2 синус х 1: Решите уравнение (2*sin(x)-1)*(sqrt(-cos(x))+1)=0 ((2 умножить на синус от (х) минус 1) умножить на (квадратный корень из (минус косинус от (х)) плюс 1) равно 0)

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	cos((5pi)/12)
3	Найти точное значение	arctan(-1)
4	Найти точное значение	sin(75)
5	Найти точное значение	arcsin(-1)
6	Найти точное значение	sin(60 град. )
7	Найти точное значение	sin(pi/3)
8	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
9	Найти точное значение	cos(pi/3)
10	Найти точное значение	sin(0)
11	Найти точное значение	cos(pi/12)
12	Найти точное значение	sin(30 град. 3
27	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
28	Найти точное значение	cos(45)
29	Найти точное значение	tan(30 град. )
30	Найти точное значение	tan(30)
31	Найти точное значение	arcsin(1)
32	Найти точное значение	arctan( квадратный корень 3)
33	Найти точное значение	sin(45)
34	Найти точное значение	cos(0)
35	Найти точное значение	tan(45 град. 6
44	Вычислить	логарифм по основанию 3 от 81
45	Вычислить	логарифм по основанию 2 от 8
46	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
47	Найти точное значение	cos(75)
48	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
49	Упростить	(1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h
50	Упростить	кубический корень x^3
51	Найти точное значение	sin((5pi)/12)
52	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
53	Найти точное значение	sin(30)
54	Найти точное значение	sin(105)
55	Найти точное значение	tan((3pi)/4)
56	Упростить	квадратный корень s квадратный корень s^7
57	Упростить	корень четвертой степени x^4y^2z^2
58	Найти точное значение	sin(60)
59	Найти точное значение	arccos(-( квадратный корень 2)/2)
60	Найти точное значение	tan(0)
61	Найти точное значение	sin((3pi)/2)
62	Вычислить	логарифм по основанию 4 от 64
63	Упростить	корень шестой степени 64a^6b^7
64	Вычислить	квадратный корень 2
65	Найти точное значение	arccos(1)
66	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 3)/2)
67	График	f(x)=2^x
68	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
69	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
70	Вычислить	логарифм по основанию 5 от 25
71	Найти точное значение	tan(pi/2)
72	Найти точное значение	cos((7pi)/12)
73	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
74	Найти точное значение	sin((5pi)/6)
75	Преобразовать из градусов в радианы	150
76	Найти точное значение	tan(pi/2)
77	Множитель	x^3-8
78	Упростить	корень пятой степени 1/(x^3)
79	Упростить	корень пятой степени 1/(x^3)
80	Найти точное значение	sin(135)
81	Преобразовать из градусов в радианы	30
82	Преобразовать из градусов в радианы	60
83	Найти точное значение	sin(120)
84	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
85	Вычислить	-2^2
86	Найти точное значение	tan(15)
87	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
88	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 3)/2)
89	Найти точное значение	sin(pi/2)
90	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
91	Упростить	кубический корень 8x^7y^9z^3
92	Упростить	arccos(( квадратный корень 3)/2)
93	Упростить	i^2
94	Вычислить	кубический корень 24 кубический корень 18
95	Упростить	квадратный корень 4x^2
96	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
97	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
98	Найти точное значение	tan((3pi)/4)
99	Найти точное значение	arccos(-1/2)
100	Упростить	корень четвертой степени x^4

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(60)
4	Найти точное значение	sin(30 град. )
5	Найти точное значение	sin(60 град. )
6	Найти точное значение	tan(30 град. )
7	Найти точное значение	arcsin(-1)
8	Найти точное значение	sin(pi/6)
9	Найти точное значение	cos(pi/4)
10	Найти точное значение	sin(45 град. )
11	Найти точное значение	sin(pi/3)
12	Найти точное значение	arctan(-1)
13	Найти точное значение	cos(45 град. )
14	Найти точное значение	cos(30 град. )
15	Найти точное значение	tan(60)
16	Найти точное значение	csc(45 град. )
17	Найти точное значение	tan(60 град. )
18	Найти точное значение	sec(30 град. )
19	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
20	График	y=sin(x)
21	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
22	Найти точное значение	cos(60 град. )
23	Найти точное значение	cos(150)
24	Найти точное значение	tan(45)
25	Найти точное значение	sin(30)
26	Найти точное значение	sin(60)
27	Найти точное значение	cos(pi/2)
28	Найти точное значение	tan(45 град. )
29	График	y=sin(x)
30	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
31	Найти точное значение	csc(60 град. )
32	Найти точное значение	sec(45 град. )
33	Найти точное значение	csc(30 град. )
34	Найти точное значение	sin(0)
35	Найти точное значение	sin(120)
36	Найти точное значение	cos(90)
37	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
38	Найти точное значение	sin(45)
39	Найти точное значение	tan(30)
40	Преобразовать из градусов в радианы	45
41	Найти точное значение	tan(60)
42	Упростить	квадратный корень x^2
43	Найти точное значение	cos(45)
44	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
45	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
46	Найти точное значение	cot(30 град. 4)
56	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
57	Найти точное значение	tan(pi/2)
58	Найти точное значение	sin(300)
59	Найти точное значение	cos(30)
60	Найти точное значение	cos(60)
61	Найти точное значение	cos(0)
62	Найти точное значение	arctan( квадратный корень 3)
63	Найти точное значение	cos(135)
64	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
65	Найти точное значение	cos(210)
66	Найти точное значение	sec(60 град. )
67	Найти точное значение	sin(300 град. )
68	Преобразовать из градусов в радианы	135
69	Преобразовать из градусов в радианы	150
70	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
71	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
72	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
73	Преобразовать из градусов в радианы	60
74	Найти точное значение	sin(135 град. 8)
80	Найти точное значение	sin(225)
81	Найти точное значение	sin(240)
82	Найти точное значение	cos(150 град. )
83	Найти точное значение	tan(45)
84	Вычислить	sin(30 град. )
85	Найти точное значение	sec(0)
86	Упростить	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
87	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
88	Найти точное значение	csc(30)
89	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
90	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
91	Найти точное значение	tan(0)
92	Вычислить	sin(60 град. )
93	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
94	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
95	Вычислить	arcsin(-1)
96	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
97	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
98	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
99	Найти точное значение	csc(45)
100	Найти точное значение	cos((4pi)/3)

Пример №80 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

а) Решите уравнение `cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0`. 2))/4=(-2+sqrt(2)+sqrt(2)+2)/4=(sqrt(2))/2`.

Первый корень:

`sinx=-1`;

`x=-pi/2+2pin, n in Z`;

Второй корень:

`sinx=(sqrt(2))/2`;

`x=pi/4+2pin, n in Z`;

`x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.

С учетом ОДЗ остаются следующие корни (см. тригонометрическую окружность ниже):

`x=-pi/2+2pin, n in Z` и `x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.

---

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку `[-(11pi)/2; -4pi]`.

---

Получились следующие корни: `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.

Решение №2 (скан):

$IMAGE3$

---

Ответ: а) `-pi/2+2pin; (3pi)/4+2pin, n in Z`;
б) `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.

---

Простейшие тригонометрические уравнения с косинусом и синусом. Часть 1

Ключ к решению простейших тригонометрических уравнений – в отличном знании тригонометрического круга. Если вы знаете значения стандартных точек и их синусы и косинусы, то проблем с уравнениями не будет. А если пробелы все-таки есть, то восполнить их можно в статье «Как запомнить тригонометрический круг?»

.

Эта статья состоит из двух частей:
Решение простейших уравнений с косинусом
Решение простейших уравнений с синусом

Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом

Любой алгоритм проще всего понять на конкретных примерах, поэтому сразу с них и начнем.

Пример №1. Решить уравнение \(\cos⁡x=\frac{1}{2}\).

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 

Шаг 4. Найти по одному значению для каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с косинусом значения в верхней и нижней точках всегда будут отличаться только знаком.

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn,n∈Z\) (подробнее о формуле в этом видео

), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Возможно, у вас возник вопрос, почему мы в ответ добавляем \(+2πn\), \(n∈Z\). Дело в том, что у каждой точки на тригонометрическом круге есть множество значений, и каждое значение будет решением уравнения, а значит все они обязательно должны быть в ответе.

Но проблема в том, что значений этих бесконечно много, и просто в строчку их не запишешь. Поэтому и придумали такую формулу записи, в которой содержатся все значения одной точки на тригонометрическом круге (подробнее смотрите в этом и этом видео).

Пример №2. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

С 1-3 шагом всё понятно, а вот над 4 шагом надо подумать. Как найти значения полученных точек? Можно заметить, что дуга между точкой со значением \(π\) и найденной точкой равняется π/6 (см. картинку ниже). И чтоб из точки π прийти к верхней найденной точке надо пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{6}\), то есть значение верхней точки равно \(π-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}\). Значит значение нижней \(-\frac{5π}{6}\).

    

Пример №3. Решить уравнение \(\cos⁡x=1\).

Видно, что в этом случае у косинуса только одна точка на круге будет решением, и эта точка совпадает с нулём на окружности. Т.е. по формуле получим \(x=0+2πn\), \(n∈Z\). Однако добавление нуля ничего не меняет, поэтому ответ можно записать проще: \(x=2πn\), \(n∈Z\).

Пример №4. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{7}{6}\).

Значения косинуса (как и синуса) для любого аргумента всегда лежат между \(-1\) и \(1\) включительно, поэтому равняться \(-\frac{7}{6}\) косинус никак не может. Значит такое уравнение не имеет решений.

Вот так решаются простейшие тригонометрические уравнения вида \(\cos⁡x=a\). Для наглядности мы все рассказанное выше объединили на одной инфографике — взглянув на нее вы сразу вспомните суть. Пользуйтесь на здоровье.

Алгоритм решения простейших уравнений с синусом

Пример №5. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси синусов, значение, которому синус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с синусом значение второй точки можно найти, если вычесть из π значение первой точки.

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Пример №6. Решить уравнение \(\sin⁡x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Так как суть, думаю, вам уже ясна, дальнейшие объяснения мы опускаем.

    

Пример №7. Решить уравнение \(\sin⁡x=0\).

В уравнениях с \(0\), главное не перепутать к какой оси надо проводить перпендикуляр. Ось синусов – вертикальная, соответственно перпендикуляр будет горизонтален.

   

Пример №8. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{5}}{2}\).

Вот в принципе и всё. Как обычно, в конце – инфографика для наглядности.

Смотрите также:
Синус
Косинус
Решение уравнений \(tg\;x=a\) и \(ctg\;x=a\)
Тригонометрические уравнения

§ 19. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Таблица 1

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения cos x = a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a < -1 не пересекает график функции y = cos x).

Пусть | a | ≤ 1. Тогда прямая y = a пересекает график функции y = cos x (рис. из пункта 1 табл. 1). На промежутке [0; π] функция y = cos x убывает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккосинуса равен: x₁ = arccos a (и для этого корня cos x = a).

Косинус – четная функция, поэтому на промежутке [-π; 0] уравнение cos x = a также имеет только один корень – число, противоположное x₁, то есть                x₂ = — arccos a.

Таким образом, на промежутке [-π; π] (длиной 2π) уравнение cos x = a при |a| ≤ 1 имеет только корни x = ±arccos a.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения cos x = a при |a| ≤ 1:

x = ±arccos a + 2πn, n ∈  Z         (1)

2. Частые случаи решения уравнения cos x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = a при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка А или точка В (рис. из пункта 2 табл. 1). Тогда

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка С, следовательно, x = 2πk, k ∈  Z.

Также cos x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, x = п + 2πk, k ∈  Z

Примеры решения задач

19. 2. Уравнение sin x = a

Таблица 2

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнения sin x = a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a < -1 не пересекает график функции y = sin x).

Рисунок 1

Пусть |a| ≤ 1. Тогда прямая y = a пересекает график функции y = sin x (рис. 1). На промежутке  функция y = sin x возрастает от -1 до 1. Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение sin x = a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арксинуса равен: x₁ = arcsin a (и для этого корня sin x = a).

На промежутке  функция y = sin x убывает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение sin x = a имеет на этом промежутке только один корень x₂ = π — arcsin a (рис. 1). Для проверки правильности записи значения второго корня x₂ заметим, что x₂ = π — x₁, тогда sin x₂ = sin (π- x₁) = sin x₁ = a. То есть x₂ – корень уравнения sin x = a.

Таким образом на промежутке   (длиной 2π) уравнение sin x = a при |a| ≤ 1 имеет только корни x₁ = arcsin a, x₂ = π — arcsin a.

Функция y = sin x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных 2πk (k ∈ Z). Получаем следующие формулы корней уравнения sin x = a при |a| ≤ 1:

x=arcsin a + 2πk, k ∈  Z.            (1)

x= π — arcsin a + 2πk, k ∈  Z.      (2)

Все значения корней уравнения sin x = a при |a| ≤ 1, которые дают формулы (1) и (2), можно записать с помощью одной формулы

x=(-1)ⁿ arcsin a + 2πn, n ∈  Z      (3)

Действительно, из формулы (3) при четном n = 2k получаем x = arcsin a + 2πk – формулу (1), а при нечетном n = 2k +1 – формулу x= — arcsin a + π(2k+1)= π — arcsin a + 2πk, то есть формулу (2).

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Рисунок 2

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

 

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке  функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈  Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

При a = 0

 

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

 

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

 

 

 

 

 

 

Все формулы по тригонометрии

Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

sin²x + cos²x = 1

tgx ctgx = 1

tg2x + 1	=	1
		cos2x

ctg2x + 1	=	1
		sin2x

Формулы двойного аргумента

sin2x = 2sinx cosx

sin2x	=	2tgx	=	2ctgx	=	2
		1 + tg2x		1 + ctg2x		tgx + ctgx

cos2x = cos² — sin²x = 2cos²x — 1 = 1 — 2sin²x

cos2x	=	1 — tg2x	=	ctg2x — 1	=	ctgx — tgx
		1 + tg2x		ctg2x + 1		ctgx + tgx

tg2x	=	2tgx	=	2ctgx	=	2
		1 — tg2x		ctg2x — 1		ctgx — tgx

ctg2x	=	ctg2x — 1	=	ctgx — tgx
		2ctgx		2

Формулы тройного аргумента

sin3x = 3sinx — 4sin³x cos3x = 4cos³x — 3cosx

tg3x	=	3tgx — tg3x
		1 — 3tg2x

ctg3x	=	ctg3x — 3ctgx
		3ctg2x — 1

Формулы половинного аргумента

sin2	x	=	1 — cosx
	2		2

cos2	x	=	1 + cosx
	2		2

tg2	x	=	1 — cosx
	2		1 + cosx

ctg2	x	=	1 + cosx
	2		1 — cosx

tg	x	=	1 — cosx	=	sinx
	2		sinx		1 + cosx

ctg	x	=	1 + cosx	=	sinx
	2		sinx		1 — cosx

Формулы квадратов тригонометрических функций

sin2x	=	1 — cos2x
		2

cos2x	=	1 + cos2x
		2

tg2x	=	1 — cos2x
		1 + cos2x

ctg2x	=	1 + cos2x
		1 — cos2x

sin2	x	=	1 — cosx
	2		2

cos2	x	=	1 + cosx
	2		2

tg2	x	=	1 — cosx
	2		1 + cosx

ctg2	x	=	1 + cosx
	2		1 — cosx

Формулы кубов тригонометрических функций

sin3x	=	3sinx — sin3x
		4

cos3x	=	3cosx + cos3x
		4

tg3x	=	3sinx — sin3x
		3cosx + cos3x

ctg3x	=	3cosx + cos3x
		3sinx — sin3x

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

sin4x	=	3 — 4cos2x + cos4x
		8

cos4x	=	3 + 4cos2x + cos4x
		8

Формулы сложения аргументов

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ cos(α + β) = cosα cosβ — sinα sinβ

tg(α + β)	=	tgα + tgβ
		1 — tgα tgβ

ctg(α + β)	=	ctgα ctgβ — 1
		ctgα + ctgβ

sin(α — β) = sinα cosβ — cosα sinβ cos(α — β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tg(α — β)	=	tgα — tgβ
		1 + tgα tgβ

ctg(α — β)	=	ctgα ctgβ + 1
		ctgα — ctgβ

Формулы суммы тригонометрических функций

sinα + sinβ	=  2sin	α + β	∙ cos	α — β
		2		2

cosα + cosβ	=  2cos	α + β	∙ cos	α — β
		2		2

(sinα + cosα)² = 1 + sin2α

tgα + tgβ	=	sin(α + β)
		cosα cosβ

ctgα + ctgβ	=	sin(α + β)
		sinα sinβ

Формулы разности тригонометрических функций

sinα — sinβ	=  2sin	α — β	∙ cos	α + β
		2		2

cosα — cosβ	=  -2sin	α + β	∙ sin	α — β
		2		2

(sinα — cosα)² = 1 — sin2α

tgα — tgβ	=	sin(α — β)
		cosα cosβ

ctgα — ctgβ	=  –	sin(α — β)
		sinα sinβ

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα ∙ sinβ	=	cos(α — β) — cos(α + β)
		2

sinα ∙ cosβ	=	sin(α — β) + sin(α + β)
		2

cosα ∙ cosβ	=	cos(α — β) + cos(α + β)
		2

tgα ∙ tgβ	=	cos(α — β) — cos(α + β)	=	tgα + tgβ
		cos(α — β) + cos(α + β)		ctgα + ctgβ

ctgα ∙ ctgβ	=	cos(α — β) + cos(α + β)	=	ctgα + ctgβ
		cos(α — β) — cos(α + β)		tgα + tgβ

tgα ∙ ctgβ	=	sin(α — β) + sin(α + β)
		sin(α + β) — sin(α — β)

Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1)	Основное тригонометрическое тождество	sin2(α) + cos2(α) = 1
(2)	Основное тождество через тангенс и косинус	1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3)	Основное тождество через котангенс и синус	1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4)	Соотношение между тангенсом и котангенсом	tg(α)ctg(α) = 1
(5)	Синус двойного угла	sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6)	Косинус двойного угла	cos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7)	Тангенс двойного угла	tg(2α) =   2tg(α) 1 – tg2(α)
(8)	Котангенс двойного угла	ctg(2α) = ctg2(α) – 1   2ctg(α)
(9)	Синус тройного угла	sin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10)	Косинус тройного угла	cos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11)	Косинус суммы/разности	cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12)	Синус суммы/разности	sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13)	Тангенс суммы/разности	tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14)	Котангенс суммы/разности	ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15)	Произведение синусов	sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16)	Произведение косинусов	cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17)	Произведение синуса на косинус	sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18)	Сумма/разность синусов	sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19)	Сумма косинусов	cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20)	Разность косинусов	cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21)	Сумма/разность тангенсов	tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22)	Формула понижения степени синуса	sin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23)	Формула понижения степени косинуса	cos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)	Сумма/разность синуса и косинуса	sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25)	Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами	Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26)	Основное соотношение арксинуса и арккосинуса	arcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27)	Основное соотношение арктангенса и арккотангенса	arctg(x) + arcctg(x) = π/2

2 — 4 * (6) * (-1) = 25
Т.к. D> 0, то уравнение имеет два корня.

 w1 = (-b + sqrt (D)) / (2 * a) 

 w2 = (-b - sqrt (D)) / (2 * a) 

или
$$ w_ {1} = \ frac {1} {2} $$
$$ w_ {2} = — \ frac {1} {3} $$
делаем обратную замену
$$ \ sin {\ left (x \ right)} = w $$
Дано уравнение
$$ \ sin {\ left (x \ right)} = w $$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$ x = 2 \ pi n + \ operatorname {asin} {\ left (w \ right)} $$
$$ x = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (w \ right)} + \ pi $$
Или
$$ x = 2 \ pi n + \ operatorname {asin} {\ left (w \ right)} $$
$$ x = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (w \ right)} + \ pi $$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$ x_ {1} = 2 \ pi n + \ operatorname {asin} {\ left (w_ {1} \ right)} $$
$$ x_ {1} = 2 \ pi n + \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {2} \ right)} $$
$$ x_ {1} = 2 \ pi n + \ frac {\ pi} {6} $ $
$$ x_ {2} = 2 \ pi n + \ operatorname {asin} {\ left (w_ {2} \ right)} $$
$$ x_ {2} = 2 \ pi n + \ operatorname {asin } {\ l eft (- \ frac {1} {3} \ right)} $$
$$ x_ {2} = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right) } $$
$$ x_ {3} = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (w_ {1} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {3} = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {2} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {3} = 2 \ pi n + \ frac {5 \ pi} {6} $$
$$ x_ {4} = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (w_ {2} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {4} = 2 \ pi n — \ operatorname {asin} {\ left (- \ frac {1} {3} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {4} = 2 \ pi n + \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {1} = \ frac {\ pi} {6} $$
$$ x_ {2} = \ frac {5 \ pi} {6} $$
$$ x_ {3} = \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {4} = — \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} $$
$$ x_ {1} = \ frac {\ pi} {6} $$
$$ x_ {2} = \ frac {5 \ pi} {6} $$
$$ x_ {3} = \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} + \ pi $$
$$ x_ {4 } = — \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} $$
Данные корни
$$ x_ {4} = — \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} $$
$$ x_ {1} = \ frac {\ pi} {6} $$
$ $ x_ {2} = \ frac {5 \ pi} {6} $$
$$ x_ {3} = \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} + \ pi $$
являются точками смены знака неравенства в решениях. {2} {\ left (x \ right)} — ​​\ sin {\ left (x \ right)} — ​​1 \ leq 0 $$

 2
6 * sin (-asin (1/3) - 1/10) - sin (-asin (1/3) - 1/10) - 1 
 2
-1 + 6 * sin (1/10 + asin (1/3)) + sin (1/10 + asin (1/3)) 
 но 
 2
-1 + 6 * sin (1/10 + asin (1/3)) + sin (1/10 + asin (1/3))> = 0
      

 Тогда 
 $$ x \ leq - \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} $$ 
 не выполняется 
 значит одно из решений нашего неравенства будет при: 
 $$ x \ geq - \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} \ wedge x \ leq \ frac {\ pi} {6} $$
 _____ _____
        / \ / \
------- • ------- • ------- • ------- • -------
       x4 x1 x2 x3 

 Другие решения неравенства будем получать переход на следующий полюс 
 и т.д. 
 Ответ: 
 $$ x \ geq - \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} \ wedge x \ leq \ frac {\ pi} {6} $$ 
 $$ x \ geq \ frac {5 \ pi} {6} \ wedge x \ leq \ operatorname {asin} {\ left (\ frac {1} {3} \ right)} + \ pi $$ 
 

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех (30)
2	Найти точное значение	грех (45)
3	Найти точное значение	грех (60)
4	Найти точное значение	sin (30 град. )
5	Найти точное значение	sin (60 град.)
6	Найти точное значение	загар (30 град.)
7	Найти точное значение	арксин (-1)
8	Найти точное значение	грех (пи / 6)
9	Найти точное значение	cos (пи / 4)
10	Найти точное значение	sin (45 град.)
11	Найти точное значение	грех (пи / 3)
12	Найти точное значение	арктан (-1)
13	Найти точное значение	cos (45 град. )
14	Найти точное значение	cos (30 град.)
15	Найти точное значение	коричневый (60)
16	Найти точное значение	мск (45 град.)
17	Найти точное значение	загар (60 град.)
18	Найти точное значение	сек (30 град.)
19	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi) / 4
20	График	у = грех (х)
21	Преобразовать из радианов в градусы	пи / 6
22	Найти точное значение	cos (60 град. )
23	Найти точное значение	cos (150)
24	Найти точное значение	желто-коричневый (45)
25	Найти точное значение	грех (30)
26	Найти точное значение	грех (60)
27	Найти точное значение	cos (пи / 2)
28	Найти точное значение	тан (45 град.)
29	График	у = грех (х)
30	Найти точное значение	arctan (- квадратный корень 3)
31	Найти точное значение	мкр (60 град. )
32	Найти точное значение	сек (45 град.)
33	Найти точное значение	мкр (30 град.)
34	Найти точное значение	грех (0)
35	Найти точное значение	грех (120)
36	Найти точное значение	cos (90)
37	Преобразовать из радианов в градусы	пи / 3
38	Найти точное значение	грех (45)
39	Найти точное значение	желто-коричневый (30)
40	Преобразовать из градусов в радианы	45
41	Найти точное значение	коричневый (60)
42	Упростить	квадратный корень x ^ 2
43	Найти точное значение	cos (45)
44	Упростить	грех (тета) ^ 2 + соз (тета) ^ 2
45	Преобразовать из радианов в градусы	пи / 6
46	Найти точное значение	детская кроватка (30 град. 4)
56	Найти точное значение	sin ((3pi) / 4)
57	Найти точное значение	загар (пи / 2)
58	Найти точное значение	грех (300)
59	Найти точное значение	cos (30)
60	Найти точное значение	cos (60)
61	Найти точное значение	cos (0)
62	Найти точное значение	arctan (квадратный корень 3)
63	Найти точное значение	cos (135)
64	Найти точное значение	cos ((5pi) / 3)
65	Найти точное значение	cos (210)
66	Найти точное значение	сек (60 град. )
67	Найти точное значение	sin (300 град.)
68	Преобразовать из градусов в радианы	135
69	Преобразовать из градусов в радианы	150
70	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi) / 6
71	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi) / 3
72	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
73	Преобразовать из градусов в радианы	60
74	Найти точное значение	sin (135 град. 8)
80	Найти точное значение	грех (225)
81	Найти точное значение	грех (240)
82	Найти точное значение	cos (150 град.)
83	Найти точное значение	желто-коричневый (45)
84	Вычислить	sin (30 град.)
85	Найти точное значение	сек (0)
86	Упростить	arcsin (- (квадратный корень 2) / 2)
87	Найти точное значение	cos ((5pi) / 6)
88	Найти точное значение	csc (30)
89	Найти точное значение	arcsin ((квадратный корень 2) / 2)
90	Найти точное значение	коричневый ((5pi) / 3)
91	Найти точное значение	коричневый (0)
92	Вычислить	sin (60 град. )
93	Найти точное значение	arctan (- (квадратный корень 3) / 3)
94	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi) / 4
95	Вычислить	арксин (-1)
96	Найти точное значение	sin ((7pi) / 4)
97	Найти точное значение	арксин (-1/2)
98	Найти точное значение	sin ((4pi) / 3)
99	Найти точное значение	csc (45)
100	Найти точное значение	cos ((4pi) / 3)

Пример №80 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

а) Решите уравнение `cosx + sqrt ((2-sqrt (2)) / 2 * (sinx + 1)) = 0`. 2-4 * 2 * (- sqrt (2)) = 4-4sqrt (2) + 2 + 8sqrt (2) = » 6 + 4кв (2) `.2)) / 4 = (- 2 + sqrt (2) + sqrt (2) +2) / 4 = (sqrt (2)) / 2`.

Первый корень:

`sinx = -1`;

`x = -pi / 2 + 2pin, n в Z`;

Второй корень:

`sinx = (sqrt (2)) / 2`;

`x = pi / 4 + 2pin, n in Z`;

`x = (3pi) / 4 + 2pin, n в Z`.

С учетом ОДЗ остаются следующие корни (см. Тригонометрическую окружность ниже):

`x = -pi / 2 + 2pin, n в Z` и` x = (3pi) / 4 + 2pin, n в Z`.

---

б) С помощью числовой окружности отберем корни, между промежутками `[- (11pi) / 2; -4pi] `.

---

Получились следующие корни: `- (21pi) / 4; — (9pi) / 2`.

Решение №2 (скан):

$ IMAGE3 $

---

Ответ: а) `-pi / 2 + 2pin; (3pi) / 4 + 2pin, n в Z`;
б) `- (21pi) / 4; — (9pi) / 2`.

---

Sin 180 градусов

Напомним, что $ \ pi $ радианы равны 180 $ градусам. Итак, если у нас есть угол, равный $ \ theta $ градусов, то эквивалентный радианный угол равен $ \ dfrac {\ theta} {180} \ pi $. Отсюда следует, что $$ \ sin_d (\ theta) = \ sin_r \ left (\ dfrac {\ theta} {180} \ pi \ right) \ text {.} $$ Следовательно, чтобы преобразовать радианы обратно в градусы, разделите 180 на Пи и умножьте полученное значение на число радианов. Вы получите действительное число, которое в целой части представляет собой количество градусов. Чтобы получить минуты, вам нужно умножить дробь на 60 и получить целое число.

Я использую программу Vision Builder AI 2010. У меня проблема, из-за которой изображение меняет ориентацию во время проверки. Кто-нибудь слышал об этой проблеме или, возможно, имел некоторое представление о том, почему изображение поворачивается на 180 с теми же шагами проверки.Я просто использую шаг получения изображения a … Умножает x на π / 180 °. Этот оператор преобразует xиз радиан в градусы. Когда x является вектором, матрицей или комплексным числом, оператор градусов применяется к каждому из элементов x. Удерживая нажатой клавишу Alt, нажмите 0176 с помощью цифровой клавиатуры.

e = Epeak x sin θ Мгновенное напряжение равно пиковому напряжению, умноженному на синус угла якоря генератора. Значение синуса получается из тригонометрических таблиц. В следующей таблице отражены несколько углов и их значение синуса.-1 (1/2) на вашем вычислении, и вы обнаружите, что это 30 градусов. Это только одно значение, вам нужно найти другое значение для x. Теперь, оглядываясь на то, что я сказал ранее, sin положителен в 1-м и 2-м квадранте. Нам нужно найти значение x во 2-м квадранте. как нам это сделать? Таблица синусов для 0 ° -180 °. Из графика sin мы видим, что sinø = 0, когда ø = 0 градусов, 180 градусов и 360 градусов. Обратите внимание, что график tan имеет асимптоты (линии, к которым график приближается, но никогда не пересекает).Это красные линии (на самом деле они не являются частью графика). Также обратите внимание, что графики sin, cos и tan являются периодическими. 18 ноября 2020 г. · Каждый прямоугольный треугольник имеет один угол 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от 0 до 90 градусов (как мы поговорим о будущем, сумма всех трех углов составляет 180 градусов). Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, являются … Возвращает синус указанного угла.В следующем примере Sin используется для оценки определенных тригонометрических идентичностей для выбранных углов. // Пример для тригонометрических методов Math.Sin (double) // и Math.Cos (double). using пространство имен System; // Вычислить тригонометрические тождества с заданным …

Ответы: соотношение 1 из 40 и 1,4321 градуса. Предположим, мы вводим уклон, рассчитанный путем подъема по длине склона. Введите 2.44992 и, прочитав вторую строку вывода, мы увидим, что это дает соотношение 1 к 40 и 1.Угол 4321 градус. График в верхней части страницы показывает небольшой диапазон углов от нуля до 20 градусов. 26 октября 2017 г. · Наконец, самолет сбавил скорость, но не раньше, чем он развернулся почти на 180 градусов и остановился в конце взлетно-посадочной полосы. Связанные: 5 кнопок, которые вы надеетесь, что ваш пилот никогда не должен нажимать.

29 мая 2014 г.