Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Напомним, что геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, , , …, , …, где, что для всех натуральных выполняется равенство, где . Число называется знаменателем геометрической последовательности, число –первым её членом, а число – общим её членом.

, , , , …, , …,

Также напомним, что —ый член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

А сумму первых членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле , если ;

, если .

Однако среди геометрических прогрессий особый интерес вызывают так называемые

бесконечно убывающие геометрические прогрессии.

Давайте познакомимся с такими прогрессиями.

Начнём с примера. Итак, перед вами изображены квадраты.

Сторона первого, самого большого квадрата равна , сторона второго равна , сторона третьего квадрата – , сторона четвёртого квадрата – , сторона пятого квадрата – и так далее.

Обратите внимание! Стороны наших квадратов образуют геометрическую прогрессию: , , , , , …

Перепишем эту геометрическую прогрессию в таком виде: , , , , , …, , …

Знаменатель этой

геометрической прогрессии равен .

Заметим, что и площади этих квадратов также образуют геометрическую прогрессию:

, , , , , …

, , , , , …, , …

Хотелось бы отметить, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера становятся всё меньше и всё больше приближаются к. Так вот, каждую из прогрессий, что мы с вами записали, называют бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

А теперь давайте рассмотрим следующую геометрическую прогрессию:

, , , , …, , …

Здесь, , , , … , знаменатель нашей геометрической прогрессии .

Видим, что с возрастанием номера члены этой прогрессии приближаются к. Значит, эта прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Обратите внимание! .

Запомните: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

А теперь давайте перейдём к выводу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Итак, на экране вы видите квадрат со стороной равной единице. Разделим этот квадрат пополам. Заштрихуем обе части нашего квадрата, как показано на экране.

Продолжим делить пополам наши квадраты и штриховать их. Заметим, что площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: , , , , , …

Если мы заштрихуем все получающиеся таким образом прямоугольники, то понятно, что весь квадрат покроется штриховкой. Разумеется, сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников будет равна единице. То есть …

Обратите внимание: в левой части нашего равенства стоит сумма

бесконечного числа слагаемых.

Давайте рассмотрим сумму первых слагаемых. Применяя формулу суммы членов геометрической прогрессии, имеем …. Получим, что .

Заметим, что если неограниченно возрастает, то будет как угодно близко приближаться к 0. Это выражение записывают следующим образом: при , а читают так: «единица делённая на два в степени эн стремится к нулю при эн стремящемся к бесконечности, или предел единицы делённой на два в степени эн при эн стремящемся к бесконечности равен нулю».

Так как при , то при , то есть или . Поэтому бесконечную сумму ….

В этом случае говорят, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности , , , …, , …

Например, если мы возьмём бесконечно убывающую геометрическую прогрессию , , , , …, , …

Где ,.

, …,

, …

Так как , то .

А теперь выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы помним, что сумму первых членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле .

Перепишем эту формулу таким образом: .

Так как , то ,.

Следовательно, .

Таким образом, сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: .

Из этой формулы при имеем .

Это равенство обычно записывают следующим образом:

… … .

Обратите внимание: это равенство справедливо при , в частности при .

Задание 1.

Докажите, что геометрическая прогрессия:

… , является бесконечно убывающей.

Решение.

, .

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Задание 2.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии …

Решение.

, .

Задание 3.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если , .

Решение. По условию нам даны и прогрессии.

, .

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

а) Геометрическая прогрессия, знаменатель которой удовлетворяет условию называется

бесконечно убывающей.

б) Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется предел S последовательности , где — сумма первых n членов этой прогрессии. Эта сумма выражается формулой

Примеры с решениями

Пример №31.

Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма этой прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192.

Решение:

Пусть — первый член, — знаменатель, — сумма прогрессии, — сумма кубов ее членов. Тогда

откуда

так как Полученное уравнение, записанное в виде имеет корни Первый корень следует отбросить, так как Следовательно,

Ответ.

Пример №32.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее второй член, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной .

Решение:

Пусть — первый член, — знаменатель, — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тогда

По условию,

Складывая уравнения (2) и (3), получаем откуда

Подставляя выражение (4) для \ в уравнение (2), получаем уравнение которое можно преобразовать к виду откуда Так как то и из (4) находим а из (1) следует, что

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Содержание:

Определение:

Геометрическая прогрессия со знаменателем

Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий

Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Пример №1

Последовательность

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с

первым членом и знаменателем

Пример №2

Последовательность

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем (здесь ). Изобразим четыре первых члена геометрической прогрессии из примера 1 на координатной прямой (рис. 1).

Мы видим, что чем больше номер прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т.е. тем меньше его модуль, и с увеличением этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,01, то

Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2).

И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,001, то Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии чем больше номер п члена прогрессии тем меньше и с увеличением этот, модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется еще и так:

стремится к нулю при стремящемся к бесконечности.

Заметим, что если стремится к нулю при стремящемся к бесконечности.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем

Запишем формулу суммы первых членов этой прогрессии и преобразуем это выражение: Обозначим

Тогда получим

Так как стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Значит, стремится к нулю при , стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число (чем больше слагаемых в сумме ), тем меньше разница между и Поэтому число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример №3

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение:

Ответ:

Всё о бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Пример:

Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью .

Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью . Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью . Будем продолжать этот процесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность

у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на .

Естественно считать, что сумма равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата.

Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть из слагаемых:

Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Поэтому

С возрастанием значения переменной значение выражения становится все меньше и меньше: значение переменной всегда можно подобрать так, что значение выражения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму считают равной 1.

Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию

где . Для таких прогрессий истинно условие , их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем называется число .

Это определение объясняется тем, что с увеличением число все меньше отличается от суммы первых членов этой прогрессии. Действительно,

Поскольку , то с увеличением приближается к нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое . Поэтому сумма приближается к .

Пример №4

Найдем значение суммы

Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой и . Поэтому

Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например:

Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида . Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр , а дробная — с помощью цифр .

Теорема 7.

Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде.

Доказательство:

Пусть — периодическая десятичная дробь, где — цифры периода. Тогда число можно представить бесконечной суммой:

в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на . Это означает, что бесконечную периодическую дробь можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым

членом и знаменателем . Поэтому

Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58.

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем:

Теорема 8.

Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде.

Доказательство:

Пусть — периодическая десятичная дробь, где — цифры предпериода, — цифры периода. Тогда число можно представить суммой

или, с учетом теоремы 7, суммой

Преобразуем полученное выражение:

Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59.

Пример №5

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем:

формула, как найти q, сумма первых n чисел

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия являет собой последовательность чисел. Когда каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число \(Xn\), то говорят, что представлена числовая последовательность. Она имеет вид: \(X_1, X_2\)
,…,\(X_n\), или \({[X_n]}\). Для задания последовательности необходимо знать закон, по которому каждому натуральному числу n соответственно поставлено общее число последовательности \(f(n)=X_n.\)

Геометрическая прогрессия — последовательность с заданным первым членом \(b_1\), в которой каждый следующий, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).

Числа \( b_1\) и q не могут равняться нулю, поскольку в таком случае все члены прогрессии, начиная со второго, будут равны нулю.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Геометрическую прогрессию определяют как произведение между ее знаменателем и n-м членом:

\(b_n=b_{n-1}\cdot q,\)

Где \(b_n\) — \(n-й\) член прогрессии, \(q\) — знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия может быть задана рекуррентным соотношением:

\(b_1=b,\) \(b_{n+1}=b_n\cdot q,\) \(n\in N,\) \(b\neq0\), \(q\neq0.\)

Примечание

Рекуррентное соотношение задается формулой, выражающей \(Xn\) через предшествующие ему члены последовательности.

Примеры геометрических прогрессий:

1, 2, 4, 8, 16, 32 …; \(b_1 = 1\), \(q = 2;\)
1, 3, 9, 27, 81…; \(b_1 = 1\), \(q = 3;\)
2, -8, 32, -128, 512…:\(b_1 = 2\), \(q = -4.\)

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, рассчитывается как модуль среднего геометрического соседних членов:

\(\left|b_n\right|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}},\) \(n\geq2, \)

или

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}. \)

Если \(b_1 > 0\) и \(q > 1\) или \(b_1 < 0\) и \(0 < q < 1\), то для геометрической последовательности характерно возрастание.

Если \(b_1 > 0\) и 0 < \(q < 1\) или \(b_1 < 0\) и \(q > 1\), то для нее характерно убывание.

Примеры геометрических прогрессий в жизни:

Размножение бактерий крайне велико и осуществляется по геометрической прогрессии: каждая клетка делится на две, новые — делятся еще на две и т.д. Знание принципов размножения бактерий находит свое применение в биотехнологии, пищевой промышленности, медицине и т.д.
Зная формулу суммы геометрической прогрессии, можно находить площади и объемы геометрических фигур. Еще Архимед заметил связь между прогрессиями и вывел формулу для нахождения площади сегмента параболы через сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Возрастание скорости химических реакций происходит в геометрической прогрессии при увеличении температуры по арифметической прогрессии. 2}\Rightarrow1+q=3\Rightarrow q=2.\)
Ответ: \(q=2. \)
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия worksheet
Advanced search
Content:
Language: AfarAbkhazAvestanAfrikaansAkanAmharicAragoneseArabicAssameseAsturianuAthabascanAvaricAymaraAzerbaijaniBashkirBelarusianBulgarianBihariBislamaBambaraBengali, BanglaTibetan Standard, Tibetan, CentralBretonBosnianCatalanChechenChamorroCorsicanCreeCzechOld Church Slavonic, Church Slavonic,Old BulgarianChuvashWelshDanishGermanDivehi, Dhivehi, MaldivianDzongkhaEweGreek (modern)EnglishEsperantoSpanishEstonianBasquePersian (Farsi)Fula, Fulah, Pulaar, PularFinnishFijianFaroeseFrenchWestern FrisianIrishScottish Gaelic, GaelicGalicianGuaraníGujaratiManxHausaHebrew (modern)HindiHiri MotuCroatianHaitian, Haitian CreoleHungarianArmenianHereroInterlinguaIndonesianInterlingueIgboNuosuInupiaqIdoIcelandicItalianInuktitutJapaneseJavaneseGeorgianKarakalpakKongoKikuyu, GikuyuKwanyama, KuanyamaKazakhKalaallisut, GreenlandicKhmerKannadaKoreanKanuriKashmiriKurdishKomiCornishKyrgyzLatinLuxembourgish, LetzeburgeschGandaLimburgish, Limburgan, LimburgerLingalaLaoLithuanianLuba-KatangaLatvianMalagasyMarshalleseMāoriMacedonianMalayalamMongolianMarathi (Marāṭhī)MalayMalteseBurmeseNauruanNorwegian BokmålNorthern NdebeleNepaliNdongaDutchNorwegian NynorskNorwegianSouthern NdebeleNavajo, NavahoChichewa, Chewa, NyanjaOccitanOjibwe, OjibwaOromoOriyaOssetian, OsseticEastern Punjabi, Eastern PanjabiPāliPolishPashto, PushtoPortugueseQuechuaRomanshKirundiRomanianRussianKinyarwandaSanskrit (Saṁskṛta)SardinianSindhiNorthern SamiSangoSinhalese, SinhalaSlovakSloveneSamoanShonaSomaliAlbanianSerbianSwatiSouthern SothoSundaneseSwedishSwahiliTamilTeluguTajikThaiTigrinyaTurkmenTagalogTswanaTonga (Tonga Islands)TurkishTsongaTatarTwiTahitianUyghurUkrainianUrduUzbekValencianVendaVietnameseVolapükWalloonWolofXhosaYiddishYorubaZhuang, ChuangChineseZulu    Subject:
Grade/level:    Age: 3456789101112131415161718+
Search: All worksheetsOnly my followed usersOnly my favourite worksheetsOnly my own worksheets
Бесконечный геометрический ряд
Бесконечный геометрический ряд это сумма бесконечного геометрическая последовательность . В этой серии не будет последнего члена. Общий вид бесконечного геометрического ряда таков: а 1 + а 1 р + а 1 р 2 + а 1 р 3 + … , где а 1 является первым термином и р является обычным соотношением.
Мы можем найти сумму всех конечных геометрических рядов. Но в случае бесконечного геометрического ряда, когда обыкновенное отношение больше единицы, члены последовательности будут становиться все больше и больше, и если вы добавите большие числа, вы не получите окончательного ответа. Единственным возможным ответом будет бесконечность. Таким образом, мы не имеем дело с обыкновенным отношением больше единицы для бесконечного геометрического ряда.
Если обычное отношение р лежит между − 1 к 1 , мы можем иметь сумму бесконечного геометрического ряда. То есть сумма выходит за | р | < 1 .
Сумма С бесконечного геометрического ряда с − 1 < р < 1 дается формулой,
С знак равно а 1 1 − р
Бесконечный ряд, имеющий сумму, называется сходящимся рядом, а сумма С н называется частичной суммой ряда.
Вы можете использовать сигма-нотацию для представления бесконечного ряда.
Например, ∑ н знак равно 1 ∞ 10 ( 1 2 ) н − 1 представляет собой бесконечный ряд. Символ бесконечности, расположенный над обозначением сигмы, указывает на то, что ряд бесконечен.
Чтобы найти сумму вышеупомянутого бесконечного геометрического ряда, сначала проверьте, существует ли сумма, используя значение р .
Здесь значение р является 1 2 . С | 1 2 | < 1 , сумма выходит.
Теперь воспользуемся формулой суммы бесконечного геометрического ряда.
С знак равно а 1 1 − р
Заменять 10 за а 1 и 1 2 за р .
С знак равно 10 1 − 1 2
Упрощать.
С знак равно 10 ( 1 2 ) знак равно 20
Калькулятор бесконечных геометрических рядов.
Расчет с высокой точностью для класса
[2]  28.09.2021 12:13   Младше 20 лет / старшеклассник/ университет/ аспирант / очень хороший /
Сериал, я ничего не знаю об этом, но у нас все получилось!
[3]  2021/09/18 23:57   Младше 20 лет / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /
[4]  2021/08/25 05:18   60 лет и старше / Пенсионер / Очень /
Назначение
Подтвердить ответ на головоломку
[5]  2021/04/05 18:15   20-летний уровень / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /
Цель использования
вызвало у меня определенные чувства
[6]  2021/02/11 00:52   Младше 20 лет старый / средняя школа / университет / аспирант / очень /
Цель использования
Решение бесконечных геометрических последовательностей с отрицательным знаменателем.
[7]  2021/02/03 02:12   Младше 20 лет / Начальная школа/ Ученик младших классов средней школы / Очень /
Назначение
Калькулятор.
Комментарий/Запрос
Спасибо за этот замечательный калькулятор
[8]  2020/11/12 05:23   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Полезный /
Цель использования
я хочу знать, как найти сумму следующей бесконечной геометрической прогрессии Цель использования
For Educatina l Цели
Комментарий/запрос
это было так приятно
[10]  2020/10/04 17:08   Младше 20 лет / Высшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /
Цель использования
Улучшить мои знания по предмету из класса
Matematicas Visuales | Геометрическая последовательность
Последовательность — это упорядоченный список чисел.Некоторые последовательности следуют шаблону.
Каждое число в последовательности называется термином .
Если мы рассматриваем последовательность как функцию, ее областью определения являются натуральные числа.
Геометрическая последовательность (или геометрическая прогрессия) — это последовательность чисел, в которой каждый член после первого задается путем умножения предыдущий на фиксированное ненулевое число, константу, называемую обыкновенным отношением .
Любой член геометрической прогрессии можно выразить формулой для общего члена:
Когда отношение r больше 1, мы имеем возрастающую последовательность (экспоненциальный рост).
Даже если отношение очень мало, последовательность начинает медленно увеличиваться, но после достаточного количества шагов рост становится все больше и больше. Например, это это результат после 300 шагов, если соотношение равно 1,01:
Если отношение r положительно и меньше 1, то последовательность убывающая и общий член стремится к 0.
Когда отношение r отрицательно, последовательность чередуется.
Если отношение r находится в диапазоне от -1 до 0, переменная последовательность имеет общий член, стремящийся к 0.
Если отношение r меньше -1, переменная последовательность по модулю стремится к бесконечности (без знака, если рассматривать значение из-за переменного знака).
Мы можем рассмотреть сумму n членов геометрической прогрессии.
Мы можем вывести формулу:
В следующем приложении мы можем поиграть с разными случаями с положительным знаменателем:
Вы можете увидеть поведение, если общее отношение больше 1 (сумма растет и растет):
Если общее отношение меньше 1, сумма приближается к числу:
Серия — это сумма бесконечных членов последовательности.
Если положительное r меньше 1, вы можете суммировать эти бесконечные числа, и результатом будет число. Можно сказать, что ряд сходится (оно приближается к некоторому пределу).
Если положительное r больше или равно 1, то ряд не приближается к некоторому числу, потому что он становится все больше и больше. Тогда можно сказать, что ряд расходится.
В следующем приложении мы можем поиграть с общим случаем. Теперь общий рацион может быть положительным или отрицательным:
Расходящийся чередующийся ряд:
Сходящийся альтернативный ряд:
Условие сходимости геометрического ряда с ненулевым знаменателем r :
И формула такова:
ДАЛЕЕ
Один наглядный пример того, как суммировать геометрический ряд.Геометрический ряд с отношением меньше 1 сходится.
БОЛЬШЕ ССЫЛОК
Геометрический ряд отношения 1/2 сходится. Мы можем представить эту серию с помощью прямоугольника и последовательно разрезать его пополам. Здесь мы используем прямоугольник, так что все прямоугольники подобны.
Мы можем изучить некоторые свойства показательных функций, их производных и введение в число e.
Используя убывающую положительную функцию, вы можете определить ряды.Интегральный тест — это инструмент, позволяющий определить, сходится ряд или расходится. Если ряд сходится, интегральный критерий дает нам нижнюю и верхнюю оценки.
Интеграл степенных функций был известен Кавальери от n=1 до n=9. Ферма смог решить эту задачу с помощью геометрических прогрессий.
Существует стандартизация размера бумаги, которая называется DIN A. Последующие размеры бумаги в сериях A1, A2, A3, A4 и т. д. определяются делением предыдущего размера бумаги вдвое по большему измерению.
Расширяющее вращение представляет собой комбинацию вращения и расширения из одной и той же точки.
В равноугольной спирали угол между вектором положения и касательной постоянный.
Мы можем видеть это как расширяющееся вращение.
Умножение на комплексное число — это преобразование комплексной плоскости: расширяющее вращение.
Из комплексного числа мы можем получить геометрическую прогрессию, получая степени натурального показателя (последовательно умножая)
Сумма GP| Геометрическая прогрессия | Решенные примеры
В этом мини-уроке мы найдем сумму GP. Научимся находить сумму n членов ЗП, сумму бесконечных ЗП, сумму формул ЗП, сумму членов ЗП, сумму конечных ЗП, сумму бесконечных членов ЗП, сумму геометрических прогрессия
Клара экономит несколько долларов каждую неделю особым образом. На первой неделе она вносит 2 доллара. На 2-й неделе — 4 доллара, на 3-й неделе — 8 долларов, на 4-й неделе — 16 долларов США и т. д. Сколько будет у нее к концу 6 недель в копилке?
Ряд чисел, полученный путем умножения или деления каждого предшествующего члена, такой, что существует общее отношение между членами (не равное 0), представляет собой геометрическую прогрессию, а сумма всех этих членов образует сумму геометрическая прогрессия.
Здесь сумма, накапливаемая каждую неделю, имеет постоянное отношение 2 доллара США, а начальное значение равно 2 долларам США.
Сумма, вносимая каждую неделю, будет составлять 2, 4, 8, 16, 32 и 64 доллара.
Таким образом, через 6 недель в ее копилке накопится 2+ 4 доллара + 8 долларов + 16 долларов + 32 доллара + 64 доллара + 126 долларов США.
Мы можем найти то же самое, используя формулу суммы ГП «n» членов. Давайте научимся считать его сейчас.
План урока
Что такое сумма геометрической прогрессии?
Давайте обсудим, как суммировать произвольный GP.n)}{1 — r}, r\neq 1\)
Если \(r = 1\),
Учитывая упомянутую выше задачу о копилке, сумма GP находится следующим образом.
Сумма ГП
Обратите внимание на падающий с высоты мяч на анимации ниже.
Отрегулируйте его высоту (a) и время (r) с помощью ползунков, показанных вверху.
Мяч теряет свою энергию, и последовательность максимальных высот приблизительно геометрическая.6)}{1- \dfrac{1}{3}} \\\\&= \dfrac{1}{2} \dfrac{(1- \dfrac{1}{729})} {(\dfrac{ 2}{3})}\\\\&=\dfrac{182}{243}\\\\ &= 0,76\end{align}\]
Как рассчитать сумму n терминов GP?
Сумма конечных GP
Определите геометрическую прогрессию и определите знаменатель «r» и первый член «a». n-1)}{r — 1}\), и мы вычисляем сумму всех членов врач общей практики.
Сумма Бесконечной ГП
Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, у нас есть первый член и постоянное отношение между членами. Мы не знали бы последний срок. Тогда \(s_n = \dfrac{a_1}{1-r}\)
- Если \(\mid r \mid < 1\) , то ряд сходится и имеет сумму.
Например, Квадрат рисуется путем соединения середины сторон исходного квадрата.2\конец{выравнивание}\]
\(s_n = \dfrac{a_1}{1-r}\)
Калькулятор суммы бесконечных GP
Найдите симуляцию ниже. Введите первый член и обыкновенное отношение и проверьте, как сумма бесконечного GP сходится к меньшему значению.
- Если \(\mid r \mid > 1\) , то ряд не сходится и не имеет суммы. Это расходится.
Например: рассмотрим бесконечный ряд суммы обратных простых чисел,
\[-\dfrac{5}{10}+ \dfrac{15}{10} -\dfrac{45}{10} + \dfrac{135}{10}+. п-1)}{г-1}\).
Для \(r=1\) сумма GP \(= na\).
Сумма бесконечных GP равна \(S_\infty = \dfrac{a}{1-r}\)

Решенные примеры

В ГП сумма первых трех членов равна 16, а сумма следующих трех членов равна 128. Найдите сумму первых n членов ГП.

Раствор

Пусть a и r будут первым членом и знаменателем GP.п-1)}{7}\)

Сара поделилась сообщением с 5 уникальными людьми в час ночи. В 2 часа ночи каждый из ее друзей поделился им с 5 уникальными людьми. Затем в 15:00 каждый из их друзей поделился с 5 уникальными людьми. В этой последовательности сколько уникальных людей получили бы сообщение к 8 утра?

Раствор

Ясно, что это геометрическая прогрессия, так как первый член равен 5

Общее отношение \(= \dfrac{25}{5} = \dfrac{125}{25} = 5\)

\[\begin{align}S_8 &= \dfrac{5(5^8 — 1)}{5 – 1} \\\\&=\dfrac{5(3

)}{4}\\\\ & = 5\times 97656\\\\&= 488,280\text{люди}\end{align}\]

\(\следовательно\) 488 820 человек получили бы сообщение к 8 утра.

Расстояние, пройденное мячом, упавшим с высоты (в дюймах), равно \(\dfrac{128}{9}, \dfrac{32}{3}\), 8, 6… Каким может быть пройденное расстояние мячом перед тем, как остановиться?

Раствор

Расстояние, пройденное мячом \(= \dfrac{128}{9}, \dfrac{32}{3}, 8, 6…\)

Здесь начальный член \(a = \dfrac{128}{9}\) и обыкновенный коэффициент:

\[\begin{align}r&=\dfrac{(\dfrac{32}{3})}{(\dfrac{128}{9})}\\\\&=\dfrac{32}{3} \times\dfrac{9}{128}\\\\&=\dfrac{3}{4}\end{align}\]

Общее расстояние, пройденное мячом, будет суммой этого бесконечного GP.

Сумма бесконечных GP: \[\begin{align} &= \dfrac{a}{1-r}\\\\&= \dfrac{\dfrac{128}{9}}{1 — \dfrac {3}{4}}\\\\&=\dfrac{128}{9}\times 4\\\\&= \dfrac{512}{9}\text{in}\\\\ &= 56,88 \текст{в}\конец{выравнивание}\]

\(\следовательно\) Общее расстояние = 56,88 в

Если сумма трех действительных чисел в GP равна 26, а сумма их квадратов равна 364, найдите наибольшее число.
Найдите сумму бесконечного GP 0.3+ 0,33+ 0,333+…. [подсказка: \(0,3 = \dfrac{3}{10}\)]

Интерактивные вопросы

Вот несколько упражнений для практики. Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции суммы GP.Математическое путешествие вокруг суммы GP началось с того, что ученик уже знал, и продолжилось творческим созданием новой концепции в умах молодых. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда.

О Куэмате

Наша команда экспертов по математике в Cuemath стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, это логическое мышление и разумный подход к обучению, в которые мы в Cuemath верим.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Что такое полная форма GP?

Полная форма GP — геометрическая прогрессия.

2. Что такое GP по математике?

Последовательность в математике, полученная, когда последовательные члены находятся в постоянном соотношении, называется геометрической прогрессией.{н-1}\]

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Алгебра

Последовательности. Числовые последовательности. Общий термин числовой последовательности.
Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия. Преобразование повторяющейся десятичной дроби в обыкновенную.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n 1, n , .
Если заменить каждый натуральный номер N в этой серии по номеру U _{N U _N , подчиненный каким-либо закону, хорошо получить новую серию номеров:}

U ₁, U ₂ , U U ₃, U _N _N _— — ₁, U _N ,

, называемый Численная последовательность .Число u _n называется общим членом числовой последовательности.
Примеры числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, 10, , 2 n , ; 1, 4, 9, 16, 25, , n ² , ; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, , 1/ n , .

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, дополненному константой для этого порядкового номера d , называется арифметической прогрессией . Число d называется общей разностью . Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

a _n = a ₁ + d (n 1 ) .

Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

П р и м е р . Найдите сумму первых 100 нечетных чисел.
Раствор. Используйте последнюю формулу. Здесь a

₁ = 1, d = 2 . Итак, имеем:

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на константу для этого порядкового номера q , называется геометрической прогрессией . Число q называется обыкновенным отношением . Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b _n = b ₁ q ^{n —} ¹ .

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, где
| q | < 1 . Для него понятие суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется как число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном увеличении числа n .Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Пример. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение. Используйте последнюю формулу. Здесь b ₁ = 1, q = 1/2. Итак, имеем:

. Предположим, что мы хотим преобразовать повторяющийся десятичный 0. (3) к вульгарной дроби. Рассмотрим это десятичное число в более естественной форме:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом 3/10 и знаменателем q = 1/10. Согласно приведенной выше формуле последняя сумма равна:

Знакомство с древними вещами — магия математики! | Мухаммад Усман

Вернемся к тому, о чем мы спрашивали, как узнать возраст древних артефактов? «Великие пирамиды Гизы» ок.4500 лет. И здесь « Геометрическая последовательность » играет важную роль.

Количество радиоактивного изотопа углерода (углерод-14), присутствующего в артефакте, помогает определить его возраст. У углерода-14 период полураспада составляет 5730 лет, то есть каждые 5730 лет он сокращается до половины своего содержания. Это последовательно уменьшающееся количество углерода-14 создает уменьшающуюся геометрическую прогрессию с общим отношением ½.

Давайте углубимся в приведенное выше утверждение. Углерод-14 постоянно образуется в нашей атмосфере в результате взаимодействия космических лучей и атмосферного азота. Образовавшийся С-14 соединяется с атмосферным кислородом, образуя радиоактивный углекислый газ, который поглощается растениями посредством фотосинтеза. Животные получают этот углерод-14, поедая растения. Итак, когда умирает животное или растение, прекращается обмен углеродом с атмосферой. Содержание углерода-14 начинает уменьшаться и уменьшается наполовину каждые 5730 лет. Это создает убывающую геометрическую последовательность с общим отношением 1/2 и помогает определить ее сумму, которая является возрастом этого артефакта.Как упоминалось выше, геометрическая последовательность — это бесконечная последовательность с конечной суммой, выполнение вычислений по формуле не является сложной задачей.

Древесина, древесный уголь, кости, рога и другие образцы карбонатов за последние 70 000 лет были сохранены для этой цели. Даты древесного угля, широко разбросанного вокруг пирамид, помогли определить его возраст.

Математика — королева наук

Немецкий математик, Иоганн Карл Фридрих Гаусс (род.Он также является изобретателем первого телеграфа.

Автор: М. Усман и Мисбах Афзал

Видео с вопросами: Обычное отношение геометрической последовательности

Стенограмма видео

Какое условие должно выполняться обыкновенное отношение 𝑟 в геометрической прогрессии, если сумма бесконечного числа членов может быть нашел?

В этом вопросе нас просят найти условие на знаменатель 𝑟, гарантирующее, что предел будут существовать бесконечные геометрические ряды.

Есть много способов ответить на этот вопрос вопрос. Проще всего вспомнить, что бесконечная сумма геометрической прогрессии с начальным членом 𝑎 и постоянным отношением 𝑟 абсолютное значение которого меньше единицы, равно 𝑎 больше единицы минус 𝑟. Тогда мы можем вспомнить, что геометрическое последовательность со знаменателем, размер которой больше или равен единице, не обязательно сходятся. Таким образом, мы можем сказать, что абсолютное значение 𝑟 должно быть меньше единицы.Полезно уметь вспоминать свойства и теоремы таким образом. Однако важно также понять, почему эти результаты верны. Итак, давайте разберем этот вопрос в Подробнее.

Сначала мы можем вспомнить что геометрическая последовательность — это та, в которой мы находим следующий член последовательности с помощью умножение на постоянное значение 𝑟. Другими словами, отношение последующие члены последовательности остаются постоянными.Поэтому, если начальный член в геометрическая последовательность 𝑎 и знаменатель 𝑟, мы получаем последовательность 𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟 в квадрате, 𝑎𝑟 в кубе и так далее.

Прежде чем мы рассмотрим сумму этих терминами, давайте начнем с рассмотрения тривиальных случаев этих типов последовательностей. Во-первых, если 𝑎 равно нулю, то каждый член равен нулю независимо от значения 𝑟. Это не даст ничего полезного информацию об условиях 𝑟, при которых существует бесконечная сумма, поэтому мы можем игнорировать этот случай.Точно так же, если 𝑟 равно нулю, то каждый член после первого равен нулю. Таким образом, бесконечная сумма равна первый срок 𝑎. Итак, мы знаем, что любая геометрическая последовательность с 𝑟 равна нулю имеет бесконечную сумму, которая сходится.

Теперь мы готовы рассмотреть общий случай суммы членов геометрической прогрессии. Назовем сумму первых 𝑛 термины 𝑆 под 𝑛, и мы можем записать сумму, как показано.Теперь мы можем найти выражение для 𝑟 умножить 𝑆 на 𝑛, умножив каждый член на 𝑟. Мы получаем следующее выражение. Мы можем использовать это, чтобы найти выражение для разницы между 𝑆 sub 𝑛 и 𝑟 умножить на 𝑆 sub 𝑛. Если вычесть второе уравнение из первого уравнения можно заметить, что все слагаемые, кроме 𝑎 и 𝑎𝑟, относятся к 𝑛-я сила отменяет. Это оставляет нам уравнение 𝑆 sub 𝑛 минус 𝑟𝑆 sub 𝑛 равно 𝑎 минус 𝑎𝑟 в 𝑛-й степени.

Мы можем переписать это уравнение следующим образом: убрав общий множитель 𝑆 sub 𝑛 в левой части уравнения и общий коэффициент 𝑎 в правой части уравнения, чтобы получить следующий. Тогда мы можем разделить уравнение на один минус 𝑟, чтобы получить, что 𝑆 sub 𝑛 равно 𝑎, умноженному на один минус 𝑟 до 𝑛-я степень больше единицы минус 𝑟. Заметим, что это выражение для суммы первых 𝑛 членов недействительно, когда 𝑟 равно единице, так как мы не можем разделить на ноль. Таким образом, мы должны будем рассмотреть это дело отдельно.

Мы хотим рассмотреть, что происходит когда мы берем сумму бесконечного числа терминов. Итак, мы хотим, чтобы значение 𝑛 приближение ∞. Мы видим, что существует только один член в этом выражении, который изменяется при изменении значения 𝑛. Мы знаем, что если размер 𝑟 меньше единицы, то 𝑟 в 𝑛-й степени будет уменьшаться по размеру как 𝑛 увеличивается.Точно так же, если размер 𝑟 больше единицы, то размер 𝑟 в 𝑛-й степени неограничен, так как 𝑛 увеличивается. Это показывает два возможных случаи. Когда размер 𝑟 меньше один, мы можем убрать член 𝑟 в 𝑛-й степени в нашем числителе, чтобы получить наше результат бесконечной суммы. Однако, если размер 𝑟 больше единицы, то размер членов становится все больше и больше, так что сумма не сходятся.

Есть два дела, которые мы еще не обдуманный. Во-первых, когда 𝑟 равно единице, каждый член геометрической прогрессии равен 𝑎. Если мы затем добавим первые 𝑛 члены последовательности вместе, то мы получаем 𝑛 раз 𝑎. Это будет сходиться только тогда, когда 𝑛 получит больше, если 𝑎 равно нулю. Таким образом, он не сходится в Общее. Во-вторых, мы должны рассмотреть, что происходит, когда 𝑟 равно отрицательной единице.Мы видим, что условия последовательности имеют одинаковый размер, но переключаются знаками.

Чтобы понять, почему сумма бесконечно многих членов этой последовательности, вообще говоря, не сходится, мы можем рассмотреть каждую сумму из 𝑛 терминов. Это дает нам последовательность, называемую последовательность частичных сумм. В этом случае последовательность 𝑎, ноль, 𝑎, ноль, и эта последовательность продолжается бесконечно.

РубрикаРазное

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.