мощными стенами, а пространство под домом остается открытым. Внешне такое здание выглядит весьма привлекательно, но оно абсолютно не пригодно для ветреных районов. Одно из таких зданий было выстроено на территории Массачусетского технологического института. И вот когда подули весенние ветры, скорость ветра под зданием достигла 160 км/ч. Чем вызвано столь сильное увеличение скорости ветра? (Ветер, попадающий на здание, частично прогоняется через нижний просвет. При этом скорость его возрастает).

В дождливую ветряную погоду, каждый из нас замечал, что раскрытые зонтики иногда «выворачиваются наизнанку» Почему это происходит? Аналогичное действие производит на крыши домов сильный ураган. (Поток воздуха, набегающий на изогнутую поверхность зонта, движется по руслу своеобразной сужающейся трубы с большей скоростью, чем воздух в нижней части, следовательно, давление снизу больше, чем вверху, и зонт выворачивается)

Его действие (закона Бернулли) можно наблюдать в повседневной жизни как только включаешь воду в душе, шторка врывается внутрь кабинки, потому что увеличение скорости воздуха и воды вызывает скачок в давлении. Разница давлений внутри и снаружи кабины приводит к тому, что шторку затягивает внутрь.

Опыт Для опыта изготовим цилиндр из плотной, но не толстой бумаги диаметром 5 см, длиной см. На цилиндр намотаем ленточку, один конец которой прикрепим к линейке. Резким движением вдоль горизонтальной поверхности стола сообщим цилиндру сложное движение (поступательное и вращательное). При большой скорости цилиндр поднимается вверх и описывает небольшую вертикальную петлю. Объясните, почему это происходит. Уравнение Бернулли объясняет такое поведение рулона (и закрученного мячика): вращение нарушает симметричность обтекания за счёт эффекта прилипания. С одной стороны бумажного цилиндра скорость потока больше (над цилиндром вектор скорости воздуха сонаправлен вектору скорости цилиндра), значит, давление там понижается, а под цилиндром вектор скорости воздуха антипараллелен вектору скорости цилиндра. В результате разности давлений возникает подъёмная сила, называемая силой Магнуса. Эта сила поднимает цилиндр вверх, а не по параболе.

Это явление носит название эффекта Магнуса, по имени ученого, открывшего и исследовавшего его экспериментально. Эффект Магнуса проявляется в таких природных явлениях, как образование смерчей над поверхностью океана. В месте встречи двух воздушных масс с разными температурами и скоростями возникает вращающийся вокруг вертикальной оси столб воздуха и несется вперед. В поперечнике такой столб может достигать сотен метров и несется со скоростью около 100 м/с. Из-за быстрого вращения воздух отбрасывается к периферии вихря и давление внутри него понижается. Когда такой столб приближается к воде, то засасывает ее в себя, представляя огромную опасность для судов.

Ситуация 6. В футболе одним из коварных ударов для вратаря считается так называемый «сухой лист». Похожий подрезанный удар — «сплин» применяют в теннисе и других играх с мячом. Предвидеть, куда направится такой крученый мяч, неопытному спортсмену довольно трудно. Объясните, почему так происходит. («Виновата» во всем сила Магнуса, проявляющаяся при движении закрученного вдоль своей оси симметричного тела — мяча, цилиндра и т. п.).

К сожалению, великий Бернулли не знал о явлении эжекции. Эжектор одновременно с инжектором был изобретен во Франции инженером Анри Жиффаром в 1858 г, спустя столетие после публикации формулы Бернулли. Выходит, что Бернулли сделал своё открытие, опираясь на показания измерительного прибора, который измерял совсем не давление в потоке, а сумму статического давления и интенсивности эжекции. В потоке жидкости или газа нет места, где отсутствует движение среды, просто в одних местах оно является ламинарным, а в других — турбулентным, но эжекция проявляется и в том и в другом случае. Поэтому, такой «манометр» правильнее будет назвать -«эжектомером». Эжекция — — процесс подсасывания жидкости или газа за счет кинетической энергии струи другой жидкости или газа.

Эжектор, работая по закону Ньютона, использует первый поток частиц с высокой кинетической энергией для сноса по потоку частиц окружающей его среды, попадающих в первый поток под давлением этой же окружающей среды, что и создаёт в пространстве, окружающем сечение скоростного потока первой среды, пониженное давление, что в свою очередь, вызывает подсос в это пространство частиц другой среды. А статическое давление в первом потоке практически всегда больше, чем в пространстве окружающей среды.

Рассмотрим ламинарное движение идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости в изогнутой трубке разного диаметра. Мы уже знаем, что из уравнения непрерывности жидкости S⋅v = const. Какие ещё можно сделать выводы?

Рассмотрим трубку разного сечения:

Возьмём срез жидкости в трубке. Из уравнения непрерывности следует, что при уменьшении сечения трубы увеличивается скорость потока жидкости. Если скорость увеличивается, значит по второму закону Ньютона действует сила F = m⋅a. Эта сила возникает за счет разности давления между стенками сечения потока жидкости. Значит сзади давление больше, чем спереди сечения. Это явление впервые описал Даниил Бернулли.

Закон Бернулли

В тех участках течения жидкости, где скорость больше давление меньше и наоборот.

Как любое тело, жидкость при перемещении совершает работу, т.е. выделяет энергию или поглощает. Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку.

Рассмотрим, какую работу совершает жидкость:

• Работа давления жидкости (E P) . Давления жидкости выражается в том, что жидкость сзади давит на жидкость спереди.
• Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h) . При опускании жидкости эта работа отрицательная, при поднятии — положительная.
• Работа по приданию скорости жидкости (E v) . При сужении трубки работа положительная, при расширении — отрицательная. Ещё это называют — кинетическая энергия или динамическое давление.

Так как мы рассматриваем идеальную жидкость, то трение отсутствует, а значит нет работы силы трения. Но в реальной жидкости она присутствует.

По закону сохранения энергии:

E p + E h + E v = const

Давайте теперь определим, чем равняется каждая из этих работ.

Работа давления жидкости (E P)

Формула давления имеет вид: P = F/S, F = P⋅S. Работа силы создающая давление:

E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V

Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h)

Работа по перемещению жидкости на высоту h — это изменение потенциальной энергии которая равна:

E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h

Работа по приданию скорости жидкости (E v)

Работа по приданию скорости жидкости — это кинетическая энергия, которая зависит от массы тела и его скорости и равна:

E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2

Получим формулу сохранения энергии жидкости:

P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = const

Сократим каждое слагаемое на V. Получим уравнение:

Формула Бернулли

P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = const

Разделим каждый член последнего уравнения ρ⋅g, получим

h +	P	+	v 2	= const
	ρ⋅g		2g

где h — геометрический напор, м;
P / ρ∙g — пьезометрический напор, м;
v 2 / 2g — скоростной напор, м.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.

Сумма трех членов уравнения называется полным напором.

Или можно сказать по-другому — для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.

Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.

Закон Бернулли

Автор этого закона — швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли — сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.

Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.

Закон Бернулли — это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости .

В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость , то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.

Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.

Уравнение неразрывности струи

Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.

Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.

Закон Бернулли и авиация

С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.

Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.

Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.

Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика , возникшая как продолжение аэродинамики.

Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами . Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.

Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.

Читайте также…

(PDF) ЗАЧЕМ НУЖНЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ?

можно после этого (но только — после этого!) заметить, что применение

определения частного внешне выглядит как умножение или деление обеих

частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Пример. К. Дункер, критикуя один из подходов к исследованию

мышления, приводит следующий пример [С. 28].

«Рассмотрим, например, такую задачу: чему равна вторая степень от 9

предположим для ясности, что это новая задача (Подчёркнуто мной. —

А. Н.)? 9 ассоциативно связано, скажем, с числами: 3, 9, 27, 36, 81, 90, а

также со множеством других чисел. «Вторая степень» также ассоциативно

связана с числами: 4, 9, 25, 36, 81, 100. Соответственно, имеется

одинаковая возможность того, что ответом будет 9, или 36, или 81.»

Далее К. Дункер справедливо отмечает, что этот подход «мог бы, в лучшем

случае, ограничить диапазон возможностей, но, с другой стороны, он

оставил бы множество возможностей для абсурдных и невероятных

ошибок». Однако он не замечает главного недостатка этого подхода —

нацеленности на открытие факта, а не доказательства. Установка же на

доказательства тотчас делает очевидной всю нелепость описанного

подхода.

В самом деле, если эта задача — новая (см. выделенный нами текст), то

как среди чисел, ассоциируемых со второй степенью, оказалось число 81?

С точки зрения установки на открытие доказательств абсолютно ясно, что

отыскание второй степени числа 9 никак не связано с рассмотрением

указанных Дункером ассоциативных рядов. Оно начинается с того, с чего

не может не начинаться ни один поиск: с осмысления задачи. Это тотчас

же ставит «искателя» перед вопросом: «А что такое вторая степень

числа?» Ответ на этот вопрос содержит предельно ясное указание на

следующий шаг поисков: второй степенью числа называется произведение

числа на себя. Следуя этому указанию, мы либо умножаем 9 на 9 (если

Понимание Бернулли и биномиальных распределений | Валентина Альто

Всякий раз, когда вы имеете дело со случайными величинами, важно определить связанную с ними функцию вероятности. Последняя представляет собой функцию, которая присваивает каждому возможному результату вашей случайной величины X число от 0 до 1. Это число представляет собой вероятность, связанную с этим результатом, и описывает вероятность возникновения результата.

Среди дискретных случайных величин (это означает, что носителем случайной величины является счетное число значений), вероятно, наиболее важными вероятностными распределениями являются бернуллиевское и биномиальное распределения.

В этой статье я объясню идею каждого распределения, их соответствующие значения (ожидаемые значения и дисперсию) с доказательствами и примерами.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли — это дискретное распределение вероятностей случайной величины, которое принимает двоичный логический вывод: 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью (1-p). Идея состоит в том, что всякий раз, когда вы проводите эксперимент, который может привести либо к успеху, либо к неудаче, вы можете связать с вашим успехом (обозначенным цифрой 1) вероятность p, а с вашей неудачей (обозначенной цифрой 0) будет вероятность ( 1-п).

Функция вероятности, связанная с переменной Бернулли, выглядит следующим образом:

Вероятность успеха p является параметром распределения Бернулли, и если дискретная случайная величина X следует этому распределению, мы пишем:

Представьте, что ваш эксперимент состоит из подбрасывая монету, вы выиграете, если выпадет решка. Кроме того, поскольку монета честная, вы знаете, что вероятность выпадения решки равна p=1/2. Следовательно, установив tail=1 и head=0, вы можете вычислить вероятность успеха следующим образом:

Опять же, представьте, что вы собираетесь бросить кости и ставите свои деньги на число 1: следовательно, число 1 выиграет. будет ваш успех (обозначен цифрой 1), а любое другое число будет неудачей (обозначено цифрой 0).Вероятность успеха 1/6. Если вы хотите вычислить вероятность отказа, сделайте так:

Наконец, давайте вычислим ожидаемое значение (EV) и дисперсию. Зная, что EV и V дискретной случайной величины определяются как:

Отсюда следует, что для случайной величины Бернулли X :

Теперь идея распределения Бернулли заключается в том, что эксперимент повторяется только один раз. Но что произойдет, если мы проведем более одного испытания, исходя из предположения, что испытания независимы друг от друга?

Биномиальное распределение

Ответом на этот вопрос является биномиальное распределение. Это распределение описывает поведение результатов n случайных экспериментов, каждый из которых имеет распределение Бернулли с вероятностью p .

Давайте вспомним предыдущий пример подбрасывания правильной монеты. Мы сказали, что наш эксперимент состоял в том, чтобы подбросить эту монету один раз. Давайте теперь немного изменим его и скажем, что мы собираемся подбросить эту монету 5 раз. Среди этих испытаний у нас будут некоторые успехи (хвост, помеченный как 1) и некоторые неудачи (голова, помеченный как 0). Каждое испытание имеет вероятность 1/2 успеха и 1/2 неудачи.Нам может быть интересно узнать, какова вероятность получения заданного числа x успехов. Как мы поступим?

Давайте визуализируем этот эксперимент:

Итак, мы подбросили монету 5 раз и проиграли в первых 3 попытках, а выиграли в последних 2. Поскольку мы сказали, что успех = решка = 1, а неудача = решка = 0, мы можно переформулировать его следующим образом:

Теперь каждое испытание является случайной величиной Бернулли, поэтому вероятность его появления равна p, если она равна 1, иначе она равна 0. Следовательно, если мы хотим вычислить вероятность ex ante возникновения описанной выше ситуации (3 неудачи и 2 успеха), мы получим что-то вроде этого:

А поскольку испытания независимы друг от друга:

Обобщая это рассуждение, если у нас было n испытаний с x успешных результатов:

Теперь необходимо ввести еще одну концепцию. Действительно, до сих пор мы вычисляли вероятность получения 2 успехов именно в том порядке, который показан выше. Тем не менее, поскольку мы заинтересованы в том, чтобы иметь заданное количество успехов независимо от того, в каком порядке они нам даны, нам нужно принять во внимание все возможные комбинации наличия x успехов.

А именно, представьте, что мы подбрасываем монету 3 раза и хотим вычислить вероятность того, что из 3 попыток выпадет 1 решка. Следовательно, мы выиграем в одном из следующих сценариев:

Как видите, есть три различных комбинации исходов, которые приводят к успеху. Как мы можем включить это понятие в нашу функцию вероятности? Ответом является биномиальный коэффициент, определяемый как:

Где n — количество испытаний, а x — количество успешных попыток, вероятность возникновения которых мы хотим узнать.

Таким образом, когда мы проводим n независимых экспериментов, каждый из которых имеет распределение Бернулли с параметром p, , и мы хотим знать вероятность того, что x успехов, функция вероятности будет:

И такая случайная величина выражается примерно так:

Теперь давайте вычислим EV и V. Сначала напомним, что для биномиальной теоремы:

Отсюда:

Обратите внимание, что если биномиальное распределение имеет n=1 (только при испытании), следовательно, получается к простому распределению Бернулли. Кроме того, биномиальное распределение важно еще и потому, что, если n стремится к бесконечности и как p, так и (1-p) не бесконечно малы, оно хорошо аппроксимирует распределение Гаусса. Последнее, следовательно, является предельной формой биномиального распределения.

Вы можете легко представить это следующим образом:

Как видите, чем больше число испытаний n, тем больше форма нашей биномиальной случайной величины напоминает известную колоколообразную кривую распределения Гаусса.

Если вас интересуют так называемые «двойники» бернуллиевского и биномиального распределений, то есть геометрическое и обратное биномиальное, ознакомьтесь с моей следующей статьей здесь!

14.8: Уравнение Бернулли — Physics LibreTexts

Цели обучения

• Объясните члены уравнения Бернулли
• Объясните, как уравнение Бернулли связано с законом сохранения энергии
• Опишите, как вывести принцип Бернулли из уравнения Бернулли
• Выполнение расчетов по принципу Бернулли
• Опишите некоторые применения принципа Бернулли

Как показано на рисунке 14. 7.4, когда жидкость течет в более узкий канал, ее скорость увеличивается. Это означает, что его кинетическая энергия также увеличивается. Увеличенная кинетическая энергия возникает из-за чистой работы, выполняемой жидкостью, чтобы протолкнуть ее в канал. Кроме того, если жидкость меняет вертикальное положение, над жидкостью совершается работа силой тяжести.

При сужении канала возникает перепад давления. Эта разница давлений приводит к результирующей силе, действующей на жидкость, потому что произведение давления на площадь равно силе, и эта результирующая сила работает.{2} \ldotp\]

Выполненная чистая работа увеличивает кинетическую энергию жидкости. В результате давление в быстро движущейся жидкости падает независимо от того, заключена ли жидкость в трубу или нет.

Существует много распространенных примеров падения давления в быстро движущихся жидкостях. Например, занавески для душа имеют неприятную привычку выпирать в душевую кабину, когда душ включен. Причина в том, что высокоскоростной поток воды и воздуха создает внутри душа область более низкого давления, тогда как давление с другой стороны остается на уровне стандартного атмосферного давления. Эта разница давлений приводит к результирующей силе, толкающей завесу внутрь. Точно так же, когда автомобиль проезжает мимо грузовика на шоссе, кажется, что два автомобиля притягиваются друг к другу. Причина та же: высокая скорость воздуха между автомобилем и грузовиком создает область более низкого давления между автомобилями, и они сталкиваются друг с другом за счет большего давления снаружи (рис. \(\PageIndex{1}\) ). Этот эффект наблюдался еще в середине 1800-х годов, когда было обнаружено, что поезда, движущиеся в противоположных направлениях, ненадежно наклоняются друг к другу.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): автомобиль, проезжающий мимо грузовика по шоссе, вид сверху. Воздух, проходящий между автомобилями, течет в более узком канале и должен увеличивать свою скорость (v2 больше, чем v1), вызывая падение давления между ними (pi меньше po). Большее внешнее давление сталкивает автомобиль и грузовик.

Сохранение энергии и уравнение Бернулли

Применение принципа сохранения энергии к ламинарному потоку без трения приводит к очень полезному соотношению между давлением и скоростью потока в жидкости. Это соотношение называется уравнением Бернулли по имени Даниэля Бернулли (1700–1782), опубликовавшего свои исследования движения жидкости в книге Hydrodynamica (1738).

Рассмотрим несжимаемую жидкость, текущую по трубе разного диаметра и высоты, как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\). Нижние индексы 1 и 2 на рисунке обозначают два места вдоль трубы и иллюстрируют отношения между площадями поперечных сечений A, скоростью потока v, высотой от земли y и давлением p в каждой точке.Здесь мы предполагаем, что плотность в двух точках одинакова — поэтому плотность обозначается через \(\rho\) без каких-либо индексов — и, поскольку жидкость несжимаема, заштрихованные объемы должны быть равны.

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Геометрия, используемая для вывода уравнения Бернулли.

Мы также предполагаем, что в жидкости нет сил вязкости, поэтому энергия любой части жидкости будет сохраняться. Чтобы вывести уравнение Бернулли, сначала рассчитаем работу, совершенную над жидкостью:

. {2} + \rho gy = константа \label{14.16}\]

Здесь следует особо отметить тот факт, что в динамической ситуации давления на одной и той же высоте в разных частях жидкости могут быть различными, если они имеют разные скорости течения.

Анализ уравнения Бернулли

Согласно уравнению Бернулли, если мы проследим за небольшим объемом жидкости на его пути, различные величины в сумме могут измениться, но общее количество останется постоянным. Уравнение Бернулли — это, по сути, просто удобная формулировка сохранения энергии несжимаемой жидкости в отсутствие трения.

Общая форма уравнения Бернулли состоит из трех членов и широко применима. Чтобы лучше понять его, давайте рассмотрим некоторые конкретные ситуации, которые упрощают и иллюстрируют его использование и значение.

Уравнение Бернулли для статических жидкостей

Сначала рассмотрим очень простую ситуацию, когда жидкость статична, то есть \(v_1 = v_2 = 0\). Уравнение Бернулли в этом случае равно

.

\[p_{1} + \rho gh_{1} = p_{2} + \rho gh_{2} \ldotp\]

Мы можем упростить уравнение, установив h ₂ = 0.(Любая высота может быть выбрана в качестве эталонной высоты, равной нулю, как это часто делается для других ситуаций, связанных с силой гравитации, что делает все остальные высоты относительными.) В этом случае мы получаем

.

\[p_{2} = p_{1} + \rho gh_{1} \ldotp\]

Это уравнение говорит нам, что в статических жидкостях давление увеличивается с глубиной. По мере перехода от точки 1 к точке 2 в жидкости глубина увеличивается на h ₁ , и, следовательно, p ₂ больше p ₁ на величину \(\rho gh_1\).В самом простом случае p ₁ равно нулю в верхней части жидкости, и мы получаем известное соотношение \(p = \rho gh\). (Напомним, что p = \(\rho gh\) и \(\Delta Ug = −mgh\).) Таким образом, уравнение Бернулли подтверждает тот факт, что изменение давления под действием веса жидкости равно \(\rho gh\ ). Хотя мы вводим уравнение Бернулли для движения жидкости, оно включает многое из того, что мы изучали ранее для статических жидкостей.

Принцип Бернулли

Предположим, что жидкость движется, но ее глубина постоянна, то есть \(h_1 = h_2\).{2} \ldotp \label{Бернулли}\]

Ситуации, в которых жидкость течет на постоянной глубине, настолько распространены, что это уравнение часто также называют принципом Бернулли , что является просто уравнением Бернулли для жидкостей на постоянной глубине. (Снова отметим, что это применимо к небольшому объему жидкости, когда мы следуем за ней вдоль ее пути.) Принцип Бернулли подтверждает тот факт, что давление падает с увеличением скорости движущейся жидкости: если v ₂ больше, чем v ₁ в уравнения, то p ₂ должно быть меньше, чем p ₁ , чтобы выполнялось равенство.

Пример 14.6: расчет давления

В примере 14.5 мы обнаружили, что скорость воды в шланге увеличилась с 1,96 м/с до 25,5 м/с на пути от шланга к носику. Рассчитайте давление в шланге, учитывая, что абсолютное давление в насадке составляет 1,01 x 10 ⁵ Н/м ² (атмосферное, как должно быть) и предполагается ровный поток без трения.

Стратегия

Ровный поток означает постоянную глубину, поэтому применяется принцип Бернулли.{2} \ldotp \end{align*}\]

Значение

Это абсолютное давление в шланге больше, чем в форсунке, как и ожидалось, поскольку в форсунке v больше. Давление p ₂ в патрубке должно быть атмосферным, так как вода выходит в атмосферу без других изменений условий.

Применение принципа Бернулли

Существует множество устройств и ситуаций, в которых жидкость течет на постоянной высоте, и поэтому ее можно анализировать с помощью принципа Бернулли.

Унос

Люди уже давно применяют принцип Бернулли, используя пониженное давление в высокоскоростных жидкостях для перемещения предметов. При более высоком внешнем давлении высокоскоростная жидкость выталкивает другие жидкости в поток. Этот процесс называется уносом . Вовлекающие устройства с древних времен использовались в качестве насосов для подъема воды на небольшие высоты, что необходимо для осушения болот, полей и других низменных местностей. Некоторые другие устройства, использующие концепцию уноса, показаны на рисунке \(\PageIndex{3}\).

Рисунок \(\PageIndex{3}\): Устройства вовлекающего потока используют повышенную скорость жидкости для создания низкого давления, которое затем вовлекает одну жидкость в другую. (а) Горелка Бунзена использует регулируемое газовое сопло, увлекающее воздух для правильного сгорания. (b) В распылителе используется выжимная груша для создания струи воздуха, увлекающей за собой капли духов. Распылители краски и карбюраторы используют очень похожие методы для перемещения соответствующих жидкостей. (c) Обычный аспиратор использует высокоскоростной поток воды для создания области более низкого давления.Аспираторы могут использоваться в качестве отсасывающих насосов в стоматологических и хирургических ситуациях или для осушения затопленного подвала или создания пониженного давления в сосуде. (d) Дымоход водонагревателя предназначен для захвата воздуха в трубу, проходящую через потолок.

Измерение скорости

На рисунке \(\PageIndex{4}\) показаны два устройства, использующих принцип Бернулли для измерения скорости жидкости. Манометр в части (а) соединен с двумя трубками, которые достаточно малы, чтобы не возмущать заметно поток.{2} \ldotp\]

(Напомним, что символ \(\propto\) означает «пропорционально».) Решая v ₂ , мы видим, что

\[v_{2} \propto \sqrt{h} \ldotp\]

Часть (b) показывает версию этого устройства, которое обычно используется для измерения различных скоростей жидкости; такие устройства часто используются в качестве указателей воздушной скорости в самолетах.

Рисунок \(\PageIndex{4}\): Измерение скорости жидкости на основе принципа Бернулли. (а) Манометр подсоединен к двум трубкам, расположенным близко друг к другу и достаточно маленьким, чтобы не мешать потоку.{2}\). (b) Этот тип устройства для измерения скорости представляет собой трубку Прандтля, также известную как трубка Пито.

Пожарный рукав

Все предыдущие применения уравнения Бернулли включали упрощение условий, таких как постоянная высота или постоянное давление. Следующий пример представляет собой более общее применение уравнения Бернулли, в котором изменяются давление, скорость и высота.

Пример 14.7: Расчет давления — насадка пожарного шланга

Пожарные рукава, используемые при крупных структурных пожарах, имеют внутренний диаметр 6.40 см (рис. \(\PageIndex{5}\)). Предположим, что такой шланг несет поток 40,0 л/с, начиная с манометрического давления 1,62 x 10 ⁶ Н/м ² . Шланг поднимается по лестнице на 10,0 м к патрубку с внутренним диаметром 3,00 см. Какое давление в форсунке?

Рисунок \(\PageIndex{5}\): Давление в насадке этого пожарного шланга меньше, чем на уровне земли по двум причинам: вода должна идти вверх, чтобы добраться до насадки, и скорость в насадке увеличивается. Несмотря на пониженное давление, вода может оказывать большую силу на все, с чем сталкивается, благодаря своей кинетической энергии.{2})(10,0\; м) \\ & = 0 \ldotp \end{align*}\]

Значение

Это значение является манометрическим давлением , так как начальное давление было задано как манометрическое давление. Таким образом, давление в форсунке должно равняться атмосферному давлению, так как вода выходит в атмосферу без изменения ее состояния.

Авторы и авторство

• Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойолы Мэримаунт) и Билл Моебс и многие другие авторы.Эта работа находится под лицензией OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

Распределение Бернулли: определение и примеры

Распределения вероятностей > Распределение Бернулли

Что такое распределение Бернулли?

Распределение Бернулли — это дискретное распределение вероятностей для испытания Бернулли — случайного эксперимента, который имеет только два исхода (обычно называемых «Успехом» или «Неудачей»).Например, вероятность выпадения орла («успех») при подбрасывании монеты равна 0,5. Вероятность «неудачи» равна 1 – P (1 минус вероятность успеха, которая также равна 0,5 при подбрасывании монеты). Это частный случай биномиального распределения для n = 1. Другими словами, это биномиальное распределение с одним испытанием (например, с одним подбрасыванием монеты).

Посмотрите видео для определения и того, как найти PDF, дисперсию, математическое ожидание и вероятности:

Видео не видно? Кликните сюда.

Вероятность отказа отмечена на оси X как 0, а успех отмечен как 1. В следующем распределении Бернулли вероятность успеха (1) равна 0,4, а вероятность отказа (0) равна 0,6:

Функция плотности вероятности (PDF) для этого распределения равна p ^x (1 – p) ^{1 – x} , что также может быть записано как:

Ожидаемое значение случайной величины X для распределения Бернулли:
E[X] = p.
Например, если p = .04, то Е[Х] = 0,04.

Дисперсия случайной величины Бернулли:
Var[X] = p(1 – p).

Испытание Бернулли — один из самых простых экспериментов, которые вы можете провести. Это эксперимент, в котором вы можете получить один из двух возможных результатов. Например, «Да» и «Нет» или «Орел» и «Решка». Несколько примеров:

• Подбрасывание монеты : запишите, сколько монет выпало орлом и сколько выпало решкой.
• Рождений : сколько мальчиков рождается и сколько девочек рождается каждый день.
• Бросание костей : вероятность того, что при броске двух кубиков выпадет двойная шестерка.

Подбрасывание монеты как игра вероятности и случая существует с римских времен.

Испытания Бернулли обычно формулируются в терминах успехов и неудач . Успех не означает успех в обычном смысле — это просто относится к результату, который вы хотите отслеживать. Например, вы можете узнать, сколько мальчиков рождается каждый день, поэтому вы называете рождение мальчика «успехом», а рождение девочки — «неудачей».В примере с броском кубика удвоение числа «шестерка» будет вашим «успехом», а все остальные броски будут считаться «неудачей».

Независимость

Важной частью каждого испытания Бернулли является то, что каждое действие должно быть независимым. Это означает, что вероятности должны оставаться неизменными на протяжении всех испытаний; каждое событие должно быть совершенно отдельным и не иметь ничего общего с предыдущим событием.

Выигрыш в лотерею со скретч-оффом — это независимое событие. Ваши шансы на выигрыш по одному билету такие же, как и по любому другому билету.С другой стороны, розыгрыш лотерейных номеров является зависимым событием. Лотерейные номера выпадают из шара (номера не заменяются), поэтому вероятность того, что будут выбраны следующие номера, зависит от того, сколько шаров осталось; когда есть сто шаров, вероятность того, что будет выбрано любое число, составляет 1/100, но когда осталось только десять шаров, вероятность возрастает до 1/10. Хотя эти вероятности можно найти, это не испытание Бернулли, потому что события (выбор чисел) связаны друг с другом.

Процесс Бернулли приводит к нескольким распределениям вероятностей:

Распределение Бернулли тесно связано с биномиальным распределением. Пока каждое отдельное испытание Бернулли является независимым, количество успехов в серии следов Бернулли имеет биномиальное распределение. Распределение Бернулли также можно определить как биномиальное распределение с n = 1,

.

Использование распределения Бернулли в эпидемиологии

В экспериментах и ​​клинических испытаниях распределение Бернулли иногда используется для моделирования отдельного человека, пережившего такое событие, как смерть, болезнь или воздействие болезни.Модель является отличным индикатором вероятности того, что у человека есть рассматриваемое событие.

• 1 = «событие» (P = p)
• 0 = «не событие» (P = 1 – p)

Распределения Бернулли используются в логистической регрессии для моделирования возникновения заболеваний.

Ссылки

Эванс, М.; Гастингс, Н.; и Пикок, Б. «Распределение Бернулли». Ч. 4 в Статистических распределениях, 3-е изд. Нью-Йорк: Wiley, стр. 31-33, 2000.
WSU. Получено 15 февраля 2016 г. с: www.stat.washington.edu/peter/341/Hypergeometric%20and%20binomial.pdf

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Распределение Бернулли — обзор

7.3.2 Конфликт по поводу парацентрической изохроны

Интеграция 1/1−x4 должна была стать демонстрацией исправления квадратур. Этот сложный интеграл нельзя решить стандартными средствами, такими как логарифмические и тригонометрические функции (или, говоря геометрическим языком, измерения гипербол и окружностей), поэтому требуется нечто инновационное. Как это часто бывает, математики конца XVII века не формулировали этот вид интеграла абстрактно, а придумали физический эквивалент, который служил заполнителем или предлогом для решения этого важного и фундаментального интеграла.Это была проблема парацентрической изохроны, которую мы обсудим более подробно в разделе 8.3. Пока нас интересует только то, как она раздвинула границы теории интеграции.

Якоб Бернулли (1694b) решил проблему парацентрической изохроны путем ректификации, как показано на рис. 7.1. Кривая, которую он выпрямил для этой цели, есть эластика, т. е. форма, которую принимает изогнутая упругая балка. Мы отложим полное математическое обсуждение и этой кривой на потом (раздел 8.2), но для целей этой дискуссии важно то, что кривая физически проста (и «дана природой»), но аналитически сложна (будучи трансцендентной кривой, которая может быть описана только дифференциальным уравнением, не решаемым явно стандартными методами). ).

Рисунок 7.1. Парацентрическая изохрона, построенная выпрямлением эластики у Якоба Бернулли (1694b). Эластика RQA представляет собой упругую балку, прикрепленную перпендикулярно к земле в точке R и утяжеленную грузом, прикрепленным к другой ее конечной точке A .Вес таков, что касательная луча в точке A горизонтальна. Построение парацентрической изохроны происходит следующим образом. Начертите окружность iBL с серединой A и радиусом AB , равным горизонтальной протяженности эластики. Выберите любую точку Q на эластике, и пусть E будет точкой перпендикулярно над ней на горизонтальном диаметре окружности. Найдите точку g такую, что Ag  =  AE ² /AB .Найдите на окружности точки ε такие, что εζ  =  Ag (показана ε в нижнем правом квадранте, но следует учитывать также ε в нижнем левом квадранте). На радиальной линии Aε отметьте Aα так, чтобы Aα=AQ⌢2/AB в левом квадранте или Aα=ϕRQ⌢2/AB в правом квадранте, где дуги взяты по эластике RA и его зеркальное отображение Rϕ . Повторите построение для других вариантов Q .Точки α находятся на парацентрической изохроне (с начальной скоростью, заданной вертикальным падением iA ).

Представляя свое решение, Якоб Бернулли совершенно уверен, что оно будет оценено по достоинству. И не без оснований: спрямление квадратур ценилось повсеместно, как мы видели, и использование одной механически заданной кривой для построения другой также имело множество прецедентов, таких как построение Лейбницем логарифмов по цепной связи (раздел 6.3.2) и использование трактрисы Лейбницем и Гюйгенсом, например, для возведения в квадрат гиперболы (глава 5). Действительно, Якоб Бернулли (1693b) в другом контексте отметил, что определенная величина «зависит от квадратуры гиперболы; поэтому его можно найти с помощью логарифма или строки». ³³⁰ Это одобрение «струнной» (то есть цепной) конструкции гиперболических квадратур предполагает, что его собственная механическая конструкция искренна, а не является ошибочной попыткой продвигать свою собственную эластику. Таким образом, для обоснования своей парацентрической изохронной конструкции Бернулли лишь вскользь намекает на практическую осуществимость своего решения: Я считаю, что конструкция должна быть предпочтительнее, так как на практике обычно легче выпрямить кривую, чем возвести площадь в квадрат, и особенно потому, что сама природа, кажется, начертила ее [т.э., эластика]. ³³¹

Возможно, к его удивлению, конструкция Бернулли была повсеместно осуждена. Гюйгенс (1694b), написав Лейбницу, находит это «странным» и предпочел бы построение путем выпрямления алгебраической кривой:

Кажется, вы считаете верным его построение вашей парацентрической [изохроны], рассмотрев, как Я считаю, демонстрации, как я еще не сделал. Довольно странная встреча, когда он смог использовать свою упругую кривую; но ваша конструкция, несомненно, будет намного лучше, если вам нужно измерить только геометрическую кривую или хотя бы [кривую], для которой вы знаете, как найти точки. ³³²

Лейбниц (1694e) соглашается:

Он использует ректификацию кривой, которая сама уже является трансцендентальной, а именно его эластику, и, таким образом, его конструкция является трансцендентальной второго порядка. Вместо этого я использую только выпрямление обычной кривой, для которой даю построение с помощью обычной геометрии. ³³³

l’Hôpital (1694b) также соглашается:

Относительно кривой, которую вы называете парацентрической изохроной, я очень рад, что наконец-то найдено ее решение, но так как моя удаленность от Парижа помешала мне видя Акты Лейпцига, я еще не могу судить.Мне кажется из того, что вы мне рассказываете, что ваше собственное [решение] будет гораздо проще и более общее, чем решение г-на Бернулли, так как вы находите, что существует бесконечность [решений] там, где он находит только одно, и поскольку вы используете исправление алгебраической кривой, в то время как он использует трансцендентную. ³³⁴

Наиболее сильное осуждение, однако, исходило от младшего брата Якоба, Иоганна Бернулли (1694b): .д., из дифференциального уравнения с разделенными переменными]; но поскольку квадратура площадей на практике непроста, это пытаются сделать путем спрямления какой-нибудь другой кривой; если эта кривая может быть алгебраической, то грешит против законов геометрии тот, кто прибегает к механической [кривой]; особенно если сама эта механическая [кривая] не менее сложно описывается квадратурой площадей. ³³⁵

Эта атака сделана в статье, в которой Иоганн Бернулли вместо этого строит парацентрическую изохрону путем ректификации алгебраической кривой («лемниската» — см. рисунки 7.2 и 7.3). Но до того, как эта атака попала в печать, Якоб Бернулли (1694с) уже сам пришел к такому же исправлению. Однако он сделал это, не изменив своих внематематических взглядов. В ответ на критику он вместо этого подробно изложил свое первоначальное обоснование своей конструкции:

Рисунок 7. 2. Парацентрическая изохрона, построенная путем ректификации лемнискаты у Иоганна Бернулли (1694b). Мы ищем парацентрическую изохрону ABC с начальной скоростью, определяемой свободным падением через PA  =  a . HFPE представляет собой круг с радиусом a и центром A . AMONA (часть) Лемниската ( x ² + y ² ) ² = 2 A ² ( y ² — x ² ). Укажите точку E в нижней половине круга. Определите его вертикальное положение AG  =  y . Отметьте расстояние AP=ay+y2. Определите соответствующую лемнискатическую дугу AM⌢ (или AMON⌢, когда E находится в нижнем левом квадранте).Расширьте AE и отметьте на нем точку B так, что AB=AM⌢2/2a. Повторите для других вариантов E , чтобы получить больше точек B на парацентрической изохроне.

Рисунок 7.3. Альтернативный вид на строительство парацеентрических изохронов путем исправления лейниската ( x ² + y ² ) ² = A ² ( x ² — y ² ).

Рисунок Якоба Бернулли (1695 г.).

Существует три основных метода построения механических или трансцендентных кривых. Первый — по площадям криволинейных фигур, но он малопригоден для практики. Лучше [метод] использовать конструкцию выпрямлением алгебраической кривой; поскольку кривые можно быстрее и точнее исправить, используя веревку или небольшую цепочку, обернутую вокруг них, чем площади, которые можно возвести в квадрат. Я считаю одинаково хорошими такие построения, которые производятся без выпрямления и квадратуры, посредством одного описания некоторой механической кривой, точки которой, хотя и не вся кривая, могут быть найдены геометрически в бесконечном числе и сколь угодно близко друг к другу; такова обычная Logarithmica и, возможно, другие того же типа. Наилучший метод, однако, везде, где он применим, это тот, который использует кривую, которую сама Природа без всякого ухищрения создает быстрым движением, почти мгновенно по воле геометра; поскольку предыдущие методы требуют кривых, построение которых, будь то путем непрерывного движения или путем нахождения многих точек, обычно либо медленное, либо чрезвычайно трудновыполнимое. Таким образом, построения задач, предполагающие квадратуру гиперболы или описание логарифмики, при прочих равных условиях я считаю более низкими, чем те, которые выполняются с использованием цепной связи, так как подвешенная цепь принимает эту форму сама по себе. быстрее, чем вы переместите первую руку для остальных, которые будут описаны. ³³⁶

Таким образом, построение парацентрической изохроны по эластике «без сомнения было бы наилучшим», продолжает он, если бы предположение о законах напряжения, сделанное при выводе эластики, было верным. Но «надежнее не доверять» этому предположению, а вместо этого «прибегнуть ко второму способу построения и искать алгебраическую кривую, выпрямление которой приводит к результату». ³³⁷

Тот факт, что оба Бернулли нашли конструкцию путем выпрямления алгебраической кривой почти сразу же после первоначальной конструкции с использованием эластики, говорит о достоверности заявленных предпочтений Якоба Бернулли, когда он впервые ввел конструкцию эластики.Ведь если бы он действительно не чувствовал, что выпрямление эластики предпочтительнее выпрямления алгебраической кривой, он, несомненно, искал бы — и, как показывает дальнейшая история, довольно легко нашел — решение с помощью алгебраических кривых, вместо того чтобы позволить своему брату возможность немедленно подорвать его работу тем, что последний называет «более превосходным» решением.

Таким образом, я полагаю, что здесь мы имеем дело с подлинным конфликтом внематематических предпочтений, а не с простой попыткой сохранить лицо.В то время как некоторые восторженные фразы, случайно брошенные Лейбницем в личном письме к другу, могут быть восприняты с долей скептицизма, яростное соперничество между братьями и сестрами между Бернулли предполагает, что они отнеслись бы к этим вопросам с предельной серьезностью и не оставили бы места для размышлений. ошибкой, когда они записывают свои внематематические предпочтения в этих статьях.

По этой причине я буду рассматривать этот конфликт как ключ к оценке внематематических мотивов исправления квадратур.Итак, о чем нам говорит этот эпизод? Отчасти это касается правомерности использования физически заданных кривых в математике — вопроса, который мы должны оставить в стороне для наших нынешних целей. Но это также проливает некоторый свет на мотивы проблемы выпрямления квадратур.

В частности, идея Якоба Бернулли о том, что ректификация предпочтительнее квадратуры, поскольку ее можно осуществить, поместив «нитку или цепочку» вдоль кривой, а затем натянув ее, рассматривалась некоторыми учеными как более или менее взаимозаменяемая с аргумент размерности Лейбница. ³³⁸ Однако приведенная выше цитата из Якоба Бернулли (1694c), насколько мне известно, является первым явным упоминанием о ней, ³³⁹ , несмотря на многочисленные обсуждения проблемы выпрямления квадратур, предшествовавшие этой статье. И, как мы видели, в этом конфликте Яков Бернулли стоял один против остального истеблишмента.

В противовес этому конкретному аргументу, основанному на практике, мы видели, как Иоганн Бернулли приводил более абстрактный случай, а именно, что использование механической кривой там, где годится алгебраическая, означает «грешить против законов геометрии».Конечно, Иоганн также ссылается на практическую легкость как на мотивацию, но практика играет в его аргументации иную роль. Ему кажется, что практическая простота — всего лишь предполагаемое оправдание «законов» геометрии, а не окончательный арбитр сам по себе. Эта точка зрения, безусловно, согласуется с приведенными выше взглядами Лейбница. Апелляции Лейбница к пространственной иерархии, хотя первоначально и подсказанные соображениями простоты, по-видимому, выходят за рамки любого частичного оправдания, которое такие соображения могут им придать, и приобретают абсолютный, законодательный статус, родственный «законам» Иоганна.Это напоминает иерархию степеней в картезианской геометрии или различие между «плоскими», «телесными» и «линейными» задачами в древнегреческой геометрии. Как в этих случаях, так и в нашем: простота, практическая осуществимость или, если уж на то пошло, свойства «разума» — излюбленные Декартом, как и Лейбницем, — используются для оправдания иерархии, но однажды она становится иерархией. сама по себе, которая используется для оценки математики, а не лежащие в ее основе причины, первоначально использовавшиеся для ее обоснования. Таким образом, я думаю, что конфликт вокруг парацентрической изохроны предлагает полезную основу для наложения некоторого порядка на множество аргументов, выдвинутых для обоснования проблемы выпрямления квадратур.Эта точка зрения хорошо согласуется с упреком Лейбница конструкции Якоба Бернулли исправлением эластики как «трансцендентальной второго порядка» ³⁴⁰ : о конструкции судят по ее иерархической классификации, а не на основании простоты, просветления умов. , или что у тебя. Это также согласуется с нашим аргументом в разделе 3.3.5.2 о роли иерархии методов в более общем плане.

Я полагаю, что потребность в такой иерархии методов была фундаментальной силой, лежащей в основе принципиального предпочтения ректификации над квадратурами. Таким образом, появляется некоторое единство во множестве аргументов, представленных в пользу сведения квадратур к ректификациям. В частности, многочисленные доводы, намекающие на простоту в различных формах, говорят лишь о том, что я назвал pre facto оправданностью, что объясняет в какой-то мере неопределенность этих доводов и их слабую силу в настоящий момент конфликта. Таким образом, как мы видели выше, различные аргументы, выдвинутые Лейбницем, легко интерпретируются как попеременно относящиеся к этим desiderata, но в момент истины, когда эластический конфликт коснулся сути вопроса, он сформулировал свое суждение в терминах сама иерархия методов, а не ее вспомогательные потребности.Опять же, это также объясняет, почему аргументы Якоба Бернулли о простоте были единодушно отвергнуты, несмотря на их сходство prima facie с предыдущими аргументами его оппонентов: он не признавал второстепенную роль таких аргументов, поскольку они касались только обоснованности pre facto. Таким образом, я полагаю, что связность и рациональность могут быть выявлены в кажущемся разнообразии и несоответствии внематематических аргументов в отношении исправления квадратур, если рассматривать их как вспомогательные по отношению к более фундаментальным принципам, а именно необходимости в иерархии методов, одновременно непротиворечивых и оправданных. пре-факто.

По общему признанию, точный основополагающий статус исправления квадратур оставался несколько неуловимым. Они, безусловно, были основополагающими в общем смысле того, что касались основополагающих принципов, поскольку не касались конкретных результатов или проблем, а скорее касались основ всей работы над трансцендентными кривыми. Можно спорить, в какой степени они также были основополагающими в более строгом смысле, относящимися к достоверности математического знания и определению того, какие объекты и методы приемлемы в математике.Я считаю, что наши главные герои намеренно оставили этот вопрос открытым, и что они сделали это по уважительной причине. С одной стороны, исправление квадратур означает построение сложного из простого — возможно, это главная гарантия достоверности и точности как у Евклида, так и у Декарта, а также проверенный веками принцип методологической чистоты. Таким образом, вполне очевидна мотивация возведения требования о том, чтобы квадратуры были сведены к исправлениям, до «закона геометрии», родственного основополагающим принципам Евклида и Декарта. С другой стороны, такой шаг был бы преждевременным, учитывая отсутствие общих методов для фактического выполнения этой редукции на практике, а также исключительную нестабильность и быстрое расширение области в то время. В самом деле, как мы видели, Лейбниц часто говорил о выпрямлении квадратур как о своего рода исследовательской программе, а не как об абсолютном законе, признавая в то же время ее фундаментальный потенциал. Если бы эта исследовательская программа была окончательной, она вполне могла бы привести к окончательным заявлениям об основополагающем статусе исправления квадратур, точно так же, как основополагающая программа Декарта была завершением его геометрических исследований, а не их отправной точкой. ³⁴¹ Но так не вышло, и дальше исследовательской, дозаконодательной стадии программа так и не продвинулась.

Распределение Бернулли — Учебное пособие по вероятностям с Python | by Towards AI Editorial Team

Прежде чем углубиться в распределение вероятностей, давайте сначала разберемся с некоторыми основными терминами, касающимися случайной величины.

Рисунок 1: Основные типы данных

Переменная называется случайной, если ее значение неизвестно. Другими словами, переменная является случайной величиной, если мы не можем получить ту же самую переменную, используя какую-либо функцию.

Случайная величина — это переменная, возможные значения которой являются числовыми результатами случайного явления.

Свойства случайной величины:

1. Случайные величины будем обозначать с большой буквы.
2. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

Примеры:

1. Подбрасывание правильной монеты:

Рис. 2. Случайное подбрасывание монеты.

На рисунке 1 показано, что результат не зависит ни от каких других переменных.Таким образом, результат подбрасывания монеты будет случайным.

2. Бросание игральной кости:

Рисунок 3: Бросание игральной кости.

На рисунке 2 видно, что выход кубика нельзя предсказать заранее, и он не зависит ни от каких других переменных. Таким образом, мы можем сказать, что вывод будет случайным.

Теперь давайте кратко рассмотрим неслучайные переменные.

Рисунок 4: Неслучайные события.

В приведенном выше примере мы видим, что в примере 1 мы можем быстро получить значение переменной x, вычитая единицу с обеих сторон.Следовательно, значение x не случайно, а фиксировано. Во втором примере мы видим, что значение переменной y зависит от значения переменной x, где мы можем заметить, что значение y изменяется в соответствии со значением x. Мы можем сгенерировать ту же выходную переменную y, когда мы вставляем то же значение x. Таким образом, переменная y вовсе не случайна. В распределениях вероятностей мы будем работать со случайными величинами.

Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если ее значения могут быть получены путем подсчета .Дискретные переменные можно посчитать за конечное количество времени. Здесь важно отметить, что дискретные переменные не обязательно должны быть целыми числами. У нас могут быть дискретные случайные величины, которые являются конечными значениями с плавающей запятой.

Примеры:

1. Количество учащихся в школьном автобусе.
2. Количество печенья на тарелке.
3. Количество орлов при подбрасывании монеты.
4. Количество планет вокруг звезды.
5. Чистый доход членов семьи.

Случайная величина называется непрерывной случайной величиной, если ее значения могут быть получены путем измерения . Мы не можем считать непрерывные переменные за конечное время. Другими словами, мы можем сказать, что для подсчета непрерывных переменных потребуется бесконечное количество времени.

Примеры:

1. Точный вес случайного животного во Вселенной.
2. Точный рост случайно выбранного ученика.
3. Точное расстояние, пройденное за час.
4. Точное количество еды, съеденной вчера.
5. Точное время победы спортсмена.

Важно отметить, что здесь мы упоминаем слово «Точный» . Это означает, что все измерения, которые мы проводим, имеют абсолютную точность.

Рисунок 5: Время завершения гонки.

Например, если мы измеряем время завершения гонки для спортсмена, мы можем сказать, что он завершил гонку за 9,5 секунды. Если быть точнее, то можно сказать, что он завершил гонку за 9.52 секунды. Если быть точнее, то можно сказать, что спортсмен преодолел дистанцию ​​за 9,523 секунды. Чтобы добавить больше точности в затраченное время, мы также можем сказать, что он завершил гонку за 9,5238 секунды. Если мы продолжим это делать, мы сможем довести эту вещь до бесконечного уровня точности, и нам потребуется бесконечное количество времени, чтобы измерить ее. Вот почему она называется непрерывной переменной.

Пример: Ваш текущий возраст?

Что вы думаете об этом? Это непрерывная переменная или дискретная переменная? Пожалуйста, найдите минутку, чтобы подумать об этом.

Пример относится к группе непрерывных переменных. Как обсуждалось выше, мы можем сказать о вашем возрасте следующее:

Рисунок 6: Текущий возраст с точностью.

Обратите внимание, что мы можем продолжать писать возраст с большей и большей точностью. Поэтому мы не можем посчитать точный возраст человека за конечное время. Вот почему это непрерывная переменная.

С другой стороны, если бы вопрос был, каков ваш текущий возраст в годах?». Тогда в этом случае переменная может быть отнесена к группе дискретных переменных.Поскольку мы уже знаем, что мой возраст на данный момент составляет «X лет».

Теперь давайте обсудим распределения вероятностей. Распределения вероятностей основаны на типах данных и могут быть либо дискретными, либо непрерывными.

Распределение вероятностей — это математическая функция, которая дает вероятности появления различных возможных результатов эксперимента. [1]

Рисунок 7: Типы вероятностных распределений.

Условия распределения Бернулли

1. Должно быть только одно испытание.
2. В испытании должно быть только два возможных исхода, один называется успехом, а другой — неудачей.
3. P(Успех) = p
4. P(Неудача) = 1 — p = q
5. Условно мы присваиваем значение 1 событию с вероятностью p и значение 0 событию с вероятностью 1 — p.
6. Условно имеем p>1 — p. По-другому мы можем сказать, что мы принимаем вероятность успеха (1) как p и вероятность неудачи (0) как 1 — p, так что P (успех)> P (неудача).
7. У нас должна быть вероятность одного из событий (Успеха или Неудачи) или какие-то прошлые данные, которые указывают на экспериментальную вероятность.

Если наши данные удовлетворяют приведенным выше условиям, то:

Рисунок 8:

Дискретная случайная величина X подчиняется распределению Бернулли с вероятностью успеха=p.
Визуальное представление распределения Бернулли:

Рисунок 9: Визуальное представление распределения Бернулли.

Примеры:

Рисунок 10: Примеры распределения Бернулли.

Например:

На выборах есть только два кандидата: Патрик и Гэри, и мы можем голосовать либо за Патрика, либо за Гэри.

• P(Успех) = P(1) = Голосование за Патрика = 0,7
• P(Неудача) = P(0) = Голосование за Гэри = 0,3

Здесь у нас есть только одно испытание и только два возможных исхода. Таким образом, мы можем сказать, что данные следуют распределению Бернулли. Для наглядности:

Рис. 11: Пример графика распределения Бернулли.

Массовая функция вероятности дискретной случайной величины X присваивает вероятности каждому из возможных значений случайной величины.Используя PMF, мы можем получить вероятности каждой случайной величины. [ 6 ]

Пусть X — дискретная случайная величина, возможные значения которой обозначены x1, x2, x3, …, xn. Функция массы вероятности (PMF) должна удовлетворять следующим условиям:

Свойства PMF:

1. Сумма всех вероятностей в данной PMF должна быть равна 1.

Рисунок 12: Сумма вероятностей в PMF.

2. Все возможные значения вероятности должны быть больше или равны 0.

Рисунок 13: Вероятность случайной величины.

Функция массы вероятности (PMF) для распределения Бернулли: Рисунок 14: Функция массы вероятности (PMF).

Давайте визуализируем функцию:

Рисунок 15: Визуализация распределения Бернулли.

Среднее значение дискретной случайной величины X является средневзвешенным. Его вероятность взвешивает каждое значение случайной величины X. В распределении Бернулли случайная величина X может принимать только два значения: 0 и 1, и мы можем быстро получить вес, используя функцию массы вероятности (PMF).

Среднее: Среднее значение распределения вероятностей — это долгосрочное среднее арифметическое значение случайной величины, имеющей это распределение.

Ожидаемое значение E[X] выражает вероятность желаемого события.

Рисунок 16: Ожидаемое значение E[X}.

Ожидаемое значение или среднее значение распределения Бернулли определяется как:

Рисунок 17: Среднее значение распределения Бернулли.

Среднее значение распределения Бернулли:

Рисунок 18: Доказательство среднего значения распределения Бернулли.

Дисперсия (σ2) — это мера того, насколько далеко каждое число из набора случайных чисел от среднего. Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением.

На основании определения:

Рисунок 19: Формула дисперсии.

Дисперсия дискретного распределения вероятностей:

Рисунок 20; Дисперсия для дискретного распределения вероятностей.

В нашем случае переменная x может принимать только два значения: 0 и 1.

Рисунок 21: Дисперсия для распределения Бернулли.

Дисперсия распределения Бернулли:

Рисунок 22: Доказательство дисперсии распределения Бернулли.

Существует более популярная форма для поиска дисперсии в статистике:

Рисунок 23: Популярная форма формулы дисперсии.

Давайте посмотрим, как это появилось.

Обычно дисперсия представляет собой ожидаемое значение квадрата разницы между каждым значением и средним значением распределения. [ 7 ]

Из определения дисперсии мы можем тогда:

Рисунок 24: Доказательство формулы дисперсии.

Нахождение дисперсии по этой формуле:

Рисунок 25: Доказательство дисперсии для распределения Бернулли.

На рисунке 25 видно, что дисперсия распределения Бернулли одинакова независимо от используемой формулы.

Стандартное отклонение — это число, используемое для определения того, как измерения для группы отличаются от среднего (среднее или ожидаемое значение) [ 8 ].

Низкое стандартное отклонение означает, что большинство чисел близки к среднему, а высокое стандартное отклонение означает, что числа более разбросаны.

Рисунок 26: Стандартное отклонение для распределения Бернулли.

Среднее отклонение — это среднее абсолютных отклонений набора данных относительно среднего значения данных.

На основе определения:

Рисунок 27: Формула среднего отклонения.

Для дискретного распределения вероятностей:

Рисунок 28: Среднее отклонение для распределения вероятностей.

Нахождение среднего отклонения для распределения Бернулли:

Рисунок 29: Среднее отклонение для распределения Бернулли. Рисунок 30; Резюме взаимосвязи между центральным и необработанным моментами.

Для следующих выводов мы будем использовать формулы, полученные в предыдущем уроке. Поэтому мы рекомендуем вам ознакомиться с нашим руководством по функции генерации момента.

Рисунок 31: Определение производящей функции момента.

Функция генерации момента:

Рис. 32: Функция генерации момента для распределения Бернулли.

Поиск сырых моментов:

1. Первый момент:

a.Первый необработанный момент:

Рисунок 33: Первый необработанный момент.

2. Второй момент:

а. Второй необработанный момент:

Рисунок 34: Второй необработанный момент.

б. Второй центральный момент (дисперсия):

Рисунок 35: Второй центральный момент.

3. Третий момент:

а. Третий необработанный момент:

Рисунок 36: Третий необработанный момент.

б. Третий центральный момент:

Рисунок 37: Третий центральный момент.

г. Третий стандартизованный момент: (асимметрия)

Рисунок 38: Третий стандартизированный момент (асимметрия).

4. Четвертый момент:

а. Четвертый необработанный момент:

Рисунок 39; Четвертый сырой момент.

б. Четвертый центральный момент:

Рис. 40: Четвертый центральный момент.

г. Четвертый стандартизированный момент: (эксцесс):

Рисунок 41: Четвертый стандартизированный момент (эксцесс). Рисунок 42: Четвертый стандартизированный момент (избыточный эксцесс). Рисунок 43: Определение функции кумулятивной плотности.

На основе функции массы вероятности (PMF) мы можем записать кумулятивную функцию распределения (CDF) для распределения Бернулли следующим образом:

Рисунок 44: Кумулятивная функция плотности для распределения Бернулли.

После самой интересной части давайте перейдем к ее реализации на Python.

1. Импорт необходимых библиотек:

Рисунок 45: Импорт необходимых библиотек.

2. Найдите моменты:

Рисунок 46: Нахождение моментов для распределения Бернулли с p-значением 0,7.

3. Получите среднее значение:

Рисунок 47: Среднее значение для p=0,7.

4. Получите медианное значение:

Рисунок 48: Медиана для p=0,7.

5. Получите значение дисперсии:

Рисунок 49: Дисперсия для p=0,7.

6. Получите значение стандартного отклонения:

Рисунок 50: Стандартное отклонение для p=0,7.

7. Функция массы вероятности (PMF):

Рисунок 51: Функция массы вероятности для p=0,7.

8. График PMF:

Рисунок 52: Диаграмма рассеяния PMF для p=0,7.

9. Кумулятивная функция плотности (CDF):

Рисунок 53: Кумулятивная функция плотности для p=0,7.

10. Постройте CDF:

Рисунок 54: Диаграмма рассеяния CDF для p=0,7.

11. Постройте гистограмму для PMF:

Рисунок 55: Гистограмма для PMF при значении p 0.7.

12. Постройте гистограмму для CDF:

Рисунок 56: Гистограмма CDF для значения p 0,7.

13. Выходные данные для различных экспериментов:

Рисунок 57: Генерация выходных данных для различных экспериментов Бернулли.

Теорема Бернулли — Математическая энциклопедия

(исторически) первоначальная форма (слабого) закона больших чисел. Теорема появилась в четвертой части книги Якоба Бернулли Ars conjectandi (Искусство догадок).Эту часть можно считать первым серьезным исследованием теории вероятностей. Книга была издана в 1713 г. Н. Бернулли (племянником Якова Бернулли). Теорема имеет дело с последовательностями независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события («успеха») равна $ p $. Пусть $n$ — количество испытаний и пусть $ m $ — случайная величина, равная количеству успешных событий. Теорема Бернулли утверждает, что при любом значении положительных чисел $ \epsilon $ и $\эта$, вероятность $ {\ mathsf P} $ неравенства

$$ — \эпсилон\leq \ гидроразрыв {м} {п} — p \leq \эпсилон $$

будет выше $1 — \eta$ для всех достаточно больших $ n $( $ n \geq n _ {0} $).Доказательство этой теоремы, данное Бернулли и основанное исключительно на изучении убывания вероятностей в биномиальном распределении по мере удаления от наиболее вероятного значения, сопровождалось неравенством, позволившим указать некоторая оценка для заданного $ n _ {0} $ если $\эпсилон$ и $\эта$ были даны. Так, Бернулли установил, что если $p = 2/5$, вероятность неравенства

$$ {- \фракция{1}{50} } \leq { \ гидроразрыв {м} {п} } — { \фракция{2}{5} } \leq { \фракция{1}{50} } $$

будет больше 0.{2} \право \} . $$

Условие, полученное для приведенного выше примера, равно $ n \geq 17,665 $( более сложные оценки показывают, что достаточно взять $ n \geq 6502 $; можно отметить, ради сравнения, что теорема де Муавра-Лапласа дает 6498 как приблизительное значение $ n _ {0} $). Другие оценки для $ 1 — {\ mathsf P} $ можно получить, используя неравенство Бернштейна и его аналоги. См. также Биномиальное распределение.

Каталожные номера

[Би]	Дж.Бернулли, «Ars conjectandi», Werke , 3 , Birkhäuser (1975), стр. 107–286 (Оригинал: Базель, 1713 г.) MR2195221 Zbl 0365.01016
[М]	А.А. Марков, «Wahrscheinlichkeitsrechung», Teubner (1912) (перевод с русского)
[Бн]	С. Н. Бернштейн, «Теория вероятностей», Москва-Ленинград (1946) (на русском языке) Збл 53.0492.01

Каталожные номера

Как процитировать эту запись:
Теорема Бернулли. Математическая энциклопедия. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bernoulli_theorem&oldid=46021

Эта статья адаптирована из оригинальной статьи Ю.В. Прохорова (создатель), которая появилась в Математической энциклопедии — ISBN 1402006098. См. Оригинальную статью

Тест Бернулли и Лейбница Ньютона

Тест Бернулли и Лейбница Ньютона

В то время как Ньютон скрывал свое открытие флюксий, Лейбниц опубликовал свое исчисление, и к 1695 г. он и его ученик Джон Бернулли превратили исчисление в великолепную инструмент для решения различных задач.

Чтобы узнать, как много на самом деле знал Ньютон, Лейбниц и Бернулли разработали следующий тест. По обычаю г. то время, Джон Бернулли опубликовал в июне 1696 г. сложную задачу, который он адресовал «самым проницательным математикам мира»

`Чтобы найти кривую, соединяющую две точки, на разной высоте и не на одной вертикальной линии, вдоль которой тело, на которое действует только сила тяжести, упадет в самое короткое время».

Лейбниц и Бернулли были уверены, что только человек, знающий исчисление может решить эту проблему.Бернулли дал шесть месяцев на решения, но решения так и не были получены. в течение этого периода. По запросу Лейбница, время было публично продлено на год, чтобы все участники должны иметь равные шансы. 29 января 1697 г. вызов был принят Ньютоном из Франции и на следующий день (по воспоминаниям племянника) он послал Монтегю, который был тогда президентом Королевского общества, его решение. Единственные другие решения были присланы Лейбницем и Лопиталем. (Последний, еще один ученик Лейбница, был автором первый учебник по математике).Следуя предложению Бернулли, кривая, которая решает проблему, называется «брахистохроной», что по-гречески означает «кратчайшее время».

Можете ли вы решить проблему? Если вам интересно увидеть Бернулли решение, щелкните здесь для просмотра в формате pdf или формат пс. Обязательным условием этого решения является Объяснение Ферма закона преломления Снеллиуса. И, конечно же, то, что вы уже узнали в МА 366.

Задача Бернулли была ранним примером класса задач, называемых сейчас вариационным исчислением.это экстремально задачи (нахождение максимума и минимума), где независимая переменная не число, даже не несколько чисел, а кривая или функция. Правило, которое присваивает номер каждой кривой данного набора называется «функциональным». Это как обычная функция, за исключением того, что набор кривых вместо чисел служит независимой переменной.

Общий подход к этому классу задач, основанный на дифференциальных уравнений впервые было найдено Эйлером. В конце XVIII в. Лагранж обнаружил, что основные законы механики можно сформулировать как вариационные принципы.Об оптике было сделано аналогичное открытие гораздо раньше, Ферма. Таким образом, ВСЕ основные законы природы, известные к XIX веку, могли быть формулируется в терминах вариационного исчисления. Удивительно, но это относится и ко всем новым фундаментальным законам. обнаружен в XIX и ХХ века.