Cos равен 0: Таблица косинусов
Таблица косинусов
Таблица косинусов 0° — 180°.
|
|
|
7193
4067
0175
4067
7071
9272Таблица косинусов 180° — 360°.
|
|
|
9336
7193
4226
0349
3746
682
9205Другие заметки по алгебре и геометрии
Основное Тригонометрическое Тождество — Доказательство
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg2α + 1 = 1/cos2α и равенство 1 + сtg2α + 1 = 1/sin2α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin2α и cos2α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания.
Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin2α + cos2α = 1
- Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).
Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.
- Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A1.
- По определениям:
- Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Опускаем перпендикулярную прямую A1B на x0 из точки A1.
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
|A1B| = |у|
|OB| = |x|.
- Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.
|OA1| = 1.
- Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:
|A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2.
- Записываем в виде: |y|2 + |x|2 = 12.
Это значит, что y2 + x2 = 1.
sin угла α = y
cos угла α = x - Вставляем данные угла вместо координат точек:
OB = cos α
A1B = sin α
A1O = 1 - Получаем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
Что и требовалось доказать.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла.
Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
- sin α = ±
- cos α = ±
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Немного вводных:
- Синус угла — это ордината y.
- Косинус угла — это абсцисса x.
- Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
- Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
- tg α =
- ctg α =
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
- Например, выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.
Выражение
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
- Тождество записывается в следующем виде:
tg α * ctg α = 1.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
- По определению:
tg α = y/x
ctg α = x/y
- Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
- Преобразовываем выражение, подставляем и ,
получаем:
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.
Короче, и так, и эдак.
Какие, какие числа?🤯
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
- tg2α + 1 =
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
- 1 + ctg2α =
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin2α + cos2α = 1.
- Для этого нужно поделить обе части тождества на cos2α, где косинус не равен нулю.
- В результате деления получаем формулу tg2α + 1 =
- Если обе части основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 разделить на sin2α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
1 + ctg2α = . - Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg2α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.
- А тригонометрическое тождество 1 + ctg2α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
1 | sin2α + cos2α = 1 |
2 | |
3 | |
4 | tgα * ctgα = 1 |
5 | tg2α + 1 = |
6 | 1 + ctg2α = |
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Как решаем:
- Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
- Выражаем cos α из тригонометрической единицы:
- Далее подставляем значения sin α:
- Вычисляем:
- Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:
- Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:
Ответ:
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:
Как решаем:
- Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:
- Выражаем cos α из тригонометрической единицы:
- Далее подставляем значения sin α:
- Вычисляем:
- То же самое проделываем со вторым значение sin α
Подставляем значения sin α:
- Вычисляем:
Ответ:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
Таблица значений тригонометрических функций
Примечание. В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/».
См. также полезные материалы:
Для определения значения тригонометрической функции, найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2 ) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах
Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах.
Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.
Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.
Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180.
Примеры:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения)
Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.
Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов
(цифровые значения «как по таблицам Брадиса»)
| значение угла α (градусов) | значение угла α в радианах | sin (синус) | cos (косинус) | tg (тангенс) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
1 |
0 |
- |
| 15 |
π/12 |
0,2588 |
0,9659 |
0,2679 |
3,7321 |
| 30 |
π/6 |
0,5000 |
0,8660 |
0,5774 |
1,7321 |
| 45 |
π/4 |
0,7071 |
0,7071 |
1 |
1 |
|
50 |
5π/18 |
0,7660 |
0,6428 |
1. |
0,8391 |
| 60 |
π/3 |
0,8660 |
0,5000 |
1,7321 |
0,5774 |
|
65 |
13π/36 |
0,9063 |
0,4226 |
2,1445 |
0,4663 |
|
70 |
7π/18 |
0,9397 |
0,3420 |
2,7475 |
0,3640 |
| 75 |
5π/12 |
0,9659 |
0,2588 |
3,7321 |
0,2679 |
| 90 |
π/2 |
1 |
0 |
- |
0 |
|
105 |
5π/12 |
0,9659 |
-0,2588 |
-3,7321 |
-0,2679 |
| 120 |
2π/3 |
0,8660 |
-0,5000 |
-1,7321 |
-0,5774 |
| 135 |
3π/4 |
0,7071 |
-0,7071 |
-1 |
-1 |
|
140 |
7π/9 |
0,6428 |
-0,7660 |
-0,8391 |
-1,1918 |
| 150 |
5π/6 |
0,5000 |
-0,8660 |
-0,5774 |
-1,7321 |
| 180 |
π |
0 |
-1 |
0 |
- |
| 270 |
3π/2 |
-1 |
0 |
- |
0 |
| 360 |
2π |
0 |
1 |
0 |
- |
1918
Иногда для быстрых расчетов нужно не точное, а вычисляемое значение (число десятичной дробью), которое раньше искали в таблицах Брадиса.
Поэтому, в дополнение к таблице точных значений тригонометрических функций приведены эти же самые значения, но в виде десятичной дроби, округленной до четвертого знака. Дополнительно в таблицу включены «нестандартные» значения тангенса, косинуса, синуса 140 градусов, синуса 105, 70, косинуса 105 и 50 градусов.
Начать курс обучения
Таблица косинусов, полная таблица косинусов для студентов
Содержание:
Таблица косинусов — наровне с таблицей синусов изучается в самом начале тригонометрии (И вместе с таблицей синусов является основным материалом тригонометрии). Без понимания данного материала и без знания хотя бы части таблицы косинусов будет очень сложно изучать тригонометрию и применять тригонометричекие формулы. Даже в университетском курсе часто используется тригонометрия, при решении интегралов и производных. Пользуйте таблицей косинусов на здоровье.
Таблица косинусов 0° — 180°
|
|
|
9998
9063
6561
309
1045
4848
7771
9613Таблица косинусов 180° — 360°
|
|
|
9976
891
6428
309
0872
4695
7771
9613На нашем сайте в основном автоматические находятся программы для решения задач по математике, но также
мы собрали много теоретического материала по математике и в частности по тригонометрии. Здесь Вы можете найти
таблицы тригонометрических функций:
таблицу косинусов,
таблицу синусов,
таблицу котангенсов и
таблицу тангенсов.
Также для улучшения понимания материала по тригонометрии мы добавили
тригонометрические формулы, чтобы
вызывало меньше затруднений решение тригонометрических задач по математике. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей косинусов на здоровье.
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Cos 0.75 чему равен угол. Аргумент и значение
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)
Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»
Вот этот вывод:
Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.
Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус.
И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.
Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )
Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.
В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)
И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.
А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё .
На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку…
Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов… Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка…)
Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется.
..)
Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов.)
Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.
Первая группа углов.
Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:
Угол х(в градусах) | 0 | 90 | 180 | 270 | 360 |
Угол х(в радианах) | 0 | ||||
sin x | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
cos x | 1 | 0 | -1 | 0 | 1 |
tg x | 0 | не сущ. | 0 | не сущ. | 0 |
ctg x | не сущ. | 0 | не сущ. | 0 | не сущ. |
Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.
Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:
Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ… Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.
Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов.
Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.
Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались… Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль… А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают…)
Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.
В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.
Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:
А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ.
Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.
Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до… до… Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!
Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.
Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось.
Вот и всё.
Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов… Да и таблица косинусов — тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)
Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем!
Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество.
..) Отсчитал (правильно!) угол на круге — и нет проблем с функциями.
Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки… Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)
А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол
вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 «пи»…) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.
А если угол
Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.
Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.
Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрались.
Вторая группа углов.
Следующая группа углов — это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так… Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.
Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:
Угол х(в градусах) | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
Угол х(в радианах) | 0 | ||||
sin x | 0 | 1 | |||
cos x | 1 | 0 | |||
tg x | 0 | 1 | не сущ. | ||
ctg x | не сущ. | 1 | 0 |
Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.
Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов…
Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же.
Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось…
Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся… Три значения можно выучить, правда?
С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.
Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.
Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.
Вот эти углы:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.
Кошмар, правда?)
А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)
Или углы в радианах? Например, про углы:
и многие другие, вы должны знать всё .
°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos\)\(\frac{π}{3}\)
\(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos2=-0,416…\)
Аргумент и значение
Косинус острого угла
Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.Пример :
1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.
Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)
Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.
Косинус числа
Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с : \(\frac{π}{2}\) , \(\frac{3π}{4}\) , \(-2π\).
Например, для числа \(\frac{π}{6}\)
— косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
.
А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\)
он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(приблизительно \(-0,71\)).
Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в .
Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.
Косинус любого угла
Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС ) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.
Стоит запомнить, что:
Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.
Знаки косинуса по четвертям
С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по числовой (тригонометрической) окружности:
Там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).
2x}\)
— и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sinx}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри .
Функция \(y=\cos{x}\)
Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:
График данной называется и обладает следующими свойствами:
Область определения – любое значение икса: \(D(\cos{x})=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x})=[-1;1]\)
— четная: \(\cos(-x)=\cos{x}\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos{x}\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\)
\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)
\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)
\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).
Функция COS
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции COS в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает косинус заданного угла.
Синтаксис
COS(число)
Аргументы функции COS описаны ниже.
Замечания
Если угол задан в градусах, умножьте его на ПИ()/180 или воспользуйтесь функцией РАДИАНЫ, чтобы преобразовать его в радианы.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|
=COS(1,047) |
Косинус 1,047 радиан |
0,5001711 |
|
=COS(60*ПИ()/180) |
Косинус 60 градусов |
0,5 |
|
=COS(РАДИАНЫ(60)) |
Косинус 60 градусов |
0,5 |
Таблица косинусов — 2mb.
ruТаблица косинусов является одной из основных таблиц, которые используются в геометрии.
В ней представлены косинусы углов от 0 до 360 градусов. Таблица позволяет решать математические задачи, в которых необходимо использовать тригонометрические данные без применения расчетов и калькулятора.
Таблица косинусов 0° – 180°.
|
|
|
9703
788
4848
0872
309
6293
8829
9962Таблица косинусов 180° – 360°.
|
|
|
9703
7986
5
1564
2419
5878
8572
9903Чему равен cos(0)?
Кредит: WikiCommons CC0 1.0В математике функция косинуса (cos) — это функция, которая связывает внутренний угол треугольника с длиной его сторон. Функция косинуса, а также функция синуса и тангенса являются тремя основными тригонометрическими функциями. В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению стороны, прилежащей к углу, к длине гипотенузы прямоугольного треугольника. Математически это выглядит следующим образом:
cos(A) = смежный/гипотенуза
Функция косинуса принимает угловые измерения в качестве входных данных и возвращает отношение в качестве выходных данных.
Когда угол A=0°, функция косинуса принимает значение:
cos(0) = 1
Косинус угла, равного нулю градусов, равен 1. Чтобы понять, почему, рассмотрим, что происходит с прямоугольным треугольником. поскольку один из его углов стремится к 0. Когда угол приближается к 0, противоположная сторона становится все меньше и меньше. По мере того, как этот угол становится меньше, длины гипотенузы и стороны, прилегающей к углу, становятся все меньше и меньше. Как только измерение угла достигнет 0, гипотенуза и прилежащая сторона будут идеально лежать друг на друге, попадая в отношение 1 к 1.Таким образом, косинус 0 равен 1.
Основы триггерных функций
Три триггерные функции представляют общее соответствие между внутренними углами треугольника и длинами его сторон. Тот факт, что между сторонами и углами прямоугольного треугольника существует повторяющаяся взаимосвязь, является следствием того факта, что в подобных треугольниках сохраняются отношения между их сторонами.
Прямоугольный треугольник 3-4-5 имеет те же пропорции, что и треугольник 6-8-10; последний просто кратен первому.Таким образом, любые соотношения между длинами сторон двух треугольников будут абсолютно одинаковыми.
Рассмотрим простой прямоугольный треугольник:
Авторы и права: D Pape via Resumbrae CC-BY 2.0Начиная с некоторого угла A, стороны треугольника помечены следующим образом:
Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в треугольнике.
Противоположная сторона — это сторона, расположенная прямо напротив интересующего угла.
Смежная сторона — это та сторона, которая непосредственно примыкает к углу, который не является гипотенузой.
Следуя этим обозначениям, мы можем определить три основные триггерные функции следующим образом:
sin(A) = противолежащее/гипотенуза
cos(A) = смежное/гипотенуза
tan(A) = противоположное /adjacent
Поскольку подобные треугольники имеют одинаковые пропорции, значения этих функций не зависят от размера прямоугольного треугольника, а только от того, равен ли угол оценки (A).
Хорошая мнемоника для запоминания определений тригонометрических функций — аббревиатура SOH-CAH-TOA (произносится как «со-ках-тоа»)
Давайте пронумеруем эти абстрактные формулы. Скажем, у нас есть прямоугольный треугольник с длинами сторон 3 и 4 и гипотенузой длины 5:
Кредит: АвторМы можем вычислить значения триггерных функций относительно угла A следующим образом:
sin(A) = противоположное /гипотенуза = 4/5 = 0,8
cos(A) = смежная/гипотенуза = 3/5 = 0,6
tan(A) = противоположная/прилегающая = 4/3 = 1.3
Обратите внимание, что функции синуса и косинуса эквивалентны с учетом разных углов. Установив угол B в качестве интересующего угла, мы можем вычислить триггерные функции следующим образом: = 0,8
Это приводит нас к общему правилу, что для любого прямоугольного треугольника, где углы A и B не являются прямыми углами:
sin (A) = cos(B) и sin(B) = cos(A)
В дополнение к 3 основным триггерным функциям есть 3 реципрокные триггерные функции.
Обратные функции являются обратными основными функциями и называются секансом, косекансом и котангенсом. Их можно определить как:
сек(А) = 1/sin(А) = гипотенуза/противоположная
косек(А) = 1/cos(А) = гипотенуза/прилегающая
котан(А) = 1/тангенс (A) = смежный/противоположный
Числовые значения триггерных функций
Допустим, вам дано только измерение угла, и вас просят вычислить синус этого угла только по этому значению. К сожалению, простого алгоритма для этого нет.Вычисление значений sin вручную под заданным углом требует много времени и сложных вычислений. Вместо этого большинство калькуляторов используют справочные таблицы, таблицы со списком измерений углов и соответствующих значений греха. Эти таблицы были рассчитаны с предельной точностью. Однако существует интересный способ концептуализации угловых измерений, который делает вычисление некоторых значений триггерных функций интуитивно понятным и простым.
Триггерные функции и единичный круг
Внутреннее действие триггерных функций можно понять по отношению к структуре единичного круга на координатной плоскости.
Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным единице, с центром в начале координат плоскости (0,0). Перетаскивание радиуса вокруг исходной точки вычерчивает круг, длина окружности которого составляет ровно 2π единиц. По теореме Пифагора эта окружность представляет собой множество всех точек (x, y), таких, что x 2 + y 2 = 1
Углы можно измерить с помощью длины дуги на окружности, которую следы угла. Эти единицы называются радианами. Поскольку длина окружности единичного круга равна ровно 2π, угол в радианах, равный 2π, соответствует 360 °.Аналогично, π/2 радиана соответствует 90°, π радианам — 180°, π/3 радиана — 60° и т. д.
Единичный круг и преобразование между радианами и градусами. Предоставлено: Gustav B через WikiCommons CC BY-SA 3.0 Любую точку на единичной окружности можно представить как конечную точку линии, идущей от центральной точки с углом θ с центром в начале координат. Значения x и y этой точки соответствуют сторонам прямоугольного треугольника.
Это понимание приводит к некоторым интересным свойствам триггерных функций.Поскольку по определению единичный круг имеет радиус 1, sin(θ) = y и cos(θ) = x. По теореме Пифагора и определению единичной окружности верно, что cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 1.
Что произойдет с прямоугольным треугольником, если мы изменим угол луча от происхождения? Изменение угла, на который линия выходит из начала координат, приводит к соответствующему изменению других сторон треугольника. Когда мы уменьшаем угол, сторона, противоположная углу, также становится меньше.а соседняя сторона становится больше. Когда мы увеличиваем угол, противоположная сторона становится больше, а соседняя сторона уменьшается. Поэтому, изменяя угол, мы можем визуализировать, как изменяется отношение сторон треугольника.
Анимация, показывающая, как стороны треугольника меняются в ответ на изменение угла. Предоставлено: WikiCommons CC0 1.0 Сразу же обратите внимание на несколько вещей. Что происходит, когда угол равен 0? Каковы отношения сторон друг к другу? Когда угол приближается к 0, синус угла (противоположный/гипотенуза) становится все меньше и меньше.
Когда угол достигает 0, длина противоположной стороны достигает 0, поэтому полное отношение между противолежащей стороной и гипотенузой равно 0. Итак, мы знаем, что sin(0) = 0.
А как насчет того, чтобы сделать угол больше? По мере того, как мы увеличиваем угол, длина противоположной стороны увеличивается, пока мы не достигнем π/2 рад (90°), после чего длина противоположной стороны и гипотенузы станет одинаковой. Если стороны имеют одинаковую длину, то их отношение равно 1, поэтому мы знаем, что sin(π/2) = 1.
Рассмотрим функцию косинуса.Что происходит со значением косинуса при уменьшении угла? По мере приближения к 0 отношение между прилежащей стороной и гипотенузой становится больше, пока прилежащая сторона и гипотенуза не станут равными, когда угол равен 0. Итак, мы знаем, что cos(0) = 1. Аналогично, по мере приближения угла π/2, примыкающая сторона становится все меньше и меньше по отношению к гипотенузе, пока не станет равной 0; таким образом, cos(π/2) = 0
Как насчет функции тангенса? Когда угол равен 0, отношение противоположной стороны к соседней стороне также равно 0, поэтому мы можем определить, что tan(0) = 0.
По мере увеличения угла противоположная сторона становится больше, а соседняя сторона уменьшается, пока не достигнет точки, в которой две стороны имеют одинаковую длину. Прямоугольный треугольник может иметь две равные стороны только тогда, когда оба непрямых угла равны 45°. Это означает, что под углом 45° длины двух сторон равны, поэтому их отношение равно 1. 45° равно π/4 рад, поэтому мы знаем, что tan(π/4) = 1
А как насчет значения tan(π/2)? Обратите внимание, что по мере того, как угол увеличивается и приближается к π/2 рад, противоположная сторона становится больше, а соседняя сторона сжимается до 0.Это означает, что тангенс(π/2) равен выражению 1/0. Деление на 0 не определено, поэтому функция tan(π/2) не определена и не имеет принятого значения.
Концептуализация угловых измерений в радианах единичного круга также объясняет другое интересное свойство триггерной функции; их периодичность. Значения триггерных функций колеблются между фиксированными выходными значениями входных сигналов от 0 до 2π, поскольку измерения углов, превышающие 2π, могут быть представлены как кратные 2π.
Графики выходных данных функций синуса и косинуса дают красивый высокий волнообразный узор:
Вершины и впадины на приведенных выше графиках представляют выходные значения 1 и -1 соответственно. Интересно отметить, что функции синуса и косинуса идентичны по форме, но функция косинуса смещена от функции синуса на половину длины волны. Периодичность триггерной функции (в частности, синуса и косинуса) делает их полезными в науке для моделирования периодических явлений, таких как механические или электромагнитные волны.
Была ли эта статья полезной?
😊 ☹️ Приятно слышать! Хотите узнать больше о научных тенденциях? Подпишитесь на нашу научную рассылку! Нам жаль это слышать! Мы любим отзывы 🙂 и хотим, чтобы вы внесли свой вклад в то, как сделать Science Trends еще лучше.Cos 0-значение, объяснение и часто задаваемые вопросы
Cos 0 Значение градуса
Cos 0 равно 1 (Cos 0 = 1). Другими словами, значение Cos 0 равно 1.
Теперь вопрос в том, как было получено значение Cos 0. Значение может быть определено с помощью квадрантов единичного круга. Этот процесс обсуждается в следующем разделе.
Как вы уже знаете, тригонометрические функции относятся к угловым функциям, которые связывают углы треугольника. Для изучения периодических явлений световых и звуковых волн использовались тригонометрические функции.Эти функции также важны для изучения гармонических колебаний и вариаций средней температуры.
Формула для нахождения косинуса
Функция косинуса угла подчиняется определенной формуле. Согласно этой формуле значение функции косинуса угла равно длине прилежащей стороны, деленной на длину стороны гипотенузы. Формула написана ниже.
Cos X = \[\frac{\text{Смежная сторона}}{\text{Сторона гипотенузы}}\]
Как найти значение Cos 0?
Существуют три основных тригонометрических соотношения: функция синуса, функция косинуса и функция тангенса.
С помощью функций sin, cos и tan можно вычислить углы треугольника.
Чтобы понять функцию косинуса острого угла, нужно нарисовать на листе бумаги прямоугольный треугольник. Треугольник, очевидно, имеет три стороны, и эти стороны можно определить следующим образом:
Выберите угол треугольника, и противоположная сторона выбранного угла будет называться «противоположная сторона».
Сторона треугольника, расположенная напротив прямого угла, называется стороной гипотенузы.Примечательно, что это самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Наконец, «прилежащая сторона» относится к оставшейся стороне треугольника.
Определение значения Cos 0 с помощью единичного круга
Используя единичный круг, можно получить значение «Cos 0».
Процесс начинается с принятия единичной окружности, центр которой совпадает с началом осей координат.
Что такое Cos 0 ?
Значение косинуса прямоугольного треугольника с углом 0° известно как косинус угла 0°.Косинус угла 0° — это величина, обозначающая остаток длины прилежащей стороны от длины гипотенузы, если угол прямоугольного треугольника равен 0°.
В шестидесятеричной системе косинус угла, равный нулю, математически выражается как косинус 0°, а точное значение косинуса угла 0° = 1. Таким образом, математически это записывается в следующей форме в тригонометрии, т. е. cos 0 ° = 1
. Мы также можем выразить косинус угла ноль градусов в двух других формах в тригонометрической математике, т.е.круговая система и сотенная система.
Cos 0 в круговой системе
В круговой системе косинус нуля градусов математически представляется как косинус нуля радиан. Это записывается в следующей форме в круговой системе cos (0) = 1
Cos 0 в сотенной системе
Аналогично, в сотенной системе косинус нуля градусов математически представляется как косинус нулевого градуса степени.
9) = 1
Cos 0 градусов — найти значение Cos 0 градусов
Значение cos 0 градусов равно 1 .Cos 0 градусов в радианах записывается как cos (0° × π/180°), т. е. cos (0π) или cos (0). В этой статье мы обсудим методы определения значения cos 0 градусов на примерах.
- Кос 0°: 1
- Cos (-0 градусов): 1
- Cos 0° в радианах: cos (0π) или cos (0 . . .)
Каково значение Cos 0 градусов?
Значение cos 0 градусов равно 1. Cos 0 градусов также может быть выражено с помощью эквивалента заданного угла (0 градусов) в радианах (0 .. .)
Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, что θ в радианах = θ в градусах × (pi/180°)
⇒ 0 градусов = 0° × (π/180°) рад = 0π или 0 . . .
∴ cos 0° = cos (0) = 1
Объяснение:
Для cos 0 градусов угол 0° лежит на положительной оси x. Таким образом, значение cos 0° = 1
Поскольку функция косинуса является периодической функцией, мы можем представить cos 0° как cos 0 градусов = cos(0° + n × 360°), n ∈ Z.
⇒ cos 0° = cos 360° = cos 720° и так далее.
Примечание: Поскольку косинус является четной функцией, значение cos(-0°) = cos(0°).
Методы нахождения значения Cos 0 градусов
Значение cos 0° задается как 1. Мы можем найти значение cos 0 градусов по:
- Использование тригонометрических функций
- Использование единичного круга
Cos 0° в терминах тригонометрических функций
Используя формулы тригонометрии, мы можем представить cos 0 градусов как:
- ± √(1-sin²(0°))
- ± 1/√(1 + tan²(0°))
- ± раскладушка 0°/√(1 + раскладушка²(0°))
- ±√(косек²(0°) — 1)/косек 0°
- 1/сек 0°
Примечание. Поскольку 0° лежит на положительной оси x, конечное значение cos 0° будет положительным.
Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления cos 0° как
- -cos(180° — 0°) = -cos 180°
- -cos(180° + 0°) = -cos 180°
- sin(90° + 0°) = sin 90°
- sin(90° — 0°) = sin 90°
Cos 0 градусов с использованием единичной окружности
Чтобы найти значение cos 0 градусов, используя единичный круг:
- Нарисуйте радиус единичной окружности ‘r’, чтобы образовать угол 0° с положительной осью x.
- Cos 0 градусов равен x-координате(1) точки пересечения (1, 0) единичной окружности и r.
Отсюда значение cos 0° = x = 1
☛ Также проверьте:
Часто задаваемые вопросы по Cos 0 градусов
Что такое Cos 0 градусов?
Cos 0 градусов — значение тригонометрической функции косинуса для угла, равного 0 градусов. Значение cos 0° равно 1
Каково значение Cos 0 градусов относительно Tan 0°?
Мы знаем, что используя тригонометрические тождества, мы можем записать cos 0° как 1/√(1 + tan²(0°)).Здесь значение tan 0° равно 0,
.Как найти значение Cos 0 градусов?
Значение cos 0 градусов можно рассчитать, построив угол 0° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (1, 0) на единичной окружности. Значение cos 0° равно x-координате (1). ∴ cos 0° = 1,
Как найти Cos 0° с точки зрения других тригонометрических функций?
Используя формулу тригонометрии, значение cos 0° может быть выражено через другие тригонометрические функции следующим образом:
- ± √(1-sin²(0°))
- ± 1/√(1 + tan²(0°))
- ± раскладушка 0°/√(1 + раскладушка²(0°))
- ± √(косек²(0°) — 1)/косек 0°
- 1/сек 0°
☛ Также проверьте: таблицу тригонометрии
Каково значение Cos 0° в единицах Sec 0°?
Поскольку функция секанса является обратной функцией косинуса, мы можем записать cos 0° как 1/сек(0°).
Значение sec 0° равно 1,
косинусов
Далее рассмотрим углы 30° и 60°.
В прямоугольном треугольнике 30°-60°-90° соотношения
сторон равны 1 : √3 : 2. Отсюда следует, что
sin 30° = cos 60° = 1/2 и
sin 60° = cos 30° = √3 / 2.
Эти данные заносятся в эту таблицу.
| Угол | градусов | Радианы | косинус | синусоидальной | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 90 ° | π /2 | 0 | 1 | |||
| 60 ° | π /3 | 1/2 | 1/2 | √3 / 2 | ||
| 49 9 | π /4 | √2 / 2 | √2 / 2 | √2 / 2 | ||
| 30 ° | π /6 | /6 /6√3 / 2 | 1/2 | |||
| 0 ° 6 | 0 | 1 | 0 |
Упражнения
Все эти упражнения относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой. 30.
b = 2,25 метра и cos A = 0,15. Найдите a и c.
33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.
35. б = 6,4, в = 7,8. Найдите А и А.
36. A = 23° 15′, c = 12.15. Найдите и b.
Советы
30. Косинус A связывает b с гипотенузой c, , поэтому вы можете сначала вычислить c. Зная b и c, , вы можете найти a по теореме Пифагора.
33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B — это отношение двух неизвестных вам сторон, а именно a/c. Тем не менее, это дает вам уравнение для работы: 1/3 = a/c. Тогда c = 3 a. Из теоремы Пифагора следует, что a 2 + 144 = 9 a 2 . Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.
35. b и c дают A по косинусам и a по теореме Пифагора.
36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.
Ответы
30. c = b /cos A = 2,25/0,15 = 15 метров; a = 14,83 метра.
33. 8 a 2 = 144, поэтому a 2 = 18. Следовательно, a равно 4,24 дюйма или 4’3′.
c = 3 a , что равно 12.73 фута или 12 футов 9 дюймов.
35. cos A = b/c = 6,4/7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86° = 34°52′, или около 35°.
a 2 = 7,8 2 – 6,4 2 = 19,9, поэтому a равно примерно 4,5.
36. a = c sin A = 12,15 sin 23°15′ = 4,796.
b = c cos A = 12,15 cos 23°15′ = 11.
17.
Unit Circle Chart and Trig Calculator — Cos 0, Sin 0, Tan 0, радианы и др.
Единичный круг — полезный инструмент визуализации для изучения тригонометрических функций.
Ключом к его полезности является его простота. Это устраняет необходимость запоминать разные значения и позволяет пользователю просто получать разные результаты для разных случаев.
Давайте узнаем больше об этом и проверим наше понимание с помощью удобного тригонометрического калькулятора, который я создал в конце статьи.
Часть 1. Что такое единичный круг и как его использовать?
Единичная окружность представляет собой окружность с радиусом на единиц с центром, расположенным в начале координат. Другими словами, центр находится на графике, где пересекаются оси X и Y .
Рис. 1 . График единичной окружности с радиусом = 1 и точками пересечения с осями X и Y Имея радиус, равный 1 единице, мы можем построить опорных треугольников с гипотенузой, равной 1 единице.
Как мы вскоре увидим, это позволяет нам измерять синус , косинус и тангенс напрямую. Треугольник ниже напоминает нам, как мы определяем синус и косинус для некоторого угла alpha .
Рис. 2 . Геометрическое определение синуса и косинуса для угла с гипотенузой, равной 1Поскольку гипотенуза равна 1, а все, что делится на 1, равно самому себе, синус альфа равен длине BC. Или sin(α) = BC/1 = BC .
Точно так же косинус будет равен длине переменного тока.Или cos(α) = AC/1 = AC .
Теперь давайте переместим этот треугольник в наш единичный круг, чтобы радиус круга мог служить гипотенузой.
Рис. 3 . Опорный треугольник внутри единичного круга. координата x = cos(α) и координата y = sin(α) В результате координата y точки, где треугольник касается окружности, равна sin(α), или y = sin(α) .
Точно так же координата x будет равна cos(α), или x = cos(α) .
Таким образом, двигаясь по окружности и изменяя угол, мы можем измерить синус и косинус этого угла, соответственно измерив координаты y и x.
Углы могут быть измерены в градусов и/или радиан . Точка с координатами (1, 0) соответствует 0 градусов (см. рис. 1). Мера увеличивается против часовой стрелки, поэтому точка с координатами (0, 1) будет соответствовать 90 градусов. Полный круг – 360 градусов.
Часть 2. Важные углы и соответствующие им значения синуса, косинуса и тангенса
Поскольку имеет смысл начинать с 0 градусов, наша окружность будет выглядеть так:
Рис. 4 . Единичный круг, показывающий cos(0) = 1 и sin(0) = 0 Поскольку тангенс равен синусу, деленному на косинус, tan(0) = sin(0) / cos(0) = 0 / 1 = 0 .
Далее посмотрим, что происходит при 90 градусах. Координаты соответствующей точки (0, 1). Таким образом, sin(90) = y = 1 и cos(90) = x = 0.Круг будет выглядеть так:
Рис 5 . Единичный круг, показывающий, что cos(90) = 0 и sin(90) = 1А как насчет тангенса(90)? Когда мера косинуса приближается к 0 и оказывается знаменателем дроби, значение этой дроби увеличивается до бесконечности. Поэтому tan(90) называется неопределенным .
Теперь вопрос, который вы могли бы задать: поскольку sin изменяется от 0 до 1, а косинус изменяется от 1 до 0, равны ли они друг другу? Ответ — да, и это происходит ровно на полпути при 45 градусах! Круг выглядит так:
Рис 6 .Единичный круг, показывающий sin(45) = cos(45) = 1 / √2В результате того, что числитель совпадает со знаменателем, tan(45) = 1 .
Наконец, общая ссылка Unit Circle. Он отражает как положительные, так и отрицательные значения для осей X и Y и показывает важные значения, которые следует запомнить
Рис.
7 . Единичный круг, показывающий важные для запоминания значения синуса и косинусаВ заключение этого раздела всегда полезно помнить следующее тригонометрическое тождество, основанное на теореме Пифагора: 1.
Часть 3. Тригонометрический калькулятор
В качестве полезного практического инструмента я добавил простой тригонометрический калькулятор. Он принимает входные данные для измерения угла и выводит соответствующие значения для функций синуса , косинуса и тангенса .
В качестве меры угла можно выбрать градусов или радиан . Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки. Для количественных отношений, поскольку π радиан = 180 °, 1 радиан будет 180 ° / π или примерно 57 ° .Его можно вычислить с любой желаемой точностью.
Код калькулятора содержит некоторые базовые интерактивные функции и обработку ошибок в рамках ограничений редактора.
Его строительные блоки помечены и прокомментированы, поэтому любой, у кого есть желание изменить его, может легко это сделать.
Например, можно добавить новые функции, такие как ctg , sec и т. д., а также различные цветовые схемы и многое другое. Доступ к полному исходному коду можно получить, нажав здесь.
Введите градус или радиан и нажмите «Отправить».
Надеюсь, статья вместе с исходным кодом калькулятора будет вам полезна.С нетерпением жду его модификаций в ближайшее время.
Функция COS в Excel (формула, примеры)
Функция COS Excel — это встроенная тригонометрическая функция в Excel, которая используется для вычисления значения косинуса заданного числа или с точки зрения тригонометрии значения косинуса заданного угла, здесь угол это число в Excel, и эта функция принимает только один аргумент, который является предоставленным входным числом.
COS Функция Excel
Это встроенная функция MS Excel.Он относится к категории математических функций в MS Excel. Функция возвращает косинус угла, заданного в радианах. Параметр представляет собой значение угла, для которого вычисляется косинус. Угол можно рассчитать с помощью функции РАДИАНЫ или умножив его на PI()/180.
COS Формула
Формула COS в Excel выглядит следующим образом:
Формула COS в Excel имеет один аргумент, который является обязательным параметром.
- номер = Это обязательный параметр.Указывает угол, для которого должен быть рассчитан косинус.
Как использовать функцию COS в Excel?
COS можно использовать в Excel Worksheet как функцию Worksheet (WS), а также в Excel VBA. В качестве функции WS ее можно ввести как часть формулы COS в ячейку рабочего листа. В качестве функции VBA функции VBA служат основной цели для выполнения определенных вычислений и возврата значения.
Поэтому в VBA мы используем синтаксис для указания параметров и типа данных при определении функции.Такие функции называются пользовательскими функциями. Более того, их можно ввести в коде VBA.
Для лучшего понимания обратитесь к приведенным ниже примерам.
Пример №1. Расчет значения cos (0)
В этом примере ячейка B2 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. Ячейка C2 имеет связанную с ней формулу COS, то есть RADIANS. COS в excel присваивается ячейке D2. RADIANS(B2) равно 0. Кроме того, COS применяется к 0, что равно 1.
Следовательно, результирующая ячейка D2 имеет значение 1, так как COS(0) равен 1.
Пример №2. Расчет значения cos (30)
В этом примере ячейка B3 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. Ячейка C3 имеет связанную с ней формулу COS, то есть RADIANS. COS в excel присваивается ячейке D3. РАДИАНЫ (B3) равны 0,523598776.
Кроме того, COS применяется к 0,523598776, что равно 0,866025404.
Следовательно, результирующая ячейка D3 имеет значение 1 как COS (0.523598776) равно 1.
Пример №3. Расчет значения cos (45)
В этом примере ячейка B4 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. Ячейка C4 имеет связанную с ней формулу COS, то есть РАДИАНЫ. COS присваивается ячейке D4. РАДИАНЫ (B3) равны 0,523598776. Кроме того, COS применяется к 0,785398163, что равно 0,707106781.
Следовательно, результирующая ячейка D4 имеет значение 1, так как COS (0,707106781) равен 1.
Пример №4. Расчет значения cos (60)
В этом примере ячейка B5 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус.Ячейка C5 имеет связанную с ней формулу COS, то есть RADIANS. COS присваивается ячейке D5. РАДИАНЫ (B5) равны 1,047197551. Далее COS применяется к 1.047197551, что равно 0,5.
Следовательно, результирующая ячейка D5 имеет значение 0,5, поскольку COS (1,047197551) равен 0,5.
Пример № 5 – Рассчитать значение cos (90)
В этом примере ячейка B6 содержит значение угла, для которого необходимо вычислить косинус. С ячейкой C6 связана формула COS, которая равна B6*PI ()/180.COS присваивается ячейке D6. 90*PI ()/180 равно 1,570796327 . Значение PI() равно 3,14159. Итак, 90 * (3,14159/180) = 1,570796327. Далее COS применяется к 1.570796327, что равно 6.12574E-17 .
Следовательно, результирующая ячейка D6 имеет 6,12574E-17, поскольку COS (1,570796327) равен 6,12574E-17.
Что следует помнить о COS Функция в Excel- COS в Excel всегда предполагает, что в качестве параметра, для которого вычисляется косинус, используются радианы.
- Если угол выражен в градусах, его необходимо вычислить с помощью функции РАДИАНЫ или умножить угол на PI ()/180.
COS в Excel можно использовать в Excel VBA следующим образом.
Он служит той же цели, которая состоит в том, чтобы получить значение косинуса предоставленного угла.
Пример VBA #1
Dim val1 как двойной знач1 = потому что ( 0 ) значение1 : 1
Здесь val1 — это переменная. Он объявлен как Double, что указывает на то, что он может хранить данные с типом данных double.Косинус 0 равен 1. Следовательно, val1 имеет значение 1.
Пример VBA № 2
Const пи = 3,1415 Dim val As Double ' Преобразуйте 45 градусов в радианы, умножив их на pi/180. знач = Cos (45 * пи / 180) ' Переменная val теперь равна 0,7071067
Здесь угол 45 преобразуется в радианы с использованием той же формулы COS, что и на листе Excel.
Если для Cos в Excel указано нечисловое значение, он вернет Несоответствие типа. Когда мы присваиваем значение переменной, которая не соответствует ее типу данных, мы получаем ошибку несоответствия типа или код ошибки 13.Например, если мы присвоим десятичное или длинное значение переменной целочисленного типа данных, мы получим эту ошибку (код ошибки 13) при выполнении кода.
Читать далее Ошибка в коде Excel VBA.
Рекомендуемые статьи
Это руководство по функции COS в Excel. Здесь мы обсуждаем формулу COS в Excel и способы ее использования вместе с примером Excel и загружаемыми шаблонами Excel. Вы также можете посмотреть эти полезные функции в Excel —
Все в одном пакете Excel VBA (курсы 35 с проектами)- 35+ курсов
- 120+ часов
- Полный пожизненный доступ
- Сертификат об окончании
6.Выражение в форме R sin(θ + α)
М. Борна
В электронике часто встречаются выражения включая сумму синусов и косинусов. это удобнее писать такие выражения, используя один термин.
Наша проблема:
Express a sin θ ± b cos θ в форме
R sin( θ ± α),
где a , b , R и α – положительных констант.
Решение:
Сначала возьмем случай «плюс» ( θ + α), чтобы упростить задачу.
Пусть
a sin θ + b cos θ ≡ R sin ( θ + α)
(Символ «≡» означает: «тождественно равно»)
Используя приведенную выше формулу составного угла (Синус суммы углов),
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B,
мы можем разложить R sin ( θ + α) следующим образом:
R sin ( θ + α)
≡ R (sin θ cos α + cos θ sin α)
≡ R sin θ cos α + R cos θ sin α
Так
a sin θ + b cos θ ≡ R cos α sin θ + R sin θ 3079096
Приравнивая коэффициенты sin θ и cos θ в этом тождестве, у нас есть:
Для sin θ :
a = R cos α .
……..(1)
(зеленым цветом вверху)
Для cos θ :
b = R sin α ……..(2)
(выделено красным выше)
Уравнение (2) ÷ уравнение (1):
`b/a=(R sin alpha)/(R cos alpha)=tan alpha`
Так
`альфа=арктан\ б/а`
(α — положительный острый угол и a и b являются положительными .)
Теперь возводим в квадрат каждое уравнение. (1) и уравнение (2) и добавьте их, чтобы найти выражение для R .
[Ур. (1)] 2 + [уравнение. (2)] 2 :
а 2 + б 2
= R 2 cos 2 α + R 2 sin 2 α
= R 2 (cos 2 α + sin 2 α)
= Р 2
(поскольку cos 2 A + sin 2 A = 1)
Так
`R=sqrt(a^2+b^2`
(Возьмем только положительный корень)
В итоге, если
`альфа=арктан\ б/а`
и
`R=sqrt(a^2+b^2)`
, то мы выразили a sin θ + b cos θ в требуемой форме:
a sin θ + b cos θ = R sin( θ + α )
Вы заметите, что это очень похоже на
преобразование прямоугольной формы в полярную форму в полярную форму комплекса
Числа.
2)`
Наше уравнение для отрицательного случая:
a sin θ − b cos θ = R sin( θ − α)
Уравнения типа
a sin θ ± b cos θ = cЧтобы решить уравнение в форме
и sin θ ± b cos θ = c ,
выразить LHS в форма R sin( θ ± α) и затем решить
R sin( θ ± α) = c .
Упражнения — Форма синуса
1. (a) Выразите 4 sin θ + 3 cos θ в виде R sin( θ + α).
(b) Используя ответ из пункта (а), решите уравнение
4 sin θ + 3 cos θ = 2 для 0° ≤ θ < 360°.
Ответить
Часть (а)
Во-первых, пусть:
4 sin θ + 3 cos θ ≡ R sin( θ + α )
Тогда нам нужно:
`R=sqrt(4^2+3^2)=sqrt25=5`
`альфа=арктан(3/4)=36.
@`Так
4 sin θ + 3 cos θ = 5 sin( θ + 36,87°)
Что мы сделали?
Компоненты исходной функции:
(i) 4 sin θ (черный)
(ii) 3 cos θ (синего цвета, с 4 sin θ )
Когда мы складываем эти 2 компонента, мы получаем синусоиду, которая была смещена влево на `36.@`:
4 sin θ + 3 cos θ = 5 sin( θ + 36,87°) (выделено красным)
Часть (б)
Из части (а),
4 sin θ + 3 cos θ = 5 sin( θ + 36,87°)
Итак,
5 sin( θ + 36,87°) = 2
sin( θ + 36,87°) = 0,4
Синус положителен в квадрантах I и II.
Решение sin α = 0.@`
Верны ли эти ответы?
Из графика видно, что в области 0° ≤ θ < 360° только два угла дают значение 2: 119,6° и 346,7°.
2)=13`
и `альфа=арктан(5/12)=0.39479`.
Итак, `12\ sin t+5\ cos t=` `13\ sin(t+0.39479)`
Итак, мы видим, что амплитуда 13 А и это максимум ценность.
Чтобы найти первый случай, нам нужно решить
`13\ sin(t+0.39479)=13`
То есть
`sin(t+0,39479)=1`
Теперь sin θ = 1 в первый раз когда `тета=пи/2`. Итак, нам нужно решить:
`т+0,39479=пи/2`
`t=пи/2-0.39479=1,176`
Таким образом, максимальное значение 13 А впервые произойдет в момент времени t = 1,176 с.
Из графика видно, что это верно:
`i=12\ sin t+5\ cos t`
4. Решите 7 sin 3 θ − 6 cos 3 θ = 3,8 для 0° ≤ θ < 360°.
Ответить
Сначала представим LHS в виде R sin(3 θ − α ).
(Обратите внимание на отрицательный знак и на `3θ`! Мы должны
увеличить домен в 3 раза.
@`.
5. Сила тока и ампер в определенной цепи через t секунд предоставлено
`i=2\ sin(t-pi/3)-cos(t+pi/2)`
Найдите максимальный ток и самое раннее время его имеет место.
(Примечание: t > 0)
Ответить
Нам нужно получить это в более простой форме. В этом один, обратите внимание, что углы в скобках не совпадают с !
Мы должны сначала упростить их, чтобы углы в скобках были такой же.2)=2,646`
`alpha=arctan(1.732/2)=` `0.714\ текст(радианы`
Так
`2\ sin t − 1,732\ cos t =` ` 2,646\ грех (т — 0,714)`
Таким образом, максимальное значение этого параметра равно `2,646\ «A»`.
Чтобы найти, когда это происходит, нам нужно решить:
`2,646\ sin(t − 0,714) = 2,646`
т. е. `sin(t − 0,714) = 1`
`t — 0,714 = π/2``t = 2,29`
Итак, `t = 2.
29\ «с»` — это время, когда
сначала достигается максимум.
Мы также можем выразить нашу сумму синуса и косинуса, используя косинус вместо синус . В некоторых ситуациях это может быть удобнее.
Полученные выражения аналогичны тем, которые мы получили для синусоидального случая, но обратите внимание на различия по мере продвижения.
Для a , b и R положительного и острого α наше эквивалентное выражение дается следующим образом:
a sin θ + b cos θ ≡ R cos ( θ − α)
На этот раз способ получения α отличается от предыдущего.
Расширение R cos ( θ − α) с использованием нашего результата для расширения cos(A − B) дает нам:
R cos ( θ − α) = R cos θ cos α + R sin θ sin α
Перестановка и приравнивание коэффициентов дает нам
a sin θ + b cos θ ≡ R cos α cos θ + R sin α θ 9 Итак: a = R sin α . Итак, сумма синуса и косинуса объединена в один косинус: a sin θ + b cos θ ≡ R cos( θ − α) И снова a , b , R и α положительны константы, а α острая. Если у нас есть a sin θ − b cos θ и нам нужно выразить это в терминах одной функции косинуса, нам нужно использовать формулу: a sin θ − b cos θ ≡ − R cos ( θ + α) Еще раз, a , b и R положительны.2` 1. Выразить 7 sin θ + 12 cos θ в виде R cos ( θ − α), где 0 ≤ α < π/2. Ответить Находим α с помощью `альфа=арктан\ а/б` α должно быть в радианах для этого примера, так как нам говорят «0 ≤ α < π/2». Так как `a = 7` и `b = 12`, мы имеем: `α = арктангенс (7/12) = 0.2)=13,892` Следовательно, мы можем написать: 7 sin θ + 12 cos θ = 13,892 cos ( θ − 0,528) Чтобы проверить наш ответ, мы рисуем графики как y = 7 sin θ + 12 cos θ , так и y = 13,892 cos ( θ − 0,528). Мы видим, что они абсолютно одинаковы. (показан только один). Мы видим, что наш график косинуса имеет амплитуду «13,892» и сдвинут вправо на «0».528` радиан, что согласуется с полученным выражением: 13,892 cos ( θ − 0,528) 2. Выразить 2,348 sin θ − 1,251 cos θ в виде −R cos ( θ + α), где 0 ≤ α < π/2. Ответить Мы находим α, используя `a=текст(arctan)a/b` Опять же, в этом примере `α` должно быть в радианах. Так как `a = 2,348` и `b = 1,251`, мы имеем: `α = арктангенс (2.2) = 2,660` Итак, мы можем написать: 2,340 sin θ − 1,251 cos θ = -2,660 cos ( θ + 1,081) Проверяя с помощью графика, получаем для каждой стороны нашего ответа следующее: Мы видим, что наша кривая отрицательного косинуса имеет амплитуду 2,660 и смещена влево на 1,081 радиан, что согласуется с выражением -2,660 cos ( θ + 1,081). Вот сводка выражений и условий, которые мы нашли в этом разделе. В каждом случае a , b и R положительны, а α представляет собой острый угол.
2)` Косинус минус Футляр
Упражнения на косинус
Резюме
Исходное выражение Комбинированное выражение α а sin θ + b cos θ R sin ( θ + α ) `alpha=` арктан (б/а)` а sin θ − b cos θ R sin ( θ − α ) `alpha=` арктан (б/а)` а sin θ + b cos θ R cos ( θ − α ) `альфа=` арктан (а/б)` а sin θ − b cos θ −R потому что ( θ + α ) `альфа=` арктан (а/б)` 