Что такое степень определение в математике: Что такое степень | Алгебра

2 = -16$  

Решение. 1) Степень $x$ четная, поэтому возможны два значения:

$$x_{1}=\sqrt[1]{81}=3, x_{2}=-\sqrt[1]{81}=-3$$

2) Степень $y$ нечетная, поэтому данное уравнение имеет единственный корень:

$$y=\sqrt[3]{-125}=-\sqrt[3]{125}=-5$$

3) Это уравнение можно преобразовать к виду: $z = \sqrt{-16}$ . Нельзя извлечь корень четной степени из отрицательного числа. Поэтому действительных корней данное уравнение не имеет.

Ответ.  1) $x_1 = 3, x_2 = -3$

             2) $y = -5$

             3) решений нет.

Для любого $x$

Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают.

Например. Корень квадратный из 7 обозначают просто $\sqrt{7}$ .

Корень третей степени называют кубичным корнем: $\sqrt[3]{a}$ .

Содержание

Алгебраические свойства корней

Для любых натуральных $n$ и $k$, больших единицы, и любых неотрицательных $a$ и $b$ верны равенства:

Степенью числа $a \gt 0$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное ($n \gt 1$), называется число $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$. При $a \lt 0$ , рациональная степень числа $a$ не определена. Все свойства степеней с натуральным показателем справедливы так же и для степеней с рациональным показателем.

Читать дальше: что такое модуль числа.

Определение степени с дробным показателем. Преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем 9 класс

Тема 16.

Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.

Мы знаем, какой смысл имеет выражение an, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2-5 означает число, обратное степени 25. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство amn=amn.

Например, 5217=5217=53=125,

так как 537=521.

Определение: Если a – положительное число, mn – дробное число (m – целое, n – натуральное), то

amn=amn.

Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если mn – дробное положительное число (m и n – натуральные), то 0mn=0.

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как -234 или -813 не имеют смысла.

Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: 34;68;912 и т.д

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,

268=268=234=234.

В общем случае это выглядит так:

пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:

amknk=amknk=amn=amn

Свойства степени с рациональным показателем.

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.

Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:

  1. apaq=ap+q
  2. ap:aq=ap-q
  3. apq=apq

Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального числа p:

  1. abp=apbp
  2. abp=apbp

Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p

a-p=1ap

Например,

27∙6413=2713∙6413=3∙4=12

Показатель степени в математике с примерами решения и образцами выполнения

При введении понятия о степени подразумевалось, что показатель степени — целое положительное число. Все правила действий над степенями были выведены в этом предположении.

В математике наряду со степенями с целыми положительными показателями рассматриваются также и степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями. Более того, исследование некоторых вопросов, имеющих очень большое значение, требует рассмотрения степеней с иррациональными показателями.

В этой главе будет введено понятие о степени с любым вещественным показателем и будет показано, что все правила действий над степенями, выведенные для целых положительных показателей, сохраняются и для любых вещественных показателей.

Понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем

Определение. Если а ≠ 0, то а⁰ = 1. Нулевая степень числа, отличного от нуля, равна единице.

Например, 2°= 1; (0,75)°= 1; (—√3)° = 1. Выражение 0° смысла не имеет.

Определение:

Если а ≠ 0 и q — целое положительное число, то

Целая отрицательная степень числа, отличного от нуля, равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя.

Например,

Теорема:

При любых целых положительных m и n справедливо правило деления степеней

Доказательство:

Если m > n, утверждение в доказательстве не нуждается.

Если m = n, справедливость утверждения вытекает из определения нулевого показателя.

Если m < n, справедливость утверждения вытекает из определения целого отрицательного показателя.

Теорема доказана.

Определение нулевого и отрицательного показателей возникло в связи с желанием обобщить установленное ранее правило деления степеней одной и той же величины. Это правило

было выведено в предположении, что m и n— целые положительные числа и что m > n.

Допустим, что правило деления степеней можно применять и.тогда, когда показатель степени делимого равен показателю степени делителя и когда» показатель степени делимого меньше показателя степени делителя.

Пусть m = n, тогда

С другой стороны,

Сравнение результатов (1) и (2) показывает, что a° = 1

Пусть m < n , т. е. n = m + q, где q — положительное число.

Тогда имеем

С другой стороны, посредством сокращения получаем

Сравнение результатов (3) и (4) показывает, что целесообразно считать

где q — целое положительное число.

Рассуждения, которые приведены выше, не являются, конечно,

доказательствами того, что Эти рассуждения проведены только для того, чтобы показать, что принимаемые нами определения нулевого и отрицательного показателя подсказаны нам опытом деления степеней с одним и тем же основанием и единственно возможны, если мы желаем сохранить правило деления степеней для случая, когда показатель степени делимого не превосходит показателя степени-делителя.

Замечание:

Не следует думать, что введением отрицательного показателя дробное выражение превращается в целое . Выражение является лишь другой формой записи выражения

Понятие о степени с дробным показателем

Определение:

Если a > 0 и числа m и n натуральные, то

Пример:

Определение дробного показателя возникло в связи с желанием обобщить правило извлечения корня на случай, когда показатель подкоренного количества не делится на показатель корня. Правило

было выведено в предположении, что m и n натуральные и m делится на n. Теперь, это правило можно применять и тогда, когда m и n— любые натуральные числа.

Известно, что рациональная дробь может быть представлена в различных видах. Например, может быть представлена как и т. п. Выражение с дробным показателем не зависит oт того, в каком виде представлен показатель. Пусть

Тогда

В силу (1) правые части равенств (2) и (3) тождественны. Поэтому

Определение дробного показателя не распространяется на степени с отрицательными основаниями, так как тогда выражения с дробными показателями не обладали бы столь простым и важным свойством, которое указано.

Пример:

Допустим, что определение дробного показателя распространено на степени с отрицательным основанием. Тогда

В то же время

Замечание:

Не следует думать, что введением дробного показателя иррациональное выражение превращается в рациональное . Если выражение иррациональное, то и выражение тоже иррациональное. Выражение является лишь другой формой записи выражения

Понятие о степени с дробным отрицательным показателем

Определение:

Если а — положительное число, то

где m и n— любые натуральные числа.

То есть дробная отрицательная степень положительного числа равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя. Например,

Теорема:

При любом целом х

Доказательство:

Если x > 0 справедливость утверждения вытекает из определения дробного показателя.

Если х = 0, то

С другой стороны,

Пусть x < 0. Положим х = — m,m > 0. Имеем :

Действия над степенями с рациональными показателями

В этом параграфе буквы m, n, р, q обозначают целые положительные числа, буква r, а также r₁— любые рациональные числа.

Теорема:

Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и с показателем, равным сумме показателей.

Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, т. е.

Доказательство:

Переместительный закон умножения справедлив для любых действительных чисел. При любых рациональных r и r₁ степени —действительные числа, поэтому

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть следующие случат

Случай 1. r = 0; r₁ — любое рациональное число. Имеем

Случай 2.Имеем

Случай 3. Имеем

Случай 4. имеем

На основании доказанного в случае 2

Значит,

Методом математической индукции можно показать, что теорема верна для любого количества множителей.

Пример:

Пример:

Теорема:

Частное от деления степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и с показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Короче; при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, т. е.

Доказательство:

На основании правила умножения степеней

Отсюда по определению деления

Пример:

Пример:

Теорема:

Степень произведения двух чисел равна произведению степеней сомножителей, т. е.

Доказательство:

Возможны три случая:

Случай 1. r = 0. Имеем

Следовательно,

Случай 2. . Имеем

Случай 3. Имеем

На основании доказанного в случае 2

Значит,

Методом математической индукции можно показать, что теорема верна для любого количества множителей.

Теорема:

Степень дроби равна частному от деления степени числителя с показателем, равным показателю дроби на степень знаменателя с показателем, равным показателю дроби.

Короче: степень дроби равна частному от деления степени числителя на степень знаменателя, т. е.

Доказательство:

Возможны три случая:

Случай 1. r = 0. Имеем

Следовательно,

Случай 2. Имеем

Случай 3. Имеем

На основании доказанного в случае 2

Значит,

Пример:

Теорема:

Результат возведения степени в степень равен степени с тем же основанием и с показателем, равным произведению показателей, участвующих в действии.

Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются, т. е.

Доказательство:

Возможны шесть случаев:

Случай 1. r = 0. Имеем

Случай 2. r₁=0. Имеем

Случай 3. r > 0; r₁ > 0. Положим Тогда

Случай 4, r < 0, r₁ > 0. Положим r = — r₂r₂, > 0. Тогда

На основании теоремы 4 и доказанного в случае 3

Значит,

Случай 5. r > 0; r₁ < 0. Положим r₁ = — r₃, r₃, > 0. Тогда

На основании доказанного в случае 3

Значит,

Случай 6. r < 0; r₁ < 0. Положим r = -r₂, r₁ = — r₃, r₂ > 0, r₃ >0. Тогда

На oсновании доказанного в случае 4

Значит,

Следствие.

Пример:

Из доказанных теорем вытекает, что для степеней с любыми рациональными показателями справедливы следующие правила, которые были ранее установлены для степеней с натуральными показателями:

1) правило умножения степеней;

2) правило деления степеней;

3) правило возведения произведения в степень;

4) правило возведения дроби в степень;

5) правило возведения степени в степень.

Пример:

Вычислить при а = 2,5 и b= 20

Решение:

При а = 2,5; b = 20 имеем

Ответ. А = 4

Степень с рациональным показателем

Теорема:

Пусть r рационально, тогда

1) если а > 1 и r > 0, то > 1; .

2) если 0 < a < 1 и r > 0 , то < 1

3) если а > 1 и r < 0, то < 1;

4) если 0 < a < 1 и r < 0, то > 1

Доказательство:

1) Пусть а > 1 и , где m и n— натуральные числа. Тогда

Так как

2) Пусть а< 1 и . Положим тогда a₁ > 1. Имеем

так как по доказанному в п. 1)

3) Пусть а > 1 и , тогда

так как по доказанному в п. 1)

4) Пусть а < 1 и , тогда

так как < 1 (по доказанному в п; 2).

Теорема:

Если а > 1 и рациональное r больше рационального r₁, то если же 0 < а < 1, то , т. е. если а > 1 то при возрастании r возрастает и степень , а если 0 < a < 1, то при возрастании r степень убывает.

Доказательство:

Пусть a > 1 и r > r₁ Рассмотрим разность

Так как и, следовательно, , т. е.

Пусть а < 1 и r > r₁. Рассмотрим разность

Так как

Теорема:

Если c > 0, то последовательность имеет пределом единицу, т. е.

Доказательство:

Имеем последовательность

При с = 1 утверждение проверяется легко. Остается рассмотреть два случая: c > 1 и c < 1.

Предположим сначала, что с > 1. Тогда каждый член последовательности (3) больше единицы. Обозначим

Тогда последовательность (3) может быть переписана так:

где при любом n.

Пусть теперь n >1 тогда (см. теорему 1 § 9 гл. V)

Но значит,

Последнее неравенство показывает, что по любому заданному положительному e можно указать столь большой номер N, что при всех n >N число будет меньше e. Действительно, чтобы было меньше е, достаточно, чтобы Таким образом, за N можно принять любое целое число, бoльшее Отсюда вытекает, что а тогда

Пусть теперь подкоренное выражение c₁ меньше единицы. Положим Тогда последовательность

примет такой вид:

или, что все равно,

Последовательность (4), составленная из знаменателей последовательности (7), как показано, стремится к единице, значит, и последовательность (7) стремится к единице, т. е. опять

Понятие о степени с иррациональным показателем

Пусть а — какое-нибудь положительное число и а — иррациональное. Какой смысл следует придать выражению ?

Чтобы сделать изложение более наглядным, проведем его на частном примере. Именно, положим а = 2 и а = 1,624121121112…. Здесь, а — бесконечная десятичная дробь, составленная по такому закону: начиная с четвертого десятичного знака, для изображения а употребляются только цифры 1 и 2, и при этом количество цифр 1, записываемых подряд перед цифрой 2, все время увеличивается на одну. Дробь а непериодическая, так как иначе количество цифр 1, записываемых подряд в его изображении, было бы ограниченным. Следовательно, а — иррациональное число.

Итак, какой же смысл следует придать выражению

Чтобы ответить на этот вопрос, составим последовательности значений а с недостатком и избытком с точностью до . Получим

1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)

1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; … (2)

Составим соответствующие последовательности степеней числа 2:

Последовательность (3) возрастает, так как возрастает последовательность (1) (теорема 2 § 6).

Последовательность (4) убывает, так как убывает последовательность (2).

Каждый член последовательности (3) меньше каждого члена последовательности (4), и, таким образом, последовательность (3) ограничена сверху, а последовательность (4) ограничена снизу.

На основании теоремы о монотонной ограниченной последовательности каждая из последовательностей (3) и (4) имеет предел. Если теперь окажется, что разность последовательностей (4) и (3) сходится к нулю, то из этого будет вытекать, что обе эти последовательности, имеют общий предел.

Разность первых членов последовательностей (3) и (4)

Разность вторых членов

Разность n-х членов

На основании теоремы 3 § 6

Итак, последовательности (3) и (4) имеют общий предел. Этот предел является единственным вещественным числом, которое больше всех членов последовательности (3) и меньше всех членов последовательности (4), его и целесообразно считать точным значением .

Из сказанного вытекает, что и вообще целесообразно принять следующее определение:

Определение:

Если a > 1 то степенью числа а с иррациональным показателем а называется такое действительное число, которое больше всех степеней этого числа, показатели которых есть рациональные приближения а с недостатком, и меньше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с избытком.

Если a < 1 то степенью числа а с иррациональным показателем а называется такое действительное число, которое больше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с избытком, и меньше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с недостатком.

.Если а= 1, то степенью его с иррациональным показателем а является 1.

Пользуясь понятием предела, это определение можно сформулировать так:

Степенью положительного числа с иррациональным показателем а называется предел, к которому стремится последовательность рациональных степеней этого числа при условии, что последовательность показателей этих степеней стремится к а, т. е.

Пример:

Вычислить с точностью до 0,1 число , если а= 1,624121121112 … (а то же, что и выше).

Решение:

Для приближенного вычисления заметим, что

Далее,

Таким образом, < 3,09.

Испытанием уходим, что (3,03)⁵ = 255,3954324543 < 256. Поэтому . Выходит, что

Число вычислено с точностью до: 0,06.

Свойства степени с любым вещественным показателем

Теорема:

1) Если а > 1 и а > 0, то

2) если 0 < а < 1 и а>0, то

3) если а > 1 и а < 0, то

4) если 0 < а < 1 и а<0, то

Доказательство:

1) Это утверждение доказано для случая, когда о рационально (теорема 1 § 6).

Пусть о иррациональное. Рассмотрим последовательность {} десятичных приближений а с недостатком с точностью до . Среди членов этой последовательности должны находиться, и положительные числа, так как если бы при всех n, то и

Пусть (теорема 1 §6). Но Значит,

2) Положим , тогда a₁ >. 1. По доказанному , значит,

3) Пусть а > 1; а < 0. Положим . Рассмотрим

По доказанному в п. (1) Значит,

4) Пусть а<1; а<0. Положим. Тогда

так как (по доказанному в п. 2).

Теорема:

Если а > 1 и число а больше , то т. е. при а > 1 функция возрастает.

Если 0 < a < 1 и a > то , т. е. при 0 < a < 1 функция убывает.

Доказательство:

Пусть . Рассмотрим разность

Так как , то и, следовательно, . Пусть Рассмотрим

Так как

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Урок 11.

Что такое степень с натуральным показателем

15.1

Условие:

Решение:

Советы:

Основание степени - это множитель, показатель - количество множителей

15.2

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это множитель, показатель - количество этих множителей

15.3

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это множитель, показатель - количество этих множителей

15.4

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это множитель, показатель - количество этих множителей

15.5

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это множитель, показатель - количество этих множителей

15.6

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это множитель, показатель - количество этих множителей

15.7

Условие:

Решение:

Советы:

Основание степени - это повторяющийся множитель, показатель - сколько раз повторяется множитель

15. 8

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это повторяющийся множитель, показатель - сколько раз повторяется множитель.

15.9

Условие:

Решение:

Советы:

Основание показывает произведение каких множителей нужно записать, показатель - сколько раз нужно перемножить данный множитель.

15.10

Условие:

Решение:

Советы:

Основание показывает произведение каких множителей нужно записать, показатель - сколько раз нужно перемножить данный множитель.

15.11

Условие:

Решение:

Советы:

Подставить вместо показателя степени n число и перемножать основание степени n раз.

15.12

Условие:

Решение:

Советы:

Подставить вместо основания степени a число и перемножать это основание столько раз, сколько написано в показателе степени.

15.13

Условие:

Решение:

Советы:

Какое число нужно умножить само на себя, чтобы получить заданное число.

15.14

Условие:

Решение:

Советы:

Нужно определить, какое число нужно умножить само на себя три раза, чтобы получить заданное число.

15.15

Условие:

Решение:

Советы:

Основание - это множитель , который повторяется, показатель - сколько раз надо этот множитель повторить.

15.16

Условие:

Решение:

Советы:

Вспомните формулы площади квадрата (прямоугольник, у которого стороны равны) и объема куба  (параллелепипед, у которого все ребра равны).

15.17

Условие:

Решение:

Советы:

Вспомните формулы площади квадрата (прямоугольник, у которого стороны равны) и объема куба  (параллелепипед, у которого все ребра равны).

15.18

Условие:

Решение:

Советы:

Вспомните формулы площади квадрата (прямоугольник, у которого стороны равны) и объема куба  (параллелепипед, у которого все ребра равны).

15.19

Условие:

Решение:

Советы:

Куб состоит из 6 граней (квадратов).  Площадь грани куба - это площадь квадрата со стороной равной ребру куба. 
Вспомните формулу объема куба и подставляйте числа в формулы.

15.20

Условие:

Решение:

Советы:

Посчитайте каждую степень отдельно, потом выполните умножение.

15.21

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала выполняйте возведение в степень, затем умножение или деление.

15.22

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала выполняйте возведение в степень, затем сокращайте дробь.

15.23

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала переведите смешанное число в неправильную дробь, затем выполняйте возведение в степень.

15.24

Условие:

Решение:

Советы:

В основание записываем повторяющийся множитель, в показатель, сколько раз нужно его повторить.

15.25

Условие:

Решение:

Советы:

В основание записываем повторяющийся множитель, в показатель, сколько раз нужно его повторить.

15.26

Условие:

Решение:

Советы:

Запишите каждую степень отдельно, затем перемножьте степени.

15.27

Условие:

Решение:

Советы:

Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

15.28

Условие:

Решение:

Советы:

Площадь поверхности куба состоит из шести равных квадратов.

15.29

Условие:

Решение:

Советы:

Чтобы решить задачу, нужно посчитать площадь стен без площади окна и двери.

15.30

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала нужно узнать площадь пола (это площадь квадрата со стороной 4).

15.31

Условие:

Решение:

Советы:

Найдите объем аквариума (объем куба).
1 л = 1 куб.дм

15.32

Условие:

Решение:

Советы:

Можно вынести общий множитель за скобку. Или сначала посчитайте степени, потом выполните умножение и только после сложение.

15.33

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала выполняется возведение в степень, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

15.34

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала выполняется возведение в степень, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.

15.35

Условие:

Решение:

Советы:

Сначала переведите смешанное число в неправильную дробь, затем выполните возведение в степень, затем вычитание/сложение.

15.36

Условие:

Решение:

Советы:

По приоритету сначала выполняется возведение в степень. Если минус перед степенью, он не относится к основанию и остается перед значением этой степени.

15.37

Условие:

Решение:

Советы:

Вспомните определение степени.

«Степень с натуральным показателем и ее свойства»

  Работа в группах ( деление групп  по цвету)

Групповая работа.

 Создание кластера. Дифференциация по диалогу  и поддержки. Обсуждают, создают кластер, защищают его.

(  приём «Три хлопка»)

 Какие действия со степенями вы знаете?

Повторение свойств:

am ∙ an = am+n

am:an  =am-n

(am)n = amn

(ab)m = am∙bm

(a:b)m = am:bm

Групповая  работа.   Эстафета :  «Кто быстрее»? (зеленый смайлик- кто быстрее,  желтый  смайлик- кто медленнее) Дифференциация по темпу.

 Соедините линиями выражения, ответствующие друг другу:

2.Заполните кластер.

Найди ошибку (работа в группе)

Групповая  работа.  Эстафета :  «Кто быстрее»? (зеленый смайлик- кто быстрее,  желтый  смайлик- кто медленнее) Дифференциация по темпу.

 — Ученик, выполняя преобразования выражений, допустил ошибки. Исправьте ошибки и  объясните, какие определения, свойства и правила не знает ученик.    

  (защита 1 представитель от каждой группы)

Следующее задание  я вам предлагаю выполнить в парах:

Работа в парах. Метод « Подумай и  выполни  в паре».                                    ( взаимооценивание)  Дифференциация по темпу .

зеленый смайлик- без ошибок

желтый смайлик-  одна ошибка

 

красный смайлик-  две ошибки

 

Работа в группе. Метод частично-поисковый.  (самооценивание)

 Дифференциация по темпу, по заданию.

зеленый смайлик-  четыре задания выполнены

желтый смайлик-  три  задания выполнены

красный смайлик-           одно задание выполнено

Общеклассная работа

  «Блуждающие   молекулы»

1        ядро- знак плюс

2        ядро –знак минус

Учащиеся встают в круг и всем раздаются карточки с двумя степени , учащимся надо выполнить действие со степенями. Учащиеся идут по кругу под музыку и  вычисляют. У кого действие умножение со степенями образовывают круг вокруг знака  плюс, а у кого  действие деление со степенями вокруг знака минус.

                        Творческое задание (работа в группах)

Групповая  работа.  Эстафета :  «Кто быстрее»? (зеленый смайлик- кто быстрее,  желтый  смайлик- кто медленнее) Дифференциация по темпу.

 1. Но в повседневной жизни нам с вами часто приходится сталкиваться с геометрией. Давайте решим задачу: у вас на столах лежат цветные круги и квадраты. Ваша задача измерить сторону квадрата и радиус круга и вычислить площади этих фигур.                            

2.      Магический квадрат. Задание на скорость.

Заполните свободные клетки квадрата так, чтобы произведение выражений каждого столбца, каждой строки и диагонали равнялось

 

Работа в парах. Метод « Подумай и  реши в паре».  ( взаимооценивание)  Дифференциация по темпу .

зеленый смайлик- без ошибок

желтый смайлик-  три ошибка

 

красный смайлик-  четыре ошибки

 Запишите ответ в виде степени с основанием  С  и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который первым ввел понятие степени числа.

Формативное оценивание ( 5 минут)

 

Индивидуальная работа. Дифференциация по темпу, по оцениванию.

зеленый смайлик- без ошибок

желтый смайлик-   две ошибки

красный смайлик-    три ошибки    

Критерий оценивания:  Обучающийся

Выполняют действия со степенями.

Уровень мыслительных навыков:

 Знание и понимание. Применение.

Критерии    оценивания

Дескриптор

 

 

Применяют свойства степени с натуральным показателем.

Знают и применяют правила умножения степени с натуральным показателем.

Знают и применяют правила деления степени с натуральным показателем.

Знают и применяют правило возведения дроби в степень с натуральным показателем.

Знают и применяют правило возведения в степень произведения

Знают и порядке и применяют правило возведения степени в степень.

Математические операции — Математический инструментарий для анализа данных

[МУЗЫКА] Здравствуйте. В этом уроке мы рассмотрим некоторые простые математические операции, которые вы могли не использовать какое-то время. Если кто-то считает, что он их знает, то урок, конечно же, можно пропустить. Они понадобятся нам как для анализа данных, так и для понимания теории вероятностей. Первая простая операция из этого списка — это возведение в степень. Она является многократным подсчетом произведения числа самого на себя. Посмотрим на первую строку: выражение до знака «равно» считается как два во второй степени. Это равно двойке, умноженной на себя два раза, то есть два на два. На второй строке уже сложнее: два в третьей степени. Два в третьей степени — это двойка, умноженная на себя уже три раза, таким образом, результат равен восьмерке. Вторая степень обычно называется квадратом числа, так что можно говорить не «два во второй степени», а «два в квадрате». Это связано с тем, что для нахождения площади квадрата мы должны умножить длину его стороны саму на себя, иначе говоря, возвести во вторую степень. Третья степень называется кубом числа. Логика похожа, если умножить длину ребра саму на себя три раза, то есть возвести в третью степень, то мы получим объем куба. На третьей строке очередной пример возведения в степень: три в пятой степени, которое равно 243. А вот далее идут некоторые важные случаи. Во-первых, любое число в первой степени — это само число. Убедиться в этом не трудно, так как это число, умноженное само на себя один раз, то есть в таком произведении только это одно число, и оно встречается один раз. Единица в любой степени равна единице: сколько раз единицу саму на себя ни умножай, все равно получим единицу. Интересный случай получается при возведении в нулевую степень: в этом случае результат всегда будет равен единице. И самый интересный случай — это ноль в нулевой: в этом виде выражение смысла не имеет, результата у него нет, это очень похоже на ситуацию, когда мы делим на ноль. Такие значения рассматриваются в математическом анализе, а мы просто будем знать, что с числами так делать нельзя. При сложении мы можем найти слагаемое вычитанием из суммы другого слагаемого. При умножении мы можем найти множитель делением произведения на другой множитель. Так же и с возведением в степень: мы можем найти основание степени — это то число, которое возводится в некоторую степень, зная показатель этой степени и результат вычисления. Например, возьмем четверку и захотим вычислить, чему равно число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить четверку. Для этого нужно найти корень второй степени, или же квадратный корень: в этом случае он равен двум, так как два умножить на два равно четыре. Так же можно найти и число, которое нужно возвести в третью степень, чтобы получить число «восемь», нужно найти то есть корень третьей степени. При этом важно запомнить, что корень с четной степенью — два, четыре, шесть и так далее — нельзя искать от отрицательного числа. При этом результат извлечения корня четной степени — это число положительное. Эта оговорка очень важна, потому что числа, которые дают четные степени, идут парами: число и это число с другим знаком. Так, например, четыре — это два в квадрате и минус два в квадрате. Поэтому, по-хорошему, мы должны были бы написать, что корень из четверки равен двум или минус двум. Но математики договорились, что результатом извлечения корня четной степени будет только одно из этих двух чисел, но при этом они знают, что оно имеет еще и пару, и ее можно легко определить, если этого требует задача. Надо оговориться, что эта математика применима только к вещественным числам. Вкратце вспомним логарифм, чтобы просто иметь в виду, что это за операция. Для возведения в степень мы уже находили результат возведения в степень, основание, которое нужно возвести в степень, но не искали показатель. Логарифм как раз таки и нужен, чтобы найти этот показатель степени. Запись на слайде читается как «логарифм четырех по основанию к двум». Если читать чуть более по-человечески, то запись на слайде задает вопрос: в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить четверку? Я, наверное, уже утомил, но повторю, что два во второй степени дает четверку, а значит, результат такого логарифма равен двум. Для логарифма основание степени и само число под знаком логарифма должны быть больше ноля, при этом основание не должно равняться единице. Последняя операция, которую нам важно знать для этого курса, — это нахождение факториала числа. Факториалом называют произведения всех чисел от единицы до числа, от которого берется факториал. Факториал трех равен: три умножить на два, умножить на один, то есть до шести. Важно запомнить, что факториал от нуля равен единице. Факториал окружит нас, когда мы будет изучать испытания по схеме Бернулли. На этом мы закончим с базовой математикой и перейдем к функциям. Должен предупредить, что следующие два урока не принесут ничего нового тем, кто помнит программу, возможно, старших классов школы.

Как возвести в степень √2 ? Вспоминаем школьную математику | Математика не для всех

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех», чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

Добрый день, уважаемый читатель! Недавно в комментариях меня спросили, как возводить в иррациональную степень? В этой статье отвечу на этот интересный вопрос, но сначала начну с азов, ведь как бы ни хотели некоторые товарищи, с возведением в степень сталкивается каждый. Поехали!

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция, подразумевающая многократное умножение (в количестве b раз) основания степени a:

Пока что мы не даем никаких сведений, какого вида могут быть а и b

Пока что мы не даем никаких сведений, какого вида могут быть а и b

Не буду приводить здесь примеры, потому что они слишком тривиальны, а лучше поговорю о свойствах степеней:

Но помните, что a^b не равно b^a, кроме пары случаев

Но помните, что a^b не равно b^a, кроме пары случаев

Например:

Однако, бывают такие моменты в математике, когда степени записывают одна за другой, «башенкой». Как тогда это считать ?

А «башенка» может быть и бесконечной

А «башенка» может быть и бесконечной

Пока пропустите этот момент. Позже сможете вернуться и прочитать про эту удивительную операцию в этой статье. Мы же пройдемся по возведению в степень разных чисел.

Целые числа

Если Вы забыли, что такое целые числа, рекомендую почитать вот этот материал. Сейчас же остановимся на том, что это — 0,1,2 и те же числа с минусом. Для целых чисел операция возведения в степень знакома всем:

Минус перед показателем требует, чтобы мы переместились в знаменатель дроби. Для отрицательных оснований ничего ровным счетом не меняется, нужно только следить за знаком.

Минус перед показателем требует, чтобы мы переместились в знаменатель дроби. Для отрицательных оснований ничего ровным счетом не меняется, нужно только следить за знаком.

Рациональные числа

Не претендуя на строгость, скажу что рациональные числа «расширяют» целые, добавляя к ним отрицательные и положительные дроби. Что же с возведением в степень?

С возведением в рациональную степень нужно быть аккуратным. Легко получить минус под знаком корня и мнимую единицу в ответе.

С возведением в рациональную степень нужно быть аккуратным. Легко получить минус под знаком корня и мнимую единицу в ответе.

Иррациональные числа

К иррациональным числам относятся те числа, которые невозможно представить рациональной дробью. Вот в этом материале я писал про самое первое иррациональное число в истории математики. Теперь отвечу на вопрос, как, например, возвести число 2 в степень равную корню из 2 ? Ответ, на самом деле, очень простой. Отмечу, что любое иррациональное число можно «сжать» с двух сторон с некоторой точностью рациональными дробями. Что я имею ввиду на конкретном примере:

Точность, конечно, можно повышать.

Точность, конечно, можно повышать.

Для понимания возведения в комплексную степень неподготовленного читателя необходимо немножечко просветить, поэтому оставлю этот материал для следующих публикаций. То же самое касается неопределенностей, возникающих при возведении в степень.

**************************************************************************

Путеводитель по каналу «Математика не для всех» — здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! Например, почитайте про трансцендентные числа!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************

Как найти степень многочлена

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

 

Определение и математика работы

В первых трех разделах класса физики мы использовали законы Ньютона для анализа движения объектов. Информация о силе и массе использовалась для определения ускорения объекта.Информация об ускорении впоследствии использовалась для определения информации о скорости или смещении объекта через заданный период времени. Таким образом, законы Ньютона служат полезной моделью для анализа движения и предсказания конечного состояния движения объекта. В этом блоке для анализа движения объектов будет использоваться совершенно другая модель. Движение будет рассматриваться с точки зрения работы и энергии. Будет исследовано влияние работы на энергию объекта (или системы объектов); результирующая скорость и / или высота объекта могут быть предсказаны на основе информации об энергии.Чтобы понять этот подход энергии работы к анализу движения, важно сначала иметь четкое представление о нескольких основных терминах. Таким образом, Урок 1 этого раздела будет посвящен определениям и значениям таких терминов, как работа, механическая энергия, потенциальная энергия, кинетическая энергия и мощность.

 

Когда на объект действует сила, вызывающая его смещение, говорят, что над объектом была совершена работа . Есть три ключевых ингредиента для работы — сила, смещение и причина.Для того чтобы сила считалась совершившей работу над объектом, должно быть перемещение, и сила должна вызвать перемещение. Есть несколько хороших примеров работы, которые можно наблюдать в повседневной жизни: лошадь, тянущая плуг по полю, отец, толкающий тележку с продуктами по проходу продуктового магазина, первокурсник, несущий на плече рюкзак, полный книг, тяжелоатлет, поднимающий штангу над головой, олимпиец, запускающий толкание ядра, и т. д.В каждом описанном здесь случае на объект действует сила, вызывающая его смещение.

 

Прочитайте следующие пять утверждений и определите, являются ли они примерами работы. Затем нажмите кнопку «Просмотреть ответ», чтобы просмотреть ответ.

Заявление Ответ с объяснением

Учитель прикладывает силу к стене и истощается.

 

Книга падает со стола и свободно падает на землю.

 

Официант несет поднос с едой над головой одной рукой прямо через комнату с постоянной скоростью. (Осторожно! Это очень сложный вопрос, который будет подробно рассмотрен позже.)

 

Ракета летит в космосе.

 

 

 

 

Рабочее уравнение

Математически работу можно выразить следующим уравнением.

Вт = F • d • cos Θ

, где F — сила, d — смещение, а угол ( тета ) определяется как угол между силой и вектором смещения. Возможно, самым сложным аспектом приведенного выше уравнения является угол «тета». Угол — это не просто любой угол , а очень специфический угол. Угловая мера определяется как угол между силой и смещением. Чтобы получить представление о его значении, рассмотрим следующие три сценария.

  • Сценарий A: Сила действует вправо на объект, когда он смещается вправо. В таком случае вектор силы и вектор смещения имеют одинаковое направление. Таким образом, угол между F и d равен 0 градусов.

     

  • Сценарий B: Сила действует влево на объект, смещенный вправо. В таком случае вектор силы и вектор смещения направлены в противоположные стороны. Таким образом, угол между F и d равен 180 градусам.

     

  • Сценарий C: Сила действует вверх на объект, когда он смещается вправо. В таком случае вектор силы и вектор смещения находятся под прямым углом друг к другу. Таким образом, угол между F и d равен 90 градусов.

 

 

Работать, Силы Должны Причина Перемещения

Рассмотрим сценарий C выше более подробно. Сценарий C включает в себя ситуацию, аналогичную ситуации с официантом, который несет поднос с едой над головой одной рукой прямо через комнату с постоянной скоростью. Ранее упоминалось, что официант не выполняет работу над подносом , поскольку несет его через комнату. Сила, прилагаемая официантом к подносу, является направленной вверх силой, а смещение подноса представляет собой горизонтальное смещение. Таким образом, угол между силой и перемещением равен 90 градусов. Если бы вычислить работу, проделанную официантом над подносом, результат был бы равен 0.Независимо от величины силы и смещения, F*d*косинус 90 градусов равен 0 (поскольку косинус 90 градусов равен 0). Вертикальная сила никогда не может вызвать горизонтальное смещение; таким образом, вертикальная сила не совершает работы над горизонтально смещенным объектом!!

Можно точно отметить, что рука официанта толкнула поднос вперед на короткое время, чтобы ускорить его от состояния покоя до конечной скорости ходьбы. Но как только достигнет скорости , лоток останется в своем прямолинейном движении с постоянной скоростью без поступательной силы.И если единственная сила, действующая на лоток на стадии его движения с постоянной скоростью, направлена ​​вверх, то над лотком не совершается никакой работы. Опять же, вертикальная сила не совершает работы над горизонтально смещенным объектом.

В уравнении работы перечислены три переменные — каждая переменная связана с одним из трех ключевых слов, упомянутых в определении работы (сила, перемещение и причина). Угол тета в уравнении связан с величиной силы, вызывающей смещение.Как упоминалось в предыдущем разделе, когда сила воздействует на объект под углом к ​​горизонтали, только часть силы способствует (или вызывает) горизонтальному смещению. Рассмотрим силу цепи, тянущей Фидо вверх и вправо, чтобы тянуть Фидо вправо. Только горизонтальная составляющая силы натяжения цепи вызывает смещение Фидо вправо. Горизонтальная составляющая находится путем умножения силы F на косинус угла между F и d. В этом смысле косинус тета в уравнении работы относится к фактору причины — он выбирает часть силы, которая действительно вызывает перемещение.

 

Значение теты

При определении меры угла в уравнении работы важно понимать, что угол имеет точное определение — это угол между силой и вектором смещения.Обязательно избегайте бездумного использования любого угла в уравнении. Обычная физическая лаборатория включает в себя приложение силы для смещения тележки вверх по пандусу на верх стула или ящика. К тележке приложена сила , чтобы сместить ее вверх по склону с постоянной скоростью. Обычно используются несколько углов наклона; тем не менее, сила всегда прикладывается параллельно наклону. Перемещение тележки также параллельно наклону. Поскольку F и d направлены в одном направлении, угол тета в уравнении работы равен 0 градусов.Тем не менее, у большинства студентов возникло сильное искушение измерить угол наклона и использовать его в уравнении. Не забывайте: угол в уравнении это не просто какой-то угол . Он определяется как угол между силой и вектором смещения.

 

 

Значение отрицательной работы

Иногда на движущийся объект действует сила, препятствующая его перемещению.Примеры могут включать автомобиль, скользящий до остановки на поверхности проезжей части, или бейсбольный бегун, скользящий до остановки по грязи на приусадебном участке. В таких случаях сила действует в направлении, противоположном движению объекта, чтобы замедлить его. Сила не вызывает смещения, а препятствует ему. Эти ситуации связаны с тем, что обычно называют негативной работой . минус отрицательной работы относится к числовому значению, которое получается, когда значения F, d и тета подставляются в уравнение работы.Поскольку вектор силы прямо противоположен вектору смещения, тета составляет 180 градусов. Косинус (180 градусов) равен -1, поэтому получается отрицательное значение количества работы, проделанной над объектом. Негативная работа станет важной (и более значимой) на уроке 2, когда мы начнем обсуждать взаимосвязь между работой и энергией.

 

Единицы работы

Всякий раз, когда в физике вводится новая величина, обсуждаются стандартные метрические единицы, связанные с этой величиной.В случае работы (а также энергии) стандартной метрической единицей является Дж (сокращенно Дж ). Один джоуль равен одному ньютону силы, вызывающей перемещение на один метр. Другими словами,

Джоуль — это единица работы.
1 Джоуль = 1 Ньютон * 1 метр
1 Дж = 1 Н * м

Фактически, любая единица силы, умноженная на любую единицу перемещения, эквивалентна единице работы.Некоторые нестандартные блоки для работы показаны ниже. Обратите внимание, что при анализе каждый набор единиц эквивалентен единице силы, умноженной на единицу перемещения.

Нестандартные единицы работы:
фут•фунт кг•(м/с 2 )•м кг•(м 2 /с 2 )

Таким образом, работа совершается, когда на объект действует сила, вызывающая его перемещение.Для расчета объема работы необходимо знать три величины. Этими тремя величинами являются сила, смещение и угол между силой и смещением.

 


Расследуй!

Работаем каждый день. Работа, которую мы делаем, потребляет калории… эээ, мы должны сказать Джоули. Но сколько джоулей (или калорий) будет потребляться различными видами деятельности? Используйте виджет Daily Work , чтобы определить объем работы, который потребуется для бега, ходьбы или езды на велосипеде в течение заданного времени в заданном темпе.

Нажмите, чтобы продолжить урок по работе


Мы хотели бы предложить … Иногда недостаточно просто прочитать об этом. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашей интерактивной программы It’s All Uphill Interactive. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте.Интерактивное приложение It’s All Uphill позволяет учащимся изучить влияние угла наклона на силу и работу, выполняемую при подъеме тележки в гору с постоянной скоростью.

 

Математическая степень | SJC Лонг-Айленд

Наши студенты, работающие над получением степени по математике, изучают не только теоретическую математику, но и прикладную математику, такую ​​как изучение последовательностей сигналов светофора, маршрутов авиакомпаний, теорию хаоса и алгебру кубика Рубика.

Математика — почти идеальная специальность. Он дает учащемуся глубокое, глубокое образование и одновременно инструменты для достижения успеха во многих карьерах. Причина в том, что основу математики составляют чисто дедуктивные рассуждения. Это инструмент почти универсальной полезности.

Специальность по математике в Колледже Святого Иосифа — отличный выбор.Небольшие классы и широкое использование педагогических технологий характеризуют окружающую среду; интеллектуальные исследования характеризуют опыт. Наша программа бакалавриата по математике SJC Long Island также предназначена для того, чтобы дать студентам-математикам прочную основу для последипломного образования не только в математике, но и в аналогичных областях.

Варианты карьеры в области математики

Некоторые варианты карьеры для студентов с математическим образованием:

  • Образование — школы нуждаются в хороших, квалифицированных учителях математики.
  • Математик-исследователь или профессор колледжа — отличная работа. Статистик и финансовый аналитик — варианты карьеры, которые пользуются большим спросом.
  • Тем, кто не интересуется сферой образования, следует знать, что почти в каждой крупной корпорации в промышленно развитом мире есть в штате математики.

Актуарная стренга

Департамент теперь предлагает актуарную ветвь. Это набор курсов, предназначенных для подготовки студентов к первым двум актуарным экзаменам.Актуарий — это тот, кто применяет математические инструменты для обслуживания страховой отрасли.

Подготовка к поступлению в аспирантуру?

Мы предлагаем B.S. по математике для тех, кто хочет получить среднее образование в этой области.

Бакалавр искусств в области математики

​

 Степени бакалавра искусств по математике предназначены для того, чтобы дать учащимся основу гуманитарного образования и широкий обзор современной математики и ее приложений, а также подчеркнуть силу, глубину и красоту, присущие этому предмету. Математический компонент этого плана предназначен для подготовки учащихся к развитию и использованию аналитических навыков и навыков решения проблем, освоению математических методов, необходимых в смежных областях применения, и выходу на рынок труда с соответствующими и квалифицированными математическими инструментами.

Степень бакалавра особенно подходит для студентов, которые хотят совместить обширное изучение математики со второй концентрацией в одной из естественных наук, информатики, статистики или инженерии.Это поможет подготовить студентов к различным аспирантским или профессиональным программам, включая математику, инженерию и финансы. Программа на получение степени также подготовит студентов к успешной карьере благодаря небольшим классам, наставничеству преподавателей, современным лабораториям, практическому опыту и гибким вариантам занятий.

ПРОГРАММА РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ

Выпускники, получившие степень бакалавра математики, смогут:

  • Продемонстрировать навыки аналитического мышления и решения проблем, а также понимание и способность писать доказательства.
  • Продемонстрировать базовые знания непрерывной математики.
  • Сообщать математические знания устно и письменно.

ИНФОРМАЦИЯ О ПЛАНЕ НА УЧЕБНУЮ СТЕПЕНЬ

Следующий четырехлетний план на получение степени основан на академическом каталоге UHD 2016-2017. Студенты должны встретиться с академическим консультантом UHD, чтобы разработать собственный план.

ПРИЕМ И ДЕКЛАРАЦИЯ ОСНОВНЫХ ОБРАЗОВАНИЙ

Студенты могут быть допущены к обучению по математике и заявлены по специальности, если они соответствуют следующим критериям:

Прием и декларация майора


  • Студенты, продолжающие обучение в UHD, должны иметь
  • Учащиеся, переходящие на UHD, должны иметь
  • Первокурсники, соответствующие критериям приема на первый курс UHD и следующим критериям, будут объявлены при поступлении

КАРЬЕРА

Многие организации полагаются на количественные рассуждения и математические модели для решения проблем. Выпускники находят привлекательную работу в бизнесе, правительстве, инженерном деле и т. д. Учебная программа по математике разработана для подготовки студентов к таким профессиям, как:

  • Промышленный математик
  • Бизнес-математик
  • Актуарий
  • Компьютерный аналитик
  • Криптограф
    • 809128 Научный аналитик
  • Биомедицинский исследователь
  • Учитель математики средней школы

Примечание. Учителя государственных школ должны иметь лицензию штата Техас.

ПРЕДЛАГАЕМЫЕ НЕСОВЕРШЕННОЛЕТНИЕ
  • Биоинформатика Минимум 27 часов
  • Математика Минимум 18 часов
  • Статистика Минимум за 18 часов

ВОЗМОЖНОСТИ ПОЛУЧЕНИЯ СТИПЕНДИИ

ФИНАНСОВАЯ ПОМОЩЬ

ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ

Мы стремимся к достижению ваших академических, личных и профессиональных целей. Если у вас есть какие-либо вопросы или вам нужна помощь, пожалуйста, свяжитесь с координатором программы.

Один или несколько документов на этом сайте представлены в формате PDF. Для просмотра и печати этих документов вам понадобится программа Adobe Acrobat Reader. Его можно загрузить с веб-сайта Adobe.

Математика — Что такое математика

Зачем изучать математику?

Потому что это весело и может подготовить вас к множеству отличных профессий! Если хочешь разгадывать головоломки и разбираться во всем, то вас может заинтересовать специальность по математике.Кроме того, приложения математики повсюду, и прочная основа в математика может помочь вам во многих различных профессиях.

В разделах ниже представлена ​​информация о карьере в области математики и возможностях доступны для наших математических специальностей.

Вакансии
Следующие ссылки ведут на страницы с информацией о доступных вакансиях студентам математики.

Американское математическое общество

Американская статистическая ассоциация

Это статистика

Математическая ассоциация Америки

Общество промышленной и прикладной математики (SIAM)

Общество актуариев

Исследования бакалавриата
Если вы планируете поступить в аспирантуру по математике, вам следует подумать об участии в некоторых исследованиях в качестве бакалавра.Есть возможность сделать это с профессорами в нашем отделе или в других учреждениях летом в REU (Research Experience for Магистранты). REU обычно длятся от четырех до восьми недель и обычно оплачивают стипендия.

Краткий Оксфордский математический словарь

Кристофер Клэпэм а также Джеймс Николсон

Следующее издание: 5-е изд.Последнее издание (6-е изд.)

«Глубина предоставленной информации вызывает восхищение» New Scientist

Авторитетный и надежный, этот A-Z содержит определения без профессионального жаргона даже для самых технических математических терминов. С 3000 записей в диапазоне от парадокса Ахилла до нулевой матрицы , он охватывает все часто встречающиеся термины и понятия из чистой и прикладной математики и статистики, например, линейная алгебра, оптимизация, нелинейные уравнения и дифференциальные уравнения. Кроме того, есть записи по основным математикам и по темам, представляющим более общий интерес, таким как фракталы, теория игр и хаос.

Использование графиков, диаграмм и диаграмм, чтобы сделать определения максимально понятными, записи ясны и доступны и предлагают идеальное введение в предмет. Также включены списки лауреатов Нобелевской премии и медалистов Филдса, буквы греческого алфавита, формулы и новые для этого издания таблицы неравенств, моментов инерции, римских цифр и многое другое.Это издание содержит рекомендуемые веб-ссылки для начального уровня.

Полностью переработанный и обновленный в соответствии с учебным планом и требованиями к получению степени, этот словарь незаменим для студентов и преподавателей математики, а также для всех, кто сталкивается с математикой на рабочем месте.

Библиографическая информация

Издатель:
Издательство Оксфордского университета
Дата публикации в печати:
2009
Печать ISBN-13:
9780199235940
Опубликовано онлайн:
2009
Текущая онлайн-версия:
2013
DOI:
10. 1093/акр/9780199235940.001.0001
eISBN:
9780191727122

Авторы

Кристофер Клэпэм, автор

Джеймс Николсон, автор

Кристофер Клэпэм до 1993 года был старшим преподавателем математики в Абердинском университете, а также преподавал в университетах Нигерии, Лесото и Малави.Он является автором Введение в абстрактную алгебру и Введение в математический анализ . Он живет в Эксетере.

Джеймс Николсон имеет степень по математике в Кембридже и двенадцать лет преподавал в школе Харроу, прежде чем в 1990 году стал главой кафедры математики в Королевской академии Белфаста. Он живет в Белфасте, но сейчас работает в основном в Педагогической школе в Дареме. Университет. Он является соавтором GCSE по статистике для AQA .


Алгебра — многочлены

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-4: Многочлены

В этом разделе мы начнем рассматривать многочлены.{23}}\hspace{0.5in} & \hspace{0.5in} & {\mbox{степень:}}\,\,23\\ & 5x — 7 & \hspace{0.5in} & {\mbox{степень :}}\,\,1\\ & — 8& \hspace{0.5in} & {\mbox{степень:}}\,\,0\end{align*}\]

Итак, многочлен не обязательно должен содержать все степени \(x\), как мы видим в первом примере. Кроме того, многочлены могут состоять из одного члена, как мы видим в третьем и пятом примерах.

Нам, вероятно, следует обсудить последний пример немного подробнее. m}\).3} + 3x — 11y & \hspace{0.5in} & {\mbox{степень: 14}}\end{выравнивание*}\]

В многочленах такого рода не каждый член должен иметь в себе как \(x\), так и \(y\), на самом деле, как мы видим в последнем примере, им не обязательно иметь какие-либо члены, которые содержат как \(x\), так и \(y\). Кроме того, степень полинома может быть получена из условий, включающих только одну переменную. Также обратите внимание, что несколько терминов могут иметь одинаковую степень.

Мы также можем говорить о многочленах от трех переменных, или четырех переменных, или столько переменных, сколько нам нужно.Подавляющее большинство полиномов, которые мы увидим в этом курсе, являются полиномами от одной переменной, поэтому большинство примеров в оставшейся части этого раздела будут полиномами от одной переменной.

Далее нам нужно разобраться с терминологией. Одночлен — это многочлен, состоящий ровно из одного члена. Бином — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Наконец, трехчлен — это многочлен, состоящий ровно из трех членов.Мы будем использовать эти термины время от времени, так что вы, вероятно, должны быть хотя бы немного знакомы с ними.

Теперь нужно поговорить о сложении, вычитании и умножении многочленов. Вы заметите, что мы пропустили деление многочленов. Это будет обсуждаться в следующем разделе, где мы будем довольно часто использовать деление многочленов.

Перед тем, как приступить к этому обсуждению, нам нужно вспомнить распределительный закон. Это будет неоднократно использоваться в оставшейся части этого раздела.2} — 9x + 4} \справа)\]

В этом случае круглые скобки не нужны, так как мы складываем два многочлена. Они существуют просто для того, чтобы прояснить операцию, которую мы выполняем. Чтобы добавить два многочлена, все, что мы делаем, это объединяем подобные члены . Это означает, что для каждого члена с одним и тем же показателем степени мы будем добавлять или вычитать коэффициент этого члена. 2} + x + 1\).2} + х — 3} \справа)\]

На этот раз круглые скобки вокруг второго члена абсолютно необходимы. Мы вычитаем весь многочлен, и скобки должны быть там, чтобы убедиться, что мы действительно вычитаем весь многочлен.

При выполнении вычитания первое, что мы сделаем, это распределим знак минус через круглые скобки. Это означает, что мы изменим знак у каждого члена второго полинома. Обратите внимание, что все, что мы на самом деле здесь делаем, это умножаем «-1» на второй многочлен, используя закон распределения.2}\конец{выравнивание*}\]

Это очень распространенные ошибки, которые учащиеся часто совершают, когда только начинают учиться умножать многочлены.

.
РубрикаРазное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *