Арифметическую прогрессию: Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

 

1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

   «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»



2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: y_n = f(n).

   Последовательность y_n = C называют постоянной или стационарной.



3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

   Арифметическая прогрессия — (a_n), задана таким соотношением:
   a₁ = a, a_n+1= a_n + d.

   Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a_n+1 = a_n

   + a_n-1.

   Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…



4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
   1, 2, 3, 4…
   

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

 

1. Последовательность {y_n} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

   y₁ < y₂ < y₃ < … < y_n < y_n+1 < …



2. Последовательность {y_n} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:
   y₁ > y₂ > y₃ > … > y_n > y_n+1 > …

   Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.



3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: y_n = y_n+T. Число T — длина периода.

 

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a₁, a₂,…, a₁₀

…, a_n.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

• Формула a_n = 3_n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
• Формула a_n = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a 1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство: an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 

1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.
   Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.



2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

   Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.



3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

   Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 

1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

   a₂ = a₁ + d = 0 + 2 = 2;

   a₃ = a₂ + d = 2 + 2 = 4;

   a₄ = a₃ + d = 4 + 2 = 6;

   a₅ = a₄ + d = 6 + 2 = 8.



2. Используем общую формулу a_n = a₁ + d * (n — 1).

   По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

   a₁₀ = a₁ + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

1. Рекуррентной формулой:


2. Формулой n-го члена: a_n = a₁+ d · (n — 1).


3. Формулой вида a_n = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

и т.д.

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n

= a₁ + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Как доказываем:

 

1. Формула верна при n = 1.

   Действительно,



2. Предположим, что формула верна при n = k, то есть


3. Докажем, что формула верна и при n = k + 1, то есть


4. Из условия и предположения получаем:

   Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n

), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

• b₂ = b₁ * q;
• b₃ = b₂ * q = b₁ * q * q = b₁ * q²;
• b₄ = b₁ * q³;
• и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * qⁿ⁻¹, где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член последовательности, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 40\) (по другим источникам до \( \displaystyle 100\)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из \( \displaystyle 6\)-ти членов: \( \displaystyle 6;\text{ }8;\text{ }10;\text{ }12;\text{ }14;\text{ }16…\)

Нам необходимо найти сумму данных \( \displaystyle 6\) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму \( \displaystyle 100\) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть \( \frac{6}{2}=3\).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна \( 22\), а подобных равных пар \( 3\), мы получаем, что общая сумма равна:

\( \displaystyle S\text{ }=\text{ }22\cdot 3\text{ }=\text{ }66\).

Таким образом, формула для суммы первых \( \displaystyle n\) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\), где \( \displaystyle n\) – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен \( \displaystyle n\)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу \( \displaystyle n\)-го члена. \( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)\)

Что у тебя получилось?

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\), где \( \displaystyle n\) – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма \( \displaystyle 40\) чисел, начиная от \( \displaystyle 1\)-го, и сумма \( \displaystyle 100\) чисел начиная от \( \displaystyle 1\)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма \( \displaystyle 100 \) членов равна \( \displaystyle 5050\), а сумма \( \displaystyle 40 \) членов \( \displaystyle 820\).

Так ли ты решал?

• \( {{S}_{40}}=\frac{\left( 1+40 \right)\cdot 40}{2}=\frac{41\cdot 40}{2}=\frac{1640}{2}=820\)
• \( {{S}_{100}}=\frac{\left( 1+100 \right)\cdot 100}{2}=\frac{101\cdot 100}{2}=5050\)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется \( \displaystyle 6\) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

\( \displaystyle 6;\text{ }5;\text{ }4;\text{ }3;\text{ }2;\ 1\).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle ~=\text{ }d\text{ }=\text{ }-1\).

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\~~{{S}_{6}}=\frac{\left( 6+1 \right)\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21\\~\end{array}\)

Способ 2.

\( \displaystyle {{S}_{n}}=\frac{2{{a}_{1}}+d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n\)

\( {{S}_{n}}=\frac{2\cdot 6+1\left( 6-1 \right)}{2}\cdot 6=\frac{12+5\cdot 6}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=\frac{42}{2}=21\)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму \( \displaystyle n\)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из \( \displaystyle 6\) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из \( \displaystyle 60\)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – \( \displaystyle 1830\) блоков:

\( \begin{array}{l}{{S}_{n}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} \right)\cdot n}{2}\\{{S}_{60}}=\frac{\left( 60+1 \right)\cdot 60}{2}=\frac{61\cdot 60}{2}=61\cdot 30=1830.\end{array}\)

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

      Определение 1. Числовую последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

называют арифметической прогрессией, если справедливы равенства

a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ =
= … = a_n – a_{n – 1} =…

      Определение 2. Если последовательность чисел

a₁ ,  a₂ , … a_n , …

является арифметической прогрессией, то число d, определенное формулой

d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ =
= a₄ – a₃ = … =
= a_n – a_{n – 1} =… ,

называют разностью этой арифметической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 вытекает, что для того, чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член арифметической прогрессии a₁ и разность арифметической прогрессии   d.   Если числа a₁ и d известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

a2 = a1 + d , a3 = a2 + d , … an = an – 1 + d …

(1)

      По этой причине многие задачи на арифметическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел a₁ и d .

      Из формул (1) вытекает общая формула

an = a 1 + d ( n – 1),       n = 1, 2, 3, …

(2)

позволяющая по любому номеру n вычислить член арифметической прогрессии a_n , зная первый член и разность прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена арифметической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством арифметической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство арифметической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

      Из формулы (2) также вытекают следующие соотношения:

a₁ + a_n = a₂ + a_{n – 1} =
= a₃ + a_{n – 2} = … ,

которые используются, в частности, при выводе формулы для суммы первых n членов арифметической прогрессии, и при решении различных примеров и задач.

      Если для суммы первых n членов арифметической прогрессии ввести обозначение

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n  ,      
n = 1, 2, 3, … ,

то будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии.

      С примерами решений различных задач по теме «Арифметическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Арифметическая прогрессия | umath.ru

Определение арифметической прогрессии

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа называется арифметической прогрессией. Число называется разностью арифметической прогрессии.

То есть арифметическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

   

Например, последовательность нечётных натуральных чисел

   

является арифметической прогрессией, так как любой её член отличается от предыдущего на 2.

Общий член арифметической прогрессии задаётся формулой

   

Например, последовательность образует арифметическую прогрессию с разностью и первым членом Поэтому её общий член может быть задан соотношением

   

Пример 1. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии, если её первый член а разность

Решение. По формуле для общего члена арифметической прогрессии имеем

   

Теорема. Последовательность тогда и только тогда является арифметической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, равен полусумме предыдущего и последующего членов:

   

Доказательство. По определению арифметической прогрессии для всех имеем

   

Отсюда

   

то есть

   

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В качестве примера найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, то есть вычислим сумму

   

Решение. Можно сидеть и долго складывать все числа по порядку. Но есть более простой способ. Запишем сумму этих чисел, а под ней — ту же сумму, но в обратной последовательности:

   

Теперь почленно сложим эти суммы:

   

   

Отсюда

По легенде, школьный учитель математики, надеясь надолго занять детей, предложил им сосчитать эту сумму. Среди тех детей был будущий великий математик Карл Гаусс. Юный Гаусс быстро заметил, что попарные суммы членов с противоположных концов равны: и т.д, и уже через несколько минут подошёл к учителю с ответом:

Этим же приёмом удобно воспользоваться и при вычислении суммы первых членов арифметической прогрессии, если заметить, что

   

Действительно,

   

   

Сумма первых n членов арифметической прогресиии

   

равна полусумме первого и n-ного её членов, умноженной на число членов, то есть

   

Доказательство. Запишем сумму сначала в прямом порядке, а затем — в обратном:

   

   

Сложим почленно эти два равенства и воспользуемся тем, что :

   

   

Отсюда находим

   

Арифметические,геометрические прогрессии — Математика

Если каждому натуральному числу n (n = 1, 2,…) поставлено в соответствие число x_n, то говорят, что задана числовая последовательность x₁, x₂,…, x_n…, обозначаемая {x_n}. Числаx₁, x₂,…, x_n… называются членами последовательности, а член с номером n – ее n-м членом.

Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность {a_n}, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии: a_n+1 = a_n + d. Число S_n называется суммой n первых членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {b_n}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией.

Число q называется называется знаменателем прогрессии: b_n+1 = b_nq.

Число S_n называется суммой n первых членов геометрической прогрессии, P_n — произведением n первых членов геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три члена составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии.

____________________________________________________________________________

Обозначим через a_i — члены арифметической прогрессии c разностью d, через b_i — геометрической, с знаменателем q.

Согласно формуле суммы арифметической прогрессии имеем S₃ = (2a₁ + 2d) · 3 / 2 = 21 или a₁ + d = 7.

По условию a₁ — 1, a₁ + d — 1, a₁ + 2d + 2 — три последовательных члена геометрической прогрессии. Используем свойство геометрической прогрессии:

(a₁ + d — 1)² = (a₁ + 2d + 2)(a₁ — 1).

После замены переменной a₁ = 7 — d и открытия скобок получаем квадратное уравнение

d² + 3d — 18 = 0, т.е. d₁ = 3, d₂ = -6.

Условию удовлетворяет лишь d₁ = 3 (т.к. арифметическая прогрессия возрастающая). В этом случае a₁ = 4. Находим b₁ = a₁ — 1 = 3. b₂ = a₁ + d — 1 = 6, откуда q = 2.

Наконец, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии получаем:

S₈ = [b₁(q₈ — 1)] / (q — 1) = 765.

Ответ: S₈ = 765.

 

Сумма трех чисел, которые составляют арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна ¹⁴/₉. Найти эти числа.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют арифметическую прогрессию, запишем их какa, a + d, a + 2d.

Согласно условию их сумма равна 2, т.е. 3a + 3d = 2, a = ²/₃ — d.

Согласно второму условию a² + (a + d)² + (a + 2d)² = ¹⁴/₉.

После раскрытия скобок получаем 27a² + 45d² + 54ad = 14.

Делаем замену переменной a = ²/₃ — d, раскрываем скобки и получаем:

d² = ¹/₉.

d = ±¹/₃.

Теперь легко найти числа, составляющие арифметическую прогрессию. При любом из значений d = ±¹/₃ числа будут равны ¹/₃, ²/₃, 1.

Ответ: ¹/₃, ²/₃, 1.

 

Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.

____________________________________________________________________________

Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их какb, bq, bq², bq³.

По условию:

1) bq² = b + 9.

2) bq = bq³ + 18.

Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:

9q + 18 = 0.

Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3.

Теперь легко найдем все числа: 3, -6, 12, -24.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

 

Найти сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.

___________________________________________________

Сначала найдем минимальное и максимальное трехзначные числа, которые делятся на 7. Это числа 105 и 994 соотвественно. Запишем a₁ = 105, a_m = 994.

Найдем m, т.е. количество трехзначных чисел, которые делятся на 7. Используем свойство прогрессии и получаем:

994 = 105 + 7(m — 1).

Откуда m = 128.

А теперь воспользуемся формулой суммы m членов арифметической прогрессии S₁₂₈ = (105 + 994) · 128 / 2 = 70336.

Ответ: 70336.

Арифметическая прогрессия — это… Что такое Арифметическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — ее разность.

Доказательство

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .

База индукции  :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :

Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что .

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .

Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.

, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Доказательство

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

.

См. также

Ссылки

формула n-го члена прогрессии 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 10.

Определение арифметической прогрессии: формула n-го члена прогрессии.

Сегодня познакомимся с последовательностью, которая получается по определенному закону (правилу).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 5. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Итак, арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность an – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие an+1=an+d, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, то есть при любом натуральном n верно равенство:an+1-an=d. Это число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

a1=1 и d=2, то получим арифметическую прогрессию: 1,3,5,7,…

a1=-5 и d=3, то получим арифметическую прогрессию: -5,-2,1,4,7,…

a1=-3 и d=-2, то получим арифметическую прогрессию: -3,-5,-7,…

a1=4 и d=0, то получим арифметическую прогрессию: 4,4,4,4,…

Итак, зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. Но если надо будет найти сотый, или двухсотый члены, то этот способ не очень удобен.

Давай попробуем вывести формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии. Итак, по определению арифметической прогрессии:

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d

a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d

a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d

Что же мы видим? Что любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле: an=a1+dn-1 – это и есть формула n — го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры.

1) Последовательность an – арифметическая прогрессия, в которой a1=2,3 и d=0,36. Найти 101-й член этой прогрессии.

Воспользуемся формулой: an=a1+dn-1

a101=2,3+0,36100-1=2,3+0,36∙100=2,3+36=38,3

Ответ: 38,3

2) Выясним являются ли числа -31,5 и 16 членами арифметической прогрессии (a_n): 27, 4; 24,3; 21,2; …

В данной арифметической прогрессии

a1=27,4

d=a2-a1=24,3-27,4=-3,1

Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+dn-1

an=27,4-3,1n-1, то есть

an=27,4-3,1n+3,1

an=30,5-3,1n

Числа -31,5 и 16 будут членами арифметической прогрессии, если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 30,5 — 3,1n = -31,5 (1)

30,5 — 3,1n = 16 (2)

Решим эти уравнения. Из (1) находим, что n = 20, из (2) n=42131.

А, значит, число -31,5 является двадцатым членом арифметической прогрессии. Число 16 не является членом арифметической прогрессии.

Отсюда понятно, что любую арифметическую прогрессию можно задать формулой a_n = kn + b, где k и b некоторые числа.

Верно и обратное, если последовательность (a_n), заданная формулой a_n = kn + b, где k и b некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Рассмотрим еще один пример.

Найти 25-й член и n-й член арифметической прогрессии: -2; -0,5; 1; 2,5; 4;…

Итак, a₁ = -2; d = 2,5 — 1 = 1,5.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

an=a1+dn-1

a25=-2+1,525-1=-2+1,5∙24=34

an=-2+1,5n-1=-2+1,5n-1,5=1,5n-3,5.

Отметим важное свойство арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то есть своих соседей.

Например, дана арифметическая прогрессия: a_n: … ; 11; x; 27;…

x=11+272=19

Итак, в арифметической прогрессии

an=an-1+an+12.

Итак, сегодня мы познакомились с арифметической прогрессией, ее свойством, а так же вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. А в следующий раз мы выведем формулу нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Калькулятор арифметической прогрессии — Расчет высокой точности

[1] 2021/07/07 09:30 До 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования

задание

Комментарий / Запросите

первые три члена арифметической прогрессии: h, 8 и k. найти значение h + k.

[2] 2021/02/04 00:02 Уровень 20 лет / Другое / Очень /

Цель использования

Для исследования

Комментарий / Запрос

Найдите первый четвертый член и восьмой член последовательность и правило для n-го члена, то есть определить an как явную функцию от n

[3] 21.01.2021 19:32 Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Знание

Комментарий / запрос

Учитывая, что Срок 1 = 23, Срок n = 43, Срок 2n = 91.Для AP найдите первый термин, общее различие и n

[4] 2020/08/17 21:17 Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Назначение

Комментарий / запрос

Учитывая, что 4, p, q13 являются последовательными членами ap.
Найти значения p и q?

[5] 2020/08/12 22:57 Уровень 40 лет / Инженер / Очень /

Цель использования

Игра в игру, в которой стоимость каждого особого предмета увеличивается на d = 50 монет.п. Найдите третий член.

[7] 2020/03/20 16:04 — / — / — /

Комментарий / запрос

Маллам усман вкладывает в банк №1000 для сына в каждый день его рождения с первого по двадцатый включительно. какова будет общая стоимость в двадцать первый день рождения сына?

[8] 2019/09/17 04:31 Уровень 30 лет / Инженер / — /

Цель использования

Проектирование линий и определение последовательности.

Комментарий / запрос

Сумма первых 50 членов арифметической прогрессии = 200.Сумма следующих 50 членов = 2700. Какой 10-й член прогрессии?

[9] 2019/03/30 06:36 Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования

нужна помощь

Комментарий / запрос

помогите мне решить это .. Первый и последний член ап — 2 и 125 соответственно. Если 5-й семестр равен 14, найдите номер семестра в AP

[10] 2019/01/30 01:47 Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

исследование

Арифметические прогрессии | Блестящая вики по математике и науке

Важная терминология

• Начальный член: В арифметической прогрессии первое число в ряду называется «начальным членом».«
• Общее различие: Значение, на которое увеличиваются или уменьшаются следующие друг за другом члены, называется «общей разницей».

Рекурсивная формула

Мы можем описать арифметическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в арифметической последовательности каждый член задается предыдущим термином с добавленной общей разницей, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

Срок = Предыдущий срок + Общая разница.\ text {Срок} = \ text {Предыдущий термин} + \ text {Общая разница.} Срок = Предыдущий термин + Общая разница.

Короче, с общей разницей ddd, имеем:

an = an − 1 + d.a_n = a_ {n-1} + d.an = an − 1 + d.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

Если мы знаем начальный термин, следующие термины связаны с ним путем повторного добавления общей разницы. Таким образом, явная формула

Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока. \ text {Срок} = \ text {Начальный термин} + \ text {Общая разница} \ times \ text {Число шагов от начального срока}. Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока.

Мы можем записать это с общей разницей ddd как:

an = a1 + d (n — 1).a_n = a_1 + d (n-1) .an = a1 + d (n-1).

Какая последовательность описывается выражением an = 2 + 4 (n − 1) a_n = 2 + 4 (n-1) an = 2 + 4 (n − 1)?

Показать ответ

Последовательность 2,6,10,14,… 2, 6, 10, 14, \ dots2,6,10,14,….

Из явной формулы видно, что начальный член равен 2, а общая разница равна 4.

Какова явная формула арифметической прогрессии 3,6,9,12,… 3, 6, 9, 12, \ dots3,6,9,12,…?

Показать ответ

Используя приведенную выше форму, у нас есть начальный член, a1 = 3a_1 = 3a1 = 3, и общая разница, ddd, равная 3.Таким образом, an = 3 + 3 (n − 1) a_n = 3 + 3 (n-1) an = 3 + 3 (n − 1).

Обратите внимание, что мы можем упростить это выражение до an = 3 + 3n − 3 = 3na_n = 3 + 3n-3 = 3nan = 3 + 3n − 3 = 3n.

Отправьте свой ответ

Какой седьмой член арифметической прогрессии 2,7,12,17,… 2, 7, 12, 17, \ dots2,7,12,17,…?

5-й5 ^ \ text {th} 5-й 6-й6 ^ \ text {th} 6-й Он никогда не получал нулевых оценок Ни один из вышеперечисленных

Ариан получил −10-10−10 баллов на своем первом экзамене и 151515 баллов на 15-м 25 ^ {\ text {th}} 15-м экзамене.

Если все его оценки соответствуют арифметической прогрессии с положительной общей разницей, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

Арифметическая прогрессия — обзор

3.2 Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, которая начинается с числа a и затем увеличивается с фиксированным шагом d : a , a + d , a + 2 d ,….Пусть s _n обозначает сумму первых n членов, так что

sn = a + a + d + a + 2d +… + a + n − 1d.

Мы хотим найти простое выражение для s _n .

Мы можем сделать это, записав s _n в его естественном порядке, а затем с членами в обратном порядке.

sn = a + a + d + (a + 2d) +… + (a + (n − 1) d), sn = (a + n − 1d) + (a + (n − 2) d) + (a + ( п — 3) г) +… + а.

Затем, складывая соответствующие члены,

2sn = 2a + n − 1d) + 2a + n − 1d +… + (2a + n − 1d⏟nterms = n (2a + n − 1d).∴sn = na + 12nn − 1d.

Мы доказали следующий небольшой результат. (Вежливое название небольшого результата, обычно шаг к чему-то более интересному, — это лемма.)

Лемма 3.1 Сумма первых n членов арифметической прогрессии a , a + d , a + 2 d ,… равно na + 12nn − 1d. ℕ

Только что доказанный результат и другие ему подобные часто становятся намного яснее, если мы используем обозначение Σ для суммирования.Общий член приведенной выше арифметической прогрессии: a + ( k — 1) d , это k -й член, так что a + ( a + d ) +… + ( a + ( n — 1) d ) является суммой членов, когда k = 1, k = 2,… и k = n , все сложенные вместе, и запишем это как

∑k = 1na + k − 1d.

В более общем смысле, если f — некоторая формула, включающая k , ∑ ⁿ _{k = 1} f ( k ) означает f (1) + f (2 ) +…. + f ( k ), сумма значений, полученных при последовательной замене k на 1, 2,…, n или любые другие значения, обозначенные знаком Σ. Таким образом, ∑ ⁵ _{k = 3} f ( k ) = f (3) + f (4) + f (5). Обратите внимание, что k здесь является «фиктивной» переменной и что ∑ ⁿ _{k = 1} f ( k ) не зависит от k ; мы могли бы заменить k на любой другой символ, который нам подходит, кроме символа, который уже имеет другое значение в этом выражении.∑ ⁿ _{n = 1} n не годится, так как символ n имеет два значения.

Другой распространенный простой тип последовательности — это геометрическая прогрессия , которая представляет собой последовательность вида a , ar , ar ² , ar ³ ,… r будучи называется обычным соотношением . Снова есть формула для суммы первых n членов.Пусть s _n = a + ar +… + ar ^{n −1} , сумма первых n членов. Тогда

sn = a + ar +… + arn − 1rsn = ar +… + arn − 1 + arnso1 − rsn = a − arn = a (1 − rn).

Следовательно, при условии r ≠ 1 (чтобы избежать деления на ноль)

sn = a1 − rn1 − r.

(Обратите внимание на форму этого: первый член прогрессии умножает все выражение, а степень на в числителе — это количество членов.Если r > 1, обычно лучше писать sn = arn − 1r − 1, чтобы знаменатель был положительным. В случае, когда r = 1, формула не имеет смысла, но в этом случае все суммированные члены равны, поэтому ответ прост.) Мы доказали:

Лемма 3.2 Если r ≠ 1 и n — натуральное число

a + ar +… + arn − 1 = ∑k = 1nark − 1 = a1 − rn1 − r.ℕ

Этот результат имеет чрезвычайно полезное следствие (которое мы называем следствием). Предположим, мы хотим разложить на множители x ⁿ — y ⁿ .Тогда (при условии, что x ≠ 0) xn − yn = xn1 − ynxn = xn1 − yxn. Здесь мы должны заметить, что мы можем использовать формулу из леммы 3.2 с r = y / x и a = 1. Тогда

1 + yx +… + yn − 1xn − 1 = 1 − yxn1 − yxprovidedyx ≠ 1.

Итак, 1 − yxn = 1 − yx1 + yx +… + yn − 1xn − 1 и умножение на x ⁿ дает

(*) xn − yn = x − yxn − 1 + xn − 2y +… + xyn − 2 + yn − 1.

Мы доказали это для всех действительных чисел, удовлетворяющих двум условиям: x ≠ 0 и x ≠ y .В двух исключенных случаях, x = 0 и x = y , результат тривиален для проверки, поэтому мы независимо замечаем, что результат верен для них и ограничение может быть снято. Основное достоинство (*) состоит в том, что x ⁿ — y ⁿ имеет множитель x — y , хотя выражение для второго множителя также полезно.

Эти два примера — арифметическая и геометрическая прогрессии — полезны, но они создают немного вводящее в заблуждение впечатление, поскольку легко доказать формулы напрямую, как только вы заметите уловку.Более широко применяемый способ доказательства истинности формулы для всех натуральных чисел — использование математической индукции. Обратите внимание, что мы хотим доказать, что результат верен для всех натуральных чисел, поэтому мы не можем сделать это, проверяя каждое значение по очереди.

Введение в арифметические прогрессии | Математика класса 10

Прогрессия — это последовательность или ряд чисел, в которых они расположены в определенном порядке, так что отношение между последовательными членами ряда или последовательности всегда постоянное.Постепенно можно получить член ряда n _-й .

В математике есть 3 типа прогрессий:

1. Арифметическая прогрессия (AP)
2. Геометрическая прогрессия (GP)
3. Гармоническая прогрессия (HP)

Арифметическая прогрессия (AP) , также известная как арифметическая последовательность последовательность или ряд чисел, такая, что общая разница между двумя последовательными числами в ряду постоянна.

Например:

Серия 1: 1,3,5,7,9,11….

В этой серии общая разница между любыми двумя последовательными числами всегда равна 2.

Серия 2: 28,25,22,19,16,13….

В этой серии общая разница между любыми двумя последовательными числами строго равна -3.

Терминология и обозначение

• Общее различие, d = a ₂ — a ₁ = a ₃ — a ₂ = ……. = a _n — a _{n — 1}
• a _n = n _th член арифметической прогрессии
• S _n = сумма первых n элементов в серии

Общая форма AP

Если a берется в качестве первого члена, а d — как общая разница, тогда член N ^th AP будет задан по формуле:

Итак, вычислив n членов AP с приведенной формулой, общая форма AP выглядит следующим образом:

Пример: Найдите 35 ^{-й член} ряда 5,11,17,23…..

Решение:

В данной серии

a = 5, d = a ₂ — a ₁ = 11 — 5 = 6, n = 35

Надо выяснить член 35 ^th _{, следовательно, примените формулы:}

a _n = a + (n — 1) d

a _n = 5 + (35 — 1) x 6

a _n = 5 + 34 x 6

a _n = 209

Следовательно, 209 — это 35 _{-й член} .

Сумма n членов арифметической прогрессии

Формула для суммы арифметической прогрессии:

S _n = (n / 2) [2a + (n — 1) × d]

Выведение Формула

Пусть ‘l’ обозначает n _{-й член} ряда, а S _n будет солнцем первых n членов AP a, (a + d), (a + 2d),…., a + (n-1) d then,

S _n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… .a _n-1 + a _n

S _n = a + (a + d) + (a + 2d) + …… .. + (l — 2d) + (l — d) + l… (1)

Записывая ряд в обратном порядке, получаем ,

S _n = l + (l — d) + (l — 2d) + …… .. + (a + 2d) + (a + d) + a… (2)

Добавление уравнения (1 ) и (2),

2S _n = (a + l) + (a + l) + (a + l) + …….. + (a + l) + (a + l) + (a + l)

2S _n = n (a + l)

S _n = (n / 2) (a + l)… ( 3)

Следовательно, формулы для нахождения суммы ряда:

S _n = (n / 2) (a + l)

где,

a — первое слагаемое

l — последний член ряда, а

n — количество членов в ряду

Заменяя последний член l на n ^{-й член} в уравнении 3, мы получаем,

n ^-й член = a + (n — 1) d

S _n = (n / 2) (a + a + (n — 1) d)

S _n = (n / 2) (2a + (n — 1) ) xd)

Примечание. Последовательные члены в арифметической прогрессии также могут быть представлены как,

…….., a-3d, a-2d, ad, a, a + d, a + 2d, a + 3d, …… ..

Примеры задач по арифметическим вычислениям

Задача 1. Найдите сумму первые 35 членов ряда 5,11,17,23… ..

Решение:

В данной серии

a = 5, d = a ₂ — a ₁ = 11 — 5 = 6, n = 35

S _n = (n / 2) (2a + (n — 1) xd)

S _n = (35/2) (2 x 5 + (35-1 ) x 6)

S _n = (35/2) (10 + 34 x 6)

S _n = (35/2) (10 + 204)

S _n = 35 x 214/2

S _n = 3745

Задача 2.Найдите сумму ряда, когда первый член ряда равен 5, а последний член ряда равен 209, а количество членов ряда равно 35.

Решение:

В данном ряду

a = 5, l = 209, n = 35

S _n = (n / 2) (a + l)

S _n = (35/2) (5 + 209)

S _n = 35 x 214/2

S _n = 3745

Задача 3. 21 рупия делится между тремя братьями, где три части денег выражены в AP, а сумма их квадратов равна 155.Найдите самую большую сумму.

Решение:

Пусть три части денег будут (ad), a, (a + d), поскольку распределенная сумма находится в AP

Учитывая, что

(a — d) + a + (a + d) = 21

Следовательно,

3a = 21

a = 7

Опять же, (a — d) ² + a ² + (a + d) ² = 155

a ² + d ² — 2ad + a ² + a ² + d ² + 2ad = 155

3a ² + 2d ² = 155

Подставив значение ‘a’ получаем,

3 (7) ² + 2d ² = 155

2d ² = 155 — 147

d ² = 4

d = ± 2

Три Части распределенных денег:

a + d = 7 + 2 = 9

a = 7

a — d = 7-2 = 5

Следовательно, самая большая часть — 9 рупий

Арифметическая прогрессия и как решать Арифметическая прогрессия (AP)

В природе многие вещи следуют этому образцу, например, отверстие в виде сот, Лепестки цветка розы.Также как и арифметическая прогрессия — это тип числового шаблона. В этом номере расположены по шаблону.
Последовательность: это набор чисел, расположенных в определенном порядке. Последовательность:
a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ , a ₅ … .a _n

Например, последовательность нечетных чисел

1, 3, 5, 7 …… ..

Серия: Серия — это несколько терминов в последовательности. Если в последовательности n членов, то сумма n членов обозначается S _n .

S _n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n

Общий n-й член серии AP:

a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,… .., a _n

a, a + d, a + d + d, a + d + d + d, …… ..

а1 = а = а (1-1) d

a2 = a + d = a (2-1) d

a3 = a + 2d = a (3-1) d

a _n = a + (n-1) d

Таким образом, формула для вычисления n-го члена равна

a _n = первый член + (номер члена — 1) общая разница

Q1: найдите 13 член серии AP

2, 4, 6, 8, 10 …………

Решение:

Первый член a = 2 Общая разница (d) = 4-2 = 2 = 6-4

Итак, примените формулу I.е. а _п = а + (п-1) г

₁₃ = 2+ (13-1) 2

а ₁₃ = 26

Q2: Если 11

^{-й член} равен 47, а первый член равен 7. В чем разница между ними?

Решение:

a = 7 a ₁₁ = 47 n = 11 d =?

а ₁₁ = а + (п-1) д

47 = 7 + (11-1) д

47-7 = 10 дней

40 = 10 дней

д = 4

Общая разница (d) = 4.

Сумма первых n членов ряда AP:

Предположим, что это AP серий 1, 2, 3, 4, ……, 49, 50

Таким образом, сумма этих членов равна S ₅₀ = 1 + 2 + 3 + 4 +….+ 49 + 50 …… (1)

Запишите в обратном порядке получим

S ₅₀ = 50 + 49 + …… + 4 + 2 + 3 + 1 …… (2)

Теперь сложите уравнение 1 и 2

2 S ₅₀ = 51 + 51 + …… + 51 + 51 + 51 + 51 (50 раз)

2S ₅₀ = 50X51

S ₅₀ = 50X51 / 2

Теперь о n условиях AP

Первые n членов серии AP

a, a + d, a + 2d, ………. а + (п-2) г, а + (п-1) г

, поэтому S _n = a + (a + d) + (a + 2d) + ……. + [A + (n-2) d] + [a + (n-1) d]

Запишите в обратном порядке

S _n = [a + (n-1) d] + [a + (n-2) d] + …… + (a + d) + a

Теперь добавьте их

2S _n = [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] + ……… [2a + (n-1) d] + [2a + (n-1) d] …… (n терминов)

2S _n = n [2a + (n-1) d]

Sn = n / 2 [2a + (n-1) d]

S _n = n / 2 {a + a _n }; где a _n = a + (n-1) d = l (последний член)

Так S _n = n / 2 {a + l)

Q3: Найдите сумму первых 10 членов

11,17, 23, 29,35, …………

Решение:

Из уравнения a = 11 d = 6 n = 10

Итак, мы можем использовать формулу S _n = n / 2 (2a + (n-1) d)

S _n = 10/2 (2X 11+ (10-1) 6)

S _n = 5 (22 + 9X6)

S _n = 5 (22 + 54)

S _n = 5 (76)

S _n = 380

Q4: Найдите сумму этой последовательности…..

10,15,20,25,30, ………… .., 100

Решение:

Из уравнения a = 10; л = 100 г = 5

L = а + (n-1) d

100 = 10+ (п-1) 5

90 = (п-1) 5

90 = 5н-5

90 + 5 = 5n

95/5 = n

п = 19

Теперь мы можем использовать s _n = n / 2 (a + l)

S _n = 19/2 (10 + 100)

S _n = 19X110 / 2

S _n = 1045

Чтобы получить больше блогов о Arithmetic Progression и Math, зарегистрируйтесь сегодня бесплатно.

Чтобы получить помощь в решении задач по математике и домашних заданий по математике, позвоните нам по номеру +1 855 688 8867

Формула арифметической прогрессии, примеры — DewWool

Прогрессия — это последовательность чисел, для которой мы можем найти N-й член (любой член в последовательности) с помощью формулы. Мы можем легко предсказать числа в прогрессии. В математике есть три разных типа прогресса. Это арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и гармоническая прогрессия.В этой статье мы рассмотрим определение, формулу и примеры арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение арифметической прогрессии

Арифметическая последовательность или прогрессия — это математическая последовательность, в которой разница между двумя последовательными членами всегда постоянна. Это сокращенно AP. Например, в последовательности 3,9,15,21,27,33,39,45 …… разница между двумя последовательными числами является постоянным значением 6.Следовательно, это арифметическая прогрессия.

Общая разница

Разница между двумя последовательными числами называется общей разницей и обозначается буквой «d». Значение d должно быть фиксированным во всей последовательности. Если даже для одного случая значение d не является постоянным, тогда последовательность не является AP.

Примеры арифметической прогрессии Высота лестницы — пример арифметической прогрессии Изображение OpenClipart-Vectors с сайта Pixabay

Представьте себе высоту лестницы в сантиметрах — 100, 200, 300, 400 500….. Мы видим, что общая разница составляет 100.

Оценки, полученные студентом на последовательных экзаменах — 7, 20, 33, 46, 59, 72. Это AP из 6 семестров, где первый семестр равен 7, общая разница — 13, а последний семестр — 72.

Расстояние, пройденное автомобилем за каждый час в километрах (при равномерном движении) — 0, 50, 100, 150, 200…

Голы, забитые футбольной командой в 4 матчах подряд — 1, 2, 3, 4

Посетителей в тематическом парке в последовательные дни — 20 тысяч, 15 тысяч, 10 тысяч, 5 тысяч… Здесь общая разница -5000.

Формула арифметической последовательности

Если мы хотим найти какой-либо член (n-й член) в арифметической последовательности, формула должна помочь вам в этом. Важно найти точные известные значения из проблемы, которые в конечном итоге будут подставлены в саму формулу.

Формула арифметической прогрессии для n-го члена:

Чтобы узнать n-й член последовательности,

A _n = a ₁ + (n- 1) d

Где,

a _n — это член, который мы должны найти

a ₁ = первый член в последовательности

n — n-й член.

d — общая разница любой пары последовательных или смежных чисел

Формула суммы для арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1 или a, а общая разница — d.

• Сумма первых n членов арифметической прогрессии, когда n-й член неизвестен, составляет:

S _n = n / 2 [2a + (n-1) d]

• Сумма первых n членов арифметической прогрессии, когда n-й член, _n , известен как:

S _n = n / 2 [a ₁ + a _n ]

Числовые решаемые в арифметической прогрессии

1.Найдите значение n, если,

В AP, a = 10, d = -1 и a (n) = -20.

Из приведенной выписки,

а = 10,

д = -1

а (п) = -20

Применение формулы n-го члена для арифметической прогрессии,

а (п) = а + (п-1) г

-20 = 10 + (п-1) (-1)

— 20 = 11 — п

N = 31

То есть количество членов в этой арифметической прогрессии n = 18.

2. Найдите сумму первых 30 кратных 3.

Из приведенной выписки,

а = 3,

п = 30

д = 3

Применение формулы суммы для арифметической прогрессии,

S = n / 2 [2a + (n — 1) × d]

= 30/2 [2 (3) + (30 — 1) × 3]

= 15 [6 + 87]

S = 1395

См. Также

Разница между арифметической прогрессией и арифметической последовательностью (с таблицей)

Мир, в котором мы живем, состоит из многих вещей, будь то деревья, облака, реки, горы, здания, дома, транспортные средства, типы еды и религия.Но люди часто забывают упомянуть самый важный компонент, который поддерживает систему в этом мире, и этот компонент — числа. Цифры присутствуют повсюду, будь то номер дома, номер телефона или цифры, которые определяют нас от количества свойств, которые у нас есть, до количества оценок, которые мы получаем на экзаменах, до количества богатства, которое у нас есть, до количества неудач и успехов.

Это определяет причину, по которой всем нужно изучать и понимать математику. Математика имеет различные ветви, и два основных компонента математики — это арифметическая прогрессия и арифметическая последовательность.

Арифметическая прогрессия и арифметическая последовательность

Разница между арифметической прогрессией и арифметической последовательностью заключается в том, что арифметическая прогрессия — это последовательность, имеющая общее различие, которое составляет до n-го члена. Арифметическая последовательность или арифметическая последовательность — это сумма элементов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это любое количество последовательностей в любом диапазоне, дающее общее различие. Например, возьмите диапазон от 1,2,3,4, — до любого числа, теперь разница между числом и его последующим номером будет общей для любых двух чисел в этом диапазоне.

Арифметическая последовательность — это группа чисел или диапазонов чисел с определенной последовательностью. Если число в этой последовательности вычесть из его предыдущего числа, мы получим разницу, которая будет общей с разницей любых двух чисел в этом диапазоне. Например, возьмите последовательность из 5,10,15,20 — теперь эта последовательность будет иметь общую разницу в 5.

---

Таблица сравнения арифметической прогрессии и арифметической последовательности (в табличной форме)

Параметр сравнения	Арифметическая прогрессия	Арифметическая последовательность
Концепция	Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел в диапазоне, имеющем общую разницу, обозначенную d.Эта серия продолжается до n-го члена.	Арифметическая последовательность или арифметическая последовательность — это сумма элементов арифметической прогрессии, имеющих общую разницу, обозначенную буквой d.
Формула	Формула, используемая для арифметической прогрессии: Пусть Ln обозначает n-й член в серии арифметической прогрессии, он рассчитывается следующим образом: · L1 + Ln = L2 + Ln-1 =… = Lk + Ln-k + 1 · Ln = ½ (Ln-1 + Ln + 1) · Ln = L1 + (n — 1) d, где n равно 1, 2,…	Формула, используемая для арифметической последовательности или арифметической последовательности составляет: Пусть M обозначает сумму · M = ½ (L1 + Ln) n · M = ½ (2L1 + d (n-1)) n
Использует	Арифметическая прогрессия используется в банковском деле, бухгалтерском учете , и для расчета баланса и используется в денежной работе.Используется в услугах, связанных с финансами. Также используется в архитектуре и строительстве.	Арифметическая последовательность или арифметическая последовательность используется в архитектуре, строительстве, строительстве машин и других вещей с точными диаметрами, также используемых в финансах и банковском деле.
Диапазон	Арифметическая прогрессия состоит из ряда любого диапазона до n-го члена. Эта серия имеет общее различие, полученное путем вычитания числа из предыдущего числа.	Арифметическая последовательность или арифметическая последовательность состоит из серии в диапазоне до бесконечности.
Различия	Арифметическая прогрессия используется для определения пропущенного члена или n-го члена этого конкретного ряда путем определения общего различия из ряда.	Арифметическая последовательность или арифметическая последовательность используется для определения суммы путем взятия элементов арифметической прогрессии, таких как n-й член, общая разница.

---

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это последовательность или диапазон элементов, которые используются для вычисления различных терминов, таких как общая разница и n-й член.Общее различие должно быть общим для каждого элемента в серии, которая вычитается из его предыдущего элемента, чтобы называться серией арифметической прогрессии.

Например, возьмем ряд вроде 3,6,9,12 — n-й член, теперь, когда вы вычитаете 3 из 6 или вычитаете 6 из 9 и так далее, вы получаете общую разницу 3, это говорит нам, что ряд арифметическая прогрессия, поскольку общее различие является последовательным.

Что такое арифметическая последовательность?

Арифметическая последовательность или арифметическая последовательность — это сумма элементов арифметической прогрессии, имеющих общую разницу и n-й член.Для вычисления суммы первый член и последний член ряда складываются, затем сумма этих членов умножается на 1/2, а результат умножается на количество членов в ряду.

Например, возьмем ряд типа 4,8,12,16 — nth, теперь L1 — это первый член, а n-й член может быть обозначен как Ln. Добавьте L1 и Ln, и сумма этих членов будет умножена на 1/2 и количество членов в серии.

---

Основные различия между арифметической прогрессией и арифметической последовательностью

• Арифметическая прогрессия — это серия указанного диапазона, имеющая общее различие, которое получается путем вычитания двух элементов в серии.
• Арифметическая последовательность — это сумма, которая получается элементами ряда арифметической прогрессии.
• Арифметическая прогрессия используется в банковской, финансовой и денежно-кредитной сферах, а также в некоторых ситуациях, связанных со строительством.
• Арифметическая последовательность используется в строительстве и строительстве и в основном в архитектуре.
• Арифметическая прогрессия может использоваться для определения n-го члена и общей разницы, тогда как арифметическая последовательность используется для определения суммы элементов арифметической прогрессии.

---

Будь то арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность, оба являются важной частью математики, которая во многих отношениях помогает нам в нашей повседневной жизни, будь то финансовые расчеты или ситуации с деталями, будь то в архитекторе или при строительстве любого здания или объекта.