Что такое множество состоящее из одного элемента: а) пустого множества; б) множества, состоящего из одного элемента

Понятие множества — одна из самых фундаментальных идей математики. По сути, набор — это просто набор объектов. Область математики которая изучает множества, названная теорией множеств , была основана немецким математик Георг Кантор во второй половине XIX в. Сегодня концепция наборов пронизывает почти всю современную математику; почти любой другой математический концепция (включая кажущуюся фундаментальной концепцию чисел!) была определяются прямо или косвенно в терминах множеств.

Основные определения и обозначения

Набор представляет собой набор объектов, рассматриваемых как математический объект сам по себе. (Полезная метафора для набора — картонная коробка — коробка может содержать предметы, и мы можем думать о том, объекты в коробке по отдельности или думать о коробке и ее содержимом вместе как единый объект.) Объекты в наборе называются элемент (или элемент ) набора; говорят элементы до принадлежат набору (или быть в наборе ), а набор Говорят, что содержит элемента. Обычно элементы множества другие математические объекты, такие как числа, переменные или геометрические точки.

Письменные наборы

Набор часто записывается путем перечисления его элементов между фигурными фигурные скобки { }. Например, набор, содержащий числа 1, 2, и 3 будет записано как {1, 2, 3}.

Когда элементы набора следуют очевидному шаблону, но их слишком много из них для явного перечисления, обычно перечисляются первые несколько элементов (чтобы установить шаблон) и последний элемент (чтобы указать, где шаблон останавливается) с многоточием (…) между ними, чтобы указать, что элементы в середине были опущены. Например, чтобы записать множество положительных целые числа от 1 до 100, мы можем написать {1, 2, 3, …, 100}. Если ни один элемент не написан после многоточие, предполагается, что шаблон будет продолжаться вечно; так набор написан {1, 2, 3, …} содержит все положительные целые числа. Иногда элементы множества продолжаются бесконечно в обоих случаях. «направления» — например, множество всех целых чисел (оба положительный и отрицательный) можно записать как {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

Множество также можно описать на естественном языке с помощью английских фраз. За Например, «множество всех положительных целых чисел» описывает конкретное установлен. Важно, чтобы описание было точным, чтобы не было сомнений. о том, является ли тот или иной объект элементом множества. Обычный Примером неточного описания является такая фраза, как «числа от 1 до 10». В этой фразе есть несколько неясностей. Являются ли числа 1 и 10 сами являются элементами множества или они исключены? Находятся включены все действительных чисел от 1 до 10 или только целые числа? Наконец, фраза, вероятно, должна быть более ясной в отношении того факта, что эти числа следует рассматривать как набор, а не по отдельности. Более точный описанием этого набора может быть «множество положительных целых чисел, не превышающих чем 10” (если в наборе есть числа 1 и 10 и только включены целые числа) или «множество действительных чисел между 1 и 10, исключая» ​​(если в наборе есть числа с дробной части, но не сами цифры 1 и 10).

Символ ∈ используется для обозначения «является элементом», просто поскольку символ = используется для обозначения «равно». Например, чтобы сказать что число 2 является элементом множества {1, 2, 3}, мы можем напишите 2 ∈ {1, 2, 3}. Чтобы выразить обратное, «не является элементом», мы ставим косую черту через символ и напишите ∉. Например, мы можем написать 4 ∉ {1, 2, 3}.

Часто полезно присваивать имена наборам. Эти имена обычно выбирают быть одиночными буквами, аналогично использованию букв для представления чисел в алгебра. Очень распространенным соглашением является использование заглавных букв в именах наборы и строчные буквы для представления элементов наборов. Таким образом, для например, если мы присвоим букву А к комплекту {1, 2, 3}, написав A  = {1, 2, 3}, мы тогда можно сказать, что 2 ∈  A . Мы также можем написать a  ∈  A , под которым мы подразумеваем, что a  – число (возможно, неизвестное), являющееся элементом установить A — другими словами, значение a должно быть либо 1, 2, либо 3.

Равенство множеств

Говорят, что два набора равны , если каждый элемент первого набора является элементом второго множества, и наоборот. Например, если A  = {1, 2, 3} и B  = {2, 3, 1}, то множества A и B равны. Каждый элемент A также является элемент B , и каждый элемент B также является элемент A . Мы выражаем равенство множеств знаком равенства, поэтому в этом случае мы пишем A  =  B . Когда два набора равны, они считаются одним и тем же набором. Важно помнить, что равенство между множествами — это другое понятие, чем равенство между числами.

Одним из следствий этого определения равенства является то, что порядок, в котором перечисление элементов множества не имеет значения. Мы заботимся только о том, какие объекты являются элементами множества, а не порядком их появления. Так, например, выражения {1, 2, 3} и {2, 3, 1} описывают тот же набор.

Другим последствием является то, что количество раз, когда элемент перечисляется, не имеющий отношения. Набор {1, 2, 1, 3, 3, 3} равен набор {1, 2, 3}, поскольку каждый элемент первого набора является элементом второго, и наоборот. (Неважно, что числа 1 и 3 перечислены несколько раз в первом наборе.)

[Иногда нам нужно использовать набор объектов, в котором порядок равен важный. Такая коллекция называется последовательностью или заказанный список . Примером может служить использование упорядоченных пар форма ( x ,  y ) для представления точек в двумерная плоскость; точка (2, 5) отличается от точка (5, 2). Точно так же нам иногда нужна коллекция объектов в что имеет смысл, чтобы элемент появлялся более одного раза. Такой сборник называется мультисет . Когда мы ссылаемся на набор , однако следует понимать, что порядок и повторение элементов не имеет значения.]

Наборы, содержащие другие наборы

Элементами набора может быть что угодно — даже другие наборы. Например, предположим, что у нас есть два набора: A  = {1, 2, 3} и B  = {2, 3, 4, 5}. Думайте о A как о коробка с цифрами 1, 2 и 3 и B в качестве коробка с цифрами 2, 3, 4 и 5. Ничто не мешает нам поставить коробку A и ящик B вместе в большой коробке C . Точно так же мы можем сделать набор C , содержащий набор A и установите B в качестве элементов. Мы можем записать набор C как { A ,  B } или, если хотите, мы можем сказать

C  = { {1, 2, 3}, {2, 3, 4, 5} }.

Набор, содержащий другие наборы, подобен коробке, содержащей другие коробки. В этом случай, набор C имеет два элемента , которые являются двумя наборы A и B . Эти элементы set C сами являются наборами; набор A состоит из трех элементов, а набор B состоит из четырех элементов.

Следовательно, верно, что A  ∈  C , потому что A является элементом C . Точно так же верно что B  ∈  C . Конечно, это тоже верно что, скажем, 1 ∈ A , потому что число 1 является элемент набора А .

Однако верно , а не , что 1 ∈  C , потому что 1 не является элементом множества C . только два элемента из C являются наборы A и B , и ни один из этих двух элементов не является числом 1. (Набор A содержит номер 1, но А сам по себе не является номер 1.)

Возвращаясь к метафоре коробки, мы должны думать об элементах множества (a коробка) как объекты, которые прямо внутри коробки. номер 1 не находится непосредственно внутри коробки C ; вместо этого это спрятан внутри коробки A . Таким образом, 1 не является элементом set  C , но 1   – это элемент набор А .

Аналогично, хотя верно, что 2 ∈  A и также верно, что 2 ∈  B , , а не верно, что 2 ∈  C , потому что число 2 напрямую не внутри коробки C .

Теперь рассмотрим набор

D  = {1, 2, 3, 2, 3, 4, 5},

, который совпадает с набором {1, 2, 3, 4, 5}, поскольку порядок и повторение элементов значения не имеют. Набор D отличается от набора C — эти наборы не равный. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти один элемент в одном множестве, который не является элементом другого множества. Ну, например, число 1 – это элемент D , но (как объяснялось выше) не является элементом из С ; поэтому наборы не равны. Думая о C и D в виде коробок, мы видим, почему они не совпадают: набор C — это блок, содержащий два блока (которые сами по себе бывают содержать несколько чисел), тогда как набор D представляет собой коробку, непосредственно содержит пять чисел (и никаких ящиков).

В качестве другого примера рассмотрим два набора E  = {1} и F  = {{1}}. Эти множества не равны. В наборе E есть один элемент, номер 1; в установить F также имеет один элемент, но единственный элемент из F — это другой набор, а не число. Таким образом, тогда как set E  – это поле, содержащее число 1, set  F  – это поле, содержащее поле, содержащее число 1. (Другими словами, набор F представляет собой коробку содержащий E — вы видите это?) Оба они отличается от самого числа 1. Так что это правда, что 1 ∈  E , а на самом деле E  ∈  F (поскольку единственный элемент из F это набор E ), но это не верно что 1 ∈  F .

Множества, содержащие другие множества, распространены в некоторых областях математики, но мы не будет видеть их очень часто в этом курсе. (Математики, работающие в эти области часто называют множество, содержащее другие множества, «набором наборы» или «семейство наборов», чтобы избежать неловкой фразы «набор наборов»)

Мощность

Мощность множества — это количество элементов, содержит. (Иногда мощность множества называют просто «размер» набора, потому что размер более короткое слово; но «мощность» — технически правильный термин.)

Обычно пишут | А | означать мощность набор А . Например, если A  = {1, 4, 8}, тогда | А | = 3, потому что A состоит из трех элементов. Это та же запись, что и для абсолютного значения числа, но контекст поясняет, что имеется в виду: если набор окружают вертикальные полосы, они относятся к мощности множества.

Мощность множества может быть бесконечной. Например, мощность набор положительных целых чисел {1, 2, 3, …} равен бесконечный.

Пустой набор

Мы думали о наборах как о коробках. Какой набор соответствует идея пустой коробки? Ясно, что это должно быть множество, не содержащее ни одного элемента все. Мы называем такое множество пустым множеством . Так как любые два пустых множества содержат точно такие же элементы (точнее, вообще не содержат элементов), мы считать любые два пустых множества равными и, следовательно, одним и тем же множеством. Так что мы обычно обратитесь к пустому набору , потому что на самом деле он только один.

Существует два распространенных способа записи пустого множества. Первый способ, как вы можно ожидать, { }. Другое обозначение — круг или ноль с прорежьте его, что выглядит как ∅. Оба { } и ∅ – символы пустого набора.

Обратите внимание, что между ∅ и {∅} есть разница. во-первых, это пустой набор, который представляет собой пустой ящик. Второй — коробка , содержащее , является пустой коробкой, поэтому вторая коробка не пуста — у нее есть коробка в нем! Не пишите {∅}, когда имеете в виду пустой набор, потому что {∅} относится к набору, содержащему пустой набор, который не является как и само пустое множество.

Кардинальность пустого множества равна 0, что логично, поскольку пустое множество не содержит элементов. Заявление x  ∈ ∅ всегда ложно, несмотря ни на что x есть, потому что нет такой вещи как пустой элемент установлен.

Подмножества

Выше мы определили два набора A и B равными, если каждый элемент A является элементом B , и наоборот наоборот Если убрать из этого определения «наоборот», то получим определение подмножества.

Мы говорим, что множество A является подмножеством установить B , если каждый элемент A также является элементом из  B . Мы используем символ ⊆ для обозначения «является подмножеством из»; например, A ⊆ B означает « A  является частью B ». Мы также можем поверните этот символ в другую сторону и запишите множества в другом порядке, чтобы получить В ⊇ А ; это значит то же самое, что А ⊆ В . Чтобы написать, что А  это не является подмножеством  B , мы рисуем косую черту через символ подмножества: А ⊈ В . Интуитивно, подмножество B является «частью» B .

Например, рассмотрим наборы C  = {1, 2} и D  = {1, 2, 3, 4}. Набор C является подмножеством D , потому что каждый элемент C является также элемент D . Итак, мы можем написать C ⊆ D . У данного набора есть много подмножеств; за например, другое подмножество  D — это {1, 3, 4}.

Чтобы запомнить, в каком направлении писать символ ⊆, подумайте о мощностей множеств и символа неравенства ≤. Если А является подмножеством B , то B должно содержать не менее много элементов, как A  (просто потому, что B содержит все элементы A ), поэтому мощность из B должно быть больше или равно количеству элементов из А . Другими словами,

А ⊆ В подразумевает, что | А | ≤ | Б |.

Обратите внимание, что символы выше «указывают» в одном направлении.

Существует очень важное различие между символами ∈ и ⊆. Символ ∈ используется для обозначения элемента . набора, тогда как символ ⊆ используется для обозначения подмножества . Например, рассмотрим набор

Д = {1, 2, 3, 4}.

Набор {2, 4} является подмножеством  D , потому что каждый элемент {2, 4} также является элементом  D , поэтому он правильно писать {2, 4} ⊆  D . Но set {2, 4} – это , а не элемент набора  D , потому что четыре элемента множества D — это все числа ( D  не имеет наборов в качестве элементов), поэтому некорректно напишите {2, 4} ∈  D . С другой стороны, номер 2 является элементом  D , поэтому правильно писать 2 ∈  D ; но число 2 равно не подмножество из D (поскольку число 2 – это число, а не набор), поэтому неправильно писать 2 ⊆ D . Если мы хотим обратиться к подмножество D , содержащее только число 2, мы должны напишите {2}, то есть набор, содержащий 2 (обратите внимание, что набор {2} отличается от числа 2). Набор {2} является подмножеством из D , то есть {2} ⊆ D ; но это не элемент D , потому что D не имеют какие-либо множества в качестве элементов, поэтому некорректно писать {2} ∈  Д .

Когда A является подмножеством B , набор B иногда называют надмножеством из А . Мы также можем сказать « B содержит A как подмножество», но следует быть очень осторожным со словом «содержит», потому что, как отмечено в предыдущем абзаце, есть большая разница между высказыванием « B содержит A в качестве элемента» (что означает A  ∈  B ) и сказать B «содержит» A в качестве подмножества» (значение А ⊆ В ). попробую использовать слово содержит только для ссылки на элементы, а не на подмножества.

Внимательное прочтение определения подмножества показывает, что каждое множество является подмножество самого себя. Например, используя приведенный выше набор D , очевидно верно, что «каждый элемент D также является элемент D », поэтому по определению D  является подмножество D . Мы часто хотим исключить этот случай, поэтому мы определяем правильное подмножество набора B быть подмножеством B , который не является самим B . Мы пишем A ⊂ B означает, что A  является правильное подмножество B . [Это использование символов ⊆ и ⊂ означает «является подмножеством (или равным)» и «является правильное подмножество», соответственно, соответствует использованию неравенства символы ≤ и < означают «меньше или равно» и «строго меньше» соответственно. ]

Пустое множество считается подмножеством любого множества (включая его самого). Это может показаться довольно странным соглашением. Пожалуй, лучшее оправдание это происходит от того, что мы переворачиваем определение подмножества с ног на голову и задаемся вопросом, что оно средства для набора A не  быть подмножеством из  B . Из определения это должно означать, что существует некоторое элемент в A , который не является элементом B . Так что значит сказать, что пустое множество не является подмножеством из  B ? Это означало бы, что в пустом множестве есть какой-то элемент это не элемент B — но это не может быть правдой, потому что в пустом наборе нет элементов! Итак, с этого момента точки зрения, имеет смысл сказать, что пустое множество является подмножеством каждый набор.

[Следует отметить, что использование символов ⊆ и ⊂ описанное выше не является универсальным. Некоторые авторы используют символ ⊂ для означает «является подмножеством» (для которого мы используем символ ⊆) и ввести новый символ ⊊, символ подмножества с перечеркнутой полосой «равно», что означает «является правильным подмножество» (для которого мы используем символ ⊂). ]

Наборы цифр

Есть несколько наборов чисел, которые настолько часто используются, что их специальные символы. Двойные прописные буквы, иногда называемые жирным шрифтом на доске. часто используются буквы (в частности, буквы ℝ, ℤ, ℕ и ℚ). В качестве альтернативы буквы могут быть просто набраны в полужирный. [Из-за возможности того, что необычные символы, такие как классная доска, жирным шрифтом, может отображаться не во всех веб-браузерах, я буду использовать простое полужирное начертание буквы здесь.]

Множество всех действительных чисел, как положительных, так и отрицательных (и нулей), равно называется R (от «настоящего»). Множество действительных чисел включает все числа, обычно встречающиеся в алгебре, тригонометрии или исчислении курс. (Он не содержит комплексных чисел, таких как как √−1.)

Набор целых чисел (положительных, отрицательных и нулевых) называется  Z (от немецкого слова Zahlen, означающего «числа»). Другими словами, Z  = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

Набор натуральных чисел называется  N (для «естественный»). Множество натуральных чисел содержит все положительные целые числа и никаких отрицательных целых чисел. К сожалению, нет единого мнения о следует ли считать ноль натуральным числом. Некоторые авторы включают 0 в комплекте N , а других нет. Причина этого отсутствия согласованность заключается в том, что иногда полезно включать ноль, а иногда нет, в зависимости от ситуации. Таким образом, математики используют любое определение, которое подходит их лучше всего в то время, но они знают о различиях в использовании, поэтому они всегда очень тщательно указывают, какое именно определение они используют в каждом конкретном случае, чтобы избежать какой-либо путаницы или двусмысленности, и как только они выбрав определение, они придерживаются его. Для этого класса давайте договоримся что 0 равно не натуральное число, если не указано иное. В другими словами, если не указано иное, мы будем использовать символ N для представляют набор {1, 2, 3, …}. Если мы хотим обратиться к набор {0, 1, 2, 3, …}, когда мы используем это определение N , мы всегда можем написать N  ∪ {0} (о значении символа ∪ мы поговорим чуть позже). В качестве альтернативы, термины положительное целое число и неотрицательное число целых всегда однозначны: ноль не положителен, но он неотрицательный. Следовательно, другой способ обратиться к множеству {1, 2, 3, …} — это «множество положительных целые числа», а {0, 1, 2, 3, …} – это множество неотрицательных целых чисел».

Наконец, множество рациональных чисел называется Q (от слова «частное»). Рациональное число — это число, которое может быть записывается точно как дробь или частное двух целых чисел. Например, число 2/3 является рациональным числом, как и число –7/2. Все целые числа являются рациональными числами, потому что любое целое число можно записать в виде дроби со знаменателем 1; например, целое 5 можно записать как 5/1. Другие примеры рациональных чисел включают числа, которые могут быть записывается как завершающая десятичная дробь (например, число 8,13 может быть записывается как 813/100) или как повторяющаяся десятичная дробь (например, число 0,333… можно записать как 1/3). Не все действительные числа однако рациональны. Примеры вещественных чисел, которые нельзя записать точно как дробь двух целых чисел включает √2 и № ; десятичные расширения этих чисел продолжаются вечно и никогда не повторять. В этом курсе у нас не будет особой необходимости различать рациональные числа из действительных чисел, поэтому мы редко (если вообще когда-либо) будем использовать символ Q .

Обратите внимание, что эти четыре набора чисел являются (правильными) подмножествами друг друга: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R .

Обозначение конструктора наборов

Перечислить все элементы набора можно, если набор не слишком большой. Для больших наборов мы можем пропустить некоторые элементы, написав многоточие (…), как мы видели, но это возможно только тогда, когда элементы следуют шаблону, который хорошо виден в первых нескольких элементах. Это не всегда так. Например, множество всех простых чисел между 100 и 500 можно было бы записать как {101, 103, 107, …, 499}, но это не очень полезно написать, потому что очень трудно угадать правильный закономерность только из этих цифр (и это выражение не исключает неправильные шаблоны, такие как «набор всех нечетных чисел между 100 и 500, кроме кратных 5″).

В подобных ситуациях часто лучше описать набор, указав условие для членства. (Наше английское описание набора выше делает именно это; фактически он говорит, что условие для числа Элемент набора состоит в том, что число должно быть простым и лежать в пределах 100. и 500.) Когда мы хотим таким образом описать множество, мы можем использовать нотация построителя набора .

Когда мы используем нотацию построителя наборов, мы должны сначала установить универсальный набор (иногда называемый доменом дискурса или вселенная дискурса ), которая представляет собой множество всех возможных объектов на рассмотрении. Например, можно сказать, что универсальное множество это  R , множество всех действительных чисел; или, возможно, Z , набор целых чисел. Другая возможность состоит в том, чтобы использовать ранее определенный набор в качестве универсальный набор. Если мы определили А  = {1, 2, 3}, например, мы можем использовать A в качестве универсального набора.

После того, как мы выбрали универсальный набор, мы можем «построить» набор, выбор всех элементов универсального множества, удовлетворяющих заданному условие. Например, если универсальный набор равен R , мы можем определить установить B , скажем, как набор всех элементов R , которые больше 17. (Таким образом, B содержит числа 18 и 29,4, например, но не содержит 11,26 или -30.) Это установить B можно записать, используя нотацию конструктора наборов, как

B  = {  x  ∈  R  | x  > 17 }.

В системе построения наборов вертикальная черта | следует читать как «такой, что» или «удовлетворяющий условию, что». Итак Вышеприведенное выражение можно прочитать как « B — это набор, который содержит все элементы x универсального набора R удовлетворяющие условию 90 253 x 90 254 > 17».

Обратите внимание, что универсальный набор указан слева от вертикальной bar, и дается имя для представления произвольного элемента универсального множества с помощью символа ∈. Справа от полосы находится условие которым элемент должен удовлетворять, чтобы быть членом множества, которое мы строительство. Имя произвольного элемента ( x  в примере выше) может быть любым; приведенный выше пример означает то же самое, что и, скажем,

B  = {  z  ∈  R  | z  > 17 },

или даже

B  = { ♣ ∈  R  | ♣ > 17 },

, хотя ♣ не очень распространенное имя переменной (и оно, вероятно, вызовет некоторое недоумение, поэтому его, вероятно, следует избегать).

Почему важен универсальный набор? Ответ состоит в том, что множество, описанное с помощью Нотация создателя множества всегда будет подмножеством универсального множества. Рассмотрим набор

C  = {  x  ∈  N  | x  > 17 },

, который определяется точно так же, как набор B выше. за исключением того, что универсальный набор был изменен на N . Наборы B и C имеют много общего; Например, число 20 является элементом как B , так и C . Однако, поскольку C состоит из элементов N . а не элементы R , набор C содержит только (положительные) целые числа и не содержит чисел с дробной частью. Так, например, число 23,456 является элементом B , но не элемент C .

В качестве другого примера нотации конструктора наборов рассмотрим набор

D  = {  n  ∈  N  | n  ≤ 10 }.

Что это значит? Читая слева направо по одному символу за раз, мы читай « D  – это набор, содержащий все элемент N в универсальном наборе N удовлетворяющий при условии, что n  ≤ 10». Здесь универсальный набор есть множество N натуральных чисел (которое, как мы договорились, не include 0), поэтому мы видим, что

D  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Обратите внимание, что набор, описанный с помощью нотации конструктора наборов, может быть пустым, если нет элементы универсального множества удовлетворяют указанному условию! Например, набор

E  = {  n  ∈  N  | n  < 0 }

— пустое множество, потому что натуральных чисел меньше нуля не существует. А несколько более тонкий пример набора, который оказывается пустым, это

F  = {  n  ∈  N  | 8 <  n  < 9 },

, которое пусто, потому что нет натурального числа n , которое удовлетворяет неравенству 8 <  n  < 9. (Напомним, что 8 <  n  < 9 — сокращение для «8 <  n и n  < 9». Ни одно натуральное число не удовлетворяет этому условию, потому что каждое натуральное число либо меньше или равно 8, либо больше или равно 9.)

Вариации нотации конструктора наборов

Условие в нотации построителя набора не нужно записывать в математические символы. Обычно условие записывается как английская фраза. Например, мы можем определить S как набор совершенные квадраты, написав

S  = {  t  ∈  Z  | t  является полным квадратом}.

(Здесь в качестве универсального набора мы использовали Z вместо N , даже хотя никакое отрицательное целое число не является полным квадратом, потому что ноль равен а идеальный квадрат, и мы хотели включить его в набор  S . Этот пример, в котором было бы удобно, чтобы 0 был в N . Ну ладно.)

Если универсальный набор указан явно в словах до или после использование нотации построителя наборов, он часто опускается в нотации построителя наборов сам. Например, при определении нескольких наборов мы можем сказать:

Пусть

К	=	{  x  | x  ≠ 0 },
L	=	{  x  | −6 ≤  x  < 1 },
M	=	{  x  | x ≥ 50 и x идеально},

, где универсальный набор — это набор действительных чисел.

В этом случае, поскольку универсальный набор указан как набор реальных чисел, мы должны читать определение множества K как » K  это множество, содержащее все действительные номер x , удовлетворяющий условию, что 90 253 x 90 254 ≠ 0». Другими словами, K  – это набор всех действительных чисел, кроме 0. Можете ли вы понять определения L и M ?

Иногда вместо вертикальной черты используется двоеточие (:). нотация построителя множества. Это особенно распространено, когда состояние включает в себя выражение абсолютного значения, потому что вертикальные полосы, используемые в абсолютном значении обозначение можно легко спутать с вертикальной чертой, используемой в конструкторе наборов. обозначение.

Набор операций

Есть несколько операций, которые можно выполнить над множествами, чтобы получить новые комплекты из старых. Эти операции столь же фундаментальны для теории множеств, как и сложение и умножение относятся к арифметике.

Соединения и пересечения

Рассмотрим наборы

Одна полезная вещь, которую можно сделать с этими наборами, — «поместить их вместе» — другими словами, создать новый набор, содержащий все элемент A , а также каждый элемент B . Такой набор называется соединением из A и B , и записывается A ∪ B . В этом примере мы есть

A ∪ B  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13}.

Обратите внимание, что числа 2 и 8 содержатся в обоих А и  B , но каждый из них указан только один раз. in  A  ∪  B , потому что количество раз элемент, указанный в наборе, не имеет значения.

Какими бы ни были наборы A и B , всегда правда что А ⊆ ( А ∪  В ) и B ⊆ ( A ∪ B ). Делать понимаешь почему?

Еще одна полезная операция — выбрать элементы, которые A и B имеют общие черты. Это называется пересечение A и B , и написано А ∩ В . В нашем текущем примере у нас есть

А ∩ В  = {2, 8}.

Какими бы ни были наборы A и B , всегда правда что ( A ∩ B ) ⊆ A и ( A ∩ B ) ⊆ B . Делать понимаешь почему?

Если наборов A и B не имеют общих элементов, они называются непересекающимися . В этом случае пересечение A ∩ B пусто установлен.

Предположим, что одно из двух множеств, с которыми мы работаем, является пустым множеством. Независимо от того что такое набор A , всегда верно, что А  ∪ ∅ =  А и A  ∩ ∅ = ∅. Вы понимаете, почему?

Дополнения

Еще одна полезная вещь, которую можно сделать с набором, — рассмотреть все, что есть. а не в комплекте. Для того, чтобы иметь точное значение для «все», нам нужно указать универсальный набор (как мы сделали, когда используя нотацию конструктора наборов). Совокупность всех элементов универсального множества, не являются элементами множества называется дополнением A , и написано А . (Еще один распространенный обозначение дополнения A А ^в .)

Например, предположим, что универсальный набор равен Н . Пусть P быть набором простых чисел; то есть

P  = {  n  ∈  N  | n  простое } = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}.

Затем P , дополнение P , это набор составных чисел (и число 1, который не является ни простым, ни составным):

P  = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, …}.

Установить разницу

Иногда нам нужно обратиться ко всем элементам в некоторых установить A , которые являются , а не элементами какого-либо другого набор B . Эта операция называется установка разности (иногда называется относительным дополнением ) и записывается А  \  В . (Некоторые авторы используют стандартный знак минус и напишите A  −  B , но операция множества разница сильно отличается от обычной идеи вычитания, поэтому обратная косая черта более распространена.)

Например, если у нас есть наборы

then установленная разница  A  \  B равна

А  \  В  = {3, 10, 14},

, потому что это элементы A , которые не являются элементами из  B .

Нет необходимости, чтобы один набор был подмножеством другого. Например, рассмотреть наборы

Ни один из этих наборов не является подмножеством другого. Операция установки разницы однако по-прежнему имеет смысл. У нас есть

C  \  D  = {3, 15},

, потому что это элементы C , которые не являются элементами из D ; и

D  \  C  = {4, 5, 20},

, потому что это элементы D , которые не являются элементами C .

Обратите внимание, что если универсальный набор называется  U , то мы можем выразить дополнение множества A как разность множеств:

А  =  U  \  А .

Давайте подумаем, как ведет себя пустой набор с разницей в наборе операция. Независимо от того, какой набор A это всегда верно, что А  \ ∅ =  А и ∅ \  A  = ∅. Вы понимаете, почему?

Скобки

Когда мы выполняем две или более операции над множествами, нам часто нужно включать круглые скобки, чтобы сделать порядок вычислений однозначным. Например, предположим у нас есть наборы

Рассмотрим выражение ( A ∪ B ) ∩ C . Мы сначала оцените A ∪ B , потому что это в скобки. Мы видим, что А  ∪  В  = {1, 2, 3, 4}, так

( A ∪ B ) ∩  C  = {1, 2, 3, 4} ∩  C  = {3, 4}.

С другой стороны, предположим, что у нас есть выражение А ∪ ( B ∩ C ), который точно так же, за исключением размещения скобок. Мы тут сначала оцените B ∩ C , что {3, 4}, поэтому мы получаем

A ∪ ( B ∩  C ) =  A  ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}.

Этот пример показывает, что размещение скобок важно. Скобки свободны — если вы не уверены, нужны ли вам круглые скобки в выражении, поместите их на всякий случай.

Диаграммы Венна

диаграммы Венна, введенные английским математиком Джоном Венном в 1881 году очень полезны для понимания отношений между наборы.

На диаграмме Венна наборы представлены перекрывающимися формами. самая внешняя форма, которая обычно представляет собой прямоугольник, представляет собой универсальный установлен. Внутри этого прямоугольника находятся другие формы (часто круги), представляющие различные наборы. Эти формы могут перекрываться, указывая на возможность того, что две или несколько наборов могут иметь некоторые общие элементы.

Ниже показан наиболее распространенный способ построения диаграммы Венна для двух наборов. A  и  B . Здесь универсальный набор по телефону U .

Например, предположим, что универсальный набор равен

U  = {1, 2, 3, …, 12}

и мы определяем наборы

На приведенной ниже диаграмме Венна показаны целые числа от 1 до 12 в соответствующие места. Например, число 1 находится внутри круга. помечен  A , но вне круга с пометкой  B , потому что 1 является элементом A , но не B . число 7 находится внутри обоих кругов, потому что оно является элементом обоих A и  B . Число 5 находится внутри прямоугольника, потому что это элемент универсального множества, но он вне обоих кругов, потому что это ни в A или B .

Из этой диаграммы легко увидеть, например, что A ∩ B  = {3, 7, 11}.

Диаграмма Венна особенно полезна, когда мы думаем об абстрактных или неизвестные наборы, а не конкретные примеры, такие как наборы выше. В этом случай, когда мы не можем явно выписать элементы множеств; вместо этого мы представляем различные области самой диаграммы как метафоры для различных наборов, которые мы работают с. Полезно заштриховать или раскрасить части диаграммы, чтобы выделить определенные области.

Заштрихованные области на диаграммах ниже показывают области, соответствующие указанные наборы.

Одним из способов использования диаграмм Венна является проверка того, что два выражения действительно описывают тот же набор. Например, рассмотрим два выражения

( A ∪ B ) \ ( A  ∩  B ) а также ( A  \  B ) ∪ ( B  \  A ).

Нарисуем диаграммы Венна для этих наборов. Мы начнем с выражение слева. Диаграммы Венна для А ∪ В и A ∩ B показаны ниже.

Теперь заштрихованная область на диаграмме Венна для ( A ∪  B ) \ ( A  ∩  B ) должны включать области, заштрихованные на диаграмме Венна для A ∪ B , но , а не , заштриховано Венном схема для A ∩ Б . Итак, диаграмма Венна для ( A ∪  B ) \ ( A  ∩  B ) выглядит так:

Теперь рассмотрим другое выражение: ( A  \  B ) ∪ ( B  \  A ). Диаграммы Венна для A  \  B и B  \  A показаны ниже.

Теперь заштрихованная область на диаграмме Венна для ( A  \  B ) ∪ ( B  \  A ) должна включать заштрихованную область на диаграмме Венна для A  \  B , а также заштрихованная область в Венне схема для B  \  A . Итак, диаграмма Венна для ( А  \  В ) ∪ ( В  \  А ) выглядит так:

Обратите внимание, что это точно такая же диаграмма Венна, которую мы получили для ( A ∪  B ) \ ( A  ∩  B ). Это показывает, что эти два выражения представляют собой разные способы именования одного и того же установлен. Другими словами, для любых двух наборов A и B будет правда что

( A ∪ B ) \ ( A ∩  B ) = ( A  \  B ) ∪ ( 5 3 A 2 0 ).

(Этот набор иногда называют симметричной разностью A и B , письменный А ∆ В .)

вопросов

Вот несколько вопросов о наборах, чтобы проверить ваше понимание.

1. Запишите множество положительных четных целых чисел не менее чем в трех различных способы.
2. В каждом из следующих утверждений решите, является ли пусто _ можно правильно заполнить символ ∈, символ ⊆, оба или ни один из них.
   1. 2 _ {2, {2}, {5}}
   2. 5 _ {2, {2}, {5}}
   3. {2} _ {2, {2}, {5}}
   4. {5} _ {2, {2}, {5}}
   5. {{2}} _ {2, {2}, {5}}
   6. {{5}} _ {2, {2}, {5}}
   7. {{2}, {5}} _ {2, {2}, {5}}
3. Укажите элемент каждого из следующих наборов: З  \  Н , Q  \  Z , и R  \  Q .
4. Пусть A и B будут множествами, и пусть U обозначают универсальный набор. Определите, являются ли следующие утверждения обязательно правда. Если да, объясните почему. Если нет, приведите контрпример.
   1. Если | У | = 14 и | А | = 8, тогда | А | = 6,
   2. Наборы A и A не пересекаются.
   3. Если | А | = 7 и | Б | = 3, тогда | А  \  В | = 4,
5. Составьте диаграмму Венна для трех наборов A , B , и  C . Заштрихуйте область, соответствующую ( A ∪ B ) ∩ C .
6. Предположим, что A и B являются наборами с | А | = 5, | Б | = 10 и | A ∩ B | = 3. Что такое | А ∪ В |? (Подсказка: нарисуйте диаграмму Венна. )

Назад на стр. 21-110

Набор Python (с примерами)

В этом руководстве вы узнаете все о наборах Python; как они создаются, добавляются или удаляются из них элементы, и все операции, выполняемые над множествами в Python.

Набор — это неупорядоченный набор элементов. Каждый элемент набора уникален (без дубликатов) и должен быть неизменным (не может быть изменен).

Однако сам набор может изменяться. Мы можем добавлять или удалять элементы из него.

Наборы также можно использовать для выполнения математических операций над наборами, таких как объединение, пересечение, симметричная разность и т. д. через запятую или с помощью встроенной функции set() .

Может иметь любое количество элементов, и они могут быть разных типов (целые числа, числа с плавающей запятой, кортежи, строки и т. д.). Но множество не может иметь в качестве своих элементов изменяемые элементы, такие как списки, наборы или словари.

 # Различные типы наборов в Python
# набор целых чисел
мой_набор = {1, 2, 3}
печать (мой_набор)
# набор смешанных типов данных
my_set = {1.0, "Привет", (1, 2, 3)}
print(my_set) 

Вывод

  {1, 2, 3}
{1.0, (1, 2, 3), "Привет"}  

Попробуйте также следующие примеры.

 # набор не может иметь дубликатов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set = {1, 2, 3, 4, 3, 2}
печать (мой_набор)
# мы можем сделать множество из списка
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set = установить ([1, 2, 3, 2])
печать (мой_набор)
# в наборе не может быть изменяемых элементов
# здесь [3, 4] — изменяемый список
# это вызовет ошибку.
my_set = {1, 2, [3, 4]} 

Выход

  {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3}
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 15, в 
    my_set = {1, 2, [3, 4]}
TypeError: unhashable type: 'list'  

Создать пустой набор немного сложно.

Пустые фигурные скобки {} создаст пустой словарь в Python. Чтобы создать набор без каких-либо элементов, мы используем функцию set() без каких-либо аргументов.

 # Различать набор и словарь при создании пустого набора
# инициализируем {}
а = {}
# проверить тип данных a
печать (тип (а))
# инициализируем с помощью set()
а = установить ()
# проверить тип данных a
печать (тип (а)) 

Выход

  <класс 'дикт'>
  

Изменение набора в Python

Наборы изменяемы. Однако, поскольку они неупорядочены, индексация не имеет смысла.

Мы не можем получить доступ к элементу набора или изменить его с помощью индексации или нарезки. Установить тип данных не поддерживает его.

Мы можем добавить один элемент, используя метод add() , и несколько элементов, используя метод update() . 9Метод 1991 update() может принимать кортежи, списки, строки или другие наборы в качестве аргумента. Во всех случаях дубликаты избегаются.

 # инициализировать my_set
мой_набор = {1, 3}
печать (мой_набор)
# мой_набор[0]
# если вы раскомментируете строку выше
# вы получите сообщение об ошибке
# TypeError: объект 'set' не поддерживает индексацию
# добавить элемент
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set.add(2)
печать (мой_набор)
# добавить несколько элементов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set.update([2, 3, 4])
печать (мой_набор)
# добавить список и установить
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
my_set.update([4, 5], {1, 6, 8})
печать (мой_набор) 

Выход

  {1, 3}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}  

Удаление элементов из набора

Конкретный элемент можно удалить из набора с помощью методов discard() и remove() .

Единственная разница между ними состоит в том, что функция discard() оставляет набор без изменений, если элемент отсутствует в наборе. С другой стороны, функция remove() вызовет ошибку в таком состоянии (если элемент отсутствует в наборе).

Следующий пример проиллюстрирует это.

 # Разница между discard() и remove()
# инициализировать my_set
my_set = {1, 3, 4, 5, 6}
печать (мой_набор)
# отбросить элемент
# Вывод: {1, 3, 5, 6}
my_set.discard(4)
печать (мой_набор)
# удалить элемент
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.remove(6)
печать (мой_набор)
# отбросить элемент
# отсутствует в my_set
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.discard(2)
печать (мой_набор)
# удалить элемент
# отсутствует в my_set
# вы получите сообщение об ошибке.
# Вывод: KeyError
my_set.remove(2) 

Выход

  {1, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 6}
{1, 3, 5}
{1, 3, 5}
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 28, в 
KeyError: 2  

Точно так же мы можем удалить и вернуть элемент, используя метод pop() .

Поскольку набор является неупорядоченным типом данных, невозможно определить, какой элемент будет извлечен. Это совершенно произвольно.

Мы также можем удалить все предметы из набора, используя 9Метод 1991 clear() .

 # инициализировать my_set
# Вывод: набор уникальных элементов
my_set = установить ("HelloWorld")
печать (мой_набор)
# извлекаем элемент
# Вывод: случайный элемент
печать (my_set.pop())
# извлечь другой элемент
my_set.pop()
печать (мой_набор)
# очистить my_set
# Вывод: установить()
my_set.clear()
print(my_set) 

Вывод

  {'H', 'l', 'r', 'W', 'o', 'd', 'e'}
ЧАС
{'г', 'В', 'о', 'д', 'е'}
set()  

Python Set Operations

Наборы можно использовать для выполнения математических операций над множествами, таких как объединение, пересечение, разность и симметричная разность. Мы можем сделать это с помощью операторов или методов.

Рассмотрим следующие два набора для следующих операций.

 >>> А = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> B = {4, 5, 6, 7, 8} 

Set Union

Union of A и B представляет собой набор всех элементов из обоих наборов.

Объединение выполняется с помощью | оператор. То же самое можно сделать с помощью метода union() .

 # Установить метод объединения
# инициализируем А и Б
А = {1, 2, 3, 4, 5}
В = {4, 5, 6, 7, 8}
# использовать | оператор
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
напечатать (А | В) 

Выход

  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

 # использовать функцию объединения
>>> А.союз(Б)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
# используем функцию объединения на B
>>> Б.союз(А)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 

Пересечение множества

Пересечение A и B — это набор элементов, общих для обоих наборов.

Пересечение выполняется с помощью 9Оператор 1991 и годов. То же самое можно сделать, используя метод пересечения() .

 # Пересечение множеств
# инициализируем А и Б
А = {1, 2, 3, 4, 5}
В = {4, 5, 6, 7, 8}
# использование и оператор
# Вывод: {4, 5}
печать(A и B) 

Вывод

  {4, 5}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

 # использовать функцию пересечения на A
>>> А.пересечение(Б)
{4, 5}
# используем функцию пересечения на B
>>> Б.пересечение(А)
{4, 5} 

Set Difference

Отличие набора B от набора A ( A — B ) это набор элементов, которые есть только в

но не в . Точно так же B — A является набором элементов в B , но не в A .

Различие выполняется с помощью оператора - . То же самое можно сделать с помощью метода Differenti() .

 # Разница двух наборов
# инициализируем А и Б
А = {1, 2, 3, 4, 5}
В = {4, 5, 6, 7, 8}
# use - оператор на A
# Вывод: {1, 2, 3}
печать(A - B) 

Вывод

  {1, 2, 3}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

 # использовать функцию разницы на A
>>> А.разница(Б)
{1, 2, 3}
# use - оператор на B
>>> Б - А
{8, 6, 7}
# используем функцию разности на B
>>> Б. разница(А)
{8, 6, 7} 

Выход

  {1, 2, 3, 6, 7, 8}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

 # использовать функцию symmetric_difference на A
>>> А.симметричная_разница(Б)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}
# использовать функцию symmetric_difference на B
>>> Б. симметричная_разница (А)
{1, 2, 3, 6, 7, 8} 

Другие методы установки Python

Существует много методов установки, некоторые из которых мы уже использовали выше. Вот список всех методов, которые доступны с установленными объектами:

Метод	Описание
добавить()	Добавляет элемент в набор
очистить()	Удаляет все элементы из набора
копировать()	Возвращает копию набора
разница()	Возвращает разницу двух или более наборов в виде нового набора
разность_обновление()	Удаляет все элементы другого набора из этого набора
сброс()	Удаляет элемент из набора, если он является членом. (Ничего не делать, если элемента нет в наборе)
пересечение()	Возвращает пересечение двух наборов как новый набор
cross_update()	Обновляет набор пересечением себя и другого
isdisjoint()	Возвращает Истинно , если два набора имеют нулевое пересечение
issubset()	Возвращает True , если другой набор содержит этот набор
issuperset ()	Возвращает True , если этот набор содержит другой набор
поп()	Удаляет и возвращает произвольный элемент набора. Вызывает KeyError , если набор пуст
удалить()	Удаляет элемент из набора. Если элемент не является членом, вызывает ошибку KeyError
симметричная_разность()	Возвращает симметричную разность двух наборов в виде нового набора
симметричная_разница_обновление()	Обновляет набор с симметричной разностью себя и другого
объединение()	Возвращает объединение наборов в новый набор
обновление()	Обновляет набор объединением себя и других

Другие операции с множествами

Проверка принадлежности множества

Мы можем проверить, существует ли элемент в множестве или нет, используя ключевое слово в .

 # в ключевом слове в наборе
# инициализировать my_set
my_set = установить ("яблоко")
# проверяем, присутствует ли 'a'
# Вывод: Истина
print('a' в my_set)
# проверить, присутствует ли 'p'
# Вывод: Ложь
print('p' нет в my_set) 

Выход

  Правда
False  

Перебор набора

Мы можем перебирать каждый элемент набора с помощью цикла for .

 >>> для письма в наборе ("яблоко"):
... печать (письмо)
...
а
п
е
l 

Встроенные функции с набором

Встроенные функции, такие как all() , any() , enumerate() , len() , max() , min ( ) , sorted() , sum() и т. д. обычно используются с наборами для выполнения различных задач.

Функция	Описание
все()	Возвращает True , если все элементы набора истинны (или если набор пуст).
любой()	Возвращает True , если любой элемент набора истинен. Если набор пуст, возвращает False .
перечислить()	Возвращает перечисляемый объект. Он содержит индекс и значение для всех элементов набора в виде пары.
лен()	Возвращает длину (количество элементов) в наборе.
макс()	Возвращает самый большой элемент в наборе.
мин()	Возвращает наименьший элемент в наборе.
отсортировано()	Возвращает новый отсортированный список из элементов набора (сам набор не сортируется).
сумма()	Возвращает сумму всех элементов набора.

Python Frozenset

Frozenset — это новый класс, обладающий характеристиками набора, но его элементы нельзя изменить после назначения. В то время как кортежи — это неизменяемые списки, замороженные наборы — неизменные наборы.

Изменяемые наборы нельзя хэшировать, поэтому их нельзя использовать в качестве ключей словаря. С другой стороны, наборы заморозки можно хешировать и использовать в качестве ключей к словарю.

Frozensets можно создавать с помощью функции Frozenset().

Этот тип данных поддерживает такие методы, как: союз() . Будучи неизменным, он не имеет методов, которые добавляют или удаляют элементы.

 # Фрозенсеты
# инициализируем А и Б
A = замороженный набор ([1, 2, 3, 4])
B = замороженный набор ([3, 4, 5, 6]) 

Попробуйте эти примеры в оболочке Python.

 >>> A.isdisjoint(B)
ЛОЖЬ
>>> А.разница(Б)
замороженный набор ({1, 2})
>>> А | Б
замороженный набор ({1, 2, 3, 4, 5, 6})
>>> А.добавить(3)
...
AttributeError: у объекта «замороженный набор» нет атрибута «добавить» 

Как создать набор Python только с одним элементом?

спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 2 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 54к раз

Если у меня есть строка и я хочу создать набор, который изначально содержит только эту строку, есть ли более питонический подход, чем следующий?

 мой набор = набор()
мойSet. добавить(мояСтрока)
 

Следующее дает мне набор букв в myString :

 mySet = set(myString)
 

набор python python-3.x

В версиях 2.7 и 3.x можно использовать:

 mySet = {'abc'}
 

2

Например, простой способ:

 mySet = set([myString])
 

Для Python2.7+:

 set_display ::= "{" (expression_list | понимание) "}"
 

Пример:

 >>> myString = 'foobar'
>>> с = {моя строка}
>>> с
установить(['foobar'])
>>> s = {'спам'}
>>> с
установить(['спам'])
 

Обратите внимание, что пустое {} не является набором , это dict .

Справка по набору : Набор классов

 (объект)
 | set() -> новый пустой объект набора
 | set(iterable) -> новый заданный объект
 

Как видите, set() ожидает итерацию, и строки тоже итерируемы, поэтому он преобразует строковые символы в набор.

Поместите строку в некоторую итерацию и передайте ее set() :

 >>> set(('foo',)) #кортеж
установить (['foo'])
>>> установить(['foo']) #список
установить (['foo'])
 

set(obj) будет перебирать obj и добавлять в набор все уникальные элементы. Поскольку строки также являются итерируемыми, если вы передадите строку в set() , вы получите уникальные буквы в своем наборе. Вы можете сначала поместить свой объект в список:

 set(["mystring"])
 

Однако это не элегантно, ИМО. Вы знаете, даже для создания пустого словаря мы предпочитаем {} вместо dict() . То же самое. Я буду использовать следующий синтаксис:

 myset = {"mystring"}
 

Обратите внимание, что для кортежей после них нужна запятая:

 mytuple = ("mystring",)
 

Если набор также вряд ли изменится, рассмотрите возможность использования замороженного набора :

 mySet = замороженный набор ([myString])
 

использовать mySet = {mystring}

 Python 3. 6.9 (по умолчанию, 24 сентября 2019 г., 14:35:19)
 Введите «авторское право», «кредиты» или «лицензия» для получения дополнительной информации.
 IPython 7.8.0 — улучшенный интерактивный Python. Тип '?' за помощью.
 В [1]: def s(i):
     ...: г = установить ()
     ...: р.добавить(я)
     ...: вернуть г
     ...:
 В [2]: %timeit s(1234)
  218 нс ± 5,99 нс на петлю (среднее значение ± стандартное отклонение для 7 запусков, 1000000 циклов в каждом)
 В [3]: %timeit установлено ([1234])
  201 нс ± 3 нс на петлю (среднее значение ± стандартное отклонение для 7 циклов, 10000000 циклов в каждом)
 В [4]: ​​%timeit {1234}
  51,7 нс ± 1,7 нс на петлю (среднее значение ± стандартное отклонение для 7 прогонов, 10000000 циклов в каждом)
 

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Теория множеств > Базовая теория множеств (Стэнфордская философская энциклопедия)

характеризуется своими элементами. Таким образом, два множества равны тогда и только тогда, когда если они имеют точно такие же элементы. Основное отношение в множестве Теория есть теория элементальности или членства. Мы пишем \(a\in A\) в указать, что объект \(a\) является элемент или элемент множества \(A\). Мы также говорим, что \(a\) принадлежит до \(А\). Таким образом, множество \(А\) равно множеству \(В\) тогда и только тогда, когда для каждое \(а\), \(а\в А\) тогда и только тогда, когда \(а\в В\). В частности, есть только один набор без каких-либо элементов. Это множество называется, естественно, пустой набор и представлен символом \({\varничего}\).

Мы говорим, что \(A\) является подмножеством множества \(B\), записанным \(A\subseteq B\), если каждый элемент \(A\) является элементом \(B\). Таким образом, \(A=B\), если и только если \(A\subseteq B\) и \(B\subseteq A\). Заметь \({\varnothing}\subseteq A\), для каждого набора \(A\).

Имея наборы \(A\) и \(B\), можно выполнить некоторые основные операции с из них получаются следующие множества:

• Множество \(A\cup B\), называемое объединением \(A\) и \(B\), чьи элементами являются элементы \(A\) и элементы \(B\).

• Множество \(A\cap B\), называемое пересечением точек \(A\) и \(B\), элементами которого являются элементы, общие для \(A\) и \(B\).

• Множество \(A-B\), называемое разность \(A\) и \(B\), чье элементами являются те элементы \(A\), которые не являются членами \(В\).

Проверка того, что эти операции удовлетворяют следующим свойства:

• Ассоциативность:

• Коммутативность:

• Распределение:

• Идемпотентность:

  • \(А \стакан А=А\)

  • \(А \крышка А=А\)

• • \(A \cup {\varnothing}=A\)

  • \(A\cap {\varnothing}={\varnothing}\)

  • \(А — А={\varничего}\)

• Если \(A\subseteq B\), то

Имея объект \(a\), мы можем сформировать множество, в котором \(a\) является единственным элемент. Это множество обозначается через \(\{ a \}\). В более общем плане, учитывая \(a,b,c,\ldots\), мы можем сформировать множество, имеющее \(a,b,c,\ldots\) в качестве элементы, которые мы обозначаем через \(\{ a,b,c, \ldots\}\). Конечно можем на самом деле запишите все элементы множества, когда их не слишком много. многие из них. В случае бесконечных множеств это явно не так. возможный.

Если \(a=b\), то \(\{ a,b\}=\{ a\}\). Кроме того, для любых \(a\) и \(b\) пара \(\{ a,b\}\) совпадает с парой \(\{ b,a\}\). Итак, если мы хотим принять во внимание порядок, в котором два элемента пары Учитывая, нам нужно найти другой способ представления пары. Таким образом, мы определить упорядоченную пару \((a,b)\) как множество \(\{ \{ a\},\{ а, б\}\}\). Легко проверить, что две упорядоченные пары \((a,b)\) и \((c,d)\) равны тогда и только тогда, когда \(a=c\) и \(b=d\). Заказ сейчас важно, ибо если \(a\ne b\), то \((a,b)\ne (b,a)\).

Декартово произведение \(A\times B\) двух множеств, \(A\) и \(B\), определяется как множество всех упорядоченных пар \((a,b)\) таких, что \(а\в А\) и \(б\в В\). n\).

Бинарное отношение \(R\) на множестве \(A\) называется рефлексивным , если \((a,a)\in R\) для каждого \(a\in A\). Он называется симметричным , если \((b,a)\in R\) всякий раз, когда \((a,b)\in R\). И это называется транзитивным , если \((a,c)\in R\) всякий раз, когда \((a,b)\in R\) и \((b,c)\в R\). Отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным называется отношением эквивалентности . Отношение тождества на любое множество \(A\) является парадигматическим примером эквивалентности связь. Другим примером является отношение на множестве всех конечных множества натуральных чисел, состоящие из всех пар \((a,b)\) таких, что \(a\) и \(b\) имеют одинаковое количество элементов.

Если \(R\) является отношением эквивалентности на множестве \(A\) и \((a,b)\in R\), тогда мы говорим, что \(a\) и \(b\) являются \(R\)-эквивалентными . За каждый \(a\in A\), классов эквивалентности \(a\), обычно обозначаемый через \([a]_R\), это множество всех элементов \(A\), которые являются \(R\)-эквивалентными к \(а\). Множество всех классов \(R\)-эквивалентности называется фактор-множество и обозначается \(A/R\). Можно легко проверьте, что \(A/R\) является разделом раздела \(A\), то есть ни один элемент из \(A/R\) пусто, любые два элемента из \(A/R\) не пересекаются, и каждый \(a\in A\) принадлежит (ровно) одному элементу \(A/R\), а именно классу \([а]_Р\).

Если \(R\) является бинарным отношением, то вместо него обычно пишут \(aRb\) из \((a,b)\in R\).

Бинарное отношение \(R\) на множестве \(A\) называется антисимметричным если \(a=b\), когда \(aRb\) и \(bRa\). Отношение \(R\) на множестве \(A\), т.е. рефлексивной, антисимметричной и транзитивной, называется (возвратный) частичный заказ . Если удалить из \(R\) все пары \((a,a)\), для каждого \(a\in A\), мы получаем строгих частичных заказ. Отношение \(\subseteq\) на любом множестве множеств является примером частичный заказ. Частичный порядок на заданном множестве \(A\) обычно представленный символом \(\leq\), и соответствующий строгий частичный упорядочение по \(<\). Частичный порядок \(\leq\) на множестве \(A\) с дополнительное свойство, состоящее в том, что либо \(a\leq b\), либо \(b\leq a\) для всех элементы \(a\) и \(b\) из \(A\), называется 92\) также является линейным порядком на \(В\). Если \(\leq\) — линейный порядок на множестве \(A\), то говорят, что \(a\in A\) является \(\leq\)-наименьшим элементом \(A\), если нет \(b\in A\) различных из \(a\) такое, что \(b\leq a\). Число \(0\) является наименьшим элементом \(\mathbb{N}\), но \(\mathbb{Z}\) не имеет наименьшего элемента.

Линейный порядок \(\leq\) на множестве \(A\) является хорошим порядком, если каждое непустое подмножество \(A\) имеет \(\leq\)-наименьший элемент. Эквивалентно, если нет бесконечного строго убывающего последовательность \[\ldots < a_2< a_1< a_0\] элементов \(A\). Таким образом, обычный порядок \(\mathbb{N}\) является правильным порядком. Но обычное порядок на \(\mathbb{Z}\) не такой, потому что в нем нет наименьшего элемента.

2. Функции

A (\(1\)-арные) функция на множестве \(A\) является бинарным отношением \(F\) на \(A\) такие, что для каждого \(a\in A\) существует ровно одна пара \((а,б)\в F\). Элемент \(b\) называется значением из \(F\) на \(a\) и обозначается через \(F(a)\). А множество \(A\) называется домен из \(F\). Обозначение \(F:A\to B\) указывает, что \(F\) есть функция с областью определения \(A\) и значениями в множестве \(B\). Для \(n\geq 2\), \(n\)-арная функция 9п\к Б\), для некоторого \(B\).

Функция \(F:A\to B\) является однозначной , если для всех элементов \(a\) и \(b\) из \(A\), если \(a\ne b\), то \(F(a)\ne F(b)\). А также есть на , если для любого \(b\in B\) существует некоторое \(a\in A\) такое что \(F(a)=b\). Наконец, \(F\) является биективным , если оно является взаимно однозначным. и на. Таким образом, биекция \(F:A\to B\) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между элементами \(A\) и элементами \(B\), а \(A\) является биективным с \(B\), если существует такой биекция. тождественная функция на множестве \(A\), обозначаемая \(Id:A\to A\) и состоит из всех пар \((a,a)\), где \(a\in A\) тривиально является биекцией.

Учитывая функции \(F:A\to B\) и \(G:B\to C\), композиция \(F\) и \(G\) , записанные \(G\circ F\), есть функция \(G\circ F:A\to C\), элементами которого являются все пары \((a,G(F(a)))\), где \(a\in A\). Если \(F\) и \(G\) биекции, то и \(G\circ F\).

3. Наборы и формулы

Формальная язык теории множеств является языком первого порядка язык, единственным нелогическим символом которого является символ бинарного отношения \(\в\).

Для любой формулы \(\varphi(x,y_1,\ldots ,y_n)\) языка теории множеств и множеств \(A,B_1,\ldots ,B_n\), можно сформировать множество всех те элементы \(A\), которые удовлетворяют формуле \(\varphi(x,B_1,\ldots ,В_п)\). Это множество обозначается \(\{ a\in A: \varphi(a,B_1,\ldots ,В_п)\}\). Ниже приведены некоторые примеры

• \({\varnothing}=\{ a\in A: a\ne a\}\)

• \(А=\{а\в А: а=а\}\)

• \(A-B=\{ a\in A: a\not \in B\}\).

• \(A\cap B=\{ a\in A: a\in B\}\).

И если \(B\) и \(C\) являются подмножествами \(A\), то

Учитывая подмножество \(C\subseteq A\times B\), проекция \(C\) (по первой координате) есть множество

\(\{ a\in A: \существует b\in B ((a,b)\in C)\}\).

Однако это не тот случай, когда при любой формуле \(\varphi(x,y_1,\ldots,y_n)\) и множеств \(B_1,\ldots,B_n\), можно сформировать множество всех тех множеств, которые удовлетворяют формуле \(\varphi(x,B_1,\ldots,B_n)\). Пусть \(\varphi(x)\) будет формулой \(х\не \в х\). Если бы \(A\) было множеством всех множеств, удовлетворяющих формулы, то \(А\в А\) тогда и только тогда, когда \(А\не \в А\). Противоречие! Это противоречие известно как Парадокс Рассела , после Бертран Рассел, открывший его в 1901 г. (см. парадокс Рассела).

4. Порядковые номера

Первым порядковым номером является \({\varnothing}\). Учитывая порядковый номер \(\alpha\), следующий больший порядковый номер, называемый (немедленно) преемник \(\alpha\), это набор \(\alpha \cup \{ \альфа\}\). Таким образом, преемником \(\alpha\) является просто набор \(\alpha\) вместе с еще одним элементом, а именно \(\alpha\) сам. конечных порядковых чисел получены начиная с \({\varnothing}\) и многократно беря преемника.

В теории множеств натуральных чисел определяются как конечные ординалы. Таким образом,

• \(0= {\varnothing}\)

• \(1= {\varnothing}\cup \{ {\varnothing}\}=\{ {\varnothing}\}\)

• \(2= \{ {\varnothing}\} \cup \{\{{\varnothing}\}\}=\{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\)

• \(3= \{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\cup \{ \{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\} =\{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}, \{ {\varnothing}, \{ {\varnothing}\}\}\}\)

• \(\вточки\)

Обратите внимание, что \(1=\{ 0\}\), \(2=\{ 0,1\}\), \(3=\{ 0,1,2\}\) и в вообще имеем \(n=\{ 0,1,2,\ldots ,n-1\}\). Итак, каждое натуральное число \(n\) — это просто набор своих предшественников.

Множество \(A\) является конечным , если существует однозначное соответствие между некоторым натуральным числом \(n\) и элементами \(A\), т. е. биекция \(F:n\to A\), и в этом случае мы говорим, что \(A\) имеет \(n\) элементов. Набор бесконечен , если он не конечен.

Множество всех конечных ординалов обозначается греческой буквой омега (\(\омега\)). Таким образом, \(\omega\) — это просто набор \(\mathbb{N}\) натуральных числа. \(\omega\) также является порядковым номером, первым бесконечным порядковый. Обратите внимание, что \(\omega\) не является преемником какого-либо порядкового номера, и поэтому он называется предельным порядковым номером . Когда у нас есть \(\omega\), мы можем продолжайте генерировать больше порядковых номеров, взяв его преемника \(\omega \cup \{ \omega \}\), затем его преемник \((\omega \cup \{\omega\}) \cup \{\omega \cup \{\omega \}\}\) и так далее. Все порядковые числительные больше чем \(0\) производятся таким образом, а именно, либо путем взятия преемник последнего произведенного порядкового номера, или, если такого последнего нет порядковый номер, взяв набор всех произведенных до сих пор ординалов, как в случай \(\omega\), который дает новый предельный порядковый номер. Обратите внимание, однако, что нельзя взять набор из все порядковые номера, для этого множество было бы новым предельным ординалом, что невозможно, так как мы уже все были.

Как и в случае с конечными ординалами, каждый бесконечный ординал — это просто набор его предшественники. Одним из следствий этого является то, что отношение \(\in\) является строгим порядком на любом множестве ординалов. Таким образом, для любых ординалов \(\alpha\) и \(\beta\) мы определяем \(\alpha <\beta\) тогда и только тогда, когда \(\альфа\в\бета\). Тогда соответствующий рефлексивный порядок равен определяется как \(\alpha \leq \beta\) тогда и только тогда, когда \(\alpha <\beta\) или \(\альфа=\бета\). Заметим теперь, что \(\alpha \subseteq \beta\), если и только если \(\alpha \leq \beta\).

5. Счетные и несчетные множества

Если \(A\) конечное множество, то существует биекция \(F:n\to A\) между натуральные числа \(n\) и \(A\). Любая такая биекция дает a , считая элементов \(A\), а именно \(F(0)\) есть первый элемент \(A\), \(F(1)\) — второй и так далее. Таким образом, все конечные множества счетны. Бесконечное множество \(A\) есть называется счетным , если существует биекция \(F:\omega \to A\) между множеством натуральных чисел и \(A\). Набор \(\mathbb{N}\) из натуральные числа (тривиально) счетны. Если \(A\) бесконечное подмножество \(\omega\), то \(A\) также счетно: ибо пусть \(F:\omega \to A\) будет такой, что \(F(n)\) является наименьшим элементом \(A\), не входящим в множество \(\{ F(m)\in A: m

Каждое бесконечное подмножество счетного множества также счетно: для предположим, что \(F:\omega \to A\) является биекцией, а \(B\subseteq A\) является бесконечный. Тогда множество \(\{ n\in \omega: F(n)\in B\}\) является бесконечным подмножество \(\omega\), следовательно, счетно, и поэтому существует биекция \(G:\omega \to \{n\in \omega : F(n)\in B\}\). Тогда состав функция \(F\circ G:\omega \to B\) является биекцией.

Объединение счетного множества и конечного множества также исчисляемый. Для заданных множеств \(A\) и \(B\), которые без потери общности, мы можем предположить, что они не пересекаются, и при заданных биекциях \(F:\omega \to A\) и \(G:n\to B\), для некоторого \(n<\omega\) пусть \(H:\omega \to A\cup B\) — биекция, заданная формулой: \(H(m)=G(m)\), для каждого \(m

Более того, объединение двух счетных множеств тоже счетно: поскольку мы уже показали, что объединение счетного множества и конечного множество также счетно, достаточно убедиться, что объединение двух непересекающиеся счетные множества также счетны. Итак, предположим, что \(A\) и \(B\) равны счетные множества и \(F:\omega \to A\) и \(G:\omega \to B\) биекций, то функция \(H:\omega \to A\cup B\), состоящая из всех пар \((2n,F(n))\), плюс все пары \((2n+1, G(n))\) — биекция.