Что делать если одинаковые степени а основания разные: Свойства степеней, действия со степенями

Содержание

Сложение и вычитание степеней ⬅️

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n.

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и в онлайн калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления.

Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.

 

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Записывайся на онлайн курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Сложение и вычитание степеней

Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания. Примеры:

  • 23+ 34= 8 + 81= 89
  • 63— 33= 216 — 27 = 189

И еще несколько правил:

  • при наличии скобок — начинать вычисления нужно внутри них
  • только потом возведение производим в степень
  • затем выполняем остальные действия: сначала умножение и деление
  • после — сложение и вычитание

Сложение степеней с разными показателями

В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

Сложение степеней с разными основаниями

В целом, это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

  • 34+ 54=81 + 625 = 706
  • 14+ 72= 1+ 49 = 50

Как складывать числа с одинаковыми степенями

Точно также, как и в предыдущем примере. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.
Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем сложение.

В уравнениях это будет происходить немного иначе. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

2, 3, 5 — коэффициенты

a2  — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Вычитание степеней с одинаковым основанием

Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.

Вычитание степеней с разными основаниями

Могут быть разные основания, но одинаковые степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим вычитание.

  • 54— 44= 625 — 256 = 369
  • 74— 32= 2401 — 9 = 2392

Вычитание чисел с одинаковыми степенями

Все точно также, как и со сложением. Если степени одинаковые, а основания разные, то нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.

И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

6, 3, 2 — коэффициенты

a2  — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Подготовиться к сложной контрольной ребенку помогут в детской онлайн-школе Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься ей с удовольствием уже завтра.

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a3 и b2 есть a3 + b2.
Сумма a3 — bn и h5 -d4 есть a3 — bn + h5 — d4.

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных

могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a2 и 3a2 равна 5a2.

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a2 и a3 есть сумма a2 + a3.

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a3bn и 3a5b6

есть a3bn + 3a5b6.

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из2a43h2b65(a — h)6
Вычитаем-6a44h2b62(a — h)6
Результат8a4-h2b63(a — h)6

Или:
2a4 — (-6a4) = 8a4
3h2b6

— 4h2b6 = -h2b6
5(a — h)6 — 2(a — h)6 = 3(a — h)6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a3 на b2 равен a3b2 или aaabb.

Первый множительx-33a6y2a2b3y2
Второй множительam-2xa3b2y
Результатamx-3-6a6xy2a2b3y2a3b2y

Или:
x-3 ⋅ am = amx-3
3a6y2 ⋅ (-2x) = -6a6xy2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a5b5y3.

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a2.a3 = aa.aaa = aaaaa = a5.

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, an.am = am+n.

Для an, a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И am, берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a2.a6 = a2+6 = a8. И x3.x2.x = x3+2+1 = x6.

Первый множитель4anb2y3(b + h — y)n
Второй множитель2anb4y(b + h — y)
Результат8a2nb6y4(b + h — y)n+1

Или:
4an ⋅ 2an = 8a2n
b2y3 ⋅ b4y = b6y4
(b + h — y)n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y)n+1

Умножьте (x3 + x2y + xy2 + y3) ⋅ (x — y).
Ответ: x4 — y4.
Умножьте (x3 + x — 5) ⋅ (2x3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a-2.a-3 = a-5. Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a-n.am = am-n.

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a2 — b2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a2 — y2.
(a2 — y2)⋅(a2 + y2) = a4 — y4.
(a4 — y4)⋅(a4 + y4) = a8 — y8. 5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a2/a3 и a-3/a-4 и приведите к общему знаменателю.
a2.a-4 есть a-2 первый числитель.
a3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель.
a3.a-4 есть a-1, общий числитель.
После упрощения: a-2/a-1 и 1/a-1.

4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a3/5a7 и 5a5/5a7 или 2a3/5a2 и 5/5a2.

5. Умножьте (a3 + b)/b4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a5 + 1)/x2 на (b2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b4/a-2 на h-3/x и an/y-3.

8. Разделите a4/y3 на a3/y2. Ответ: a/y.

9. Разделите (h3 — 1)/d4 на (dn + 1)/h.

Свойства степени

Наверное, ни для кого не является секретом, что большинство математических утверждений, прежде, чем установится, проходят несколько этапов. Давайте подробно рассмотрим, как же.

Первый этап – это, конечно же, когда человек замечает некоторую одну и ту же закономерность в ряде случаев.

Второй этап – формулировка закономерности. Говоря проще, человек пытается предположить, что данная закономерность действует не только в одном конкретном случае, а и во всех подобных.

Третий этап – человек пытается доказать то, что закономерность, которую он подметил, а потом сформулировал, верна, то есть он пытается ее доказать. Но что же значит доказать, что утверждение верно? Конечно же, это значит объяснить верность предположений, но при этом опираться необходимо обязательно только лишь на уже проверенные факты, теоремы и утверждения.

Теперь давайте рассмотрим подробнее, непосредственно, свойства степеней.

Итак, первое свойство: aH * aK = aH+K

Проверим данное свойство на примере: 22 * 23 = 22+3. Как видим, утверждение правильное. Мы можем взять еще несколько подобных примеров, и все время будет получать только лишь верный результат.

Второе свойство (подобное к первому, за исключением нескольких различий в знаках). В данном случае мы будем иметь дело с делением: aH : aK = aH-K

Проверяем данное свойство также на примере: : 22 : 23 = 22-3. Опять-таки получили верный результат.

Третье свойство: (aH)K = aH*K

Опять же проверяем на примере: (22)3 = 26. Получили очередное правильное свойство.

Исходя из вышеуказанных формул и примеров, легко выводятся три основных правила, связанные со свойством степеней:

  1. Если у степени одинаковое основание, показатели разные, а сами основания умножаются, то мы можем преобразоваться это в степень с одним основанием, а показатели степени просто суммируются. 2

    Свойства степени
    am
     
    * an
     
    = am + n
     
    am
     
    : an
     
    = am — n
     
    (a * b)m
     
    = am
     
    * bm
     
    (a
    b
    )-m
     
     
    =(b
    a
    )m
     
     
    a1
    n
     
     
    =n
     
    am
    n
     
     
    =n
     

    Умножение с разными степенями.

    Как умножать степени, умножение степеней с разными показателями. Применение степеней и их свойств

    Имеют одинаковые степеней, а показатели степеней неодинаковы, 2² * 2³ , то результатом будет основание степени с тем же одинаковым основанием членов произведения степеней, возведённого в показатель степени, равный сумме показателей всех перемножаемых степеней.

    2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

    Если члены произведения степеней имеют разные основания степеней, а показатели степеней одинаковы, например, 2³ * 5³ , то результатом будет произведение оснований этих степеней, возведённое в показатель степени, равный этому одинаковому показателю степени.

    2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

    Если перемножаемые степени равны между собой, например, 5³ * 5³ , то результатом будет степень с основанием, равного этим одинаковым основаниям степеней, возведённое в показатель степени, равный показателю степеней, умноженного на количество этих одинаковых степеней.

    5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

    Или другой пример с таким же результатом:

    5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

    Источники:

    • Что такое степень с натуральным показателем
    • произведение степеней

    Математические действия со степенями можно выполнять только в том случае, когда основания показателей степени одинаковы, и когда между ними стоят знаки умножения или деления. Основание показателя степени – это число, которое возводится в степень.

    Инструкция

    Если числа делятся друг на друга (см 1), то у (в данном примере – это число 3) появляется степень, которая образуется из вычитания показателей степени. Причем, это действие проводится впрямую: из первого показателя вычитается второй. Пример 1. Введем : (а)в, где в скобках – а — основание, за скобками – в – показатель степени. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36.Если в ответе получается число в отрицательной степени, то такое число преобразуется в обыкновенную дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе основание с полученным при разности показателем степени, только в положительном виде (со знаком плюс). Пример 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Деление степеней может быть записано в другом виде, через знак дроби, а не как указано в этом шаге через знак «:». От этого принцип решения не меняется, все производится точно также, только запись будет вестись со знаком горизонтальной (или косой) дроби, вместо двоеточия. Пример 3. (2) 4 /(2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

    При умножении одинаковых оснований, имеющих степени, производится сложение степеней. Пример 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 =(5)5 = 3125.Если показатели степеней имеют разные знаки, то их сложение проводится согласно математическим законам.Пример 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

    Если основания показателей степени различаются, то скорое всего их можно привести к одному и тому же виду, путем математического преобразования. Пример 6. Пусть надо найти значение выражения: (4)2: (2)3. Зная, что число четыре можно представить как два в квадрате, решается данный пример так:(4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Далее при возведении в степень числа. Уже имеющего степень, показатели степеней умножаются друг на друга: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2.

    Полезный совет

    Помните, если данное основание кажется непохожим на второе основание, надо искать математический выход. Просто так разные числа не даются. Разве, что в учебнике наборщиком сделана опечатка.

    Степенной формат записи числа — это сокращенная форма записи операции умножения основания на само себя. С числом, представленным в такой форме, можно осуществлять те же операции, что и с любыми другими числами, в том числе и возводить их в степень. Например, можно возвести в произвольную степень квадрат числа и получение результата на современном уровне развития техники не составит какой-либо трудности.

    Вам понадобится

    • Доступ в интернет или калькулятор Windows.

    Инструкция

    Для возведения квадрата в степень используйте общее правило возведения в степень , уже имеющего степенной показатель. При такой операции показатели перемножаются, а основание остается прежним. Если основание обозначить как x, а исходный и дополнительный показатели — как a и b, записать это правило в общем виде можно так: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

    Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

    Число c является n -ной степенью числа a когда:

    Операции со степенями.

    1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m ·a n = a m + n .

    2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

    (a/b) n = a n /b n .

    5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

    (a m) n = a m n .

    Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

    Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

    Операции с корнями.

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

    3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

    5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

    Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

    Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

    Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

    Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
    любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

    При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

    Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.

    И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$. 3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1


    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2


      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Как умножать степени

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

    Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

    Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

    1.

    Основные определения

    Основные определения:

    n — показатель степени,

    n -ая степень числа.

    2. Формулировка теоремы 1

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

    По-иному: если а – любое число; n и k натуральные числа, то:

    Отсюда правило 1:

    3. Разъясняющие задачи

    Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

    4. Доказательство теоремы 1

    Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать:

    Доказательство основано на определении степени.

    5. Решение примеров с помощью теоремы 1

    Пример 1: Представьте в виде степени.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

    ж)

    6. Обобщение теоремы 1

    Здесь использовано обобщение:

    7.

    Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

    8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

    Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

    а) (по таблице)

    б)

    Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

    а)

    Пример 4: Определите знак числа:

    , а – отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

    Пример 5: Замените (·) степенью числа с основанием r:

    Имеем , то есть .

    9. Подведение итогов

    1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

    1. Школьный помощник (Источник).

    1. Представьте в виде степени:

    а) б) в) г) д)

    3. Запишите в виде степени с основанием 2:

    4. Определите знак числа:

    а)

    5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

    а) r 4 · (·) = r 15 ; б) (·) · r 5 = r 6

    Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

    Напоминание основных определений и теорем

    Здесь a — основание степени,

    n -ая степень числа.

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:

    При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

    Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями , на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями .

    Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

    Рассмотрим следующие примеры:

    Распишем выражения по определению степени.

    Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.

    Формулировка и доказательство теоремы 4

    Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

    Доказательство теоремы 4.

    По определению степени:

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    Формулировка и доказательство теоремы 5

    Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

    Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

    Доказательство теоремы 5.

    Распишем и по определению степени:

    Формулировка теорем словами

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

    Решение типичных задач с помощью теоремы 4

    Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

    Для решения следующего примера вспомним формулы:

    Обобщение теоремы 4

    Обобщение теоремы 4:

    Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

    Продолжение решения типичных задач

    Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

    Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

    Примеры на вычисление

    Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

    3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

    2. Школьный помощник (Источник).

    1. Представить в виде произведения степеней:

    а) ; б) ; в) ; г) ;

    2. Запишите в виде степени произведения:

    3. Запишите в виде степени с показателем 2:

    4. Вычислить самым рациональным способом.

    Урок математики по теме «Умножение и деление степеней»

    Разделы: Математика

    Педагогическая цель :

  2. ученик научится различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства в случае с одинаковыми основаниями;
  3. ученик получит возможность уметь выполнять преобразования степеней с разными основаниями и уметь выполнять преобразования в комбинированных заданиях.
  4. Задачи :

  5. организовать работу учащихся посредством повторения ранее изученного материала;
  6. обеспечить уровень воспроизведения посредством выполнения упражнений различного типа;
  7. организовать проверку по самооценке учащихся посредством тестирования.
  8. Деятельностные единицы учения: определение степени с натуральным показателем; компоненты степени; определение частного; сочетательный закон умножения.

    I. Организация демонстрации овладение учащимися имеющимися знаниями. (шаг 1)

    а) Актуализация знаний:

    2) Сформулировать определение степени с натуральным показателем.

    a n =a a a a … а (n раз)

    b k =b b b b a… b (k раз) Обосновать ответ.

    II. Организация самооценивания обучаемого степенью владения актуальным опытом. (шаг 2)

    Тест для самопроверки: (индивидуальная работа в двух вариантах.)

    А1) Представьте произведение 7 7 7 7 x x x в виде степени:

    А2) Представить в виде произведения степень (-3) 3 х 2

    A3) Вычислите: -2 3 2 + 4 5 3

    Количество заданий в тесте я подбираю в соответствии с подготовкой уровня класса.

    К тесту даю ключ для самопроверки. Критерии: зачёт – не зачёт.

    III. Учебно-практическая задача (шаг 3) + шаг 4. (сформулируют свойства сами ученики)
  9. вычислите: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  10. Упростите: а 2 а 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?
  11. В ходе решения задачи 1) и 2) учащиеся предлагают решение, а я, как учитель, организую класс на нахождение способа для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    Учитель: придумать способ для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    На кластере появляется запись:

    Формулируется тема урока. Умножение степеней.

    Учитель: придумайте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

    Рассуждения: каким действием проверяется деление? а 5: а 3 = ? что а 2 а 3 = а 5

    Возвращаюсь к схеме – кластер и дополняем запись – ..при делении вычитаем и дописываем тему урока. …и деление степеней.

    IV. Сообщение учащимся пределов познания (как минимум и как максимум).

    Учитель: задачей минимума на сегодняшний урок является научиться применять свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а максимума: применять умножение и деление совместно.

    На доске записываем: а m а n = а m+n ; а m: а n = а m-n

    V. Организация изучения нового материала. (шаг 5)

    а) По учебнику: №403 (а, в, д) задания с разными формулировками

    №404 (а, д, е) самостоятельная работа, затем организую взаимопроверку, даю ключи.

    б) При каком значении m справедливо равенство? а 16 а m = а 32 ; х h х 14 = х 28 ; х 8 (*) = х 14

    Задание: придумать аналогичные примеры для деления.

    в) № 417(а), №418 (а) Ловушки для учеников : х 3 х n = х 3n ; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = а 2 .

    VI. Обобщение изученного, проведение диагностической работы (что побуждает учеников, а не учителя изучать данную тему)(шаг 6)

    Диагностическая работа.

    Тест (ключи поместить на обратной стороне теста).

    Варианты заданий: представьте в виде степени частное х 15: х 3 ; представьте в виде степени произведение (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при каком m справедливо равенство а 16 а m = а 32 ; найдите значение выражения h 0: h 2 при h =0,2; вычислите значение выражения (5 2 5 0) : 5 2 .

    Итог урока. Рефлексия. Делю класс на две группы.

    Найдите аргументы I группа: в пользу знания свойств степени, а II группа – аргументы, которые будут говорить о том, что можно обойтись без свойств. Все ответы выслушиваем, делаем выводы. На последующих уроках можно предложить статистические данные и назвать рубрику «В голове не укладывается!»

  12. Средний человек съедает 32 10 2 кг огурцов в течение жизни.
  13. Оса способна совершить беспосадочный перелёт на 3,2 10 2 км.
  14. Когда стекло трескается, трещина распространяется со скоростью около 5 10 3 км/ч.
  15. Лягушка съедает за свою жизнь более 3 тонн комаров. Используя степень, запишите в кг.
  16. Наиболее плодовитой считается океанская рыба – луна (Моlа mola), которая откладывает за один нерест до 300000000 икринок диаметром около 1,3 мм. Запишите это число, используя степень.
  17. VII. Домашнее задание.

    Историческая справка. Какие числа называют числами Ферма.

    П.19. №403, №408, №417

    Используемая литература:

  18. Учебник «Алгебра-7», авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
  19. Дидактический материал для 7 класса, Л.В. Кузнецова, Л.И. Звавич, С.Б. Суворова.
  20. Энциклопедия по математике.
  21. Журнал «Квант».
  22. Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

    Навигация по странице.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :

  23. основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;
  24. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
  25. свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  26. свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
  27. возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
  28. сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

      Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 (a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m:a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

    1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
    3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
    4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
    5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
    7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
    8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

      По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

      Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

      По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

      Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

      Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m 1 m 2 , а при a>1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

      Свойства степеней с иррациональными показателями

      Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :

      1. a p ·a q =a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

    • Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений» Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Открыт конкурс на позицию «ПРОДАВЕЦ — КОНСУЛЬТАНТ»: Обязанности: продажа мобильных телефонов и аксессуаров для мобильной связи сервисное обслуживание абонентов Билайн, Теле2, МТС подключение тарифных планов и услуг Билайн и Теле2, МТС консультирование […]
    • Параллелепипед формулы Параллелепипед – это многогранник с 6 гранями, каждая из которых является параллелограммом. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, каждая грань которого является прямоугольником. Любой параллелепипед характеризуется 3 […]
    • Принять закон о Родовых поместьях Принять федеральный закон о безвозмездном выделении каждому желающему гражданину Российской Федерации или семье граждан участка земли для обустройства на нем Родового Поместья на следующих условиях: 1. Участок выделяется для […]
    • Общество защиты прав потребителя астана Для того, что бы получить pin-код для доступа к данному документу на нашем сайте, отправьте sms-сообщение с текстом zan на номер Абоненты GSM-операторов (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) отправив SMS на номер, […]
    • ИНСПЕКЦИЯ ГОСТЕХНАДЗОРА БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ Квитанция об оплате госпошлины(Скачать-12,2 kb) Заявления на регистрацию для физ.лиц(Скачать-12 kb) Заявления на регистрацию для юр.лиц(Скачать-11,4 kb) 1. При регистрации новой машины: 1.заявление 2.паспорт […]
    • ПРАВОПИСАНИЕ Н И НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ С.Г.ЗЕЛИНСКАЯ ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ Теоретическая зарядка 1. Когда в прилагательных пишется нн? 2. Назовите исключения из этих правил. 3. Как отличить отглагольное прилагательное с суффиксом -н- от причастия с […]
    • Пивоев В.М. Философия и методология науки: учебное пособие для магистров и аспирантов Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистров и аспирантов социального и […]
  29. Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    9. Разделите (h 3 — 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

    Произведение степеней с разными основаниями. Умножение и деление чисел со степенями. Степень с иррациональным показателем

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1


    Произведение степеней

    Запомните!

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

    Важно!

    Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2


    Частное степеней

    Запомните!

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
  30. Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    T = 3 8 − 4

    Ответ: t = 3 4 = 81
  31. Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    • Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
    • Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
      = = = = = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

      Важно!

      Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

      Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

      Будьте внимательны!

      Свойство № 3


      Возведение степени в степень

      Запомните!

      При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

      (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.


      Свойства 4


      Степень произведения

      Запомните!

      При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

      (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

      • Пример 1.
        (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
      • Пример 2.
        (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

      Важно!

      Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

      (a n · b n)= (a · b) n

      То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

      • Пример. Вычислить.
        2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
      • Пример. Вычислить.
        0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

      В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

      Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

      Пример возведения в степень десятичной дроби.

      4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

      Свойства 5


      Степень частного (дроби)

      Запомните!

      Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

      (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

      • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
        (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

      Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность. Но мир не стоит на месте, и в средних веках возникла необходимость проводить многократное однотипное умножение. Вспоминается старая индийская загадка о мудреце, попросившем в награду за выполненную работу пшеничные зёрна в следующем количестве: за первую клетку шахматной доски он просил одно зерно, за вторую – два, третью – четыре, пятую – восемь и так далее.3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

    Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени — достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

    Свойства степени

    Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

    1-е свойство.

    Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

    2-е свойство.

    3-е свойство.

    Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

    4-е свойство.

    Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

    Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

    5-е свойство.

    6-е свойство.

    Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

    7-е свойство.

    Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

    8-е свойство.

    9-е свойство.

    Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

    Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

    10-е свойство.

    Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

    11-е свойство.

    Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

    12-е свойство.

    Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

    Применение степеней и их свойств

    Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

    Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

    Формулы сокращенного умножения — еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

    Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

    Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

    Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

    С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

    Показательные уравнения и неравенства

    Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
    любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

    При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

    Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.

    И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1


    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    • Упростить выражение.
      b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
    • Представить в виде степени.
      6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
    • Представить в виде степени.
      (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
    • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

      Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
      посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

      Свойство № 2


      Частное степеней

      При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    • Записать частное в виде степени
      (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
    • Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Как умножать степени

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

    Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

    Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

    1. Основные определения

    Основные определения:

    n — показатель степени,

    n -ая степень числа.

    2. Формулировка теоремы 1

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

    По-иному: если а – любое число; n и k натуральные числа, то:

    Отсюда правило 1:

    3. Разъясняющие задачи

    Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

    4. Доказательство теоремы 1

    Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать:

    Доказательство основано на определении степени.

    5. Решение примеров с помощью теоремы 1

    Пример 1: Представьте в виде степени.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

    ж)

    6. Обобщение теоремы 1

    Здесь использовано обобщение:

    7. Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

    8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

    Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

    а) (по таблице)

    б)

    Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

    а)

    Пример 4: Определите знак числа:

    , а – отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

    Пример 5: Замените (·) степенью числа с основанием r:

    Имеем , то есть .

    9. Подведение итогов

    1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

    1. Школьный помощник (Источник).

    1. Представьте в виде степени:

    а) б) в) г) д)

    3. Запишите в виде степени с основанием 2:

    4. Определите знак числа:

    а)

    5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

    а) r 4 · (·) = r 15 ; б) (·) · r 5 = r 6

    Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

    На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

    Напоминание основных определений и теорем

    Здесь a — основание степени,

    n -ая степень числа.

    Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

    Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:

    При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

    Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

    Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями , на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями .

    Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

    Рассмотрим следующие примеры:

    Распишем выражения по определению степени.

    Вывод: из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а и b и любого натурального n.

    Формулировка и доказательство теоремы 4

    Для любых чисел а и b и любого натурального n справедливо равенство:

    Доказательство теоремы 4.

    По определению степени:

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

    Формулировка и доказательство теоремы 5

    Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

    Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:

    Доказательство теоремы 5.

    Распишем и по определению степени:

    Формулировка теорем словами

    Итак, мы доказали, что .

    Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

    Решение типичных задач с помощью теоремы 4

    Пример 1: Представить в виде произведения степеней.

    Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

    Для решения следующего примера вспомним формулы:

    Обобщение теоремы 4

    Обобщение теоремы 4:

    Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

    Продолжение решения типичных задач

    Пример 2: Запишите в виде степени произведения.

    Пример 3: Запишите в виде степени с показателем 2.

    Примеры на вычисление

    Пример 4: Вычислить самым рациональным способом.

    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

    3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

    2. Школьный помощник (Источник).

    1. Представить в виде произведения степеней:

    а) ; б) ; в) ; г) ;

    2. Запишите в виде степени произведения:

    3. Запишите в виде степени с показателем 2:

    4. Вычислить самым рациональным способом.

    Урок математики по теме «Умножение и деление степеней»

    Разделы: Математика

    Педагогическая цель :

  32. ученик научится различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства в случае с одинаковыми основаниями;
  33. ученик получит возможность уметь выполнять преобразования степеней с разными основаниями и уметь выполнять преобразования в комбинированных заданиях.
  34. Задачи :

  35. организовать работу учащихся посредством повторения ранее изученного материала;
  36. обеспечить уровень воспроизведения посредством выполнения упражнений различного типа;
  37. организовать проверку по самооценке учащихся посредством тестирования.
  38. Деятельностные единицы учения: определение степени с натуральным показателем; компоненты степени; определение частного; сочетательный закон умножения.

    I. Организация демонстрации овладение учащимися имеющимися знаниями. (шаг 1)

    а) Актуализация знаний:

    2) Сформулировать определение степени с натуральным показателем.

    a n =a a a a … а (n раз)

    b k =b b b b a… b (k раз) Обосновать ответ.

    II. Организация самооценивания обучаемого степенью владения актуальным опытом. (шаг 2)

    Тест для самопроверки: (индивидуальная работа в двух вариантах.)

    А1) Представьте произведение 7 7 7 7 x x x в виде степени:

    А2) Представить в виде произведения степень (-3) 3 х 2

    A3) Вычислите: -2 3 2 + 4 5 3

    Количество заданий в тесте я подбираю в соответствии с подготовкой уровня класса.

    К тесту даю ключ для самопроверки. Критерии: зачёт – не зачёт.

    III. Учебно-практическая задача (шаг 3) + шаг 4. (сформулируют свойства сами ученики)
  39. вычислите: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  40. Упростите: а 2 а 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?
  41. В ходе решения задачи 1) и 2) учащиеся предлагают решение, а я, как учитель, организую класс на нахождение способа для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    Учитель: придумать способ для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    На кластере появляется запись:

    Формулируется тема урока. Умножение степеней.

    Учитель: придумайте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

    Рассуждения: каким действием проверяется деление? а 5: а 3 = ? что а 2 а 3 = а 5

    Возвращаюсь к схеме – кластер и дополняем запись – ..при делении вычитаем и дописываем тему урока. …и деление степеней.

    IV. Сообщение учащимся пределов познания (как минимум и как максимум).

    Учитель: задачей минимума на сегодняшний урок является научиться применять свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а максимума: применять умножение и деление совместно.

    На доске записываем: а m а n = а m+n ; а m: а n = а m-n

    V. Организация изучения нового материала. (шаг 5)

    а) По учебнику: №403 (а, в, д) задания с разными формулировками

    №404 (а, д, е) самостоятельная работа, затем организую взаимопроверку, даю ключи.

    б) При каком значении m справедливо равенство? а 16 а m = а 32 ; х h х 14 = х 28 ; х 8 (*) = х 14

    Задание: придумать аналогичные примеры для деления.

    в) № 417(а), №418 (а) Ловушки для учеников : х 3 х n = х 3n ; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = а 2 .

    VI. Обобщение изученного, проведение диагностической работы (что побуждает учеников, а не учителя изучать данную тему)(шаг 6)

    Диагностическая работа.

    Тест (ключи поместить на обратной стороне теста).

    Варианты заданий: представьте в виде степени частное х 15: х 3 ; представьте в виде степени произведение (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при каком m справедливо равенство а 16 а m = а 32 ; найдите значение выражения h 0: h 2 при h =0,2; вычислите значение выражения (5 2 5 0) : 5 2 .

    Итог урока. Рефлексия. Делю класс на две группы.

    Найдите аргументы I группа: в пользу знания свойств степени, а II группа – аргументы, которые будут говорить о том, что можно обойтись без свойств. Все ответы выслушиваем, делаем выводы. На последующих уроках можно предложить статистические данные и назвать рубрику «В голове не укладывается!»

  42. Средний человек съедает 32 10 2 кг огурцов в течение жизни.
  43. Оса способна совершить беспосадочный перелёт на 3,2 10 2 км.
  44. Когда стекло трескается, трещина распространяется со скоростью около 5 10 3 км/ч.
  45. Лягушка съедает за свою жизнь более 3 тонн комаров. Используя степень, запишите в кг.
  46. Наиболее плодовитой считается океанская рыба – луна (Моlа mola), которая откладывает за один нерест до 300000000 икринок диаметром около 1,3 мм. Запишите это число, используя степень.
  47. VII. Домашнее задание.

    Историческая справка. Какие числа называют числами Ферма.

    П.19. №403, №408, №417

    Используемая литература:

  48. Учебник «Алгебра-7», авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
  49. Дидактический материал для 7 класса, Л.В. Кузнецова, Л.И. Звавич, С.Б. Суворова.
  50. Энциклопедия по математике.
  51. Журнал «Квант».
  52. Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

    Навигация по странице.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :

  53. основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;
  54. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
  55. свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  56. свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
  57. возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
  58. сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

      Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 (a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m:a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

    1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
    3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
    4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
    5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
    7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
    8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

      По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

      Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

      По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

      Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

      Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m 1 m 2 , а при a>1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

      Свойства степеней с иррациональными показателями

      Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :

      1. a p ·a q =a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

    • Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений» Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Открыт конкурс на позицию «ПРОДАВЕЦ — КОНСУЛЬТАНТ»: Обязанности: продажа мобильных телефонов и аксессуаров для мобильной связи сервисное обслуживание абонентов Билайн, Теле2, МТС подключение тарифных планов и услуг Билайн и Теле2, МТС консультирование […]
    • Параллелепипед формулы Параллелепипед – это многогранник с 6 гранями, каждая из которых является параллелограммом. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, каждая грань которого является прямоугольником. Любой параллелепипед характеризуется 3 […]
    • Принять закон о Родовых поместьях Принять федеральный закон о безвозмездном выделении каждому желающему гражданину Российской Федерации или семье граждан участка земли для обустройства на нем Родового Поместья на следующих условиях: 1. Участок выделяется для […]
    • Общество защиты прав потребителя астана Для того, что бы получить pin-код для доступа к данному документу на нашем сайте, отправьте sms-сообщение с текстом zan на номер Абоненты GSM-операторов (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) отправив SMS на номер, […]
    • ИНСПЕКЦИЯ ГОСТЕХНАДЗОРА БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ Квитанция об оплате госпошлины(Скачать-12,2 kb) Заявления на регистрацию для физ.лиц(Скачать-12 kb) Заявления на регистрацию для юр.лиц(Скачать-11,4 kb) 1. При регистрации новой машины: 1.заявление 2.паспорт […]
    • ПРАВОПИСАНИЕ Н И НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ С.Г.ЗЕЛИНСКАЯ ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ Теоретическая зарядка 1. Когда в прилагательных пишется нн? 2. Назовите исключения из этих правил. 3. Как отличить отглагольное прилагательное с суффиксом -н- от причастия с […]
    • Пивоев В.М. Философия и методология науки: учебное пособие для магистров и аспирантов Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистров и аспирантов социального и […]
  59. Правило деления степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Примеры:

    Слайд 11 из презентации «Деление и умножение степеней» к урокам алгебры на тему «Степень»

    Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Деление и умножение степеней.ppt» можно в zip-архиве размером 1313 КБ.

    «Деление и умножение степеней» — a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Найдем произведение a2 и a3. 100. 2+3. 5 раз. 64 = 144 = 1 0000 =. Умножение и деление степеней. 3 раза. a2 a3 =.

    «Степени двойки» — 1024+. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Гусельникова Е.В. Школа №130. Содержание. Таблица степеней двойки. Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Кислых В.Н. 11Э Зинько К.О. 11Э. Преподаватель: Выполнили: Рассмотрим схему преобразования на примере.

    «Степень с отрицательным показателем» — Степень с отрицательным показателем. 5 12?3 (27?3). -2. -1. Вычислите: -3.

    «Степень с рациональным показателем» — по теме: «Степень с рациональным показателем». Цели урока: I. Организационная часть. Проверка домашнего задания 1.Математический диктант 2. Взаимопроверка III.Самостоятельная работа IV. Обобщающий урок. Ход урока. Подготовка к контрольной работе V. Подведение итогов урока VI. II.

    «Степень с целым показателем» — Представьте выражение в виде степени. X-12. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. Вычислите. Упростите.

    «Свойства степени» — Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Вычислительная пауза. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Применение знаний для решения различных по сложности задач. Тест. Физминутка. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности.

    Правило деление степеней

    1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

    (abc…) n = a n b n c n …

    Пример 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

    Практически более важно обратное преобразование:

    a n b n c n … = (abc…) n

    т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

    Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

    2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

    Пример 5. Пример 6.

    Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

    3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

    Пример 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

    4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

    Пример 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

    5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

    Пример 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Пример 14.

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Алгебра – 7 класс.n$.

    mathematics-tests.com

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    • Правила техники безопасности при работе утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом. 1.Перед включением утюга в электросеть нужно проверить изоляцию шнура и положение утюга на подставке. 2.Включение и […]
    • Проблемы водного налога Состояние, анализ и проблемы совершенствования водного налога При заборе воды сверх установленных квартальных (годовых) лимитов водопользования налоговые ставки в части такого превышения […]
    • как составить приказ о переходе с 223фз на 44 фз Сергей Антонов 30 Ответ написан год назад Профессор 455 Ответ написан год назад Например: приказ об отмене применения положения о закупках. Оценка ответа: 0 Добавить […]
    • Деление отрицательных чисел Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению. Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « […]
    • Разрешения D1, 960Н, 720Р, 960Р, 1080Р Системы видеонаблюдения получают все большее распространение по всему миру. Оборудование постоянно совершенствуется, и данная сфера постоянно развивается. Как и в любой […]
    • Конституционное право Российской Федерации. Баглай М.В. 6-е изд., изм. и доп. — М.: Норма, 200 7 . — 7 84 с. Настоящий учебник, представляющий собой шестое, измененное и дополненное, издание, написан известным […]

    Свойства степеней при сложении. Основные свойства степеней. Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

    Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность.3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

    Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

    Число c является n -ной степенью числа a когда:

    Операции со степенями.

    1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m ·a n = a m + n .

    2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

    (a/b) n = a n /b n .

    5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

    (a m) n = a m n .

    Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

    Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

    Операции с корнями.

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

    3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

    5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

    Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

    Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

    Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

    Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    ( abc … ) n = a n · b n · c n

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    ( a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    (a m ) n = a m n .

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, (5) 0 = 1, (3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

    Случай 3.

    0 0 — любое число.

    Действительно,


    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    (Почему?).

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

    В этом случае нет решения.

    Таким образом, x > 0.

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    www.algebraclass.ru

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1


    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  60. Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  61. Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  62. Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  63. Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2


    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  64. Записать частное в виде степени
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  65. Вычислить.

    11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8: t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3


    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.


    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n)= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  66. Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  67. Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  68. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5


    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  69. Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12
  70. Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    (a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а:

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует.

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть

    Доказательство. По определению степени

    2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

    (a =/= 0)

    Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п , то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 2 .

    Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним , то есть

    Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х из уравнений:

    1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

    2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

    519. (У с т н о.) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) -1000 и 100; 4) -27 и -243; 6) 81 75 8 200 и 3 600 4 150 .

    Степень с натуральным показателем

    Предварительные навыки

    Что такое степень?

    Степенью называют произведение из нескольких одинаковых множителей. Например:

    2 × 2 × 2

    Значение данного выражения равно 8

    2 × 2 × 2 = 8

    Левую часть этого равенства можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку:

    23 = 8

    Это выражение читается так: «два в третьей степени равно восемь» или «третья степень числа 2 равна 8».

    Короткую форму записи перемножения одинаковых множителей используют чаще. Поэтому надо помнить, что если над каким-то числом надписано другое число, то это есть перемножение нескольких одинаковых множителей.

    Например, если дано выражение 53, то следует иметь ввиду, что это выражение равносильно записи 5 × 5 × 5.

    Число, которое повторяется называют основанием степени. В выражении 5основанием степени является число 5.

    А число, которое надписано над числом 5 называют показателем степени. В выражении 5показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени. В нашем случае основание 5 повторяется три раза

    Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют возведением в степень.

    Например, если нужно найти произведение из четырёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, то говорят, что число 2 возводится в четвёртую степень:

    Видим, что число 2 в четвёртой степени есть число 16.

    Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем степени с натуральным показателем. Это вид степени, показателем которой является натуральное число. Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее.

    Вообще, определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом:

    Степень числа a с натуральным показателем n — это выражение вида an, которое равно произведению n множителей, каждый из которых равен a

    Примеры:

    Следует быть внимательным при возведении числа в степень. Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель.

    Например, число 5 во второй степени есть произведение двух множителей каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25

    Теперь представим, что мы по невнимательности умножили основание 5 на показатель 2

    Получилась ошибка, поскольку число 5 во второй степени не равно 10.

    Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число:

    Например, число 5 в первой степени есть само число 5

    Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице.

    Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1

    А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры:

    А выражение 0 не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности анализе и теории множеств, выражение 00 может иметь смысл.

    Для тренировки решим несколько примеров на возведение чисел в степени.

    Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень.

    Число 3 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 3

    32 = 3 × 3 = 9


    Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень.

    Число 2 в четвертой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 2

    24 =2 × 2 × 2 × 2 = 16


    Пример 3. Возвести число 2 в третью степень.

    Число 2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 2

    23 =2 × 2 × 2 = 8


    Возведение в степень числа 10

    Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени.

    Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2

    102

    Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени

    102 = 100

    Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10

    102 = 10 × 10 = 100


    Пример 2. Возведём число 10 в третью степень.

    В данном случае после единицы будут стоять три нуля:

    103 = 1000


    Пример 3. Возведем число 10 в четвёртую степень.

    В данном случае после единицы будут стоять четыре нуля:

    104 = 10000


    Пример 4. Возведем число 10 в первую степень.

    В данном случае после единицы будет стоять один нуль:

    101 = 10


    Представление чисел 10, 100, 1000 в виде степени с основанием 10

    Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа.

    Представим число 10 в виде степени с основанием 10. Видим, что в нём один нуль. Значит, число 10 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 101

    10 = 101


    Пример 2. Представим число 100 в виде степени основанием 10. Видим, что число 100 содержит два нуля. Значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 102

    100 = 102


    Пример 3. Представим число 1 000 в виде степени с основанием 10.

    1 000 = 103


    Пример 4. Представим число 10 000 в виде степени с основанием 10.

    10 000 = 104


    Возведение в степень отрицательного числа

    При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки.

    Например, возведём отрицательное число −2 во вторую степень. Число −2 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен (−2)

    (−2)2 = (−2) × (−2) = 4

    Если бы мы не заключили в скобки число −2, то получилось бы что мы вычисляем выражение −22, которое не равно 4. Выражение −2² будет равно −4. Чтобы понять почему, коснёмся некоторых моментов.

    Когда мы ставим перед положительным числом минус, мы тем самым выполняем операцию взятия противоположного значения.

    Допустим, дано число 2, и нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположное числу 2 это число −2. Иными словами, чтобы найти противоположное число для 2, достаточно поставить минус перед этим числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эту операцию, как было указано выше, называют операцией взятия противоположного значения.

    В случае с выражением −22 происходит две операции: операция взятия противоположного значения и возведение в степень. Возведение в степень является более приоритетной операцией, чем взятие противоположного значения.

    Поэтому выражение −22 вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае во вторую степень было возведено положительное число 2

    Затем выполнилось взятие противоположного значения. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 это −4

    −2 = −4

    Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2)2 сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число.

    Пример 2. Возвести число −2 в третью степень.

    Число −2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен (−2)

    (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8


    Пример 3. Возвести число −2 в четвёртую степень.

    Число −2 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен (−2)

    (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

    Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени.

    Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным. Если показатель степени нечётный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа −3

    В первом и в третьем случае показатель был нечётным числом, поэтому ответ стал отрицательным.

    Во втором и в четвёртом случае показатель был чётным числом, поэтому ответ стал положительным.


    Пример 7. Возвести число −5 в третью степень.

    Число −5 в третьей степени это произведение трёх множителей каждый из которых равен −5. Показатель 3 является нечётным числом, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет отрицательным:

    (−5)3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125


    Пример 8. Возвести число −4 в четвёртую степень.

    Число −4 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен −4. При этом показатель 4 является чётным, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет положительным:

    (−4)4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256


    Нахождение значений выражений

    При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования.

    Пример 1. Найти значение выражения 2 + 52

    Сначала выполняется возведение в степень. В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25. Затем этот результат складывается с числом 2

    2 + 52 = 2 + 25 = 27


    Пример 10. Найти значение выражения −62 × (−12)

    Сначала выполняется возведение в степень. Заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус:

    −62 × (−12) = −36 × (−12)

    Завершаем пример, умножив −36 на (−12)

    −62 × (−12) = −36 × (−12) = 432


    Пример 11. Найти значение выражения −3 × 22

    Сначала выполняется возведение в степень. Затем полученный результат перемножается с числом −3

    −3 × 22 = −3 × 4 = −12

    Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание.


    Пример 12. Найти значение выражения (32 + 1 × 3) − 15 + 5

    Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок применяем ранее изученные правила, а именно сначала возводим во вторую степень число 3, затем выполняем умножение 1 × 3, затем складываем результаты возведения в степень числа 3 и умножения 1 × 3. Далее выполняется вычитание и сложение в порядке их следования. Расставим такой порядок выполнения действия над исходным выражением:

    (32 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2


    Пример 13. Найти значение выражения 2 × 53 + 5 × 23

    Сначала возведем числа в степени, затем выполним умножение и сложим полученные результаты:

    2 × 53 + 5 × 23 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290


    Тождественные преобразования степеней

    Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их.

    Допустим, потребовалось вычислить выражение (23)2. В данном примере два в третьей степени возводится во вторую степень. Иными словами, степень возводится в другую степень.

    (23)2это произведение двух степеней, каждая из которых равна 23

    При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2

    Получили произведение 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, которое равно 64. Значит значение выражения (23)2 или равно 64

    Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (23)2 можно перемножить и записать это произведение над основанием 2

    Получили 26. Два в шестой степени это произведение шести множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение равно 64

    Данное свойство работает по причине того, что 23 это произведение 2 × 2 × 2, которое в свою очередь повторяется два раза. Тогда получается, что основание 2 повторяется шесть раз. Отсюда можно записать, что 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 это 26

    Вообще, для любого основания a с показателями m и n, выполняется следующее равенство:

    (an)m = an × m

    Это тождественное преобразование называют возведением степени в степень. Его можно прочитать так: «При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают».

    После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти.

    Пример 2. Найти значение выражения (32)2

    В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим:

    Получили 34. А число 3 в четвёртой степени есть 81

    Рассмотрим остальные преобразования.

    Умножение степеней

    Чтобы перемножить степени, нужно по отдельности вычислить каждую степень, и полученные результаты перемножить.

    Например, умножим 22 на 33.

    22 это число 4, а 33 это число 27. Перемножаем числа 4 и 27, получаем 108

    22 × 33 = 4 × 27 = 108

    В этом примере основания степеней были разными. В случае, если основания будут одинаковыми, то можно записать одно основание, а в качестве показателя записать сумму показателей исходных степеней.

    Например, умножим 22 на 23

    В данном примере основания у степеней одинаковые. В этом случае можно записать одно основание 2 и в качестве показателя записать сумму показателей степеней 22 и 23. Иными словами, основание оставить без изменений, а показатели исходных степеней сложить. Выглядеть это будет так:

    Получили 25. Число 2 в пятой степени есть 32

    Данное свойство работает по причине того, что 22 это произведение 2 × 2, а 23 это произведение 2 × 2 × 2. Тогда получается произведение из пяти одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение представимо в виде 25

    Вообще, для любого a и показателей m и n выполняется следующее равенство:

    Это тождественное преобразование носит название основного свойства степени. Его можно прочитать так: «При перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают».

    Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней. Главное, чтобы основание было одинаковым.

    Например, найдем значение выражения 21 × 22 × 23. Основание 2 оставим без изменений, а показатели сложим:

    В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование, не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять большие степени не так-то просто.

    Пример 1. Представить в виде степени выражение 58 × 25

    В данной задаче нужно сделать так, чтобы вместо выражения 58 × 25 получилась одна степень.

    Число 25 можно представить в виде 52. Тогда получим следующее выражение:

    В этом выражении можно применить основное свойство степени — основание 5 оставить без изменений, а показатели 8 и 2 сложить:

    Задачу можно считать решённой, поскольку мы представили выражение 58 × 25 в виде одной степени, а именно в виде степени 510.

    Запишем решение покороче:


    Пример 2. Представить в виде степени выражение 29 × 32

    Число 32 можно представить в виде 25. Тогда получим выражение 29 × 25. Далее можно применить основание свойство степени — основание 2 оставить без изменений, а показатели 9 и 5 сложить. В результате получится следующее решение:


    Пример 3. Вычислите произведение 3 × 3, используя основное свойство степени.

    Все хорошо знают, что три умножить на три равно девять, но задача требует в ходе решения воспользоваться основным свойством степени. Как это сделать?

    Вспоминаем, что если число дано без показателя, то показатель нужно считать равным единице. Стало быть сомножители 3 и 3 можно записать в виде 31 и 31

    31 × 31

    Теперь воспользуемся основным свойством степени. Основание 3 оставляем без изменений, а показатели 1 и 1 складываем:

    31 × 31 = 32

    Далее вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно числу 9

    31 × 31 = 32 = 9


    Пример 4. Вычислите произведение 2 × 2 × 32 × 33, используя основное свойство степени.

    Произведение 2 × 2 заменим на 21 × 21, затем на 21 + 1, а затем на 22. Произведение 32 × 33 заменим на 32 + 3, а затем на 35

    Далее вычисляем значение каждой степени и находим произведение:


    Пример 5. Выполнить умножение x × x

    Это два одинаковых буквенных сомножителя с показателями 1. Для наглядности запишем эти показатели. Далее основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

    Находясь у доски, не следует записывать перемножение степеней с одинаковыми основаниями так подробно, как это сделано здесь. Такие вычисления нужно выполнять в уме. Подробная запись скорее всего будет раздражать учителя и он снизит за это оценку. Здесь же подробная запись дана, чтобы материал был максимально доступным для понимания.

    Решение данного примера желательно записать так:


    Пример 6. Выполнить умножение x2 × x

    Показатель второго сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:


    Пример 7. Выполнить умножение y3y2y

    Показатель третьего сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:


    Пример 8. Выполнить умножение aa3a2a5

    Показатель первого сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим:


    Пример 9. Представить степень 38 в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями.

    В данной задаче нужно составить произведение степеней, основания которых будут равны 3, и сумма показателей которых будет равна 8. Можно использовать любые показатели. Представим степень 38 в виде произведения степеней 35 и 33

    В данном примере мы опять же опирались на основное свойство степени. Ведь выражение 35 × 33 можно записать как 35 + 3, откуда 38.

    Конечно можно было представить степень 38 в виде произведения других степеней. Например, в виде 37 × 31, поскольку это произведение тоже равно 38

    Представление степени в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями это по большей части творческая работа. Поэтому не нужно бояться экспериментировать.


    Пример 10. Представить степень x12 в виде различных произведений степеней с основаниями x.

    Воспользуемся основным свойство степени. Представим x12 в виде произведений с основаниями x, и сумма показателей которых равна 12

    Конструкции с суммами показателей были записаны для наглядности. Чаще всего их можно пропустить. Тогда получится компактное решение:


    Возведение в степень произведения

    Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты.

    Например, возведём во вторую степень произведение 2 × 3. Возьмём в скобки данное произведение и в качестве показателя укажем 2

    Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты:

    Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале.

    Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее:

    2 × 3 × 2 × 3

    От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители:

    2 × 2 × 3 × 3

    Повторяющиеся множители можно заменить на короткие записи — основания с показателями. Произведение 2 × 2 можно заменить на 22, а произведение 3 × 3 можно заменить на 32. Тогда выражение 2 × 2 × 3 × 3 обращается в выражение 22 × 32.

    Пусть ab исходное произведение. Чтобы возвести данное произведение в степень n, нужно по отдельности возвести множители a и b в указанную степень n

    Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Следующие выражения также справедливы:


    Пример 2. Найти значение выражения (2 × 3 × 4)2

    В данном примере нужно возвести во вторую степень произведение 2 × 3 × 4. Чтобы сделать это, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты:


    Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c

    Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3

    Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения:


    Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz

    Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3

    (3xyz)3

    Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения:

    (3xyz)3 = 33x3y3z3

    Число 3 в третьей степени равно числу 27. Остальное оставим без изменений:

    (3xyz)3 = 33x3y3z3 = 27x3y3z3

    В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем.

    Например, вычислим значение выражения 52 × 32. Возведем каждое число во вторую степень и перемножим полученные результаты:

    52 × 32 = 25 × 9 = 225

    Но можно не вычислять по отдельности каждую степень. Вместо этого, данное произведение степеней можно заменить на произведение с одним показателем (5 × 3)2. Далее вычислить значение в скобках и возвести полученный результат во вторую степень:

    52 × 32 = (5 × 3)2 = (15)2 = 225

    В данном случае опять же было использовано правило возведения в степень произведения. Ведь, если (a × b)n = an × bn, то an × bn = (a × b)n. То есть левая и правая часть равенства поменялись местами.


    Возведение степени в степень

    Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней.

    При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают:

    (an)m = an × m

    К примеру, выражение (23)2 является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить:

    (23)2 = 23 × 2 = 26

    Далее вычислить степень 26, которая равна 64

    (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64

    Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени.

    Вернёмся к выражению (23)2. Выражение в скобках 23 представляет собой произведение из трёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Тогда в выражении (23)2 степень, находящуюся внутри скобок можно заменить на произведение 2 × 2 × 2.

    (2 × 2 × 2)2

    А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить:

    (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22

    Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем:

    (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26

    Как и раньше получили 26. Значение этой степени равно 64

    (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26 = 64

    В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями.

    Например, найдём значение выражения (22 × 32)3. Здесь показатели каждого множителя нужно умножить на общий показатель 3. Далее найти значение каждой степени и вычислить произведение:

    (22 × 32)= 22×3  × 32×3 = 2× 36 = 64 × 729 = 46656

    Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения.

    Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение:

    Но ранее было сказано, что если число дано без показателя, то показатель надо считать равным единице. Получается, что множители произведения 2 × 4 изначально имеют показатели равные 1. Значит в третью степень возводилось выражение 21 × 41. А это есть возведение степени в степень.

    Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат:


    Пример 2. Найти значение выражения (33)2

    Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем:

    Получили 36. Число 3 в шестой степени есть число 729


    Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy

    Возведём в третью степень каждый множитель произведения:


    Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵

    Возведём в пятую степень каждый множитель произведения:


    Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax)3

    Возведём в третью степень каждый множитель произведения:

    Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки.

    Далее нужно вычислить то, что вычисляется. В данном случае можно вычислить (−2)3 — получится −8. Буквенная часть останется без изменений:


    Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy)2


    Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x)3


    Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y)4


    Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴


    Пример 10. Упростите выражение x5 × (x2)3 

    Степень x5 пока оставим без изменений, а в выражении (x2)3 выполним возведение степени в степени:

    x5 × (x2)3 = x5 × x2 × 3 = x5 × x6

    Теперь выполним умножение x5× x6. Для этого воспользуемся основным свойством степени — основание x оставим без изменений, а показатели сложим:

    x5 × (x2)3 = x5 × x2× 3 = x5 × x6 = x5 + 6x11


    Пример 9. Найти значение выражения 43 × 22, используя основное свойство степени.

    Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания  исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми.

    Посмотрим внимательно на степень 43. Основание у этой степени есть число 4, которое можно представить в виде 22. Тогда исходное выражение примет вид (22)3 × 22. Выполнив возведение степени в степень в выражении (22)3, мы получим 26. Тогда исходное выражение примет вид 26 × 22, вычислить которое можно, используя основное свойство степени.

    Запишем решение данного примера:


    Деление степеней

    Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел.

    Например, разделим 43 на 22.

    Вычислим 43, получим 64. Вычислим 22, получим 4. Теперь разделим 64 на 4, получим 16

    Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.

    Например, найдем значение выражения 23 : 22

    Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Значит, значение выражения 23 : 22 равно 2.

    Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени.

    Вернемся к предыдущему примеру 23 : 22. Здесь делимое это 23, а делитель 22.

    Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое.

    В нашем случае, разделить 23 на 22 означает найти такую степень, которая при умножении на делитель 22 даст в результате 23. А какую степень можно умножить на 22, чтобы получить 23 ? Очевидно, что только степень 21. Из основного свойства степени имеем:

    Убедиться, что значение выражения 23 : 22 равно 21 можно непосредственно вычислив само выражение 23 : 22. Для этого сначала найдём значение степени 23, получим 8. Затем найдём значение степени 22, получим 4. Разделим 8 на 4, получим 2 или 21, поскольку 2 = 21.

    23 : 22 = 8 : 4 = 2

    Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство:

    Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица.

    Например, найдём значение выражения 22 : 22. Вычислим значение каждой степени и выполним деление получившихся чисел:

    При решении примера 22 : 22 также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 22 и 22 равна нулю:

    В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица:

    Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 22 : 22 обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица.


    Пример 2. Найти значение выражения 412 : 410

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    412 : 410 = 412 − 10 = 42 = 16


    Пример 3. Представить частное x3 : x в виде степени с основанием x

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его:


    Пример 4. Представить частное x3 : x2 в виде степени с основанием x

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом:

    Числитель и знаменатель дроби  разрешается записывать в развёрнутом виде, а именно в виде произведений одинаковых множителей. Степень x3 можно записать как x × x × x, а степень x2 как x × x. Тогда конструкцию x3 − 2 можно будет пропустить и воспользоваться сокращением дроби. В числителе и в знаменателе можно будет сократить по два множителя x. В результате останется один множитель x

    Или ещё короче:

    Также, полезно уметь быстро сокращать дроби, состоящие из степеней. Например, дробь  можно сократить на x2. Чтобы сократить дробь  на x2 нужно числитель и знаменатель дроби  разделить на x2

    Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче:

    Или ещё короче:


    Пример 5. Выполнить деление x12 : x3

    Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Запишем решение при помощи сокращения дроби. Деление степеней x12 : x3 запишем в виде  . Далее сократим данную дробь на x3.


    Пример 6. Найти значение выражения 

    В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:

    Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя:

    Завершаем пример, вычислив степень 72


    Пример 7. Найти значение выражения 

    Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (23)4

    Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями:

    Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

    Значит, значение выражения  равно 16

    В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом.

    Например, найдём значение выражения . Степень 43 запишем в виде возведения степени в степень (22)3. Тогда получим следующее выражение:

    В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (22)3

    В числителе и в знаменателе получившегося выражения содержится степень 26, которую можно сократить на 26

    Видим, что в результате осталась единственная степень 32, значение которой равно 9.


    Пример 8. Найти значение выражения 

    В знаменателе содержится произведение степеней с одинаковыми показателями. Согласно правилу возведения в степень произведения, конструкцию 75 × 45 можно представить в виде степени с одним показателем (7 × 4)5. Далее перемножим выражение в скобках, получим 285. В результате исходное выражение примет следующий вид:

    Теперь можно применить правило деления степеней:

    Значит, значение выражения  равно 28. Запишем решение полностью:


    Возведение в степень обыкновенных дробей

    Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби.

    Например, возведём обыкновенную дробь  во вторую степень. Возьмём в скобки данную дробь и в качестве показателя укажем 2

    Если не брать в скобки всю дробь, то это равносильно возведению в степень только числителя данной дроби. Иными словами, если мы хотим возвести во вторую степень дробь , мы не должны записывать это как .

    Итак, чтобы вычислить значение выражения , нужно возвести во вторую степень числитель и знаменатель данной дроби:

    Получили дробь в числителе и в знаменателе которой содержатся степени. Вычислим каждую степень по отдельности

    Значит обыкновенная дробь  во второй степени равна дроби .

    Приведённое правило работает следующим образом. Дробь  во второй степень это произведение двух дробей, каждая из которых равна 

    Мы помним, что для перемножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели:

    А поскольку в числителе и в знаменателе происходит перемножение одинаковых множителей, то выражения 2 × 2 и 3 × 3 можно заменить на 22 и 32 соответственно:

    Откуда и получится ответ .

    Вообще, для любого a и ≠ 0 выполняется следующее равенство:

    Это тождественное преобразование называют возведением в степень обыкновенной дроби.


    Пример 2. Возвести дробь  в третью степень

    Заключим данную дробь в скобки и в качестве показателя укажем число 3. Далее возведём числитель и знаменатель данной дроби в третью степень и вычислим получившуюся дробь:

    Отрицательная дробь возводится в степень таким же образом, но перед вычислениями надо определиться какой знак будет иметь ответ. Если показатель четный, то ответ будет положительным. Если показатель нечетный, то ответ будет отрицательным.

    Например, возведём дробь  во вторую степень:

    Показатель является чётным числом. Значит ответ будет положительным. Далее применяем правило возведения в степень дроби и вычисляем получившуюся дробь:

    Ответ положителен по причине того, что выражение  представляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых равен дроби 

    А произведение отрицательных чисел (в том числе и рациональных) есть положительное число:

    Если возводить дробь  в третью степень, то ответ будет отрицательным, поскольку в данном случае показатель будет нечётным числом. Правило возведения в степень остаётся тем же, но перед выполнением этого возведения, нужно будет поставить минус:

    Здесь ответ отрицателем по причине того, что выражение  представляет собой произведение трёх множителей, каждый из которых равен дроби 

    Сначала перемножили  и , получили , но затем умножив  на  мы получим отрицательный ответ 


    Пример 3. Найти значение выражения 

    Выполним возведение в степень обыкновенной дроби:

    Далее вычислим значение получившегося выражения:


    Возведение в степень десятичных дробей

    При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки. Например, возведём во вторую степень десятичную дробь 1,5

    Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную:


    Пример 2. Найти значение степени (−1,5)3

    Показатель степени является нечётным числом. Значит ответ будет отрицательным


    Пример 3. Найти значение степени (−2,4)2

    Показатель степени является чётным числом. Значит ответ будет положительным:


    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 2. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 3. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 4. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 5. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 6. Найдите значение выражения:

    Решение:

    Задание 7. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 8. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 9. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 10. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 11. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 12. Представьте в виде степени произведение:

    Решение:

    Задание 13. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 14. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 15. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 16. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 17. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 18. Представьте в виде степени частное и найдите значение получившейся степени при = 3 и = 2

    Решение:

    Задание 19. Представьте в виде степени частное:

    Решение:

    Задание 20. Сократите дробь на

    Решение:

    Задание 21. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 22. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 23. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 24. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 25. Представьте в виде степени следующее произведение:

    Решение:

    Задание 26. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

    Решение:

    Задание 27. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

    Решение:

    Задание 28. Представьте следующую степень в виде произведения степеней:

    Решение:

    Задание 29. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 30. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 31. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 32. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 33. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 34. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 35. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 36. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 37. Представьте в виде степени следующее выражение:

    Решение:

    Задание 38. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 39. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 40. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 41. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 42. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 43. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:

    Задание 44. Найдите значение следующего выражения:

    Решение:


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    Вычитание экспонентов — объяснение и примеры

    Показатели — это степени или индексы. Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n. Общая форма экспоненциального выражения: b n .

    Как вычесть экспоненты?

    Операция вычитания экспонент довольно проста, если вы хорошо разбираетесь в показателях. В этой статье вы узнаете о правилах и о том, как их применять, когда вам нужно вычесть с помощью экспонент.

    Но прежде чем мы сможем приступить к вычитанию с экспонентами, давайте напомним себе некоторые основные термины, связанные с показателями.

    Что такое показатель степени?

    Ну, показатель степени или степень означает, сколько раз число многократно умножается само на себя. Например, когда мы встречаем число, записанное как 5 3 , оно просто означает, что 5 умножается само на себя три раза. Другими словами, 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

    Тот же формат записи экспонент применяется к переменным.Переменные представлены буквами и символами. Например, когда x умножается на себя 3 раза, мы записываем это как; х 3 . Переменные обычно сопровождаются коэффициентами. Таким образом, коэффициент — это целое число, умноженное на переменную.

    Например, в 2x 3 коэффициент — это число 2, а x — переменная. Если перед переменной нет числа, коэффициент всегда равен 1. Это также верно, когда число не имеет степени. Коэффициент 1 обычно пренебрежимо мал и поэтому не может быть записан с переменной.

    Вычитание экспонент не требует никаких правил. Если число возведено в степень. Вы просто вычисляете результат, а затем выполняете обычное вычитание. Если показатели степени и основания одинаковы, вы можете вычесть их, как и любые другие подобные термины в алгебре. Например, 3 y — 2x y = x y .

    Вычитание показателей с одинаковым основанием

    Поясним эту концепцию с помощью нескольких примеров.

    Пример 1

    • 2 3 — 2 2 = 8 — 4 = 4
    • 5 3 — 5 2 = 75-25 = 50
    • Вычесть x 3 y 3 из 10 x 3 y 3

    В этом случае коэффициенты экспонент равны 10 и 1

    Переменные подобны членам и, следовательно, могут быть вычтены

    Вычесть коэффициенты = 10 — 1

    = 9

    Таким образом, 10x 3 y 3 — x 3 y 3 = 9 (xy) 3

    . нахождение разницы их коэффициентов.

    В этом случае переменные 4x 2 и 8x 2 подобны членам, а их коэффициенты равны 4 и 8 соответственно.

    = 8x 2 — 4x 2

    = (8-4) x 2 .

    = 4 x 2

    Здесь -7x и -3x похожи на члены

    = -7x — (-3x)

    = -7x + 3x,

    = -4x.

    • 15x — 4x — 12y — 3y

    Вычтите подобные термины

    15x — 4x = 11x

    12y — 3y = 9y

    Таким образом, ответ будет 11x — 9y.

    • Вычтем (4x + 3y + z) — (2x + 3y — z).

    Эти переменные похожи на термы

    (2x + 3y — z) — (4x + 3y + z)

    Раскройте скобки;

    = 2x + 3y — z — 4x — 3y — z,

    Переставьте аналогичные члены и выполните вычитание

    = 2x — 4x + 3y — 3y — z — z

    = -2x + 0 — 2z,

    = -2x — 2z

    Вычитание показателей с разным основанием

    Показатели с разным основанием вычисляются отдельно, а результаты вычитаются.С другой стороны, переменная с разными основаниями вообще не может быть вычтена. Например, вычитание a и b не может быть выполнено, и результат будет просто a -b.

    Чтобы вычесть положительный показатель m и отрицательный показатель n, мы просто соединяем оба члена, изменив знак вычитания на положительный знак, и запишем результат в виде m + n.

    Следовательно, вычитание положительного и отрицательного различающихся показателей m и -n = m + n.

    Пример 2

    • 4 2 — 3 2 = 16 — 9 = 7
    • Вычесть: 11x — 7y -2x — 3x.
      = 11x — 2x — 3x — 7лет.
      = 6x — 7y
    • Evaluate 3x 2 — 7y 2
      В этом случае два показателя степени 3x 2 и 7y 2 являются разными терминами, и поэтому он останется таким, как есть.
      Здесь 3x и 7y — разные термины, поэтому все останется как есть.
      Следовательно, ответ будет 3x 2 — 7y 2
    • Оценить 15x — 12y — 11x
      = 15x 5 — 11x 5 — 12y 5
      = 4x 5 — 120004 5 — 12 лет
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок. экспонента, b называется основанием, а x — это число, полученное в результате возведения b в степень y .y = x

    Другими словами, первое выражение на простом английском языке переводится как « y — это показатель степени, до которого нужно поднять b , чтобы получить x ». Например,

    3 = \ log_ {10} 1000

    Решение задач, связанных с логарифмами, является простым, если основание логарифма равно 10 (как указано выше) или натуральному логарифму e , поскольку они могут быть легко обрабатывается большинством калькуляторов. Однако иногда вам может потребоваться решить логарифмы с разными основаниями.Здесь пригодится изменение базовой формулы:

    \ log_bx = \ frac {\ log_ ax} {\ log_ab}

    Эта формула позволяет вам воспользоваться преимуществами основных свойств логарифмов, преобразовав любую задачу в форму это легче решить.

    Допустим, вы столкнулись с проблемой

    y = \ log_250

    Поскольку 2 является громоздкой базой для работы, ее решение нелегко придумать. Чтобы решить этот тип проблемы:

    Шаг 1: Измените базу на 10

    Используя изменение базовой формулы, вы получите

    \ log_250 = \ frac {\ log_ {10} 50} {\ log_ {10 } 2}

    Это можно записать как log 50 / log 2, поскольку по соглашению пропущенное основание подразумевает основание 10.

    Шаг 2: Найдите числитель и знаменатель

    Поскольку ваш калькулятор оборудован для явного решения логарифмов по основанию 10, вы можете быстро найти, что log 50 = 1,699, а log 2 = 0,3010.

    Шаг 3. Разделите, чтобы получить решение

    \ frac {1.699} {0.3010} = 5.644

    Примечание

    Если хотите, вы можете изменить базу на e вместо 10, или фактически к любому числу, если основание в числителе и знаменателе одинаковое.

    Сложение и вычитание с помощью экспонентов — видео и стенограмма урока

    Основы экспоненты

    Как и супергерои, экспоненты обладают особыми способностями. Они могут упростить многократное умножение, чтобы мы могли сэкономить место! Хорошо, может быть, их способности не так уж интересны, но они, безусловно, полезны в математике и естественных науках. Мы можем выполнять все виды различных математических вычислений с показателями, но в этом уроке мы сосредоточимся только на двух: сложении и вычитании с показателями.5

    Это выражение имеет коэффициент 8, основание x и показатель степени 5.

    Кстати, если перед переменной или символом нет числа, то коэффициент будет 1. То же верно, если вы не видите экспоненту. Следовательно, член y будет иметь коэффициент 1 и показатель степени 1; их просто не нужно писать, что немного упрощает. Вот еще один пример: 2 x будет означать коэффициент 2, основание x и показатель степени 1.

    Понял? Теперь мы можем перейти к некоторым простым правилам, чтобы, наконец, начать складывать и вычитать члены с показателями.

    Правила экспоненты

    Термины «показатель степени» и «степень» обычно используются взаимозаменяемо для обозначения верхнего индекса «n» в b n . Для простоты на этой странице термин «экспонента» будет использоваться для обозначения чисел в форме b n , а степень будет использоваться для обозначения верхнего индекса «n». «b» — основание.


    сложение или вычитание показателей

    Для сложения или вычитания показателей степени должны иметь одинаковое основание и одинаковую степень.

    Пример

    3 (3 2 ) + 3 2 = (3 + 1) (3 2 ) = 4 (3 2 )

    3x 5 — 6x 5 = (3-6) x 5 = -3x 5

    Если показатели степени не имеют одинакового основания и одинаковой степени, вы не можете складывать или вычитать их (даже их коэффициенты!).


    степень умножения

    Для умножения показателей степени должны иметь одинаковое основание и / или одинаковую степень.Чтобы умножить экспоненты с одинаковым основанием, оставьте одно и то же основание и сложите степени вместе. Если у экспонентов разные базы, вы не можете складывать их силы.

    Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, умножьте коэффициенты вместе. Коэффициенты можно перемножать, даже если показатели имеют разное основание.

    Пример

    3 2 × 3 3 = 3 2 + 3 = 3 5

    4x 6 × 5y 4 = (4 × 5) x 6 y 4 = 20x 6 y 4

    Если экспоненты имеют одинаковую мощность, но разные основания, вы можете сначала перемножить основания, прежде чем брать степень их произведения.

    Пример

    4 2 × 6 2 = (4 × 6) 2 = 24 2 = 576

    Если показатели степени имеют одинаковую мощность и одинаковое основание, вы можете выбрать любой метод для упрощения.

    Пример

    5 2 × 5 2 = 5 2 + 2 = 5 4 = 625

    5 2 × 5 2 = (5 * 5) 2 = 25 2 = 625


    показатели деления

    Для деления показателей степени должны иметь одинаковое основание и / или одинаковую степень.Чтобы разделить показатели с одинаковым основанием, оставьте такое же основание и вычтите степень знаменателя из мощности числителя. Если у экспонентов разные основания, вы не можете вычесть их силы.

    Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, разделите коэффициенты. Коэффициенты можно разделить, даже если у показателей есть разные основания.

    Пример

    Если показатель степени имеет отрицательную степень, вам все равно нужно сохранить тот же знак и вычесть степень.

    Пример

    Если показатели степени имеют одинаковую мощность, но разные основания, вы можете сначала разделить основания, прежде чем брать степень частного.

    Пример

    Если экспоненты имеют одинаковую мощность и одинаковую базу, они уравняются до 1.

    Пример

    Превращая власть в силу, остерегайтесь скобок (если они есть). Следуйте порядку операций, так как они также применимы к показателям степени.

    Если основание и первая степень указаны в скобках, вы можете умножить первую и вторую степень вместе. Вы также можете сначала возвести основание в степень первой степени, а затем возвести это значение в степень второй степени.

    Пример

    (4 3 ) 2 = 4 3 × 2 = 4 6 = 4096

    (4 3 ) 2 = 64 2 = 4096

    Если основание и первая степень не указаны в скобках, возьмите степень первой степени до второй, а затем упростите.

    Пример

    4 3 2 = 4 (3 2 ) = 4 9 = 262144

    Число 3 в степени 2 имеет приоритет перед числом 4 в степени 3, потому что оно не заключено в круглые скобки. Мелкие детали могут существенно повлиять на ответ!

    В показателях степени можно также использовать круглые скобки для обозначения коэффициента и его переменной. В этом случае распределите показатель степени как на коэффициент, так и на переменную.

    Пример

    (5x) 3 = 5 3 x 3 = 125x 3

    Это также может быть применено к разделу:

    Пример

    См. Также объединение подобных терминов, отрицательные показатели, порядок операций.



    College Algebra
    Учебник 44: Логарифмический Свойства

    Цели обучения



    После изучения этого руководства вы сможете:
    1. Знать и использовать свойства логарифмов в разные ситуации.

    Введение



    В этом уроке я помогу вам расширить знание логарифмов. Наверное, самое важное, что вам нужно помнить, чтобы помочь вам с это раздел заключается в том, что ЛОГИ — ДРУГОЙ СПОСОБ ЗАПИСИ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ . Если вы сохраните этот маленький лакомый кусочек Информация в авангарде вашего мозга, это поможет вам ОГРОМНО через эта секция.Хорошо, поехали.

    Учебник





    Как упоминалось выше — и я не могу это подчеркнуть — бревен другой способ записать экспоненты . Если ты понимаешь это концепция это действительно делает вещи более приятными, когда вы работаете с журналы.


    Свойство 1
    Правило продукта

    м > 0 и n > 0


    По сути, мы говорим здесь о том, что другой способ писать журнал продукта должен взять журнал первой базы и добавить его в бревно второй базы.

    Хммм, почему бы мне просто не взять продукт их журналы ??????

    Подождите, я помню, как мой учитель сказал выше, что журналы — другое способ записи экспонент — КОГДА Я МНОЖИЛ БАЗЫ, КАК БАЗЫ , ​​ Я ДОБАВЛЕНЫ МОИ ОБЪЯВЛЕНИЯ — ПОЭТОМУ Я ДОБАВЛЯЮ ДОБАВИТЬ МОИ ЛОГИ ЭВРИКА !!!!

    Обратите внимание, что даже несмотря на то, что m и n не являются основаниями самого журнала, каждое из них может быть записано как основание b в экспоненту из-за определения логарифмов.


    Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ:


    Свойство 2
    Правило частного

    м > 0 и n > 0


    По сути, мы говорим здесь о том, что другой способ писать журнал частного — это взять журнал числителя и вычесть журнал знаменателя.

    Итак, здесь, , мы должны помнить, что когда мы были разделяя как основания, мы вычли наши показатели — поэтому мы делаем то же самое с нашими журналы.


    Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ:


    Свойство 3
    Правило мощности

    м > 0


    По сути, мы говорим здесь, что всякий раз, когда у тебя второй экспонента внутри журнала — помните, что сам журнал является экспонентой — тогда вы можете вытащить его вперед и умножить на бревно.

    Вау, это выглядит немного иначе, но снова приходит от факта что журналы — это еще один способ записи показателей.

    Помните, когда мы увеличили базу до 2 степеней что мы бы умножьте эти 2 показателя вместе. Это то, что мы делаем здесь. Опять же, хотя м не является базой в log, его можно записать как b в экспонента (на основе определения журнала), а сам журнал является экспонентой, поэтому мы имеют двойной показатель степени — поэтому мы умножаем наши показатели вместе.


    Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ:



    Свойство 4
    Изменение базовой формулы

    м > 0 и b > 0


    По сути, мы говорим здесь, когда вы нужно изменить основание вашего журнала, вы можете переписать его как базу журнала a (независимо от новая база) оригинала внутри над бревенчатой ​​базой a (независимо от новый база есть) исходной базы.

    Ваш калькулятор ограничен поиском только по основанию 10 и основание и логарифмов. Это поставило бы нас в тупик, если бы нам нужно было найти в значение бревна с любой другой базой. Итак, мы можем использовать это смена базы формула, чтобы изменить его на основание 10 или e , поэтому мы смог найти значение. Аккуратно, а?


    Вот краткая иллюстрация того, как это свойство работ:




    Пример 1 : Максимально расширьте.По возможности оценивайте без калькулятора.

    Обратите внимание на отсутствие записи базы. Значит ли это здесь нет база? Не в списке.

    Какая база была бы в этой проблеме? если ты сказал 10, что ты верный. Это известно как общий журнал.

    Если вам нужен обзор общего журнала (база журнала 10), не стесняйтесь идти по Урок 43: Логарифмический Функции.





    Пример 2 : Максимально расширьте. По возможности оценивайте без калькулятора.

    Обратите внимание на то, как написано ln, а не base.

    Какая база была бы в этой проблеме? если ты сказал e вы правы.Это называется натуральным бревном.

    Если вам нужен обзор по натуральному логу (лог по базе и ), смело переходите к руководству 43: Логарифмические функции.





    Пример 3 : Максимально расширьте. По возможности оценивайте без калькулятора.

    На чем основана эта проблема?

    На этот раз база равна 5.Убедитесь, что вы держите та же база во всей проблеме.





    Пример 4 : Максимально расширьте. По возможности оценивайте без калькулятора.

    На чем основана эта проблема?

    На этот раз база равна 2.Убедитесь, что вы держите та же база во всей проблеме.





    Пример 5 : Свести в одно логарифмическое выражение. Оценивайте без калькулятора где возможный.

    На этот раз мы действуем в обратном порядке примеры 1-4. Однако вы можете использовать те же свойства, что и мы. Ты можешь используйте эти свойства в любом направлении.

    На чем основана эта проблема?

    На этот раз база — e . Убеждаться что вы сохраняете ту же основу на протяжении всей задачи.





    Пример 6 : Свести в одно логарифмическое выражение.Оценивайте без калькулятора где возможный.

    Снова мы делаем обратное тому, что мы делали в примеры 1-4.

    На чем основана эта проблема?

    На этот раз база 3. Убедитесь, что вы сохранили та же база во всей проблеме.





    Пример 7 : Свести в одно логарифмическое выражение.Оценивайте без калькулятора где возможный.

    Снова мы делаем обратное тому, что мы делали в примеры 1-4.

    На чем основана эта проблема?

    На этот раз база — e . Убеждаться что вы сохраняете ту же основу на протяжении всей задачи.




    Пример 8 : Перепишите, используя натуральный логарифм, и оцените с помощью калькулятора.Круглый к 4 знака после запятой.

    Обратите внимание, что калькулятор может оценивать только те журналы, которые основание 10 или база и . Поскольку эта проблема находится в база 4, нам нужно изменить базу на базу e (или базу 10). Поскольку в инструкции написано base e , Давайте сделаем это.

    Это должно быть между 1 и 2, потому что 7.2 = 16. Опять же, журналы — это еще один способ записывать показатели и что это то, что мы здесь ищем.




    Практические задачи



    Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Математика работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему на свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

    Практические задачи 1a — 1c: Разверните каждый логарифмический выражение столько, сколько возможный. По возможности оценивайте без калькулятора.

    Практические задачи 2a — 2b: сжать каждое логарифмическое выражение в один логарифмический выражение.По возможности оценивайте без калькулятора.

    Практическая задача 3a: Перепишите логарифмическое выражение с использованием натуральных логарифмов и оцените с помощью калькулятора., круглый, потолок, пол

    по модулю, остаток, частное от

    sin, cos, tan, asin, acos, atan

    преобразовать радианы в градусы, преобразовать градусы в радианы

    Базовый числовой блок

    Может использоваться как любое положительное или отрицательное число.Нажатие на «0» в блоке позволит вам изменить число.

    Блок поддерживает обычные числа с основанием 10 (например: 2, 12 и 2,12), а также префиксы типа C для других оснований счисления. Поддерживает:

    • Base-2 (двоичные) числа, например 0b10 (2 в десятичной системе)
    • Base-8 (восьмеричные) числа, например 0o14 (12 в десятичной системе)
    • Base-16 (шестнадцатеричные) числа, например 0xd4 (212 в десятичной системе)

    Блок чисел системы счисления

    Представляет десятичное число.Щелчок по «0» позволит вам изменить число.

    Щелчок по раскрывающемуся списку позволит вам ввести число в другой системе счисления (также известной как основание системы счисления). Затем число будет «переведено» в десятичное (также известное как основание 10).

    Например, эти три блока эквивалентны:

    Выпадающий список поддерживает: десятичный (base-10), двоичный (base-2), восьмеричный (base-8) и шестнадцатеричный (base-16) форматы ввода.

    Десятичный режим позволяет вводить любое положительное или отрицательное число (например.грамм. 2, -12, 2.12). В других режимах можно вводить только целое число (то есть любое положительное число или ноль).

    = {# =}

    Проверяет, равны ли два числа, и возвращает истину или ложь.

    ≠ {# not =}

    Проверяет, не равны ли два числа, и возвращает истину или ложь.

    >

    Проверяет, больше ли первое число второго и возвращает истину или ложь.

    Проверяет, больше ли первое число второму или равно ему, и возвращает истину или ложь.

    <

    Проверяет, меньше ли первое число второго и возвращает истину или ложь.

    Проверяет, меньше ли первое число второму или равно ему, и возвращает истину или ложь.

    +

    Возвращает результат сложения любого количества блоков, имеющих числовое значение. Блоки с числовым значением включают основной числовой блок, длину списка или текста, переменные с числовым значением и т. Д.

    Возвращает результат первого числа в степени второго.

    целое случайное число

    Возвращает случайное целое число между заданными значениями включительно. Порядок аргументов не имеет значения.

    случайная дробь

    Возвращает случайное значение от 0 до 1.

    случайный набор начального числа на

    Используйте этот блок для генерации повторяемых последовательностей случайных чисел.Вы можете сгенерировать ту же последовательность случайных чисел, сначала вызвав random set seed с тем же значением. Это полезно для тестирования программ, использующих случайные значения.

    мин.

    Возвращает наименьшее значение набора чисел. Если в блоке есть отключенные сокеты, min также будет считать 0 в своем наборе чисел. Этот блок представляет собой мутатор и раскрывающийся список.

    макс

    Возвращает наибольшее значение набора чисел. Если в блоке есть отключенные сокеты, max также будет считать 0 в своем наборе чисел.

    Возвращает e (2,71828…) в степени данного числа.

    круглый

    Возвращает заданное число, округленное до ближайшего целого. Если дробная часть <0,5, она будет округлена в меньшую сторону. Если оно> 0,5, оно будет округлено в большую сторону. Если он точно равен 0,5, числа с четной целой частью будут округлены в меньшую сторону, а числа с нечетной целой частью будут округлены в большую сторону. (Этот метод называется округлением до четного.)

    потолок

    Возвращает наименьшее целое число, которое больше или равно заданному числу.

    этаж

    Возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу.

    по модулю

    По модулю (a, b) то же самое, что и остаток (a, b), когда a и b положительны. В более общем смысле, модуль (a, b) определяется для любых a и b так, что (floor (a / b) × b) + modulo (a, b) = a. Например, по модулю (11, 5) = 1, по модулю (-11, 5) = 4, по модулю (11, -5) = -4, по модулю (-11, -5) = -1. По модулю (a, b) всегда имеет тот же знак, что и b, в то время как остаток (a, b) всегда имеет тот же знак, что и a.

    остаток

    Remainder (a, b) возвращает результат деления a на b и взятия остатка. Остаток — это дробная часть результата, умноженная на b.

    Например, остаток (11,5) = 1, потому что

    11/5 = 2 1 5

    В данном случае 1 5 — это дробная часть. Мы умножаем это на b, в данном случае на 5, и получаем 1, наш остаток.

    Другие примеры: остаток (-11, 5) = -1, остаток (11, -5) = 1 и остаток (-11, -5) = -1.

    частное

    Возвращает результат деления первого числа на второе и отбрасывания любой дробной части результата.

    грех

    Возвращает синус заданного числа в градусах.

    cos

    Возвращает косинус заданного числа в градусах.

    загар

    Возвращает тангенс заданного числа в градусах.

    asin

    Возвращает арксинус заданного числа в градусах.

    acos

    Возвращает арккосинус заданного числа в градусах.

    атан

    Возвращает арктангенс заданного числа в градусах.

    atan2

    Возвращает арктангенс y / x для заданных y и x.

    преобразовать радианы в градусы

    Возвращает значение заданного числа в градусах в радианах. Результатом будет угол в диапазоне [0, 360)

    .

    преобразовать градусы в радианы

    Возвращает значение заданного числа в градусах в радианах.Результатом будет угол в диапазоне [-π, + π)

    . Формат

    как десятичный

    Форматирует число как десятичное с заданным количеством знаков после запятой. Количество мест должно быть целым неотрицательным числом. Результат получается округлением числа (если мест слишком много) или добавлением нулей справа (если их слишком мало).

    — это число?

    Возвращает истину, если данный объект является числом, и ложь в противном случае.

    преобразовать число

    Принимает текстовую строку, представляющую положительное целое число с одной базой, и возвращает строку, которая представляет то же самое число с другой базой. Например, если входная строка равна 10, то преобразование из базы 10 в двоичное даст строку 1010; в то время как, если входная строка — это то же самое 10, тогда преобразование из двоичного в базовый 10 даст строку 2. Если входная строка такая же 10, то преобразование из базы 10 в шестнадцатеричное приведет к строке A.

    побитовое и

    Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов. Каждый бит результата равен 1, только если соответствующие биты обоих операндов равны 1.

    Пример:

    Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
    6 0 1 1 0
    3 0 0 1 1
    Результат: 2 0 0 1 0

    Побитовое ИЛИ (включительно)

    Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов.Каждый бит результата равен 1, если любой из соответствующих битов в каждом операнде равен 1.

    Пример:

    Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
    6 0 1 1 0
    3 0 0 1 1
    Результат: 7 0 1 1 1

    побитовое ИЛИ (Исключительно)

    Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов.Каждый бит результата равен 1, только если один соответствующий бит в операндах равен 1, а другой равен 0.

    Пример:

    Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
    6 0 1 1 0
    3 0 0 1 1
    Результат: 5 0 1 0 1

    Профессиональная степень vs.Ученая степень: в чем разница?

    Если вы ищете способ продвинуться по карьерной лестнице, заработать больше денег или взять на себя большую ответственность в своей организации, получение ученой степени может помочь вам в достижении ваших целей. В конце концов, шестьдесят один процент работодателей заявляют, что навыки, необходимые для их должности, эволюционировали, и теперь они требуют более высокого базового уровня образования. Более того, к 2024 году количество рабочих мест, требующих степени магистра, вырастет на 14 процентов.

    При принятии решения о получении ученой степени важно знать, какая степень поможет вам достичь ваших личных и профессиональных целей: профессиональная степень или ученая степень?

    Каждая степень имеет свои преимущества, которые могут сделать одну степень более актуальной для вас в зависимости от вашей профессии.

    Не уверены, какая степень вам подходит? Ниже приведены основные сходства и различия, которые следует учитывать при выборе между профессиональной и академической степенью.

    Что такое профессиональная степень?

    Профессиональная степень помогает студентам подготовиться к карьере в определенных областях, таких как право, фармацевтика, медицина и образование. Продолжительность программ варьируется и может составлять от одного до пяти лет, в зависимости от учебного заведения, которое вы посещаете.

    Эти программы часто уделяют большое внимание практическому применению, при этом многие профессиональные программы требуют от студентов прохождения стажировки или выполнения проектов в своей области обучения до окончания учебы. Это позволяет студентам получить обширную подготовку без отрыва от производства и повысить свое резюме.

    Определенные профессиональные степени необходимы — по закону — для того, чтобы вы могли работать на определенной должности, например, в качестве врача или юриста.

    Чем можно заниматься с профессиональной степенью?

    Существует несколько различных типов профессиональных степеней, каждая из которых предназначена для того, чтобы подготовить вас к другой карьере.

    Некоторые из наиболее распространенных профессиональных степеней включают:

    Доктор Юрис (JD)

    Доктор юриспруденции — это профессиональная степень, которая готовит студентов к профессиональной юридической практике. Юристы могут специализироваться на административных, конституционных, уголовных или других формах права и могут рассчитывать на среднюю заработную плату в размере 119 250 долларов США, а к 2026 году ожидается рост занятости на восемь процентов.

    Если вы планируете карьеру юриста, но не хотите быть практикующим юристом, получение степени магистра юридических наук может иметь большее значение для ваших целей.(Узнайте больше о различиях между JD и MLS.)

    Доктор медицинских наук

    Доктор медицины присуждается тем, кто хочет продолжить карьеру в медицине или хирургии. Те, кто получает степень доктора медицины, обычно получают высокую зарплату, которая зависит от специализации. Средний заработок включает:

    Доктор педагогических наук

    Доктор педагогических наук — это степень для преподавателей и профессионалов, которые хотят направлять и реализовывать изменения в своих организациях.Программы EdD обычно сочетают исследовательские исследования с комплексными курсовыми работами. Общие карьерные пути для обладателей EdD включают:

    • Администратор высшего образования: $ 92 360
    • Администратор начального и среднего образования: 94 390 долларов США
    • Координатор по обучению: 63 750 долл. США

    Доктор фармацевтических наук (PharmD)

    Доктор фармацевтических наук — это степень для лиц, заинтересованных в работе в фармацевтической промышленности.Программы PharmD обычно предоставляют возможности в исследованиях, обучении, клинической практике и других ключевых областях фармацевтической промышленности. Выпускники с этой степенью обычно становятся:

    Что такое академическая степень?

    Академическая или исследовательская степень ориентирована на конкретную область обучения и часто более ориентирована на исследования, чем профессиональные программы. Курсы основаны на технических знаниях, которые изучаются на протяжении всей программы, и от студентов обычно требуется планировать, организовывать и проводить исследования для завершения своей курсовой работы.

    Программы академической степени часто требуют дипломной работы или дипломного проекта, чтобы закончить учебу. В то время как профессиональные степени предназначены для непосредственной подготовки студентов к определенной карьере, ученые степени могут применяться в широком спектре потенциальных профессий.

    Чем можно заниматься с учёной степенью?

    Многие степени можно классифицировать как ученые степени. В зависимости от отрасли, в которой вы работаете, ее получение может помочь улучшить вашу карьеру, обучая вас знаниям и навыкам, необходимым для продвижения в вашей организации.Некоторые общие академические степени, повышающие карьеру, включают:

    Уход

    Медсестры оценивают состояние здоровья пациентов, управляют уходом за ними и консультируют пациентов по вопросам управления здоровьем и профилактики заболеваний. Степень магистра сестринского дела помогает студентам стать клиническими медсестрами-руководителями, администраторами медсестер или практикующими медсестрами. Медсестры зарабатывают в среднем 70 000 долларов в год, и прогнозируется, что к 2026 году спрос на квалифицированных медсестер вырастет на 15 процентов.

    Компьютерные науки

    Диплом по информатике может подготовить студентов к различным профессиям посредством изучения компьютеров и вычислительных систем.Области специализации включают разработку программного обеспечения, мобильные вычисления, языки программирования, взаимодействие с пользователем и дизайн пользовательского интерфейса, а также теорию вычислений. В зависимости от вашей специализации вы можете стать:

    (Не уверены, имеет ли для вас смысл получение степени магистра информатики? Узнайте больше о преимуществах получения степени магистра в области компьютерных наук.)

    Информационные системы

    Диплом по информационным системам готовит студентов к карьере в области информационных технологий (ИТ) посредством изучения сетевых технологий, баз данных и компьютерной безопасности.Знания и навыки, приобретенные в программе IS, помогают людям решать организационные проблемы и поддерживать бизнес-операции и управление. Согласно прогнозам, к 2026 году занятость в профессиях, связанных с информационными технологиями, вырастет на 13 процентов — намного быстрее, чем в большинстве профессий. Карьера включает:

    Придумывая свой следующий шаг

    После того, как вы определились, какая профессиональная или академическая степень лучше всего соответствует вашим личным и профессиональным целям, определите, какие предварительные условия вам необходимы перед подачей заявления, в том числе какие экзамены вам нужно сдавать, например, GRE или MCAT.

    Помните, что ваше решение должно основываться на ценности, которую вы хотите получить от своей степени: будет ли она специализироваться в определенной области, получить больше знаний, увеличить свой заработок или продвинуться на руководящую должность. Обязательно найдите время, чтобы оценить свои текущие и будущие карьерные планы, и проведите необходимое исследование в своей области, чтобы определить наилучший вариант продвижения вперед.


    Заинтересованы в получении ученой степени?

    Изучите более 200 программ для выпускников Northeastern, чтобы найти ту, которая лучше всего поможет вам в достижении ваших целей.