1 класс множество элемент множества: Множество и элемент множества

Множество. Элементы множества. 2-й класс

Цели:

1. Ввести понятие «множество».
2. Ввести понятие «элементы множества».
3. Научить определять принадлежность элемента множеству.

Предварительная подготовка:

1. Принести мяч.
2. Принести картинки, на которых изображены предметы с общим названием (можно использовать карточки детского лото).

Ход урока

— Ребята, сегодня на уроке мы с вами узнаем, что такое «множество» и что называют «элементами множества»!

— У меня на доске нарисован мешок. Пока он пуст. Давайте соберем в него зверей, которых вы знаете.

Игра:

Учитель ходит с мячом по классу и кидает ученику мяч, а ученик должен быстро назвать какого-либо зверя.

-А теперь давайте всех названных зверей соберем в наш мешок.

Дети вспоминают, а учитель выписывает на доске всех названных в игре зверей (или использует карточки с магнитом).

— Много в мешке получилось зверей?

— Много.

— В математике такую группу предметов (или живых существ) с общим названием и собранных вместе называют «множеством». «Множество» от слова МНОГО. (Слайд 3,4)

— Попробуйте дать название множеству.

 «Назови множество»:

Учитель показывает картинки с однородными предметами. Дети должны дать название этому множеству, например – рыбы, птицы, растения, книги.

— Это множество рыб. (Слайд 5)

— Это множество птиц

— Давайте выполним задание №1 в тетради.

Задание №1. (Слайд 7)

Ученики должны назвать и подписать название предлагаемых множеств.

Множество: посуды, животных, обуви, игрушек, банных принадлежностей, предметов для рисования.

— Теперь давайте поиграем.

Игра «Назови множество» (Слайды 8,9,10)

Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики придумывают название этому множеству.

— платье, брюки, шуба, юбка, кофта, куртка… — одежда.

(- шкаф, стул, стол, диван, тумбочка… —

— береза, сосна, ель, тополь, дуб, ива… — деревья.

(- Москва, Одесса, Лондон, Париж, Санкт-Петербург… — города.)

— стрекоза, кузнечик, бабочка, муха, пчела… — насекомые.

После игры на доске появляется еще один мешок, в котором перечислены названия предметов, но нет общего названия. Его дети должны придумать сами. Например, сапоги, валенки, кроссовки, ботинки, тапочки.

— Это множество обуви.

— Все предметы из этого множества называют элементами этого множества. (Слайд 11,12)

— Выполним задание №2.

Задание №2

При выполнении задания для каждой картинки следует проверить каждое предлагаемое слово.

— Можно сказать, что на лугу пасется стая коров?

— Нет

— А рой коров?

— Нет

— А букет коров?

-Нет

-Значит, для коров, пасущихся на лугу, подходит только слово «стадо».

Аналогично для остальных картинок перебираются возможные варианты, и выбирается подходящее слово.

 — Итак, для некоторых групп предметов есть определенные слова, называющие эти группы, например, «стадо коров». Но сказать «рой коров» уже нельзя. Но зато любую группу предметов, собранных вместе, можно назвать «множеством»: множество коров, множество рыб, множество цветов.

— Сейчас снова будем играть. Для игры нам понадобятся ваши ладошки.

Игра «Найди лишнего» (Слайды 14,15,16)

Учитель называет какое-либо множество и начинает перечислять его элементы. Ученики должны хлопнуть в ладоши, если какой-либо названный предмет не является элементом заданного множества.

— Мы идем по парку и видим деревья: березу, дуб, розу (хлопок), тополь, сосну, ромашку (хлопок), ель, сирень (хлопок)…

— Мы заходим в магазин и покупаем овощи

— В спортивном зале мы видим спортивные принадлежности: мяч, лыжи, гантели, кресло (хлопок), теннисные ракетки, расческу (хлопок), коньки, стул (хлопок)…

— Выполняем задания в тетради.

Задание №3. (Слайд 17)

Ученики должны определить предмет, который мешает назвать множество остальных предметов.

— В клетке находится множество птиц, а кролик среди них является лишним.

Аналогично предыдущему.

— Почему Незнайка вычеркнул круг?

— Потому что все остальные предметы с углами.

— А если оставить круг в начальном множестве, то какая другая фигура может быть лишней и почему?

— Лишним может быть прямоугольник, как серая фигура.

Задание №5. (Слайд 19)

Из заданного множества дети должны выделить элементы названных множеств: овощей и фруктов. Исследуется каждый предмет: если это овощ – подчеркивать одной чертой, если фрукт – двумя чертами. Предмет, не входящий ни в одно из названных множеств, подчеркивать не надо.

После этого следует перечислить все полученные множества вслух.

— Множество овощей: картошка, свекла, морковь, огурец, помидор, тыква.

— Множество фруктов: груша, яблоко, апельсин, лимон, ананас.

— Не подчеркнуты: масло, хлеб, колбаса, сыр, мяч.

Задание №6. (Слайд 20)

Главное в задании, чтобы ученик мог назвать выделенное им множество и перечислить его элементы.

— Множество музыкальных инструментов: труба, скрипка, гитара, гармошка, барабан.

— Множество спортивных принадлежностей: гантели, мяч, коньки, ракетка.

— Множество строительных инструментов: пила, пассатижи, отвертка.

— И снова играем. Здесь понадобятся ваши знания.

Игра «Продолжи ряд»:

Учитель перечисляет ряд предметов, а ученики, догадываясь о названии множества по перечисленным предметам, продолжают его своими элементами.

Обязательно в конце каждого этапа подвести итог: что же было перечислено, т.е. дать название множеству.

• сыроежка, мухомор, опенок…(подберезовик, подосиновик, лисичка) – это…множество грибов
• лиса, медведь, слон, бегемот…(волк, заяц, тигр, носорог) – это…множество зверей
• стрекоза, бабочка, кузнечик…(жук, комар, пчела, муха) – это…множество насекомых
• беретка, шляпа, панамка…(платок, кепка, шапка) – это…множество головных уборов
• щука, окунь, сом, плотва…(акула, карась, лещ) – это…множество рыб

Задание №7. (Слайд 21)

Дети выполняют самостоятельно. Можно 1-2 учеников попросить озвучить свои ответы.

— Дорисовал тюльпан, т.к. это множество цветов.

— Ребята, назовите известные вам города (дети перечисляют названия городов).

— Можно городом назвать «Волгу»?

— Нет, это река.

— Можно ли назвать городом Россию?

— Нет, это страна.

Задание №8. (Слайд 22)

Выполняется самостоятельно.

Задание №9. (Слайд 23)

Ученики должны дать название каждому столбцу с тремя предметами (одежда, рыбы, деревья). После чего дуб должен быть вписан в столбец под названием «деревья», т.к. он является деревом.

Аналогично исследуются остальные предметы: окунь, лещ – «рыбы», юбка – «одежда».

Итог урока:

— Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с такими понятиями, как «множество» и «элементы множества». Научились определять множество, а также принадлежность элемента заданному множеству.

Карточки с заданиями (Слайды 24-30)

Учащимся раздаются карточки с заданиями в виде тестов на два варианта. Проверяется степень усвоения нового материала.

1 вариант:

2 вариант:

Домашнее задание: (Слайд 31)

№10.

Дети должны нарисовать любое множество предметов с общим названием и подписать название под картинкой.

Литература:

1. Методические рекомендации для учителя, 2 класс, А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
2. Информатика в играх и задачах, 2 класс, часть 2. А.В.Горячев, К.И.Горина, Н.И.Суворова.
3. Информатика тесты, 2 класс, О.Н.Крылова.

КСП урока математики в 1 классе по теме » Множество.

Предмет: математика Раздел долгосрочного плана:   Множество. Элементы множеств Дата:  Класс: 1 Школа: ОСШ № 10 ФИО учителя: Фёдорова Юлия Юрьевна Количество  присутствующих: Количество  отсутствующих: Цели обучения,  которые достигаются  на данном уроке Цели обучения Критерии успеха Языковая цель 1.5.2.5 Проводить сбор данных, систематизировать, достраивать,  составлять таблицы, пиктограммы и с помощью подручных  материалов Все учащиеся смогут:  • проводить сбор данных, составлять пиктограмму Большинство учащихся будут уметь:  • составлять пиктограмму, преобразовывать ее в диаграмму Некоторые учащиеся смогут: • соотносить пиктограмму и диаграмму ­ проводит сбор данных и систематизирует  их ­ составляет пиктограмму, превращает ее в диаграмму Учащиеся могут: определять закономерность  составления  пиктограммы, диаграммы Лексика и терминология, специфичная для предмета:  Пиктограмма, диаграмма Полезные выражения для диалогов и письма:   В чём заключается система нашей работы? Сотрудничество.  Уважение. Честность Привитие ценностей Межпредметные связи Познание мира Навыки использования ИКТ   Предыдущее обучение пиктограмма Планируемые сроки Планируемые действия (замените записи ниже запланированными действиями) Ресурсы План Начало  урока      Ролик Пиктограмма  Учитель предлагает ребятам посмотреть ролик,  сюжет которого таков: Всем известный герой из  детского фильма Спортакус проводит опрос у детей, на чем им больше нравится кататься ­ велосипеде,  роликах или скейтборде?  После опроса детям  предлагается рассмотреть пиктограмму, которую  составил Спортакус Детям предлагается ответить на вопросы: ­ Сколько человек предпочитают кататься на  велосипедах? (8) ­ Сколько человек предпочитают кататься на  роликах? (5) ­ Сколько человек предпочитают кататься на  скейтбордах? (4) ­ Какой вид развлечений нравится ребятам больше  всего? ­ Какой вид практически  не пользуется спросом? ­ На сколько человек любят больше кататься на  велосипедах, чем на роликах? ­ На сколько меньше человек предпочитают кататься на скейтбордах, чем на велосипедах? А чем на  роликах? ­ Сколько всего человек принимало участие в  опросе?  Вывод: Как Спортакус советует проводить  свободное время? Середина  урока ­Что ещё включает в себя понятие ЗОЖ? ­ А вы уже начали вести ЗОЖ? ­ Кто посещает спортивные секции? А хотите узнать, какой вид спорта считается самым  популярным среди современных школьников? ­ Представьте, что к нам в школу пришли тренера из  спортивной школы и предложили детям нашего  класса записаться в секцию плавания, тенниса,  футбола и хоккея.  В какую секцию бы вы  записались? Детям предлагается выбрать карточку с любимым  видом спорта и составить пиктограмму. ­ Какой вид спорта самый популярный среди  современных школьников? ­ Каким видом спорта заинтересовалось наименьшее  количество детей? ­ Какой вид спорта стоит на втором месте? На  третьем?  ­ Как мы сможем проверить, все ли ребята приняли  участие в опросе?  Как называется работа, которую мы сейчас  выполняли? ­ Для чего мы это делали?  ­А хотите узнать, как пиктограмма превращается в  диаграмму? ­ Давайте прочитаем, что обозначает это новое  слово?  ( читают определение из учебника) Учитель объясняет, как пиктограмму превратить в  диаграмму.  А теперь я хочу предложить вам самим провести  опрос, из собранных данных составить пиктограмму, преобразовать ее в диаграмму, сделать выводы.    ­Скажите, вы все делали сегодня утреннюю зарядку? ­ Проведите опрос в группах, какой спортивный  инвентарь дети чаще всего используют во время  утренней зарядки?  ­Дети в группах проводят опрос, составляют  пиктограмму. Карточки  Карточка со  словом  ДИАГРАММА Картинки ­Учитель просит предоставить данные классу от  каждой группы. ­Далее учитель предлагает группам обменяться  пиктограммами.  ­Каждая группа получает задание преобразовать  пиктограмму другой группы  в диаграмму.  Представляют данные классу. Оценивание « От одного до пяти пальцев». Как вы думаете, в чем заключается система нашей  работы? Далее учитель просит учащихся открыть учебники  на стр. 96­97 Работа по учебнику  Далее учитель просит учащихся открыть рабочие  тетради стр.93, 94 Работа в тетради Конец урока Ученикам предлагается соотнести пиктограммы и  диаграммы, ответ занести в таблицу( 5 диаграмм и 5  пиктограмм) Оценивание по критериям: 5 правильных ответов­  4 правильных ответа­ 3 правильных ответа­ 2 и меньше правильных ответов­  Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать Дополнительная информация Оценивание – как Вы планируете проверить ТаблицаМножество. Элементы множеств 1 2 3 4 5 Здоровье и соблюдение техники безопасности больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить уровень усвоения материала учащимися? перед более способными учащимися? •диалог и поддержка •физминутка •Собирать данные ­ Строить диаграммы по  пиктограммам ­ Отличать диаграммы от  пиктограмм Используйте данный раздел для размышлений об уроке.   Ответьте на  самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.    Рефлексия Были ли цели урока/цели  обучения реалистичными?   Все ли учащиеся достигли  ЦО?  Если нет, то почему?  Правильно ли проведена  дифференциация на уроке? Выдержаны ли были  временные этапы урока?   Какие отступления  были от плана урока и  почему?

Урок математики 1 класс .Тема: «Множество.Пустое множество».

Краткосрочный план по математике УРОК: математика Тема: Множества. Пустое множество. Школа: КГУ «Фрунзенская средняя  школа» Дата: Класс: 1класс Имя учителя: Григоренко Лариса  Александровна Количество    присутствующих:  отсутствующ их: обучения, Цели   которые   помогает достичь   данный урок 1.4.1.3   сравнивать   множества   предметов   с   помощью составления пар;  определять равные множества,  пустое множество Цели урока Все обучающиеся смогут:  сравнивать множество предметов с помощью составления пар,  находить равные множества и пустое множество Большинство обучающихся смогут: группировать     предметы   и   объединять   во   множество   по определенным признакам при выполнении практических заданий Некоторые обучающиеся смогут: составлять варианты множества и называть элементы этих множеств Языковые цели Определите   языковые   цели,   включая   примеры   лексики   и фраз Обучающиеся могут: Объяснить,   на   основе   чего   они   делают   вывод   о   сравнении   и сопоставлении предметов, собранных в множество Лексика и терминология, специфичная для предмета: Множество, пустое множество, равные множества, элемент, элементы   множества,   «элемент принадлежит   множеству»,   «элемент   не   принадлежит множеству»   лишний   элемент, Полезные выражения для диалогов и письма:  Сколько элементов…? Где поровну…? Можно ли…?Что ещё вы заметили? Как вы думаете…? Чем отличаются рисунки? Можете ли вы сказать почему…? Как вы считаете…. ? Трехъязычие : назвать времена года, дни недели , цвета на двух языках: английский ,казахский. Обучающиеся   знакомились   на   прошлом   уроке   с   понятием множества   как   совокупность   предметов,   имеющих   общее название. Предыдущее обучение План Запланированные сроки Запланированные   мероприятия   (замените содержимое   колонок   на   запланированные мероприятия) Источники Начало урока                                   Психологический настрой. ­Добрый день! И в добрый час! Вы, ребятки, просто класс! На уроке не скучаем, Пишем, думаем, решаем! ­Ребята,   кто   из   вас   любит   сказки?(ответы детей) ­Какие вы знаете сказки? (перечисляют какие знают сказки, вспоминают  с какими   сказками   знакомились   на   уроках обучения грамоты) (Г) _У   меня   в   волшебном   сундучке   карточки   с изображением сказочных героев.  ­Возьмите   карточки   и   распределитесь   на группы: 1группа­герои сказки «Колобок, 2группа­герои сказки «Теремок», 3группа­герои сказки « Красная Шапочка» (выбирают,   встают   в   круг(обруч)   с   названием данных   сказок.   Объединились   во   множества   по признакам героев сказок) ­Ребята, что получилось у нас? (множества) ­А   что   (в   третьем круге(обруче)   нет   элементов   множества,   он пуст). ­Почему?  (нет   карточек   «Красная шапочка») ­Сколько   элементов  в  первом  множестве?(7– дед, баба, колобок, заяц, лиса, волк, медведь) ­Сколько элементов во втором множестве?(6­ мышка­норушка,лягушка­квакушка,зайчик­ побегайчик,лисичка­сестричка,волчок­серый бочок, медведь косолапый) ­Как   вы   считаете,   можно   сделать   равными множества? Как? (убрать лишний элемент первого множества или добавить элемент во второе множество) ­Как вы думаете, о чем мы сегодня будем с вами   говорить?   Кто   сможет   назвать   тему урока? (о   множестве,   о     его   элементах     и   пустом множестве) ­Молодцы! ­Сегодня мы будем составлять и сравнивать   ещё   вы   заметили?    с   героями   сказки ПУ Активные  методы  обучения,  «стартер»  подведение к  теме урока Середина урока    множества предметов и узнаем когда можно назвать множество пустым. ­ ­Попробуйте сравнить полученные множества. (в первой группе больше элементов множества, а во второй группе меньше элементов множества) ­Можете ли сказать почему? (в   сказке   «Колобок»   больше   сказочных   героев, чем в сказке «Теремок» ­Можно ли составить пары элементов? (да,   есть   одинаковые   персонажи   в   данных сказках) Составьте   пары   элементов   множеств,   если возможно и пройдите на свои места. ­Сколько пар получилось?(4) ­Почему   получились   пары?(есть   одинаковые герои сказок) ­Что вы заметили? (остались лишние элементы_) ­Их можно объединить? (нет) ­Почему? (Разные герои из разных сказок) ­Можно ли  сказать ,что  оставшиеся элементы первого   множества   не   принадлежат   второму множеству?(да,можно.) Физминутка ИКТ.   внимательно   рассмотрите (Г)­Ребята, картинки. Назовите предметы в первом овале, обсудите   и   скажите,   как   их   можно   назвать одним словом. Ответ:  элементы   множества   цветов­ромашка, колокольчик, одуванчик. ­Проведите   аналогичную   работу   с   двумя другими множествами и озвучьте свои ответы. Ответы: множества животных, цифр и букв. «Танцуют все»Физминутк а. Учебник с.114 Множества. (более успешные  придумывают  свои множества и называют  их элементы) (ФО)­словесная похвала (И) Добавляй! Работа в тетрадях.  ­добавь в каждое множество элементы.(работа в тетрадях) _сосед   проверяет   и   дает   сигнал   учителю (лайк,дизлайк) что работа выполнена. (взаимооценивание )  ( Г) Собирай! ­А   сейчас   поиграем.   Встали   дружно   дети   в круг. Я называю множество и кидаю мяч, а вы называете элементы множества, перебрасывая мяч   друг   другу.   Выигрывает   тот   ,кто последним придумает элемент множества. Например: Посуда: чашка, ложка…. Деревья: береза, тополь… Учебные принадлежности: ручка, карандаш… (назвать   на   казахском   и   английском   языке: трехъязычие) Времена года:  Дни недели: Цвета радуги: ­Молодцы!(словесная похвала) (И)Собирай! ­собери множества ,дай им названия, допиши недостающие элементы множества. (проверка учителем, получает смайлик тот ,кто справился с заданием) (Г)­1   группа   выполняет   задание   «Лишний элемент» _Рассмотреть самостоятельно, найти лишний элемент   во   множестве,   обсудить   в   группе результат   работы   и   доказать,   почему   вы назвали лишними эти предметы  ( груша,книга,3) (Дети сами находят лишний элемент,обсуждают и доказывают   свой   выбор   и   оценивают   себя   по шкале достижений) Рабочий   лист с. 109 Игра «Элементы множества» ПУ Рабочий   лист с.109 Учебник с.115 Шкала достижений ФО «множества   и операции   над ними) 2группа ­Чем отличаются рисунки, которые вы видите на парте?(находят отличия) ­Как   вы   считаете,   можно   уравнять   данные множества?   Как?(убрать   лишний   элемент   или добавить недостающий элемент) ­уравняйте множество (оценивают   при   помощи   сигнальных   карточек «Д», «С»,­достиг, стремлюсь. 3группа   ­На   парте   у   вас   карточки   с   названием множеств. 1. множество летающих лошадей­ 2.множество деревьев в лесу­ 3.множество камней в пенале­ 4.множество рыб в море­ 5.множество углов с кругами­ ­прочитать,   обсудить и определить какие из данных множеств будут пустыми и почему? (проверяет учитель словесно) (К)   ­прочитайте   правило   в   учебнике   и расскажите соседу. ФО (И)Работа в тетрадях. Засели дом. Узнай. Пустые множества. (более   успешные   обучающиеся   выполнят самостоятельно,   менее   успешным   оказываю поддержку при выполнении задания при помощи Учебник с. 115 Рабочий   лист с.110 вопросов) Оценивают себя по лесенке достижений Конец урока Рефлексия «Лесенка успеха»  Оценивают себя по лесенке достижений . 1 –было сложно и непонятно; 2­все было понятно; 3­все   было   понятно   и   смогу   объяснить   что такое пустое множество Дополнительная информация Дифференциация   – каким   образом   Вы планируете   оказать больше   поддержки? Какие   задачи   Вы планируете   поставить перед более   способными учащимися?   Более успешные учащиеся   оказывают помощь     менее успешным учащимся. Размышления Оценивание   –   как   Вы планируете   проверить   уровень усвоения материала учащихся? Метапредметные   связи Здоровье   и   безопасность Связи с ИКТ.   с   за   Наблюдая   работой учащихся­   в   группе,   парной   и   индивидуальной работы. Взаоимооценивание, самооценивание­ Словесное оценивание. Взаимосвязь предметами: литературное   чтение, познание мира, физическая культура. ИКТ использовалось   при проведении физминутки.  Используйте   данный   раздел   для   размышлений   об   уроке. Ответьте   на   самые   важные   вопросы   о   Вашем   уроке   из левой колонки.     рефлексия. Цели   урока   достигнуты.   На   уроке   учащиеся   поняли,   что такое множества, пустое множество.  На уроке были подобраны дифференцированные задания. Все   задания   были   выполнены,   не   выходя   за   временные рамки урока.             ли Были цели урока/цели   обучения реалистичными?   Что учащиеся выучили сегодня? Какая атмосфера   царила   в классе?   Сработало   ли дифференциация, проводимая мной? Уложился(лась)   ли   я   в сроки? Какие отступления   были   от плана урока и почему? Общая оценка Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)? 1:Выбранные методы и приемы сособствовали достижению поставленных целей 2:Продуманная организация урока, создание ситуаций успеха всех обучающихся Какие две вещи могли бы улучшить урок (подумайте как о преподавании, так и об обучении)? 1: Умение всех учащихся работать самостоятельно. 2:Добывать знания самостоятельно. Что я узнал(а) за время урока о классе или отдельных учениках такого, что поможет мне подготовиться к следующему уроку? Некоторые   обучающиеся   могут   выполнять   задания   с   повышенной сложностью,работать самостоятельно. Отдельным обучающимся необходима индивидуальная помощь

Способы задания множеств. 3 класс

1. Способы задания множеств

Операции с множествами Python — шпаргалка для начинающих

Множество — это неупорядоченный набор элементов. Каждый элемент уникален (не имеет дубликатов) и должен быть неизменным (его нельзя изменить). Но само множество можно изменять: добавлять или удалять элементы из него.

Множество создается размещением с помощью функции set(). При этом элементы экранируются фигурными скобками и разделяются запятыми.

Множество может содержать любое количество элементов. Они могут быть различных типов. Но множество не может содержать изменяемый элемент, такой как список или словарь.

# множество целых чисел
my_set = {1, 2, 3}
print(my_set)

# множество значений разных типов
my_set = {1.0, "Hello", (1, 2, 3)}
print(my_set)

Другие примеры:

# множество не содержит дубликатов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set = {1,2,3,4,3,2}
print(my_set)

# множество не может содержать изменяемых значений
# здесь [3, 4] - это изменяемый список
# Если вы раскомментируете строку #12,
# это приведет к ошибке. 
# TypeError: unhashable type: 'list'

#my_set = {1, 2, [3, 4]}

# мы можем создать множество из этого списка
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set = set([1,2,3,2])
print(my_set)

Создать пустое множество сложнее. Пустые фигурные скобки {} создадут пустой словарь Python. Чтобы создать множество без элементов, нужно вызвать функцию set() без аргументов.

# инициализируем a с помощью {}
a = {}

# проверяем тип данных a
# Вывод: <class 'dict'>
print(type(a))

# инициализируем a с помощью set()
a = set()

# проверяем тип данных a
# Вывод: <class 'set'>
print(type(a))

Множества могут быть изменены. Но элементы в них неупорядоченные, поэтому индексирование не имеет смысла.

Нельзя получить доступ или изменить элемент множества, используя для этого индексацию или срез. Множество их не поддерживает.

Можно добавить один элемент, используя метод add(), несколько — используя метод update(). Он может принимать в качестве аргумента кортежи, списки, строки или другие множества.  Во всех случаях дубликаты невозможны.

# инициализируем my_set
my_set = {1,3}
print(my_set)

# если вы раскомментируете строку 9,
# то получите ошибку
# TypeError: 'set' object does not support indexing

#my_set[0]

# добавление элемента
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set.add(2)
print(my_set)

# добавление нескольких элементов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set.update([2,3,4])
print(my_set)

# добавление списка и множества
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
my_set.update([4,5], {1,6,8})
print(my_set)

Результат работы программы:

{1, 3}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

Это можно сделать с помощью методов discard() и remove(). Различие между ними состоит в том, что при использовании discard(), если элемент не существует во множестве, оно остается неизменным. А метод remove() выдаст ошибку.

Следующий пример иллюстрирует это.

# инициализируем my_set
my_set = {1, 3, 4, 5, 6}
print(my_set)

# удаляем элемент
# Вывод: {1, 3, 5, 6}
my_set.discard(4)
print(my_set)

# удаляем элемент
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set. remove(6)
print(my_set)

# удаляем элемент,
# который отсутствует в my_set
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.discard(2)
print(my_set)

# удаляем элемент,
# который отсутствует в my_set
# Если вы раскомментируете строку 27,
# то получите ошибку.
# Вывод: KeyError: 2

#my_set.remove(2) 

Точно так же можно удалить и вернуть элемент, используя метод pop(). Но нет способа определить, какой элемент будет извлечен.

Мы также можем удалить все элементы из множества, используя метод clear().

# инициализируем my_set
# Вывод: множество уникальных элементов
my_set = set("HelloWorld")
print(my_set)

# извлекаем элемент
# Вывод: случайный элемент
print(my_set.pop())

# извлекаем еще один элемент
# Вывод: случайный элемент
my_set.pop()
print(my_set)

# очищаем my_set
#Вывод: set()
my_set.clear()
print(my_set)

Множества могут использоваться для выполнения математических операций: объединение, пересечение и симметричная разница.

Рассмотрим следующие два множества:

>>> A = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> B = {4, 5, 6, 7, 8}

Объединение A и B — это множество всех элементов из обоих множеств.

Объединение  осуществляется с помощью оператора |. Эту же операцию можно осуществить с помощью метода union().

# инициализируем A и B
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# используем оператор |
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
print(A | B)

Протестируйте следующие примеры:

# используем функцию union
>>> A.union(B)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

# используем функцию union для B
>>> B.union(A)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Пересечение A и B – операция получения набора элементов, которые являются общими для обоих множеств.

Пересечение осуществляется с помощью оператора &. Эту же операцию можно произвести с помощью метода intersection().

# инициализируем A и B
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7, 8}

# используем оператор &
# Вывод: {4, 5}
print(A & B) 

Протестируйте следующие примеры:

# используем функцию intersection для A
>>> A.intersection(B)
{4, 5}

# используем функцию intersection для B
>>> B.  B)

Протестируйте следующие примеры:

# используем функцию symmetric_difference для A
>>> A.symmetric_difference(B)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}

# используем функцию symmetric_difference для B
>>> B.symmetric_difference(A)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}

Список всех методов, которые доступны для работы с объектами множеств.

Методы множеств Python
Метод	Описание
add()	Добавляет элемент во множество.
clear()	Удаляет все элементы из множества.
copy()	Возвращает копию множества.
difference()	Возвращает разницу двух или более множеств в качестве нового множества.
difference_update()	Удаляет все элементы другого множества из заданного множества.
discard()	Удаляет элемент из множества, если он содержится в нем.
intersection()	Возвращает пересечение двух множеств в качестве нового множества.
intersection_update()	Обновляет множество пересечением с другим множеством.
isdisjoint()	Возвращает значение True,   если два множества имеют нулевое пересечение.
issubset()	Возвращает значение  True,  если другое множество содержит это множество.
issuperset()	Возвращает значение True,  если это множество содержит другое множество.
pop()	Удаляет и возвращает произвольный элемент множество. Выдает KeyError,  если множество пусто.
remove()	Удаляет элемент из набора. Если элемент не является членом множества, выдает KeyError.
symmetric_difference()	Возвращает симметричную разницу двух множеств как новое множество.
symmetric_difference_update()	Обновляет множество симметричной разницей между собой и другим множеством.
union()	Возвращает объединение множеств в новом наборе.
update()	Обновляет множество объединением с другим множеством.

Мы можем проверить, существует ли элемент во множестве, используя ключевое слово in.

# инициализируем my_set
my_set = set("apple")

# проверяем, присутствует ли 'a'
# Вывод: True
print('a' in my_set)

# проверяем, присутствует ли 'p' 
# Вывод: False
print('p' not in my_set)

Используя цикл for, можно выполнить переборку каждого элемента во множестве.

>>> for letter in set("apple"):
...     print(letter)
...    
a
p
e
l

Встроенные функции, такие как all(), any(), enumerate(), len(), max(), min(), sorted(), sum() , используются с множеством для выполнения различных задач.

Встроенные функции для работы с множествами
Функция	Описание
all()	Возвращает значение True, если все элементы множества являются true (или если множество пусто).
any()	Возвращает значение True, если какой-либо элемент множества является true. Если множество пусто, возвращает значение False.
enumerate()	Возвращает пронумерованный объект. Содержит индекс и значение всех элементов множества в виде пары.
len()	Возвращает длину (количество элементов) множества.
max()	Возвращает наибольший элемент во множестве.
min()	Возвращает наименьший элемент во множестве.
sorted()	Возвращает новый отсортированный список, состоящий из элементов множества (не сортирует само множество).
sum()	Возвращает сумму всех элементов множества.

Frozenset — это новый класс, который имеет характеристики множества. Но его элементы не могут быть изменены после назначения. В то время как кортежи представляют собой неизменяемые списки, Frozensets являются неизменяемыми множествами.

Frozenset может быть создан с помощью функции frozenset(). Этот тип данных поддерживает такие методы, как copy(), difference(), intersection(), isdisjoint(), issubset(), issuperset(), symmetric_difference() и union().  Но он не поддерживает методы добавления или удаления элементов.

# инициализируем A и B
A = frozenset([1, 2, 3, 4])
B = frozenset([3, 4, 5, 6]) 

Протестируйте эти примеры.

>>> A.isdisjoint(B)
False
>>> A.difference(B)
frozenset({1, 2})
>>> A | B
frozenset({1, 2, 3, 4, 5, 6})
>>> A.add(3)
...
AttributeError: 'frozenset' object has no attribute 'add'

Дайте знать, что вы думаете по этой теме материала в комментариях. За комментарии, лайки, отклики, подписки, дизлайки низкий вам поклон!

Пожалуйста, опубликуйте ваши комментарии по текущей теме материала. Мы очень благодарим вас за ваши комментарии, лайки, подписки, дизлайки, отклики!

Вадим Дворниковавтор-переводчик статьи «Python Sets»

Множества | Collections | Scala Documentation

Множества (Set) — это итерируемые сущности, которые не содержат дублирующих друг друга элементов. Операции с множествами описаны в таблицах ниже. Описания включают операции для базовых, неизменяемых и изменяемых множеств. Все их операции поделены на следующие категории:

• Проверки contains, apply, subsetOf. Метод contains спрашивает, содержит ли множество данный элемент. Метод apply для множества работает также как и contains, поэтому set(elem) является тем же самым, что и set contains elem. Это означает, что множества могут использоваться в качестве тестовых функций, которые возвращают true при проверке элементов, которые они содержат.

Например:

scala> val fruit = Set("apple", "orange", "peach", "banana")
fruit: scala.collection.immutable.Set[java.lang.String] = Set(apple, orange, peach, banana)
scala> fruit("peach")
res0: Boolean = true
scala> fruit("potato")
res1: Boolean = false

• Сложения incl и concat (либо + и ++, соответственно), которые добавляют один или несколько элементов во множество, создавая новое множество.
• Удаления excl и removedAll (либо - и --, соответственно), которые удаляют один или несколько элементов из множества, образуя новое множество.
• Операции с множествами для объединения, пересечения и установления расхождений во множествах. Каждая из таких операций имеет две формы: словарную и символьную. Словарные версии — intersect, union, и diff, а символьные — &, | и &~. Фактически ++, которые Set унаследовали от Iterable, можно рассматривать как еще один псевдоним union или |, за исключением того, что ++ принимает IterableOnce в качестве аргумента, а union и | принимают множества.

Операции на Классе Set

ПРИМЕР	ЧТО ДЕЛАЕТ
Проверки:
xs contains x	Проверяет, является ли x элементом xs.
xs(x)	Тоже самое что и xs contains x.
xs subsetOf ys	Проверяет, является ли xs подмножеством ys.
Добавления:
xs concat ys или xs ++ ys	Множество, содержащее все элементы xs, а также все элементы ys.
Удаления:
xs.empty	Пустое множество того же класса, что и xs.
Двуместные Операции:
xs intersect ys или xs & ys	Множество содержащее пересечение xs и ys.
xs union ys или xs | ys	Множество содержащее объединение xs и ys.
xs diff ys или xs &~ ys	Множество содержащее расхождение между xs и ys.

В неизменяемых множествах методы добавления или удаления элементов работают путем возврата новых множеств (Set), как описано ниже.

Операции на Классе immutable.Set

ПРИМЕР	ЧТО ДЕЛАЕТ
Добавления:
xs incl x или xs + x	Множество содержащее все элементы xs а также элемент x.
Удаления:
xs excl x или xs - x	Множество содержащее все элементы xs кроме x.
xs removedAll ys или xs -- ys	Множество содержащее все элементы xs кроме элементов ys.

Изменяемые множества предоставляют в дополнение к перечисленным методам еще методы добавления, удаления или обновления элементов.

Операции на Классе mutable.Set

ПРИМЕР	ЧТО ДЕЛАЕТ
Добавления:
xs addOne x или xs += x	Добавляет элемент x во множество xs побочным эффектом и возвращает сам xs.
xs addAll ys или xs ++= ys	Добавляет все элементы ys во множество xs побочным эффектом и возвращает сам xs.
xs add x	Добавляет элемент x к xs и возвращает true, если x ранее не содержался в множестве, false если был.
Удаления:
xs subtractOne x или xs -= x	Удаляет элемент x из множества xs побочным эффектом и возвращает сам xs.
xs subtractAll ys или xs --= ys	Удаляет все элементы ys из множества xs побочным эффектом и возвращает сам xs.
xs remove x	Удаляет элемент x из xs и возвращает true, если x ранее не содержался в множестве, false если был.
xs filterInPlace p	Оставляет только те элементы в xs которые удовлетворяют условию p.
xs.clear()	Удаляет все элементы из xs.
Обновления:
xs(x) = b	(тоже самое что и xs.update(x, b)). Если логический аргумент b равен true, то добавляет x к xs, иначе удаляет x из xs.
Клонирования:
xs.clone	Создает новое мутабельное множество с такими же элементами как у xs.

Операции s += elem добавляют элемент elem к множеству s в качестве сайд эффекта, возвращая в качестве результата мутабельное множество. Точно так же, s -= elem удаляет elem из множества, и возвращает это множество в качестве результата. Помимо += и -= есть еще пакетные операции ++= и --= которые добавляют или удаляют все элементы итерируемой коллекции.

Выбор в качестве имен методов += и -= будет означать для вас, то что схожий код сможет работать как с изменяемыми, так и с неизменяемыми множествами. Сначала рассмотрим следующий пример в консоле, в котором используется неизменяемый набор параметров s:

scala> var s = Set(1, 2, 3)
s: scala. collection.immutable.Set[Int] = Set(1, 2, 3)
scala> s += 4
scala> s -= 2
scala> s
res2: scala.collection.immutable.Set[Int] = Set(1, 3, 4)

Мы использовали += и -= на var типа immutable.Set. Выражение s += 4 является сокращение для s = s + 4. Тоесть вызов метода сложения + на множестве s, а затем присвоения результата обратно в переменную s . Рассмотрим теперь аналогичные действия с изменяемым множеством.

scala> val s = collection.mutable.Set(1, 2, 3)
s: scala.collection.mutable.Set[Int] = Set(1, 2, 3)
scala> s += 4
res3: s.type = Set(1, 4, 2, 3)
scala> s -= 2
res4: s.type = Set(1, 4, 3)

Конечный эффект очень похож на предыдущий результат; мы начали с Set(1, 2, 3) закончили с Set(1, 3, 4). Несмотря на то, что выражения выглядят так же, но работают они несколько иначе. s += 4 теперь вызывает метод += на изменяемом множестве s, измененяет свое собственное значение. По схожей схеме работает, s -= 2 вызывая метод -= на томже самом множестве.

Сравнение этих двух подходов демонстрирует важный принцип. Часто можно заменить изменяемую коллекцию, хранящуюся в val, неизменяемой коллекцией, хранящейся в var, и наоборот. Это работает, по крайней мере, до тех пор, пока нет прямых отсылок на коллекцию, используя которую можно было бы определить была ли коллекция обновлена или создана заново.

У изменяемых множеств также есть операции add и remove как эквиваленты для += и -=. Разница лишь в том, что команды add и remove возвращают логический результат, показывающий, повлияла ли операция на само множество или нет.

Текущая реализация изменяемого множества по умолчанию использует хэш-таблицу для хранения элементов множества. Реализация неизменяемого множества по умолчанию использует представление, которое адаптируется к количеству элементов множества. Пустое множество представлено объектом сингэлтоном. Множества размеров до четырех представлены одним объектом, в котором все элементы хранятся в виде полей. За пределами этого размера, неизменяемые множества реализованны в виде Сжатого Отображенния Префиксного Дерева на Ассоциативном Массиве.

Результатом такой схемы представления является то, что неизменяемые множества малых размеров (скажем, до 4), более компактны и более эффективны, чем изменяемые. Поэтому, если вы ожидаете, что размер множества будет небольшим, постарайтесь сделать его неизменяемым.

Два дочерних трейта множеств SortedSet и BitSet.

Отсортированное Множество (SortedSet)

SortedSet это множество, которое отдает свои элементы (используя iterator или foreach) в заданном порядке (который можно свободно задать в момент создания множества). Стандартное представление SortedSet — это упорядоченное двоичное дерево, которое поддерживает свойство того, что все элементы левого поддерева меньше, чем все элементы правого поддерева. Таким образом, простой упорядоченный обход может вернуть все элементы дерева в возрастающем порядке. Scala класс immutable.TreeSet базируется на красно-черном дереве, в котором сохраняется тоже свойство но при этом само дерево является сбалансированным –, то есть все пути от корня дерева до листа имеют длину, которая может отличаться друг от друга максимум на еденицу.

При создании пустого TreeSet, можно сначала указать требуемый порядок:

scala> val myOrdering = Ordering.fromLessThan[String](_ > _)
myOrdering: scala.math.Ordering[String] = ...

Затем, чтоб создать пустой TreeSet с определенным порядком, используйте:

scala> TreeSet.empty(myOrdering)
res1: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet()

Или можно опустить указание аргумента с функцией сравнения, но указать тип элементов множества. В таком случае будет использоваться порядок заданный по умолчанию на данном типе.

scala> TreeSet. empty[String]
res2: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet()

Если вы создаете новое множество из существующего упорядоченного множества (например, путем объединения или фильтрации), оно будет иметь туже схему упорядочения элементов, что и исходное множество. Например

scala> res2 + "one" + "two" + "three" + "four"
res3: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet(four, one, three, two)

Упорядоченные множества также поддерживают запросы на диапазоны. Например, метод range возвращает все элементы от начального элемента до конечного, но исключая конечный элемент. Или же метод from возвращает все элементы от начального и далее все остальные элементы в порядке очередности. Результатом работы обоих методов также будет упорядоченное множество. Примеры:

scala> res3.range("one", "two")
res4: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet(one, three)
scala> res3 rangeFrom "three"
res5: scala. collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet(three, two)

Битовые Наборы (BitSet)

Битовые Наборы — это множество неотрицательных целочисленных элементов, которые упаковываются в пакеты. Внутреннее представление BitSet использует массив Longов. Первый Long охватывает элементы от 0 до 63, второй от 64 до 127 и так далее (Неизменяемые наборы элементов в диапазоне от 0 до 127 оптимизированны таким образом что хранят биты непосредственно в одном или двух полях типа Long без использования массива). Для каждого Long 64 бита каждого из них устанавливается значение 1, если соответствующий элемент содержится в наборе, и сбрасывается в 0 в противном случае. Отсюда следует, что размер битового набора зависит от размера самого большого числа, которое в нем хранится. Если N является самым большим размером числа, то размер набора будет составлять N/64 от размера Long, или N/8 байта плюс небольшое количество дополнительных байт для информации о состоянии.

Поэтому битовые наборы компактнее, чем другие множества, когда речь идет о хранении мелких элементов. Еще одним преимуществом битовых наборов является то, что такие операции, как проверка на наличие элемента contains, добавление либо удаление элементов с += и -= черезвычайно эффективны.

Набор Python (с примерами)

Набор — это неупорядоченный набор элементов. Каждый элемент набора уникален (без дубликатов) и должен быть неизменным (не может быть изменен).

Однако сам набор является изменяемым. Мы можем добавлять или удалять элементы из него.

Множества также можно использовать для выполнения математических операций над множествами, таких как объединение, пересечение, симметричная разность и т. д.

Создание наборов Python

Набор создается путем помещения всех элементов (элементов) в фигурные скобки {} , разделенных запятой, или с помощью встроенной функции set() .

Может иметь любое количество элементов, и они могут быть разных типов (целые числа, числа с плавающей запятой, кортежи, строки и т. д.). Но множество не может иметь в качестве своих элементов изменяемые элементы, такие как списки, наборы или словари.

  # Различные типы наборов в Python
# набор целых чисел
мой_набор = {1, 2, 3}
печать (мой_набор)

# набор смешанных типов данных
my_set = {1.0, "Привет", (1, 2, 3)}
печать (my_set)  

Выход

  {1, 2, 3}
{1.0, (1, 2, 3), "Здравствуйте"}  

Попробуйте также следующие примеры.

  # набор не может иметь дубликатов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set = {1, 2, 3, 4, 3, 2}
печать (мой_набор)

# мы можем сделать множество из списка
# Вывод: {1, 2, 3}
my_set = установить ([1, 2, 3, 2])
печать (мой_набор)

# в наборе не может быть изменяемых элементов
# здесь [3, 4] — изменяемый список
# это вызовет ошибку.

my_set = {1, 2, [3, 4]}  

Выход

  {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3}
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 15, в 
    my_set = {1, 2, [3, 4]}
TypeError: нехешируемый тип: «список»  

Создать пустой набор немного сложно.

Пустые фигурные скобки {} создаст пустой словарь в Python. Чтобы создать набор без каких-либо элементов, мы используем функцию set() без каких-либо аргументов.

  # Различать набор и словарь при создании пустого набора

# инициализируем {}
а = {}

# проверить тип данных a
печать (тип (а))

# инициализируем с помощью set()
а = установить ()

# проверить тип данных a
печать (тип (а))  

Выход

  <класс 'дикт'>
<класс 'набор'>  

Изменение набора в Python

Наборы изменяемы.Однако, поскольку они неупорядочены, индексация не имеет смысла.

Мы не можем получить доступ к элементу набора или изменить его с помощью индексации или нарезки. Установить тип данных не поддерживает его.

Мы можем добавить один элемент, используя метод add() , и несколько элементов, используя метод update() . Метод update() может принимать в качестве аргумента кортежи, списки, строки или другие множества. Во всех случаях дубликаты избегаются.

  # инициализировать my_set
мой_набор = {1, 3}
печать (мой_набор)

# мой_набор[0]
# если вы раскомментируете строку выше
# вы получите сообщение об ошибке
# TypeError: объект 'set' не поддерживает индексацию

# добавить элемент
# Вывод: {1, 2, 3}
мой_набор.добавить(2)
печать (мой_набор)

# добавить несколько элементов
# Вывод: {1, 2, 3, 4}
my_set.update([2, 3, 4])
печать (мой_набор)

# добавить список и установить
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
my_set.update([4, 5], {1, 6, 8})
печать (my_set)  

Выход

  {1, 3}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}  

Удаление элементов из набора

Определенный элемент может быть удален из набора с помощью методов discard() и remove() .

Единственная разница между ними состоит в том, что функция discard() оставляет набор без изменений, если элемент отсутствует в наборе. С другой стороны, функция remove() вызовет ошибку в таком состоянии (если элемент отсутствует в наборе).

Следующий пример иллюстрирует это.

  # Разница между discard() и remove()

# инициализировать my_set
my_set = {1, 3, 4, 5, 6}
печать (мой_набор)

# отбросить элемент
# Вывод: {1, 3, 5, 6}
мой_набор.сбросить(4)
печать (мой_набор)

# удалить элемент
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.remove(6)
печать (мой_набор)

# отбросить элемент
# отсутствует в my_set
# Вывод: {1, 3, 5}
my_set.discard(2)
печать (мой_набор)

# удалить элемент
# отсутствует в my_set
# вы получите сообщение об ошибке.
# Вывод: KeyError

my_set.remove(2)  

Выход

  {1, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 6}
{1, 3, 5}
{1, 3, 5}
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 28, в 
KeyError: 2  

Точно так же мы можем удалить и вернуть элемент, используя метод pop() .

Поскольку набор является неупорядоченным типом данных, невозможно определить, какой элемент будет извлечен. Это совершенно произвольно.

Мы также можем удалить все элементы из набора, используя метод clear() .

  # инициализировать my_set
# Вывод: набор уникальных элементов
my_set = установить ("HelloWorld")
печать (мой_набор)

# извлекаем элемент
# Вывод: случайный элемент
печать (my_set.pop())

# извлечь другой элемент
my_set.pop()
печать (мой_набор)

# очистить my_set
# Вывод: установить()
мой_набор.чистый()
печать (мой_набор)

печать (my_set)  

Выход

  {'H', 'l', 'r', 'W', 'o', 'd', 'e'}
ЧАС
{'г', 'В', 'о', 'д', 'е'}
установить()  

Операции набора Python

можно использовать для выполнения математических операций над множествами, таких как объединение, пересечение, разность и симметричная разность. Мы можем сделать это с помощью операторов или методов.

Рассмотрим следующие два набора для следующих операций.

  >>> А = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> В = {4, 5, 6, 7, 8}  

Комплект соединения

Union of A и B представляет собой набор всех элементов из обоих наборов.

Объединение выполняется с помощью | оператор. То же самое можно сделать с помощью метода union() .

  # Установить метод объединения
# инициализируем А и Б
А = {1, 2, 3, 4, 5}
В = {4, 5, 6, 7, 8}

# использовать | оператор
# Вывод: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
печать(А | В)  

Выход

  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию объединения
>>> А.союз (Б)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

# используем функцию объединения на B
>>> Б.союз(А)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}  

Набор пересечений

Пересечение A и B — это набор элементов, общих для обоих наборов.

Пересечение выполняется с помощью оператора и . То же самое можно сделать с помощью метода пересечения() .

  # Пересечение множеств
# инициализируем А и Б
А = {1, 2, 3, 4, 5}
В = {4, 5, 6, 7, 8}

# использование и оператор
# Вывод: {4, 5}
печать(А и Б)  

Выход

  {4, 5}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию пересечения на A
>>> А.пересечение(Б)
{4, 5}

# используем функцию пересечения на B
>>> Б.пересечение(А)
{4, 5}  

Установить разницу

Отличие набора B от набора A ( A — B ) представляет собой набор элементов, которые есть только в A , но не в B . Точно так же B — A является набором элементов в B , но не в A .

Различие выполняется с помощью оператора - . То же самое можно сделать, используя метод Differenti() .

  # Разница двух наборов
# инициализируем А и Б
А = {1, 2, 3, 4, 5}
В = {4, 5, 6, 7, 8}

# use - оператор на A
# Вывод: {1, 2, 3}
печать(А - Б)  

Выход

  {1, 2, 3}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию разницы на A
>>> А.Б)  

Выход

  {1, 2, 3, 6, 7, 8}  

Попробуйте выполнить следующие примеры в оболочке Python.

  # использовать функцию symmetric_difference для A
>>> А.симметричная_разница(Б)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}

# использовать функцию symmetric_difference на B
>>> Б. симметричная_разница (А)
{1, 2, 3, 6, 7, 8}  

Другие методы установки Python

Существует множество методов установки, некоторые из которых мы уже использовали выше.Вот список всех методов, которые доступны с набором объектов:

Метод	Описание
добавить()	Добавляет элемент в набор
очистить()	Удаляет все элементы из набора
копирование()	Возвращает копию набора
разница()	Возвращает разницу двух или более наборов в виде нового набора
разность_обновление()	Удаляет все элементы другого набора из этого набора
отбросить()	Удаляет элемент из набора, если он является членом. (Ничего не делать, если элемента нет в наборе)
пересечение()	Возвращает пересечение двух наборов как новый набор
cross_update()	Обновляет набор пересечением себя и другого
isdisjoint()	Возвращает Истинно , если два набора имеют нулевое пересечение
issubset()	Возвращает True , если другой набор содержит этот набор
issuperset()	Возвращает True , если этот набор содержит другой набор
поп()	Удаляет и возвращает произвольный элемент множества.Вызывает KeyError , если набор пуст
удалить()	Удаляет элемент из набора. Если элемент не является членом, вызывает ошибку KeyError
симметричная_разность()	Возвращает симметричную разность двух наборов в виде нового набора
симметричное_difference_update()	Обновляет набор с симметричной разностью себя и другого
объединение()	Возвращает объединение наборов в новый набор
обновление()	Обновляет набор объединением себя и других

Другие операции с наборами

Установить тест на членство

Мы можем проверить, существует ли элемент в наборе или нет, используя ключевое слово в .

  # в ключевом слове в наборе
# инициализировать my_set
my_set = установить ("яблоко")

# проверяем, присутствует ли 'a'
# Вывод: Истина
print('a' в my_set)

# проверить, присутствует ли 'p'
# Вывод: Ложь
print('p' нет в my_set)  

Выход

  Правда
Ложь  

Перебор набора

Мы можем перебрать каждый элемент в наборе, используя цикл для .

  >>> для буквы в наборе ("яблоко"):
... печать (письмо)
...
а
п
е
л  

Встроенные функции с набором

Встроенные функции, такие как all() , any() , enumerate() , len() , max() , min() , sorted()

2, sum () и т. д. обычно используются с наборами для выполнения различных задач.

Функция	Описание
все()	Возвращает True , если все элементы набора истинны (или если набор пуст).
любой()	Возвращает True , если любой элемент набора истинен. Если набор пуст, возвращает False .
перечислить()	Возвращает перечисляемый объект. Он содержит индекс и значение для всех элементов набора в виде пары.
лен()	Возвращает длину (количество элементов) в наборе.
макс()	Возвращает самый большой элемент в наборе.
мин()	Возвращает наименьший элемент в наборе.
отсортировано()	Возвращает новый отсортированный список из элементов набора (сам набор не сортируется).
сумма()	Возвращает сумму всех элементов набора.

Python Frozenset

Frozenset — это новый класс, который имеет характеристики набора, но его элементы нельзя изменить после назначения.В то время как кортежи — это неизменяемые списки, замороженные наборы — неизменные наборы.

Изменяемые наборы нельзя хешировать, поэтому их нельзя использовать в качестве ключей словаря. С другой стороны, наборы заморозки можно хешировать и использовать в качестве ключей к словарю.

Frozensets можно создавать с помощью функции Frozenset().

Этот тип данных поддерживает такие методы, как: объединение () .Будучи неизменным, он не имеет методов, которые добавляют или удаляют элементы.

  # Фрозенсеты
# инициализируем А и Б
A = замороженный набор ([1, 2, 3, 4])
B = замороженный набор ([3, 4, 5, 6])  

Попробуйте эти примеры в оболочке Python.

  >>> A.isdisjoint(B)
Ложь
>>> А.разница(Б)
замороженный набор ({1, 2})
>>> А | Б
замороженный набор ({1, 2, 3, 4, 5, 6})
>>> А.добавить(3)
...
AttributeError: объект «замороженный» не имеет атрибута «добавить»  

— JavaScript | MDN

Объект Set позволяет хранить уникальные значения любого типа, будь то примитивные значения или ссылки на объекты.

Объекты Set представляют собой наборы значений. Вы можете перебирать элементы набора в порядке вставки. Значение в наборе может встречаться только один раз ; он уникален в коллекции Set .

Равенство значений

Поскольку каждое значение в наборе Set должно быть уникальным, будет проверено равенство значений. В более ранней версии спецификации ECMAScript это не основывалось на том же алгоритме, который использовался в операторе === .В частности, для Set s +0 (что строго равно -0 ) и -0 были разными значениями. Однако это было изменено в спецификации ECMAScript 2015. Подробнее см. «Равенство ключей для -0 и 0» в таблице совместимости браузеров.

NaN и undefined также могут храниться в наборе. Все значения NaN приравниваются (т. е. NaN считается таким же, как NaN , хотя NaN !== NaN ).

Производительность

Набор имеет метод , проверяющий, находится ли значение в объекте Set , используя подход, который в среднем быстрее, чем проверка большинства элементов, ранее добавленных в набор . объект. В частности, он в среднем быстрее, чем метод Array.prototype.includes , когда объект Array имеет длину , равную размеру объекта Set .

Установить()

Создает новый объект Set .

Set.prototype.add( значение )

Добавляет значение к объекту Set . Возвращает объект Set с добавленной стоимостью.

Set.prototype.clear()

Удаляет все элементы из объекта Set .

Set. prototype.delete( значение )

Удаляет элемент, связанный со значением , и возвращает логическое значение, подтверждающее, был ли элемент успешно удален или нет. Set.prototype.has(value) впоследствии вернет false .

Set.prototype.has( значение )

Возвращает логическое значение, утверждающее, присутствует ли элемент с заданным значением в объекте Set или нет.

Методы итерации

Set.prototype[@@iterator]()

Возвращает новый объект итератора, который дает значения для каждого элемента в объекте Set в порядке вставки.

Set.prototype.values()

Возвращает новый объект итератора, который дает значения для каждого элемента в объекте Set в порядке вставки.

Set.prototype.keys()

Псевдоним для Set.prototype.values() .

Set.prototype.entries()

Возвращает новый объект итератора, который содержит массив [значение, значение] для каждого элемента в объекте Set в порядке вставки.

Это похоже на объект Карта , так что ключ каждой записи совпадает со значением для набора .

Set.prototype.forEach( callbackFn [, thisArg ])

Вызывает callbackFn один раз для каждого значения, присутствующего в объекте Set , в порядке вставки. Если предоставлен параметр thisArg , он будет использоваться как значение this для каждого вызова callbackFn .

Использование объекта Set

  const mySet1 = new Set()

мойSet1. добавить(1)
мойSet1.добавить(5)
мойSet1.добавить(5)
mySet1.add('какой-то текст')
const о = {а: 1, б: 2}
мойSet1.добавить(о)

mySet1.add({а: 1, б: 2})

мойSet1.has(1)
мойSet1.has(3)
мойSet1.has(5)
mySet1.has(Math.sqrt(25))
mySet1.has('Некоторый текст'.toLowerCase())
мойSet1.has(о)

мойSet1.размер

мойSet1.удалить(5)
мойSet1.has(5)

мой набор1.размер

console.log(mySet1)


  

Наборы итераций

 

for (пусть элемент mySet1) console.log(элемент)


for (пусть элемент mySet1.keys()) console.log(элемент)


for (пусть элемент mySet1.values()) console.log(item)



for (пусть [ключ, значение] mySet1.entries()) console.log(key)


const myArr = Array.from(mySet1)


mySet1.add(document.body)
mySet1.has(document.querySelector('тело'))


const mySet2 = новый набор ([1, 2, 3, 4])
мойSet2.размер
[...мойSet2]


константное пересечение = новый Set([...mySet1].filter(x => mySet2.has(x)))


константная разница = новый набор([...mySet1].filter(x => !mySet2.has(x)))


mySet2.forEach (функция (значение) {
  console. log(значение)
})





  

Реализация основных операций над множествами

  function isSuperset(set, subset) {
    for (пусть элемент подмножества) {
        если (!set.has(элемент)) {
            вернуть ложь
        }
    }
    вернуть истину
}

объединение функций (setA, setB) {
    пусть _union = новый набор (setA)
    for (пусть элемент setB) {
        _союз.добавить (элемент)
    }
    вернуть _union
}

пересечение функций (setA, setB) {
    пусть _intersection = новый набор()
    for (пусть элемент setB) {
        если (setA.has(элемент)) {
            _intersection.add(элемент)
        }
    }
    вернуть _intersection
}

функция симметричная разность (setA, setB) {
    пусть _difference = новый набор (setA)
    for (пусть элемент setB) {
        если (_difference.has(элемент)) {
            _difference.delete(элемент)
        } еще {
            _difference.add(элемент)
        }
    }
    вернуть _difference
}

разность функций (setA, setB) {
    пусть _difference = новый набор (setA)
    for (пусть элемент setB) {
        _разница. удалить (элемент)
    }
    вернуть _difference
}


const setA = новый набор ([1, 2, 3, 4])
const setB = новый набор ([2, 3])
const setC = новый набор ([3, 4, 5, 6])

isSuperset (наборA, наборB)
объединение (setA, setC)
пересечение (setA, setC)
симметричная разница (setA, setC)
разница (setA, setC)
  

Связь с объектами Array

  let myArray = ['value1', 'value2', 'value3']


пусть mySet = новый набор (myArray)

mySet.has('значение1')


console.log([...mySet])
  

Удалить повторяющиеся элементы из массива

 

константные числа = [2,3,4,4,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,5,32,3,4,5]

консоль.журнал ([... новый набор (числа)])


  

Связь со строками

  let text = 'Индия'

const mySet = новый набор (текст)
mySet.size


новый набор ("Firefox")
новый набор ("фаерфокс")
  

Используйте Set для обеспечения уникальности списка значений

  const array = Array
  .from(document.querySelectorAll('[id]'))
  . map (функция (е) {
      вернуть e.id
  });

константный набор = новый набор (массив);
console.assert(set.size == array.length);
  

Таблицы BCD загружаются только в браузере

8.7. наборы — неупорядоченные наборы уникальных элементов — документация Python 2.7.2

Новое в версии 2.3.

Устарело, начиная с версии 2.6: встроенные типы set/frozenset заменяют этот модуль.

Модуль наборов предоставляет классы для построения и управления неупорядоченные наборы уникальных элементов. Обычное использование включает членство тестирование, удаление дубликатов из последовательности и вычисление стандартной математики операции над множествами, такие как пересечение, объединение, разность и симметрия разница.

Как и другие коллекции, наборы поддерживают x в наборе, len(set) и x в набор. Будучи неупорядоченной коллекцией, наборы не записывают позицию элемента или порядок вставки. Соответственно, наборы не поддерживают индексирование, нарезку или другое похожее на последовательность поведение.

Большинство приложений set используют класс Set, который предоставляет все методы set. кроме __hash__(). Для расширенных приложений, требующих хеш-метода, класс ImmutableSet добавляет метод __hash__(), но опускает методы которые изменяют содержимое набора.И Set, и ImmutableSet происходит от BaseSet, абстрактного класса, полезного для определения того, что-то представляет собой набор: isinstance(obj, BaseSet).

Классы множества реализованы с помощью словарей. Соответственно, требования к элементам множества такие же, как и к ключам словаря; а именно, что элемент определяет как __eq__(), так и __hash__(). Как результат, наборы не могут содержать изменяемые элементы, такие как списки или словари. Тем не мение, они могут содержать неизменяемые коллекции, такие как кортежи или экземпляры Неизменяемый набор.Для удобства реализации наборов наборов внутренние наборы автоматически преобразуются в неизменяемую форму, например, Set([Set(['dog'])]) преобразуется в Set([ImmutableSet(['dog'])]).

класс наборы. Набор ([ итерируемый ])

Создает новый пустой объект Set. Если необязательный итеративный предоставляется, обновляет набор элементами, полученными в результате итерации. Все элементы в iterable должны быть неизменяемыми или трансформироваться в неизменяемый с использованием протокола, описанного в разделе Протокол для автоматического преобразования в неизменяемый .

класс наборы.ImmutableSet([ iterable ])

Создает новый пустой объект ImmutableSet. Если необязательный итеративный предоставляется, обновляет набор элементами, полученными в результате итерации. Все элементы в iterable должны быть неизменяемыми или трансформироваться в неизменяемый с использованием протокола, описанного в разделе Протокол для автоматического преобразования в неизменяемый .

Поскольку объекты ImmutableSet предоставляют метод __hash__(), они могут использоваться как элементы набора или как ключи словаря. Неизменяемый набор объекты не имеют методов добавления или удаления элементов, поэтому все элементы должны быть известны при вызове конструктора.

8.7.1. Набор объектов

Экземпляры Set и ImmutableSet обеспечивают следующее операций:

Эксплуатация	Эквивалент	Результат
линзы		мощность множества с
х в с		тест x на принадлежность к s
х нет в		тест x на не принадлежность к с
с.подмножество (т)	с <= т	проверить, каждый ли элемент в с в т
с.иссуперсет(т)	с >= т	проверить, каждый ли элемент в т в с
с. союз(т)	с | т	новый набор с элементами обоих с и т
с.пересечение(т)	с и т	новый набор с элементами, общими для с и т
с.т	новый набор с элементами в любой s или t , но не оба
s.copy()		новый комплект с мелкой копией с

Обратите внимание, неоператорные версии union(), cross(), разность() и симметричная_разница() примут любую итерацию как Аргумент. Напротив, их коллеги на основе оператора требуют, чтобы их аргументы должны быть множествами. Это исключает подверженные ошибкам конструкции, такие как Установить('abc') & 'cbs' в пользу более читаемого Установить('абв').пересечение ('cbs').

Изменено в версии 2.3.1: Раньше все аргументы должны были быть установлены.

Кроме того, как Set, так и ImmutableSet поддерживают набор для установки сравнения. Два множества равны тогда и только тогда, когда каждый элемент каждого множества равен содержится в другом (каждое является подмножеством другого). Набор меньше, чем другой набор тогда и только тогда, когда первый набор является правильным подмножеством второго набора (является подмножеством, но не равно). Множество больше другого множества тогда и только тогда если первое множество является правильным надмножеством второго множества (является надмножеством, но не равный).

Сравнение подмножества и равенства не обобщается до полного упорядочения функция. Например, любые два непересекающихся множества не равны и не являются подмножествами. друг от друга, поэтому все из следующих возвращают False: aб. Соответственно, наборы не реализуют метод __cmp__().

Поскольку наборы определяют только частичный порядок (отношения подмножества), выходные данные метод list.sort() не определен для списков наборов.

В следующей таблице перечислены операции, доступные в ImmutableSet, но не найдено в наборе:

В следующей таблице перечислены операции, доступные в Set, но не найденные в Неизменяемый набор:

Эксплуатация	Эквивалент	Результат
с. обновление (т)	с |= т	обратный комплект s с элементами добавлен с т
s.intersection_update(t)	с &= т	набор возврата с только сохранение элементы также встречаются в t
s.difference_update(t)	с -= т	возврат набора с после снятия элементы найдены в т
с.= т	обратный комплект s с элементами от s или t , но не оба
с.доб(х)		добавить элемент x в набор s
с.удалить(х)		удалить x из набора s ; поднимает KeyError, если нет
s.discard(x)		удаляет x из набора s , если подарок
с. поп()		удалить и вернуть произвольное элемент из s ; поднимает KeyError, если пусто
с.очистить()		удалить все элементы из набора с

Обратите внимание, неоператорские версии update(), cross_update(), разность_обновление() и симметричная_разница_обновление() примут любая итерация в качестве аргумента.

Изменено в версии 2.3.1: Раньше все аргументы должны были быть установлены.

Также обратите внимание, что модуль также включает метод union_update(), который является псевдоним для обновления(). Метод включен для обратной совместимости. Программистам следует предпочесть метод update(), так как он поддерживается встроенные типы set() и frostset().

8.7.2. Пример

 >>> из наборов импорта Set
>>> инженеры = Set(['Джон', 'Джейн', 'Джек', 'Дженис'])
>>> Programmers = Set(['Джек', 'Сэм', 'Сьюзен', 'Дженис'])
>>> менеджеры = Set(['Джейн', 'Джек', 'Сьюзен', 'Зак'])
>>> сотрудники = инженеры | программисты | менеджеры # профсоюз
>>> engineering_management = инженеры и менеджеры # пересечение
>>> fulltime_management = менеджеры - инженеры - программисты # разница
>>> инженеры. add('Марвин') # добавить элемент
>>> инженеры-печатники
Set(['Джейн', 'Марвин', 'Дженис', 'Джон', 'Джек'])
>>> employee.issuperset(engineers) # тест надмножества
Ложь
>>> employee.update(engineers) # обновление из другого набора
>>> employee.issuperset(инженеры)
Истинный
>>> для группы в [инженеры, программисты, менеджеры, сотрудники]:
... group.discard('Susan') # безоговорочно удалить элемент
... группа печати
...
Set(['Джейн', 'Марвин', 'Дженис', 'Джон', 'Джек'])
Установить(['Дженис', 'Джек', 'Сэм'])
Установить(['Джейн', 'Зак', 'Джек'])
Set(['Джек', 'Сэм', 'Джейн', 'Марвин', 'Дженис', 'Джон', 'Зак'])
 

8.7.3. Протокол автоматического преобразования в неизменяемый

Наборы могут содержать только неизменяемые элементы. Для удобства изменяемый Set объекты автоматически копируются в ImmutableSet перед добавлением как элемент набора.

Механизм заключается в том, чтобы всегда добавлять хешируемый элемент , или, если он не hashable, элемент проверяется на наличие __as_immutable__() метод, который возвращает неизменяемый эквивалент.

Поскольку объекты Set имеют метод __as_immutable__(), возвращающий экземпляр ImmutableSet можно создавать наборы наборов.

Аналогичный механизм необходим для функций __contains__() и remove(). методы, которым необходимо хешировать элемент для проверки на принадлежность к набору. Те методы проверяют элемент на хешируемость и, если нет, проверяют наличие __as_temporary_immutable__(), который возвращает элемент, обернутый класс, предоставляющий временные методы для __hash__(), __eq__(), и __ne__().

Альтернативный механизм избавляет от необходимости создавать отдельную копию оригинала изменяемый объект.

Объекты Set реализуют метод __as_temporaries_immutable__() который возвращает объект Set, обернутый новым классом _Временно неизменяемый набор.

Два механизма добавления хешируемости обычно невидимы для пользователя; однако конфликт может возникнуть в многопоточной среде, где один поток обновляет набор, в то время как другой временно завернул его в _Временно неизменяемый набор. Другими словами, множества изменяемых множеств не являются потокобезопасный.

8.7.4. Сравнение со встроенными наборами типов

Типы встроенного набора и замороженного набора были разработаны на основе уроки, извлеченные из модуля наборов. Ключевые отличия:

• Set и ImmutableSet были переименованы в set и замороженный набор.
• Нет эквивалента BaseSet. Вместо этого используйте isinstance(x, (набор, замороженныйнабор)).
• Алгоритм хеширования для встроенных модулей работает значительно лучше (меньше столкновения) для большинства наборов данных.
• Встроенные версии имеют более компактные соленья.
• Во встроенных версиях отсутствует метод union_update(). Вместо этого используйте метод update(), который эквивалентен.
• Во встроенных версиях нет метода _repr(sorted=True). Вместо этого используйте встроенные функции repr() и sorted(): repr (отсортировано (ы)).
• Во встроенной версии нет протокола автоматического преобразования в неизменный. Многие сочли эту функцию запутанной, и никто в сообществе сообщили, что нашли для него реальное применение.

наборов в Python — настоящий Python

Многие операции, которые можно использовать для других составных типов данных Python, не имеют смысла для наборов. Например, наборы нельзя индексировать или нарезать. Однако Python предоставляет целый ряд операций над объектами множества, которые обычно имитируют операции, определенные для математических множеств.

Операторы и методы

Большинство, хотя и не все, операции над множествами в Python могут выполняться двумя разными способами: оператором или методом.Давайте посмотрим, как работают эти операторы и методы, на примере объединения множеств.

Для двух наборов, x1 и x2 , объединение x1 и x2 представляет собой набор, состоящий из всех элементов любого набора.

Рассмотрим эти два набора:

  x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}
  

Объединение x1 и x2 равно {'foo', 'bar', 'baz', 'qux', 'quux'} .

Примечание: Обратите внимание, что элемент 'baz' , который присутствует как в x1 , так и в x2 , появляется в объединении только один раз. Наборы никогда не содержат повторяющихся значений.

В Python объединение множеств может быть выполнено с помощью оператора | оператор:

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}
>>> х1 | х2
{'баз', 'кукс', 'кукс', 'бар', 'фу'}
  

  >>> x1.union(x2)
{'баз', 'кукс', 'кукс', 'бар', 'фу'}
  

  >>> x1 | («баз», «кукс», «кукс»)
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
    х1 | («баз», «кукс», «кукс»)
TypeError: неподдерживаемые типы операндов для |: 'set' и 'tuple'

>>> x1.union(('баз', 'кукс', 'кукс'))
{'баз', 'кукс', 'кукс', 'бар', 'фу'}
  

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}

>>> x1.union(x2)
{'foo', 'qux', 'quux', 'баз', 'бар'}

>>> х1 | х2
{'foo', 'qux', 'quux', 'баз', 'бар'}
  

  >>> а = {1, 2, 3, 4}
>>> б = {2, 3, 4, 5}
>>> с = {3, 4, 5, 6}
>>> д = {4, 5, 6, 7}

>>> а.союз (б, в, г)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

>>> а | б | с | г
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}

>>> х1.пересечение (x2)
{'баз'}

>>> х1 и х2
{'баз'}
  

  >>> а = {1, 2, 3, 4}
>>> б = {2, 3, 4, 5}
>>> с = {3, 4, 5, 6}
>>> д = {4, 5, 6, 7}

>>> a.intersection(b, c, d)
{4}

>>> а и б и в и г
{4}
  

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}

>>> x1.difference(x2)
{'фу', 'бар'}

>>> х1 - х2
{'фу', 'бар'}
  

  >>> а = {1, 2, 3, 30, 300}
>>> б = {10, 20, 30, 40}
>>> с = {100, 200, 300, 400}

>>> а.разность(б, в)
{1, 2, 3}

>>> а - б - в
{1, 2, 3}
  

Если указано несколько наборов, операция выполняется слева направо.Оператор допускает множественные наборы, а метод .symmetric_difference() — нет:

  >>> а = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> б = {10, 2, 3, 4, 50}
>>> с = {1, 50, 100}

>>> a. symmetric_difference(b, c)
Traceback (последний последний вызов):
  Файл "", строка 1, в 
    а.симметричная_разница (б, в)
TypeError: symmetric_difference() принимает ровно один аргумент (даны 2)
  

x1.isdisjoint(x2)

Определяет, имеют ли два множества какие-либо общие элементы.

x1.isdisjoint(x2) возвращает True , если x1 и x2 не имеют общих элементов:

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}

>>> x1.isdisjoint(x2)
Ложь

>>> x2 - {'баз'}
{'кукс', 'кукс'}
>>> x1.isdisjoint(x2 - {'баз'})
Истинный
  

Если x1.isdisjoint(x2) равно True , то x1 & x2 является пустым набором:

  >>> х1 = {1, 3, 5}
>>> х2 = {2, 4, 6}

>>> х1.непересекающийся (x2)
Истинный
>>> х1 и х2
набор()
  

Примечание: Нет оператора, соответствующего методу . isdisjoint() .

x1.issubset(x2)

х1 <= х2

Определить, является ли один набор подмножеством другого.

В теории множеств множество x1 считается подмножеством другого множества x2 , если каждый элемент x1 находится в x2 .

x1.issubset(x2) и x1 <= x2 возвращает True , если x1 является подмножеством x2 :

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x1.issubset({'foo', 'bar', 'baz', 'qux', 'quux'})
Истинный

>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}
>>> х1 <= х2
Ложь
  

Набор считается подмножеством самого себя:

  >>> х = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> х.подмножество (х)
Истинный
>>> х <= х
Истинный
  

Странно, пожалуй. Но это соответствует определению — каждый элемент x находится в x .

х1 < х2

Определяет, является ли один набор правильным подмножеством другого.

Правильное подмножество — это то же самое, что и подмножество, за исключением того, что множества не могут быть идентичными. Набор x1 считается правильным подмножеством другого набора x2 , если каждый элемент x1 находится в x2 , а x1 и x2 не равны.

x1 < x2 возвращает True , если x1 является подмножеством x2 :

  >>> x1 = {'foo', 'bar'}
>>> x2 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> х1 < х2
Истинный

>>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> х1 < х2
Ложь
  

Хотя набор считается подмножеством самого себя, он не является собственным подмножеством самого себя:

  >>> х = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> х <= х
Истинный
>>> х < х
Ложь
  

Примечание: Оператор < — единственный способ проверить, является ли набор правильным подмножеством. Соответствующего метода нет.

x1.issuperset(x2)

х1 >= х2

Определите, является ли один набор надмножеством другого.

Надмножество является противоположностью подмножества. Набор x1 считается надмножеством другого набора x2 , если x1 содержит каждый элемент x2 .

x1.issuperset(x2) и x1 >= x2 вернуть True , если x1 является надмножеством x2 :

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}

>>> х1.issuperset({'foo', 'бар'})
Истинный

>>> x2 = {'баз', 'кукс', 'кукс'}
>>> х1 >= х2
Ложь
  

Вы уже видели, что множество считается подмножеством самого себя. Набор также считается надмножеством самого себя:

  >>> х = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> x.issuperset(x)
Истинный
>>> х >= х
Истинный
  

х1 > х2

Определяет, является ли один набор надмножеством другого.

Правильный суперсет аналогичен суперсету, за исключением того, что наборы не могут быть идентичными.Набор x1 считается правильным надмножеством другого набора x2 , если x1 содержит все элементы x2 , а x1 и x2 не равны.

x1 > x2 возвращает True , если x1 является надмножеством x2 :

  >>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'фу', 'бар'}
>>> х1 > х2
Истинный

>>> x1 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> x2 = {'фу', 'бар', 'баз'}
>>> х1 > х2
Ложь
  

Набор не является надмножеством самого себя:

  >>> х = {1, 2, 3, 4, 5}
>>> х > х
Ложь
  

Примечание: Оператор > — единственный способ проверить, является ли набор надлежащим надмножеством.Соответствующего метода нет.

комплектов | Коллекции (Scala 2.8 - 2.12)

Set s — это Iterable s, которые не содержат повторяющихся элементов. Операции над наборами суммированы в следующей таблице для общих наборов и в следующей таблице для изменяемых наборов. Они делятся на следующие категории:

• Тесты содержит , применяется , подмножество . Метод содержит спрашивает, содержит ли набор заданный элемент.Метод применить для набора такой же, как содержит , поэтому набор (элемент) такой же, как набор содержит элемент . Это означает, что наборы также можно использовать в качестве тестовых функций, которые возвращают true для содержащихся в них элементов.

Например:

  scala> val fruit = Set("яблоко", "апельсин", "персик", "банан")
фрукты: scala.collection.immutable.Set[java.lang.String] = Set(яблоко, апельсин, персик, банан)
scala> фрукты ("персик")
res0: логическое значение = истина
scala> фрукты ("картошка")
res1: логическое значение = ложь
  

• Дополнения + и ++ , которые добавляют к набору один или несколько элементов, образуя новый набор.
• Удаление - , -- , которые удаляют один или несколько элементов из набора, создавая новый набор.
• Операции над множествами для объединения, пересечения и разности множеств. Каждая из этих операций существует в двух формах: буквенной и символьной. Буквенные версии пересекаются с , объединение и diff , тогда как символические версии и , | и &~ . Фактически, ++ , который Set наследует от Traversable , можно рассматривать как еще один псевдоним union или | , за исключением того, что ++ принимает аргумент Traversable , тогда как union и | взять наборы.

Операции в наборе классов

ЧТО ЭТО ТАКОЕ	ЧТО ЭТО ДЕЛАЕТ
Испытания:
xs содержит x	Проверяет, является ли x элементом xs .
хз(х)	То же, что и xs содержит x .
xs subsetOf ys	Проверяет, является ли xs подмножеством ys .
Дополнения:
хз + х	Набор, содержащий все элементы x , а также x .
хз + (х, у, г)	Набор, содержащий все элементы x , а также заданные дополнительные элементы.
хз ++ да	Набор, содержащий все элементы x , а также все элементы ys .
Удаление:
хз - х	Набор, содержащий все элементы x , кроме x .
хз - (х, у, г)	Набор, содержащий все элементы x , кроме заданных элементов.
хз -- да	Набор, содержащий все элементы xs , кроме элементов ys .
xs.пусто	Пустой набор того же класса, что и xs .
Двоичные операции:
хз и год	Набор пересечений xs и ys .
xs пересекаются с ys	То же, что и xs и ys .
хз | да	Набор союзов xs и ys .
xs соединение ys	То же, что и xs | да .
хз &~ г	Установленная разница xs и ys .
хз дифф	То же, что и xs &~ ys .

Изменяемые наборы предлагают дополнительные методы добавления, удаления или обновления элементов, которые кратко описаны ниже.

Операции в классе mutable.Set

ЧТО ЭТО ТАКОЕ	ЧТО ЭТО ДЕЛАЕТ
Дополнения:
хз += х	Добавляет элемент x для установки xs в качестве побочного эффекта и возвращает само xs .
хз += (х, у, г)	Добавляет указанные элементы в набор xs в качестве побочного эффекта и возвращает само xs .
хз ++= да	Добавляет все элементы в ys для установки xs в качестве побочного эффекта и возвращает сам xs .
хз добавить х	Добавляет элемент x к xs и возвращает true , если x ранее не содержалось в наборе, false , если он был.
Удаление:
хз -= х	Удаляет элемент x из набора xs в качестве побочного эффекта и возвращает само xs .
хз -= (х, у, г)	Удаляет заданные элементы из набора xs как побочный эффект и возвращает само xs .
хз --= д	Удаляет все элементы в ys из набора xs в качестве побочного эффекта и возвращает само xs .
хз удалить х	Удаляет элемент x из xs и возвращает true , если x ранее содержался в наборе, false , если нет.
xs сохранить стр	Сохраняет только те элементы в xs , которые удовлетворяют предикату p .
xs.clear()	Удаляет все элементы из xs .
Обновление:
xs(x) = b	(или, выписано, xs.update(x, b) ). Если логический аргумент b равен true , добавляет x к xs , иначе удаляет x из xs .
Клонирование:
кс.клон	Новый изменяемый набор с теми же элементами, что и xs .

Как и неизменяемый набор, изменяемый набор предлагает операции + и ++ для добавления элементов и операции - и -- для удаления элементов. Но они реже используются для изменяемых наборов, поскольку предполагают копирование набора.В качестве более эффективной альтернативы изменяемые наборы предлагают методы обновления += и -= . Операция s += elem добавляет elem к набору s в качестве побочного эффекта и в результате возвращает измененный набор. Аналогично, s -= elem удаляет elem из набора и в результате возвращает измененный набор. Помимо += и -= , есть также массовые операции ++= и --= , которые добавляют или удаляют все элементы обхода или итератора.

Выбор имен методов += и -= означает, что очень похожий код может работать как с изменяемыми, так и с неизменяемыми множествами. Сначала рассмотрим следующий диалог REPL, в котором используется неизменяемый набор s :

  scala> var s = Set(1, 2, 3)
s: scala. collection.immutable.Set[Int] = Set(1, 2, 3)
скала> с += 4
скала> s -= 2
скала > с
res2: scala.collection.immutable.Set[Int] = Set(1, 3, 4)
  

Мы использовали += и -= для var типа неизменяемого.Набор . Такой оператор, как s += 4 , является сокращением от s = s + 4 . Таким образом, это вызывает метод сложения + для набора s , а затем присваивает результат обратно переменной s . Рассмотрим теперь аналогичное взаимодействие с изменчивым множеством.

  scala> val s = collection.mutable.Set(1, 2, 3)
s: scala.collection.mutable.Set[Int] = Set(1, 2, 3)
скала> с += 4
res3: s.type = Установить (1, 4, 2, 3)
скала> s -= 2
разрешение4: с.тип = набор (1, 4, 3)
  

Конечный эффект очень похож на предыдущее взаимодействие; мы начинаем с Set(1, 2, 3) и заканчиваем Set(1, 3, 4) . Однако, несмотря на то, что операторы выглядят так же, как и раньше, они делают что-то другое. s += 4 теперь вызывает метод += для изменяемого значения набора s , изменяя набор на месте. Аналогично, s -= 2 теперь вызывает метод -= для того же множества.

Сравнение двух взаимодействий показывает важный принцип.Часто можно заменить изменяемую коллекцию, хранящуюся в val , неизменяемой коллекцией, хранящейся в var , и , наоборот, . Это работает, по крайней мере, до тех пор, пока нет ссылок псевдонимов на коллекцию, с помощью которых можно наблюдать, была ли она обновлена ​​на месте или была создана новая коллекция.

Mutable также обеспечивают добавление и удаление как варианты += и -= . Разница в том, что добавить и удалить возвращают логический результат, указывающий, повлияла ли операция на множество.

Текущая реализация изменяемого набора по умолчанию использует хеш-таблицу для хранения элементов набора. Реализация неизменяемого набора по умолчанию использует представление, которое адаптируется к количеству элементов набора. Пустой набор представлен только одноэлементным объектом. Наборы размеров до четырех представлены одним объектом, в котором все элементы хранятся в виде полей. За пределами этого размера неизменяемые наборы реализуются как попытки хеширования.

Следствием такого выбора представления является то, что для наборов небольших размеров (скажем, до 4) неизменяемые наборы обычно более компактны, а также более эффективны, чем изменяемые наборы.Итак, если вы ожидаете, что размер набора будет небольшим, попробуйте сделать его неизменяемым.

Два подчерта наборов: SortedSet и BitSet .

Отсортированные наборы

SortedSet — это набор, который создает свои элементы (с использованием итератора или foreach ) в заданном порядке (который может быть свободно выбран во время создания набора). Представление SortedSet по умолчанию — это упорядоченное двоичное дерево, которое поддерживает инвариант, согласно которому все элементы в левом поддереве узла меньше, чем все элементы в правом поддереве.Таким образом, простой обход по порядку может вернуть все элементы дерева в возрастающем порядке. Класс Scala immutable.TreeSet использует красно-черную реализацию дерева , чтобы поддерживать этот инвариант порядка и в то же время сохранять дерево сбалансированным — это означает, что все пути от корня дерева до листа имеют длины, которые отличаются только на максимум один элемент.

Чтобы создать пустой TreeSet, вы можете сначала указать желаемый порядок:

  scala> val myOrdering = Заказ.fromLessThan[String](_ > _)
myOrdering: scala.math.Ordering[String] = ...
  

Затем, чтобы создать пустой набор деревьев с таким порядком, используйте:

  scala> TreeSet.empty(myOrdering)
res1: scala.collection.immutable. TreeSet[String] = TreeSet()
  

Или вы можете не указывать аргумент порядка, но указать тип элемента или пустой набор. В этом случае будет использоваться порядок по умолчанию для типа элемента.

  scala> TreeSet.empty[String]
res2: Скала.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet()
  

Если вы создаете новые наборы из древовидного набора (например, путем объединения или фильтрации), они сохранят тот же порядок, что и исходный набор. Например,

  scala > res2 + ("один", "два", "три", "четыре")
res3: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet(четыре, один, три, два)
  

Отсортированные наборы также поддерживают диапазоны элементов. Например, метод диапазона возвращает все элементы от начального элемента до конечного элемента, но исключая его.Или метод из возвращает все элементы, большие или равные начальному элементу в порядке набора. Результатом вызовов обоих методов снова является отсортированный набор. Примеры:

  scala> диапазон res3 ("один", "два")
res4: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet(один, три)
scala > res3 из "трех"
res5: scala.collection.immutable.TreeSet[String] = TreeSet(три, два)
  

Наборы битов

Наборы битов — это наборы неотрицательных целых элементов, которые реализованы в одном или нескольких словах упакованных битов.Внутреннее представление BitSet использует массив Long s. Первый Long охватывает элементы от 0 до 63, второй — от 64 до 127 и т. д. (неизменяемые наборы битов элементов в диапазоне от 0 до 127 оптимизируют массив и сохраняют биты непосредственно в одном или двух полей.) Для каждого Long каждый из его 64 битов устанавливается в 1, если соответствующий элемент содержится в наборе, и не устанавливается в противном случае. Из этого следует, что размер набора битов зависит от самого большого целого числа, которое в нем хранится.Если N является самым большим целым числом, то размер набора равен N/64 Long слов или N/8 байт плюс небольшое количество дополнительных байтов для информации о состоянии.

Наборы битов, следовательно, более компактны, чем другие наборы, если они содержат много мелких элементов. Другое преимущество битовых наборов заключается в том, что такие операции, как проверка принадлежности с , содержит или добавление и удаление элементов с += и -= , чрезвычайно эффективны.

Набор (FSharp.Core)

 пусть set = Set. пусто.Добавить(1).Добавить(1).Добавить(2)
 printfn $"Новый набор: {set}" 

 пусть set = Set.пусто.Добавить(2).Добавить(3)
 printfn $"Содержит ли набор 1? {set.Contains(1)}" 

 пусть установить = установить. пустой.Добавить(1).Добавить(1).Добавить(2)
 printfn $"Новый набор: {set}" 

 пусть set = Set.пусто.Добавить(2).Добавить(3)
 printfn $"Набор пуст? {set.IsEmpty}" 

 пусть set1 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3)
 пусть set2 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3).Добавить(4)
 printfn $"Является ли {set1} надмножеством {set2}? {Set.isProperSuperset set1 set2}" 

 пусть set1 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3)
 пусть set2 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3).Добавить(4)
 printfn $"Является ли {set1} правильным надмножеством {set2}? {Set.isProperSuperset set1 set2}" 

 пусть set1 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3)
 пусть set2 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3).Добавить(4)
 printfn $"Является ли {set1} подмножеством {set2}? {Set.isSubset set1 set2}" 

 пусть set1 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3)
 пусть set2 = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3).Добавить(4)
 printfn $"Является ли {set1} надмножеством {set2}? {Set.isSuperset set1 set2}" 

 пусть set = Set. пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3)
 printfn $"МаксимальныйЭлемент: {set.МаксимальныйЭлемент}" 

 пусть set = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(2).Добавить(3)
 printfn $"МинимальныйЭлемент: {set.MinimumElement}" 

 пусть set = Set.пусто.Добавить(1).Добавить(1).Добавить(2)
 printfn $"Новый набор: {set}" 

Наборы — типы, символы, свойства, примеры

Множества в математике — это просто набор отдельных объектов, образующих группу.В наборе может быть любая группа предметов, будь то набор чисел, дней недели, видов транспорта и так далее. Каждый элемент множества называется элементом множества. Фигурные скобки используются при написании множества. Очень простой пример набора будет таким. Установите А = {1,2,3,4,5}. Существуют различные обозначения для представления элементов множества. Наборы обычно представляются с помощью формы списка или формы построителя наборов. Остановимся подробно на каждом из этих терминов.

Наборы Определение

В математике множество — это четко определенный набор объектов.Наборы именуются и представляются с заглавной буквы. В теории множеств элементы, из которых состоит множество, могут быть любыми вещами: людьми, буквами алфавита, числами, формами, переменными и т. д.

Наборы по математике Примеры

Мы знаем, что набор четных натуральных чисел меньше 10 определен, тогда как набор умных учеников в классе не определен. Таким образом, набор четных натуральных чисел меньше 10 можно представить в виде множества A = {2, 4, 6, 8}.Давайте используем этот пример, чтобы понять основную терминологию, связанную с множествами в математике.

Элементы набора

Элементы, присутствующие в наборе, называются либо элементами, либо членами набора. Элементы множества заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Для обозначения того, что элемент содержится в множестве, используется символ «∈». В приведенном выше примере 2 ∈ A. Если элемент не является членом множества, то он обозначается символом «∉». Здесь 3 ∉ A.

Кардинальный номер набора

Кардинальное число, мощность или порядок набора обозначает общее количество элементов в наборе.Для натуральных четных чисел меньше 10 n(A) = 4. Наборы определяются как набор уникальных элементов. Одним из важных условий определения множества является то, что все элементы множества должны быть связаны друг с другом и иметь общее свойство. Например, если мы определим множество с элементами как названия месяцев в году, то мы можем сказать, что все элементы множества являются месяцами года.

Представление наборов

Для представления множеств используются разные нотации множеств.Они отличаются способом перечисления элементов. Три нотации набора, используемые для представления наборов:

• Семантическая форма
• Форма реестра
• Набор конструктора форма

Семантическая форма

Семантическая нотация описывает оператор, показывающий, что является элементами множества. Например, набор А — это список первых пяти нечетных чисел.

Форма реестра

Наиболее распространенной формой, используемой для представления наборов, является нотация реестра, в которой элементы наборов заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми.Например, Set B = {2,4,6,8,10}, который представляет собой набор первых пяти четных чисел. В ростерной форме порядок элементов множества не имеет значения, например, множество первых пяти четных чисел также можно определить как {2,6,8,10,4}. Кроме того, если в наборе имеется бесконечный список элементов, то они определяются с помощью набора точек в конце последнего элемента. Например, бесконечные множества представлены как X = {1, 2, 3, 4, 5...}, где X — множество натуральных чисел. Чтобы подытожить нотацию формы реестра, пожалуйста, взгляните на примеры ниже.

Обозначение наборов с конечным реестром: набор A = {1, 2, 3, 4, 5} (первые пять натуральных чисел)
Обозначение наборов с бесконечным списком: набор B = {5, 10, 15, 20 . ...} (кратное 5)

Форма конструктора наборов

Нотация построителя множества имеет определенное правило или утверждение, которое конкретно описывает общую черту всех элементов множества. Форма построителя набора использует в своем представлении вертикальную черту с текстом, описывающим характер элементов набора.Например, А = {к | k — четное число, k ≤ 20}. В заявлении говорится, что все элементы множества A являются четными числами, меньшими или равными 20. Иногда вместо «|» используется «:».

Визуальное представление множеств с помощью диаграммы Венна

Диаграмма Венна — это графическое представление наборов, где каждый набор представлен в виде круга. Элементы множества находятся внутри кругов. Иногда прямоугольник окружает круги, что представляет универсальный набор.Диаграмма Венна показывает, как данные наборы связаны друг с другом.

Наборы символов

Символы набора используются для определения элементов данного набора. В следующей таблице показаны некоторые из этих символов и их значение.

Типы наборов

Наборы подразделяются на разные типы. Некоторые из них одноэлементные, конечные, бесконечные, пустые и т. д.

Наборы синглтонов

Набор, состоящий только из одного элемента, называется одноэлементным набором или также называется единичным набором. Пример. Установите A = { k | k — целое число от 3 до 5}, то есть A = {4}.

Конечные наборы

Как следует из названия, множество с конечным или счетным числом элементов называется конечным множеством. Пример. Установите B = {k | k — простое число меньше 20}, то есть B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Бесконечные наборы

Множество с бесконечным числом элементов называется бесконечным множеством.Пример: Установите C = {кратное 3}.

Пустые или нулевые наборы

Набор, который не содержит ни одного элемента, называется пустым набором или нулевым набором. Пустое множество обозначается символом «∅». Читается как « фи ». Пример: Установите X = {}.

Одинаковые наборы

Если два множества содержат одни и те же элементы, то они называются равными множествами. Пример: А = {1,2,3} и В = {1,2,3}. Здесь множество A и множество B являются равными множествами. Это можно представить как A = B.

Неравные наборы

Если в двух множествах есть хотя бы один отличающийся элемент, то они являются неравными множествами.Пример: А = {1,2,3} и В = {2,3,4}. Здесь множество A и множество B являются неравными множествами. Это можно представить как A ≠ B.

Эквивалентные наборы

Два множества называются эквивалентными множествами, если они имеют одинаковое количество элементов, хотя элементы различны. Пример: A = {1,2,3,4} и B = {a,b,c,d}. Здесь множество A и множество B являются эквивалентными множествами, поскольку n(A) = n(B)

Наборы для перекрытия

Два множества называются перекрывающимися, если хотя бы один элемент из множества A присутствует в множестве B.Пример: А = {2,4,6} В = {4,8,10}. Здесь элемент 4 присутствует как в множестве A, так и в множестве B. Следовательно, множества A и B перекрываются.

Непересекающиеся наборы

Два множества являются непересекающимися множествами, если в обоих множествах нет общих элементов. Пример: А = {1,2,3,4} В = {5,6,7,8}. Здесь множество A и множество B — непересекающиеся множества.

Подмножество и надмножество

Для двух множеств A и B, если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество A является подмножеством множества B (A ⊆ B), а B является надмножеством множества A (B ⊇ A).
Пример: А = {1,2,3} В = {1,2,3,4,5,6}
A ⊆ B, так как все элементы множества A присутствуют в множестве B.
B ⊇ A означает, что множество B является надмножеством множества A.

Универсальный набор

Универсальный набор – это совокупность всех элементов, относящихся к определенному предмету. Универсальный набор обозначается буквой «У». Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество автомобилей является подмножеством этого универсального множества, множество велосипедов, поездов — все подмножества этого универсального множества.

Силовые наборы

Power set — это набор всех подмножеств, которые может содержать набор. Пример: Установите A = {1,2,3}. Набор мощностей A = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.

Наборы формул

Множества находят свое применение в области алгебры, статистики и вероятности. Ниже перечислены некоторые важные формулы набора.
Для любых двух перекрывающихся наборов A и B

• n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
• n (A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A U B)
• n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) - n(B)
• n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) - n(A)
• n(A - B) = n(A U B) - n(B)
• n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)

Для любых двух непересекающихся множеств A и B:

• n(A U B) = n(A) + n(B)
• А ∩ В = ∅
• n(A - B)= n(A)

Свойства наборов

Подобно числам, множества обладают такими свойствами, как ассоциативность, коммутативность и т. д.Существует шесть важных свойств множеств. Имея три множества A, B и C, свойства этих множеств следующие.

Операции с множествами

Некоторые важные операции над множествами включают объединение, пересечение, разность, дополнение множества и декартово произведение множества. Краткое объяснение операций над множествами состоит в следующем.

Союз наборов

Объединение наборов, обозначаемое как AUB, перечисляет элементы набора A и набора B или элементы набора A и набора B. Например, {1, 3} ∪ {1, 4} = {1, 3 , 4}

Пересечение наборов

Пересечение множеств, которое обозначается A ∩ B, перечисляет элементы, которые являются общими как для множества A, так и для множества B. Например, {1, 2} ∩ {2, 4} = {2}

Установить разницу

Разность наборов , которая обозначается буквами A-B, перечисляет элементы набора A, которых нет в наборе B.Например, А = {2, 3, 4} и В = {4, 5, 6}. А - В = {2, 3}.

Комплектация

Дополнение множества, обозначаемое A', представляет собой множество всех элементов универсального множества, которые не присутствуют в множестве A. Другими словами, A' обозначается как U - A, что представляет собой разность элементов универсальный набор и набор А.

Декартово произведение множеств

Декартово произведение двух множеств, которое обозначается A × B, есть произведение двух непустых множеств, при котором получаются упорядоченные пары элементов.Например, {1, 3} × {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.

☛ Темы, относящиеся к наборам:

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с наборами.

Часто задаваемые вопросы о наборах

Что такое множества в математике и примерах?

Наборы представляют собой набор отдельных элементов, заключенных в фигурные скобки и разделенных запятыми. Список элементов множества называется элементами множества.Примеры: коллекция фруктов, коллекция картинок. По-другому множества представляются следующим образом. Установите A = {a,b,c,d}. Здесь a,b,c,d — элементы множества A.

Какие существуют различные обозначения множеств для представления множеств?

могут быть представлены тремя способами. Представление множеств означает способ перечисления элементов множества. Они следующие.

• Семантическая нотация: Элементы набора представлены одним оператором. Например, Set A — это количество дней в неделе.
• Roster Notation: эта форма представления наборов использует фигурные скобки для перечисления элементов набора. Например, задайте A = {2,4,6,8,10}
.
• Обозначение построителя набора: форма построителя набора представляет элементы набора по общему правилу или свойству. Например, {х | x — простое число меньше 20}

Какие существуют типы наборов?

отличаются друг от друга в зависимости от присутствующих в них элементов. Исходя из этого, мы имеем следующие виды наборов.Это одноэлементные множества, конечные и бесконечные множества, пустые или нулевые множества, равные множества, неравные множества, эквивалентные множества, перекрывающиеся множества, непересекающиеся множества, подмножества, надмножества, степенные множества и универсальные множества.

Каковы свойства множеств в теории множеств?

Различные свойства, связанные с множествами в математике,

• Коммутативное свойство: A U B = B U A и A ∩ B = B ∩ A
• Ассоциативное свойство: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) и (A U B) U C = A U (B U C)
• Распределительная собственность: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (AU C) и A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
• Свойство идентичности: A U ∅ = A и A ∩ U = A
• Свойство дополнения: A U A' = U
• Свойство идемпотента: A ∩ A = A и A U A = A

Что такое объединение множеств?

Объединение двух множеств A и B — это элементы из обоих множеств A и B или оба вместе.Обозначается символом «U». Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {4,5,6}, то AUB = {1,2,3,4,5,6}. A U B читается как «союз B».

Что такое пересечение множеств?

Пересечением двух множеств A и B являются элементы, общие для множества A и B. Оно обозначается символом '∩'. Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {3,4,5}, то A ∩ B = {3}. A ∩ B читается как «пересечение A B».

Что такое подмножества и надмножества?

Если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество B является надмножеством множества A, а множество A является подмножеством множества B.
Пример: А = {1,4,5} В = {1,2,3,4,5,6}
Так как все элементы множества A присутствуют в множестве B. ⇒ A ⊆ B и B ⊇ A.

Что такое универсальные наборы?

Универсальный набор, обозначаемый буквой «U», представляет собой совокупность всех элементов, относящихся к определенному предмету.
Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество циклов является подмножеством этого универсального множества.

Что такое дополнение в наборах?

Дополнением множества, обозначаемого А', является множество всех элементов универсального множества, не присутствующих в множестве А.Другими словами, А' обозначается как U — А, что является разностью элементов универсального множества и множества А.

Что такое декартово произведение в наборах?

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A×B, есть произведение двух непустых множеств, при котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, если A = {1,2} и B = {3,4}, то A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} .

Какая польза от диаграммы Венна в множествах?

Диаграмма Венна — это графическое представление отношений между двумя или более множествами.Круги используются для представления наборов. Каждый круг представляет набор. Прямоугольник, окружающий круги, представляет универсальное множество.