Действие со степенями примеры: Свойства степеней, действия со степенями

5}Смотреть видеоразбор >>

Понятие степени с нулевым показателем. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Сравнение степеней (отрицательные целые числа) Сложность: лёгкое	1
2.	Сравнение степеней (десятичная дробь) Сложность: лёгкое	3
3.	Сравнение степеней (смешанное число и обыкновенная дробь) Сложность: лёгкое	2
4.	Сравнение степеней (обыкновенная дробь и -1) Сложность: лёгкое	3
5.	Действия со степенями (основание — бином) Сложность: среднее	3
6.	Действия со степенями (основание — обыкновенная дробь) Сложность: среднее	5
7.	Действия со степенями, основание — отрицательный одночлен (целые числа и переменные) Сложность: среднее	3
8.	Значение выражения (обыкновенные дроби) Сложность: среднее	6
9.	Значение выражения (целые числа и дроби) Сложность: среднее	7
10.	Числовое значение дроби Сложность: среднее	6

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины

, путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a³ и b² есть a³ + b².
Сумма a³ — bⁿ и h⁵ -d⁴ есть a³ — bⁿ + h⁵ — d⁴.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a² и 3a² равна 5a².

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени

различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a² и a³ есть сумма a² + a³.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a³bⁿ и 3a⁵b⁶ есть a³bⁿ + 3a⁵b⁶.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из	2a4	3h2b6	5(a — h)6
Вычитаем	-6a4	4h2b6	2(a — h)6
Результат	8a4	-h2b6	3(a — h)6

Или:
2a⁴ — (-6a⁴) = 8a⁴
3h²b⁶ — 4h²b⁶ = -h²b⁶
5(a — h)⁶ — 2(a — h)⁶ = 3(a — h)⁶

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a³ на b² равен a³b² или aaabb.

Первый множитель	x-3	3a6y2	a2b3y2
Второй множитель	am	-2x	a3b2y
Результат	amx-3	-6a6xy2	a2b3y2a3b2y

Или:
x^-3 ⋅ a^m = a^mx^-3
3a⁶y² ⋅ (-2x) = -6a⁶xy²
a²b³y² ⋅ a³b²y = a²b³y²a³b²y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a⁵b⁵y³.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a².a³ = aa.aaa = aaaaa = a⁵.

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, aⁿ.a^m = a^m+n.

Для aⁿ, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a^m, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a².a⁶ = a²⁺⁶ = a⁸. И x³.x².x = x³⁺²⁺¹ = x⁶.

Первый множитель	4an	b2y3	(b + h — y)n
Второй множитель	2an	b4y	(b + h — y)
Результат	8a2n	b6y4	(b + h — y)n+1

Или:
4aⁿ ⋅ 2aⁿ = 8a²ⁿ
b²y³ ⋅ b⁴y = b⁶y⁴
(b + h — y)ⁿ ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)ⁿ⁺¹

Умножьте (x³ + x²y + xy² + y³) ⋅ (x — y).
Ответ: x⁴ — y⁴.
Умножьте (x³ + x — 5) ⋅ (2x³ + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a^-2.a^-3 = a^-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y^-n.y^-m = y^-n-m.

3. a^-n.a^m = a^m-n.

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a² — b²: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a² — y².
(a² — y²)⋅(a² + y²) = a⁴ — y⁴.
(a⁴ — y⁴)⋅(a⁴ + y⁴) = a⁸ — y⁸. 5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a²/a³ и a^-3/a^-4 и приведите к общему знаменателю.
a².a^-4 есть a^-2 первый числитель.
a³.a^-3 есть a⁰ = 1, второй числитель.
a³.a^-4 есть a^-1, общий числитель.
После упрощения: a^-2/a^-1 и 1/a^-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a⁴/5a³ и ²/a⁴ и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a³/5a⁷ и 5a⁵/5a⁷ или 2a³/5a² и 5/5a².

5. Умножьте (a³ + b)/b⁴ на (a — b)/3.

6. Умножьте (a⁵ + 1)/x² на (b² — 1)/(x + a).

7. Умножьте b⁴/a^-2 на h^-3/x и aⁿ/y^-3.

8. Разделите a⁴/y³ на a³/y². Ответ: a/y.

9. Разделите (h³ — 1)/d⁴ на (dⁿ + 1)/h.

Как решать примеры со степенями и корнями. Квадратный корень

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень . Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней .

Итак, алгоритм:

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
…
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

[Подпись к рисунку]

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

[Подпись к рисунку]

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа .

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

[Подпись к рисунку]

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный:)

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

[Подпись к рисунку]

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 20 2

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

900 30 2

Смотрим на последнюю цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Возводим в квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Вот и ответ: 37.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

2500 50 2

Смотрим на последнюю цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Возводим в квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Ограничиваем число:

3600 60 2

Смотрим на последнюю цифру:

4225 → 5;
65.

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

• На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
• Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

0 0 — любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

В этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676 .

Замечаем, что 20 2 = 400, а 30 2 = 900, значит 20

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дают 4 2 и 6 2 .
Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Ответ: √676 = 26 .

Еще пример: √6889 .

Так как 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дают 3 2 и 7 2 , то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 83 2 = 6889.

Ответ: √6889 = 83 .

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025 .

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736 . Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных . Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841 .

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27).
Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98).
Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня.
Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41).
Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей . Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример . Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается .

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Определение 1

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Пример 1

Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

Действия с корнями: основы

Пример 2

6 50 — 2 8 + 5 12

Алгоритм действия:

1. Упростить подкоренное выражение . Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Совет 1

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Пример 3

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

Пример 4

• Упрощаем (45) . Раскладываем 45 на множители: (45) = (9 × 5) ;
• Выносим 3 из-под корня (9 = 3) : 45 = 3 5 ;
• Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

Пример 5

6 40 — 3 10 + 5:

• Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Выносим 2 из-под корня (4 = 2) : 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
• Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 — 3 10 + 5 ;
• Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: (12 — 3) 10 = 9 10 + 5 .

Пример 6

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т. д.) и записываем результат:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Советы:

• Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
• Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
• Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т. п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .

Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Пример.

Извлеките квадратный корень из 144 .

Решение.

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

Ответ:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Пример.

Вычислите значение корня .

Решение.

Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Является ли значение корня целым числом?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

Ответ:

Нет.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Пример.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

Решение.

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

Ответ:

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Пример.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

Решение.

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

Ответ:

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение корня .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =05 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =02 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Список литературы.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А. Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Facebook

Twitter

Вконтакте

Одноклассники

Google+

3 в разных степенях. Возведение в иррациональную степень. Максимальное число со знаком

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем. В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

• Определение степени с натуральным показателем.
• Умножение и деление степеней.
• Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
2. Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
3. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
4. Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
5. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
6. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
7. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab) n = a n b n .
8. Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество (а m) n = а m n .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а . Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .

Степень с основанием а и показателем n записывается так: а n . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а 4 = а а а а

. . . . . . . . . . . .

Нахождение значения степени называют возведением в степень .

1. Примеры возведения в степень:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Найти значения выражений:

а) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1

а) 0,3 0,3 0,3

в) b b b b b b b

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-2) 3

г) -4 3 + (-3) 2

д) 100 — 5 2 4

Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

a m a n = a m + n .

Доказательство:

Правило : При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

а) х 5 х 4 = х 5 + 4 = х 9

б) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

в) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

а) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х 3 х 4 е) х 2 х 3 х 4

б) а 6 а 2 ж) 3 3 9

в) у 4 у з) 7 4 49

г) а а 8 и) 16 2 7

д) 2 3 2 4 к) 0,3 3 0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 2 2 3 в) 8 2 5

б) 3 4 3 2 г) 27 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

a m: a n = a m — n

Доказательство:

a m — n a n = a (m — n) + n = a m — n + n = a m

по определению частного:

a m: a n = a m — n .

Правило : При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице :

т.к. а n: a n = 1 при а0 .

а) х 4:х 2 = х 4 — 2 = х 2

б) у 8:у 3 = у 8 — 3 = у 5

в) а 7:а = а 7:а 1 = а 7 — 1 = а 6

г) с 5:с 0 = с 5:1 = с 5

а) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений:

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

(ab) n = a n b n

Доказательство:

По определению степени

(ab) n =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

Например:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Правило : При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 х у) 3 =2 3 х 3 у 3 = 8 х 3 у 3

в) (3 а) 4 = 3 4 а 4 = 81 а 4

г) (-5 у) 3 = (-5) 3 у 3 = -125 у 3

д) (-0,2 х у) 2 = (-0,2) 2 х 2 у 2 = 0,04 х 2 у 2

е) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Найти значение выражения:

а) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

г) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

б) (2 а с) 4

д) (-0,1 х у) 3

2. Найти значение выражения:

б) (5 7 20) 2

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

(а m) n = а m n

Доказательство:

По определению степени

(а m) n =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают .

1. Возвести в степень:

(а 3) 2 = а 6 (х 5) 4 = х 20

(у 5) 2 = у 10 (b 3) 3 = b 9

2. Упростите выражения:

а) а 3 (а 2) 5 = а 3 а 10 = а 13

б) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

в) (х 3) 2 (х 2) 4 = х 6 х 8 = х 14

г) (у у 7) 3 = (у 8) 3 = у 24

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) (а 4) 2 б) (х 4) 5

в) (у 3) 2 г) (b 4) 4

2. Упростите выражения:

а) а 4 (а 3) 2

б) (b 4) 3 b 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

г) (у у 9) 2

3. Найдите значение выражений:

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4 0,4 0,4

в) а а а а а а а а

г) (-у) (-у) (-у) (-у)

д) (bс) (bс) (bс)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 3 + (-2) 4

г) -6 2 + (-3) 2

д) 4 5 2 – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5 0,5 0,5

в) с с с с с с с с с

г) (-х) (-х) (-х) (-х)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 5 + (-3) 2

г) -5 3 + (-4) 2

д) 5 4 2 — 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7 0,7 0,7

в) х х х х х х

г) (-а) (-а) (-а)

д) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Представьте в виде квадрата числа:

3. Представьте в виде куба числа:

4. Найти значения выражений:

в) -1 4 + (-3) 3

г) -3 4 + (-5) 2

д) 100 — 3 2 5

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х 4 x 5 е) х 3 х 4 х 5

б) а 7 а 3 ж) 2 3 4

в) у 5 у з) 4 3 16

г) а а 7 и) 4 2 5

д) 2 2 2 5 к) 0,2 3 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 2 3 3 в) 16 2 3

б) 2 4 2 5 г) 9 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а 3 а 5 е) у 2 у 4 у 6

б) х 4 х 7 ж) 3 5 9

в) b 6 b з) 5 3 25

г) у у 8 и) 49 7 4

д) 2 3 2 6 к) 0,3 4 0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3 3 3 4 в) 27 3 4

б) 2 4 2 6 г) 16 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а 6 а 2 е) х 4 х х 6

б) х 7 х 8 ж) 3 4 27

в) у 6 у з) 4 3 16

г) х х 10 и) 36 6 3

д) 2 4 2 5 к) 0,2 2 0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2 6 2 3 в) 64 2 4

б) 3 5 3 2 г) 81 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

2. Найдите значения выражений.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0 , 5) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Данную запись можно переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите 3 в степень — 2 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 (1 , 43) 2

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло (1 , 43) — 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: (1 , 43) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадрат: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь — 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 21 , 174367 ….

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Когда число умножается само на себя , произведение называется степенью .

Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
2.2.2 = 8, куб или третья степень.
2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
10.10.10 = 1000, третья степень.
10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И a.a = aa, вторая степень a
a.a.a = aaa, третья степень a
a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель . Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а 2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a 3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a 1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами . Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a 4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква . В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a x , показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень . Так, b m и d n возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b m = b 3 ; но если m = 5, тогда b m =b 5 .

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d) 3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель , и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
показатели, если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножать на a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a 2 , второй член. И a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третий член. a 4 .a = a 5 .

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a 5:a = a 4 и a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a 3) = a 3 .

Тот же самый план записи может применяться к многочленам . Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a 1 = a -1 . И 1/aaa или 1/a 3 = a -3 .
1/aa или 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa или 1/a 4 = a -4 .

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a 0 .

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Или a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa) 2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa) 3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a 4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y 6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть x n или xxx….. n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy) 4 , или d 4 h 4 y 4 .

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b) 3 , или 4 3 b 3 , или 64b 3 .

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad) n или 6 n a n d n .

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y) 3 , или 27m 3 .8y 3 .

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b) 1 = a + b, первая степень.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , вторая степень (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , третья степень.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 , четвертая степень.

Квадрат a — b, есть a 2 — 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h есть a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 также, (a — h)(a — h) = a 2 — 2ah + h 2 .

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a 2 + 4ab + b 2 .

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d 2 + 6dh + h 2 .

Пример 4. Квадрат a — 1 есть a 2 — 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b) 2 .
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x) n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей , скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)] 2 или (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть 3 , или a 3 .(b + d) 3 .

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a 2
Третья степень (-a) есть -a 3
Четвёртая степень (-a) есть +a 4
Пятая степень (-a) есть -a 5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a 2
И -a.-a = +a 2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a 2 есть a 2.3 = a 6 .

Для a 2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a 2 .

Четвертая степень a 3 b 2 есть a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третья степень 4a 2 x есть 64a 6 x 3 .

Пятая степень (a + b) 2 есть (a + b) 10 .

N-ая степень a 3 есть a 3n

N-ая степень (x — y) m есть (x — y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a -2 есть a -3.3 =a -6 .

Для a -2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертая степень a 2 b -3 есть a 8 b -12 или a 8 /b 12 .

Квадрат b 3 x -1 , есть b 6 x -2 .

N-ая cтепень ax -m есть x -mn или 1/x .

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a 3 есть +a 6 . Квадрат -a 3 есть -a 3 .-a 3 , которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a 6 .

2. Но куб -a 3 есть -a 9 . Для -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-ая степень -a 3 есть a 3n .

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a 2 /b 2 . Согласно правилу умножению дробей,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a 2 , 1/a 3 и 1/a n .

Примеры двочленов , в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x — 1/2) 2 = x 2 — 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 — x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Квадрат x — b/m есть x 2 — 2bx/m + b 2 /m 2 .

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени .

Так, в дроби ax -2 /y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

В дроби a/by 3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax 3 /b = a/bx -3 . Для x 3 обратным есть x -3 , что есть x 3 = 1/x -3 .

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Так, a/b = 1/ba -1 , or ab -1 .

Босов Андрей Витальевич — Что такое степень числа?

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

 

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени;
• ⁶ — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

 

Запись «aⁿ» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

• a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² — «а во второй степени»;
• a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Запомните!

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a¹ = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a⁰ = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0ⁿ = 0

Единица в любой степени равна 1.
1ⁿ = 1

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

• (−32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

5³= 5 · 5 · 5 = 125
2,5²= 2,5 · 2,5 = 6,25

 

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть числоположительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — числоотрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a² ≥ 0 при любом a.

• 2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)⁴ и −5⁴ это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
   5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
   −5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

 

1. 6² = 6 · 6 = 36
2. −6² = −36
3. (−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1)⁴ = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняютвовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

Глава 2 степени 2 1 степень с натуральным показателем

ГЛАВА 2. СТЕПЕНИ

2.1. Степень с натуральным показателем

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n(n>1) называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен а. , а¹=а.

Свойства степеней с натуральным показателем:

Пример 1. Вычислить: .

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение.

Пример 4. Расположить в порядке возрастания следующие числа:

Решение.

Отсюда:

2.2. Степень с целым показателем

Обобщая понятие степени с натуральным показателем, введем степени с нулевым и целым отрицательным показателями.

Определение: Если a≠0, то a⁰=1. Выражение 0^{0 не имеет смысла.}

Определение: Если a≠0, и n– натуральное, то

Выражение 0^{—n не имеет смысла.}

Свойство 2 степени с натуральным показателем можно теперь, используя понятие степени с нулевым и целым отрицательным показателем, записать в виде: Остальные свойства имеют ту же запись.

Пример 1. Вычислить: ;

Решение.

Пример 2. Найти значение выражения: .

Решение.

Пример 3. Упростить: .

Решение. .

2.3. Арифметический корень n-й степени

Определение: Корнем п-й степени из числа называется число, п-я степень которого равна а.

Если n=2, то имеем квадратный корень. Если n=3 , то корень называется кубическим.

Если а>0 и b–корень чётной n-й степени (n=2k), то и (-b) также является корнем n—й степени из числа а, т.к. (-b)ⁿ=(-b)^2k=(b)^2k=(b)ⁿ=a.

Действие нахождения корня n-й степени из числа называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным к возведению в n-ю степень.

Если a<0 , то корень чётной n-й степени из числа а не существует (на множестве действительных чисел).

Определение: Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число b, n-степень которого равна а.

Например, числа 3 и -3 являются корнями четвёртой степени из числа 81. При этом число 3 – арифметический корень четвёртой степени из числа 81, а число -3 не является арифметическим корнем.

Арифметический корень n-й степени из числа обозначается так:; а называется подкоренным числом, а натуральное число n (n≥2) – показателем корня.

Если n=2, показатель корня не пишется. Например, вместо , пишут .

Теорема. Из любого действительного числа а≥0 можно извлечь арифметический корень n—й степени и притом только один.

Корень чётной степени из отрицательного числа не существует.

Корень нечётной степени из отрицательного числа – число отрицательное..

Этот корень единственный и обозначается так же, как и арифметический.

.

Корень нечётной n-й степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а=|а| следующим равенством:

, где a<0, n-нечётное натуральное число (n≥3).

В дальнейшем запись вида будет означать арифметический корень, когда а≥0, или корень нечётной степени из отрицательного числа, когда а<0.

Свойства арифметического корня:

1. Основное свойство арифметического корня: величина арифметического корня не изменится, если показатель корня умножить на любое натуральное число k и одновременно подкоренное выражение возвести в степень с тем же показателем k : .

2. При умножении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения перемножаются, а показатель корня остаётся прежним: .

3. При делении арифметических корней с одинаковыми показателями подкоренные выражения делятся, а показатель корня остаётся прежним: .

4. При возведении арифметического корня в степень с натуральным показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня остаётся прежним, .

5. При извлечении корня из корня перемножаются показатели корней, а подкоренное выражение остаётся прежним: ..

6. Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:

если a>b>0, то , и обратно: если ( a>0, b>0), то a>b.

Доказать: . Для доказательства применим основное свойство арифметического корня и приведём корни к общему показателю 6 (наименьшему общему кратному показателю данных корней): Так как , то по свойству сравнения арифметических корней получим: .

Замечание: Для корня нечётной степени из отрицательного числа справедлива формула: .

С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2÷ 5 арифметических корней справедливы также и для корней нечётной степени из отрицательного числа.

В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметические, так и корни нечётной степени из отрицательного числа, эти свойства неверны.

Например, для произведения применение свойств 1. и 2. приведёт к неверному результату: .

Правильное решение: .

В случае арифметического квадратного корня было доказано, что для любого действительного числа а. Аналогично:

Например, в преобразованиях:

Пример 1. Внести множитель под знак корня в выражении: .

Решение. Так как , то

Пример 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении: , где а<0.

Решение. , то .

Пример 3. Выполнить действия: .

Решение. ; .

Отсюда: .

2.4. Степень с рациональным показателем

Понятия и свойства степени с любым целым показателем были рассмотрены выше.

Введём теперь в рассмотрение степень с дробным показателем.

Определение. Если a>0 и x– рациональное число, представленное дробью , где m – целое, и n≥2 – натуральное число, то: ; если а0 и x>0, то a^x 0.

Например, при а≥0; или при b>0.

Рациональное число представляется в виде дроби неоднозначно, так как при любом натуральном k.

Покажем, что: . В самом деле: (использовано основное свойство арифметического корня).

Свойства функции с целым показателем распространяются на степень с любым рациональным показателем и положительным основанием, например: a^p∙a^q=a^p+q (a>0).

2.5. Примеры вычисления арифметических выражений со степенями

Пример 1. Вычислить: .

Решение. ; ;

. Отсюда: .

Пример 2. Выполнить действия: .

Решение.

; .

Отсюда: 5³∙2⁴+5=(5∙2)³∙2+5=2000+5=2005.

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5. .

Пример 6. .

Пример 7. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

2.6. Упражнения

Вычислить:

1. 3,2⁰ + 64^1/6 – 0,2³ ·0,2^-2 – 5³ : 5;

2. 27^1/3 – 4,8⁰ – 1,5³ –1,5^-2 + 2² : 2^-3;

3. 5² : 5^-1 + — 4² · 4^-3 – 27^2/3.

Упростить иррациональные выражения:

3.

4. ;

8. ;

5. ;

6. .

Разделение властей в действии — США против Альвареса

Основное содержание

Конституция США устанавливает три отдельные, но равные ветви власти: законодательную власть (принимает законы), исполнительную власть (обеспечивает соблюдение закона) и судебную власть (толкование закона). Создатели структуры построили правительство таким образом, чтобы не допустить, чтобы одна ветвь власти стала слишком могущественной, и создать систему сдержек и противовесов.

В рамках этой системы сдержек и противовесов происходит взаимодействие трех ветвей власти. Каждая ветвь имеет свои собственные полномочия, но также должна зависеть от полномочий других ветвей, чтобы правительство функционировало.

США против Альвареса является прекрасным примером того, как каждое из трех отделений осуществляет свои полномочия.

В двух словах

• Законодательная власть — Конгресс — приняла Закон об украденной доблести 2005 года, наказывая тех, кто искажает информацию о том, что они получили высокие воинские почести.
• Судебная власть — Верховный суд Соединенных Штатов — в 2012 году постановила, что закон является неконституционным, поскольку он нарушает право на свободу слова, защищенное Первой поправкой.
• Исполнительная власть – Пентагон и Президент – предприняли действия в течение месяца после решения Верховного суда о создании финансируемой государством национальной базы данных упоминаний медалей – поэтапно вводившейся с течением времени – для обеспечения возможности проверки воинских наград.
• Законодательная власть – Менее чем через год после вынесения решения по делу Альвареса Конгресс отреагировал принятием закона, направленного на устранение конституционных проблем в законодательстве 2005 года, которое Верховный суд решил в деле США против Альвареса , нарушающем Первую поправку. .

  Новое законодательство продолжает запрещать ложные заявления о воинских почестях в случаях, не подпадающих под действие Первой поправки. Однако Закон об украденной доблести от 2013 года сузил первоначальное законодательство следующим образом:

  • Отменен запрет на ношение таких наград без законного разрешения.
  • Ограничил запрет владельцами, которые действуют «мошеннически» и «с намерением получить деньги, собственность или другую материальную выгоду».
  • Ограничил запрет Почетной медалью Конгресса и некоторыми указанными наградами или медалями.

Разделение властей или разделение властей

В этом упражнении учащиеся определят и сделают выводы о взаимоотношениях между законодательной, исполнительной и судебной ветвями путем критического анализа первоисточников.Используя шкалу, они решат, соответствует ли правительство Соединенных Штатов концепции «разделения властей» или «разделения полномочий». Они сформулируют мнение о каждом документе и соответствующим образом поместят его на шкалу, а также подкрепят свое мнение конкретными доказательствами из первоисточников.

Предлагаемые инструкции для преподавателя

Это задание можно использовать для завершения раздела изучения создания Конституции США. Упражнение можно выполнять в классе, в малых группах, в парах или индивидуально.Для 6-12 классов. Приблизительное время, необходимое 90 минут.

Начните урок с повторения терминов «разделение властей» и «система сдержек и противовесов». Если учащиеся должны знать значения этих терминов, попросите их написать краткое определение термина своими словами, поделиться своим определением с одноклассником, а затем обсудить определения в группе (т. е. написать, составить пару, поделиться).

( Примеры определений Сдержки и противовесы: система перекрывающихся полномочий отдельных ветвей власти, которая позволяет каждой ветви ограничивать, сдерживать или информировать действия других ветвей. Разделение властей: основной принцип американского правительства, согласно которому различные обязанности и полномочия распределяются между тремя независимыми и равными ветвями власти: законодательной, исполнительной и судебной. «разделение полномочий» на практике. Например, способность президента помиловать без надзора является примером разделения властей, в то время как законодательные полномочия Конгресса разделены как с исполнительной (посредством подписания и наложения вето на законы), так и с судебной ветвями власти (путем объявления законов неконституционными).

После обсуждения определений введите задание. Скажите студентам, что они будут изучать документы из истории Соединенных Штатов, чтобы определить, следует ли на практике наше правительство принципу «разделения властей» или «разделения полномочий».

Откройте действие и анализ модели документа с одним из документов. После прочтения документа вслух всей группой проведите опрос учащихся, чтобы выяснить, считают ли они это примером «разделения полномочий» или «разделения полномочий».» Попросите учащихся объяснить свое мнение. Покажите, как работают весы, и, основываясь на мнениях класса, поместите этот пример на весы «Взвешивание доказательств».

Затем попросите учащихся проанализировать оставшиеся документы. Анализируя, учащиеся должны записывать конкретные ветви, связанные с каждым документом, и уровень взаимодействия между этими ветвями в документе.Попросите их затем поместить документ на шкалу в зависимости от их мнения о том, какую интерпретацию он поддерживает.

Специальное примечание: В ходе анализа попросите учащихся отметить общую важность действий, которые они выбирают в качестве примеров «разделения полномочий» и «разделения полномочий». Вместо того, чтобы просто подсчитывать примеры того и другого в действии, им следует учитывать масштаб и охват разделения и/или общего характера. Например, в то время как исключительное право президента на помилование является примером «разделения властей», свидетельствует ли тот факт, что все законы требуют сотрудничества между законодательной и исполнительной ветвями власти, в большей степени «разделение полномочий».»

После завершения задания проведите обсуждение в классе по данному вопросу. Учитель может написать «разделение полномочий» и «совместные полномочия» в противоположных углах класса и попросить учащихся в целом «высказать свое мнение» об этом вопросе.Опросите нескольких студентов, чтобы они объяснили свои рассуждения, цитируя доказательства из конкретных документов, которые они проанализировали.Например, тот факт, что президент должен получить одобрение Конгресса для утверждения (пример «разделения полномочий»), но может снимать людей с должностей без одобрения (пример «разделения властей»). Эта дискуссия может включать приостановку Линкольном процедуры habeas corpus (полномочия Конгресса) и схему Франклина Рузвельта по сбору средств в суд.

Дополнительное задание: В качестве дополнения к этому упражнению попросите учащихся написать аргументацию, направленную на поддержку тезиса о «разделении властей» и «разделении полномочий».

400+ глаголов действия для резюме (плюс 100 глаголов, которые любят видеть рекрутеры)

Вы хотите отточить язык своего резюме, чтобы оно произвело неизгладимое впечатление? Слова-действия для резюме — это мощные глаголы, которые продвигают предложения вперед, четко сообщая о ваших навыках и опыте. Они улучшают читабельность вашего резюме и оживляют язык, поэтому рекрутеры и менеджеры по найму остаются запертыми после 6-7 секунд, которые они обычно тратят на просмотр.

Читайте дальше, чтобы узнать, как лучше всего использовать слова действия в резюме.Кроме того, узнайте, какие глаголы любят видеть рекрутеры и менеджеры по найму.

Как использовать глаголы действия в резюме

Некоторые глаголы действия лучше других. Здесь мы предоставили советы по выбору лучших глаголов для вашего резюме, в том числе о том, как заменить общие начальные предложения новыми привлекающими внимание, заменить слабый пассивный залог точным активным языком и адаптировать слова действий в резюме к вашей отрасли.

Избегайте утомительных, общих слов в резюме.

Скорее всего, ваше резюме уже содержит много глаголов действия.Но выбираете ли вы самые убедительные слова резюме? В то время как некоторые глаголы действия производят сильное впечатление, другие утомляют и утомляют. Эти общие глаголы настолько знакомы рекрутерам, что их глаза могут скользить прямо по ним.

Примеры часто используемых общих глаголов действия включают:

• Участвовал
• Управлял
• Помогал
• Взял (часть)
  

Заметили эти слова в своем резюме? Не беспокойся! Вы можете легко заменить их.

Вместо этого используйте свежий язык

Некоторые слова интереснее других. Глаголы, например, более привлекательны, чем существительные. А свежие глаголы — самые захватывающие из всех. Эти слова срываются со страницы и требуют внимания.

30 Примеры свежего резюме Действия глаголов

129

Ускорено
					Усилились
Наставник
Централизованные	Мобилизованный
Charted	Согласованные
наставлял	опережал
критикуется	обогнали
Культивируемые	пионерами
придуманных	обнародовано
Отправляется	Реконструированный
включен	Spearhadeed
Удоровый	undertook
Прогноз	United

Будьте конкретны (и стряхните пыль с этого тезауруса) 

Причина, по которой мы собрали более 400 слов действий в резюме, заключается в том, что мы знаем, что вам нужен выбор. Точность в выборе слов — лучший способ представить рекрутерам и менеджерам по найму свой уникальный опыт.

Взгляните на эти три примера ниже и обратите внимание на то, как каждая следующая итерация становится более подробной, конкретной и убедительной.

Хорошо: Руководил командой дизайнеров, инженеров и писателей при создании новой серии блогов, в результате чего сайт посетило более 1 миллиона уникальных пользователей.

Лучше: Возглавил новую инициативу блога, которая объединила инженеров, дизайнеров и писателей и познакомила с сайтом более 1 миллиона уникальных пользователей.

Еще лучше: Разработана концепция и возглавлен новый блог, который объединил инженеров, дизайнеров и писателей, сгенерировав более 3 миллионов обычных сеансов и познакомив с веб-сайтом более 1 миллиона уникальных пользователей.

Если у вас возникли проблемы с поиском идеального слова, вы можете использовать онлайн-инструменты, такие как thesaurus. com или Merriam-Webster Thesaurus, чтобы найти глаголы, которые точно передают ваш опыт.

Не пишите в резюме пассивный залог

Мы часто используем пассивный залог бессознательно, и его бывает трудно обнаружить.Один простой способ определить разницу — посмотреть, состоят ли ваши глаголы резюме из двух слов вместо одного.

Например, глагол «выращивали» состоит из двух слов, что означает, что он стоит в пассивном залоге. Если бы оно было в действительном залоге, в нем было бы только одно слово: «вырос».

Другой пример: «были разработаны». Активный залог для этого глагола будет просто «развитым». Изменив формулировку, вы повысите читабельность своего резюме и повысите его привлекательность для читателя.

100 глаголов силы, которые рекрутеры любят видеть

Мы спросили рекрутеров и менеджеров по найму, какие глаголы действия больше всего влияют на них при чтении резюме. Мы свели их советы к 6 советам экспертов и 100 глаголам силы. Вот что они нам рассказали.

Отраслевые глаголы

Совет эксперта: Используйте отраслевые глаголы, чтобы показать, что вы способны и имеете действительно соответствующий опыт.

«При найме штатного юриста я хочу видеть «вычитанные» или «отредактированные» судебные дела.Чем менее поверхностным является глагол действия, тем увереннее я становлюсь в том, что этот человек настоящий и ему не нужно будет долго учиться на работе».

Дэвид Рейшер, ESQ., Найм-партнер в LeginAdvice.com

Примеры промышленного действия Verbs

Опубликовано	Защищенные
CODED	CORSEDREAD
Программировано	Транскрибировано

Глаголы управления персоналом

Совет эксперта: Избегайте общих глаголов, таких как «водить» или «управлять», и вместо этого выбирайте слова, которые дают представление о вашем стиле управления и достижениях.

«Вам нужно подумать о том, как вы подошли к этому аспекту своей работы и что вы чувствовали по этому поводу, а затем выбрать подходящие слова. Например, глагол действия «адвокат» вызывает ощущение человека, который готов страстно поддерживать свои отчеты посредством своего карьерного роста, и именно такую ​​энергию я хочу видеть».

Cortney Keene, директор по операциям, MyroofingPal

Люди Управление действием глаголов

129

		9
Указано
Conversion	Наставник
	мотивированы
Направленные	10130
Поддерживаются
Обучение

Глаголы созидания

Совет эксперта: Подчеркните свои способности концептуализировать и создавать с помощью глаголов созидания.

«Когда речь идет о проекте, слово «создать» вдохновляет больше, чем просто сказать, что вы разработали идею. «Создано» предполагает более оригинальное мышление и способность выдвигать инновационные и необычные идеи».

SUE Andrews, HR & Business Consultant в KIS Finance

построены Comped сформулирован задуманный Найдено Изложил Произведено Глаголы работы в команде  Совет эксперта: Используйте глаголы действия, которые сообщают о вашей способности к сотрудничеству. «Такие слова, как «сотрудничал», показывают потенциальным работодателям, насколько хорошо вы умеете работать с другими». Dana Case, директор по эксплуатации на Mycorperation.com 9013 9012 9028 смешанные до соавтор замужем совместно сотрудничал партнерства Coproduced 8

рабочие глаголы

Совет на

. умение реализовывать проекты с рабочими глаголами.В то время как управление и лидерство обычно являются желаемыми способностями, менеджеры по найму также хотят знать, что вы готовы запачкать руки.

«Слово «реализовать» означает, что кандидат выполнил работу сам, а не просто поручил другому, более квалифицированному, сделать ее более привлекательным кандидатом в моих глазах».

Стейси Каприо, основатель на ускоренном росте маркетинга

работник Действия

			реализованы
	Управляли
Выполнены	завершен
реализован
Организовано

Глагол глаголов

Совет к эксперту: Использовать глаголы, связанные с успехом, чтобы показать, что вы ставите и достигаете своих целей.

«Ключевые слова, такие как «улучшение» или «достижение», важны для меня, потому что они показывают, что вы всегда пытаетесь стать лучше, независимо от того, какую позицию вы занимаете».

Bobby Bodette, рекрутеры операций на CRH Americas

Глава достижения Действия

128

	Ускорено
Выросли
Дополнительно	Улучшен
Усилились
преобразованы
Поднял
Проектировано	достиг
Enhanced	Save
Расширенные	Стимулированы

Слова действий могут преобразовать ваше резюме. Не забывайте быть конкретными, используйте свежие слова и избегайте пассивного залога, когда описываете свой опыт. Чтобы оптимизировать остальные ключевые слова вашего резюме, попробуйте бесплатную версию Jobscan ниже.

Подробнее 

Глаголы действия, сильные слова и сильные синонимы для использования в резюме

Вы собираетесь выучить наши лучшие слова действий в резюме, но сначала подумайте об этом:

 

Что делает это список из 310 слов действий в резюме так полезен?

 

Проведем эксперимент.

 

Соберите 350 бутылок шампуня. (Я подожду.)

 

Теперь потратьте следующие 3 часа на чтение инструкций.

 

Вам надоело, Намылить, промыть, повторить?

 

Именно так чувствуют себя работодатели, когда читают резюме.

 

Правильные сильные слова в резюме могут выделить вас из толпы, как Чудо-женщину в неоновой юбке А-силуэта.

 

Вот в чем проблема:

 

Большинство списков слов резюме похожи на ящик для мусора.Трудно найти того, кого вы хотите.

 

Этот список слов действия резюме содержит:

 

• 310 слов действия резюме, сгруппированных по синониму ключевого слова.
• Простые в использовании списки ключевых слов резюме, организованные для экономии вашего времени.
• Отдельные списки модных словечек и прилагательных в резюме, чтобы ваша работа выделялась.
• Советы экспертов по использованию лучших глаголов резюме и других хороших слов резюме, как профессионал.

 

Хотите сэкономить время и получить свое резюме через 5 минут? Попробуйте наш конструктор резюме.Он быстрый и простой в использовании. Кроме того, вы получите готовый контент для добавления одним щелчком мыши. Посмотрите более 20 шаблонов резюме и создайте свое резюме здесь .

Создайте свое резюме сейчас

 

Образец резюме, сделанный с помощью нашего конструктора — Посмотрите больше шаблонов и создайте свое резюме здесь .

Один из наших пользователей, Никос, сказал следующее:

 

[Я использовал] хороший шаблон, который нашел на Zety. Мое резюме теперь одна страница длинной, а не три .С теми же вещами.

 

1

Слова действия для резюме, которые можно использовать вместо скучных слов

 

Зачем использовать мощные слова резюме?

 

Ну, представь, что ты голоден.

 

Перед вами 300 американских сырных сэндвичей на белом хлебе.

 

Ho hum.

 

Но потом вы видите панини с беконом из индейки, тонко нарезанным авокадо и домашним картофелем фри.

 

Рядом с ним стоит ледяная кружка ледяного пива.

 

Мощные слова в резюме выделяют ваше резюме.

 

Имейте в виду, что это не статья о том, как надуть резюме. Это не контрольный список волшебных фраз НЛП, которые загипнотизируют рекрутера.

 

Используйте его, чтобы улучшить свое письмо, выделить сильные стороны в своем резюме и помочь работодателю понять, почему вы должны быть выбраны.

 

Но вам не нужен список из 310 глаголов резюме, модных словечек и прилагательных в стиле телефонной книги. Итак, вот 10 отдельных списков.

 

После этого идут списки модных словечек резюме, прилагательных резюме и способов найти лучшие ключевые слова для вашего резюме.

Нажмите, чтобы увидеть каждый список глаголов действий ниже и перейти на правый раздел:

резюме Action Слова списки

Хотите модные слова, прилагательные или возобновить ключевые слова, чтобы получить поиск работы шанс? Щелкните любой из списков слов резюме ниже или просто прокрутите вниз.

 

Модные словечки и прилагательные для резюме

 

 

Совет профессионала: Выбираете глаголы силы для написания резюме? Измените его. Используйте каждый только один раз, если вы можете помочь ему.

 

Используйте сильные слова и глаголы действия в своем профиле LinkedIn. Хотите, чтобы ваша действительно пела? Смотрите наше руководство: Резюме и профиль LinkedIn, который получает работу

2

Правильно?

 

Ответ может вас удивить.

 

Лучшие слова в резюме не описывают вас.

 

Они описывают то, что вы сделали.

 

Что такое слова действия резюме?

 

Слова действия в резюме , также называемые ключевыми словами резюме, — это слова, которые вы должны использовать в своем резюме, чтобы описать свои профессиональные навыки, задачи и достижения на работе в краткой и убедительной форме. Как правило, это глаголы действия, но прилагательные и некоторые модные словечки также считаются хорошими словами для резюме.

с действиями:

• Ответственный за Улучшен …
• Работал с , становится сотрудничать в команде, что …
• Из становится Направление 20 сотрудников на…

 

Вместо того, чтобы описывать свою работу, глаголы действия резюме рисуют яркую картину вашего опыта и профессиональных побед.

 

Почему хорошие глаголы-резюме делают письмо сильнее?

 

Глаголы действия-возобновления делают письмо сильнее по двум причинам.

 

Во-первых, они записывают скучные фразы, которые менеджеры по найму видят сотни раз в день.

 

Во-вторых, они помогут вам найти работу. С помощью слов действия вы не просто возложили на ответственность . Вы сократили затраты на X% или сэкономили времени на X часов в неделю.

 

Какие слова действия использовать в резюме

 

Избегайте, как чумы, слов, которые говорят: «Я потрясающий, отличный, опытный, эксперт, трудолюбивый».

 

Это слова из разряда «гудеть в свой рог».

 

Вместо этого используйте слова в резюме, которые говорят: «Я собираюсь показать вам , какой я крутой».

 

310 слов резюме в этой статье делают именно это.

 

Используйте точные цифры в резюме Power Words

 

К любому слову резюме, приведенному ниже, добавьте цифры.

 

Подсчитайте сэкономленные доллары, увеличение дохода, сокращение времени.

 

Затем используйте хорошие глаголы действия возобновления, чтобы представить эти числа.

 

Пример:

 

Реализована новая система инвентаризации и снижены затраты на 20%.

 

Совет профессионала: Что может быть еще более действенным, чем отличные слова действия для резюме? Отличные рефералы. Обратитесь к сотрудникам компании и послушайте, как они рассказывают о своей работе.

 

Нужны достижения в сочетании со всеми этими замечательными словами действия в резюме? Смотрите наше руководство: Достижения, чтобы поставить на резюме — полное руководство (+30 примеров)

30003

3

резюме Действия Слова для «Team Player»

Работодателей ненавижу видеть «Team Player» на резюме.

 

Тем не менее, они хотят нанять командных игроков.

 

Видите проблему?

 

Вы должны показать , что вы командный игрок, не говоря об этом.

 

Итак, в пунктах резюме укажите достижения. Покажите время, когда вы работали с другими и получили отличные результаты.

 

Вы сократили расходы, увеличили доход или нашли способы повышения эффективности. Укажите конкретные суммы в долларах, часы в неделю и проценты.

 

Начало с глаголами действия возобновления для сотрудничества ниже.

20 20 человек

Energized

Gardized

Harmonized

Garmonized

Jog

Merced

Участвовал

United

PRO TIV: Использование отличных глаголов действия для написания резюме, но используйте их экономно.Достаточно одного глагола активной силы на одно предложение.

 

Хотите, чтобы слова в вашем резюме соответствовали предложению о работе, как пара штанов для йоги? См. наше руководство: Как персонализировать свое резюме, чтобы оно соответствовало описанию работы (примеры)

 

Они не выносят кандидатов, которые просто говорят что они лидеры.

 

Сколькими членами команды вы руководили? Сколько часов вы уделили обучению? Какие проекты вы возглавляли?

 

Вот ваше доказательство. Продемонстрируйте это стильно с помощью приведенных ниже сильных слов резюме для лидерства.

20 Лучший резюме Слова для Руководство:

6. Делегированные
7. Направленные
8. Включено
9. Выполненные
10. . Учрежден
12. возглавлял
13. Hosted
14. вдохновлен
15. наставник
16. MOBILIZE
19. Orchestrated
21. 100015

27. PRO TIV: Глаголы Действия Для использования резюме можно получить находку, если вы используете их неправильно. Убедитесь, что вы полностью понимаете сильные слова, которые используете.

     

    Если добавление слов в резюме может увеличить ваши шансы, какие еще полезные советы не за горами? См. наше руководство: 42 потрясающих совета по составлению резюме, которые можно использовать за 30 минут [Примеры]

     

     

    Пытаетесь выделиться с помощью сильных слов в своем резюме?

     

    Убедитесь, что они правильные.

     

    Избегайте модных словечек в резюме.

    Это список самых популярных из них:

    • REALY за
    • Отлично
    • GOTTER
    • HARDER
    • Стратегический мыслитель
    • Коробка
    • Ответственный за
    • Expert
    • Инновационные
    • Специализированные на
    • Creative
    • Creative
    • Team Player
    • подробно ориентированы
    • сфокусированы
    • Ninja
    • Super
    • Великолепно

     

    Исследование CareerBuilder, в котором приняли участие 2200 менеджеров по найму, выявило распространенные модные словечки в резюме, которые менеджеры по найму ненавидят больше всего.

     

    Что у них общего? Большинство говорят, что вы молодец, но не передаете никакой фактической информации.

     

    Вместо этого используйте слова резюме, к которым можно привязать достижения.

    9

    7

    9

    Отлично

    33

    Достигнутые …

    9

    29

    Направленные …
    Отлично		Улучшенный…
    	Go Getter
    Стратегические мыслитель
    за пределами коробки	создан …
    Ответственный за
    Expert	Доставлено. ..
    инновационные		9013
    29	9013
    Creative Creative	…
    Synergized9				Перейти к	Доверяется …
    Recents-Drovized	..
    Team Player
    подробно ориентированы	Spended …
    Сфокусированы
    Ninja
    Super
    Great	увеличено…

     

    Совет профессионала: Что, если вы попадете на собеседование, вас попросят описать себя тремя словами? Используйте слова действия в резюме, чтобы показать, насколько хорошо вы подходите для этой работы.

     

    Ищете модные словечки для резюме, которые можно использовать в резюме студента? Хотите помочь сделать его в 10 раз эффективнее? Смотрите наше руководство по теме: студентка резюме пробы и полное руководство по написанию [с 20+ примерами]

    6

    резюме слова для «ответственного за»

    «Ответственный за» кроссовок в сушилке слов резюме.

     

    Вместо этого скажите, как вы улучшили то, за что вы были ответственны.

    Использование этих возобновляемых слов, чтобы сделать это правильно:

    20 из лучших резюме Действия Слова для Ответственный за:
    1. Произведенные
    2. Приобретенные
    3. Достигнутые
    4. Выступили в
    5. Завершено
    6. Создано
    7. Выполнено
    8. Закончено
    18. Выполнены
    21. Effied
    22. Secureced в
    23. undertook

    Совет профессионала: Время от времени можно использовать более распространенные глаголы действия возобновления. Просто по возможности избегайте самых распространенных сильных слов.

     

    Сколько слов должно быть в резюме? Проверьте наши ресурсы: Должно ли резюме быть одной страницей? Как сделать его одной страницей [+Советы]

     

    7

    Хорошие глаголы резюме для «общения»

     

    Какой менеджер по найму не любит хорошего коммуникатора?

     

    Вот подсказка:

     

    Кандидат с хорошими коммуникативными навыками никогда не скажет: «Я хорошо общаюсь.

     

    Она бы это показала.

     

    Итак, какие достижения принесло ваше общение.

     

    Вы заключили сделок на 10% эффективнее, чем другие? Автор информационный бюллетень компании?

     

    Покажите это с помощью сильных слов резюме ниже.

    20 Лучший резюме Слова для Общение:

    5

    1. Высыпанные
    2. Уточненные
    3. Уточненный
    4. Состоит
    5. Consulted
    6. Convery
    7. Convinced
    8. соответствовал
    9. Определено
    11. Высокое
    12. Illudhed
    13. Righted
    14. повлияло
    15. Информирован
    16. Осведомлен
    17. Moderated
    23. продвигается
    26. Pervauded

    PRO TIP: Не удается найти правильные глаголы действия для резюме для резюме описать ваше великое достижение? Иногда лучше позволить достижениям говорить самим за себя.

     

     

    Указываете ли вы опыт работы в своем резюме наилучшим образом? Попробуйте эту ссылку: Как указать опыт работы в вашем резюме [+20 примеров]

     

    8

    Сила слов в резюме для «Успешный/Достигнутый»

    3

     

     

    Просто укажите в резюме «Успешный».

     

    Хотите выглядеть как Тони Старк с помощью MS Office?

     

    Используйте приведенные ниже сильные слова резюме, чтобы точно показать, чего вы достигли.

    20 Лучший резюме Действия Слова для ACHIEVER:

32. Advanced
33. Ambedified
34. Boosted
35. Завершено
36. Созданные
37. Доставлено
38. Enacted
39. Улучшены
40. Расширенные
41. Ускорено
42. Expedited
43. Улучшенные
44. Улучшен
52. Стимулированные

PRO TIP: Избегайте перекрытия. уничтожены», «разбиты» или «уничтожены».«Используйте их, только если вы подаете заявку в WWE.

 

Неправильное использование слов действия резюме — большая ошибка. То же самое относится и к выбору времен. Посмотрите, как это исправить: Резюме Время: прошлое или настоящее? Какой Голос?

9

9

Лучшие резюме Прилагательные

Использовать эти самоописательные слова на:

• Insight.
• Профессиональный.
• Проницательный.
• Прилежный.
• Надежный.
• A Самозапуск.
• Мотивирован.
• Динамический.
• Организовано.
• Страстный.
• Дотошный.
• Вдумчивый.
• Интеллектуальный.
• Режущая кромка.
• Гениальный.
• Уникальный.
• Квалифицированный.
• Компетентный.
• Посвященный.
• Подлинный.
• Внимательный
• Преданный.
• Определено.
• Искренне.
• Знающий.
• Постоянный.
• Дисциплинирован.
• Честно.

  

Не будем ходить на цыпочках.

 

Большинство людей считают, что правильные прилагательные в резюме произведут впечатление на работодателя.

 

Не будут.

 

Вы когда-нибудь видели Это прекрасная жизнь?

 

Есть сцена, где кроха говорит Донне Рид, : «Никто мне об этом ничего не скажет, потому что все знают, какой я парень.»

 

Это ровно как «мощный» прилагательные резюме делают вас выглядеть.

 

Это блеф. Напыщенный петух. Маленький парень бьет себя в грудь.

 

Теодор Рузвельт говорил: «Говори тихо и держи большую палку».

 

Ваша большая палка — это достижения. Избавьтесь от витиеватых прилагательных в резюме и укажите невероятные достижения. Используйте слова резюме ниже.

9

Использование вместо

28

28

Гениальные

квалифицированные

29

построены …

COMED

9 Прилагательные
Self-Starter	инициированы…
Insightful	30	9	Умный
Austute	Selected …
Дотошный
9	9
Вырезание	Разработаны	Изобретен…
Уникальные
Компетентные
9
Оригинал		Оцененные клиентами как …
Выделенные	…
Определено	9
9		30
KNELEDGEAL
3
Персональный
Дисциплинированные	COMED
ЧЕСТНЫЙ	Доверяется…

 

Совет профессионала: Мы не советуем использовать ноль слова силы резюме в качестве прилагательных. Один или два пункта в резюме могут помочь нарисовать вашу картину. Но остановись на паре. Это гребень волны, а не океан.

 

Что еще может выделить ваше резюме, кроме ярких фраз и слов? Использование лучших шрифтов. Для получения дополнительной информации см.: Лучший шрифт для резюме: какой размер и шрифт использовать? [15+ советов для профессионалов]

 

10

Слова в резюме для «Работал»

 

Недостаточно рассказать работодателям, над чем вы работали.

 

Томас Эндрюс работал над проектированием Титаника.

 

Что именно вы сделали?

 

Не говорите просто так, что работали над чем-то. Скажи сколько, сколько, как часто. Найдите успех. Дайте цифры. Показать значение.

 

Чтобы поделиться этими номерами, включите эти мощные слова в резюме для «работы над» ниже.

20 Лучший резюме Действия Слова для Работали на:

2. Компилированные
3. Составлено
4. Создано
5. Создано
6. Разработано
7. Заниматься
8. Мода
10. сформулированы
11. сделал
12. доступен
13. READ
14. Организован
15. Усовершенствованные
23. undertook

Pro Совет: Избегайте пассивных глаголов для резюме типа «есть», «были» и «было», когда это возможно.Вместо этого используйте активные глаголы.

 

Следует ли отправлять резюме в формате PDF или MS Word Doc? См. наше руководство: Резюме в формате PDF или Word: какой тип файла резюме лучше всего?

 

При создании резюме в нашем конструкторе перетаскивайте маркеры, навыки и автоматически заполняйте скучные элементы. Проверка орфографии? Чек . Начните создавать шаблон профессионального резюме здесь бесплатно .

Когда вы закончите, Создатель резюме Zety оценит ваше резюме и расскажет вам ровно , как его улучшить.

11

Глаголы-резюме для «улучшения»

 

Вы сделали что-то стремительное?

 

Указав это в резюме, вы можете получить работу.

 

Но вы не можете повторять «Я стал лучше» снова и снова.

 

Смешайте это со словами резюме ниже.

20 Лучший резюме Действия Слова для Улучшены:

1. Boosted
2. Charsted
5. Вырос
6. Integrated
7. снят
8. Слияния
9. Reasualled
10. Roadized
11. Redesigned
12. Refined
13. Remodeled
14. реорганизованный
15. Regructed
16. RevAmed
17. Safed
18. Sleashed
19. Обновленные
20. Усиленные
21. Обновлено

Pro Совет:

Использование глаголов действий для резюме для описания достижений? Попробуйте сопоставить их с тем, что нужно менеджеру по найму.Это легко найти — это в объявлении о работе.

 

Помимо глаголов резюме, что еще вы должны указать в своем резюме? См. наше руководство: Что написать в резюме, чтобы оно было идеальным [Советы и примеры] навыки и умения?

 

Избегайте общих фраз в резюме, таких как: «Выполнял исследовательские обязанности и ответственность.”

 

Вместо этого сосредоточьтесь на эффекте, который произвело ваше исследование.

 

Сэкономили ли ваши аналитические способности? Время? Заслужить похвалу от руководства?

 

Чтобы сказать это, используйте приведенные ниже глаголы резюме.

20 Лучший резюме Действия Слова для Исследованы:

1. Проанализированы
5. Audited
6. Расчетные
7. Проверено
8. Обнаружены
10. Explored
11. Выявлено
12. Осмотрев
14. Mapedied
15. Maped
25. отслеживают

Pro Tip

не уверен как представить свое текущее положение? Исследуйте идеи для профессиональных названий здесь: 450 рабочих мест. рабочих мест нуждаются в творческих навыках.

 

Слова «я творческий человек» в резюме доказывает, что вы им не являетесь.

 

Используйте слова резюме, чтобы показать , что вы создали.

 

Что именно вы разработали? Получали ли ваши творения награды и благодарности?

 

Вы шли быстрее своих коллег? Делать дешевле? Получить более высокие отзывы клиентов?

 

Используйте приведенные ниже слова резюме, чтобы показать это с небольшой изюминкой.

20 20 человек

Enhanced

Установлено

Установлено

Исправлена ​​

Объявленные

Объявления

Patched

Pioneed

Rebuit

REBREAD

PRO TIV: «Почему мы должны нанимать ты?» Подготовьте правильные глаголы резюме.Подкрепите их цифрами, и вы блестяще ответите на этот распространенный вопрос на собеседовании.

 

Может ли форматирование помочь в резюме так же, как глаголы действия? Смотрите наше руководство: Формат резюме: как отформатировать профессиональный резюме (примеры и шаблоны)

14

1401

прочные слова для «Управляемые»

Вы могут всего Скажи Ваша последняя работа была в управлении.

 

Одно это покажет, что у вас есть опыт.

 

Но менеджеры по найму любят метрики.

 

Итак, подумайте о том, чего вы добились, управляя сотрудниками.

 

Приведенные ниже слова в резюме помогут.

20 Лучший резюме Действия Слова для управления:

Выровнены

Образовано

Направленные

Enabled

Облегченные

Emage

Наемный

вдохновил

наставни

Mobized

MOTIVIED

REBUBUTION

REGUTUT

в форме

Unified

United

United

PRO TIV: Действие Слова — отличное дополнение к CV тоже.Резюме и резюме могут быть двумя разными документами, но оба выигрывают от повышения содержания на ступеньку выше.

 

Нужны отличные ключевые слова для резюме, которые хорошо смотрятся в любом резюме? Хотите резюме навыков, которые повысят ваши шансы на собеседование? Смотрите наше руководство: 30+ лучших примеров того, какие навыки поставить на резюме (проверенные советы)

15

«Assist» Sysononys для резюме

не только помощник рабочих мест требуется помощь .

 

Тем не менее, слово кажется недостаточно сильным, чтобы передать компетентность и надежность.

Использовать следующие синонимы вместо этого, чтобы показать свое воздействие:

Top 15+ Резюме синонимы для Assist

9001

Aid

Advance

BOOST

HELP

HUSION

Coach

Coach

Сотрудник

Discatch

EXPEDITE

Assorse

Обслуживание

Progote

Reiverce

Поддержка

Вы также можете использовать эти фразы при записи сопроводительного письма.Узнайте, как правильно оформить сопроводительное письмо. Проверьте наше руководство: Обложка Формат письма: шаблоны и 20+ образцов

16

«Использовать» синонимы для резюме

Это трехсложное слово означает то же самое, что слово «использовать».

 

Оба имеют более мощные заменители для использования в резюме.

 

Взгляните на список ниже.

Best 10+ Резюме синонимы для использования

Exert

MobiLize

Explate

Progette

Удалиться

Восстановить

Возродить

Специализация

 

 

Вы впервые пишете резюме? У нас есть специальное руководство для вас.Проверьте: Первое резюме без опыта работы: образцы и советы экспертов

 

Кроме того, отличное сопроводительное письмо, соответствующее вашему резюме, даст вам преимущество перед другими кандидатами. Вы можете написать его в нашем конструкторе сопроводительных писем здесь.  Вот как это может выглядеть:

 

Посмотрите другие шаблоны сопроводительных писем и начните писать.

 

Ключевые слова резюме — это не то же самое, что слова действия.

 

Слова действия начинаются с пунктов списка.

 

Они вводят достижения, которые убеждают менеджера по найму нанять вас.

 

Вы спасли, подрезали, подняли, или развили что-то .

 

Ключевые слова в резюме демонстрируют ваши конкретные навыки.

 

Нужен список хороших навыков для включения в резюме? Лучшие из них находятся в предложении о работе.

 

Используйте те, которые нужны работодателю, и программное обеспечение для отслеживания кандидатов вознаградит вас.

 

• Используйте 25-30 ключевых слов резюме.
• Внимательно прочтите предложение о работе. Выделите любые ключевые слова навыков, которые требуются для работы.
• Не просто используйте эти ключевые слова в своих списках. Добавьте глаголы действия в резюме, чтобы показать, как эти навыки помогли компании.

 

 

Какое ключевое слово в резюме должно содержаться в каждом приложении? Найдите этот и другие ключевые советы в нашем руководстве: Лучшие ключевые слова для резюме: пошаговое руководство :

 

• Глаголы действия-возобновления — это слова, обозначающие достижения.Они описывают должностные обязанности, но оставляют место для всех важных показателей.
• Никогда не говорите просто , что вы опытны, предприимчивы или трудолюбивы. Подкрепите это резюме сильными словами и конкретными цифрами.
• Избегайте модных словечек в резюме, таких как «нестандартный» или «инновационный». Это худшие слова для резюме, потому что они звучат как пустое хвастовство.
• Используйте 310 глаголов действия резюме в этом руководстве, чтобы сделать ваше резюме более читабельным. Они также помогут вам доказать свою ценность и получить гораздо больше интервью.

 

У вас есть вопросы резюме действия слова? Не знаете, как использовать слова силы резюме, чтобы добиться наилучшего эффекта? Дайте нам крик в комментариях! Давайте поговорим о фразах, которые вы любите ненавидеть и ненавидите любить!

Полномочия президента: основные типы и примеры — видео и стенограмма урока

Сила назначения

Далее, давайте взглянем на силу назначения президента . Это право исходит из статьи Конституции о назначениях и представляет собой право президента выбирать людей для выполнения различных государственных функций.Наш президент имеет право избирать все должности в президентском кабинете, всех судей Верховного суда, всех федеральных судей, всех послов США и ряд других государственных должностей. Однако полномочия президента по назначению не бесконтрольны. Большинство назначений, например на должности федеральных судей и судей Верховного суда, требуют одобрения большинства в Сенате. Другие, такие как должности послов, должны пройти одобрение комитета Конгресса.

Иногда Сенат отклоняет выбор президента.Например, президент Рональд Рейган выдвинул кандидатуру Роберта Борка в Верховный суд США в 1987 году. Однако Сенат не утвердил Борка. Освещение в СМИ изображало Борка крайним консерватором, а Борк казался безразличным во время слушаний по его утверждению. Впоследствии Рейган выдвинул более умеренного Энтони Кеннеди, который был единогласно утвержден.

Законодательные полномочия

Теперь давайте посмотрим на законодательных полномочий президента . Эти полномочия также исходят из статьи II и представляют собой право президента накладывать вето на законопроекты и предлагать новые законы.Конгресс имеет исключительное право вводить и принимать федеральные законы. Однако президент должен одобрить законопроект, подписав его как закон, прежде чем этот закон вступит в силу. Или президент может наложить вето на законопроект. Президентское вето просто означает, что президент отклоняет и не подписывает некоторые или все законопроекты в качестве закона. Затем Конгресс должен переписать законопроект или преодолеть вето президента двумя третями голосов всех членов.

Законодательные полномочия президента также включают право предлагать новые законы.Президент излагает свою законодательную повестку во время обращения к Конгрессу. Это законодательные цели президента и планы Конгресса на эту конкретную сессию. Чтобы облегчить повестку дня, президент просит конкретных законодателей разработать, спонсировать и лоббировать определенные законопроекты. Однако от Конгресса зависит, будут ли предложенные законопроекты приняты в качестве законов.

Полномочия на помилование

Давайте рассмотрим полномочия президента издавать исполнительных помилований .Это действие президента США, которое смягчает или отменяет наказание за федеральное преступление. По сути, Конституция позволяет президенту отменить окончательное решение федерального суда. Статья II дает президенту почти неограниченные полномочия по помилованию. Все помилования служат для помилования или прощения стороны.

Помилование также служит для восстановления гражданских прав стороны в случаях, когда сторона утратила права в рамках своего уголовного наказания. Например, помилованный человек может быть освобожден из тюрьмы.Президент может даже объявить о помиловании до того, как будет возбуждено уголовное дело за конкретное преступление. Это предотвращает дальнейшее преследование за это преступление. Например, президент Джеральд Форд, как известно, помиловал Ричарда Никсона за все преступления, которые он совершил или в которых принимал участие, связанные с Уотергейтским скандалом. Это помилование помешало федеральной судебной системе привлечь Никсона к ответственности по этим делам.

Неотъемлемые полномочия

До сих пор мы обсуждали полномочия президента, которые исходят непосредственно из Конституции.Есть и другие президентские полномочия, вытекающие из Конституции. Они известны как врожденные способности . Неотъемлемые полномочия нашего президента включают право подписывать исполнительные соглашения с другими странами для облегчения внешней политики; право ссылаться на привилегии исполнительной власти, чтобы скрывать конфиденциальную информацию, такую ​​как военная стратегия, от Конгресса и судов; право отправлять войска в бой без предварительной консультации с Конгрессом, хотя Конгресс должен одобрить их дальнейшее развертывание; право реагировать на федеральный кризис без предварительной консультации с Конгрессом, например, с президентом Джорджем Бушем-младшим.Буш сделал это, реализовав правительственный план реагирования на чрезвычайные ситуации и санкционировав сбитие вражеских самолетов во время терактов 11 сентября.

Итоги урока

Давайте повторим. Конституция США предоставляет нашему президенту несколько конкретных полномочий. Одним из них является договорная власть, то есть полномочия президента заключать международные договоры с другими странами. Другим является право назначения, то есть полномочия президента выбирать людей для выполнения различных государственных функций.Кроме того, у президента есть законодательные полномочия, которые представляют собой право президента накладывать вето на законопроекты и предлагать новые законы. Президент также имеет право издавать исполнительные помилования. Это действие президента США, которое смягчает или отменяет наказание за федеральное преступление. Наконец, у президента есть неотъемлемые полномочия, которые являются другими президентскими полномочиями, вытекающими из Конституции. Неотъемлемые полномочия в основном включают экстренные или конфиденциальные ответы, такие как отправка наших войск в бой и использование привилегий исполнительной власти.

Результаты обучения

Просмотрите этот урок, чтобы вы могли:

• Разъяснить полномочия президента заключать договоры и назначать членов кабинета министров
• Признать законодательные полномочия президента
• Подробная информация о способности президента издавать помилования
• Опишите «неотъемлемые» полномочия президента

4 вида власти: Над чем власть; власть с; сила и сила внутри?

(Фото: Pixabay)

Когда в 1991 году я впервые начал работать молодежным работником, я работал в центре временного размещения для бездомных молодых людей.Я действительно боролся с властью, так как только что получил степень по социальному обеспечению, в которой особое внимание уделялось «самоопределению клиента». Мне было очень некомфортно в родительской роли, когда я должен был принимать решения о том, что молодые люди могут или не могут делать, где я отвечал за управление поведением и где я должен был быть готов устанавливать ограничения.

Я действительно обладал властью и чувствовал себя очень неловко по этому поводу, тем более, что я видел множество примеров использования власти довольно принудительным, если не оскорбительным образом.Мне пришлось научиться тому, как быть у власти, что соответствовало бы моей философии и подходу.

У меня была власть над жителями, но мне нужно было понять, что это не определяло отношения в целом, и были и другие виды власти, которые также были важны, и я мог взращивать их.

Ряд авторов различают четыре типа мощности ^[1-3] .

1. Мощность над
2. Мощность с
3. Мощность до
4. Мощность в пределах

Власть над

Под властью чаще всего понимается власть ^{[1, 2]} .Этот тип власти построен на силе, принуждении, доминировании и контроле ^{[1, 4]} , и мотивируется в основном страхом ^[4] . Эта форма власти основана на вере в то, что власть — это ограниченный ресурс, которым могут владеть люди, и что у одних она есть, а у других ее нет.

Starhawk ^[4] утверждает, что сила, которая позволяет одному человеку или группе принимать решения, влияющие на других, и брать под контроль, в конечном итоге поддерживает власть над.

Он может править с помощью физического оружия или путем управления ресурсами, необходимыми нам для жизни: деньгами, едой, медицинской помощью или более тонкими ресурсами: информацией, одобрением, любовью.Мы так привыкли к власти над, так пропитаны ее языком и ее скрытыми угрозами, что часто осознаем ее функционирование только тогда, когда видим ее крайние проявления ^[4] (с. 9).

Другие формы власти признают, что власть не принадлежит отдельным лицам, а является динамикой, присутствующей во всех отношениях ^[5] . Как предлагает Starhawk (1990):

Сила никогда не бывает статичной, ибо сила — это не то, что мы можем удерживать или хранить, это движение, отношения, баланс, текучесть и переменчивость.Власть, которой один человек может обладать над другим, зависит от множества внешних факторов и тонких соглашений (стр. 268).

Мощность с

Power with — это общая сила, которая вырастает из сотрудничества и взаимоотношений. Он основан на уважении, взаимной поддержке, разделении власти, солидарности, влиянии, расширении прав и возможностей и совместном принятии решений ^{[1, 2, 4, 5, 6]} . Власть с связана с «социальной властью, влиянием, которым мы обладаем среди равных» ^[4] (стр. 9).Сила может помочь навести мосты внутри групп (например, семьи, организации, движения за социальные изменения) или преодолеть различия (например, пол, культура, класс) ^{[1, 2]} . Вместо господства и контроля власть ведет к коллективным действиям и способности действовать вместе ^[3] .

Мощность до

Власть относится к «производительному или порождающему потенциалу власти и новым возможностям или действиям, которые могут быть созданы без использования отношений господства» ^[2] (стр.57). Он построен на «уникальном потенциале каждого человека формировать свою жизнь и мир» ^[1] (стр. 45). Это сила изменить ситуацию, создать что-то новое или достичь цели.

Мощность в пределах

Внутренняя сила связана с «чувством собственного достоинства и самопознания человека; оно включает в себя способность признавать индивидуальные различия при уважении других» ^[1] (стр. 45). Сила внутри включает в себя людей, имеющих чувство собственного достоинства и собственного достоинства ^[2] .Сила внутри позволяет людям осознать свою «силу для» и «силу с помощью» и поверить, что они могут что-то изменить ^[1] .

Работая с семьями и сообществами, мы хотим взращивать силу в себе, силу и силу внутри, а не действовать с позиции власти над другими. Нашей целью должно быть не максимальное увеличение нашей власти над другими людьми, а скорее

Чтобы создать условия для совместного использования энергии. Цель состоит в том, чтобы создать условия, в которых возможность каждого человека осуществлять власть максимально возрастает в контексте более крупного сообщества ^[7] (стр.21).

Если вам понравился этот пост , пожалуйста, следите за моим блогом , и вы можете посмотреть на:

1. Практика на основе мощности и сильных сторон
2. Принципы ненасилия
3. Ненасилие как основа для практики работы с молодежью
4. Что такое авторитарный, разрешительный, невовлеченный и авторитарный стили воспитания ?
5. Что такое сильные стороны?
6. Семь принципов подхода к работе с группами, основанного на сильных сторонах

Если вы обнаружите какие-либо проблемы с блогом (напр.г., битые ссылки или опечатки) Я хотел бы услышать о них. Вы можете либо добавить комментарий ниже, либо связаться со мной через страницу контактов.

Ссылки

1. Вене Класен, Л., и Миллер, В. (2007). Новое переплетение власти, людей и политики: руководство по защите интересов и участию граждан . Уорикшир: Издательство практических действий. Глава 3 о власти и расширении прав и возможностей доступна по адресу https://justassociates.org/en/resources/new-weave-power-people-politics-action-guide-advocacy-and-citizen-participation
.
2. Мэти, А., Кэмерон, Дж., и Гибсон, К. (2017). Развитие на основе активов и под руководством граждан: использование линзы дифрагированной силы для анализа возможностей и проблем. Прогресс в исследованиях развития, 17 (1), 1-13. doi: 10.1177/1464993416674302 Доступно по адресу http://journals.sagepub.com/doi/abs/10.1177/1464993416674302
3. Хунджан, Р., и Кеофилавон, С. (2010). Власть и перемены . Файф: Фонд Карнеги Великобритании. Доступно по адресу https://www.carnegieuktrust.org.uk/publications/power-and-making-change-happen/
.
4. Звездный ястреб.(1990). Правда или действие: встреча с силой, властью и тайной . Сан-Франциско: HarperSanFrancisco.
5. Мейердинг, Дж. (1982). Возвращение к ненасилию: некоторые мысли для женщин-феминисток, которые раньше были ненасильственными, и наоборот. В П. Макалистер (ред.), Переплетение паутины жизни: феминизм и ненасилие . Филадельфия: Издательство Нового Общества.
6. Бергер, Б.К. (2005). Власть над, власть и власть в отношениях: критические размышления о связях с общественностью, доминирующей коалиции и активности. Журнал исследований по связям с общественностью, 17 (1), 5-28. doi: 10.1207/s1532754xjprr1701_3 Доступно по адресу https://doi.org/10.1207/s1532754xjprr1701_3
7. Брюн С. и Рэйман П. (ред.). (1979). Ненасильственные действия и социальные изменения . Нью-Йорк: Irvington Publishers.

Нравится:

Нравится Загрузка…

О Грэме Стюарте

Преподаватель (Центр семейных действий, Ньюкаслский университет), блогер (Поддерживающее сообщество), координатор проекта «Альтернативы насилию», эколог, отец.Страстный о семьях, развитии сообщества, мире, устойчивости.

Законодательная власть | whitehouse.gov

Законодательная власть, установленная статьей I Конституции, состоит из Палаты представителей и Сената, которые вместе образуют Конгресс Соединенных Штатов. Конституция предоставляет Конгрессу исключительное право принимать законы и объявлять войну, право подтверждать или отклонять многие президентские назначения и значительные полномочия по проведению расследований.

Палата представителей состоит из 435 избранных членов, разделенных между 50 штатами пропорционально их общей численности населения. Кроме того, есть 6 членов без права голоса, представляющих округ Колумбия, Содружество Пуэрто-Рико и четыре другие территории Соединенных Штатов. Председателем палаты является спикер палаты, избираемый представителями. Он или она занимает третье место в очереди на пост президента.

Члены Палаты избираются каждые два года и должны быть в возрасте 25 лет, U.гражданин С. не менее семи лет и житель штата (но не обязательно округа), который они представляют.

У Палаты представителей есть несколько полномочий, возложенных исключительно на нее, в том числе право инициировать законопроекты о доходах, импичмент федеральным чиновникам и избирать президента в случае равенства голосов коллегии выборщиков.

Сенат состоит из 100 сенаторов, по 2 от каждого штата. До ратификации 17-й поправки в 1913 году сенаторы избирались законодательными собраниями штатов, а не всеобщим голосованием.С тех пор они избираются на шестилетний срок народом каждого штата. Сроки полномочий сенатора распределены так, что примерно одна треть Сената подлежит переизбранию каждые два года. Сенаторам должно быть 30 лет, они должны быть гражданами США не менее девяти лет и быть резидентами штата, который они представляют.

Вице-президент Соединенных Штатов является председателем Сената и имеет право решающего голоса в случае равенства голосов в Сенате.

Сенат обладает исключительной властью утверждать те назначения президента, которые требуют согласия, и ратифицировать договоры.Однако из этого правила есть два исключения: Палата представителей также должна одобрять назначения на пост вице-президента и любой договор, связанный с внешней торговлей. Сенат также рассматривает дела об импичменте федеральных чиновников, переданные ему Палатой представителей.

Чтобы принять закон и отправить его на подпись президенту, и Палата представителей, и Сенат должны принять один и тот же законопроект большинством голосов. Если президент накладывает вето на законопроект, они могут отменить его вето, повторно приняв законопроект в каждой палате, причем за него проголосовало не менее двух третей от каждого органа.

Законодательный процесс | Полномочия Конгресса | Государственный надзор

Законодательный процесс

Первым шагом в законодательном процессе является внесение законопроекта в Конгресс. Его может написать кто угодно, но только члены Конгресса могут вводить законы. Некоторые важные законопроекты традиционно вносятся по требованию президента, например, годовой федеральный бюджет. Однако в ходе законодательного процесса первоначальный законопроект может претерпеть кардинальные изменения.

После внесения законопроект передается на рассмотрение в соответствующий комитет. Есть 17 комитетов Сената с 70 подкомитетами и 23 комитета Палаты представителей с 104 подкомитетами. Комитеты не высечены на камне, а меняются в количестве и форме с каждым новым Конгрессом, как это требуется для эффективного рассмотрения законодательства. Каждый комитет курирует определенную область политики, а подкомитеты берут на себя более специализированные области политики. Например, комитет Палаты представителей по путям и средствам включает в себя подкомитеты по социальному обеспечению и торговле.

Законопроект сначала рассматривается в подкомитете, где он может быть принят, изменен или полностью отклонен. Если члены подкомитета соглашаются продвигать законопроект, об этом сообщается всему комитету, где процесс повторяется снова. На этом этапе процесса комитеты и подкомитеты созывают слушания для изучения достоинств и недостатков законопроекта. Они приглашают экспертов, защитников и противников предстать перед комитетом и дать показания, а также могут заставить людей явиться, используя право вызова в суд, если это необходимо.

Если весь комитет голосует за одобрение законопроекта, об этом сообщается в Палату представителей или Сенат, и руководство партии большинства решает, когда внести законопроект в календарь для рассмотрения. Если законопроект особенно актуален, его можно рассмотреть сразу. Другие могут ждать месяцами или вообще никогда не планироваться.

Когда законопроект поступает на рассмотрение, в Палате представителей проводится очень структурированный процесс обсуждения. У каждого члена, желающего выступить, есть всего несколько минут, а количество и вид поправок обычно ограничены.В Сенате дебаты по большинству законопроектов не ограничены — сенаторы могут затрагивать во время своих выступлений вопросы, отличные от рассматриваемого законопроекта, и могут быть внесены любые поправки. Сенаторы могут использовать это для обструкции рассматриваемых законопроектов, процедура, с помощью которой сенатор откладывает голосование по законопроекту — и, соответственно, его принятие — отказываясь уйти в отставку. Подавляющее большинство в 60 сенаторов может сломить флибустьер, призвав к закрытию или прекращению дебатов по законопроекту и форсировав голосование. После завершения дебатов законопроект принимается простым большинством голосов.

Законопроект должен пройти обе палаты Конгресса, прежде чем он будет передан на рассмотрение президенту. Хотя Конституция требует, чтобы оба законопроекта имели одинаковые формулировки, на практике это редко происходит. Для согласования законопроектов созывается Конференционный комитет, состоящий из представителей обеих палат. Члены комитета составляют отчет конференции, задуманный как окончательный вариант законопроекта. Затем каждая палата снова голосует за утверждение отчета конференции.В зависимости от того, откуда был составлен законопроект, окончательный текст затем регистрируется секретарем палаты или секретарем сената и представляется спикеру палаты и председателю сената для подписи. Затем законопроект направляется президенту.

При получении законопроекта от Конгресса у президента есть несколько вариантов. Если президент в основном согласен с законопроектом, он или она может подписать его в качестве закона, после чего законопроект печатается в Уставе в целом.Если президент считает, что закон является плохой политикой, он может наложить на него вето и отправить обратно в Конгресс. Конгресс может преодолеть вето двумя третями голосов каждой палаты, после чего законопроект становится законом и печатается.

Есть еще два варианта, которыми может воспользоваться президент. Если Конгресс заседает, а президент не принимает никаких мер в течение 10 дней, законопроект становится законом. Если Конгресс откладывает заседание до истечения 10 дней, а Президент не предпринимает никаких действий, то законопроект отменяется, и Конгресс не может проголосовать за его отмену.Это называется карманным вето, и если Конгресс все еще хочет принять закон, он должен начать весь процесс заново.

Полномочия Конгресса

Конгресс, как одна из трех равноправных ветвей власти, наделен Конституцией значительными полномочиями. Вся законодательная власть в правительстве принадлежит Конгрессу, а это означает, что это единственная часть правительства, которая может принимать новые законы или изменять существующие законы. Агентства исполнительной власти издают постановления, обладающие полной силой закона, но они действуют только в соответствии с законами, принятыми Конгрессом.Президент может наложить вето на законопроекты, принятые Конгрессом, но Конгресс также может отменить вето двумя третями голосов как в Сенате, так и в Палате представителей.

Статья I Конституции перечисляет полномочия Конгресса и конкретные области, в которых он может издавать законы. Конгресс также уполномочен принимать законы, которые считаются «необходимыми и надлежащими» для осуществления полномочий, предоставленных любой части правительства в соответствии с Конституцией.

Частью осуществления Конгрессом законодательной власти является установление годового бюджета для правительства.С этой целью Конгресс взимает налоги и тарифы для финансирования основных государственных услуг. Если не удается собрать достаточно денег для финансирования правительства, Конгресс может также разрешить заимствование для покрытия разницы. Конгресс также может санкционировать расходы по конкретным статьям: расходы, предусмотренные законодательством, широко известные как «целевые», указывают средства для конкретного проекта, а не для государственного учреждения.

Обе палаты Конгресса обладают широкими следственными полномочиями и могут требовать представления доказательств или показаний для любой цели, которую они сочтут необходимой.Члены Конгресса проводят большую часть своего времени, проводя слушания и расследования в комитете. Отказ сотрудничать с повесткой Конгресса может привести к обвинению в неуважении к Конгрессу, что может привести к тюремному заключению.

Сенат сохраняет за собой несколько полномочий: он ратифицирует договоры квалифицированным большинством в две трети голосов и утверждает назначения президента большинством голосов. Согласие Палаты представителей также необходимо для ратификации торговых соглашений и утверждения вице-президентом.

Конгресс также обладает исключительным правом объявлять войну.

Государственный надзор

Надзор за исполнительной властью является важной проверкой Конгрессом власти президента и противовесом его усмотрению в реализации законов и принятии постановлений.

Основной способ, с помощью которого Конгресс осуществляет надзор, — это слушания. Комитет Палаты представителей по надзору и правительственной реформе и Комитет Сената по внутренней безопасности и делам правительства занимаются надзором и реформированием деятельности правительства, и каждый комитет осуществляет надзор в своей области политики.

Конгресс также поддерживает следственную организацию, Счетную палату правительства (GAO). Основанная в 1921 году как Главное бухгалтерское управление, ее первоначальная задача заключалась в проверке бюджетов и финансовых отчетов, направляемых в Конгресс министром финансов и директором Управления управления и бюджета. Сегодня GAO проверяет и составляет отчеты по каждому аспекту деятельности правительства, гарантируя, что деньги налогоплательщиков тратятся с эффективностью и действенностью, которых заслуживает американский народ.

Исполнительная власть также следит за собой: шестьдесят четыре генеральных инспектора, каждый из которых отвечает за свое агентство, регулярно проверяют и отчитываются об агентствах, к которым они прикреплены.

.