А в пятой степени а: упростите выражения: (а в 5 степени)во 2 степени:а в 9 степени*а в 3 степени

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра — Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы

      Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,
(x + y)4 = (x + y)3(x + y)

и т.д.

      Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 1. – Степень суммы

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)
суммы		(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Куб (третья степень) суммы(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
……

Квадрат (вторая степень) суммы

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

Куб (третья степень) суммы

(x + y)3 =
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Четвертая степень суммы

(x + y)4 = x4 + 4x3y +
+ 6x2y2 + 4xy3 + y4

Пятая степень суммы

(x + y)5 = x5 + 5x4y +
+ 10x3y2 +
+ 10x2y3 +
+ 5xy4 + y5

Шестая степень суммы

(x + y)6 = x6 + 6x5y +
+ 15x4y2 +
+ 20x3y3 +
+ 15x2y4 + 6xy5 + y6

…

      Общая формула для вычисления суммы

(x + y)n

с произвольным натуральным значением   n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

      Если в формулах из Таблицы 1 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

      Таблица 2. – Степень разности

Название формулыФормула
Квадрат (вторая степень)
разности		(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Куб (третья степень) разности(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Четвертая степень разности(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности(x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
Шестая степень разности(x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6
……

Квадрат (вторая степень) разности

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Куб (третья степень) разности

(x – y)3 =
= x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Четвертая степень разности

(x – y)4 = x4 – 4x3y +
+ 6x2y2 – 4xy3 + y4

Пятая степень разности

(x – y)5 = x5 – 5x4y +
+ 10x3y2 –
– 10x2y3 +
+ 5xy4– y5

Шестая степень разности

(x – y)6 = x6 – 6x5y +
+ 15x4y2 –
– 20x3y3 +
+ 15x2y4 – 6xy5 + y6

…

Квадрат многочлена

      Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

      Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

      Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

(x + y + z)3 =
= x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+ 3x2z + 3xy2 +
+ 3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .

     Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени

Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.

Так      2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
     2.2.2 = 8, куб или третья степень.
     2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также,      10.10 = 100, вторая степень 10.
     10.10.10 = 1000, третья степень.
    10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И      a.a = aa, вторая степень a
     a.a.a = aaa, третья степень a
     a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель

. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a.      Но a4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать

неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении ax, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, bm и dn возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда bm = b
3; но если m = 5, тогда bm=b5.

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a3 + 3a2b + 3a2d + 3ab2 + 6abd + 3ad2 + b3 + d3.

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель

, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде      aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или        a5, a4, a3, a2, a1;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a2, второй член. И a3.a = a4
     a2.a = a3, третий член. a4.a = a5.

Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a5:a = a4

     и a3:a = a2.
a4:a = a3       a2:a = a1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
     1:a = 1/a      (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a5, a4, a3, a2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a3) = a3.

Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b)3, (a + b)2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a1 = a-1. И 1/aaa или 1/a3 = a-3.
1/aa или 1/a2 = a-2. 1/aaaa или 1/a4 = a-4.

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a

0.

Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать      a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
Или      a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
     +4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa)2 есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa)3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a

4 или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y6 или yyyyyy.
N-ая степень x есть xn или xxx….. n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay)2 =a2y2; (ay)2 = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a2y2.
Так, (bmx)3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b3m3x3.

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)4, или d4h4y4.

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)3, или 43b3, или 64b3.

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)n или 6nandn.

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)3, или 27m3.8y3.

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b)1 = a + b, первая степень.
(a + b)1
= a2 + 2ab + b2, вторая степень (a + b).
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, третья степень.
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, четвертая степень.

Квадрат a — b, есть a2 — 2ab + b2.

3 + 3a2 + 3a + 1.

Квадрат a + b + h есть a2 + 2ab + 2ah + b2 + 2bh + h2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.

Квадраты суммы суммы

и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a2 + 2ah + h2      также, (a — h)(a — h) = a2 — 2ah + h2.

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат

разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a2 + 4ab + b2.

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a2b2 + 2abcd + c2d2.

Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h2.

Пример 4. Квадрат a — 1 есть a2 — 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b)2.
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]2 или (a + b)2.(c + d)2.

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]3, или a3.(b + d)3.

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.


Вторая степень (- a) есть +a2
Третья степень (-a) есть -a3
Четвёртая степень (-a) есть +a4
Пятая степень (-a) есть -a5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a2
И -a.-a = +a2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a2 есть a2.3 = a6.

Для a2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a6; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a2.

Четвертая степень a3b2 есть a3.4b2.4 = a12b8

Третья степень 4a2x есть 64a6x3.

Пятая степень (a + b)2 есть (a + b)10.

N-ая степень a3 есть a3n

N-ая степень (x — y)m есть (x — y)mn

(a3.b3)2 = a6.b6

(a3b2h4)3 = a9b6h12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a-2 есть a-3.3=a-6.

Для a-2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a6 = a-6

Четвертая степень a2b-3 есть a8b-12 или a8/b12.

Квадрат b3x-1, есть b6x-2.

N-ая cтепень ax-m есть x-mn или 1/x.

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a3 есть +a6. Квадрат -a3 есть -a3.-a3, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a6.

2. Но куб -a3 есть -a9. Для -a3.-a3.-a3 = -a9.

3. N-ая степень -a3 есть a3n.

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a2/b2. Согласно правилу умножению дробей,
     (a/b)(a/b) = aa/bb = a2b2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a2, 1/a3 и 1/an.

Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
(x + 1/2)2 = x2 + 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 + x + 1/4
(x — 1/2)2 = x2 — 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 — x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x2 + bx + b2/4.

4 Квадрат x — b/m есть x2 — 2bx/m + b2/m2.

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.

Так, в дроби ax-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax-2/y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

В дроби a/by3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by2 = (a/b).(1/y3) = (a/b).y-3 = ay-3/b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax3/b = a/bx-3. Для x3 обратным есть x-3, что есть x3 = 1/x-3.

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.

Таблица степеней 🆕

Основные понятия

Степень числа — это результат многократного умножения числа на себя. Само число называют основанием степени, а количество операций умножения — показателем степени.

Показатель степени всегда натуральное число — это значит, что его можно использовать при счете или перечислении предметов:

  • an = a * a *…* a, где a — основание степени,
  • n — натуральный показатель степени.

Запись читается, как «a» в степени «n».

Вот пример для наглядности:

  • 35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243

Эту запись можно прочитать тремя способами:

  • 3 в 5 степени;
  • пятая степень числа три;
  • возвести число три в пятую степень.

Свойства степеней

Свойства степеней обычно используют, чтобы сократить или упростить сложные примеры. Удобно использовать вместе с таблицей степеней и таблицей умножения.

a1 = а

a0 = 1

(a ≠ 0)

a-n = 1 : an

am * an = am+n

am : an = am-n

(a * b)n = an * bn

(am)n = am*n

(a : b)n = an : bn

Таблица степеней от 1 до 10

Таблица степеней — это перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от 1 до 10. Ниже приведены два вида таблиц, выберите ту, которая удобнее для вас — скачайте на телефон или распечатайте и положите в учебник.

Как найти необходимые значения в этой таблице:

  • В первом столбце находим число, которое обозначает степень. Запомним номер этой строки.
  • В первой строке находим показатель степени. Запомним найденный столбец.
  • На пересечении строки и столбца находится ответ.

В этой табличке мы просто ищем нужное нам число в степени и получаем ответ.

А если ответ нужно получить как можно быстрее, можно использовать онлайн калькулятор. Вот несколько подходящих:

Алгебра — предмет серьезный: при переходе в новый класс багаж формул и правил будет только увеличиваться. Поэтому важно запоминать все последовательно и практиковаться на примерах.

Решение задач

Задание 1. Упростить и решить выражение 52* 53.

Как решаем:

52 * 53 = 52+3 = 55 = 3125

Задание 2. Упростить и решить выражение 24* 33* 25.

Как решаем:

24 * 33 * 25 = 24+5 * 33 = 29 * 33 = 512 * 27 = 13824

Задание 3. Найти 364.

Как решаем:

При условии, что у нас есть только таблица до 10, разложим основание степени на множители:

364 = 64 * 64 = 1296 * 1296 = 1679616

364 = 64 * 64 = 68 = 1679616

Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Тема 15.

Определение корня n-ой степени. Свойства арифметического корня n-ой степени.

Давай вспомним, что квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а. Аналогично определяется корень любой натуральной степени n.

Итак, корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Например, корнем пятой степени из 32 является число 2, так как 25=32, корнем четвертой степени из 81 является каждое из чисел 3 и -3, так и 34=81 и (-3)4=81. Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем.

Если n — нечетное число, то выражение an имеет смысл при любом a; если n — четное число, то выражение an имеет смысл при a≥0.

Из определения корня n-ой степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение anимеет смысл, верно равенствоann=a.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. Например,

-83=-83=-2

Значит, при любом положительном a и нечетном n верно равенство:

-an=-an

Решим уравнение: x6 = 7. Корнями уравнения служат числа, шестая степень которых равна 7. И таких чисел два: 76 и -76.

Решим уравнение x3 = 27. Уравнение имеет единственный корень, это число, третья степень которого равна 27, то есть 273=3.

Рассмотрим свойства арифметического корня n-ой степени.

  1. Если a≥0 и b≥0, то abn=anbn

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Например, найдем значение выражения 16∙814=164∙814=2∙3=6

  1. Если a≥0 и b>0, то abn=anbn

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Например, найдем значение выражения 210273=64273=643273=43=113.

  1. Если n и k – натуральные числа и a≥0, то akn=ank
  2. Если n,k и m – натуральные числа и a≥0, то amknk=amn

Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислим значение выражения:

1353∙253=135∙253=27∙5∙253=27∙1253=3∙5=15

5106212∙526=510∙212∙526=512∙2126=10126=102=100

8-373∙8+373=8-378+373=64-373=273=3

📝Таблица чисел от 1 до 25 в степени от 1 до 10

При решении разных математических упражнений часто приходится заниматься возведением числа степень, в основном от 1 до 10. И для того, что бы быстрее находить эти значения и нами создана таблицу степеней по алгебре, которую я опубликую на этой странице.

Также у нас вы можете посмотреть таблицы квадратов и кубов.

Для начала рассмотрим числа от 1 до 6. Результаты здесь ещё не очень большие все из них вы можете проверить на обычном калькуляторе.

  • 1 и 2 в степени от 1 до 10
    11= 1
    12= 1
    13= 1
    14= 1
    15= 1
    16= 1
    17= 1
    18= 1
    19= 1
    110= 1    		21= 2
    22= 4
    23= 8
    24= 16
    25= 32
    26= 64
    27= 128
    28= 256
    29= 512
    210= 1 024
  • 3 и 4 в степени от 1 до 10
    3 1 = 3
    3 2 = 9
    3 3 = 27
    3 4 = 81
    3 5 = 243
    3 6 = 729
    3 7 = 2 187
    3 8 = 6 561
    3 9 = 19 683
    3 10 = 59 049    		4 1 = 4
    4 2 = 16
    4 3 = 64
    4 4 = 256
    4 5 = 1 024
    4 6 = 4 096
    4 7 = 16 384
    4 8 = 65 536
    4 9 = 262 144
    4 10 = 1 048 576
  • 5 и 6 в степени от 1 до 10
    5 1 = 5
    5 2 = 25
    5 3 = 125
    5 4 = 625
    5 5 = 3 125
    5 6 = 15 625
    5 7 = 78 125
    5 8 = 390 625
    5 9 = 1 953 125
    5 10 = 9 765 625    		6 1 = 6
    6 2 = 36
    6 3 = 216
    6 4 = 1 296
    6 5 = 7 776
    6 6 = 46 656
    6 7 = 279 936
    6 8 = 1 679 616
    6 9 = 10 077 696
    6 10 = 60 466 176
  • 7 и 8 в степени от 1 до 10
    7 1 = 7
    7 2 = 49
    7 3 = 343
    7 4 = 2 401
    7 5 = 16 807
    7 6 = 117 649
    7 7 = 823 543
    7 8 = 5 764 801
    7 9 = 40 353 607
    7 10 = 282 475 249    		8 1 = 8
    8 2 = 64
    8 3 = 512
    8 4 = 4 096
    8 5 = 32 768
    8 6 = 262 144
    8 7 = 2 097 152
    8 8 = 16 777 216
    8 9 = 134 217 728
    8 10 = 1 073 741 824
  • 9 и 10 в степени от 1 до 10
    9 1 = 9
    9 2 = 81
    9 3 = 729
    9 4 = 6 561
    9 5 = 59 049
    9 6 = 531 441
    9 7 = 4 782 969
    9 8 = 43 046 721
    9 9 = 387 420 489
    9 10 = 3 486 784 401    		10 1 = 10
    10 2 = 100
    10 3 = 1 000
    10 4 = 10 000
    10 5 = 100 000
    10 6 = 1 000 000
    10 7 = 10 000 000
    10 8 = 100 000 000
    10 9 = 1 000 000 000
    10 10 = 10 000 000 000
  • 11 и 12 в степени от 1 до 10
    11 1 = 11
    11 2 = 121
    11 3 = 1 331
    11 4 = 14 641
    11 5 = 161 051
    11 6 = 1 771 561
    11 7 = 19 487 171
    11 8 = 214 358 881
    11 9 = 2 357 947 691
    11 10 = 25 937 424 601    		12 1 = 12
    12 2 = 144
    12 3 = 1 728
    12 4 = 20 736
    12 5 = 248 832
    12 6 = 2 985 984
    12 7 = 35 831 808
    12 8 = 429 981 696
    12 9 = 5 159 780 352
    12 10 = 61 917 364 224
  • 13 и 14 в степени от 1 до 10
    13 1 = 13
    13 2 = 169
    13 3 = 2 197
    13 4 = 28 561
    13 5 = 371 293
    13 6 = 4 826 809
    13 7 = 62 748 517
    13 8 = 815 730 721
    13 9 = 10 604 499 373
    13 10 = 137 858 491 849    		14 1 = 14
    14 2 = 196
    14 3 = 2 744
    14 4 = 38 416
    14 5 = 537 824
    14 6 = 7 529 536
    14 7 = 105 413 504
    14 8 = 1 475 789 056
    14 9 = 20 661 046 784
    14 10 = 289 254 654 976
  • 15 и 16 в степени от 1 до 10
    15 1 = 15
    15 2 = 225
    15 3 = 3 375
    15 4 = 50 625
    15 5 = 759 375
    15 6 = 11 390 625
    15 7 = 170 859 375
    15 8 = 2 562 890 625
    15 9 = 38 443 359 375
    15 10 = 576 650 390 625    		16 1 = 16
    16 2 = 256
    16 3 = 4 096
    16 4 = 65 536
    16 5 = 1 048 576
    16 6 = 16 777 216
    16 7 = 268 435 456
    16 8 = 4 294 967 296
    16 9 = 68 719 476 736
    16 10 = 1 099 511 627 776
  • 17 и 18 в степени от 1 до 10
    17 1 = 17
    17 2 = 289
    17 3 = 4 913
    17 4 = 83 521
    17 5 = 1 419 857
    17 6 = 24 137 569
    17 7 = 410 338 673
    17 8 = 6 975 757 441
    17 9 = 118 587 876 497
    17 10 = 2 015 993 900 449    		18 1 = 18
    18 2 = 324
    18 3 = 5 832
    18 4 = 104 976
    18 5 = 1 889 568
    18 6 = 34 012 224
    18 7 = 612 220 032
    18 8 = 11 019 960 576
    18 9 = 198 359 290 368
    18 10 = 3 570 467 226 624
  • 19 и 20 в степени от 1 до 10
    19 1 = 19
    19 2 = 361
    19 3 = 6 859
    19 4 = 130 321
    19 5 = 2 476 099
    19 6 = 47 045 881
    19 7 = 893 871 739
    19 8 = 16 983 563 041
    19 9 = 322 687 697 779
    19 10 = 6 131 066 257 801    		20 1 = 20
    20 2 = 400
    20 3 = 8 000
    20 4 = 160 000
    20 5 = 3 200 000
    20 6 = 64 000 000
    20 7 = 1 280 000 000
    20 8 = 25 600 000 000
    20 9 = 512 000 000 000
    20 10 = 10 240 000 000 000
  • 21 и 22 в степени от 1 до 10
    21 1 = 21
    21 2 = 441
    21 3 = 9 261
    21 4 = 194 481
    21 5 = 4 084 101
    21 6 = 85 766 121
    21 7 = 1 801 088 541
    21 8 = 37 822 859 361
    21 9 = 794 280 046 581
    21 10 = 16 679 880 978 201    		22 1 = 22
    22 2 = 484
    22 3 = 10 648
    22 4 = 234 256
    22 5 = 5 153 632
    22 6 = 113 379 904
    22 7 = 2 494 357 888
    22 8 = 54 875 873 536
    22 9 = 1 207 269 217 792
    22 10 = 26 559 922 791 424
  • 23 и 24 в степени от 1 до 10
    23 1 = 23
    23 2 = 529
    23 3 = 12 167
    23 4 = 279 841
    23 5 = 6 436 343
    23 6 = 148 035 889
    23 7 = 3 404 825 447
    23 8 = 78 310 985 281
    23 9 = 1 801 152 661 463
    23 10 = 41 426 511 213 649    		24 1 = 24
    24 2 = 576
    24 3 = 13 824
    24 4 = 331 776
    24 5 = 7 962 624
    24 6 = 191 102 976
    24 7 = 4 586 471 424
    24 8 = 110 075 314 176
    24 9 = 2 641 807 540 224
    24 10 = 63 403 380 965 376
  • 25 в степени от 1 до 10
    25 1 = 25
    25 2 = 625
    25 3 = 15 625
    25 4 = 390 625
    25 5 = 9 765 625
    25 6 = 244 140 625
    25 7 = 6 103 515 625
    25 8 = 152 587 890 625
    25 9 = 3 814 697 265 625
    25 10 = 95 367 431 640 625

Хочу напомнить:

Для того, что бы возвести число «a» в степень «b» надо «a» умножить само на себя «b» раз!

Вот, например, в начале изучения компьютера мы рассматриваем двоичный код – то есть язык, на котором «разговаривает» компьютер. И там часто используются разные степени двойки, которые надо знать. От вы знаете, сколько будет два в восьмой?

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Таблица степеней по алгебре

На этой странице размещена таблица степеней от 2 до 10 для натуральных чисел от 1 до 20. Пример использования: находим в таблице число 9 (слева), затем во втором столбике видим квадрат числа, который равен 81. В третьем столбце таблицы значения кубов. Смотрите также: таблица квадратов, таблица корней.

https://uchim.org/matematika/tablica-stepenej — uchim.org

Таблица степеней

Пример: 23=8
Степень:
Число2345678910
2481632641282565121 024
3927812437292 1876 56119 68359 049
416642561 0244 09616 38465 536262 1441 048 576
5251256253 12515 62578 125390 6251 953 1259 765 625
6362161 2967 77646 656279 9361 679 61610 077 69660 466 176
7493432 40116 807117 649823 5435 764 80140 353 607282 475 249
8645124 09632 768262 1442 097 15216 777 216134 217 7281 073 741 824
9817296 56159 049531 4414 782 96943 046 721387 420 4893 486 784 401
101001 00010 000100 0001 000 00010 000 000100 000 0001 000 000 00010 000 000 000
111211 33114 641161 0511 771 56119 487 171214 358 8812 357 947 69125 937 424 601
121441 72820 736248 8322 985 98435 831 808429 981 6965 159 780 35261 917 364 224
131692 19728 561371 2934 826 80962 748 517815 730 72110 604 499 373137 858 491 849
141962 74438 416537 8247 529 536105 413 5041 475 789 05620 661 046 784289 254 654 976
152253 37550 625759 37511 390 625170 859 3752 562 890 62538 443 359 375576 650 390 625
162564 09665 5361 048 57616 777 216268 435 4564 294 967 29668 719 476 7361 099 511 627 776
172894 91383 5211 419 85724 137 569410 338 6736 975 757 441118 587 876 4972 015 993 900 449
183245 832104 9761 889 56834 012 224612 220 03211 019 960 576198 359 290 3683 570 467 226 624
193616 859130 3212 476 09947 045 881893 871 73916 983 563 041322 687 697 7796 131 066 257 801
204008 000160 0003 200 00064 000 0001 280 000 00025 600 000 000512 000 000 00010 240 000 000 000
214419 261194 4814 084 10185 766 1211 801 088 54137 822 859 361794 280 046 58116 679 880 978 201
2248410 648234 2565 153 632113 379 9042 494 357 88854 875 873 5361 207 269 217 79226 559 922 791 424
2352912 167279 8416 436 343148 035 8893 404 825 44778 310 985 2811 801 152 661 46341 426 511 213 649
2457613 824331 7767 962 624191 102 9764 586 471 424110 075 314 1762 641 807 540 22463 403 380 965 376
2562515 625390 6259 765 625244 140 6256 103 515 625152 587 890 6253 814 697 265 62595 367 431 640 625

Свойства степени — 2 части

Таблица основных степеней по алгебре в компактном виде (картинка, удобно, чтобы распечатать), сверху числа, сбоку степени:


(можно открыть в новом окне, нажав на картинку)

Полную математическую таблицу можно бесплатно скачать, просто сохранив картинку выше с помощью правой кнопки мыши.

Всё для учебы » Математика в школе » Таблица степеней по алгебре

Свойства логарифмов и примеры их решений

Начнем с простого: допустим, что \( a=1\). Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили \( 1\), всегда получается \( 1\).

Более того, \( \displaystyle {{\log }_{1}}b\) не существует ни для какого \( \displaystyle b\ne 1\).

Но при этом \( \displaystyle {{\log }_{1}}1\) может равняться чему угодно (по той же причине – \( 1\) в любой степени равно \( 1\)).{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот \( \displaystyle {{\log }_{-4}}2\) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, \( \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)\) не существует, так как \( 2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \( \displaystyle {{\log }_{2}}0\) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

Вспомним определение: логарифм \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \( x\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle \left( x+2 \right)\).{2}}-x-2=0\).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \( 1\), а произведение \( -2\). Легко подобрать, это числа \( 2\) и \( -1\).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

\( \displaystyle x=2\text{: }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2\) – верно.

\( \displaystyle x=-1\text{: }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \( x=-1\) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

Тогда, получив корни \( x=2\) и \( x=-1\), сразу отбросим корень \( -1\), и напишем правильный ответ.{2}}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.\)

Казалось бы, меньший корень равен \( \displaystyle -2\). Но это не так: согласно ОДЗ корень \( \displaystyle x=-2\) – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( \displaystyle x=2\).

Ответ: \( \displaystyle x=2\).

Степени и экспоненты

Степень — это произведение числа на себя.


Обычно степень представлена ​​с помощью основного числа и показателя степени. Базовое число сообщает , какое число умножается. Показатель , — небольшое число, написанное выше и справа от основного числа, сообщает , сколько раз умножается базовое число.

Например,? 6 в 5-й степени? можно записать как? 6 5 .? Здесь базовое число 6, а показатель степени 5. Это означает, что 6 умножается само на себя 5 раз: 6 x 6 x 6 x 6 x 6

6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7,776 или 6 5 = 7,776

базовый номер 2-я степень 3-я степень 4-я степень 5-я степень
1 1 1 1 1
2 4 8 16 32
3 9 27 81 243
4 16 64 256 1,024
5 25 125625 3,125
6 36 216 1,296 7,776
7 49 343 2,401 16,807
8 64 512 4,096 32,768
9 81 729 6,561 59,049
10 100 1,000 10,000 900 100,000
11 121 1,331 14,641 161,051
12 144 1,728 20,736 248832

Факториалы Таблица умножения чисел и формулcom: Пятая сила для отношений: 5 ключевых секретных способностей найти свою вторую половинку (Знакомства для любви): свидания, книги о свиданиях для женщин, свидания для мужчин, снова свидания, книги для свиданий для мужчин, «как найти любовь», электронная книга: Krahl , Джефф: Магазин Kindle

# 1 Бестселлер на Amazon

Перестаньте быть одиноким и найдите любовь благодаря «Пятой силе для отношений: 5 ключевых секретных способностей, чтобы найти свою вторую половинку»; Обязательная электронная книга, подаренная вам Джеффом Кралом!

Вы давно не замужем и хотите вернуться в игру, но чувствуете себя неподготовленным и неуверенным в себе? Или, может быть, вы слишком заняты работой, чтобы найти время и силы, на которые уходит свидание?

Из-за долгой работы и соблюдения срочных сроков довольно сложно сосредоточиться на личной жизни.Разве не было бы проще, если бы кто-нибудь показал вам простой способ найти вторую половинку?

Что ж, у нас для вас отличные новости, потому что Джефф Крал здесь, чтобы помочь вам — и он не просто «кто-то». Он нашел свою вторую половинку менее чем за 120 дней, а также помог другим найти свою вторую половинку. Что было бы для вас, если бы вы нашли свою вторую половинку менее чем за 120 дней? Что ж, это возможно и сделано! На самом деле, имея за плечами более 25000 часов коучинга и помогая тысячам людей достичь лучших результатов в своем бизнесе и личной жизни, мы бы сказали, что в поисках любви нет никого, кому лучше доверять!

Откройте для себя 5 ключевых тайных способностей, которые приведут вас к любви

В это может показаться трудно поверить, но если вы последуете простым и понятным шагам Джеффа, очень скоро вы откроете свое сердце для встречи с кем-нибудь особый.

Эта книга включает в себя все, что вам нужно знать, от выяснения того, что останавливало вас до сих пор, до помощи во избежание типичных ошибок и ловушек, которые могут стоить вам отношений, которые вы хотите, а также:

  • Как стать правильным путь поиска идеального партнера
  • Как избежать установления отношений, которые не развиваются
  • Как вы можете отличить свою половинку и привлечь их

    • И многое, многое другое, что приведет вас к глубокому, истинному любовь, безмятежность и счастье — конечно же, с человеком, с которым вы можете ими поделиться!

    Вне зависимости от того, переживаете ли вы по-прежнему от прошлых отношений, разрыва или развода, вы были одиноки в течение многих лет, у вас нет времени сейчас, вы делаете вид, что счастливы, будучи одинокими, вы слишком заняты в своей карьере для отношений, вы сейчас активно встречаетесь, или вы ждете и молитесь, чтобы ваша вторая половинка пришла и нашла вас, или вы тоже можете найти глубокую и неизменную любовь один человек, с которым вы должны были провести свою жизнь: ваша вторая половинка, спутник жизни, спутник жизни, идеальный партнер или «тот», как бы вы его ни называли.

    Эта книга лучше всего подходит для людей, которые серьезно настроены быстро найти свою вторую половинку.

    Так что откройте электронную книгу прямо сейчас и измените свою жизнь навсегда!

    Если вы хотите иметь больше Любви, Счастья, Умиротворения, Мира, Радости, Удовлетворения, Веселья, Выполнения, веселого, веселого, веселого, довольного, нежности, нежности, близости, привязанности, нежности, любимого, дорогого, возлюбленного , поклонник, секс, интимный, страсть, возлюбленная, настоящая любовь, валентинка, обожаю, привязанность, любимый, Свидания, Книги для знакомств для женщин, Знакомства для мужчин, Еще раз свидания, Книги для свиданий для мужчин, Как найти любовь, сердцеед, поцелуй, увлечение , семейная любовь, неразлучники, тоска по любви, как, лунатик, романтика, романтичный, настоящая любовь, искра, милая, уважение, нежность, доверие, подлинный, целостность, компаньон, товарищеские отношения, отношения, сердце, душа, существо, живость, жизнеспособность, искра , блаженство, эйфория, смех, удовольствие, экстаз и связь, тогда эта книга для вас.

    Эта книга была создана, чтобы помочь людям всех профессий найти любовь, независимо от того, какие препятствия стоят на их пути. Независимо от того, являетесь ли вы мужчиной, женщиной, предпринимателем, профессионалом, владельцем бизнеса, родителем-одиночкой или любым другим профессионалом, эта книга для вас.

    ПОЛУЧИТЕ БОНУС на моем сайте www.jeffkrahl.com

    Уловка пятого корня | Найдите 5-й корень в своей голове

    У Numberphile есть хорошее видео о трюке с корнем пятой степени: кто-то возводит двузначное число в пятую степень, читает его вслух, и вы сразу же сообщаете им, какое это было число.

    Вот вкратце трюк. Для любого числа n , n 5 оканчивается той же последней цифрой, что и n . Вы можете доказать это грубой силой или теоремой Эйлера. Поэтому, когда кто-то говорит вам n 5 , вы сразу узнаете последнюю цифру. Теперь вам нужно найти первую цифру, и вы можете сделать это, приблизительно изучив степени (10k) 5 для i = 1, 2, 3,…, 9. Затем вы можете определить первую цифру с помощью диапазон.

    Вот где видео немного расплывчато. В нем говорится, что вам не нужно очень точно знать степень 10 k . Это правда, но насколько точно и вам нужно знать диапазоны?

    Если двузначное число кратно 10, вы узнаете нули в конце, а последняя ненулевая цифра — это первая цифра n . Например, если n 5 = 777 600 000, то вы знаете, что n кратно 10, а поскольку последняя ненулевая цифра равна 6, n = 60.5 | | — + ————— + ————— | | 1 | 59 049 | 161,051 | | 2 | 2,476,099 | 4,084,101 | | 3 | 20,511,149 | 28 629 151 | | 4 | 90,224,199 | 115,856,201 | | 5 | 282 475 249 | 345 025 251 | | 6 | 714,924,299 | 844,596,301 | | 7 | 1,564,031,349 | 1 804 229 351 | | 8 | 3,077,056,399 | 3 486 784 401 | | 9 | 5,584,059,449 | 6,240,321,451 | | — + ————— + ————— |

    Таким образом, любая пятая степень меньше миллиона имеет однозначный корень пятой степени.Любое число от 1 до 3 миллионов имеет первую цифру 1. И т. Д.

    Если хотите, можете выбрать следующие границы.

     | --- + ---------------- |
| k | верхняя граница |
| --- + ---------------- |
| 1 | 1,000,000 |
| 2 | 3,000,000 |
| 3 | 25,000,000 |
| 4 | 100,000,000 |
| 5 | 300,000,000 |
| 6 | 800,000,000 |
| 7 | 1,700,000,000 |
| 8 | 3,200,000,000 |
| 9 | 6,000,000,000 |
| --- + ---------------- |

    В видеоролике Numberphile говорится, что вам нужно попросить кого-нибудь произнести номер вслух, словами.Итак, как только вы услышите «шесть миллиардов…», вы узнаете, что первая цифра n — 9. Если вы слышите «пять миллиардов» или «четыре миллиарда», вы знаете, что первая цифра — 8. Если вы слышите «три миллиарда». », Тогда вы должны обратить внимание на следующее число, чтобы решить, будет ли первая цифра 7 или 8. Когда вы услышите несколько первых слогов числа, вы можете перестать обращать внимание, пока не услышите последний или два слога.

    Должны ли мы спасти Землю или отказаться от нее ради звезд? Анонс следующего романа Рутанны Эмрис «Пятая сила

    »

    Получив удовольствие от наблюдения за Рутанной Эмрис, перевернувшей мифы Ктулху с ног на голову своими новаторскими романами финалистов премии Локус и Кроуфорд Winter Tide и Deep Roots , читатели с нетерпением ждали, что ждет автора дальше.Я рад дать ответ. В своем следующем романе « Пятая сила » Рутанна Эмрис с нетерпением ждет ближайшего будущего, того времени, когда искренние усилия человечества по обращению вспять изменения климата вступят в конфликт с прибытием инопланетян в Чесапикский залив, которые настаивают на том, что это единственный путь. выжить — значит оставить хрупкую колыбель Земли и присоединиться к ним среди звезд.

    The Fifth Power исследует противоречие между стремлением спасти нашу планету и стремлением убежать к звездам, и с ее опытом защиты интеллектуальных систем управления, которые уважают как человеческие потребности, так и экологические требования, Рутанна Эмрис — идеальный автор рассказать эту историю. The Fifth Power , как ожидается, будет опубликован в середине 2020 года, он был приобретен в рамках сделки с Кэмероном МакКлюром из литературного агентства Дональда Маасса.

    Рутанна Эмрис живет в таинственном особняке на окраине Вашингтона, округ Колумбия, со своей женой и их большой странной семьей. Ее рассказы появлялись на многих площадках, включая Strange Horizons , Analog и Tor.com . Она является автором серии Innsmouth Legacy, которая началась с Winter Tide .Она делает самодельную ваниль, зацикливается на игровом дизайне, дает непрошенные советы и иногда пытается спасти мир. Вот что она сказала о продаже:

    Я рад снова работать с Tor.com и с Карлом, на этот раз исследуя будущее, а не прошлое. В этом проекте меня очень много волнует, и трудно представить, что я дождусь 2020 года, чтобы поделиться им. С другой стороны, 2020 год кажется подходящим временем для обнадеживающих размышлений о способности человечества управлять собой! Также для геоинженеров-мошенников, родителей, пытающихся совмещать баланс между работой, жизнью и первым контактом, и язвительных инопланетян, которые каким-то образом решили, что сферы Дайсона — хорошая идея.(С другой стороны, каждый раз — хорошее время для придирчивых пришельцев.)

    Не нужно ждать 2020 года, чтобы увидеть, как Рутанна Эмрис рассматривает найденные семьи, вступающие в контакт с инопланетными системами ценностей. Winter Tide и Deep Roots уже на полках.

    Масса

    — Что это за кинетическая энергия, увеличивающаяся с пятой степенью длины?

    Смоделируйте ребенка в виде стержня массой $ m $ и длины $ l $, стоящего на земле вертикально, с центром масс на высоте $ l / 2 $, с приклеенными к земле ступнями, но остальным телом, способным вращаться. .4T $$ при масштабной трансформации.

    Полный курс алгебры

    13

    Полномочия числа

    Значение показателя

    Отрицательная база

    Раздел 2

    Три правила экспонент

    КОГДА ВСЕ ФАКТОРЫ РАВНЫ — 2 · 2 · 2 · 2 — мы называем произведение степенью этого числа (Урок 1).

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    Задача 1. Какой номер

    а) третья степень двойки? 2 · 2 · 2 = 8

    б) в четвертой степени числа 3? = 81

    в) пятая степень 10? = 100 000

    г) первая степень восьмерки? = 8

    Теперь вместо того, чтобы записывать третью степень 2 как 2 · 2 · 2, мы пишем 2 только один раз и ставим показатель степени: 2 3 .2 — повторяющееся умножаемое число — называется основанием.

    Показатель степени указывает количество раз повторения основания в качестве множителя.

    Студент должен позаботиться о том, чтобы не перепутать 3 с , что означает 3 умножить на и , с на 3 , что означает умножить на .

    3 а = a + a + a ,
    a 3 = а · а · а .

    Проблема 2. Что означает каждый символ?

    а) x 5 = x x x x x б) 5 3 = 5 · 5 · 5 в) 5 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
    г) (5 a ) 3 = 5 a · 5 a · 5 a д) 5 a 3 = 5 a a a

    В части d) круглые скобки указывают, что основание — 5 a . В части е) только и являются базовыми.Показатель степени не применяется к 5.

    Задача 3. 3 4 = 81.

    а) Какое число называется базовым? 3

    б) Какое число является степенью? 81 — это степень из 3.

    c) Какое число является показателем степени?

    4. Это указывает на мощность, а именно 4-ю.

    Задача 4. Запишите значение этих символов.

    а) а 2 а 3 = а а · а а а

    b) ( ab ) 3 = ab · ab · ab

    c) ( a 2 ) 3 = a 2 · a 2 · a 2

    Проблема 5.Запишите значение этих символов. В чем основа каждого?

    а) а 4 = а а а а . База — .

    б)– а 4 = — а а а а . База снова и . Это минус из a 4 .
    Знак минус всегда означает отрицательное значение числа, следующего за ним. −5 — отрицательное значение 5. И — a 4 — отрицательное значение a 4 .

    c) (- a ) 4 = (- a ) (- a ) (- a ) (- a ). Здесь база (- a ).

    Проблема 6. Оцените.

    а) 2 4 = 16.

    б) −2 4 = −16.Это минус из 2 4 . База — 2. См. Выше
    Задача 5b).

    — a = (−1) a , для любого числа a . (Урок 5.) Следовательно, −2 4 = (−1) 2 4 . Следовательно, согласно порядку операций (Урок 1) это (−1) 16 = −16.

    в) (−2) 4 = +16, согласно Правилу Знаков (Урок 4).
    Скобки указывают, что основание равно -2.См. Проблему 5c).

    Пример 1. Отрицательная база.

    (−2) 3 = (−2) (- 2) (- 2) = −8,

    снова согласно Правилу знаков. А

    (−2) 4 = +16.

    Если основание отрицательное, а показатель степени равен , нечетно , то произведение отрицательный. Но когда основание отрицательное, а показатель степени равен и даже , тогда произведение положительный.

    Проблема 7. Оцените.

    а) (-1) 2 = 1 б) (-1) 3 = -1 в) (-1) 4 = 1 г) (-1) 5 = -1
    д) (-1) 100 = 1 е) (-1) 253 = -1 г) (-2) 4 = 16 ч) (−2) 5 = −32

    Проблема 8.Перепишите, используя экспоненты.

    а) xxxxxx = x 6 б) xxyyyy = x 2 y 4
    в) xyxxyx = x 4 y 2 г) xyxyxy = x 3 y 3

    Проблема 9.Перепишите, используя экспоненты.

    а) ( x + 1) ( x + 1) = ( x + 1) 2 б) ( x — 1) ( x — 1) ( x — 1) = ( x — 1) 3
    в) ( x + 1) ( x — 1) ( x + 1) ( x — 1) = ( x + 1) 2 ( x — 1) 2
    г) ( x + y ) ( x + y ) 2 = ( x + y ) 3

    Раздел 2: Три правила экспонент

    Содержание | Дом

    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
    Даже 1 доллар поможет.

    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]


    Пятая сила

    Пятая сила — Как социальные сети изменили все — MOVE.BG

    Социальные сети — это новый медиа-канал. Официально считается пятой степенью. Заменяет ли пятая власть четвертые традиционные СМИ и как меняются такие понятия, как новости и журналистика, в эпоху Интернета и инноваций.Ускоряют ли каналы связи и современные информационные платформы, открывая безграничные возможности, или же они скрывают риски, включая распространение ложной информации?

    В настоящее время коммуникационные процессы и мировоззрение СМИ радикально изменились из-за технологических достижений, появления социальных сетей и огромной базы данных. Доступ к информации быстрый, мобильный и интерактивный. Раньше новости распространялись в одну сторону — от информационных агентств к читателям, слушателям и зрителям, сегодня общение является многосторонним и динамичным.Граждане не просто пассивные пользователи данной информации, они часто активно участвуют в распространении, интерпретации и даже создании контента.

    Благодаря таким платформам, как Twitter, Facebook, Instagram и т. Д.

    Возможность обсуждения заданной темы в реальном времени очень распространена. Иногда даже до того, как новостная группа успевает добраться до места события (протесты, наводнения, гражданские войны …), людям уже удается задуматься о событии, имеющем информационную значимость.

    Мы живем в то время, когда стирается граница между пользователями и создателями контента. Контент, создаваемый пользователями, обычно представляет собой любительские фотографии, комментарии или видео (обычно плохого качества), однако он может потребовать более глубокого анализа. Отсутствие цензуры (редакционной политики) и личной мотивации в определенной области иногда приводит к примерам гражданской журналистики, качество которой намного хуже, чем работа профессионалов.

    Все больше и больше людей, обладающих экспертными знаниями во многих различных областях, ведут специализированные блоги как в нашей стране, так и во всем мире, и количество проверенных и интригующих примеров качественного письма растет.Традиционным медиа-каналам даже приходится искать сотрудничества с гражданами для освещения определенных событий.

    Следует отметить, что во время кризиса есть люди, которые, не имея намерения, делятся ложной информацией в своих попытках помочь и быстро проинформировать других.

    Существуют веб-сайты и платформы, которые созданы для опровержения ложной информации из-за волны дезинформации.

    Такие веб-сайты и платформы для обмена опытом существуют во всем мире, и многие из них сочетают в себе опыт журналистов и редакционных групп с опытом экспертов в области гражданской журналистики.

    Процесс онлайн-расследования для проверки информации требует внимания к деталям и сильной методологии, но освоить это возможно. В помощь приходят некоторые простые в освоении и очень полезные онлайн-инструменты.

    В социальных сетях мы часто сталкиваемся с фальшивыми изображениями или видеоматериалами или ложной информацией, предоставляемой правдивыми фотографиями из других мест и событий.

    Существует ряд вопросов, на которые необходимо ответить, чтобы определить авторство и достоверность опубликованной информации: кто автор, кто опубликовал изображение / видео, когда и где было сделано изображение / видео?

    Чем больше информации мы найдем по этим вопросам и чем больше она соответствует мелким деталям, тем выше достоверность и надежность материала.

    Такие проверки не направлены на подрыв престижа пользовательского контента. Напротив, из-за растущего значения гражданской журналистики жизненно важно, чтобы и журналисты, и читатели выработали надежный и проверенный подход к отсеиванию качественного контента от недобросовестных попыток манипулирования посредством пропаганды.

    Некоторые преимущества социальных сетей, помимо того, что они служат источником информации, неоспоримы: сообщения на разных платформах могут помочь жертвам или нуждающимся, а призывы к гуманитарной помощи и пожертвования для них демонстрируют объединение сила социальных сетей во времена трагедий и кризисов.

    Конечно, так называемая «пятая сила» меняет способ работы медиа-бизнеса.

    Медиаконтент разнообразен не только как интерфейс и различные каналы и платформы для общения, но и с точки зрения вклада в аудиторию-новости, создаваемые пользователями. Таким образом традиционные СМИ используют преимущества пятой власти, а потребность в надежном и непредвзятом источнике проверенной информации гарантирует, что печатные, а также электронные СМИ будут востребованы в будущем.В конце концов, работа журналиста состоит в том, чтобы вносить свой вклад в решение проблем, глубоко анализируя их, и это выходит за рамки коротких видеороликов и заголовков, распространяемых в социальных сетях.

    РубрикаРазное

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *