2 под корнем 10: Два корня из 10 в квадрате это

{2}

                                                                2                                                                          
/                 ____________________________________         \           /                 ____________________________________         \
|                /                      2                      |           |                /                      2                      |
|      ____     /         /        ____\         ____          |           |      ____     /         /        ____\         ____          |
|    \/ 10    \/   -144 + \-12 - \/ 10 /  - 24*\/ 10     1     |      ____ |    \/ 10    \/   -144 + \-12 - \/ 10 /  - 24*\/ 10     1     |
|6 + ------ - ---------------------------------------- - -- - 6|  
                                                          2          /                    ____________________________________\
/                    ____________________________________\           |                   /                      2             |
|                   /                      2             |           |         ____     /         /        ____\         ____ |
|         ____     /         /        ____\         ____ |  
 но
                                                          2          /                    ____________________________________\
/                    ____________________________________\           |                   /                      2             |
|                   /                      2             |           |         ____     /         /        ____\         ____ |
|         ____     /         /        ____\         ____ |  >   ____ |  1    \/ 10    \/   -144 + \-12 - \/ 10 /  - 24*\/ 10  |
|  1    \/ 10    \/   -144 + \-12 - \/ 10 /  - 24*\/ 10  |    \/ 10 *|- -- + ------ - ----------------------------------------|
|- -- + ------ - ----------------------------------------|           \  10     2                         2                    /
\  10     2                         2                    /    
 
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - \frac{1}{2} \sqrt{-144 - 24 \sqrt{10} + \left(-12 - \sqrt{10}\right)^{2}} + \frac{\sqrt{10}}{2} + 6 \wedge x
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Пастернак корень 10*10*2 мм, брикет весом 1 кг

Пастернак посевной (Pastinaca sativa L. ) – двулетнее растение высотой 80-120 см семейства Зонтичные (Apiaceae). В качестве пряности используют высушенные коренья пастернака, нарезанные на кусочки. Коренья пастернака, также как коренья петрушки и сельдерея принято называть «белый корень». Крупнейший экспортер пастернака – Польша. По вкусу корень пастернака сладковатый, с приятным, тонким ароматом смеси аниса, тмина и фенхеля.

Пастернак употребляют:

• при лечении заболеваний, связанных с задержкой жидкостей в организме
• при упадке сил (авитаминозе, недосыпах, после тяжелого заболевания на восстановительной стадии)
• при заболеваниях мочеполовой системы (мочекаменная болезнь)
• при заболеваниях органов дыхания (туберкулез)
• ·         при заболеваниях кожных покровов (псориаз, лишай, витилиго, экзема)

В пищевой промышленности пастернак используют в смесях сухих пряностей и специй, в концентратах супов, в соусах, маринадах.
В кулинарии пастернак кладут в супы и отвары, соусы, с ним готовят моченые яблоки. В фармацевтической промышленности из высушенных плодов и соцветий пастернака готовят лекарства, успокаивающие нервную систему, для лечения коронарной недостаточности сосудов, болезней желудочно-кишечного тракта. В народной медицине белый корень пастернака добавляют в сборы, улучшающие пищеварение, водяной обмен в организме и возбуждающие аппетит.

Рецепты и способы употребления:

1. Отвар корней от аллергических высыпаний и псориаза Если вы имеете несчастье борьбы с псориазом, лишаем, аллергическими высыпаниями на кожном покрове, то присыпки из корня пастернака обязательно помогут вам избавиться от недуга. Если после кипячения процедить чай, а оставшийся отвар завернуть в марлю и приложить к больному месту, то такой компресс быстро поможет снять болевые ощущения, отёки, заживляет раны и гнойные образования.
2. Если ваш организм претерпевает стресс, вы чувствуете упадок сил, расстройство потенции, пищеварения, частые головокружения и боли, то вам нужно заварить пастернак в горячей воде, дать остыть в течение пяти часов и принимать каждый день по половине стакана 2 раза в день в течение 10 дней. Вы можете заваривать корень пастернака каждый день свежий. Для этого вам понадобиться иметь по 1 столовой ложки измельчённого корня на 250 мл воды ежедневно.

ВНИМАНИЕ

Как таковых запретов пастернак не имеет и побочные эффекты от его применения не выявлены. Но лучше всего перед серьёзным лечением с употреблением этого растения, проконсультироваться с врачом. Особенно осторожно применять в пищу пастернак рекомендуется людям с болезнью печени, почек, сильного расстройства нервной системы. Острой непереносимости травяных растений. Личной аллергической реакции. 

ПЕРЕД УПОТРЕБЛЕНИЕМ ПРОКОНСУЛЬТИРУЙТЕСЬ С ВРАЧОМ

Отказ от ответственности:не является медицинским предписанием или профессиональной консультацией!

Гранулема зуба – что это такое и как лечить гранулематозное воспаление

Гранулема зуба — это воспалительное образование на верхушке корня. Оно представляет собой разрастание грануляционной ткани.

Гранулема формируется в результате действия защитных механизмов, при которых организм локализует очаг инфекции и стремится изолировать его от остальных тканей. По МКБ-10 болезни присвоен код К04.5.

Обычно гранулема образуется на фоне воспаления нервно-сосудистого пучка — пульпы. При отсутствии лечения пульпита воспаляется ее корневая часть, а инфекция выходит за пределы зуба, в околокорневые ткани. В результате формируется своего рода мешочек, заполненный продуктами распада погибших клеток.

Гранулемой считается образование размером до 0,5 см, но оно может расти, при этом по мере увеличения трансформируется в кистогранулему, размер которой достигает 1 см. При диаметре более 10 мм мы говорим о кисте корня зуба. В гранулеме нет полости, это участок тканей, окруженный капсулой. За счет последней гранулема прочно прикрепляется к верхушке корня зуба.

Причины развития патологии

Есть две причины развития гранулем на корне зуба.

1. Невылеченный пульпит.

Развитие кариеса приводит к появлению глубокой полости в зубе. Патогенные микроорганизмы попадают в пульпу, она воспаляется, появляется сильная боль. Отсутствие врачебной помощи приводит к постепенному отмиранию пульпы. Бактерии проникают за пределы зуба через корневые каналы. У верхушки корня появляется очаг воспаления. Мы говорим о периодонтите.

Глубокая кариозная полость в этом случае наблюдается не всегда. Воспаление может развиваться внутри, при появлении вторичного кариеса под пломбой.

2. Некачественное эндодонтическое лечение. Гранулема может развиваться у корня зуба, в котором раньше проводилось пломбирование каналов корня. Обычно наблюдается недопломбирование: врач заполнил каналы материалом не до конца. В оставшихся пустотах развиваются болезнетворные бактерии, а окружающие корень ткани реагируют воспалением.

Эти причины вызывают большую часть случаев образования гранулемы. Но есть и другие, менее распространенные:

• некачественное ортодонтическое лечение;

• перенесенная травма зуба;

• другие воспалительные заболевания — тонзиллит, абсцесс и др.

В последнем случае инфекция попадает в ткани с током крови или лимфы.

Симптомы гранулемы и осложнения

Симптомы гранулемы зуба неспецифичны. Часто пациент не подозревает о заболевании, поскольку признаки могут отсутствовать вовсе. Обычно зуб не беспокоит, но периодически возникает умеренная боль при надкусывании, употреблении горячих напитков или пищи. Такие симптомы свойственны всем формам периодонтита.

Стоит отметить, что время от времени заболевание может обостряться. Например, при переохлаждении, инфекционном заболевании, перенесенной операции — во всех случаях, когда снижаются защитные силы организма. При обострении появляются следующие симптомы:

• острые боли, усиливающиеся при надкусывании, плотном смыкании челюстей;

• отечность десны в проекции верхушки корня;

• боль в десне при касании.

Обострение может проходить самостоятельно, а болезнь возвращается в хроническую форму. Но иногда воспаление развивается до появления гнойного содержимого в тканях — периостита или флюса.

Воспаление может стать причиной резорбции или рассасывания участка костной ткани челюсти. Появление гнойных осложнений опасно своими последствиями: от утраты зуба и поражения окружающих единиц до расплавления тканей и сепсиса. Поэтому важно получить своевременную помощь врача. Лечением гранулем зуба занимается стоматолог-терапевт, а если потребуется удаление, нужно обратиться к стоматологу-хирургу.

Особенности диагностики

Гранулематозное воспаление можно обнаружить только на рентгеновском снимке. Оно имеет вид затемнения у верхушки корня. Стоматолог проведет осмотр и ряд проб, после чего направит на прицельный снимок зуба. Снимок поможет не только поставить точный диагноз, но и увидеть размеры гранулемы, дифференцировать ее с другими формами периодонтита.

Консервативное лечение

При гранулемах чаще используется консервативное лечение. Оно состоит в механической обработке каналов корня. После этого они пломбируются временным лечебным материалом — пастами на основе гидроокиси кальция. Через 2−3 недели можно выполнить контрольный снимок, и если воспаление ликвидировано, каналы пломбируют постоянным материалом — гуттаперчей. На коронку зуба ставится новая постоянная пломба.

Есть две тактики лечения в зависимости от исходного состояния зуба.

1. Лечение гранулемы зуба, в котором не запломбированы каналы корня. В этом случае лечение предусматривает следующие этапы:

• удаление кариозных тканей, старой пломбы на коронке, если она есть;

• механическая обработка каналов — с помощью специальных инструментов они расширяются, сглаживаются стенки;

• антисептическая обработка каналов.

Дальнейшие действия зависят от размеров гранулемы. Если она маленькая, до 3 мм, допускается одновременное пломбирование. Если образование больше 3 мм, то каналы корня пломбируются временной пастой. Она помогает гранулеме уменьшиться или исчезнуть полностью.

Ходить с временным материалом придется не больше 3 недель. По окончании срока врач направит на повторный рентгеновский снимок, и если увидит положительную динамику, пломбирует корневые каналы постоянным материалом. Также проводится восстановление коронки зуба.

2. Лечение зуба, в котором уже запломбированы корневые каналы. В этом случае врач сначала удалит старый материал. Если на зубе стоит коронка, она подлежит снятию. Каналы корня должны быть перепломбированы, а тактика лечения соответствует вышеописанной: иногда требуется установка временной лечебной пломбы.

Хирургическое лечение

Хирургическое лечение гранулемы зуба может потребоваться только в нескольких случаях:

• непроходимость каналов корня — сложная, извилистая структура, слишком тонкие, узкие каналы;

• невозможность распломбирования каналов;

• наличие штифта в канале корня — попытки удаления могут стать причиной травмы;

• нежелание пациента снимать коронку.

Многие пациенты предпочитают удаление гранулемы потому, что не хотят прибегать к долгому лечению и снимать хорошую коронку. В таком случае проводится операция резекции верхушки — часть корня удаляется вместе с гранулемой через небольшой разрез десны. Реже используется гемисекция — удаление одного корня многокорневого зуба вместе с частью коронки. В этом случае потребуется дальнейшее восстановление коронковой части зуба с помощью протеза.

В редких случаях зуб с гранулемой сохранять нецелесообразно. Например, если коронка сильно разрушена и ее нельзя восстановить. В этом случае врач, удаляя зуб, обязательно извлекает гранулему из лунки, чтобы не допустить развитие воспаления.

Если на фоне гранулемы развились гнойные осложнения, важно получить помощь врача незамедлительно. Специалист окажет первую помощь: снимет острую боль с помощью вскрытия зуба. Ранее запломбированные каналы вскрываются, через них впоследствии выводится гнойное содержимое. В этом случае облегчение наступает моментально.

Если появился сильный отек десны или щеки, это может быть связано с выходом воспалительного содержимого под надкостницу или слизистую оболочку полости рта. В этом случае выполняется небольшой разрез для выведения гноя. Дальнейшее лечение возможно только после купирования острых симптомов. Также потребуется медикаментозная терапия — врач назначит курс антибиотиков. Принимать их самостоятельно не стоит. Тем более бессмысленно лечиться только антибиотиками в надежде на то, что воспаление пройдет — они не способны устранить очаг заболевания и даже уменьшить его, важно принятие местных мер для ликвидации воспалительного процесса.

Особенности профилактики

Главным условием профилактики гранулем зуба является своевременная помощь стоматолога при появлении кариеса. Не стоит допускать сильного разрушения зуба, развития пульпита. Околокорневые ткани здоровы до тех пор, пока не воспаляется пульпа. Поэтому при появлении симптомов кариеса или пульпита важно срочно обратиться к врачу.

Эндодонтическое лечение также повышает вероятность развития периодонтита. Поэтому лучше ликвидировать кариес на ранних стадиях и не допускать необходимости пломбировки каналов корня. Если без этого не обойтись, важно внимательно выбирать стоматологическую клинику — профессионализм специалиста поможет исключить возможные ошибки и предупредить осложнения.

Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 12, -2x+3, x+yx-2·x·y+1, 117-5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 343, 1x+x·y4+y. Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Определение 1

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 12  к 22 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием.   Приведем еще один пример: у нас есть дробь xx-y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x·x+yx-y, освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9. Вычислив 9, мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1x+1  на x+1, мы получим дробь x+1x+1·x+1  и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x+1. Так мы преобразовали 1x+1 в x+1x+1 , избавившись от иррациональности.

Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

Пример 1

Условие: освободите дробь 12·18+50 от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для начала раскроем скобки и получим выражение 12·18+2·50. Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 12·18+2·50. Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 136+100. Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 16+10, равная 116. На этом преобразования можно закончить.

Запишем ход всего решения без комментариев:

12·18+50=12·18+2·50==12·18+2·50=136+100=16+10=116

Ответ: 12·18+50=116.

Пример 2

Условие: дана дробь 7-x(x+1)2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Решение

Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение Ann  на |A| на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7-xx+12=7-xx+1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: 7-xx+12=7-xx+1.

Избавление от иррациональности методом умножения на корень

Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A. Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0. После умножения в знаменателе окажется выражение вида A·A, которое легко избавить от корней: A·A=A2=A. Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

Пример 3

Условие: даны дроби x3 и -1×2+y-4. Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

Решение

Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3. Получим следующее:

x3=x·33·3=x·332=x·33

Во втором случае нам надо выполнить умножение на x2+y-4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

-1×2+y-4=-1·x2+y-4×2+y-4·x2+y-4==-x2+y-4×2+y-42=-x2+y-4×2+y-4

Ответ: x3=x·33  и -1×2+y-4=-x2+y-4×2+y-4 .

Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида Anm или Amn (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в Ann·k  или An·kn (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

Пример 4

Условие: даны дроби 7635 и xx2+1415. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Решение

Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5, нам надо выполнить умножение на 625. Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 625:

7635=7·625635·625=7·625635·62=7·625655==7·6256=7·3656

Во втором случае нам потребуется число, большее 15, которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16. Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x2+14. Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

xx2+1415=x·x2+14×2+1415·x2+14==x·x2+14×2+1416=x·x2+14×2+1444=x·x2+14×2+14

Ответ: 7635=7·3656 и xx2+1415=x·x2+14×2+14.

Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a+b, a-b, a+b, a-b, a+b, a-b. В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

Для первого выражения a+b сопряженным будет a-b, для второго a-b – a+b . Для a+b  – a-b, для a-b – a+b, для a+b – a-b, а для a-b  – a+b. Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a-b·a+b . Оно может быть заменено разностью квадратов a-b·a+b=a2-b2, после чего мы переходим к выражению a−b, лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

Пример 5

Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 37-3 и x-5-2.

Решение 

В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7+3. Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

37-3=3·7+37-3·7+3=3·7+372-32==3·7+37-9=3·7+3-2=-3·7+32

Во втором случае нам понадобится выражение -5+2, которое является сопряженным выражению -5-2. Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

x-5-2=x·-5+2-5-2·-5+2==x·-5+2-52-22=x·-5+25-2=x·2-53

Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

x-5-2=-x5+2=-x·5-25+2·5-2==-x·5-252-22=-x·5-25-2=-x·5-23==x·2-53

Ответ: 37-3=-3·7+32  и x-5-2=x·2-53.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

Пример 6

Условие: дана дробь xx+4. Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

Решение

Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x. Она определена условиями x≥0 и x+4≠0. Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x≥0.

Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x-4. Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x-4≠0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

xx+4=x·x-4x+4·x-4==x·x-4×2-42=x·x-4x-16

Если x будет равен 16, то мы получим:

xx+4=1616+4=164+4=2

Следовательно, xx+4=x·x-4x-16 при всех значениях x, принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16. При x=16 получим xx+4=2.

Ответ: xx+4=x·x-4x-16, x∈[0, 16)∪(16, +∞)2, x=16.

Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+b2). Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A3-B3, A32+A3·B3+B32. и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A32+A3·B3+B32  или разность A3-B3.  Точно также можно применить и формулу суммы a3+b3=(а)·(a2−a·b+b2).

Пример 7

Условие: преобразуйте дроби 173-23  и 34-2·x3+x23 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 73 и 23, поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

173-23=1·732+73·23+23273-23·732+73·23+232==732+73·23+232733-233=723+7·23+2237-2==493+143+435

Во второй дроби представим знаменатель как 22-2·x3+x32. В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2+x3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2+x3≠0, равносильное x3≠-2 и x≠−8:

34-2·x3+x23=322-2·x3+x32==3·2+x322-2·x3+x32·2+x3=6+3·x323+x33==6+3·x38+x

Подставим в дробь -8 и найдем значение:

34-2·83+823=34-2·2+4=34

Подведем итоги. При всех x, входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением -8, мы получим 34-2·x3+x23=6+3·x38+x. Если x=8, то 34-2·x3+x23=34.

Ответ: 34-2·x3+x23=6+3·x38+x, x≠834, x=-8.

Последовательное применение различных способов преобразования

Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

Пример N

Условие: преобразуйте 574-24, чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

Решение

Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 74+24 с ненулевым значением. Получим следующее:

574-24=5·74+2474-24·74+24==5·74+24742-242=5·74+247-2

А теперь применим тот же способ еще раз:

5·74+247-2=5·74+24·7+27-2·7+2==5·74+24·7+272-22=5·74+74·7+27-2==5·74+24·7+25=74+24·7+2

Ответ: 574-24=74+24·7+2.

формула, примеры, как решать, доказательство

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b² − 4ac. Его свойства:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

---

---

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: 

Теорема Виета Сумма корней x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x² + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x² + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x² + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Формулы корней

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x² + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

1. Объединим числитель и знаменатель в правой части.

    

2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

3. Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

    

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

1. Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

    

2. Перемножаем числители и знаменатели между собой:

    

3. Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a² − b². Получаем:

    

4. Далее произведем трансформации в числителе:

    

5. Нам известно, что D = b² − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

    

6. Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

    

7. Сократим:

    

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета   Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x² + bx + c = 0.

1. Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

2. Подставим m в уравнение вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

3. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
   
4. При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x² + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x² − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x² − 6x + 8 = 0.

Неприведенное квадратное уравнение 

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax² + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x².

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

2. Получается коэффициент равен , свободный член — . Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

3. Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x² + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x², то есть на 4.

4. Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен , а свободный член .
5. Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

6. Метод подбора помогает найти корни: −1 и 

 

---

---

Записывайте вашего ребенка на бесплатное вводное занятие по математике в Skysmart: порешаем задачки и головоломки на интерактивной платформе и покажем, что математика может быть увлекательным путешествием!

«Медуза» объявила о сборе донатов после включения в список иноагентов Статьи редакции

Редакция уже отказалась от офисов и урезала зарплаты сотрудникам.

33 011 просмотров

Редакция «Медузы» в обращении к читателям рассказала, что из-за статуса иноагента, который в апреле получило издание, она потеряла рекламодателей. «Это значит, что у нас заканчиваются деньги. Прямо сейчас», — говорится в обращении.

Мы резко снизили расходы. У нас больше нет офиса — ни в Риге, ни в Москве. Мы практически отказались от сотрудничества с внештатными авторами. Мы урезали зарплаты: сокращения составили от 30 до 50%.

Даже при таком раскладе «Медуза» долго не протянет.

редакция «Медузы»

Поэтому компания попросила читателей помочь «спасти “Медузу”»: пользователи могут оформить разовый или регулярный платёж в рублях, долларах или евро на любую сумму.

Издание отмечает, что сейчас закон не запрещает поддерживать иноагентов, а у людей, которые перечисляют деньги таким организациям, проблем не возникает. Компания также отметила, что не хранит данные банковских карт, а на странице оплаты нет никаких скриптов.

Минюст внёс «Медузу» в список иноагентов 23 апреля. 26 апреля к читателям обратился главред издания Иван Колпаков. Он рассказал, что этот статус означает для «Медузы» три угрозы, первый из которых — уход рекламодателей.

Среди других угроз он назвал потерю источников и экспертов и статус иноагентов для авторов — в этом случае они так же должны будут отчитываться перед Минюстом обо всех своих доходах и расходах.

Тверь заняла 10 место в рейтинге качества общественного транспорта

Качество общественного транспорта в 76 городах РФ в 2021 году изучили в компании SIMETRA. Составители поместили Тверь на десятую строчку рейтинга. При этом сообщается, что в сравнении с 2020 годом город поднялся на 37 пунктов.

Качество транспортного обслуживания аналитики компании оценивали по пяти группам показателей: физическая доступность, ценовая доступность, эффективность транспортной системы, комфорт и удобство, безопасность и устойчивость развития.

Физическая доступность – это близость остановок к местам проживания горожан и транспортным потокам. Ценовую доступность рассчитывали исходя из 52 поездок в месяц, суммарная стоимость которых не должна превышать 7% среднего дохода населения. Эффективность транспортного пути – это комплекс показателей, которые позволяют оценить скорость, с которой общественный транспорт может двигаться по своим маршрутам. Комфорт и удобство включает в себя и разнообразие тарифной сетки, характеристики подвижного состава, сервисы информирования и т.д. В безопасность и устойчивость развития авторы рейтинга тоже включили много составляющих. В их числе экологичность, частота обновления техники, оценка общественного мнения, возможность расширения и пр.

Как пишут составители рейтинга (документ есть у редакции ТИА), Твери подняться на 10 строчку помогло завершение перехода на новую транспортную модель в конце 2020 года. При этом больше всего выросли показатели блока комфорта и удобства пользования транспортом.

Возраст подвижного состава уменьшился вдвое, доля низкопольных автобусов перевалила за половину, 36% состава – автобусы большой вместимости.

При этом авторы отмечают, что в городе так и не появились выделенные полосы движения для общественного транспорта, значительно увеличился интервал. Но при этом снизилась нагрузка на транспортную инфраструктуру. Незначительно улучшилась доступность. Стоимость же осталась чуть выше социальных норм.

Первые места в рейтинге заняли Екатеринбург, Пермь и Казань.

 

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

квадратный корень из 10 — Как найти квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 выражается как √10 в радикальной форме и как (10) ^½ или (10) ^0,5 в экспоненциальной форме. Квадратный корень из 10, округленный до 10 десятичных знаков, равен 3,1622776602. Это положительное решение уравнения x ² = 10.

• Квадратный корень из 10: 3,1622776601683795
• Квадратный корень из 10 в экспоненциальной форме: (10) ^½ или (10) ^0.5
• Квадратный корень из 10 в радикальной форме: √10

Что такое квадратный корень из 10?

Квадратный корень любого числа n можно записать как √n . Это означает, что существует такой номер a :

Теперь это также можно записать как:

Здесь a называется квадратным корнем из n . Теперь, если n = 10, то a = √10 является квадратным корнем из 10.

• Квадратный корень из 10 равен 3,16227.

---

Является квадратный корень из 10 рациональным или иррациональным?

Квадратный корень из 10 — это иррациональное число с бесконечными цифрами. Квадратный корень из чисел, которые являются точными квадратами, такими как 9, 16, 25 и 100, являются целыми числами, но квадратный корень из чисел, которые не являются полными квадратами, иррациональны с бесконечными цифрами. Значение квадратного корня из 10 в десятичной форме равно 3.16227 … Квадратный корень любого числа имеет два значения; один положительный, а другой отрицательный.

• √10 = 3,16227 и √10 = — 3,16227

---

Как найти квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 или любого числа можно вычислить разными способами. Вот два метода: аппроксимация (Hit и Trial) и метод деления столбиком.

Давайте посмотрим, как найти √ 10 методом аппроксимации:

• √9 <√10 <√16
• 3 <√10 <4

Умножьте каждое на 10.

• 30 <10 √10 <40
• √900 <10√10 <√1600

Подойдем ближе к неравенству.

• √961 <10√10 <√1024
• 31 <10√10 <32

Разделить на 10.

Возьмите среднее значение как нижнего, так и верхнего пределов.

• √10 прибл. = (3,1 + 3,2) / 2
• √10 прибл. = 3,15

Квадратный корень из 10 по длинному делению

Метод деления в столбик помогает нам находить более точные значения квадратных корней любого числа.Давайте посмотрим, как найти квадратный корень из 10 с помощью метода деления в длину.

• Шаг 1: Разделите число 10 на 3 (потому что 3 ² = 9 — точное квадратное число меньше 10)
• Шаг 2: Возьмите тот же делитель 3 в качестве частного. Умножьте частное на делитель и вычтите результат из 10.
• Шаг 3: Возьмите такое же частное 3 и сложите с делителем 3.
• Шаг 4: Добавьте десятичную точку после частного 3, убавьте два нуля и поместите их после 1, чтобы получилось 100.Нам нужно найти цифру, которая, если поместить ее в конец 6 и умножить полученное число на ту же цифру, получится число меньше 100.
  61 × 1 = 61
  Вычтем 61 из 100.
  100–61 = 39
• Шаг 5: Снова введите два нуля и поместите их после 39, чтобы получилось 3900. Возьмите 1 и прибавьте к 61. 61 + 1 = 62. Нам снова нужно найти число, которое при размещении в конце 62 и когда результат умножается на то же число, мы получаем число меньше 3900.
  626 × 6 = 3756
• Напишите такое же число после 1 в частном. Вычтем 3756 из 3900.
  3900–3756 = 144

• Шаг 6: Повторите процесс, пока мы не получим остаток, равный нулю.

Квадратный корень из 10 с точностью до двух знаков получается методом деления в длину.

Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров

• Для вычисления квадратного корня из любого числа воспользуйтесь методом проб и ошибок.
• Квадратный корень любого числа можно считать числом между квадратными корнями из двух ближайших полных квадратов этого числа.
  Например, квадратный корень из 54 находится между квадратным корнем из 49 и 64.
  т.е. √49 <√54 <√64
  7 <√54 <8
• Корень квадратный из числа n может иметь два значения ± √n

• Найдите квадратный корень из 1000 методом аппроксимации.
• Найдите квадратный корень из 10000 методом деления в столбик.

Квадратный корень из 10 (√10)

---

Здесь мы определим, проанализируем, упростим и вычислим квадратный корень из 10. Мы начнем с определения, а затем ответим на некоторые общие вопросы о квадратном корне из 10. Затем мы покажем вам различные способы вычисления квадратного корня из 10 с учетом и без компьютер или калькулятор. У нас есть чем поделиться, так что приступим!

---

Корень квадратный из 10 определения
Квадратный корень из 10 в математической форме записывается со знаком корня √10.Мы называем это квадратным корнем из 10 в радикальной форме. Квадратный корень из 10 — это величина (q), которая при умножении сама на себя будет равна 10.

√10 = q × q = q ²

---

10 — это полный квадрат?
10 — это полный квадрат, если квадратный корень из 10 равен целому числу. Как мы подсчитали дальше на этой странице квадратный корень из 10 не является целым числом.

10 — не идеальный квадрат.

---

Квадратный корень из 10 является рациональным или иррациональным?
Квадратный корень из 10 — это рациональное число, если 10 — это полный квадрат.Это иррациональное число, если оно не является полным квадратом. Поскольку 10 не является точным квадратом, это иррациональное число. Это означает, что ответ на «квадратный корень из 10?» будет бесконечное число десятичных знаков. Десятичные дроби не прерываются, и вы не можете преобразовать их в точную дробь.

√10 — иррациональное число

---

Можно ли упростить квадратный корень из 10?
Вы можете упростить 10, если можете сделать 10 внутри корня меньше. Мы называем этот процесс «упрощением сурда».Квадратный корень из 10 нельзя упростить.

√10 уже находится в простейшей радикальной форме.

---

Как вычислить квадратный корень из 10 с помощью калькулятора
Самый простой и скучный способ вычислить квадратный корень из 10 — это использовать калькулятор! Просто введите 10, а затем √x, чтобы получить ответ. Мы сделали это с помощью нашего калькулятора и получили следующий ответ с 9 десятичными числами:

√10 ≈ 3,162277660

---

Как вычислить квадратный корень из 10 на компьютере
Если вы используете компьютер с Excel или Numbers, вы можете ввести SQRT (10) в ячейку, чтобы получить квадратный корень из 10.Ниже приведен результат с 13 знаками после запятой. Мы называем это квадратным корнем из 10 в десятичной форме.

КОРЕНЬ (10) ≈ 3,1622776601684

---

Что такое квадратный корень из 10 с округлением?
Квадратный корень из 10, округленный до ближайшей десятой, означает, что вам нужна одна цифра после десятичной точки. Квадратный корень из 10, округленный до сотых, означает, что вы хотите две цифры после десятичной точки. Квадратный корень из 10, округленный до ближайшей тысячной, означает, что вам нужны три цифры после десятичной точки.

10-я: √10 ≈ 3,2

100-я: √10 ≈ 3,16

1000-я: √10 ≈ 3,162

---

Что такое квадратный корень из 10 в виде дроби?
Как мы уже говорили выше, поскольку квадратный корень из 10 является иррациональным числом, мы не можем преобразовать его в точную дробь. Однако мы можем преобразовать его в приблизительную дробь, используя квадратный корень из 10, округленный до ближайшей сотой.

√10
≈ 3,16 / 1
≈ 316/100
≈ 3 4/25

---

Что такое квадратный корень из 10, записанный с показателем степени?
Все квадратные корни можно преобразовать в число (основание) с дробной степенью.Квадратный корень из 10 — не исключение. Вот правило и ответ в «квадратный корень из 10, преобразованный в основание с показателем степени?»:

√b = b ^½

√10 = 10 ^½

---

Как найти квадратный корень из 10 методом деления в длину
Здесь мы покажем вам, как вычислить квадратный корень из 10, используя метод длинного деления с точностью до одного десятичного знака. Это потерянный искусство того, как они вычисляли квадратный корень из 10 вручную до того, как были изобретены современные технологии.

Шаг 1)
Задайте 10 пар из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный разделитель:

---

Шаг 2)
Начиная с первого набора: наибольший полный квадрат, меньший или равный 10, равен 9, а квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, поместите 3 сверху и 9 снизу следующим образом:

---

Шаг 3)
Вычислите 10 минус 9 и укажите разницу ниже. Затем перейдите к следующему набору чисел.

---

Шаг 4)
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 3 × 2 = 6. Затем используйте 6 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:

6? ×? ≤ 100

Знаки вопроса «пустые» и такие же «пустые». Методом проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число «пробел» может быть равно 1. Теперь введите 1 сверху:

Это оно! Ответ сверху. Квадратный корень из 10 с точностью до одной десятичной дроби равен 3,1.

---

Квадратный корень числа
Введите другое число в поле ниже, чтобы получить квадратный корень из числа и другую подробную информацию, как вы получили для 10 на этой странице.

---

Банкноты
Помните, что отрицательное умножение на отрицательное равняется положительному. Таким образом, квадратный корень из 10 не только дает положительный ответ. то, что мы объяснили выше, но также и отрицательный аналог.

На этой странице мы часто упоминаем точные квадратные корни. Вы можете использовать список идеальных квадратов для справки.

Квадратный корень из 11
Вот следующее число в нашем списке, о котором у нас есть столь же подробная информация о квадратном корне.

---

Авторские права | Политика конфиденциальности | Заявление об ограничении ответственности | Контакт

квадратный корень из 10 — значение, метод расчета, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы

Квадратный корень

Квадратный корень любого числа дает то же самое число, когда оно умножается само на себя.{2}} \] = p

Символ квадратного корня

Символ, используемый для обозначения квадратного корня, — «√». Он также известен как радикальный символ или основание. Число, записанное под символом квадратного корня, называется подкоренным выражением. Значение квадрата может быть представлено как в радикальной, так и в десятичной форме. Квадратный корень из 10 также может быть представлен как радикал из 10.

Как вычислить значение квадратного корня из 10?

Вычислить значение корня 10 немного сложно, потому что число 10 не является точным квадратом, поскольку его единичная цифра равна 0.Квадратный корень из числа можно легко получить, если оно находится в полном квадрате. Число считается полным квадратом, если его можно обозначить как произведение двух равных целых чисел.

Например, 5×5 = 25, это квадрат числа 5. Он считается полным квадратом, поскольку выражается как произведение двух одинаковых целых чисел, то есть 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36. Он представляет собой квадрат 6. Он даже считается полным квадратом, поскольку выражается как произведение двух одинаковых целых чисел i.е. 6 x 6.

Число является полным квадратом, если единица числа оканчивается на 1,4,5,6 или 9

Число не считается полным квадратом, если оно заканчивается на 2, 3, 7 или 8.

Мы можем вычислить значение квадратного корня или корня из 10 значений двумя способами.

• Первый метод вычисления значения квадратного корня или значения корня 10 заключается в использовании разряда единицы данного числа,

• Второй метод вычисления значения квадратного корня или значения корня 10 данного числа заключается в использовании метода длинного деления.

Что такое квадратный корень из 10?

Квадратный корень из 10 или корень из 10 представляется в виде √10. Как мы знаем, 10 — четное, но не простое число. Простыми числами считаются те числа, которые имеют только два делителя, то есть 1 и само число. Например, 2 — простое число, так как оно имеет множители только 1 и 2. Но число 10 не является простым числом, потому что у него есть несколько факторов, например.

1×10 = 10

2 x 5 = 10

10 x 1 = 10

5 x 2 = 10

Чтобы вычислить квадратный корень из значения 10, сначала запишите его множители

10 = 2 x 5

Квадратный корень из 10 можно записать в следующем формате:

\ [\ sqrt 10 \] = \ [\ sqrt 2 \] X \ [\ sqrt 5 \]

Обычные квадратные члены из корня в приведенном выше уравнении не могут быть исключенным, так как он не имеет общих квадратных терминов.

\ [\ sqrt 10 \] = \ [\ sqrt 2 \] \ [\ sqrt 5 \]

\ [\ sqrt 10 \] или корень 10 находится в радикальной форме. Если вы хотите записать его в десятичной форме, замените приблизительные значения \ [\ sqrt 2 \] и \ [\ sqrt 5 \], которые равны 1,414 и 2,236 соответственно,

⁸ \ [\ sqrt 10 \] = 1,414 x 2,236

\ [\ sqrt 10 \] = 3,162

Следовательно, значение корня 10 или корня 10 равно 3,162

Квадратный корень из 10 с использованием метода длинного деления

(изображение метода деления будет загружено в ближайшее время)

Квадратный корень значений

3

\ [\ sqrt 1 \]	1	\ [\ sqrt 11 \]	3166
\ [\ sqrt 2 \]	1,4142	\ [\ sqrt 12 \]	3,4641
sq303
	1,7321	\ [\ sqrt 13 \]	3.6056
\ [\ sqrt 4 \]	2	\	3.7417
\ [\ sqrt 5 \]	2.2361	\ [\ sqrt 15 \]	3.8730
\ [\ sqrt 6 \]	2.4495	\ 9 \ sqrt	\ 9 \ sqrt ] [9 \ sqrt 4
\ [\ sqrt 7 \]	2,6458	\ [\ sqrt 17 \]	4,1231
\	2,8284	\ [\ sqrt 18 \]	4.2426
\ [\ sqrt 9 \]	3	\ [\ sqrt 19 \]	4.3589
rt \ [	3,1623	\ [\ sqrt 20 \]	4,4721

Решенный пример

1. Найдите значение √80 + 16√5, если 3√5 + √ 125 = 17,88

Решение: \ [\ frac {x} {\ sqrt {512}} \] = \ [\ frac {\ sqrt {648}} {x} \]

= 3√5 + √125 = 17.88

= 3√5 + (√25 x √5) = 17,88

= 3√5 + 5√5 = 17,88

= 8√5 = 17,88

= √5 = 17,88 / 8

= √ 80 + 16√5 = √16 x √5 + 16 √5

= 4√5 + 16√5 = 20√5

= 20 x 17,88 / 8 = 44,7

2. Упростить: (√7 -1 / √7) 2

= (√7 -1 / √7) 2

= (√7 -1 / √7) 2

= (√7) 2-2 x √7 x 1√7 + ( 1 / √7) 2

= 7-2 +1/7

= 5 + 1/7

= 36/7

Интересные факты

• У вавилонян Йельского университета есть табличка, датируемая почти 4000 лет назад. устанавливает квадратный корень из 2 до 9 знаков после запятой, используя квадрат и две диагонали.

• Сообщества в Древней Индии использовали квадратный корень с 800 г. до н. Э.

• Индийский математик IX века по имени Махавира — первый человек, объявивший, что отрицательные квадратные корни не существуют.

• Процедура определения квадратного корня изложена в китайской книге «Письма о расчетах», написанной примерно в 200 г. до н.э. во времена династии Хань.

Время проведения теста

1. Квадратный сад площадью 225 квадратных футов.Сколько ограды понадобится садовнику, чтобы установить ограждение вокруг сада?

1. 60 футов

2. 112,5 футов

3. 15 футов

4. 56,25 футов

2. Какой будет длина одной стороны квадрата, если площадь квадрата равна 100 метров?

1. √10

2. 25

3. 10

4. 50

3.Каким будет значение: \ [\ sqrt 0.001 \] + \ [\ sqrt 0.81 \] + \ [\ sqrt 1.21 \] + \ [\ sqrt 0.0009 \]

1. 2,13

2. 2,03

3. 2,11

4. 2,1

Доказательство того, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом

Здесь вы можете прочитать пошаговое доказательство с простыми объяснениями того факта, что квадратный корень из 2 является иррациональное число. Это наиболее распространенное доказательство этого факта, и оно ведется от противоречия.

Откуда мы знаем, что квадратный корень из 2 является иррациональным числом? Другими словами, как мы узнаем, что √2 не имеет шаблона в своей десятичной последовательности? Может быть, узор очень хорошо спрятан и действительно длинный, миллиарды цифр?

Вот где приходит математическое доказательство. Доказательство того, что √2 действительно иррациональное, обычно встречается в текстах по математике на уровне колледжа, но уследить за ним несложно. Он вообще не полагается на компьютеры, а вместо этого является «доказательством от противного»: если √2 БЫЛО рациональное число, мы получили бы противоречие.Я призываю всех старшеклассников изучить это доказательство, так как оно так хорошо иллюстрирует типичное математическое доказательство, и за ним нетрудно следовать.

Доказательство иррациональности квадратного корня из 2

Предположим, √2 — рациональное число. Тогда мы можем написать это √2 = a / b , где a , b — целые числа, b не ноль.

Мы дополнительно предполагаем, что этот a / b упрощен до наименьших значений, поскольку это, очевидно, можно сделать с любой дробью.Обратите внимание, что для того, чтобы a / b было простым языком, оба из a и b не могут быть четными. Один или оба должны быть нечетными. В противном случае мы могли бы дополнительно упростить a / b .

Из равенства √2 = a / b следует, что 2 = a ² / b ² , или a ² = 2 · b ² . Таким образом, квадрат на является четным числом, так как это вдвое больше.

Из этого мы знаем, что сам по себе — это , а также четное число. Почему? Потому что это не может быть странным; если сам по себе был нечетным, то · тоже было бы нечетным. Нечетное число, умноженное на нечетное, всегда нечетное. Проверь, если мне не веришь!

Хорошо, если само по себе четное число, тогда — это 2-кратное другое целое число. В символах a = 2k, где k — это другое число. Нам не нужно знать, что такое k; это не имеет значения.Вскоре возникает противоречие.

Если мы подставим a = 2k в исходное уравнение 2 = a ² / b ² , мы получим:

2	=	(2k) 2 / b 2
2	=	4k 2 / b 2
2 * b 2	=	=	=	=	=
б 2	=	2к 2

Это означает, что b ² является четным, из чего снова следует, что сам b является четным.И это противоречие !!!

ПОЧЕМУ это противоречие? Потому что мы начали весь процесс, предполагая, что a / b было упрощено до наименьших значений, а теперь оказывается, что a и b оба будут четными. Мы пришли к противоречию; таким образом, наше первоначальное предположение (что √2 рационально) неверно. Следовательно, √2 не может быть рациональным.

Иррациональные числа; Рациональные квадратные корни
Как узнать, является ли корень 10 завершающим, повторяющимся десятичным числом или иррациональным числом? Некоторые квадратные корни рациональны?

Как извлекать квадратные корни на клавиатуре ПК | Малый бизнес

Дэвид Сарокин Обновлено 3 августа 2018 г.

Раньше поиск квадратного корня был долгой и трудоемкой работой, которая часто приводила к ошибкам.Компьютеры все изменили. С помощью нескольких движений клавиатуры вы можете легко найти квадратный корень на своем ПК. Вы также можете найти калькулятор квадратного корня в Интернете и на других электронных устройствах.

Квадратные корни: краткое освежение

Где-то в средней школе вы узнали о возведении чисел в квадрат и обратном вычислении квадратного корня из числа, но небольшое напоминание не повредит. Вы возводите число в квадрат, когда умножаете его само на себя: 5 в квадрате равно 25, так как 5 x 5 = 25.Обратитесь к процессу, чтобы найти квадратные корни. Квадратный корень из 25 равен 5. Точно так же, поскольку 10 x 10 = 100, квадратный корень из 100 равен 10.

К сожалению для учеников начальной школы, у большинства чисел нет простых квадратных корней, таких как 5 или 10. Квадратный корень из 2, например, будет 1,41421356 и так далее. Символически знак квадратного корня выглядит как знак деления с дополнительным крючком, хотя на компьютерах знак квадратного корня часто выглядит немного усеченным.

Поиск квадратного корня на вашем ПК

В ваш компьютер встроена функция, которую вы можете использовать в качестве калькулятора квадратного корня.Введите «калькулятор» в поле поиска Windows, которое обычно находится в левом нижнем углу экрана вашего ПК, а затем щелкните функцию калькулятора, чтобы открыть его. В зависимости от того, как настроен экран вашего рабочего стола, у вас также может быть значок калькулятора на главном экране, который вы можете щелкнуть.

После открытия калькулятора введите число, от которого нужно найти корень, переместите курсор на символ квадратного корня калькулятора и щелкните его. Ваш ответ появляется мгновенно.

Используйте Google для поиска квадратного корня

В поисковую систему Google встроена функция вычислений, которую можно использовать даже быстрее, чем открыть калькулятор.В поле поиска Google введите команду извлечения квадратного корня — символ sqrt — и число, квадратный корень которого вы хотите узнать. Например, чтобы найти квадратный корень из 75, введите «sqrt 75» или «квадратный корень 75» и нажмите «Enter».

Как только вы закончите вводить текст, Google отобразит результат извлечения квадратного корня.

Вы также можете использовать свою любимую поисковую систему для поиска онлайн-калькулятора и использовать всплывающий инструмент для поиска квадратного корня.

Не забывайте свои другие устройства

В вашем телефоне и на ваших умных часах есть калькулятор, и вы можете поговорить с OK Google, Alexa или другим устройством с голосовой активацией и спросить: «Что такое квадратный корень…? »Вы получите ответ в кратчайшие сроки.

Лучшее руководство по Excel — Как вычислить корень n-го числа в числе?

Если вы знакомы с Excel, вы, возможно, использовали множество различных встроенных функций для получать результаты легко, быстро и эффективно. Возможно, вам приходилось сталкиваться с рядом математических функций, включая AVERAGE, LCM, QUOTIENT, GCD, PRODUCT, SUM, POWER, SQRT и т. д. Вы когда-нибудь пытались вычислить корень 4-й или 10-й степени любого числа с помощью Excel? Вы разочаровались, узнав, что в Excel нет встроенной функции, позволяющей вычислять корень n-й степени числа?

Если вы хотите вычислить квадратный корень любого числа, существует встроенный -в функции SQRT, которая позволяет легко вычислить квадратный корень из любого числа.Например, SQRT (2) вернет 1,414214. Но что, если вы хотите вычислить кубический корень из 2 (3√2)? Действительно странно, что Excel, который предлагает функции для большинства математических вычислений (даже простых вычислений), не предлагает никакой функции для вычисления корня n-й степени числа. Но не волнуйтесь. Если вы немного поработаете математикой, вы сможете так легко вычислить корень n-й степени любого числа.

Знаете ли вы, что можно вычислить корень любого числа, возведя его в степень дроби? Другими словами, n√x = x (1 / n).Итак, 3√2 = 2 (1/3) или 10√100 = 100 (1/10). Например, если вы хотите вычислить 10-й корень из 100, вам просто нужно вычислить (1/10) -ю степень 100. К счастью, Excel предлагает встроенную функцию для вычисления степени любого числа, а функция — СТЕПЕНЬ. . Вы должны передать этой функции два аргумента: число и мощность. Число — это базовое число, а степень — это показатель степени, до которого увеличивается базовое число. Итак, если вы хотите вычислить корень 10-й степени из 100, базовое число равно 100, а степень — 1/10.Убедитесь, что вы не передали 10 в качестве силы. Вместо этого вам нужно передать 1/10 как n√x = x (1 / n). Короче говоря, вы можете использовать функцию POWER в Excel, чтобы найти корень n-й степени любого числа.

Шаг 1. Откройте Excel и сохраните файл под именем nth-root.xlsx. Введите «Число», «Корень» и «Результат» в ячейки A1, B1 и C1 соответственно. Вы можете отформатировать эти ячейки, чтобы сделать их полужирными. Введите значения 2 и 3 в ячейки A2 и B2. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Шаг 2. Щелкните ячейку C2 и перейдите в Формулы (главное меню) -> Math & Trig и выберите POWER из списка.

Вы получите такое окно:

Шаг 3. Щелкните внутри текстового поля рядом с Number и введите A2. Щелкните текстовое поле рядом с Power и введите 1 / B2. Теперь ваш экран будет выглядеть так:

Шаг 4. Щелкните OK, и ваш экран будет выглядеть так.

= МОЩНОСТЬ (A2,1 / B2)

Чтобы дважды проверить результат, скопируйте формулу из C1 в C2 и введите 256 и 4 в ячейки A3 и B3. Вы получите результат 4, то есть корень 4-й степени из 256 равен 4.

Эту обобщенную формулу можно использовать для вычисления корня n-й степени любого числа. Вам просто нужно использовать функцию СТЕПЕНЬ как СТЕПЕНЬ (x, 1 / n), если вы хотите вычислить корень n-й степени числа x.

Как вычислить квадратный корень в Excel (с помощью простых формул)

Удивительно, как в Excel можно найти несколько способов сделать одно и то же. В конце концов, существует так много потрясающих функций и возможностей.

Очень простая и часто используемая задача — вычислить квадратный корень в Excel.

И, как я уже сказал, есть несколько способов сделать это в Excel (формулы, VBA, Power Query).

В этом уроке я покажу вам различные способы вычисления квадратного корня в Excel (и вы можете выбрать любой метод, который вам больше нравится).

Но прежде чем я перейду к тому, как это вычислить, позвольте мне быстро рассказать о том, что такое квадратный корень (не стесняйтесь переходить к следующему разделу, если я стану слишком проповедовать).

Что такое квадратный корень?

Когда вы умножаете число (скажем, X) на само себя, вы получаете значение (скажем, Y).

Здесь X — квадратный корень из Y.

Например, 10, умноженное на 10, равно 100.

Здесь 10 — квадратный корень из 100.

Вот и все! Это просто. Но посчитать это не так-то просто.

Например, если я прошу вас вычислить квадратный корень из 50, я уверен, что вы не сможете вычислить его в уме (если вы не математический гений).

Вот подробная статья в Википедии на случай, если вы хотите узнать о ней больше.

В этом уроке я покажу вам несколько способов (обещаю простые) для вычисления квадратного корня в Excel .

Итак, приступим!

Вычислить квадратный корень с помощью функции SQRT

Да, в Excel есть специальная функция, цель существования которой — дать вам квадратный корень

Функция SQRT принимает один единственный аргумент (может быть числом или ссылкой на число) и возвращает квадратный корень из этого числа.

Чтобы вычислить квадратный корень из 100 в Excel, вы можете использовать следующую формулу:

 = КОРЕНЬ (100) 

Приведенная выше формула даст вам 10, что является квадратным корнем из 100.

Вы также можете использовать ссылку на ячейку в функции SQRT, как показано ниже:

Примечание. Другой результат здесь может быть -10, но формула возвращает только положительное значение.

Хотя эта функция отлично работает с положительными числами, если вы дадите ей отрицательное число, она вернет ошибку # ЧИСЛО.

Это понятно, поскольку в математике отрицательное число не имеет квадратного корня. Даже если число отрицательное, если вы умножите его само на себя, результат будет положительным.

Но если вам все еще нужен квадратный корень из отрицательного числа (при условии, что он был положительным), вам может потребоваться сначала преобразовать отрицательное число в положительное, а затем найти квадратный корень из него. Например, если вы хотите получить квадратный корень из -100, вы можете использовать функцию SQRT с функцией ABS:

 = SQRT (ABS (-100)) 

Функция ABS дает вам абсолютное значение и игнорирует отрицательный знак.

Примечание. В Excel есть еще две функции, связанные с квадратным корнем:

1. SQRTPI — Эта функция возвращает квадратный корень из числа, умноженного на константу Pi (π)
2. IMSQRT — Эта функция возвращает квадратный корень из комплексного числа

Вычислить квадратный корень с помощью экспоненциального оператора

Другой способ вычисления квадратного корня (или кубического корня или N-го корня) в Excel — использование экспоненциального оператора.1/2 даст два разных результата. Это связано с тем, что экспоненциальный оператор получает предпочтение перед делением и вычисляется первым. Использование скобок решает эту проблему.

Вычислить квадратный корень с помощью функции POWER

Еще один простой способ вычислить квадратный корень в Excel (или кубический корень, или корень N-й степени) — использовать функцию POWER.

Ниже приведен синтаксис функции СТЕПЕНЬ:

 = СТЕПЕНЬ (число, мощность) 

Требуется два аргумента:

1. базовое число (может быть любым действительным числом)
2. степень / экспонента, к которой это основание число увеличивается

В отличие от функции КОРЕНЬ, вы можете использовать функцию СТЕПЕНЬ для вычисления корней (например, квадратного корня или кубического корня) или степени (например, квадрат или куб) числа.

Ниже приведена формула, которая даст вам квадратный корень из 100 в Excel:

 = МОЩНОСТЬ (100,1 / 2) 

или

 = МОЩНОСТЬ (100, 0,5) 

Если вы хотите кубический корень, вы можете использовать следующую формулу:

 = МОЩНОСТЬ (100,1 / 3) 

И аналогично, если вам нужен квадрат числа, вы можете использовать ту же формулу с соответствующим вторым аргументом.

 = POWER (100,2) 

Если вы используете отрицательное число в функции POWER, оно вернет ошибку #NUM.

Получение квадратного корня с помощью Power Query

Хотя приведенные выше формулы очень быстрые, и если вы работаете с большим количеством данных, а это то, что вам нужно делать довольно часто, вы также можете рассмотреть возможность использования Power Query.

Этот метод больше подходит, когда у вас есть большой набор данных, в котором вы хотите вычислить квадратный корень значений в столбце, и вы получаете новый набор данных каждый день / неделю / месяц / квартал. Использование Power Query минимизирует усилия, поскольку вы можете просто подключить новые данные и обновить запрос, и он даст вам результат.

Для целей этого примера я буду использовать простой набор данных, как показано ниже, где мне нужно вычислить квадратный корень для значений в столбце B.

Ниже приведены шаги для вычисления квадратного корня с помощью Power Query в Excel:

1. Выберите любую ячейку в наборе данных.
2. Щелкните вкладку «Вставка».
3. Щелкните значок «Таблица» (он находится в группе «Таблицы»). Это откроет диалоговое окно Create Table.
4. Проверьте диапазон и отметьте опцию «Моя таблица имеет заголовки».Щелкните ОК. Это преобразует табличные данные в таблицу Excel.
5. Щелкните вкладку «Данные».
6. В группе «Получить и преобразовать» щелкните параметр «Из таблицы / диапазона». Откроется редактор Power Query.
7. В редакторе запросов щелкните заголовок столбца.
8. Перейдите на вкладку «Преобразование».
9. В группе «Число» щелкните научный параметр.
10. Щелкните «Квадратный корень». Это мгновенно изменит значения в выбранном столбце и даст вам квадратные корни из исходных чисел.
11. Перейдите на вкладку «Файл».
12. Щелкните «Закрыть и загрузить».

Приведенные выше шаги позволят создать новый рабочий лист в книге Excel и вставить таблицу из Power Query. Эта новая таблица будет иметь квадратные корни исходных табличных данных.

Если у вас есть отрицательные значения в ячейках, вы получите ошибку #NUM в итоговой таблице.

Несмотря на то, что для того, чтобы заставить это работать с Power Query, требуется несколько шагов, огромное преимущество Power Query заключается в том, что теперь вы можете просто обновлять и получать новые результаты, когда вы получаете новые данные.

Например, если вы теперь получаете новые данные в следующем месяце, вам нужно просто скопировать и вставить эти данные в таблицу, которую мы создали (на шаге 4), перейти в любую ячейку в таблице, полученной из Power Query, справа — нажмите и нажмите «Обновить».

Итак, хотя для выполнения этой операции в первый раз требуется несколько щелчков мышью, после установки вы легко преобразуете новые данные с помощью простого обновления.

Помимо квадратного корня, вы также можете использовать функцию Power в Power Query, чтобы получить кубический корень или корень N-й степени (или получить квадрат или куб чисел).

Вставка символа квадратного корня (√) в Excel

Хотя это немного не по теме, я подумал, что я также дам вам знать, как вставить квадратный корень в Excel.

Это может быть полезно, если вы хотите отобразить значение рядом с символом квадратного корня и квадратным корнем из него. Что-то вроде того, что показано ниже.

И точно так же, как у нас есть разные формулы для вычисления значения квадратного корня в Excel, у нас также есть несколько методов для вставки символа квадратного корня.

Вставить символ квадратного корня с помощью сочетания клавиш

Если вы используете цифровую клавиатуру, вот сочетание клавиш для вставки символа квадратного корня:

 ALT + 251 

Удерживая клавишу ALT, нажмите цифровые клавиши 2,5 и 1 на цифровой клавиатуре. Теперь, когда вы оставите ключи, будет вставлен символ квадратного корня.

Вставить символ квадратного корня с формулой

Вы также можете использовать формулу для получения символа квадратного корня в Excel.

Это может быть полезно, когда имеется столбец значений, и вы хотите быстро добавить ко всем ним символ квадратного корня.

Чтобы получить символ квадратного корня, вы можете использовать следующую формулу:

 = UNICHAR (8730) 

Поскольку это формула, вы также можете комбинировать ее с другими формулами или ссылками на ячейки. Например, если у вас есть столбец значений и вы хотите добавить символ квадратного корня ко всем этим значениям, вы можете использовать формулу, как показано ниже:

 = UNICHAR (8730) & A1 

Примечание. хотите получить квадратный корень пару раз, вы можете получить его один раз, используя сочетание клавиш или формулу, а затем просто скопируйте и вставьте его.

Вставить символ квадратного корня путем изменения пользовательского числового формата

И, наконец, третий способ добавить символ квадратного корня — изменить форматирование ячейки таким образом, чтобы оно отображалось всякий раз, когда вы вводите что-либо в ячейку

Ниже приведены шаги по изменению форматирования ячеек для автоматического добавления символа квадратного корня:

1. Выберите ячейки, в которых должен автоматически отображаться символ квадратного корня
2. Удерживая контрольную клавишу, нажмите клавишу 1.