Доказать равенство множеств онлайн: Операции над множествами · oнлайн с подробным объяснением

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, +, −.

Можно также сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, +,

если a < 0, последовательность знаков: −, −.

Например -4x² — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x² есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

• Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
• Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. 2 — 5x + 6 ≥ 0.

  Как решаем:

  
  
  1. Разложим квадратный трехчлен на множители.
     

     Неравенство примет вид:

     (х — 3) * (х — 2) ≥ 0

  
  
  2. Проанализируем два сомножителя:

     Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

     Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

     Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

     В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

  
  
  3. Построим чертеж.
     
  
  
  4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

     х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

     (-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12

     12 > 0

     Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.

     Отобразим эти данные на чертеже:

     
     

     2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

     Подставляем:

     • (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0

     Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:

     
     

     х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

     Подставляем:

     • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

     Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

     
     
  5. Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

     Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

     (x — 3) * (x + 3/2) > 0.

     Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

     Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

     
     

  Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

  Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

  Как решить неравенство методом интервалов, нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:

  
  

  Ответ: -3 < x < -2.

  Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:

  
  

  Как решаем:

  
  
  1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
     
  
  
  2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
     
  
  
  3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

     Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:

     
     
  4. Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:
     

     Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).

  
  
  5.  

  Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

  Калькулятор расчета пересечения множеств онлайн

  Пересечение двух множеств — это некое третье множество, которое содержит только элементы, общие для заданных математических объектов. Определить такое множество легко при помощи нашего онлайн-калькулятора.

  Теория множеств

  Говоря простым языком, множество — это элементарный математический объект, который содержит определенный набор данных, предметов или чисел. Это исходное математическое понятие, которое невозможно представить другими терминами. Именно поэтому множество описывается как набор разрозненных элементов, мыслимое как единое целое. Понятие множества ввел немецкий математик Георг Кантор, который развил собственную теорию трансфинитных чисел, позволяющую оперировать вполне упорядоченными бесконечными множествами.

  Георг Кантор разработал уникальную программу стандартизации всех математических знаний, согласно которой любой математический объект является тем или иным множеством. К примеру, согласно канторовской теории, любое натуральное число — это одноэлементное множество, принадлежащее надмножеству натурального ряда. Натуральный ряд, в свою очередь, считается подмножеством целого ряда, а целое множество — подмножеством действительного или вещественного ряда.

  Теория Георга Кантора вызвала широкий резонанс в математических кругах. Многие современники негативно отзывались о его работах, особенно его учитель Леопольд Кронекер, который не принимал канторовского определения натурального числа. Несмотря на это, теория множеств получила признание позже, когда группа французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки предприняла попытку перевести весь математический аппарат на теоретико-множественный язык.

  Операции с множествами

  Существует две основные операции над множествами: объединение и пересечение. Если X и Yпредставляют собой множества, то объект Z становится их объединением в случае, если он включает в себя элементы X, Y или их обоих. Математически операция объединения обозначается как X È Y. Объект Z = X Ç Y состоит из членов, которые одновременно входят как в X, так и в Y, и носит название «пересечения» двух множеств X и Y.

  Если у нас есть X = {1, 2, 3, 4, 5} и Y = {1, 3, 5, 7, 13, 21} то объединение множеств Z будет выглядеть как X È Y = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 21}, а пересечение как X Ç Y = {1, 3, 5}. Операции объединения и пересечения соответствуют суммированию в алгебре. Вместе с разностью эти операции образуют оригинальную «алгебру множеств». Согласно аксиомам теории множеств, любые алгебраические операции с множествами в результате должны выдавать множество. Поэтому если операция над объектами приводит к нулевому результату, согласно теории, образуется пустое множество.

  Пустое множество — это математический объект, не содержащий ни одного элемента. К примеру, если X = {1, 2, 3, 4, 5}, а Y = {10, 15}, то в результате пересечения X Ç Y получится пустое множество X Ç Y = Æ. Пустое множество обладает интересным свойством — оно является несобственным подмножеством для любого существующего множества элементов.

  Наша программа позволяет выполнять алгебраическую операцию пересечения двух объектов с произвольным количеством элементов. Для работы с калькулятором вам потребуется ввести в ячейки программы элементы множества через запятую, после чего определить объект, равный пересечению заданных множеств. Вы можете задать целочисленные множества или математические объекты, содержащие элементы в виде десятичных дробей. Важно учесть, что десятичные дробный числа также перечисляются через запятую, поэтому для записи самой дроби необходимо использовать точку. Например, для перечисления дробей 1/2, 1/4 и 0,75 вам потребуется ввести в ячейку множество {0.5, 0.25, 0.75}.

  Примеры из реальной жизни

  Геометрические фигуры

  Допустим, существует множество X, которое содержит прямоугольники с разными длинами сторон. Также существует множество Y, содержащее ромбы с разными углами. Из курса геометрии мы знаем, что ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а прямоугольник — это параллелограмм, у которого равны все углы. В множествах X и Y могут встретиться ромбы с углами по 90 градусов или прямоугольники с одинаковыми сторонами. Фигура, у которой все углы прямые, а все стороны равны — это квадрат. Соответственно, пересечением множеств ромбов X и прямоугольников Y является множество квадратов Z.

  Отрезки

  Пусть у нас есть два отрезка, которые задаются координатами X = [1, 3] и Y = [2, 4]. Пересечением данных множеств будет отрезок [2, 3], так как именно эти числа входят в диапазон значений обоих отрезков на числовой оси.

  Еще пример

  Давайте попробуем узнать пересечение пятиэлементных множеств простых и четных чисел. Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу. Четное число — число, которое делится на 2 без остатка. Итак, наши множества S = {2, 3, 5, 7, 11} и E = {2, 4, 6, 8, 10}. Введем эти данные в онлайн-калькулятор и получим результат в виде P = {2}.

  Заключение

  Теория множеств находит применение в различных прикладных задачах. Пользуйтесь нашими калькуляторами для решения учебных или реальных заданий по теории множеств.

  Wolfram|Alpha Примеры: логика и теория множеств

  ---

  Другие примеры

  Булева алгебра

  Вычислять таблицы истинности, находить нормальные формы и строить логические схемы для любого логического выражения любого количества булевых переменных.

  Проанализируйте логическое выражение:

  Вычислите таблицу истинности для булевой функции:

  Вычислите логическую схему для булевой функции:

  Преобразуйте логическое выражение в дизъюнктивную нормальную форму:

  Еще примеры

  ---

  Другие примеры

  Теория множеств

  Тест на членство в множестве, равенство множества и отношение подмножества. Нарисуйте диаграмму Венна для небольшого количества подходов.

  Проверить, верно ли заданное уравнение множеств:

  Еще примеры

  ---

  Другие примеры

  Трансфинитные числа

  Выполнение арифметических операций и упрощение выражений с участием бесконечных кардиналов. Проверьте количественные числа на кардинальное равенство или исследуйте кардинальное неравенство.

  Получить информацию о трансфинитном кардинале:

  Упростите выражение, включающее кардиналы:

  Еще примеры

  Установить личности

  Теперь мы рассмотрим основные тождества множеств, которые связывают различные операции над множествами. c}\]

  Существуют разные способы подтверждения множества тождеств.

  Основным методом доказательства идентичности множества является метод элемента или метод двойного включения. Он основан на определении равенства множеств: два множества \(A\) и \(B\) называются равными, если \(A \subseteq B\) и \(B \subseteq A\). В этом методе нам нужно доказать, что левая часть \(\left({LHS}\right)\) множественного тождества является подмножеством правой части \(\left({RHS}\right )\) и наоборот.

  Другим способом доказательства является использование основных алгебраических тождеств, рассмотренных выше (алгебраический метод).Также стоит упомянуть методы, основанные на использовании таблиц принадлежности (аналогичных таблицам истинности) и нотации построителя множеств.

  См. решенные проблемы на стр. 2.

  Эквивалентные наборы

  : определение и пример — видео и расшифровка урока

  Равные и эквивалентные наборы

  Когда у нас есть два набора, которые состоят из одних и тех же элементов, мы называем их равными наборами. Неважно, в каком порядке расположены элементы. Важно лишь, чтобы одни и те же элементы были в каждом наборе.Вот несколько примеров равных наборов:

  • {1, 3, 5, 7} и {7, 5, 3, 1}
  • {январь, март, май, ноябрь} и {май, март, январь, ноябрь}

  Эквивалентный набор — это просто набор с равным количеством элементов. Наборы не обязательно должны содержать одни и те же элементы, просто количество элементов должно быть одинаковым. Рассмотрим несколько примеров:

  Пример 1

  • Набор A: {A, B, C, D, E}
  • Набор B: {январь, февраль, март, апрель, май}

  Несмотря на то, что наборы A и B имеют совершенно разные элементы (набор A состоит из букв, а набор B состоит из месяцев года), количество элементов в них одинаковое, а именно пять.Набор A содержит пять букв, а набор B — пять месяцев. Это делает их эквивалентными множествами!

  Пример 2

  • Комплект C: {свитер, варежки, шарф, куртка}
  • Набор D: {яблоки, бананы, персики, виноград}

  Набор C и набор D содержат словесные элементы в совершенно разных категориях (набор C включает предметы одежды, которые вы носите в холодную погоду, а набор D включает виды фруктов), но оба они содержат одинаковое количество элементов, то есть четыре . Это делает их эквивалентными множествами!

  Пример 3

  Пример 3 эквивалентных наборов

  В этом примере мы используем рисунок, чтобы проиллюстрировать, что наборы не обязательно должны содержать элементы, являющиеся буквами, числами или словами. Некоторые наборы содержат изображения. В этом случае множество E содержит три грани. Он по-прежнему эквивалентен множеству F, поскольку содержит такое же количество элементов.

  Обозначения и мощность

  Когда мы говорим об эквивалентности множеств, мы используем знак эквивалентности, которым является знак тильды (~).Итак, если бы мы хотели сказать, что множество C эквивалентно множеству D, мы бы написали: Set C ~ Set D.

  Еще один причудливый способ говорить о количестве элементов в множестве называется кардинальностью. Если мы говорим, что мощность множества А равна мощности множества В, мы говорим, что множества А и В эквивалентны в том смысле, что они оба имеют одинаковое количество элементов. Мы можем обозначать или указывать кардинальность по-разному:

  Два наиболее распространенных способа указания кардинальности.

  Давайте рассмотрим пример. Набор A содержит {1, 2, 3, 4}, а набор B содержит {A, B, C, D}. Мощность множества A равна 4. Мы запишем это как: n(A) = 4. Поскольку множество A и множество B содержат одинаковую мощность, мы запишем это так: n(A) = n(B). Поскольку мощности множеств A и B равны, множества A и B эквивалентны. Мы запишем это как: Набор A ~ Набор B.

  Резюме урока

  Набор представляет собой набор элементов, которые обычно связаны между собой.Наборы заключаются в квадратные скобки: { }. В наборе могут быть элементы, состоящие из цифр, букв, слов или изображений. Равные множества содержат одни и те же элементы, даже если они могут быть не в порядке. Эквивалентные множества имеют разные элементы, но имеют одинаковое количество элементов.

  Если мы хотим написать, что два набора эквивалентны, мы должны использовать знак тильды (~). Мощность набора — это количество элементов в наборе. Следовательно, если два множества имеют одинаковую мощность, они эквивалентны!

  Краткий урок

  Наборы — это наборы цифр, букв, слов или изображений.Наборы могут быть равными друг другу или эквивалентными. Если множества равны, то они содержат одни и те же элементы. Если они эквивалентны, они имеют одинаковое количество элементов или кардинальность.

  Хотя эти наборы относятся к разным категориям, они имеют одинаковое количество элементов, что делает их эквивалентными.

  Результаты обучения

  По завершении этого урока вы должны уметь:

  • Сравнивать и противопоставлять одинаковый набор и эквивалентный набор
  • Опишите, как обозначаются различные наборы
  • Определить кардинальность

  Набор операций

  Набор операций
  • Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы из обоих этих множеств.
    • Написано \(A\чашка B\) и определено \[A\cup B = \{x \mid x\in A\vee x\in B\}\,.\]
    • Например, \[\{1,2,3,4\}\чашка\{3,4,5,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}\,\\ \mathbf{R} = \mathbf{Q} \cup \overline{\mathbf{Q}}\,.\]
  • Пересечение двух множеств — это множество, содержащее элементы, которые входят в оба этих множества.
    • Написано \(A\cap B\) и определено \[A\cap B = \{x \mid x\in A\клин x\in B\}\,\\ \mathbf{Q} \cap \overline{\mathbf{Q}}=\emptyset\,.\]
    • Например, \[\{1,2,3,4\}\cap\{3,4,5,6\} = \{3,4\}\,.\]
  • Разность между двумя наборами — это набор значений в одном, но не в другом: \[A-B = \{x \mid x\in A\text{ и } x\notin B\}\,.\]
    • Например, \[\{1,2,3,4\}-\{3,4,5,6\} = \{1,2\}\,\\ \overline{\mathbf{Q}} = \mathbf{R}-\mathbf{Q} \,.\]
    • Также иногда пишут \(A\setminus B\).
  • Теорема: Для любых множеств \(|AB|\le|A|\).

    Доказательство: Предположим, что \(|A-B|>|A|\). Тогда должен быть элемент \(x\) с \(x\in(AB)\), но \(x\не в A\). Таким образом, \(AB\not\subseteq A\).

    Но из определения разности множества мы видим, что \[ A-B = \{x \mid x\in A\text{ и } x\notin B\} \subseteq \{x \mid x\in A\} =A\,. \] Это противоречие, поэтому \(|AB|\le|A|\).∎

  • С подобными доказательствами мы могли бы доказать следующее:

    Теорема: Для любых множеств \(|A\cap B|\le|A|\) и \(|A\cap B|\le|B|\).

    Теорема: Для любых множеств \(|A\cup B|\ge|A|\) и \(|A\cup B|\ge|B|\).

  • При выполнении операций над множествами нам часто нужно определить универсальное множество , \(U\).
    • Как и домен для квантификаторов, это набор всех возможных значений, с которыми мы работаем.
    • Часто не определяется явно, а подразумевается в зависимости от проблемы, которую мы рассматриваем.
    • напр. когда мы работаем с действительными числами, вероятно, \(U=\mathbf{R}\).
  • дополнение набора \(S\) записывается \(\overline{S}\) и представляет собой набор всех значений , а не в \(S\): \[\overline{S} = \{x\mid x\notin S\} = U-S \,.\]
    • Стандартная запись иррациональных чисел теперь должна иметь большой смысл: с универсальным набором \(\mathbf{R}\) иррациональные числа (\(\overline{\mathbf{Q}}\)) являются дополнением рациональные числа (\(\mathbf{Q}\)).
  • Теорема: Для любого множества \(S\cap\overline{S}=\emptyset\).

    Доказательство: Предположим противное, что существует элемент \(x\in S\cap\overline{S}\). Тогда по определению операторов \[ х\in S\cap\overline{S}\\ х\in S \клин х\in\overline{S} \\ х\in S \клин х\notin{S}\,.\] Это противоречие, поэтому мы должны иметь \(S\cap\overline{S}=\emptyset\).∎

  • Обратите внимание на сходство между соответствующим набором и логическими операторами: \(\vee,\cup\) и \(\wedge,\cap\) и \(\overline{\mbox{S}},\neg\).
    • Это больше, чем похожие символы.
  • Вот несколько важных наборов идентификаторов: \U

    Имя	Идентификатор
    Идентификатор	\(A\cap{U}= A\\A\cup\emptyset= A\)
    Domination 9024\cup} \cup} = {U}\\A\cap\emptyset= \emptyset\)
    Идемпотент	\(A\cap A= A\\A\cup A= A\)
    Двойное отрицание	\ (\overline{(\overline{A})}= A\)
    Коммутативный	\(A\cup B = B\cup A\\A\cap B = B\cap A\)
    Ассоциативный	\((A\чашка B)\чашка C = A\чашка(B\чашка C)\\(A\крышка B)\крышка C = A\крышка(B\крышка C)\)
    Распределительный	\(A\чашка(B\крышка C) =(A\чашка B)\крышка(A\чашка C)\\A\крышка(B\чашка C) = (A\крышка B)\ чашка (A\крышка B)\)
    Закон де Моргана	\(\overline{A\cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\\\overline{A\cup B }= \overline{A} \cap \overline{B}\)
    Поглощение	\(A\cup(A\cap B) = A \\ A\cap(A\cup B) = A\)
    Отрицание	\(A\cup\overline{A} = {U}\\A\cap\overline{A} = \emptyset\)

  • Выглядит знакомо? Это таблица логических эквивалентов с некоторым поиском и заменой.
  • В качестве примера можно доказать один из законов Де Моргана (книга доказывает другой).
    • Мы будем осторожны с этим и будем манипулировать нотацией построителя наборов.

    Теорема: Для любых множеств \(\overline{A\cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}\).

    Доказательство: По определению операций над множествами, \[\начать{выравнивать*} \overline{A\чашка B} &= \{x\mid x\notin (A\cup B)\} \\ &= \{x\mid \neg(x \in (A\cup B))\} \\ &= \{x\mid \neg(x \in A\vee x\in B)\} \\ &= \{x\mid\neg(x\in A)\клин \neg(x\in B)\} \\ &= \{x\mid x \in \overline{A}\wedge x \in \overline{B} )\} \\ &= \{x\mid x \in (\overline{A}\cap\overline{B}))\} \\ &= \overline{A}\cap\overline{B}\,.\quad{}∎ \конец{выравнивание*}\]

    • Можно было бы привести и менее формальное доказательство. (Для этого см. раздел 2.2, пример 10.)
    • Это тот случай, когда, вероятно, проще быть более формальным: писать все детали в предложениях настолько мучительно, что семь шагов в этом доказательстве приятнее читать. (См. также пример 10.)
  • Это доказательство может подсказать, почему таблицы эквивалентностей и множественных тождеств так похожи.
    • Для любой из операций над множествами мы можем использовать нотацию построителя множеств, а затем использовать логические эквивалентности для управления условиями.
    • Так как мы проделываем одни и те же манипуляции, в итоге у нас получились одни и те же таблицы.
    • Будьте осторожны с другими операциями. То, что это сработало для них, не означает, что вы можете считать, что все одинаково. Не существует логической версии установленного различия или установленной версии исключающего или (по крайней мере, насколько мы определили).

  • Теорема: Для любых множеств \(AB = A\cap\overline{B}\).

    Менее формальное доказательство: Набор \(A-B\) представляет собой значения из \(A\) с удаленными значениями из \(B\).

    Набор \(\overline{B}\) — это набор всех значений, не входящих в \(B\). Таким образом, пересечение с \(\overline{B}\) приводит к тому, что остаются только значения, не входящие в \(B\). То есть \(A\cap\overline{B}\) — это \(A\) со всеми удаленными значениями из \(B\). Таким образом, мы видим, что эти множества содержат одни и те же элементы.∎

    Более формальное доказательство: По определению операций над множествами \[\начать{выравнивать*} А-Б &= \{х\середина х\в А \клин х\не в В\} \\ &= \{x\mid x\in A \wedge x\in \overline{B}\} \\ &= \{x\mid x\in (A \cap \overline{B})\} \\ &= A\cap\overline{B}\,.\quad{}∎ \конец{выравнивание*}\]

  • Я думаю, что любое из этих доказательств является действительным.
    • «Менее формальная» версия должна быть написана достаточно тщательно, чтобы убедить читателя (или ТА в вашем случае).
    • В «более формальной» версии больше шагов и отсутствует интуитивная причина (она может помочь вам вспомнить почему).
  • Мы можем использовать тождества множеств для доказательства других фактов о множествах. Например:

    Теорема: \(A-(B\чашка C)= (A-B)\cap(A-C)\).

    Доказательство: Для множеств \(A,B,C\) из приведенной выше теоремы имеем \[\начать{выравнивать*} А-(В\чашка С) &= A\cap \overline{B\cup C} \\ &= A\cap \overline{B}\cap \overline{C} \\ &= A\cap \overline{B}\cap A\cap \overline{C} \\ &= (A-B)\cap (A-C)\,.\quad{}∎ \конец{выравнивание*}\]

  • Эти тождества должны убедить вас в том, что порядок объединения и пересечения не имеет значения (точно так же, как сложение, умножение, конъюнкция и дизъюнкция: все они являются коммутативными операциями).
    • Таким образом, мы можем написать их кучу без скобок, как сложение/умножение/соединение/дизъюнкция: \[A\чашка B\чашка C \чашка D\,,\\A\крышка B\крышка C \крышка D\,.\]
  • Если нам нужно выполнить объединение/пересечение большого количества вещей, иногда используется такое обозначение, как суммирование.
    • Например, предположим, что в этом семестре ZJU предлагает \(n\) курсов. Пусть наборы \(S_1,S_2,\ldots ,S_n\) будут студентами каждого курса.2\,.\]

  Вернуться на первую страницу заметок курса. Авторское право © 2013, Грег Бейкер.

  Множества и теория множеств

  Уроки множеств	Описание
  Введение	Учащиеся узнают, что множество — это совокупность объектов (элементов), имеющих что-то общее. Мы определяем множество, перечисляя или описывая его элементы.
  Обозначение основного набора	Базовая нотация используется для указания того, принадлежит ли элемент набору.Установлены связи с языковыми искусствами, наукой и общественными исследованиями.
  Типы наборов	Учащиеся узнают о конечных и бесконечных множествах, а также о пустом или нулевом множестве. Используется реестровая нотация. Устанавливаются связи с искусством, наукой и языковыми искусствами.
  Установить равенство	Учащиеся узнают, как определить, равны ли два множества. Порядок, в котором элементы появляются в наборе, не важен. Связи в реальном мире создаются с помощью наборов.
  Диаграммы Венна	Диаграммы Венна используются для графического представления множеств, а также для демонстрации взаимосвязей и логических взаимосвязей между множествами. Вводятся пересечение и объединение перекрывающихся множеств.
  Подмножества	Диаграммы Венна используются для отображения подмножеств, при этом одно множество содержится внутри другого. Различают подмножества и собственные подмножества. Представлена ​​связь между равными множествами и подмножествами, а также то, как определить количество подмножеств, которое может иметь данный набор.
  Универсальный набор	Универсальный набор представлен как набор всех рассматриваемых элементов. Полные диаграммы Венна используются для представления непересекающихся, перекрывающихся множеств или множеств, содержащихся внутри другого. Устанавливаются связи в реальном мире.
  Нотация Set-Builder	Нотация построителя наборов введена как сокращение для написания наборов, включая формулы, обозначения и ограничения. Определены общие типы чисел, включая натуральные числа, целые числа, действительные и мнимые числа.Учащимся показывают, зачем им нужна нотация конструктора множеств.
  Дополнение	Дополнение множества определено и показано на многочисленных примерах. Представлены альтернативные обозначения дополнения. Включены нотация конструктора наборов и диаграммы Венна. Устанавливаются связи с реальным миром.
  Перекресток	Пересечение двух множеств определено и показано на примерах с диаграммами Венна. Примеры включают перекрывающиеся наборы, непересекающиеся наборы и подмножества.Приведены процедуры рисования пересечений. Устанавливаются связи в реальном мире.
  Союз	Объединение двух множеств определено и показано на примерах с диаграммами Венна. Примеры включают перекрывающиеся наборы и подмножества. Пересечение и объединение множеств сравниваются и противопоставляются. Устанавливаются связи с реальным миром.
  Практические упражнения	Учащиеся выполняют 10 дополнительных упражнений в качестве практики и оценивают свое понимание всех понятий, изученных в этом разделе.
  Упражнения с вызовом	Учащиеся решают 10 задач, которые проверяют их понимание множеств и теории множеств. Они также оттачивают свои навыки решения проблем.
  Решения	Полные решения предоставляются для всех упражнений, представленных в этом разделе. Для каждого упражнения приводятся проблема, пошаговые решения и окончательный ответ.
  Цели обучения	Определения и обозначения теории множеств, типы множеств, равенство, диаграммы Венна, подмножества, универсальное множество, нотация построителя множеств, дополнение, пересечение и объединение..

  Символы диаграммы Венна и обозначения

  Время чтения: около 6 мин. Полная диаграмма Венна представляет объединение двух множеств.

  ∩: Пересечение двух множеств. Пересечение показывает, какие элементы являются общими для категорий.

  A ^c : Дополнение к набору. Дополнением является то, что не представлено в наборе.

  Пришло время серьезно поговорить о диаграммах Венна, и мы не говорим о диаграммах Венна из ваших школьных дней. Мы говорим о хардкорных визуальных эффектах, созданных серьезными профессионалами для представления сложных математических идей.

  Диаграммы Венна — это визуальное представление математических множеств или коллекций объектов, которые изучаются с помощью раздела логики, называемого теорией множеств. Теория множеств — одна из основополагающих систем математики, и она помогла развить наше современное понимание бесконечности и действительных чисел.

  Исследователи и математики разработали язык и систему обозначений на основе теории множеств. Если вы хотите узнать их секреты, вам следует ознакомиться с этими символами диаграммы Венна.

  Это руководство проведет вас через процесс создания диаграммы Венна, объясняя используемые символы. Мы будем использовать Lucidchart для создания наших примеров, потому что он прост в использовании и совершенно бесплатен. Если вы хотите следовать инструкциям или создать собственную диаграмму Венна, все, что вам нужно сделать, это нажать ниже и создать бесплатную учетную запись.Теперь приступим!

  Диаграммы Венна и теория множеств

  В теории множеств используется более 30 символов, но для понимания основ необходимо знать только три. Как только вы освоите их, не стесняйтесь переходить к более сложным вещам.

  Объединение двух наборов: ∪

  Каждый круг или эллипс представляет категорию. Объединение двух множеств представлено ∪. (Не путайте этот символ с буквой «u».)

  Это диаграмма Венна с двумя кругами. Зеленый кружок — это А, а синий кружок — это Б.Полная диаграмма Венна представляет собой объединение A и B, или A ∪ B. Не стесняйтесь щелкать изображение, чтобы попробовать эту диаграмму в качестве шаблона.

  Диаграмма Венна союза двух множеств (Нажмите на изображение, чтобы изменить его онлайн)

  Как будет выглядеть объединение двух множеств в реальном мире? Набор А может представлять группу людей, играющих на фортепиано. Набор B может представлять гитаристов. A ∪ B представляет тех, кто играет на фортепиано, гитаре или и на том, и на другом.

  Пересечение двух множеств: ∩

  При построении диаграммы Венна нас часто интересует пересечение двух множеств, то есть какие элементы являются общими для категорий.На этой диаграмме бирюзовая область (где синий и зеленый перекрываются) представляет собой пересечение A и B, или A ∩ B.

  Пересечение двух множеств Диаграмма Венна (щелкните изображение, чтобы изменить его онлайн)

  среди пианистов и гитаристов есть те, кто владеет обоими инструментами.

  Дополнение к набору: A

  ^c

  При построении диаграммы Венна вы также можете учитывать то, что не представлено в наборе. Это дополнение набора, или A ^c , для набора A.

  Абсолютным дополнением набора является все, что не входит в набор. Это означает, что для данной вселенной (U, на этот раз буква), все, что есть во вселенной, за исключением A, является абсолютным дополнением A в U. Это может быть представлено уравнением A ^c = U \ A

  Ниже приведена диаграмма Lucidchart для абсолютного дополнения A к U. Серая часть показывает все за пределами A. В случае с музыкальными инструментами это будут все, кто не играет на фортепиано.

  Дополнение к диаграмме Венна множества (Щелкните изображение, чтобы изменить его онлайн)

  Диаграмма Венна быстрого питания, иллюстрирующая теорию множеств

  Чтобы помочь вам закрепить практическое применение теории множеств, давайте рассмотрим пример. Начнем с опроса о предпочтениях трех человек в отношении фаст-фуда. Эти три человека, которых мы назначим A, B и C, указывают, какие рестораны им нравятся. Диаграмма с тремя кругами охватывает все возможности: ресторан не выберет ни один респондент, один, два или все три.

  Здесь были результаты:

  Мы начали с этого шаблона ниже. Он использует объясняемый нами символ ∩, чтобы показать пересечение между двумя и тремя множествами. Есть восемь регионов, которые могли бы занять наши рестораны.
  Диаграмма Венна для результатов опроса ресторанов (Нажмите на изображение, чтобы изменить его онлайн)

  Теперь мы заполним нашу диаграмму Венна в соответствии с результатами. В A ∩ B у нас есть Wendy’s, потому что ее выбрали и респондент A, и респондент B. Burger King никто не выбирал, но он существует во вселенной доступных ресторанов быстрого питания, поэтому он находится в белом пространстве за пределами диаграммы.Пересечение всех трех, A ∩ B ∩ C, имеет Chick-fil-A, поскольку его выбрали все три респондента.

  Вот как выглядит окончательная диаграмма:

  Диаграмма Венна о ресторанных предпочтениях (щелкните изображение, чтобы изменить его онлайн)

  Теперь у нас есть наглядное пособие, если мы выбираем, куда эти три человека должны пойти на обед!

  Теперь, когда вы увидели диаграмму Венна в действии, вот пример, который вы можете легко изменить, чтобы создать свой собственный!

   Пример диаграммы Венна (Нажмите на изображение, чтобы изменить его онлайн)

  Теперь, когда вы знаете символы диаграммы Венна, прочитайте, как их сделать!

  Узнайте, как

  Дополнительная литература по символам диаграмм Венна

  Если вы хотите узнать больше о теории множеств и создать высококачественные диаграммы Венна, есть несколько доступных ресурсов. Например, в Стэнфордской энциклопедии есть введение в теорию основных множеств.

  Чтобы узнать больше об истории диаграмм Венна, прочитайте нашу страницу с ответом «Что такое диаграмма Венна?» Хотя Джон Венн популяризировал представление теории множеств с помощью перекрывающихся кругов, идеи и символы на диаграммах Венна фактически предшествовали ему.

  Короткое слово

  Если вы следили за Lucidchart, вы поняли, что это идеально решение для диаграмм Венна. Поскольку вы редактируете в облаке, вы можете легко сотрудничать с коллегами, импортировать изображения и делиться своими диаграммами в цифровом или печатном виде.

  Математики изучают бережливое производство.

  Вот загадка: почему школьник считает рекурсию тривиальной задачей («последовательность Фибоначчи определяется так: 1,1,2,3,5,8,…, где каждое число в последовательности есть сумма двух предшествующих это» — это определение, скорее всего, будет принято школьником), но они могут столкнуться с принципом математической индукции (процедурой построения последовательности доказательств, каждое из которых является следствием предыдущего)? В университете меня учили, что индукция и рекурсия — разные вещи, но в бережливом производстве есть общая абстракция, которая делает их экземплярами одного и того же. В этом посте я расскажу об индукции и рекурсии, а также о том, как нечто, называемое исчислением индуктивных построений (то, как работает команда Lean inductive ), предоставляет довольно неожиданные доказательства основных математических фактов.

  Определение типа.

  Вполне разумно думать о том, что Лин называет типом, как о том, что математик обычно называет набором. Например, математик может сказать: «Пусть S будет набором из трех элементов; элементы назовем , b и c ».Вот как сделать этот набор или тип в бережливом производстве:

  .

    индуктивный S : Тип
  | в виде
  | б : С
  | в : С  

  На самом деле полные имена элементов S , или термины типа S , как мы их называем в теории типов, это Sa , Sb и Sc , и мы могли бы захотеть открыть S , поэтому мы можем просто называть их a , b и c . Студенты, возможно, захотят дать такое определение, когда будут отвечать на следующий вопрос в бережливом производстве: «Пусть и будет функциями.Верно или ложно: если композиция инъективна, то инъективна». Это неверно, и чтобы доказать это, можно либо использовать наборы, которые лежат у нас, математиков, (такие как натуральные числа, целые числа или действительные числа), либо можно просто построить несколько явных наборов небольшого размера, таких как S выше, и некоторые явные функции между этими наборами.

  Определение функций между типами.

  Вот что мы собираемся сделать. Создадим тип X с одним термином p , тип Y с двумя термовами q и r и тип Z с одним термином s .Это легко, учитывая то, что мы уже видели:

  .

    индуктивный X : Тип
  | р : Х
  
  индуктивный Y : Тип
  | к : Д
  | р : Д
  
  индуктивный Z : Тип
  | с : Z  

  [Кстати, если вы хотите подыграть, но на вашем компьютере не установлен Lean, вы можете сделать все это в веб-браузере, нажав здесь (хотя вместо этого вы можете нажать здесь, чтобы узнать, как установить Lean и инструменты сообщества, которые дают вам гораздо более приятный опыт). ]

  Наш контрпример будет следующим: мы определяем f : X → Y как f(p)=q и g : Y → Z как g(q)=g(r)=s .Давай сделаем это.

    открытый X Y Z
  
  защита f : X → Y
  | р := д
  
  защита g : Y → Z
  | д := с
  | г := с  

  Как математик я нахожу применение | Символ довольно пугающий (особенно то, что мы теперь используем его по-другому), но, учитывая, что я рассказал вам, что мы делаем, и теперь я рассказываю вам, как мы это делаем, вы, вероятно, догадываетесь, что это такое. все средства. Теперь можно пойти дальше и объявить результат:

  .

    открытая функция
  
  пример: ¬ (∀ (X Y Z : Тип) (f : X → Y) (g : Y → Z),
    инъективный (g ∘ f) → инъективный g) :=
  начинать
    Извините
  конец  

  , а теперь, если вы хотите доказать математическую теорему, играя в головоломку, вы можете нажать здесь, чтобы получить весь код сразу и попробовать.Однако вместо доказательства я хочу рассказать о довольно удивительном (по крайней мере для меня) факте, что Lean определяет f и g с помощью рекурсии.

  Что происходит, когда мы определяем индуктивный тип?

  Что происходит под капотом, когда Lean видит этот код

    индуктивный X : Тип
  | р : Х  

  довольно удивительно (по крайней мере, для меня как математика). Выше я утверждал, что мы должны думать об этом коде как о фразе «Пусть будет множество с одним элементом».Но вот что происходит на самом деле, когда Lean видит этот код. Неудивительно, что Lean определяет новый тип X и новый термин p (или, точнее, X.p ) типа X . Он также определяет еще одну новую вещь, которая выражает, что p является единственным элементом X . Но способ, которым он это делает, удивителен: он определяет так называемый рекурсор для X , который представляет собой следующий оператор:

    X.rec : ∀ {C : X → Сортировать u}, C p → (∀ (x : X), C x)  

  Что это значит? Ну, сначала я думаю, мне лучше объяснить, что это за штука Sort u . Ранее я уже писал, как множества и их элементы, а также теоремы и их доказательства объединяются в теории типов Лина как типы и их термины. История множеств/элементов продолжается во вселенной Type , а история теорем/доказательств продолжается во вселенной Prop . Когда Lean говорит Sort u , это означает «любая из этих вселенных». Таким образом, мы можем переписать X.rec как два оператора :

    X.recursor : ∀ {C : X → Type}, C p → (∀ (x : X), C x)
  ИКС.индуктор : ∀ {C : X → Prop}, C p → (∀ (x : X), C x)  

  Первое утверждение — это принцип рекурсии для X . На теоретико-множественном языке это говорит так. «Допустим, что для каждого элемента у нас есть набор , и допустим, у нас есть элемент . Тогда у нас есть метод построения элемента для всех ». Это выглядит как довольно многословный способ сказать, что это единственный элемент . На самом деле стоит взглянуть на частный случай X. recursor , где C — это постоянная функция, отправляющая каждый элемент X в набор S :

  .

    Х.recursor_constant : ∀ S, S → (X → S)  

  Это говорит о том, что если S является любым набором, и у нас есть элемент a из S , то мы можем получить функцию от X до S . Что здесь не сказано, но верно по определению, так это то, что функция отправляет p в S , что можно проверить следующим образом:

    -- дать X.rec постоянную функцию C, отправляющую все в S
  def X.recursor_constant : ∀ S, S → (X → S) := λ S, @X.rec (λ x, S)
  
  пример (S : Тип) (a : S) : (X.recursor_constant S a) p = a :=
  начинать
    -- верно по определению
    отражение
  конец  

  Вы помните наше определение f выше?

    по умолчанию f : X → Y
  | р := д  

  Эта функция f определяется с помощью X. recursor_constant , где S будет Y , а элемент S будет равен q . Обозначение, которое использует Lean, короткое, но внутри так устроены f .

  Вот вам и рекурсия. Второе утверждение, исходящее из X.rec , — это X.inductor , принцип индукции для X . Наверное, я должен сказать, что придумал слово «индуктор», но индуктор относится к индукции так же, как рекурсор к рекурсии. На более математическом языке это говорит индуктор. «Допустим, что для каждого элемента х из х у нас есть утверждение «истина-ложь», и допустим, что это правда. Тогда верно для каждого элемента x из X .Итак, опять же, это просто довольно многословный способ сказать, что p — единственный элемент X .

  Почему ученые-компьютерщики выделили эти довольно сложные утверждения как основной способ сказать, что p является единственным элементом X ? Это на самом деле из-за фундаментальной симметрии. Мы определили новый тип X на функциональном языке программирования, и теперь нам нужно объяснить, как определить функции в X и как определить функции из . Х .Чтобы определить функции в X , нам нужно иметь доступ к термам типа X , или на жаргоне информатики к конструкторам из X . Это именно то, чем является X.p — способ построения терма типа X . Для определения функций из X нам нужен доступ к элиминаторам для X , то есть какой-то гаджет, выходом которого является функция из X куда-то еще. Поскольку X имеет только один термин, а именно p , нам нужен способ сказать: «Чтобы дать функцию из X , нам нужно только сказать, что происходит с x », и это именно то, что рекурсор делает.Между ними конструктор и рекурсор формально говорят, что элементы X являются «не менее p и не более p , то есть в точности p ».

  Рекурсоры для общих индуктивных типов.

  Lean автоматически создает конструкторы и рекурсоры для каждого типа, определенного с помощью команды inductive . Есть общее правило, как это сделать, но неформально оно довольно ясное. Мы определяем индуктивные типы, используя этот | , и вы получаете конструктор для каждой строки с | в.Элиминатор или рекурсор просто говорит, что для определения функции из нового типа, который вы определяете, все, что вам нужно сделать, это убедиться, что вы определили ее в каждом конструкторе.

  Остальная часть этого поста — забавная часть. Я пройдусь по множеству индуктивных типов, определенных в Lean, мы можем посмотреть определение, вычислить рекурсор, прикрепленный к каждому из типов, а затем посмотреть, чему это соответствует математически. Мы увидим, как некоторые знакомые вещи появляются неожиданным образом.

  Пример: набор из двух элементов.

  Вспомните наш индуктивный тип Y :

    индуктивный Y : Тип
  | к : Д
  | р : Y  

  Рекурсор для Y говорит нам, что если S является набором, то для получения карты от Y до S мы должны дать два элемента S , один из которых соответствует тому, куда идет q и один соответствующий тому, куда идет r .

    def Y.recursor_constant : ∀ S, S → S → (Y → S) := λ S, @Y.rec (λy, S)  

  Полный рекурсор можно даже использовать (с непостоянным C ) для определения функции из Y , которая отправляет q в один тип и r в другой тип, но при определении функции g выше, нам не нужен этот уровень общности. Если вы хотите увидеть, как выглядит рекурсор Y , просто введите #check @Y.rec в сеансе Lean после определения Y и помните, что Π — это просто информатика для ∀ (в Lean 4 они будут использовать ∀ вместо Π фактически).

  Пример: натуральные числа.

  Математики, которые видели развитие математики в теории множеств ZFC, знают, что комплексное число определяется как пара действительных чисел, действительное число определяется как класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел, рациональное число определяется быть мультипликативной локализацией целых чисел в ненулевых целых числах, целое число определяется как аддитивная локализация натуральных чисел в натуральных числах, а натуральные числа определяются аксиомой бесконечности ZFC. В теории типов Лина комплексное число определяется как пара действительных чисел, вещественное число определяется как класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел и т. д. и т. д. и т. д., и все это одинаково до самого конца, потому что в бережливом производстве натуральные элементы определяются аксиомами Пеано:

    индуктивный натур : Тип
  | ноль: физ.
  | succ (сущ.: физ.) : физ.  

  Это означает, что у нас есть два способа сделать натуральные числа. Во-первых, ноль — натуральное число.Во-вторых, если n — натуральное число, то n (обычно называемое математиками n+1 ) — натуральное число. Теперь нам нужен способ выразить мысль о том, что это единственный способ сделать натуральные числа, а это рекурсор, который автоматически генерируется Lean и говорит точную версию следующей неформальной мысли: «Если вы хотите сделать что-то для всех натуралов, то вы должны сказать мне, как это сделать для обоих конструкторов». Другими словами, «…вы должны сказать мне, как это сделать для нуля, а затем вы должны сказать мне, как это сделать для n+1 , если предположить, что мы уже сделали это для n ».Звучит знакомо?

  Рекурсор вообще включает карту Sort u . Давайте просто специализируемся на двух интересующих нас вселенных и взглянем на постоянный рекурсор и индуктор (и давайте воспользуемся обозначением Лина ℕ вместо nat ):

    nat.recursor_constant : ∀ (S : тип), S → (∀ (n : ℕ), S → S) → (ℕ → S)
  nat.inductor : ∀ (C : ℕ → Prop), C 0 → (∀ (n : ℕ), C n → C (succ n)) → ∀ (n : ℕ), C n  

  [Доказательство физ.recursor_constant равно λ S, @nat.rec (λ n, S) , а доказательство nat.inductor равно @nat.rec . ]

  Постоянный рекурсор говорит следующее: если S является множеством, и мы хотим сделать функцию f : ℕ → S , вот способ сделать это. Во-первых, нам нужен элемент S (а именно f(0) ), а во-вторых, для каждого натурального числа нам нужна карта от S до S (рассказывая нам, как сделать f(n+1) при условии, что мы знаем f(n) ).

  Об этом говорит индуктор. Допустим, у нас есть семейство C(n) истинно-ложных утверждений, и что C(0) истинно, и что для всех n у нас есть доказательство того, что C(n) влечет C(n) . п+1) . Тогда мы можем сделать вывод, что C(n) верно для всех n .

  Что мне кажется очень милым в этом примере, так это то, что определение натуральных чисел, данное Пеано, сразу же ясно показывает, почему работает принцип математической индукции.В игре с натуральными числами мы используем фоновый рекурсор для определения сложения и умножения натуральных чисел. Мы также используем его для доказательства того, что я называю «аксиомами» в игре натуральных чисел — например, доказательство того, что 0 не равно n для любого натурального числа n , использует рекурсор для определения функции из ℕ к отправке 0 в 0 и succ n в 1, и с помощью этой функции легко доказать «аксиому» zero_ne_succ от противного. Если вам нужно упражнение, попробуйте использовать nat.recursor_constant , чтобы доказать инъективность функции succ , что-то еще, что я также утверждал, было аксиомой в игре с натуральными числами (как это сделал Пеано), но что на самом деле было доказано с помощью рекурсора.

  Пример: ложь

  ложь — это утверждение верно-ложно, и вы, вероятно, можете догадаться, какое именно. В Lean false определяется как индуктивный тип! Вот полное определение:

    индуктивная ложь : Prop  

  На этот раз нет | с вообще! Каждый конструктор ложного был бы доказательством ложного утверждения, так что это дизайнерское решение неудивительно.Рекурсор

    false.rec : Π (C : Сортировать u), false → C  

  Другими словами, чтобы получить карту от false до C , вы должны определить ее на всех конструкторах, которых нет. Тогда давайте посмотрим на индуктор, изменив Sort u на Prop :

  .

    false.inductor : ∀ (P : Prop), false → P  

  Он говорит, что если P является любым утверждением верно-ложно, то false подразумевает P .Эта логическая тавтология была автоматически сгенерирована Lean, потому что модель импликации Lean представляет собой функцию от доказательств Q к доказательствам P , а false не имеет термов, т. е. доказательств.

  Аналогичная история с индуктивным пустым типом : Тип , определение Lean для пустого типа. Рекурсор для пустой говорит, что для выдачи карты из пустого типа в любой тип S , кроме как скормить S ничего делать не надо.

  Пример: или

  Логические или в предложениях определяются как индуктивный тип в Lean!

    индуктивный или (P Q : Prop) : Prop
  | inl (hp : P) : или
  | inr (hq : Q) : или  

  Есть два конструктора для P ∨ Q , где теперь я использую обычные обозначения логиков для или . Другими словами, есть два способа доказать P ∨ Q . Сначала вы можете доказать P , а затем вы можете доказать Q .Индуктивность, сгенерированная Лином для этого, равна

  .

    или индуктор : ∀ (P Q R : Prop), (P → R) → (Q → R) → (P ∨ Q → R)  

  Другими словами, если вы можете доказать и можете доказать , то вы можете вывести . Опять же, никто из математиков не удивлен, что это утверждение верно, но, возможно, некоторые удивлены тем фактом, что ученый-компьютерщик может утверждать, что это верно путем индукции по или .

  Пример: равенство.

  Символ = в Lean определяется как индуктивный тип! Но я думаю, что приберегу тему индукции равенства до следующего поста, где мы по индукции докажем, что равенство является отношением эквивалентности.

  Несколько заключительных замечаний.

  Я был очень удивлен, когда понял, что каждый индуктивный тип имеет принцип индукции. На самом деле можно даже определить реалы как индуктивный тип, что означает, что будет индуктор для реалов, что означает, что вы можете проводить индукцию по реалам! Но когда я понял, что говорит принцип индукции, я был разочарован — он гласит: «Если вы можете доказать это для каждого действительного числа, которое является классом эквивалентности последовательностей рациональных чисел Коши, вы можете доказать это для каждого действительного числа».Помните, что идея рекурсора состоит в том, что это способ сказать, что «каждый термин вашего типа может быть создан с помощью конструкторов», поэтому, если ваш единственный конструктор для вещественного числа — это класс эквивалентности последовательностей рациональных чисел Коши, то это то, что ты получаешь. Однако эти другие примеры, и в частности эти примеры, исходящие из логики, довольно странные. Пример, о котором я не говорил: и — это индуктивный тип, и его индуктор равен ∀ (PQR : Prop), (P → (Q → R)) → (P ∧ Q → R) , что является некоторым пропозициональная версия некаррирования (действительно, постоянный рекурсор для prod , произведения двух типов, некаррируется на носу). Основные факты логики высказываний о , , или и конструктивно доказываются в Lean с использованием рекурсоров, а не таблиц истинности, потому что непосредственное построение функций, соответствующих доказательствам, более привлекательно, чем разделение случая.

  Не все в бережливом производстве является индуктивным типом — есть еще два типа типов. Есть частные типы, которые существуют по каким-то соображениям эффективности информатики и которые могут быть построены с использованием индуктивных типов, а затем есть функциональные типы, которые представляют собой другой вид вещей.Я не думаю, что это представляет математический интерес, является ли тип, на который вы смотрите, индуктивным или функциональным, но вот пример функционального типа: логическое , а не . В Lean ¬ P определяется как P → false . С другой стороны, большинство структур, используемых математиками (группы, подгруппы, кольца, поля, перфектоидные пространства и т. д.), определяются как индуктивные типы (часто, однако, с одним конструктором, поэтому их принцип индукции скучен). Индуктивный тип с одним конструктором известен в Lean как структура .Вы можете больше узнать об индуктивных типах и структурах в замечательной книге «Доказательство теорем в бережливом производстве», в разделах с 7 по 9.

  В следующем посте я расскажу об индукции по равенству.

  Моя дочь занята повторением экзамена, так что вот несколько старых цифровых рисунков одного из моих сыновей.

  .
  РубрикаРазное

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт

  Ресторан		B	C
  Макдональдс	X		X
  Венди	X	X
  Burger King
  In-N-Out		X	X
  Taco Bell	X		X
  KFC
  Nick-Fil-A	x	x	x	x	x	x	x