3 из под корня 3 степени из: Вычисление корня 3 степени онлайн калькулятор

Корень 3 степени из 243 y 2. Кубический корень (извлечение без калькулятора)

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени . Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).

Вам понадобится

• калькулятор или компьютер

Инструкция

• Чтобы посчитать корень третьей степени , воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени . Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).y.
• Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

Сколько гневных слов произнесено в его адрес? Порой кажется, что кубический корень невероятно сильно отличается от квадратного. На самом деле разница не настолько велика. Особенно, если понять, что они только частные случаи общего корня n-ой степени.

Зато с его извлечением могут возникнуть проблемы. Но чаще всего они связаны с громоздкостью вычислений.

Что нужно знать о корне произвольной степени?

Во-первых, определение этого понятия. Корнем n-ой степени из некоторого «а» называется такое число, которое при возведении в степень n дает исходное «а».

Причем бывают четные и нечетные степени у корней. Если n — четное, то подкоренное выражение может быть только нулем или положительным числом. В противном случае вещественного ответа не будет.

Когда же степень нечетная, то существует решение при любом значении «а». Оно вполне может быть и отрицательным.

Во-вторых, функцию корня всегда можно записать, как степень, показателем которой является дробь. Иногда это бывает очень удобным.

Например, «а» в степени 1/n как раз и будет корнем n-ой степени из «а». В этом случае основание степени всегда больше нуля.

Аналогично «а» в степени n/m будет представлено, как корень m-ой степени из «а n ».

В-третьих, для них справедливы все действия со степенями.

• Их можно перемножать. Тогда показатели степеней складываются.
• Корни можно разделить. Степени нужно будет вычесть.
• И возвести в степень. Тогда их следует перемножить. То есть ту степень, которая была, на ту, в которую возводят.

В чем сходства и различия квадратного и кубического корней?

Они похожи, как родные братья, только степень у них разная. И принцип их вычисления одинаков, различие только в том, сколько раз должно число на себя умножиться, чтобы получить подкоренное выражение.

А о существенном отличии было сказано чуть выше. Но повториться не будет лишним. Квадратный извлекается только из неотрицательного числа. В то время, как вычислить кубический корень из отрицательной величины не составит труда.

Извлечение кубического корня на калькуляторе

Каждый человек хоть раз делал это для квадратного корня. А как быть если степень «3»?

На обычном калькуляторе имеется только кнопочка для квадратного, а кубического — нет. Здесь поможет простой перебор чисел, которые трижды умножаются на себя. Получилось подкоренное выражение? Значит, это ответ. Не получилось? Подбирать снова.

А что в инженерном виде калькулятора в компьютере? Ура, здесь есть кубический корень. Эту кнопочку можно просто нажать, и программа выдаст ответ. Но это не все. Здесь можно вычислить корень не только 2 и 3 степени, но и любой произвольной. Потому что есть кнопка у которой в степени корня стоит «у». То есть после нажатия этой клавиши потребуется ввести еще одно число, которое будет равно степени корня, а уже потом «=».

Извлечение кубического корня вручную

Этот способ потребуется, когда калькулятора под рукой нет или воспользоваться им нельзя. Тогда для того чтобы вычислить кубический корень из числа, потребуется приложить усилия.

Сначала посмотреть, а не получается ли полный куб от какого-нибудь целого значения. Может быть под корнем стоит 2, 3, 5 или 10 в третьей степени?

1. Мысленно разделить подкоренное выражение на группы по три цифры от десятичной запятой. Чаще всего нужна дробная часть. Если ее нет, то нули нужно дописать.
2. Определить число, куб которого меньше целой части подкоренного выражения. Его записать в промежуточный ответ над знаком корня. А под этой группой расположить его куб.
3. Выполнить вычитание.
4. К остатку приписать первую группу цифр после запятой.
5. В черновике записать выражение: а 2 * 300 * х + а * 30 * х 2 + х 3 . Здесь «а» — это промежуточный ответ, «х» является числом, которое меньше получившегося остатка с приписанными к нему числами.
6. Число «х» нужно записать после запятой промежуточного ответа. А значение всего этого выражения записать под сравниваемым остатком.
7. Если точности достаточно, то расчеты прекратить. В противном случае нужно возвращаться к пункту под номером 3.

Наглядный пример вычисления кубического корня

Он нужен потому, что описание может показаться сложным. На рисунке ниже показано, как извлечь кубический корень из 15 с точностью до сотых.

Единственной сложностью, которую имеет этот метод, заключается в том, что с каждым шагом числа увеличиваются многократно и считать в столбик становится все сложнее.

1. 15> 2 3 , значит под целой частью записана 8, а над корнем 2.
2. После вычитания из 15 восьми получается остаток 7. К нему нужно приписать три нуля.
3. а = 2. Поэтому: 2 2 * 300 * х +2 * 30 * х 2 + х 3
4. Методом подбора получается, что х = 4. 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 = 5824.
5. Вычитание дает 1176, а над корнем появилось число 4.
6. Приписать к остатку три нуля.
7. а = 24. Тогда 172800 х + 720 х 2 + х 3
8. х = 6. Вычисление выражения дает результат 1062936. Остаток: 113064, над корнем 6.
9. Снова приписать нули.
10. а = 246. Неравенство получается таким: 18154800х + 7380х 2 + х 3
11. х = 6. Расчеты дают число: 109194696, Остаток: 3869304. Над корнем 6.

Ответом получается число: 2, 466. Поскольку ответ должен быть дан до сотых, то его нужно округлить: 2,47.

Необычный способ извлечения кубического корня

Его можно использовать тогда, когда ответом является целое число. Тогда кубический корень извлекается разложением подкоренного выражения на нечетные слагаемые. Причем таких слагаемых должно быть минимально возможное число.

К примеру, 8 представляется суммой 3 и 5. А 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Ответом будет число, которое равно количеству слагаемых. Так корень кубический из 8 будет равен двум, а из 64 — четырем.

Если под корнем стоит 1000, то его разложением на слагаемые будет 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. Всего 10 слагаемых. Это и есть ответ.

Из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:

Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.

*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.

Мы знаем, что:

Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):

Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?

1. Это кубы чисел кратных десяти:

Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.

2. Это свойство чисел при произведении.

Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?

Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.

1 3 = 1, 11 3 = 1331, 21 3 = 9261, 31 3 = 26791, 41 3 = 68921 …

То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.

При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.

Покажем соответствие в табличке для всех чисел:

Знания представленных двух моментов вполне достаточно.

Рассмотрим примеры:

Извлечь кубический корень из 21952.

Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.

Извлечь кубический корень из 54852.

Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.

Извлечь кубический корень из 571787.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.

Извлечь кубический корень из 614125.

Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.

Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.

Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.

После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉

На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.

Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

Шаги

Разложение на простые множители

Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.

• Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
• Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).

Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b. Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.

• В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  • √(25 х 16)
  • √25 х √16
  • 5 х 4 = 20

Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.

• Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  • = √(49 х 3)
  • = √49 х √3
  • = 7√3

Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.

• Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  • Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 — мы были правы.

Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители . Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.

• Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
• Рассмотрим другой пример: √88.
  • = √(2 х 44)
  • = √ (2 х 4 х 11)
  • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.

Вычисление квадратного корня вручную

При помощи деления в столбик

1. Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как «7 95 20 78 91 82, 47 89 70».

   • Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде «7 80, 14». Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.

2. Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.

   • В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4

3. Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).

   • В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.

4. Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере второй парой чисел является «80». Запишите «80» после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите «4_×_=» снизу справа.

5. Заполните прочерки справа.

   • В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 — слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа — это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.

6. Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.

   • В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.

7. Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением «_×_=».

   • В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите «54_×_=» снизу справа.

8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.

   • В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 — 4941 = 173.

9. Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Понимание процесса

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C — третьей и так далее.

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S a первую пару цифр в значении S, через S b — вторую пару цифр и так далее.

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).

1. Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa

   • Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8

2. Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C — цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.

   • Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B² . Запомните, что 10A+B — это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A — десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² — это площадь всего квадрата, 100A² — площадь большого внутреннего квадрата, B² — площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B — площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.

Размещенный на нашем сайте. Извлечение корня из числа часто используется в различных расчетах, а наш калькулятор — это отличный инструмент для подобных математических вычислений.

Онлайн калькулятор с корнями позволит быстро и просто сделать любые расчеты, содержащие извлечение корня. Корень третьей степени посчитает также легко, как и квадратный корень из числа, корень из отрицательного числа, корень из комплексного числа, корень из числа пи и т.д.

Вычисление корня из числа возможно вручную. Если есть возможность вычислить целый корень числа, то просто находим значение подкоренного выражения по таблице корней. В остальных случаях приближенное вычисление корней сводится к разложению подкоренного выражения на произведение более простых множителей, которые являются степенями и их можно убрать за знак корня, максимально упрощая выражение под корнем.

Но не стоит использовать такое решение корня. И вот, почему. Во-первых, придется потратить массу времени на подобные расчеты. Числа в корне, а точнее сказать, выражения могут быть достаточно сложными, а степень не обязательно квадратичной или кубической. Во-вторых, не всегда устраивает точность таких вычислений. И, в-третьих, есть онлайн калькулятор корней, который сделает за вас любое извлечение корня в считанные секунды.

Извлечь корень из числа — значит найти такое число, которое при его возведении в степень n будет равно значению подкоренного выражения, где n — это степень корня, а само число — основание корня. Корень 2 степени называют простым либо квадратным, а корень третьей степени — кубическим, опуская в обоих случаях указание степени.

Решение корней в онлайн калькуляторе сводится лишь к написанию математического выражения в строке ввода. Извлечение из корня в калькуляторе обозначается как sqrt и выполняется с помощью трех клавиш — извлечение квадратного корня sqrt(x), извлечение корня кубического sqrt3(x) и извлечение корня n степени sqrt(x,y). Более детальная информация о панели управления представлена на странице .

Извлечение квадратного корня

Нажатие этой кнопки вставит в строке ввода запись извлечения из квадратного корня: sqrt(x), вам нужно только внести подкоренное выражение и закрыть скобку.

Пример решения квадратных корней в калькуляторе:

Если под корнем отрицательное число, а степень корня четная, то ответ будет представлен в виде комплексного числа с мнимой единицей i.

Квадратный корень из отрицательного числа:

Корень третьей степени

Используйте эту клавишу, когда нужно извлечь кубический корень. Она вставляет в строке ввода запись sqrt3(x).

Корень 3 степени:

Корень степени n

Естественно, онлайн калькулятор корней позволяет извлекать не только квадратный и кубический корень из числа, но также корень степени n. Нажатие этой кнопки выведет запись вида sqrt(x x,y).

Корень 4 степени:

Точный корень n степени из числа можно извлечь только, если само число является точным значением степени n. В противном же случае расчет получится приблизительным, хотя и очень близким к идеалу, так как точность вычислений онлайн калькулятора достигает 14 знаков после запятой.

Корень 5 степени с приблизительным результатом:

Корень из дроби

Вычислить корень калькулятор может из различных чисел и выражений. Нахождение корня дроби сводится к отдельному извлечению корня из числителя и знаменателя.

Квадратный корень из дроби:

Корень из корня

В случаях когда корень выражения находится под корнем, по свойству корней их можно заменить одним корнем, степень которого будет равняться произведению степеней обоих. Проще говоря, чтобы извлечь корень из корня, достаточно перемножить показатели корней. В приведенном на рисунке примере выражение корень третьей степени корня второй степени можно заменить одним корнем 6-ой степени. Указывайте выражение так, как вам удобно. Калькулятор в любом случае все рассчитает верно.

Пример, как извлечь корень из корня:

Степень в корне

Корень степени калькулятор позволяет рассчитать в одно действие, без предварительного сокращения показателей корня и степени.

Квадратный корень из степени:

Все функции нашего бесплатного калькулятора собраны в одном разделе.

Решение корней в онлайн калькуляторе was last modified: Март 3rd, 2016 by Admin

1 2 в степени корень из 3

Вы искали 1 2 в степени корень из 3? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 3 корень, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «1 2 в степени корень из 3».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 2 в степени корень из 3,1 3 корень,10 в корне,2 в корень 3 степени,2 корень 3 1,3 в корне х 3 в корне,3 в степени 2 корень из 2,3 в степени 3 корень из 7,3 в степени 3 под корнем,3 в степени минус корень из 3,3 корень 1,3 корень из 10 в 6 степени,3 корень из 3 как решать,3 корня из 2 в 3 степени,3 корня из 3 как решить,3 под корнем в 3 степени,3 степень корня из 3,4 корень 3 2,вычислить корень 3 степени из 3,вычислить корень третьей степени,как в калькуляторе написать корень 3 степени,как избавиться от степени,как извлечь корень 3 степени,как извлечь корень кубический на калькуляторе,как на калькуляторе посчитать корень 3 степени,как написать корень 3 степени в калькуляторе,как перевести корень в число,как посчитать корень 3 степени на калькуляторе,как посчитать корень кубический на калькуляторе,как решать степень под корнем,калькулятор корень 3 степени,калькулятор корень кубический,калькулятор кубический корень,калькулятор кубического корня,квадратный корень 3 умножить на квадратный корень 3,квадратный корень из 3 в 3 степени,квадратный корень из 6 в 6 степени,квадратный корень кубический корень,корень 3,корень 3 1,корень 3 в степени 2,корень 3 в степени 8 в степени 3,корень 3 степени знак,корень 3 степени из 3 равен,корень 3 степени из 3 чему равен,корень 3 степени из 3375,корень в 6 степени из 5 корень,корень в 9 степени из 512,корень в степени 3 из 8,корень в третьей степени из трех,корень в третьей степени на корень в третьей степени,корень знак третьей степени,корень из 1 2 в 3 степени,корень из 1 3,корень из 10 3 степени,корень из 2 в 3 степени,корень из 2 в 3 степени 1,корень из 2 в минус 2 степени,корень из 2 третьей степени,корень из 3 в степени 8,корень из 4 в 3 степени,корень из 8 в степени 3,корень из трех в степени корень из трех,корень квадратный из 6 в 6 степени,корень квадратный корень кубический,корень кубический как записать в калькулятор,корень кубический на калькуляторе,корень третьей степени,корень третьей степени из 1,корень третьей степени из 3 корень третьей степени из 2,корень третьей степени извлечь,корень третьей степени минус корень третьей степени,корень третьей степени на корень третьей степени из,корни третьей степени,кубический корень из 2 кубический корень из 5,кубический корень рассчитать,рассчитать кубический корень,степень 3 корень из 3,степень 3 корня из 3,тройной корень из числа,чему равен корень 3 степени из 3. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 2 в степени корень из 3. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 10 в корне).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 2 в степени корень из 3 Онлайн?

Решить задачу 1 2 в степени корень из 3 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Как посчитать корень третьей степени

При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени. Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то должно выполняться условие: y?=x (икс равно игрек куб).Вам понадобится

Чтобы посчитать кореньстепени, воспользуйтесь калькулятором. Желательно, чтобы это был не обычный калькулятор, а калькулятор, используемый для инженерных расчетов. Однако даже на таком калькуляторе вы не найдете специальную кнопку для извлечения корня третьей степени. Поэтому используйте функцию для возведения числа в степень. Извлечению корня третьей степени соответствует возведение в степень 1/3 (одна треть).

Для возведения числа в степень 1/3 наберите на клавиатуре калькулятора само число. После чего нажмите на клавишу «возведение в степень». Такая кнопка, в зависимости от типа калькулятора, может выглядеть как xy (у – в виде верхнего индекса). Так как в большинстве калькуляторов нет возможности работать с обычными (недесятичными) дробями, то вместо числа 1/3 наберите егоприблизительное значение: 0,33.y.

Если корень третьей степени приходится считать систематически, то воспользуйтесь программой MS Excel. Чтобы посчитать корень третьей степени в «Екселе», введите в любую клетку знак «=», а затем, выберите значок «fx» — вставка функции. В появившемся окошке в списке «Выберите функцию» выберите строку «СТЕПЕНЬ». Нажмите кнопку «Ок». Во вновь появившемся окошке введите в строку «Число» значение числа, из которого нужно извлечь корень. В строку «Степень» введите число «1/3» и нажмите «Ок». В клетке таблицы появится искомое значение кубического корня из исходного числа.

Урок 41. извлечение корня из комплексного числа — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №41. Извлечение корня из комплексного числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие корня из комплексного числа;

2) алгоритмы извлечения корня из комплексного числа;

3) пример извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

Глоссарий по теме

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zⁿ=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение. Корнем n-ой степени из комплексного числа ω называется комплексное число z такое, что zn=ω. Множество всех корней n-ой степени из ω обозначается через .

Теорема. Уравнение zⁿ=ω, где ω- комплексное число, n- натуральное, имеет ровно n различных комплексных корней.

Доказательство. Пусть ω=|ω|∙(cosφ+isinφ), число z будем искать в виде

z=|z|∙(cosα+isinα).

Преобразуем уравнение zⁿ=ω, используя формулу Муавра:

|z|n(cosnζ+isinnζ)=|ω|∙(cosθ+isinθ).

Отсюда вытекают равенства:

|z|ⁿ=|ω|, nζ= θ+2πk, k- целое,

Из которых для модуля искомого корня получается определенное значение , тогда как его аргумент , k- целое, может принимать различные значения при разных k. При этом значениям k= 0, 1, 2, …, n-1 соответствуют различные значения корня, а при k= n значение корня совпадает с его значением при k=0. При k=n+1 получим значение корня, что и при k=1, и т.д.

Таким образом, число различных значений корня равно n- это

, где k=0, 1, 2,…, n-1 что и требовалось доказать.

Все n корней z_k лежат на оркужности радиусом с центом в начале кооринат; они делят окружность на n дуг величиной каждая и являются вершинами вписанного в нее правильного n-угольника.

Пример 1. Найдите все корни n-ой степени из действительного числа x>0.

Решение. Если х- положительное действительное число, то |x|=x, θ=arg x=0. Формула корней в этом случае дает ответ:

, где k=0, 1, 2,…, n-1.

При k=0 получим – это арифметический корень. При четном n=2m имеется еще один дейсвтиельный корень., получающийся при k=m. (ζ= arg z_m=π):

Корни n-ой степени из 1 часто обозначают через ε_k, k= 0, 1, 2, …, n-1. Согласно предыдущему примеру:

Пример 2. Вычислите корни третьей степени из комплексного числа 2+2i.

Решение: Найдем тригонометрическую форму данного числа:

По формуле корней из комплексного числа имеем:

, где k пробегает значения 0, 1, 2. Запишем полученные корни:

Используя формулы для косинуса и синуса разности углов, получаем:

Ответ: ; -1+i; .

Немного иначе извлекаются корни из комплексных чисел, аргумент которых не приводится к виду , где m, n – целые числа.

Пример 3. Найдите

Решение. Пусть ω=3+4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ:

Пример 4. Выполнить операцию извлечения корня z³ для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления: .

Решение: Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид z=r(cosφ+i⋅sinφ). По условию . Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):. Подставим полученные значения и получим:

Для k=0 получаем:

Для k=1 получим:

Для k=2 получим:

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: множественный выбор

Найдите

Выберите верные ответы из предложенных:

1. 2+i
2. -2+i
3. -2-i
4. 2-i

Решение. Пусть ω=3-4i. Положим φ=arg ω.

, тогда ω=5(cosφ+isinφ), где , .

Следовательно, , где k=0, 1.

Запишем подробнее:

Найдем и , используя формулу двойного угла:

, откуда , ; тогда , Угол φ лежит в первой четверти, а следовательно, и угол тоже, поэтому Тогда

Ответ: 2+i; -2-i

Верные ответы: 1, 3

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно произведение: (5 + 3i)∙(1 — 2i)=______

Решение:

((5 + 3i) · (1 — 2i) = 5·1 — 5·2i + 3·1i — 3·2i² = 5 — 10i + 3i + 6 =11 — 7i

Ответ: 11-7i

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Елизавета Савицкая (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2),

% PDF-1.3 % 8 0 объект > эндобдж xref 8 79 0000000016 00000 н. 0000001924 00000 н. 0000002076 00000 н. 0000002105 00000 н. 0000002183 00000 п. 0000002582 00000 н. 0000002819 00000 н. 0000002848 00000 н. 0000003034 00000 н. 0000003196 00000 н. 0000003285 00000 н. 0000003937 00000 н. 0000004133 00000 п. 0000004542 00000 н. 0000004722 00000 н. 0000004744 00000 н. 0000010847 00000 п. 0000010869 00000 п. 0000016796 00000 п. 0000016818 00000 п. 0000022809 00000 п. 0000022831 00000 п. 0000028850 00000 п. 0000028872 00000 п. 0000035280 00000 п. 0000035302 00000 п. 0000035499 00000 н. 0000035802 00000 п. 0000035993 00000 п. 0000036103 00000 п. 0000036211 00000 п. 0000036532 00000 п. 0000036939 00000 п. 0000037379 00000 п. 0000037569 00000 п. 0000037960 00000 п. 0000038160 00000 п. 0000039418 00000 п. 0000039624 00000 п. 0000039779 00000 п. 0000045905 00000 п. 0000045927 00000 п. 0000052042 00000 п. 0000052065 00000 п. XX0 \ aaPt 4o_Kd & / 0_` | A _} / oʀ ** 0>

Добавление квадратного корня — математический класс [2021]

Добавление десятичной формы

Одним из способов сложения квадратных корней является приведение их к десятичной форме.Это особенно просто, если у вас есть калькулятор. Например, квадратный корень из 2 составляет около 1,414, что означает, что если вы умножите 1,414 на само по себе, вы почти вернетесь к 2 (около 1,999). Если вы хотите прибавить √2 (около 1,414) к √3 (около 1,732), вы получите около 3,146, что приблизительно равно сумме двух квадратных корней.

Более крупные последовательности квадратных корней можно сложить таким же образом:

3√40 + 5√10 + 7√3

= (приблизительно) 3 (6,325) + 5 (3,162) + 7 (1,732)

= 18.974 + 15.811 + 12.124

= 46.909

К сожалению, это не точный ответ, и многие математические задачи требуют точного ответа, даже если вам придется оставить его в радикальной форме. Вот как можно получить точные ответы, в том числе радикалы.

Упрощение радикалов и «подобных» терминов

Добавление радикальной формы квадратных корней во многом похоже на добавление переменных выражений. Прежде чем упростить их, вы должны составить форму «Нравится». Квадратные корни являются «подобными» терминами, если они имеют одинаковое значение под корнем.Например, √2 и еще √2 — это «похожие» термины, а √2 и √3 — не «похожие» термины.

Так можно ли упростить радикалы, чтобы получить лайки? Да, иногда можно. Например, квадратный корень из 8 можно переписать как квадратный корень из 4, умноженного на квадратный корень из 2. √8 = √4 x √2. Поскольку квадратный корень из 4 равен 2 (2 x 2 = 4), это означает, что √8 = 2 √2. Это позволяет нам добавлять некоторые термины с квадратным корнем, которые в противном случае мы не смогли бы сделать.

А как насчет больших чисел? Например, что бы вы сделали с √200? 200 не имеет простого корня, но его можно разделить на продукты с простыми корнями.

200 = 2 x 100, поэтому √200 = √2 x √100 = 10√2.

108 = 3 x 36, поэтому √108 = √3 x √36 = 6√3.

Добавление выражений квадратного корня в радикальной форме

Добавление радикальных форм квадратных корней похоже на их сложение. Например, если у меня есть 5 √2, которые нужно добавить к 7 √2, это означает, что у меня их действительно 12. Просто сложите числа перед радикалами (√). Как будто ребята из √2 — это просто пакеты, и вы считаете, сколько их у вас есть. Это легко, если все они похожи на термины.

5√2 + 3√2 + √2 + 4√2 = (5 + 3 + 1 + 4) √2 = 13√ 2

Вы можете упростить свои термины, чтобы получить «похожие» термины. Например:

5√8 + 3√4 + √2 + 4√16

= 5 (2 (√2)) + 3 (2) + √2 + 4 (4)

= 10√2 + 6 + √2 + 16

= 22 + 11√2

Обратите внимание, что 6 и 16 — это «одинаковые» термины, в то время как 10√2 и √2 также являются подобными терминами. Как только мы собрали «похожие» термины, все готово.

Попробуем еще. Чтобы упростить отслеживание, мы обозначили «нравится» разными цветами.

Сначала давайте объединим уже имеющиеся у нас «похожие» термины:

Теперь давайте упростим члены, которые уже являются полными квадратами (6√9 и 3√4). Мы извлекаем квадратный корень и умножаем его на коэффициент.

Теперь давайте разделим число 27 на 3 x 9 (это полный квадрат) и объединим два наших члена, у которых нет корня.

Теперь возьмем 9 из-под корня, взяв из него квадратный корень 3 и коэффициент 5

У нас снова есть два одинаковых термина, поэтому мы объединим их на последнем этапе.

И готово! Обратите внимание: какими бы сложными ни были эти проблемы, всего несколько простых операций сведут их к простейшей форме.Хотя в этом нет необходимости для обеспечения точности, рекомендуется переписать эти решения в логическом порядке (например, увеличив размер радикального выражения, как показано ниже).

Резюме урока

Квадратный корень любого интересующего числа — это часть этого числа, которая может быть возведена в квадрат для его получения. 3 x 3 = 9, поэтому квадратный корень из 9 равен 3. 1 x 1 = 1, поэтому квадратный корень из 1 равен 1. 2,5 x 2,5 = 6,25, поэтому квадратный корень из 6.25 равно 2,5. Квадратные корни могут быть добавлены путем преобразования их в десятичные значения и последующего сложения, но результат будет неточным. Чтобы точно сложить квадратные корни (радикальные выражения), вы можете только уменьшить их, а затем добавить «похожие» термины (квадратные корни с тем же числом под радикалом или √).

Архимед и квадратный корень из 3

Архимед и квадратный корень из 3

Один из наиболее часто встречающихся обсуждаемые вопросы в истории математики это «загадочные» приближение , использованное Архимедом в его вычисление p.Вот обзор что говорят на эту тему несколько популярных книг:

Казалось бы … что у [Архимеда] были (в присутствует неизвестно) метод извлечения квадратного корня из чисел примерно.

W.W Rouse Ball, Короткий Отчет по истории математики , 1908

…вычисление [p] начинается с большего и меньшего предела до значения , которое Архимед принимает без замечаний как известные, а именно (265/153) < <(1351/780). Как Архимед пришел к этому конкретному приближению? Никакая головоломка не решена больший интерес к писателям, интересующимся историей математики ... Самым простым предположением, безусловно, является [см. Клайн ниже]. Другой предположение ... состоит в том, что могли быть найдены последовательные решения в целых числах уравнений x 2 -3y 2 = 1 и x 2 -3y 2 = -2… Подобно … пифагорейцам. В остальные предложения по большей части сводятся к использованию метода непрерывные дроби более или менее замаскированы.

T. Heath, История Греческая математика , 1921

… он также дал методы приближения к квадрату корни, которые показывают, что он предвосхитил изобретение индусами того, что составляют периодические непрерывные дроби.

E. T. Bell, Men Of Математика , 1937

Его метод вычисления квадратных корней был похож на который использовали вавилоняне.

C. B. Boyer, История Математика , 1968

Он также получил отличное приближение к , а именно (1351/780)> > (265/153), но не объясняет, как он получил этот результат.Среди множества домыслы в исторической литературе относительно его вывода следующее очень правдоподобно. Если дано число A, если его записать как 2 b, где a 2 — ближайший к A рациональный квадрат, больший или меньше, а b — остаток, то a b / (2a)> > a b / (2a 1). Несколько применений этой процедуры действительно дают результат Архимеда.

М. Клайн, Математический Мысль от древних до наших дней , 1972

Архимед приблизительно немного меньшим значение 265/153… Как ему удалось извлечь квадратные корни с такими точность … это одна из загадок, которую завещал этот необыкновенный человек нам.

P. Beckmann, A History Of п , 1977

Архимед …. фактически принимает = 1351/780, очень близко оценка … но не говорится, как он получил этот результат, и было много размышления по этому вопросу.

Sondheimer and Rogerson, номеров и Infinity , 1981

Kline не указывает первоначальная оценка, и не учитывает рост ценностей, производимых предложенный им метод (удвоение количества верхних и нижних оценок для каждого шаг). И Бойер, и Сондхаймер ссылаются на «вавилонский метод». извлечения квадратных корней, при этом Бойер заявил, что метод Архимеда был аналогично, в то время как Сондхаймер предполагает, что из-за примитивной системы счисления у греков у Архимеда были бы трудности со сложными фракции, участвующие в вавилонском методе.

Оба автора описывают «Вавилонский метод» (также называемый методом Ньютона) следующим образом: Найти , возьмем 1 в первом приближении. Затем итеративно вычислите

Однако, похоже, некоторая путаница в обсуждении Бойера приближения для , используемого Вавилоняне.Ценность, которую он цитирует из древневавилонской таблички № 7289 из коллекция Йельского университета интерпретируется как число, выраженное в базе 60, показано ниже:

, который записывается как 1; 24,51,10. Бойер говорит, что это значение составляет примерно 1,414222, что отличается от от истинного по около (8.4) 10 -6 . В проблема в том, что шестнадцатеричное значение 1; 24; 51; 10 на самом деле соответствует десятичный 1.4142129 (как правильно сказал Сондхаймер), который отличается от true по (5,99) 10 -7 . Бойер десятичное значение 1,414222 фактически соответствует 1; 24; 51; 12. Дело в том еще больше сбивает с толку утверждение Бойера о том, что вавилонское значение для равно 3 из итерации, основанной на 1 = 3/2, что не может быть правдой, потому что все итерации, начинающиеся с 3/2, будут немного на выше , г. тогда как 1; 24,51,10 немного на ниже .Стоимость 3 произведенных по вавилонскому алгоритму на самом деле 577/408 = 1,4142156, что имеет сексигесимальное расширение 1: 24,51,10,35,17, … С другой стороны, если мы повторяем назад от значения Бойера 3 = 1,414222, мы выводим, что 1 = 1,5376918, что не похоже на естественную отправную точку.

В любом случае вроде понятно что какой бы точный метод ни использовался, он был связан с продолжающимся фракция расширения , что, конечно, близко связано с уравнением Пелла x 2 — 3г 2 = 1.(Последнее естественно возникает, если мы ищем рациональное квадрат (x / y) 2 чуть больше 3, что означает, что мы хотим целое число x 2 должно быть немного больше целого числа 3y 2 . Установка этой разницы равной 1 дает уравнение Пелла.) В противном случае это было бы очень сложно объяснить, как они могли прийти к двум сходящимся 265/153 и 1351/780, каждый из которых является «лучшим рациональным приближение «до соответствующих знаменателей. Однако я согласен с Зондхаймер, что явный алгоритм непрерывной дроби был бы трудным для греков, чтобы выступить из-за всех требуемых долгих дивизий.

Один из возможных методов, который мог бы были использованы греками следующим образом: квадратный корень из A может быть разбивается на целую часть и остаток, то есть = N + r, где N — наибольшее целое число такое, что N 2 меньше A. Значение r может быть приближенным к любой желаемой степени точности, используя только целое число сложения и умножения по рекуррентной формуле

Легко видеть, что значение (A-N 2 ) (s n / s n + 1 ) приближается к r, когда n стремится к бесконечности.Это форма так называемого «лестничная арифметика», некоторые примеры которой из древней Вавилонии выжили. Например, чтобы найти , мы имеем A = 3 и N = 1, поэтому Формула повторения просто s n = 2s n -1 + 2s n -2 . Если выбрать начальные значения s 0 = 0 и s 1 = 1, последующие значения в последовательность

Последовательные сроки 18272 и 49920 дают r = 571/780, что дает = 1 + r = 1351/780, Архимед верхняя граница.Точно так же последовательные члены 896 и 2448 дают меньшее Связанный использовался Архимедом. Основное преимущество этого подхода в том, что он полагается только на простые целочисленные операции. Размер целых чисел может были сохранены небольшими за счет устранения накапливающих степеней по 2 на каждом этап следующим образом

Однако, если они использовали это метода, непонятно, почему они не выбрали нижнюю границу 989/571 на основе на 6688 и 18272.Так что, хотя этот метод определенно был в их возможности, похоже, что это не было источником Архимеда значения.

На мой взгляд, наиболее правдоподобный Источником верхней и нижней границ Архимеда является простая дробно-линейная итерация. Представьте, что их первая оценка квадратного корня из 3 была 5/3, возможно исходя из того, что 5 2 = 25 близко к 3 (3 2 ) = 27.Отсюда нетрудно понять, что если x является границей квадратного корня из 3, тогда (5x + 9) / (3x + 5) — более близкая граница на противоположной стороне. Обозначив e, обозначим ошибку x 2 — 3 для оценки x, ошибка следующая оценка —

Таким образом, ошибка отменяется и уменьшается почти в 52 раза на каждом шаге.Начиная с x = 5/3, последовательность итераций x → (5x + 9) / (3x + 5) равна

, что дает Архимедову нижняя и верхняя границы как 2-я и 3-я итерации. Учитывая их ограниченный средство для численных расчетов, легко понять, почему они не продолжили вычислять 13775/7953 или любые более высокие итерации.

За обсуждение того, как Архимед использовал свое значение для оценки значения PI, см. обратите внимание на Архимеда и Годфри.

Возврат в главное меню MathPages

math — Математические функции — документация Python 3.9.4

---

Этот модуль обеспечивает доступ к математическим функциям, определенным C стандарт.

Эти функции нельзя использовать с комплексными числами; использовать функции то же имя из модуля cmath , если вам требуется поддержка сложных числа. Различие между функциями, поддерживающими комплексные числа, и те, которые не делаются, поскольку большинство пользователей не хотят учиться так много математика, необходимая для понимания комплексных чисел. Получение исключения вместо сложного результата позволяет раньше обнаруживать неожиданный комплекс число, используемое в качестве параметра, чтобы программист мог определить, как и почему он был создан в первую очередь.

Этот модуль предоставляет следующие функции. За исключением случаев, когда явно в противном случае все возвращаемые значения являются числами с плавающей запятой.

Теоретико-числовые функции и функции представлений

математика. потолок ( x )

Вернуть потолок x , наименьшее целое число, большее или равное x . Если x не является числом с плавающей запятой, делегирует x .__ ceil __ () , который должен вернуть Интегральное значение .

математика. гребень ( n , k )

Вернуть количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без заказа.

Оценивается как n! / (k! * (n - k)!) , когда k <= n и вычисляет к нулю, когда k> n .

Также называется биномиальным коэффициентом, потому что он эквивалентен к коэффициенту k-го члена в полиномиальном разложении выражение (1 + x) ** n .

Вызывает ошибку TypeError , если какой-либо из аргументов не является целым числом. Вызывает ValueError , если любой из аргументов отрицательный.

математика. копия ( x , y )

Вернуть число с плавающей запятой с величиной (абсолютным значением) x , но со знаком y . На платформах, поддерживающих нули со знаком, copysign (1.0, -0.0) возвращает -1,0 .

математика. фабрики ( x )

Вернуть абсолютное значение x .

математика. факториал ( x )

Вернуть факториал x как целое число. Вызывает ошибку ValueError , если x не является целым или отрицательный.

Не рекомендуется с версии 3.9: прием чисел с плавающей запятой с целыми значениями (например, 5.0 ) устарел.

математика. пол ( x )

Возвращает нижний предел x , наибольшее целое число, меньшее или равное x . Если x не является плавающим, делегирует x .__ floor __ () , который должен вернуть Интегральное значение .

математика. fmod ( x , y )

Вернуть fmod (x, y) , как определено библиотекой платформы C.Обратите внимание, что Выражение Python x% y может не возвращать тот же результат. Намерение C стандартным является то, что fmod (x, y) должно быть точно (математически; до бесконечности точности) равный x - n * y для некоторого целого числа n , так что результат имеет тот же знак, что и x , и величина меньше абс (y) . Python x% y вместо этого возвращает результат со знаком y и может быть неточно вычислимым для аргументов с плавающей запятой.Например, fmod (-1e-100, 1e100) - это -1e-100 , но результат Python -1e-100% 1e100 будет 1e100-1e-100 , что не может быть представлен в точности как поплавок и округляется до удивительного 1e100 . Для по этой причине функция fmod () обычно предпочтительнее при работе с float, тогда как Python x% y предпочтительнее при работе с целыми числами.

математика. frexp ( x )

Вернуть мантиссу и показатель степени x как пару (m, e) . м - поплавок и e - целое число, такое что x == m * 2 ** e точно. Если x равно нулю, возвращает (0,0, 0) , иначе 0,5 <= abs (m) <1 . Это используется, чтобы «выбрать отдельно »внутреннее представление поплавка портативным способом.

математика. fsum ( итерируемый )

Вернуть точную сумму значений с плавающей запятой в итерируемом объекте. Избегает потеря точности из-за отслеживания нескольких промежуточных частичных сумм:

 >>> сумма ([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
0,9999999999999999
>>> fsum ([. 1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1])
1.0
 

Точность алгоритма зависит от арифметических гарантий IEEE-754 и типичный случай, когда режим округления половинный. На некоторых не-Windows сборки, базовая библиотека C использует сложение с расширенной точностью и может иногда двойное округление промежуточной суммы, в результате чего ее младший бит.

Для дальнейшего обсуждения и двух альтернативных подходов см. Поваренную книгу ASPN. рецепты точного суммирования с плавающей запятой.

математика. gcd ( * целые числа )

Вернуть наибольший общий делитель указанных целочисленных аргументов. Если какой-либо из аргументов отличен от нуля, то возвращаемое значение является наибольшим. положительное целое число, которое является делителем всех аргументов. Если все аргументы равны нулю, то возвращается значение 0 . gcd () без аргументов возвращает 0 .

Изменено в версии 3.9: Добавлена ​​поддержка произвольного количества аргументов.Раньше всего два аргументы были поддержаны.

математика. isclose ( a , b , * , rel_tol = 1e-09 , abs_tol = 0,0 )

Вернуть Истина , если значения a и b близки друг к другу и Неверно иначе.

Считается ли два значения близкими или нет, определяется в соответствии с даны абсолютные и относительные допуски.

rel_tol - относительный допуск - это максимально допустимая разница. между a и b относительно большего абсолютного значения a или b . Например, чтобы установить допуск 5%, передайте rel_tol = 0,05 . По умолчанию допуск - 1e-09 , что гарантирует, что два значения совпадают. с точностью до 9 десятичных цифр. rel_tol должен быть больше нуля.

abs_tol - минимальный абсолютный допуск - полезен для сравнений рядом с нуль. abs_tol должен быть не меньше нуля.

Если ошибок не возникает, результатом будет: абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol) .

Специальные значения IEEE 754 NaN , inf и -inf будут обрабатывается в соответствии с правилами IEEE. В частности, NaN не считается близко к любому другому значению, включая NaN . inf и -inf только считается близким к себе.

См. Также

PEP 485 - Функция проверки примерного равенства

математика. исфинит ( x )

Вернуть Истина , если x не является ни бесконечностью, ни NaN, и Неверно иначе. (Обратите внимание, что 0,0 - это , считающееся конечным.)

математика. isinf ( x )

Вернуть Истинно , если x является положительной или отрицательной бесконечностью, и Неверно иначе.

математика. иснан ( x )

Вернуть Истина , если x - NaN (не число), и Ложь в противном случае.

математика. isqrt ( n )

Вернуть квадратный корень целого неотрицательного целого числа n . Это пол из точного квадратного корня из n или, что эквивалентно, наибольшего целого числа a таким образом, что a ² ≤ n .

Для некоторых приложений может быть удобнее иметь наименьшее целое число a таким образом, чтобы n ≤ a ², или, другими словами, потолок точный квадратный корень из n . Для положительного n это можно вычислить, используя a = 1 + isqrt (n - 1) .

математика. lcm ( * целые числа )

Вернуть наименьшее общее кратное указанных целочисленных аргументов.Если все аргументы отличны от нуля, то возвращаемое значение является наименьшим. положительное целое число, кратное всем аргументам. Если какой-либо из аргументов равно нулю, то возвращается значение 0 . lcm () без аргументов возвращает 1 .

математика. ldexp ( x , и )

Возврат x * (2 ** i) . По сути, это обратная функция frexp () .

математика. мод ( x )

Вернуть дробную и целую части x . Оба результата несут знак размером x и являются плавающими.

математика. далее после ( x , y )

Возвращает следующее значение с плавающей запятой после x по направлению к y .

Если x равно y , вернуть y .

Примеры:

• математ.nextafter (x, math.inf) идет вверх: в сторону положительной бесконечности.

• math.nextafter (x, -math.inf) идет вниз: в сторону минус бесконечности.

• math.nextafter (x, 0.0) стремится к нулю.

• math.nextafter (x, math.copysign (math.inf, x)) уходит от нуля.

См. Также math.ulp () .

математика. пермь ( n , k = нет )

Вернуть количество способов выбора k элементов из n элементов без повторов и по порядку.

Оценивается как n! / (п - к)! , когда k <= n и оценивает к нулю, когда k> n .

Если k не указано или None, то k по умолчанию n и функция возвращает n! .

Вызывает ошибку TypeError , если какой-либо из аргументов не является целым числом. Вызывает ValueError , если любой из аргументов отрицательный.

математика. prod ( итерация , * , start = 1 )

Вычислить произведение всех элементов на входе итерируемый . По умолчанию начальное значение для продукта - 1 .

Если итерация пуста, вернуть начальное значение. Эта функция предназначен специально для использования с числовыми значениями и может отклонять нечисловые типы.

математика. остаток ( x , y )

Вернуть остаток в стиле IEEE 754 x относительно y .Для конечное x и конечное ненулевое y , это разница x - n * y , где n - ближайшее целое число к точному значению частного x / y . Если x / y находится точно посередине между двумя последовательными целыми числами, ближайшее , даже целое число используется для n . Остаток r = остаток (x, y) , таким образом, всегда удовлетворяет abs (r) <= 0,5 * abs (y) .

Особые случаи соответствуют IEEE 754: в частности, остаток (x, math.inf) является x для любых конечных x и остатка (x, 0) и остаток (math.inf, x) поднять ValueError для любого не-NaN x . Если результат операции с остатком равен нулю, этот ноль будет иметь тот же знак, что и x .

На платформах, использующих двоичные числа с плавающей запятой IEEE 754, результат этого операция всегда точно представима: ошибка округления не вводится.

математика. усечение ( x )

Вернуть Действительное значение x , усеченное до Целое число (обычно целое число). Делегаты x .__ trunc __ () .

математика. ulp ( x )

Вернуть значение младшего бита числа с плавающей запятой x :

• Если x является NaN (не числом), верните x .

• Если x отрицательное, вернуть ulp (-x) .

• Если x является положительной бесконечностью, верните x .

• Если x равно нулю, вернуть наименьшее положительное значение. денормализованное представимое число с плавающей запятой (меньше минимального положительного нормализованное с плавающей запятой, sys.float_info.min ).

• Если x равно наибольшему положительному представимому веществу с плавающей запятой, вернуть значение младшего бита x , так что первый float меньше x равен x - ulp (x) .

• В противном случае ( x - положительное конечное число) вернуть значение наименьшего значащий бит x , так что первое число с плавающей запятой больше x равно x + ulp (x) .

ULP означает «Единица на последнем месте».

См. Также math.nextafter () и sys.float_info.epsilon .

Обратите внимание, что frexp () и modf () имеют другой шаблон вызова / возврата чем их эквиваленты в C: они принимают единственный аргумент и возвращают пару значения, вместо того, чтобы возвращать их второе возвращаемое значение через "output" параметр ’(в Python такого нет).

Для функций ceil () , floor () и modf () обратите внимание, что все числа с плавающей запятой достаточно большой величины являются точными целыми числами. Поплавки Python обычно несут не более 53 бита точности (такая же, как у платформа C двойного типа), в этом случае любой поплавок x с abs (x)> = 2 ** 52 обязательно не имеет дробных битов.

Силовые и логарифмические функции

математика. эксп. ( x )

Возврат e в степени x , где e = 2,718281… это основание натуральных логарифмов. Обычно это более точно, чем математика . ** x или pow (math.e, x) .

математика. экспм1 ( x )

Возврат e в степени x , минус 1. Здесь e - основание натурального логарифмы.Для маленьких поплавков x , вычитание в exp (x) - 1 может привести к значительной потере точности; expm1 () функция предоставляет способ вычислить это количество с полной точностью:

 >>> from math import exp, expm1
>>> exp (1e-5) - 1 # дает результат с точностью до 11 разряда
1.0000050000069649e-05
>>> expm1 (1e-5) # результат с полной точностью
1.0000050000166668e-05
 

математика. журнал ( x [, основание ])

С одним аргументом верните натуральный логарифм x (с основанием e ).

С двумя аргументами вернуть логарифм x к заданному основанию , рассчитывается как log (x) / log (base) .

математика. log1p ( x )

Вернуть натуральный логарифм 1 + x (основание e ).В результат рассчитывается с точностью до x , близких к нулю.

математика. log2 ( x )

Вернуть логарифм по основанию 2 x . Обычно это более точно, чем журнал (x, 2) .

См. Также

int.bit_length () возвращает количество битов, необходимых для представления целое число в двоичном формате, исключая знак и ведущие нули.

математика. log10 ( x )

Вернуть десятичный логарифм x . Обычно это более точно чем log (x, 10) .

математика. pow ( x , y )

Возврат x в степени y . Далее следуют исключительные случаи Приложение «F» стандарта C99, насколько это возможно. В частности, pow (1.0, x) и pow (x, 0.0) всегда возвращать 1.0 , даже когда x - это ноль или NaN. Если и x , и y конечны, x отрицательно, а y не является целым числом, тогда pow (x, y) не определено, и вызывает ValueError .

В отличие от встроенного оператора ** , math.pow () преобразует оба аргументы типа с плавающей запятой . Используйте ** или встроенный pow () функция для вычисления точных целочисленных степеней.

математика. sqrt ( x )

Возвратите квадратный корень из x .

Тригонометрические функции

математика. acos ( x )

Вернуть арккосинус x в радианах. Результат находится между 0 и пи .

математика. asin ( x )

Вернуть арксинус x в радианах.Результат находится между -pi / 2 и пи / 2 .

математика. атан ( x )

Вернуть арктангенс x в радианах. Результат находится между -pi / 2 и пи / 2 .

математика. atan2 ( y , x )

Вернуть atan (y / x) в радианах. Результат находится между -pi и pi .Вектор в плоскости от начала координат до точки (x, y) составляет этот угол с положительной осью X. Смысл atan2 () в том, что признаки обоих ему известны входные данные, поэтому он может вычислить правильный квадрант для угла. Например, atan (1) и atan2 (1, 1) оба равны pi / 4 , но atan2 (-1, -1) равно -3 * pi / 4 .

математика. cos ( x )

Вернуть косинус x радиан.

математика. расстояние ( p , q )

Вернуть евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая заданная как последовательность (или итерация) координат. Две точки должен иметь такой же размер.

Примерно эквивалентно:

 sqrt (сумма ((px - qx) ** 2,0 для px, qx в zip (p, q)))
 

математика. гипотеза ( * координаты )

Вернуть евклидову норму, sqrt (сумма (x ** 2 для x в координатах)) .Это длина вектора от начала координат до точки задается координатами.

Для двумерной точки (x, y) это эквивалентно вычислению гипотенуза прямоугольного треугольника с использованием теоремы Пифагора, sqrt (x * x + y * y) .

Изменено в версии 3.8: Добавлена ​​поддержка n-мерных точек. Раньше только двое размерный случай был поддержан.

математика. sin ( x )

Вернуть синус x радиан.

математика. желто-коричневый ( x )

Вернуть тангенс x радиан.

Угловое преобразование

математика. градуса ( x )

Преобразование угла x из радианов в градусы.

математика. радиан ( x )

Преобразование угла x из градусов в радианы.

Гиперболические функции

Гиперболические функции являются аналогами тригонометрических функций, основанных на гиперболах вместо кружков.

математика. acosh ( x )

Вернуть обратный гиперболический косинус x .

математика. asinh ( x )

Вернуть обратный гиперболический синус x .

математика. атан ( x )

Вернуть арктангенс гиперболического значения x .

математика. цвет ( x )

Вернуть гиперболический косинус x .

математика. sinh ( x )

Вернуть гиперболический синус x .

математика. tanh ( x )

Вернуть гиперболический тангенс x .

Специальные функции

математика. erf ( x )

Вернуть функцию ошибки в х .

Функцию erf () можно использовать для вычисления традиционных статистических данных. такие функции, как кумулятивное стандартное нормальное распределение:

 def phi (x):
    'Кумулятивная функция распределения для стандартного нормального распределения'
    return (1.0 + erf (x / sqrt (2.0))) / 2.0
 

математика. erfc ( x )

Вернуть дополнительную функцию ошибок при x . Дополнительная ошибка функция определяется как 1.0 - erf (x) . Он используется для больших значений x , где вычитание от одного вызовет потерю значимости.

математика. гамма ( x )

Вернуть гамма-функцию в х .

математика. lgamma ( x )

Вернуть натуральный логарифм абсолютного значения гаммы. функция x .

Константы

математика. пи

Математическая константа π = 3,141592…, с доступной точностью.

математика. e

Математическая константа e = 2,718281…, с доступной точностью.

математика. тау

Математическая константа τ = 6,283185…, с доступной точностью. Тау - это постоянная окружности, равная 2 π , отношение длины окружности к его радиус. Чтобы узнать больше о Тау, посмотрите видео Ви Харта Pi is (still) Неправильно, и начни праздновать Тау день, съев в два раза больше пирога!

математика. инф

Положительная бесконечность с плавающей запятой.(Для отрицательной бесконечности используйте -math.inf .) Эквивалент вывода float ('inf') .

математика. нан

Значение с плавающей запятой, «не число» (NaN). Эквивалентно выходу поплавок ('nan') .

Детали реализации CPython: Модуль math состоит в основном из тонких оберток вокруг платформы C. математические библиотечные функции. Поведение в исключительных случаях соответствует Приложению F к стандарт C99, где это необходимо.Текущая реализация повысит ValueError для недопустимых операций, таких как sqrt (-1.0) или log (0.0) (где Приложение F C99 рекомендует сигнализировать о недопустимой операции или делении на ноль), и OverflowError для результатов, которые переполняются (например, ехр (1000,0) ). NaN не будет возвращено ни одной из функций. выше, если один или несколько входных аргументов не были NaN; в этом случае, большинство функций вернут NaN, но (опять же после приложения F C99) там есть некоторые исключения из этого правила, например pow (float ('nan'), 0.0) или гипотеза (float ('nan'), float ('inf')) .

Обратите внимание, что Python не пытается отличить сигнальные NaN от тихие NaN, и поведение для передачи сигналов NaN остается неопределенным. Типичное поведение - рассматривать все NaN, как если бы они были тихими.

См. Также

Модуль cmath

Версии многих из этих функций с комплексными числами.

Al 3+, легированный в тонких пленках 2 S 3: структурные и оптические характеристики

1

D.А. Barkhouse, R. Haight, N. Sakai, et al., Appl. Phys. Lett. 100 , 4 (2012). https://doi.org/10.1063/1.4714737

CAS Статья Google Scholar

2

С. Тьерно, Х. Бушайб, М. Бернабе и др., Int. Обновить. Поддерживать. En. Conf., IEEE, Уарзазат, Марокко, 2013. https://doi.org/10.1109/IRSEC.2013.6529664

3

N. Barreau, Sol. En. 83 , 363 (2009).

CAS Статья Google Scholar

4

М.Мэтью, докторская диссертация (Кочинский университет науки и технологий, Кочин, Индия, 2009 г.).

5

Н. Барро, Дж. К. Бернед, Х. Эль-Малики и др., Solid State Comm. 122 , 445 (2002). https://doi.org/10.1016/S0038-1098(02)00099-6

CAS Статья Google Scholar

6

L. Bhira, S. Belgacem, J. C. Bernède, J. Appl. Phys. 92, 5327 (2002). https://doi.org/10.1063/1.1512685

CAS Статья Google Scholar

7

М.Сасаки, К. Ясуи, С. Кохики и др., J. Alloys Compd. 334 , 205 (2002). https://doi.org/10.1063/1.2828041

CAS Статья Google Scholar

8

W. T. Kim, C. S. Yun, H. M. Jong и др., J. Appl. Phys. 60, , 2357 (1986).

CAS Статья Google Scholar

9

A. Akkari, C. Guasch, M. Castagne и др., J. Mater. Sci. 46 , 6285 (2011).https://doi.org/10.1007/s10853-011-5626-1

CAS Статья Google Scholar

10

П. Эсмаили, Х. Кангарлу, М. Горанневис, Опт. Quant. Elec. 51 , 260 (2019). https://doi.org/10.1007/s11082-019-1953-2

CAS Статья Google Scholar

11

M. A. B. Said, S. Belgacem, M. Dachraoui, et al., Rev. Phys. Прил. 21, , 407 (1986).https://doi.org/10.1051/rphysap:01986002107040700

CAS Статья Google Scholar

12

Л. Бхира, Т. Б. Насралла, Дж. К. де Брене и С. Бельгасем, Mater. Chem. Phys. 72 , 320 (2001). https://doi.org/10.1016/s0254-0584(01)00333-9

CAS Статья Google Scholar

13

Н. Барро, С. Марсильяк и Дж. К. де Берн, Vaccum 56 , 101 (2000).https://doi.org/10.1016/S0042-207X(99)00176-1

CAS Статья Google Scholar

14

Б. Асенджо, К. Санс, К. Гиллен и др., Thin Solid Films 515 , 6041 (2007). https://doi.org/10.1016/j.tsf.2006.12.058

CAS Статья Google Scholar

15

Н. Камун, С. Бельгасем, М. Амлук и др., J. Appl. Phys. 89 , 2766 (2001).https://doi.org/10.1063/1.1340003

CAS Статья Google Scholar

16

П. Э. Родригес-Эрнандес, Х. Г. Киньонес-Гальван, Лата Марасами и др., Mate. Sci. Полу. Proc. 103 , 104600 (2019).

Артикул Google Scholar

17

М. Амлук, М. А. Бен Саид, Н. Камун и др., Jpn. J. Appl. Phys. 38, , 26 (1999). https: // doi.org / 10.1143 / JJAP.38.26

CAS Статья Google Scholar

18

Р. Байон, К. Маффиотт и Дж. Эрреро, Тонкие твердые пленки 353 , 100 (1999). https://doi.org/10.1016/S0040-6090(99)00381-8

Статья Google Scholar

19

М. Госсла, Х. Э. Манке и Х. Мецнер, Тонкие твердые пленки 361 , 56 (2000). https://doi.org/10.1016/S0040-6090(99)00834-2

Статья Google Scholar

20

А.Катерски, М. Данилсон, А. Мере и М. Крункс, Тонкие твердые пленки 2 , 103 (2009). https://doi.org/10.1016/j.egypro.2010.07.016

CAS Статья Google Scholar

21

С. Шираката, Т. Мураками, Т. Кария и С. Исомура, Jpn. J. Appl. Phys. 35, , 191 (1996).

CAS Статья Google Scholar

22

М. К. Зуги, Т. Бен Насваллах, С.Marsillac и др., Thin Solid Films, , 382, ​​, 39 (2001). https://doi.org/10.1016/s0040-6090(00)01699-0

Статья Google Scholar

23

Паршина Л.С., Храмова О.Д., Новодворский О.А. и др., Semiconductors 51 , 407 (2017). https://doi.org/10.1134/s1063782617030228

CAS Статья Google Scholar

24

С. М. Павар, Б.С. Павар, Дж. Х. Ким и др., Curr. Прил. Phys. 11 , 117 (2011). https://doi.org/10.1016/j.cap.2010.07.007

Статья Google Scholar

25

М. Килани, Б. Яхмади, Н. К. Турки и М. Кастань, J. Mater. Sci. 46 , 6293 (2011). https://doi.org/10.1007/s10853-011-5521-9

CAS Статья Google Scholar

26

F. Couzinié-Devy, L.Arzel, N. Barreau и др., J. Cryst. Прирост 312 , 502 (2010).

Артикул Google Scholar

27

Боднар И.В. J. Inorg. Chem. 55 , 1944 (2010). https://doi.org/10.1134/s003602361012020x

CAS Статья Google Scholar

28

Р. А. Хормози, Х. Тавакколи, А.