Что такое произведение двух чисел в математике: произведение чисел — это… Что такое произведение чисел?

произведение чисел — это… Что такое произведение чисел?

произведение чисел

мат. product of numbers

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• произведение цилиндров
• произведенная оплата

Смотреть что такое «произведение чисел» в других словарях:

• ПРОИЗВЕДЕНИЕ — (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… …   Экономический словарь

• Чисел теория —         наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.

           Особое место среди целых чисел, т. е. чисел…, 3 …   Большая советская энциклопедия

• произведение — сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… …   Толковый словарь Дмитриева

• Произведение матриц — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Произведение матрицы на число — Матрица  математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… …   Википедия

• Произведение (математика) — В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… …   Википедия

• АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… …   Математическая энциклопедия

• Теория чисел — Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… …   Википедия

• РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… …   Математическая энциклопедия

• Скалярное произведение — (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product )  операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… …   Википедия

• Внутреннее произведение — определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства[1], делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего …   Википедия

Урок 26. произведение целых чисел. часть 2 — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 26

Произведение целых чисел. Часть 2

Перечень рассматриваемых вопросов:

1. На уроке мы научимся формулировать и узнавать свойства умножения.
2. Находить квадраты и кубы целых чисел.
3. Вычислять значения числовых выражений, содержащих разные действия.
4. Выполнять числовые подстановки в буквенные выражения и находить соответствующие им значения.

Тезаурус

Произведение любого целого числа a и нуля равно нулю.

Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.

Степенью целого числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже изучали правила умножения целых чисел.

Сегодня рассмотрим свойства произведения целых чисел.

Умножение целых чисел на 0.

Произведение любого целого числа a и нуля равно нулю.

a ∙ 0 = 0

Рассмотрим примеры.

Найдите произведение целого положительного числа 209 и нуля.

Решение:

203 ∙ 0 = 0

Найдите произведение нуля и целого отрицательного числа (– 29).

Решение:

0 ∙ (– 29) = 0

Умножение целого числа на 1

Произведение целого числа и 1 равно cамому числу.

a ∙ 1 = a

Рассмотрим примеры.

Вычислите произведение положительного целого числа 64 и единицы.

Решение:

64 ∙ 1 = 64

Вычислите произведение единицы и отрицательного целого числа (– 475).

Решение:

1 ∙ (– 475) = – 475

Найдите произведение нуля и единицы.

Решение:

0 ∙ 1 = 0

Умножение на (– 1)

При умножении числа на (– 1) меняется только знак, то есть получается число, противоположное a.

a ∙ (– 1) = – a

Законы умножения

Переместительный и сочетательный законы умножения верны для любых целых чисел, и их можно применять для упрощения числовых выражений.

Переместительный закон умножения:

a ∙ b = b ∙ a

Сочетательный закон умножения:

a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

Умножение или произведение нескольких целых чисел

Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.

Вычислим произведение нескольких целых чисел:

9 ∙ (– 14) ∙ 5 ∙ (– 1)

Решение:

9 ∙ (– 14) ∙ 5 ∙ (– 1) = (9 ∙ (– 14)) ∙ 5 ∙ (– 1) = (– 126) ∙ 5 ∙ (– 1) = ((– 126) ∙ 5) ∙ (– 1) = (– 630) ∙ (– 1) = 630

Ответ: 630.

При перемножении целых чисел, результат всегда будет целым числом.

Выводы

1. Если в произведении нечётное количество отрицательных множителей, то произведение будет отрицательным.

2. Если в произведении чётное количество отрицательных множителей, то произведение будет положительным.

Степень целого числа a с натуральным показателем n

Определение: степенью целого числа a с натуральным показателем n (n > 1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a.

a ∙ a ∙ a ∙ a ·…∙ a = aⁿ

n множителей

Рассмотрим примеры.

1. Первая степень любого числа равна самому числу.

a¹ = a

2. Вторая степень любого числа называется квадратом.

a² = a ∙ a

3. Третья степень любого целого числа называется кубом.

a³ = a ∙ a ∙ a

Например,

2⁴ = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16

(– 5)³ = (– 5) ∙ (– 5) ∙ (– 5) = – 125

Итак, мы научились выполнять сложение, вычитание и умножение целых чисел. Рассмотрим, как найти значение выражения, которое содержит такие действия.

42 – 15 ∙ (– 6)

Решение

42 – 15 ∙ (– 6) = 42 – (15 ∙ (– 6)) = 42 – (– 90) = 42 + 90 = 132

Ответ: 132.

Дополнительный материал

Мы изучили правила и свойства умножения целых чисел.

Используя их, решим две задачи.

Задача №1

Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом (– 200) и оканчивающихся числом 200?

Решение

Между числами (– 200) и 200 находится 0, а любое число, умноженное на 0 равно 0. Поэтому произведение последовательных целых чисел от (– 200) до 200 равно 0.

Ответ: 0.

Задача №2

Чему равно произведение всех целых чисел?

Решение

Целые числа состоят из целых положительных, отрицательных чисел, а также нуля. При умножении любого числа на ноль будет 0. Поэтому произведение всех целых чисел равно 0.

Ответ: 0.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Разместите нужные подписи под изображениями.

Какие законы представлены в формулах?

Законы умножения

1. a ∙ b = b ∙ а
2. а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с

Варианты ответов:

Сочетательный закон умножения

Переместительный закон умножения

Свойство 0

Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу сегодняшнего урока.

Правильный ответ:

1. Переместительный закон умножения

2. Сочетательный закон умножения

Тип 2. Вставьте в текст нужные слова.

Чтобы найти … нескольких чисел, нужно найти произведение … чисел, … на третье число и так далее.

Варианты слов для вставки:

произведение

трёх

первого

двух первых

умножить

разделить

сложить

вычесть

Для ответа на вопрос задания обратимся к теоретическому материалу сегодняшнего урока.

Правильный ответ:

Чтобы найти произведение нескольких чисел, нужно найти произведение двух первых чисел, умножить на третье число и так далее.

Деление и другие математические действия

Мы уже говорили о делении и об основных правилах деления. Продолжим изучать деление и разберем, как можно упростить некоторые примеры с участием деления, такие как:

1. Деление произведения двух чисел на число;
2. Деление числа на произведение двух чисел;
3. Деление суммы двух чисел на третье число;
4. Деление разности двух чисел на третье число;
5. Сумма или разность двух частных, в которых делители одинаковы.

Деление произведения двух чисел на число

Чтобы разделить произведение двух чисел на число, разделите на это число один из множителей, а полученное частное умножьте на второй множитель.

Например:

36 × 7 ÷ 4 = (36 ÷ 4) × 7 = 9 × 7 = 63

15 × 44 ÷ 11 = (44 ÷ 11) × 15 = 4 × 15 = 60

Если ни один из множителей не делится на третье число, то следует вычислить произведение двух первых чисел и потом поделить на третье число.

15 × 24 ÷ 9 = 360 ÷ 9 = 40

Деление числа на произведение двух чисел

Чтобы разделить число на произведение двух чисел, разделите это число на один из множителей, а затем полученное частное разделите на другой множитель.

Например:

432 ÷ (36 × 6) = 432 ÷ 36 ÷ 6 = 2

3072 ÷ (12 × 32) = 3072 ÷ 12 ÷ 32 = 8

Этот прием называется приемом последовательного деления.

Деление суммы двух чисел на третье число

Чтобы разделить сумму двух чисел на третье число, разделите каждое слагаемое суммы на это число, а затем сложите полученные частные.

Например:

(28 + 42) ÷ 7 = 28 ÷ 7 + 42 ÷ 7 = 10

Если числа в скобках не делятся на третье число, то вычисляем по правилам «порядка выполнения математических действий».

(115 + 95) ÷ 6 = 35

Для удобства деления представьте делимое суммой двух чисел:

96 ÷ 8 = (40 + 56) ÷ 8 = 40 ÷ 8 + 56 ÷ 8 = 12

Деление разности двух чисел на третье число

Чтобы разделить разность двух чисел на третье число, разделите уменьшаемое и вычитаемое на это число, а затем найдите разность первого и второго частного

 Например:

(70 – 14) ÷ 7 = 70 ÷ 7 – 14 ÷ 7 = 10 – 2 = 8

856 ÷ 8 = (800 – 56) ÷ 8 = 800 ÷ 8 – 56 ÷ 8 = 100 – 7 = 93

Если числа в скобках не делятся на третье число, то вычисляем по правилам «порядка выполнения математических действий».

(200 – 56) ÷ 6 = 144 ÷ 6 = 24

Сумма или разность двух частных, в которых делители одинаковы

Если в сумме или разности двух частных делители одинаковы, найдите сначала сумму или разность делимых, а затем полученный результат поделите на делитель.

Например:

48 ÷ 6 + 18 ÷ 6 = (48 + 18) ÷ 6 = 66 ÷ 6 = 11

63 ÷ 9 – 36 ÷ 9 = (63 – 36) ÷ 9 = 27 ÷ 9 = 3

Спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Как Разделить Число на Произведение

Давайте для начала вспомним, что такое деление, умножение и, как их правильно записывать. 

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 2 * 3 = 6, где 2 — множимое, 3 — множитель, 6 — произведение.
• 2 * 3 = 3 + 3 = 6

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же.

• Например: 3 * 2 = 2 + 2 + 2 = 6.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 20 : 5 = 4 или 20/5 = 4, где 20 — делимое, 5 — делитель, 4 — частное.

В этом случае произведение делителя 5 и частного 4, в качестве проверки, дает делимое 20.

Если в результате деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби. 

Свойства деления в виде формул:

Распределительные свойства

(a + b) : c = a : c + b : c

(a — b) : c = a : c — b : c

(a * b) : c = (a : c) * b = (b : c) * a

a : (b * c) = (a : b) : c = (a : c) : b

Действия с единицей и нулём

a : 1 = a

a : a = 1

0 : a = 0 (a ≠ 0)

на нуль делить нельзя

Способы деления числа на произведение

Число можно разделить на произведение двумя способами. Сформулируем правило деления числа на произведение для каждого способа и попрактикуемся на примерах.

1 способ

Чтобы разделить число на произведение, нужно сначала выполнить умножение в скобках, а затем разделить число на полученный результат.

Так, например, чтобы найти значение выражения: 666 : (3 * 2), нужно сначала перемножить то, что находится в скобках: 3 * 2 = 6.

Затем и разделить 66 на полученный результат: 666 : 6 = 111. Значит 666 : (3 * 2) = 666 : 6 = 111.

Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение — можно воспользоваться вторым способом.

2 способ

Чтобы разделить число на произведение, нужно разделить это число на первый сомножитель, а полученный результат разделить на второй сомножитель.

Например, чтобы найти значение выражения: 120 : (5 * 6), нужно сначала разделить  120 на 5: 120 : 5 = 24. Далее, полученное частное 24 разделить на 6: 24 : 6 = 4. А Теперь 120 : (5 * 6) = (120 : 5) : 6 = 24 : 6 = 4.

Так как от перестановки множителей произведение не меняется, то множители можно легко поменять местами: 120 : (6 * 5) и разделить 120 сначала на 6, а затем полученный результат разделить на 5: 120 : (6 * 5) = (120 : 6) : 5 = 20 : 5 = 4.

Проще говоря, не важно на какой множитель первым делить число — результат будет одинаковым. Проверим:

120 : (5 * 6) = (120 : 5) : 6 = 24 : 6 = 4

тоже самое, что и

120 : (6 * 5) = (120 : 6) : 5 = 20 : 5 = 4.

Из этого примера делаем вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.

Эти правила иногда называют свойствами деления числа на произведение. Но, по сути, неважно, как это называть. Главное — как это работает. Далее попрактикуемся на примерах.

Примеры деления числа на произведение

Пример 1. Применить правило деления числа на произведение двух чисел:
24 : ( 3 * 4).

Как рассуждаем:

 

1. Чтобы разделить число на произведение, вычислим сначала произведение в скобках: 3 * 4 = 12.


2. Подставляем полученное число в выражение:

24 : ( 3 * 4) = 21 : 12 = 2.

Вот и ответ. А теперь решим это же выражение другим способом.

 

1. Чтобы разделить число на произведение чисел, нужно сначала число 24 разделить на первый множитель 3. А после, разделить полученный на второй множитель 8:

24 : ( 3 * 4) = 24 : 3 : 4 = 8 : 4 = 2.

А как можно еще решить это выражение?

 

1. Чтобы число разделить на произведение, нужно сначала число 24 разделить на второй множитель 4. И полученный результат разделить на первый множитель 3:

24 : ( 3 * 4) = 24 : 4 : 3 = 6 : 3 = 2.

Вот, как это работает! Мы нашли значение выражения разными способами, при этом результаты получились одинаковыми.

Пример 2. Вычислить: тысячу разделить на произведение двадцати и пяти.

Ответ:

1000 : (20 * 5) = 1000 : 100 = 100

1000 : (20 * 5) = 1000 : 20 : 5 = 500 : 5 = 10

1000 : (20 * 5) = 1000 : 5 : 2 = 200 : 2 = 10

Научить ребенка быстро считать помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели просто и весело объяснят любую тему по математике, а красочный интерактивный учебник и онлайн-доска не дадут ребенку заскучать.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и развивайте математическое мышление вместе со Skysmart.

Задача о двух мудрецах. Компьютерная программа для решения / Хабр

Задача о двух мудрецах уже много лет всплывает на различных форумах и постоянно возобновляет к себе интерес. Напомню условие:

У некоторого султана было два мудреца: Али-ибн-Вали и Вали-ибн-Али. Желая убедиться в их мудрости, султан призвал мудрецов к себе и сказал: «Я задумал два числа. Оба они целые, каждое больше единицы, но меньше ста. Я перемножил эти числа и результат сообщу Али и при этом Вали я скажу сумму этих чисел. Если вы и вправду так мудры, как о вас говорят, то сможете узнать исходные числа».
Султан сказал Али произведение, а Вали – сумму. Мудрецы задумались. Первым нарушил молчание Али.
— Я не знаю этих чисел, — сказал он, опуская голову.
— Я это знал, — подал голос Вали.
— Тогда я знаю эти числа, — обрадовался Али.
— Тогда и я знаю! — воскликнул Вали.
И мудрецы сообщили пораженному султану задуманные им числа.
Назовите эти числа.

Готовой компьютерной программы, позволяющей решать такие задачи при любом заданном максимальном числе, обнаружить не удалось. Поэтому я решил сам написать подобную программу. Алгоритм решения буду описывать на примере классической задачи для максимального числа, равного 100.

1. Я не знаю этих чисел, сказал мудрец, знающий произведение двух чисел

Отсюда вытекает, что это произведение, не может быть однозначно представлено в виде произведения двух чисел. Есть как минимум несколько способов, как можно получить это произведение с другими парами чисел, причем эти числа должны удовлетворять условию, что они оба меньше 100. Произведение, которое можно представить только одним способом, будем в дальнейшем называть уникальным.

С этого высказывания можно сделать вывод о некоторых свойствах этих чисел. Во-первых, они не могут оба быть одновременно простыми, иначе их произведение уникально и представляется только в виде произведения этих двух простых чисел. Это условие является необходимым, но не достаточным условием уникальности произведения. В дальнейшем мы обнаружим другие уникальные произведения, которые не являются произведением двух простых чисел.

2. Я это знал, сказал мудрец, знающий сумму двух чисел

Сумму двух чисел S, можно представить парой чисел различными способами: 2 + (S — 2), 3 + (S — 3) и т.д.

Это высказывание говорит нам, что ни одна из этих пар чисел, при умножении друг на друга не дает уникальное произведение. Попробуем определить какие суммы двух чисел имеют такие свойства, т.е. составим список возможных кандидатов для сумм двух чисел.

Во-первых, как мы уже показали, два числа не могут быть оба простыми, поэтому их сумма не может быть суммой двух простых чисел. Итак, компьютерная программа, сначала вычисляет список всех простых чисел, которые меньше заданного максимального числа. Далее, находит все возможные суммы, которые могут быть получены этими простыми числами и исключает их из дальнейшего исследования. В результате мы получим первое приближение — возможных сумм:

11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 137 139 141 143 145 147 149 151 153 155 157 159 161 163 165 167 169 171 173 174 175 177 179 181 182 183 184 185 187 188 189 190 191 192 193 195 196

В принципе, мы могли бы сразу все эти возможные суммы проверять на уникальность. Т.е. для каждой суммы составляем все возможные пары чисел и произведение этих чисел проверяем на уникальность. Если хоть одна пара чисел, для исследуемой суммы, дает уникальное произведение, то эта сумма вычеркивается из возможных кандидатов. Эта подпрограмма для проверки на уникальность произведения — самая сложная часть всей программы. Многие, кто пытался составить подобную программу, просто забывали об этом и получали не до конца корректные результаты.

В этой подпрограмме в начале исследуемое произведение разбивается на простые множители, далее составляется список всех возможных произведений, которые могут быть получены их этих простых множителей — это первый множитель. Второй множитель получаем делением произведения на первый множитель и проверяем только варианты, когда первый множитель меньше второго. Далее оба множителя проверяем, удовлетворяют ли они условию задачи (оба меньше максимального числа 100, или их сумма меньше Max). Так мы получаем допустимые разложения произведения на два множителя и если таких разложений только одно, то это произведение уникально.

Но перед тем, как начать проверку на уникальность, мы упростим задачу, чтобы не грузить компьютер лишними вычислениями. Воспользуемся не очень очевидным свойством — какая сумма может быть максимальной.
Если исследуемое произведение имеет множителем простое число больше 50 (больше половины Мax, в нашем случае это простое число 53), то это произведение уникально. Так как при попытке получить второй вариант разложения, мы как минимум должны умножать 53 на 2 и получаем множитель больший 100.

Для любой суммы S, больше чем 53 + 2, мы можем найти пару чисел 53 и S — 53 и произведение этих чисел будет уникальным. Отсюда делаем вывод, что все суммы больше чем 55 можно исключить из дальнейших вычислений.
Это сужает круг поиска до 11 возможных сумм:

11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53

Теперь делаем проверку на уникальность произведения всех возможных пар чисел. Программа выводит уникальные произведения с отрицательным знаком.

1: X + Y = 11, X * Y =: 18 24 28 30
2: X + Y = 17, X * Y =: 30 42 52 60 66 70 72
3: X + Y = 23, X * Y =: 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
4: X + Y = 27, X * Y =: 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
5: X + Y = 29, X * Y =: 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
6: X + Y = 35, X * Y =: 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
7: X + Y = 37, X * Y =: 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
8: X + Y = 41, X * Y =: 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408 414 418 420
9: X + Y = 47, X * Y =: 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510 522 532 540 546 550 552
10: X + Y = 51, X * Y =: 98 144 188 230 270 308 344 378 410 440 468 494 518 540 560 -578 594 608 620 630 638 644 648 650
11: X + Y = 53, X * Y =: 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702

Обнаруживается одно уникальное произведение — 578 = 2*17*17. Действительно это число можно представить только одним способом — 17 * 34, второй способ 2 * 289, не удовлетворяет условию — оба числа меньше 100.

Значит сумма 51 так же удаляется их возможных кандидатов, оставляя только 10 допустимых сумм.

Кстати, благодаря программе, можно легко найти следующее простое правило, как обнаружить уникальные произведения.

Если произведение имеет вид 2 * P * P, где P — простое число, квадрат которого больше максимального числа (100), то это произведение уникально и оно соответствует сумме двух чисел P и 2*P и эта сумма равна 3*P.

Значит мы можем вычеркивать все суммы, которые равны 3*P, где P простое число больше 10. В нашем случае это сумма 51 = 3 * 17.

При дальнейшей работе с программой обнаружились еще и другие интересные правила для уникальных произведений…

Итак, после первых двух реплик мудрецов, первый мудрец знает, что сумма двух чисел может быть только одной из 10 чисел:

11 17 23 27 29 35 37 41 47 53

3.

Тогда я знаю эти числа, — обрадовался Али
В каком случае Али может однозначно определить, на какую пару чисел разложить свое произведение? На ту пару чисел, сумма которой, равна одной из этих 10 сумм, причем только одна пара чисел имеет сумму из этого множества. С точки зрения компьютерного алгоритма, те произведения, которые встречаются больше одного раза, должны быть удалены. Например, произведение 30 встречается два раза — для суммы 11 и для суммы 17. Если бы Али сказали число 30, то он бы обнаружил, что условиям задачи удовлетворяют две пары чисел: 5, 6 (сумма 11) и 2, 15 (сумма 17) и он не мог бы однозначно сказать — я знаю эти числа. Значит все повторяющиеся произведения удаляются. В результате мы получаем такую картину — все допустимые суммы и все допустимые произведения для этих сумм:

1: X + Y = 11, X * Y =: 18 24 28
2: X + Y = 17, X * Y =: 52
3: X + Y = 23, X * Y =: 76 112 130
4: X + Y = 27, X * Y =: 50 92 110 140 152 162 170 176 182
5: X + Y = 29, X * Y =: 54 100 138 154 168 190 198 204 208
6: X + Y = 35, X * Y =: 96 124 174 216 234 250 276 294 304 306
7: X + Y = 37, X * Y =: 160 186 232 252 270 336 340
8: X + Y = 41, X * Y =: 114 148 238 288 310 348 364 378 390 400 408 414 418
9: X + Y = 47, X * Y =: 172 246 280 370 442 480 496 510 522 532 540 550 552
10: X + Y = 53, X * Y =: 240 282 360 430 492 520 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702

4.

Тогда и я знаю! — воскликнул Вали
После третьей реплики, Вали проделал всю вычислительную работу как и мы и отбросил все повторяющиеся произведения. И он может определить однозначно числа только тогда, когда для его суммы, остается допустимым только одно произведение. С точки зрения компьютера — в одной строчке осталось только одно допустимое произведение. В нашем случае — это произведение 52 для суммы 17, которое соответствует паре чисел 4, 13. Это решение является единственным.

Моя компьютерная программа позволяет получить результат задачи для любого значения максимального числа.
Существуют различные вариации этой задачи:
— оба числа меньше заданного;
— сумма чисел меньше заданного максимального числа;
— числа могут быть одинаковые;
— числа обязательно разные;
Программа позволяет рассчитать результат для всех этих вариаций.
Программа может выводить промежуточные результаты для каждого этапа вычислений.
Также есть возможность вычислить все граничные точки, при которых появляются новые решения для указанного диапазона чисел. Например, при сканировании всех чисел до 2000 мы получим следующий результат:

Результат для Max = 10
Нет результата

Результат для Max = 63
1: X = 4, Y = 13

Результат для Max = 867
1: X = 4, Y = 13
2: X = 4, Y = 61

Результат для Max = 1503
1: X = 4, Y = 13
2: X = 4, Y = 61
3: X = 32, Y = 131

Результат для Max = 1967
1: X = 4, Y = 13
2: X = 4, Y = 61
3: X = 16, Y = 73
4: X = 32, Y = 131

Конец вычислений. Время вычислений: 0:00:29

Видно, что решение 4, 13 есть уникальным в диапазоне от 63 до 866.

Кстати, задача, опубликованная в журнале «Наука и Жизнь», не имеет решения вообще, так как там было условие, что числа меньше 60. Представляю, сколько времени угробили читатели пытаясь решить задачу, а она не имеет корректного решения…

Готов выложить листинги программы и саму программу (написана на Delphi), если это возможно.

Состоит произведения двух чисел. Произведение (математика)

— (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Экономический словарь

Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел…, 3 … Большая советская энциклопедия

Сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… … Толковый словарь Дмитриева

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др. ) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… … Википедия

Раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия

Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия

— (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия

Определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства, делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия

Книги

• Сборник задач по мат-ке , Бачурин В.. Рассматриваемые в книге вопросы по математике вполне отвечают содержанию любой из трех программ: школьной, подготовительных отделений, вступительных экзаменов. Ихотя эта книга называется…
• Живая материя. Физика живого и эволюционных процессов , Яшин А.А.. В настоящей монографии обобщены исследования автора за последние несколько лет. Экспериментальные результаты, представленные в книге, получены Тульской научной школой биофизики полей и…

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел .
Числа 7 и 12 называются множителями .

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m ⋅ n =n⋅ m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅(b ⋅ c )

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a ⋅1=a или 1⋅ a = a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a ⋅0=0 или 0⋅ a =0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

В этой статье мы разберемся, как выполняется умножение целых чисел . Сначала введем термины и обозначения, а также выясним смысл умножения двух целых чисел. После этого получим правила умножения двух целых положительных, целых отрицательных и целых чисел с разными знаками. При этом будем приводить примеры с детальным пояснением хода решения. Также затронем случаи умножения целых чисел, когда один из множителей равен единице или нулю. Дальше мы научимся выполнять проверку полученного результата умножения. И, наконец, поговорим об умножении трех, четырех и большего количества целых чисел.

Навигация по странице.

Термины и обозначения

Для описания умножения целых чисел мы будем использовать такие же термины, с помощью которых мы описывали умножение натуральных чисел. Напомним их.

Умножаемые целые числа называются множителями . Результат умножения называется произведением . Действие умножение обозначается знаком умножить вида «·». В некоторых источниках можно встретить обозначение умножения знаками «*» или «×».

Умножаемые целые числа a , b и результат их умножения c удобно записывать с помощью равенства вида a·b=c . В этой записи целое число a – это первый множитель, целое число b – второй множитель, а число c – произведение. вида a·b также будем называть произведением, как и значение этого выражения c .

Забегая вперед, заметим, что произведение двух целых чисел представляет собой целое число.

Смысл умножения целых чисел

Умножение целых положительных чисел

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому умножение целых положительных чисел проводится по всем правилам умножения натуральных чисел. Понятно, что в результате умножения двух целых положительных чисел получится целое положительное число (натуральное число). Рассмотрим пару примеров.

Пример.

Чему равно произведение целых положительных чисел 127 и 5 ?

Решение.

Первый множитель 107 представим в виде суммы разрядных слагаемых , то есть, в виде 100+20+7 . После этого воспользуемся правилом умножения суммы чисел на данное число : 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5 . Остается лишь закончить вычисление: 100·5+20·5+7·5= 500+100+35=600+35=635 .

Таким образом, произведение данных целых положительных чисел 127 и 5 равно 635 .

Ответ:

127·5=635 .

Для умножения многозначных целых положительных чисел удобно использовать метод умножения столбиком .

Пример.

Умножьте трехзначное целое положительное число 712 на двузначное целое положительное число 92 .

Решение.

Выполним умножение данных целых положительных чисел в столбик:

Ответ:

712·92=65 504 .

Правило умножения целых чисел с разными знаками, примеры

Сформулировать правило умножения целых чисел с разными знаками нам поможет следующий пример.

Вычислим произведение целого отрицательного числа −5 и целого положительного числа 3 на основании смысла умножения. Так (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15 . Чтобы сохранилась справедливость переместительного свойства умножения, должно выполняться равенство (−5)·3=3·(−5) . То есть, произведение 3·(−5) также равно −15 . Несложно заметить, что −15 равен произведению модулей исходных множителей, откуда следует, что произведение исходных целых чисел с разными знаками равно произведению модулей исходных множителей, взятому со знаком минус.

Так мы получили правило умножения целых чисел с разными знаками : чтобы перемножить два целых числа с разными знаками, нужно перемножить модули этих чисел и перед полученным числом поставить знак минус.

Из озвученного правила можно заключить, что произведение целых чисел с разными знаками всегда является целым отрицательным числом. Действительно, в результате умножения модулей множителей мы получим целое положительное число, а если перед этим числом поставить знак минус, то она станет целым отрицательным.

Рассмотрим примеры вычисления произведения целых чисел с разными знаками с помощью полученного правила.

Пример.

Выполните умножение целого положительного числа 7 на целое отрицательное число −14 .

Решение.

Воспользуемся правилом умножения целых чисел с разными знаками. Модули множителей равны соответственно 7 и 14 . Вычислим произведение модулей: 7·14=98 . Осталось перед полученным числом поставить знак минус: −98 . Итак, 7·(−14)=−98 .

Ответ:

7·(−14)=−98 .

Пример.

Вычислите произведение (−36)·29 .

Решение.

Нам нужно вычислить произведение целых чисел с разными знаками. Для этого вычисляем произведение абсолютных величин множителей: 36·29=1 044 (умножение лучше провести в столбик). Теперь ставим знак минус перед числом 1 044 , получаем −1 044 .

Ответ:

(−36)·29=−1 044 .

В заключение этого пункта докажем справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) , где a и −b — произвольные целые числа. Частным случаем этого равенства является озвученное правило умножения целых чисел с разными знаками.

Другими словами, нам нужно доказать, что значения выражений a·(−b) и a·b – противоположные числа . Чтобы это доказать, найдем сумму a·(−b)+a·b и убедимся, что она равна нулю. В силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения справедливо равенство a·(−b)+a·b=a·((−b)+b) . Сумма (−b)+b равна нулю как сумма противоположных целых чисел, тогда a·((−b)+b)=a·0 . Последнее произведение равно нулю по свойству умножения целого числа на нуль . Таким образом, a·(−b)+a·b=0 , следовательно, a·(−b) и a·b являются противоположными числами, откуда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b) . Аналогично можно показать, что (−a)·b=−(a·b) .

Правило умножения отрицательных целых чисел, примеры

Получить правило умножения двух целых отрицательных чисел нам поможет равенство (−a)·(−b)=a·b , которое мы сейчас докажем.

В конце предыдущего пункта мы показали, что a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b) , поэтому мы можем записать следующую цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)) . А полученное выражение −(−(a·b)) есть не что иное, как a·b в силу определения противоположных чисел. Итак, (−a)·(−b)=a·b .

Доказанное равенство (−a)·(−b)=a·b позволяет сформулировать правило умножения целых отрицательных чисел : произведение двух отрицательных целых чисел равно произведению модулей этих чисел.

Из озвученного правила следует, что результатом умножения двух целых отрицательных чисел является целое положительное число.

Рассмотрим применение этого правила при выполнении умножения целых отрицательных чисел.

Пример.

Вычислите произведение (−34)·(−2) .

Решение.

Нам нужно перемножить два отрицательных целых числа −34 и −2 . Воспользуемся соответствующим правилом. Для этого находим модули множителей: и . Осталось вычислить произведение чисел 34 и 2 , что мы умеем делать. Кратко все решение можно записать так (−34)·(−2)=34·2=68 .

Ответ:

(−34)·(−2)=68 .

Пример.

Выполните умножение целого отрицательного числа −1 041 на целое отрицательное число −538 .

Решение.

По правилу умножения целых отрицательных чисел искомое произведение равно произведению модулей множителей. Модули множителей равны соответственно 1 041 и 538 . Выполним умножение столбиком:

Ответ:

(−1 041)·(−538)=560 058 .

Умножение целого числа на единицу

Умножение любого целого числа a на единицу дает в результате число a . Об этом мы уже упоминали, когда обсуждали смысл умножения двух целых чисел. Так a·1=a . В силу переместительного свойства умножения должно быть справедливым равенство a·1=1·a . Следовательно, 1·a=a .

Приведенные рассуждения приводят нас к правилу умножения двух целых чисел, одно из которых равно единице. Произведение двух целых чисел, в котором одним из множителей является единица, равно другому множителю .

Например, 56·1=56 , 1·0=0 и 1·(−601)=−601 . Приведем еще пару примеров. Произведение целых чисел −53 и 1 равно −53 , а результатом умножения единицы и отрицательного целого числа −989 981 является число −989 981 .

Умножение целого числа на нуль

Мы условились, что произведение любого целого числа a на нуль равно нулю, то есть, a·0=0 . Переместительное свойство умножения заставляет нас принять и равенство 0·a=0 . Таким образом, произведение двух целых чисел, в котором хотя бы один из множителей является нулем, равно нулю . В частности, результатом умножения нуля на нуль является нуль: 0·0=0 .

Приведем несколько примеров. Произведение целого положительного числа 803 и нуля равно нулю; результатом умножения нуля на целое отрицательное число −51 является нуль; также (−90 733)·0=0 .

Отметим также, что произведение двух целых чисел тогда и только тогда равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Проверка результата умножения целых чисел

Проверка результата умножения двух целых чисел осуществляется с помощью деления. Нужно провести деление полученного произведения на один из множителей, если при этом получится число, равное другому множителю, то умножение было выполнено верно. Если же получится число, отличное от другого слагаемого, то где-то была допущена ошибка.

Рассмотрим примеры, в которых проводится проверка результата умножения целых чисел.

Пример.

В результате умножения двух целых чисел −5 и 21 было получено число −115 , правильно ли вычислено произведение?

Решение.

Выполним проверку. Для этого разделим вычисленное произведение −115 на один из множителей, например, на −5 . , выполните проверку результата. (−17)·(−67)=1 139 .

Умножение трех и более целых чисел

Сочетательное свойство умножения целых чисел позволяет нам однозначно определить произведение трех, четырех и большего количества целых чисел. При этом остальные свойства умножения целых чисел позволяют утверждать, что произведение трех и более целых чисел не зависит от способа расстановки скобок и от порядка следования множителей в произведении. Аналогичные утверждения мы обосновали, когда говорили об умножении трех и большего количества натуральных чисел . В случае целых множителей обоснование полностью совпадает.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Вычислите произведение пяти целых чисел 5 , −12 , 1 , −2 и 15 .

Решение.

Мы можем последовательно слева направо заменять два соседних множителя их произведением: 5·(−12)·1·(−2)·15= (−60)·1·(−2)·15= (−60)·(−2)·15= 120·15=1 800 . Этот вариант вычисления произведения соответствует следующему способу расстановки скобок: (((5·(−12))·1)·(−2))·15 .

Также мы могли переставить некоторые множители местами и расставить скобки иначе, если это позволяет провести вычисление произведения данных пяти целых чисел более рационально. Например, можно было переставить множители в следующем порядке 1·5·(−12)·(−2)·15 , после чего расставить скобки так ((1·5)·(−12))·((−2)·15) . В этом случае вычисления будут такими: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)= (5·(−12))·((−2)·15)= (−60)·(−30)=1 800 .

Как видите, разные варианты расстановки скобок и различный порядок следования множителей привели нас к одному и тому же результату.

Ответ:

5·(−12)·1·(−2)·15=1 800 .

Отдельно отметим, что если в произведении трех, четырех и т.д. целых чисел хотя бы один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Например, произведение четырех целых чисел 5 , −90 321 , 0 и 111 равно нулю; результатом умножения трех целых чисел 0 , 0 и −1 983 также является нуль. Справедливо и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .

Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3

Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.

Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).

Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7

1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .

переместительным

a × b = b × a .

Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:

а (b с) = (а b с).

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .

Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).

Вместо (ab ) с пишут abc .

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;

2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.

восьмидесяти и суммы икс и семнадцати

Решим задачу.

Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение.

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:

Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел

Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.

Решим задачу.

В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:

Президент:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):

	Президент: Вице-президент:

Рис. 47. К задаче о выборах

Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).

Решим еще задачу.

Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?

Рис. 48. К задаче о дорогах

Решение.

Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).

Рис. 49. Варианты пути

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.

Решим еще одну задачу.

Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).

Рис. 50. Схема к решению задачи

Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.

Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:

5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).

Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.

Тесты по математике для 4 класса | Тест по математике (4 класс) на тему:

Входной  тест по математике 4 класс, по учебнику М. И. Моро

Фамилия и имя ученика  ______________________________________ дата ___________________

Вариант I

Часть №1

1. Произведение двух чисел равно 640. Какие эти два числа?

 32 и 2           64 и 5        320 и 320
  64 и 10        8 и 20        320 и 20

2. Найди пример, в котором ответ равен 92

  90+3=         46+48=        184:2=
  51*3=         364:4=         62+20=

3. Отметь те ряды, в которых числа расположены в порядке возрастания

  364 , 678 , 212 , 465 , 734 , 394 , 567
  223 , 745 , 129 , 576 , 687 , 696 , 475
  157 , 311 , 414 , 586 , 789 , 867 , 883
  345 , 678 , 784 , 876 , 880 , 823 , 934
  270 , 348 , 692 , 697 , 701 , 824 , 894
  292 , 391 , 569 , 403 , 640 , 899 , 901

4. В каком числе 5 сотен 8 десятков и 3 единицы?

 538         553        835
  583        853        358

5. В каком выражении «сумма чисел 34 и 42 умножили на 4 и вычли из полученного результата 15»?

  34+42*4-15             34+42*( 4-15 )        ( 34+42 )*4-15
  ( 34+42*4 )-15        34+( 42*4-15 )        34+( 42*4 )-15

6. Чему равно 4 часа и 20 минут?

  420 минут       240 минут       260 минут
  250 минут       230 минут       430 минут

7. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 6 и 8 см?

  68 см              86 кв. см       40 кв. см
  68 кв. см        46 см             48 кв. см

8. Реши задачу?

В мотке 36 метров ниток. Для пошива одной рубашки нужно 9 метров нитки. Сколько всего рубашек можно сшить из этого мотка?
  4         5         3
  6         2         7

Часть №2

1. Вычисли выражения:

  457       16       216       17       112       110

  45         32       54         64        82        34

  23         11       54         42        26         34

2. Реши задачу:

С одного дерева собрали 16 кг  яблок, с другого в 2 раза меньше. С третьего дерева собрали на 4 кг больше чем с первого. Все яблоки поместили в 4 ящика. Сколько килограмм яблок поместилось в каждый ящик?

  16       10       4
  11       8         12

Сумма баллов ______________ оценка ______/_______________________/

Учитель (ФИО)_____________________ _________дата______________ подпись__________________

Входной тест по математике 4 класс, по учебнику М. И. Моро 

Фамилия и имя ученика  ______________________________________ дата ___________________

Вариант II

Часть №1

1. Произведение двух чисел равно 810. Какие эти два числа?

  80 и 10          40 и 21        41 и 2
  82 и 9            81 и 10        41 и 20

2. Найди пример в котором ответ равен 91

  90+3=         46+48=        183:3=
  23*4=         364:4=         62+20=

3. Отметь те ряды, в которых числа расположены в порядке убывания

  365 , 673 , 212 , 465 , 731 , 394 , 567
  533 , 445 , 429 , 376 , 327 , 116 , 115
  158 , 231 , 314 , 586 , 709 , 883 , 899
  346 , 675 , 794 , 873 , 882 , 821 , 934
  902 , 808 , 792 , 697 , 668 , 563 , 492
  297 , 371 , 569 , 133 , 636 , 969 , 381

4. В каком числе 9 сотен 4 десятков и 5 единицы?

  954        945       459
  495        944       495

5. В каком выражении «сумма чисел 12 и 26 умножили на 3 и вычли из полученного результата 38»?

  12+26*3-38             12+26*( 3-38 )        ( 12+26 )*3-38
  ( 12+26*3 )-38        12+( 26*3-38 )        12+( 26*3 )-38

6. Чему равно 3 часа и 40 минут?

  220 минут       230 минут       250 минут
  210 минут       340 минут       410 минут

7. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 5 и 7 см?

  35 см              35 кв. см       37 кв. см
  57 кв. см        75 см             57 см

8. Реши задачу?

В ящике 48 пачек сахара. Каждый день используют по 6 пачек. На сколько дней ещё хватит сахара?
  4         8         6
  3         5         7

Часть №2

1. Вычисли выражения:

  347       167       124       133       142       163

  68         75         67         64         77         72

  23         49         30         29         26         25

2. Реши задачу:

В одном пруду выловили 24 кг рыбы, из второго на 8 кг меньше, из третьего в 2 раза меньше чем из первого. Всю рыбу разложили в 4 ящика. Сколько кг рыбы в каждом ящике?

  14       10       9
  12       8         13

Сумма баллов ______________ оценка ______/_______________________/

Учитель (ФИО)_____________________ _________дата______________ подпись__________________

Входной  тест по математике  4 класс, по учебнику М. И. Моро

Фамилия и имя ученика  ______________________________________ дата ___________________

Вариант III

Часть №1

1. Произведение двух чисел равно 480. Какие эти два числа?

  48и 80          40 и 80        48 и 10
  24 и 2           28 и 40        48 и 20

2. Найди пример, в котором ответ равен 92

  90+3=          46+46=        216:3=
  43*4=          625:5=          72+30=

3. Отметь те ряды чисел, в которых числа расположены в порядке возрастания

  145 , 699 , 112 , 405 , 421 , 493 , 147
  532 , 294 , 464 , 320 , 567 , 896 , 225
  128 , 221 , 392 , 532 , 679 , 883 , 939
  348 , 659 , 794 , 393 , 859 , 231 , 949
  902 , 808 , 712 , 645 , 668 , 545 , 492
  249 , 429 , 569 , 589 , 675 , 723 , 833

4. В каком числе 4 сотен 7 десятков и 2 единицы?

  742        724       427
  274        247       472

5. В каком выражении «сумма чисел 15 и 23 умножили на 4 и вычли из полученного результата 42?

  ( 15+23*4 )-42           15+23*4-42         ( 15+23 )*4-42
  15+23*( 4-42 )           15+( 23*4 )-42     15+( 23*4-42 )

6. Чему равно 3 часа и 10 минут?

  180 минут       190 минут       200 минут
  210 минут       220 минут       230 минут

7. Чему равна площадь прямоугольника со сторонами 4 и 9 см?

  36 см              36 кв. см       38 кв. см
  49 кв. см        49 см             38 см

8. Реши задачу?

В магазине 56 пачек шоколада. Каждый день продают по 8 пачек. На сколько дней ещё будут продавать шоколад?
  6         9         6
  10       7         8

Часть №2

1. Вычисли выражения:

  142       207       124       144       138       136

  129       132       130       122       128       127

 80          88         87         89         85         90

2. Реши задачу:

С одной грядки собрали 18 кг огурцов, с другой на 5 кг больше. С третьей грядки собрали в 2 раза меньше чем с первой грядки. Весь урожай разложили в 5 корзин. Сколько огурцов в каждой корзине?
  9        10       7
  12      8         11

Сумма баллов ______________ оценка ______/_______________________/

Учитель (ФИО)_____________________ _________дата______________ подпись__________________

Что означает слово «произведение» в математике?

Обновлено 19 декабря 2020 г.

Автор: Bert Markgraf

Произведение является результатом выполнения математической операции умножения. Когда вы умножаете числа, вы получаете их произведение. Другими основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание и деление, а их результаты называются суммой, разностью и частным соответственно. У каждой операции также есть особые свойства, определяющие порядок расположения и комбинирования чисел.Для умножения важно знать об этих свойствах, чтобы вы могли умножать числа и комбинировать умножение с другими операциями, чтобы получить правильный ответ.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Значение произведения в математике является результатом умножения двух или более чисел вместе. Чтобы получить правильный продукт, важны следующие свойства:

• Порядок номеров не имеет значения.
• Группировка чисел в квадратные скобки не действует.
• Умножение двух чисел на множитель с последующим их сложением аналогично умножению их суммы на множитель.
• При умножении на 1 число не меняется.
  

Значение произведения числа

Произведение числа и одного или нескольких других чисел — это значение, полученное при умножении чисел. Например, произведение 2, 5 и 7 равно

2 × 5 × 7 = 70

Хотя произведение, полученное путем умножения определенных чисел, всегда одинаково, продукты не уникальны.Произведение 6 и 4 всегда равно 24, но равно как и произведение 2 и 12 или 8 и 3. Независимо от того, какие числа вы умножаете, чтобы получить произведение, операция умножения имеет четыре свойства, которые отличают ее от других основных арифметических операций. , Сложение, вычитание и деление разделяют некоторые из этих свойств, но каждое из них имеет уникальную комбинацию.

Арифметическое свойство коммутации

Коммутация означает, что условия операции можно менять местами, и последовательность чисел не влияет на ответ.Когда вы получаете произведение путем умножения, порядок, в котором вы умножаете числа, не имеет значения. То же самое и с сложением. Вы можете умножить 8 × 2, чтобы получить 16, и вы получите тот же ответ с 2 × 8. Точно так же 8 + 2 дает 10, тот же ответ, что и 2 + 8.

Вычитание и деление не имеют свойства коммутация. Если вы измените порядок чисел, вы получите другой ответ. Например,

8 ÷ 2 = 4 \ text {but} 2 ÷ 8 = 0,25

8 — 2 = 6 \ text {but} 2 — 8 = -6

Деление и вычитание не являются коммутативными операциями.

Свойство распределения

Распределение в математике означает, что умножение суммы на множитель дает тот же ответ, что и умножение отдельных чисел суммы на множитель с последующим сложением. Например,

3 × (4 + 2) = 18 \ text {и} (3 × 4) + (3 × 2) = 18

Сложение перед умножением дает тот же ответ, что и распределение множителя по числам на добавляется, а затем умножается перед сложением.

Деление и вычитание не обладают распределительным свойством.Например,

3 ÷ (4-2) = 1,5 \ text {but} (3 ÷ 4) — (3 ÷ 2) = -0,75

Вычитание перед делением дает другой ответ, чем деление перед вычитанием.

Свойство ассоциативности для продуктов и сумм

Свойство ассоциативности означает, что если вы выполняете арифметическую операцию более чем с двумя числами, вы можете связать или заключить в квадратные скобки два числа, не влияя на ответ. Продукты и суммы обладают ассоциативным свойством, а разности и частные — нет.

Например, если арифметическая операция выполняется над числами 12, 4 и 2, сумма может быть вычислена как

(12 + 4) + 2 = 18 \ text {или} 12 + (4 + 2) = 18

(12 × 4) × 2 = 96 \ text {или} 12 × (4 × 2) = 96

\ frac {12 ÷ 4} {2} = 1,5 \ text {while} \ frac {12} {4 ÷ 2} = 6

(12 — 4) — 2 = 6 \ text {while} 12 — (4 — 2) = 10

Умножение и сложение обладают ассоциативным свойством, а деление и вычитание — нет.

Операционные идентификаторы — разница и сумма по сравнению с продуктом и коэффициентом

Если вы выполняете арифметическую операцию с числом и рабочим идентификатором, число остается неизменным. Все четыре основных арифметических операции идентичны, но не одинаковы. Для вычитания и сложения тождество равно нулю. Для умножения и деления идентичность равна одному.

Например, для разницы 8 — 0 = 8. Число остается идентичным. То же самое и с суммой 8 + 0 = 8.Для продукта 8 × 1 = 8, а для частного 8 ÷ 1 = 8. Продукты и суммы имеют одинаковые основные свойства, за исключением того, что они имеют разные операционные идентичности. В результате умножение и его произведения обладают уникальным набором свойств, которые необходимо знать, чтобы получить правильные ответы.

Произведение (математика) — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

В математике произведение — это число или величина, полученная путем умножения двух или более чисел. Например: 4 × 7 = 28 Здесь число 28 называется произведением 4 и 7. В качестве другого примера произведение 6 и 4 равно 24, потому что 6 умножить на 4 равно 24. Произведение двух положительных чисел положительно. , точно так же, как произведение двух отрицательных чисел также положительно (например, -6 × -4 = 24).

Краткий способ записать произведение многих чисел — использовать заглавную греческую букву «пи»: ∏ {\ displaystyle \ prod}. Эта запись (или способ записи) в некотором роде похожа на сигма-запись суммирования. ^[1]

Неформально, учитывая последовательность чисел (или элементы мультипликативной структуры с единицей), скажем, ai {\ displaystyle a_ {i}}, мы определяем ∏1≤i≤nai: = a1 ⋯ an {\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ {i}: = a_ {1} \ dotsm a_ {n}}. Строгое определение обычно дается рекурсивно следующим образом:

∏1≤i≤nai: = {1 для n = 0, (∏1≤i≤n − 1ai) an для n≥1. {\ Displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ { i}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {for}} n = 0, \\\ left (\ prod _ {1 \ leq i \ leq n-1} a_ {i} \ right) a_ { n} & {\ text {for}} n \ geq 1. {n} c_ {i})}}

1. ↑ «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 16 августа 2020.
2. ↑ «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020.
3. ↑ Weisstein, Eric W. «Продукт». mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020.

Продукт

(математика) — Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

В математике произведение — это число или величина, полученная путем умножения двух или более чисел.Например: 4 × 7 = 28 Здесь число 28 называется произведением 4 и 7. В качестве другого примера произведение 6 и 4 равно 24, потому что 6 умножить на 4 равно 24. Произведение двух положительных чисел положительно. , точно так же, как произведение двух отрицательных чисел также положительно (например, -6 × -4 = 24).

Краткий способ записать произведение многих чисел — использовать заглавную греческую букву «пи»: ∏ {\ displaystyle \ prod}. Эта запись (или способ записи) в некотором роде похожа на сигма-запись суммирования. ^[1]

Неформально, учитывая последовательность чисел (или элементы мультипликативной структуры с единицей), скажем, ai {\ displaystyle a_ {i}}, мы определяем ∏1≤i≤nai: = a1 ⋯ an {\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ {i}: = a_ {1} \ dotsm a_ {n}}. Строгое определение обычно дается рекурсивно следующим образом:

∏1≤i≤nai: = {1 для n = 0, (∏1≤i≤n − 1ai) an для n≥1. {\ Displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ { i}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {for}} n = 0, \\\ left (\ prod _ {1 \ leq i \ leq n-1} a_ {i} \ right) a_ { n} & {\ text {for}} n \ geq 1.{n} c_ {i})}}

1. ↑ «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 16 августа 2020.
2. ↑ «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020.
3. ↑ Weisstein, Eric W. «Продукт». mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020.

Продукт

(математика) — Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

В математике произведение — это число или величина, полученная путем умножения двух или более чисел.Например: 4 × 7 = 28 Здесь число 28 называется произведением 4 и 7. В качестве другого примера произведение 6 и 4 равно 24, потому что 6 умножить на 4 равно 24. Произведение двух положительных чисел положительно. , точно так же, как произведение двух отрицательных чисел также положительно (например, -6 × -4 = 24).

Краткий способ записать произведение многих чисел — использовать заглавную греческую букву «пи»: ∏ {\ displaystyle \ prod}. Эта запись (или способ записи) в некотором роде похожа на сигма-запись суммирования. ^[1]

Неформально, учитывая последовательность чисел (или элементы мультипликативной структуры с единицей), скажем, ai {\ displaystyle a_ {i}}, мы определяем ∏1≤i≤nai: = a1 ⋯ an {\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ {i}: = a_ {1} \ dotsm a_ {n}}. Строгое определение обычно дается рекурсивно следующим образом:

∏1≤i≤nai: = {1 для n = 0, (∏1≤i≤n − 1ai) an для n≥1. {\ Displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ { i}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {for}} n = 0, \\\ left (\ prod _ {1 \ leq i \ leq n-1} a_ {i} \ right) a_ { n} & {\ text {for}} n \ geq 1.{n} c_ {i})}}

1. ↑ «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 16 августа 2020.
2. ↑ «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020.
3. ↑ Weisstein, Eric W. «Продукт». mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020.

Продукт

(математика) — Simple English Wikipedia, бесплатная энциклопедия

В математике произведение — это число или величина, полученная путем умножения двух или более чисел.Например: 4 × 7 = 28 Здесь число 28 называется произведением 4 и 7. В качестве другого примера произведение 6 и 4 равно 24, потому что 6 умножить на 4 равно 24. Произведение двух положительных чисел положительно. , точно так же, как произведение двух отрицательных чисел также положительно (например, -6 × -4 = 24).

Краткий способ записать произведение многих чисел — использовать заглавную греческую букву «пи»: ∏ {\ displaystyle \ prod}. Эта запись (или способ записи) в некотором роде похожа на сигма-запись суммирования. ^[1]

Неформально, учитывая последовательность чисел (или элементы мультипликативной структуры с единицей), скажем, ai {\ displaystyle a_ {i}}, мы определяем ∏1≤i≤nai: = a1 ⋯ an {\ displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ {i}: = a_ {1} \ dotsm a_ {n}}. Строгое определение обычно дается рекурсивно следующим образом:

∏1≤i≤nai: = {1 для n = 0, (∏1≤i≤n − 1ai) an для n≥1. {\ Displaystyle \ prod _ {1 \ leq i \ leq n} a_ { i}: = {\ begin {cases} 1 & {\ text {for}} n = 0, \\\ left (\ prod _ {1 \ leq i \ leq n-1} a_ {i} \ right) a_ { n} & {\ text {for}} n \ geq 1. {n} c_ {i})}}

1. ↑ «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище . 2020-03-25. Проверено 16 августа 2020.
2. ↑ «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu . Проверено 16 августа 2020.
3. ↑ Weisstein, Eric W. «Продукт». mathworld.wolfram.com . Проверено 16 августа 2020.

Что такое произведение по математике? — Определение и обзор — Класс по математике [видео 2021 года]

Как найти продукт

Умножение часто называют повторным сложением , потому что задача умножения говорит вам о том, что у вас есть определенное количество групп чего-то, каждая из которых содержит определенное число.Еще не запутались? Вот пример.

У вас есть 3 пакета конфет, каждый из которых содержит 5 конфет. Сколько у тебя конфет?

Эту проблему можно решить двумя способами. Первый — сложить конфеты:

5 + 5 + 5 = 15

Другой способ решения — использовать умножение, потому что у вас есть 3 группы конфет по 5 конфет в каждой сумке.

3 * 5 = 15

Ответом на эту задачу умножения является произведение, которое в данном случае равно 15.

Вот еще пример. В классе 8 рядов стульев, по 7 стульев в каждом ряду. Сколько здесь стульев?

Опять же, вы можете сложить:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 56

Или вы можете найти произведение, умножив:

7 * 8 = 56

Свойства Умножение

Есть четыре основных свойства умножения, которые верны независимо от того, что умножается вместе.

1. Коммутативное свойство : когда два числа умножаются вместе, произведение одинаково независимо от порядка, в котором они написаны.

Например:

5 * 7 = 7 * 5

2. Ассоциативное свойство : Когда три или более чисел умножаются вместе, произведение одинаково независимо от того, какие два числа умножаются в первую очередь.

Например:

(2 * 4) * 6 = 2 * (4 * 6)

8 * 6 = 2 * 24

48 = 48

3. Свойство мультипликативной идентичности : Произведение любого число и 1 это число.

Например:

3 * 1 = 3

4. Распределительная собственность : сумма двух чисел, умноженных на третье число, равна сумме каждого слагаемого, умноженной на третье число.

Например:

2 * (3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4

2 * 7 = 6 + 8

14 = 14

Особые продукты

Следует упомянуть два специальных продукта.

1. Произведение любого числа на 1 и есть это число. Вы узнали об этом в приведенном выше примере мультипликативного свойства идентичности.

Например:

7 * 1 = 7

2376 * 1 = 2376

2. Произведение любого числа, умноженного на 0, равно 0.

Например:

9 * 0 = 0

6,782 * 0 = 0

Краткое содержание урока

Произведение — это ответ на задачу умножения. Вы можете найти продукт с помощью процесса, называемого , повторное добавление , то есть путем сложения количества групп в задаче. Есть четыре свойства, которые управляют правилами решения задач умножения: коммутативный , ассоциативный , мультипликативный тождественный и распределительный . Есть также два особых правила произведения: произведение любого числа, умноженное на единицу, будет этим числом, а произведение любого числа, умноженного на ноль, будет равно нулю.

В поисках продукта

• Произведение — это ответ на задачу умножения.
• Чтобы найти продукт, вы можете использовать повторное сложение или умножение.
• Задачи умножения обладают четырьмя свойствами: коммутативным, ассоциативным, мультипликативным тождественным и дистрибутивным.
• Любое число, умноженное на 1, является само по себе, а любое число, умноженное на 0, равно 0.

Результаты обучения

Изучите этот урок, чтобы точно выполнять следующие действия:

• Распознавать произведение задачи умножения
• Продемонстрируйте два метода поиска продукта
• Перечислить четыре свойства умножения
• Рассчитать специальные продукты

Произведение по математике | Определение и как найти (видео)

Математическое определение продукта

Произведение в математике — это ответ на задачу умножения. Результатом умножения двух чисел является произведение.

Части задачи умножения

Когда вы умножаете, каждая часть проблемы имеет название. В предложении умножения у вас есть множимое, множитель и произведение.

Вот пример предложения умножения:

11 × 9 = 99

Вы можете прочитать это предложение как умноженное на множитель, равное произведению.

Множаемое — это первое число, × или * означает умножение, множитель — это второе число, знак = означает равенство, а ответ — произведение.

Все арифметические операции имеют символы для частей уравнения. В делении у нас есть дивиденд, деление и частное.

Найдите произведение в этих предложениях умножения, чтобы убедиться, что у вас есть идея:

1. 12 × 12 = 144
2. 2x * 9 = 18x
3. 210 + 5 = 30
4. 17 = 2 * 8,5

Произведения в этих предложениях умножения были 144, 18x, 30 и 17.

Обратите внимание в последнем предложении, что произведение предшествует множителю и множителю. Это нормально. Обратите внимание, что в 2 (10 + 5) мы полностью опустили × или *, подразумевая умножение на круглые скобки.

Как найти товар

Чтобы найти произведение, необходимо решить задачу умножения. Вы можете решить задачи умножения путем повторного или быстрого сложения.

Возможно, старшеклассник подрабатывает, складывая гала-яблоки в картонные лотки, чтобы заполнить ящики для фруктов. Лотки имеют четыре ряда по шесть углублений для хранения яблок.

Сколько яблок на подносе?

Вы можете сложить 6 + 6 + 6 + 6 и получить в сумме 24 гала-яблока. Сумма — это ответ на сложную задачу.

Но с умножением можно сказать, что у нас есть 6 яблок Гала в одном ряду, и мы берем один ряд четыре раза:

• 6 умножить на 4 равно 24
• 6 × 4 = 24
• 6 * 4 = 24

Произведение 6 яблок на 4 ряда дает 24 яблока Гала.

Вы можете использовать калькулятор или таблицу умножения для умножения больших чисел или чисел, которые вы не можете быстро сделать в уме.

То же самое и с отрицательными числами. Предположим, вы убираете пробу и что нужно знать, сколько яблок вы удалили из четырех рядов.

Это будет означать 4 строки умножить на -6, потому что вы видите, что в каждой строке было шесть отступов для размещения яблок. Знак минус означает, что вы вычли шесть (-6) из каждой строки.

4 × -6 = -24

Ваш ответ -24. Вы вынули из лотка 24 яблока.

Когда вы умножаете отрицательное число на положительное число, вы всегда будете записывать результат в виде отрицательного числа.

Свойства умножения

Умножение имеет четыре свойства, представленных здесь в алфавитном порядке, потому что ни одно из них не превосходит другое:

1. Ассоциативное свойство
2. Коммутативная собственность
3. Распределительная собственность
4. Идентификационное свойство умножения

Узнайте больше об основных свойствах умножения.