Теорема крамера формулировка – §5. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Правило Крамера

Правило Крамера

Рассмотрим частный случай системы
линеных уравнений (15.1),
когда,
то есть когда число уравнений совпадает
с числом неизвестных. Именно такие
системы приилирассматриваются
в школе.

Если число уравнений равно числу
неизвестных, то матрица
исходной
системы — квадратная, порядка,и—
столбцы высоты.
Предположим, что.
Тогда потеореме
14.1
существует обратная матрица.
Умножив слева обе части равенства
 (15.2)
на,
получим

Таким образом, система уравнений (15.1)
имеет единственное решение и оно в
матричной форме может быть записано в
виде

(15.3)

Это так называемый матричный способ
решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть
,—
определитель матрицы, полученной из
матрицызаменой
столбца с номеромна
столбецсвободных
членов,:

        Теорема
15.1(Правило Крамера)
Если в системе
линейных
уравнений снеизвестными,
то система имеет решение и притом
единственное. Это решение задается
формулами

        Доказательство.    
Потеореме
14.1
обратная матрица находится
по формуле

где

алгебраические дополнения. Тогда
из (15.3)
следует, что

Заметим, что по формуле (14.13)
разложение определителяпо
первому столбцу в точности совпадает
с первым элементом матрицы-столбца в
правой части последнего равенства,
разложение определителяпо
второму столбцу дает второй элемент
матрицы-столбца и т.д. Поэтому,
откуда и следует утверждение теоремы.

        Пример 15.1Решите систему уравнений

Решение.Выписываем матрицу системыи
столбец свободных членов.

Находим определитель системы:
.
Определитель отличен от нуля, следовательно,
можно применить правило Крамера. Находим
дополнительные определители:

Итак,

Ответ:.

        Замечание
15.1При кажущейся
простоте правила Крамера применяется
оно для систем более, чем из трех
уравнений, только в каких-то исключительных
случаях. Дело в том, что вычисление
определителей требует выполнения
большого числа арифметических операций
и существует способ, требующий меньшей
вычислительной работы. Этот способ
будет описан позже.

        Замечание
15.2При решении системы
уравнений приходится выполнять довольно
большой объем вычислений. Поэтому велика
вероятность ошибки. Чтобы обнаружить
эту ошибку, рекомендуется выполнить
проверку ответа, то есть подставить
полученные значения неизвестных в
уравнения системы. Есливсеуравнения
превратятся в верные равенства, то
решение найдено верно. В противном
случае при вычислениях где-то допущена
ошибка.

studfiles.net

2.3. Правило Крамера

Рассмотрим
систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя
определители 3-го порядка, решение такой
системы можно записать в таком же виде,
как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если
0.
Здесь

Это
есть правило
Крамера

решения
системы трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
.

Пример
2.3.
Решить
систему линейных уравнений при помощи
правила Крамера:

Решение.
Находим определитель основной матрицы
системы

Поскольку
0,
то для нахождения решения системы можно
применить правило Крамера, но предварительно
вычислим еще три определителя:

Тогда

Проверка:

Следовательно,
решение найдено правильно. 

Правила
Крамера, полученные для линейных систем
2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что
такие же правила можно сформулировать
и для линейных систем любого порядка.
Действительно имеет место

Теорема
Крамера.

Квадратная
система линейных уравнений с отличным
от нуля определителем основной матрицы
системы

(0)
имеет
одно и только одно решение и это решение
вычисляется по формулам


(2.5)

где

определитель
основной матрицы
,
i
определитель
матрицы
,
полученной
из основной, заменой
i-го
столбца столбцом свободных членов
.

Отметим,
что если =0,
то правило Крамера не применимо. Это
означает, что система либо не имеет
вообще решений, либо имеет бесконечно
много решений.

Сформулировав
теорему Крамера, естественно возникает
вопрос о вычислении определителей
высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным
минором

Mij
элемента aij
называется определитель, получаемый
из данного путем вычеркивания i
строки и j-го
столбца. Алгебраическим
дополнением

Aij
элемента aij
называется минор этого элемента, взятого
со знаком (–1)i+j,
т.е. Aij
= (–1)i+jMij.

Например,
найдем миноры и алгебраические дополнения
элементов a23
и a31
определителя

Получаем

Используя
понятие алгебраического дополнения
можно сформулировать теорему
о разложении определителя
n-го
порядка по строке или столбцу
.

Теорема
2.1.

Определитель
матрицы
A
равен сумме произведений всех элементов
некоторой строки (или столбца) на их
алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная
теорема лежит в основе одного из основных
методов вычисления определителей, т.н.
метода
понижения порядка
.
В результате разложения определителя
n-го
порядка по какой-либо строке или столбцу,
получается n
определителей (n–1)-го
порядка. Чтобы таких определителей было
меньше, целесообразно выбирать ту строку
или столбец, в которой больше всего
нулей. На практике формулу разложения
определителя обычно записывают в виде:

т.е.
алгебраические дополнения записывают
в явном виде через миноры.

Примеры
2.4.

Вычислить определители, предварительно
разложив их по какой-либо строке или
столбцу. Обычно в таких случаях выбирают
такой столбец или строку, в которой
больше всего нулей. Выбранную строку
или столбец будем обозначать стрелкой.

;

2.5. Основные свойства определителей

Разлагая
определитель по какой-либо строке или
столбцу, мы получим n
определителей (n–1)-го
порядка. Затем каждый из этих определителей
(n–1)-го
порядка также можно разложить в сумму
определителей (n–2)-го
порядка. Продолжая этот процесс, можно
дойти до определителей 1-го порядка,
т.е. до элементов матрицы, определитель
которой вычисляется. Так, для вычисления
определителей 2-го порядка придется
вычислить сумму двух слагаемых, для
определителей 3-го порядка – сумму 6
слагаемых, для определителей 4-го порядка
– 24 слагаемых. Число слагаемых будет
резко возрастать по мере увеличения
порядка определителя. Это означает, что
вычисление определителей очень высоких
порядков становится довольно трудоемкой
задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако
вычислять определители можно и по-другому,
используя свойства определителей.

Свойство
1
.
Определитель
не изменится, если в нем поменять местами
строки и столбцы, т.е. при транспонировании
матрицы
:

.

Данное
свойство свидетельствует о равноправии
строк и столбцов определителя. Иначе
говоря, любое утверждение о столбцах
определителя справедливо и для его
строк и наоборот.

Свойство
2
.
Определитель
меняет знак при перестановке двух строк
(столбцов).

Следствие.
Если
определитель имеет две одинаковые
строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство
3
.
Общий
множитель всех элементов в какой-либо
строке (столбце) можно вынести за знак
определителя
.

Например,

Следствие.
Если
все элементы некоторой строки (столбца)
определителя равны нулю, то и сам
определитель равен нулю
.

Свойство
4
.
Определитель
не изменится, если к элементам одной
строки (столбца), прибавить элементы
другой строки (столбца), умноженной на
какое-либо число
.

Например,

Свойство
5
.
Определитель
произведения матриц равен произведению
определителей матриц:

.

studfiles.net

Теорема Крамера

Системы линейных алгебраических уравнений

При решении систем линейных уравнений обсуждаются 3 вопроса: а) существует ли решение системы уравнений, б) сколько разных решений имеет система уравнений, в) алгоритм решения. Ниже излагаются основные результаты в этой области математики, позволяющие исчерпывающим образом ответить на эти вопросы.

Теорема Крамера

Система двух уравнений, два неизвестных

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
\[
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1, \quad \quad(17)
\]
\[
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \quad \quad(18)
\]


числа \(a_{ik}, b_i\), \(i,k=1,2\) считаются заданными, требуется найти неизвестные \(x_1,x_2\) . Эту систему можно решить исключением неизвестных. Например, умножим первое уравнение на \(a_{22}\) и вычтем второе, умноженное на \(a_{12}\), получим:

\[
(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x_1=b_1a_{22}-b_2a_{12},
\]


так что если \(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} \neq 0, \)
\[
x_1=\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}. \quad \quad(19)
\]


Если второе уравнение умножить на \(a_{11}\) и вычесть из него первое уравнение, умноженное на \(a_{21}\), получим:
\[
x_2=\frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}. \quad \quad(20)
\]


Введем следующие обозначения. Матрицей коэффициентов системы уравнений (17)-(18) назовем матрицу
\[
A=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right),
\]
столбец правых частей системы
\[
B=\left (\begin{array}{c} b_1 \\b_2 \end{array} \right).
\]


Тогда формулы (19), (20) можно переписать следующим образом:
\[
x_1=\frac{detC_1}{detA}, x_2=\frac{detC_2}{detA}, \quad \quad(21)
\]

где матрица \(C_k\), \(k=1,2\), получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k\)-того столбца на столбец \(B\). Формулы (21) называются формулами Крамера для системы из 2 уравнений с двумя неизвестными. Они описывают единственное решение системы уравнений в данном случае.

Система \(n\) уравнений, \(n\) неизвестных


Рассмотрим систему \(n\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными,
\[
a_{11}x_1+a_{12}x_2+ ….+a_{1n}x_n=b_1, \quad \quad(22)
\]
\[
a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{1n}x_n=b_2, \quad \quad(23)
\]

\[
…………………………………………………..
\]
\[
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_n. \quad \quad(24)
\]


Матрицей коэффициентов системы уравнений назовем матрицу
\[
A=\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &\ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &\ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} &a_{n2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}
\end{array}
\right) ,
\]
образуем столбец правых частей системы
\[
B=\left (\begin{array}{cccc} b_1 & b_2 & \ldots &b_n \end{array} \right)^T.
\]



Cправедливо следующее утверждение.


Теорема Крамера.

Пусть \(detA \neq 0\). Тогда система уравнений (22)-(24) имеет единственное решение, которое описывается формулами:
\[
x_k=\frac{detC_k}{detA}, k=1,2,…,n, \quad \quad(25)
\]
где матрица \(C_k\) получается из матрицы \(A\) заменой ее \(k-\)го столбца столбцом \(B\).


Cоотношения (25) называются правилом Крамера.

Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы


В том случае, когда матрица коэффициентов системы уравнений невырождена, для построения решений системы можно использовать обратную матрицу.


Уравнения (22)-(24) можно записать в более экономичном виде
\[
\sum _{m=1}^na_{km}x_m=b_k, k=1,2,…,n. \quad \quad(26)
\]


Далее, введем столбец неизвестных \(X=(x_1,x_2,….,x_n)^T\), тогда в левой части соотношения (26) можно опознать матричное умножение, так что систему уравнений (26) можно записать в наших матричных терминах в виде матричного уравнения,
\[
AX=B, \quad \quad(27)
\]
решение которого уже описано ранее в терминах обратной матрицы:
\[
X=A^{-1}B.
\]

В целом решение систем методом Крамера и методом обратной матрицы требует выполнения 2 условий:
матрица коэффициентов системы должна быть квадратной ( т.е. число уравнений должно совпадать с числом неизвестных) и эта матрица должна быть невырожденной. К тому же практическая реализация этих методов связана с весьма громоздкими вычислениями, так что они имеют лишь теоретическое значение. На практике используют существенно более простой в реализации метод Гаусса, который к тому же позволяет решать и более общие системы уравнений. Этот метод описан ниже.


Решить системы методом Крамера и методом обратной матрицы.



а)
\[
x_1+x_2+2x_3=-1,
\]
\[
2x_1-x_2+2x_3=-4,
\]
\[
4x_1+x_2+4x_3=-2.
\]


б)
\[
3x_1+2x_2+x_3=5,
\]
\[
2x_1+3x_2+x_3=1,
\]
\[
2x_1+x_2+3x_3=11.
\]


в)
\[
2x_1+x_2-x_3=2,
\]
\[
3x_1+x_2-2x_3=3,
\]
\[
x_1+x_3=3.
\]

publish.sutd.ru

§5. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Это один из основных разделов в алгебре.
Системы линейных алгебраических
уравнений в том или ином виде используются
во многих научных исследованиях и
практических приложениях. Разумеется,
это применительно и к экономическим
задачам. Рассмотрим одну простейшую
задачу, приводящую к системе двух
линейных уравнений с двумя неизвестными.
Решение её знакомо ещё из школьного
курса математики.

Фирма состоит из двух отделений, суммарная
величина прибыли которых в минувшем
году составила 12 млн. у.е. На этот год
запланировано увеличение прибыли
первого отделения на 70%, второго – на
40%. В результате суммарная прибыль должна
вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли
каждого из отделений в минувшем году?

Обозначим за хиуприбыли первого
и второго отделений в минувшем году.
Тогда оба условия задачи можно записать
в виде системы уравнений3:

Решив систему (методом подстановки),
получим х=4,у=8. Следовательно,
прибыль в минувшем году первого отделения
– 4 млн. у.е., второго – 8 млн. у.е.

Перейдем к основным понятиям.

Определение
1.5.Системой m
линейных алгебраических уравнений с
n
неизвестными
называются соотношения
вида:

(1.5)

где aij,bi(,)
– заданные числа, ах1, х2,,хn
неизвестные величины.

Числа aij
называютсякоэффициентами системы,
а числаbi
свободными членами.

Система (1.5) называется однородной,
если все свободные члены уравнений
равны нулю

Определение
2.5.Решением системы уравнений
называется такая упорядоченная
совокупностьnчисел

1, с2, … ,сn),

которые при подстановке вместо неизвестных
х1,х2, … ,хnсоответственно обращают каждое уравнение
системы в верное равенство (тождество).

Определение
3.5.Система уравнений называетсясовместной, если она имеет хотя бы
одно решение, инесовместной, если
не имеет ни одного решения.

Определение
4.5.Система уравнений называетсяопредёленной, если она имеет
единственное решение, инеопределённой,
если имеет более одного решения.

Исследовать и решить систему уравнений
– это значит:

  1. установить, совместна она или
    несовместна;

  2. если она совместна, установить,
    является она определенной или
    неопределенной, при этом:

    • в случае определенной системы найти
      единственное ее решение;

    • в случае неопределенной – описать
      множество всех ее решений.

Применим понятия матричной алгебры к
системам линейных уравнений. Сведем
коэффициенты при неизвестных в матрицу:

.

Матрица Асостоит изmстрок иnстолбцов и
называетсяосновной матрицейсистемы. Введем в рассмотрение две
матрицы-столбца:матрицу неизвестныхXиматрицу свободных
членов
В:

,.

Тогда систему линейных уравнений можно
записать в матричной форме, поскольку
размер матрицы Аравенmn, а размерХn1,
значит, произведение этих матриц имеет
смысл:

А Х
= В
. (2.5)

Таким образом, матричная форма (2.5)
универсальна для записи любой системы
линейных уравнений.

Матричная форма записи представляет
собой обычное матричное уравнение, с
решением которого Х=А-1Вмы уже встречались в §3. Возникает вопрос:любую ли систему
уравнений можно решить таким образом?

Вспомним условия существования матрицы
А
-1, обратной для данной А.
Во-первых, искать обратную имеет смысл
только дляквадратных матриц;
во-вторых, исходная матрица должна бытьневырожденной.

Итак, пусть задана система nлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными:

(3.5)

В матричной форме эта система имеет
вид: А
Х = В
,

где квадратная матрица

основная матрица системы,

– матрица-столбец неизвестных,

– матрица-столбец свободных членов.

Пусть определитель основной матрицы
системы (3.5) отличен от нуля, т.е. матрица
A– невырожденная.

Теорема.Система
линейных алгебраических уравнений с
квадратной невырожденной матрицей
совместна и имеет единственное решение.

Это решение имеет вид:

Х = А–1
В
.

Решим систему уравнений методом обратной
матрицы.

Сначала запишем её в матричной форме
А
Х=В:

.

Найдем определитель матрицы А:.

Следовательно, система имеет единственное
решение, которое и найдём по указанной
выше формуле с помощью обратной матрицы.

Вычислить
самостоятельноА-1. Проверить
ответ

.

Тогда
.

Следовательно, система уравнений,
согласно определению
2.5, имеет решение (1,5,
3).

Другой метод решения системы nуравнений сnнеизвестными
основан натеореме Крамера.

Составим определитель матрицы системы
(3.5):

.

Заменим
в этом определителеj–й
столбец ()
на столбец свободных членовВ, т.е.
получим этой заменой другой определитель:

.

Теорема Крамера.
Пусть Δ – определитель матрицы системы,
а Δj– определитель,
полученный из Δ заменой j–го
столбца столбцом свободных членовВ.
Тогда, если Δ0,
система линейных уравнений имеет
единственное решение, определяемое по
формулам:

(
).

Поясним происхождение этой формулы на
примере. Возьмём систему трёх уравнений
с тремя неизвестными и запишем в
развернутом виде форму её матричного
решения. Из вида обратной матрицы (§3)
следует, что столбец неизвестных Хвыражается по формуле:

.

Выполнив умножение матриц в правой
части этого равенства, мы имеем равенство
двух матриц-столбцов, из которого,
приравнивая соответствующие элементы,
получаем систему равенств-выражений
для неизвестных:

,

,

.

Но по теореме Лапласа (§2) сумма в скобках
правой части равенств представляет
собой разложение определителя по
столбцу, в котором стоят элементы столбца
свободных членов, а остальные столбцы
этого определителя такие же, как и в
определителе Δ системы.

Следовательно,
,,.

Применяя полученную формулу, решим
знакомую нам систему:

.

Вычислим определители матриц А1,А2,А3, полученных из
основной матрицыАсистемы заменой
соответственно первого, второго и
третьего столбцов столбцом свободных
членов.

Теперь по теореме Крамера получим
решение:

studfiles.net

Правило Крамера

Количество просмотров публикации Правило Крамера — 466

Рассмотрим систему 3-х линœейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, ᴛ.ᴇ. составленный из коэффициентов при неизвестных,

принято называть определителœем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителœе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). В случае если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. В случае если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, ᴛ.ᴇ. несовместна.

Примеры.Решить систему уравнений

1.

Итак, х=1, у=2, z=3.

2. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, в случае если Δ ≠ 0.

. По этой причине .

1. При

2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.

3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y.

Читайте также


  • — Правило Крамера для системы 2х линейных уравнений.


    (*)
    _
    (
    &… [читать подробнее].

  • — Правило Крамера решения систем линейных уравнений

    Критерий совместности системы линейных уравнений
    Ответ на первый вопрос дает теорема Кронекера-Капелли – критерий совместности системы линейных уравнений.
    Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее… [читать подробнее].

  • — МАТРИЦЫ, ПРАВИЛО КРАМЕРА.

    Для любой квадратной матрицы может быть найдена величина, называемая определителем.
    Определитель — это квадратная таблица чисел или матиматических символов (&… [читать подробнее].

  • — Правило Крамера

    Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству . Решение системы существует и единственно. Элемент обратной матрицы, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен …. [читать подробнее].

  • — Правило Крамера

    Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству . Решение системы существует и единственно. Элемент обратной матрицы, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен …. [читать подробнее].

  • — Правило Крамера

    Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

    Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
    (2.4)
    если D¹0. Здесь

    Это есть правило Крамера решения системы трех линейных… [читать подробнее].

  • — Линейные системы уравнений с квадратной матрицей. Правило Крамера

    Итак, рассмотрим систему линейных уравнений

    с неизвестными Матрица этой системы квадратная, поэтому можно вычислить ее определитель (называемый главным определителем системы (1)). Ниже будут участвовать и другие определители, относящиеся к системе (1). Введем их. Если в… [читать подробнее].

  • — ПРАВИЛО КРАМЕРА

    Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

    Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

    называется определителем системы.
    Составим ещё три определителя следующим образом:… [читать подробнее].

  • referatwork.ru

    5 Теоремы Крамера. Формулы Крамера.

    Теорема.
    Система из n уравнений с n неизвестными

    в
    случае, если определитель матрицы
    системы не равен нулю, имеет единственное
    решение и это решение находится по
    формулам:
    xi
    = Di/D, где

    D
    = det A, а Di – определитель матрицы,
    получаемой из матрицы системы заменой
    столбца i столбцом свободных членов
    bi.
    Di =

    Для
    системы n линейных уравнений с n
    неизвестными (над произвольным полем)

    с
    определителем матрицы системы Δ,
    отличным от нуля, решение записывается
    в виде

    (i-ый
    столбец матрицы системы заменяется
    столбцом свободных членов).

    В
    другой форме правило Крамера формулируется
    так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn
    справедливо равенство:

    7
    Матричные уравнения: АХ=В и ХА=В

    Матричные
    уравнения могут иметь вид:

    АХ
    = В, ХА = В, АХВ = С,

    где
    А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая
    матрица.

    Матричные
    уравнения решаются с помощью умножения
    уравнения на обратные матрицы.

    Например,
    чтобы найти матрицу Х из уравнения АХ
    = В, необходимо умножить это уравнение
    на А-1 слева и справа.

    Тогда:

    9 Линейное векторное пространство, аксиомы. Пространства Сn и Rn

    Лине́йное
    простра́нство, или ве́кторное
    простра́нство, является обобщением
    понятия совокупности всех векторов
    3-мерного пространства. Линейные
    пространства — основной объект изучения
    линейной алгебры.

    I.
    Имеется правило, посредством которого
    любым двум элемен-

    там
    x,y
    множества
    V
    ставится
    в соответствие третий элемент этого

    множества.,
    называемый суммой элементов х
    и
    у
    и
    обозначаемый

    символом
    z
    = x+y

    II.
    Имеется правило, посредством которого
    любому элементу х

    множества
    V
    и
    любому элементу λ
    K
    ставится
    в соответствие

    элемент
    и
    этого
    множества, называемый произведением
    элемента х

    на
    элемент λ
    и
    обозначаемый символом и
    =
    λ
    x
    .

    III.
    Указанные два правила подчинены
    следующим восьми акси-

    омам
    :

    1.
    x
    +
    y
    =
    y
    +
    x
    (коммутативность)

    2.
    (x
    +
    y)
    +
    z
    =
    x
    +
    (
    y
    +
    z)
    (ассоциативность)

    3.
    Существует нулевой элемент 0 такой, что
    x
    +
    0
    =
    0
    +
    x
    =
    x
    (для

    любого
    х)

    4.
    Для каждого элемента х
    существует
    противоположный эле-

    мент
    х’V
    такой,
    что х
    +
    х’
    =
    0

    5.
    1⋅
    x
    =
    x
    ,
    где 1 – еденица поля

    6.
    λ


    x)
    =
    (λμ
    )

    x,
    λ

    K
    .

    7.

    +μ )x
    =
    λ x

    x,
    λ

    K.

    8.
    λ
    (x
    +
    y)
    =
    λ x

    y,
    λ
    K
    .

    11. Размерность пространства. Базис. Разложение вектора по базису

    Определение.
    Векторназывается
    линейной комбинацией векторов

    векторного
    пространства R, если он равен сумме
    произведений этих векторов на произвольные
    действительные числа:

    где–
    какие угодно действительные числа.

    Ба́зис
    — набор n векторов в n-мерном линейном
    пространстве, таких, что любой вектор
    пространства может быть представлен
    в виде некоторой их линейной комбинации,
    при этом ни один из базисных векторов
    не представим в виде линейной комбинации
    остальных.

    В
    более точной формулировке, базис в
    векторном пространстве — это упорядоченная
    линейно независимая система векторов
    такая, что любой вектор этого пространства
    разложим по ней.

    Некоторые
    свойства базиса :

    Единственная
    тривиальная линейная комбинация
    векторов базиса возможна только при
    тривиальном наборе коэффициентов.

    Для
    любого вектора существует единственное
    представление в виде линейной комбинации
    соответствующего базиса.

    Количество
    векторов базиса не зависит от выбора
    базисных векторов и называется
    размерностью пространства (обозначается
    dimV).

    Представление
    вектора в виде линейной комбинации
    базисных векторов называется разложением
    вектора по данному базису.

    studfiles.net

    12.Матрицы, правило крамера.

    Для
    любой квадратной матрицы может быть
    найдена величина, называемая определителем.

    Определитель —
    это квадратная таблица чисел или
    матиматических символов (Δd).

    Для
    матрицы второго порядка определитель
    вычисляется по формуле:

    Разложение по строке или столбцу

    Формулы
    разложения по строке или столбцу:

    Первые
    n формул называются формулами разложения
    определителя по строке, а вторые n формул
    называются формулами разложения
    определителя по столбцу.

    В
    этих формулах — алгебраические
    дополнения
     элементов
    аij матрицы
    А, где Mij —
    миноры элементов аij матрицы
    А.

    Минором Mij элемента
    аij матрицы
    n-го порядка А называется определитель
    матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из
    матрицы А вычеркиванием i-й строки и
    j-го столбца, на пересечении которых
    находится элемент aij/

    Правило Саррюса

    Дописывание
    двух первых строк или столбцов.

    В
    этом случае считаем так: a11*а22*а33 +
    а12*а23*31+а13*а21*а32 — а13*а22*а31 — а11*а23*а32 —
    а12*а21*а33

    Пример
    32.2

    Вычислить
    определитель двумя
    способами: с помощью разложения по
    первой строке и по правилу треугольника:

    Решение:

    Свойства определителей

    Свойство
    (1)

    Определитель
    не изменится, если все строки заменить
    соответствующими столбцами и наоборот.

    Свойство
    (2)

    При
    перестановке двух каких-либо строк или
    столбцов местами определитель изменяет
    знак.

    Свойство
    (3)

    Определитель
    равен нулю, если он имеет две равные
    строки (столбца).

    Свойство
    (4)

    Множитель,
    общий для всех элементов строки или
    столбца, можно выносить за знак
    определителя.

    Свойство
    (5)

    Если
    к элементам какой-либо строки или столбца
    прибавить соответствующие элементы
    другой строки или столбца, то определитель
    не изменится.

    Следствие
    из свойств 32.4 и 32.5: Если к элементам
    какой-либо строки или столбца прибавить
    соответствующие элементы другой строки
    или столбца, умноженные на некоторое
    число, то определитель не изменится.

    Свойство
    (6)

    Сумма
    произведений элементов какой-либо
    строки или столбца на алгебраические
    дополнения соответствующих элементов
    другой строки или столбца равна нулю.

    Пример
    32.3

    Вычислить
    определитель, используя свойства:

    Решение:

    1.
    Третью строку умножим на подходящие
    множители и прибавим к остальным:

    получим:

    ПРАВИЛО
    КРАМЕРА

    Решение систем уравнений

    Пусть
    имеется система уравнений:

    Обозначим
    через Δ определитель матрицы системы
    и через Δj определитель,
    который получается из определителя Δ
    заметой j-го столбца столбцом правых
    частей системы ( j=1,2,…n).

    Теорема
    1

    Если
    определитель матрицы отличен от нуля,
    т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное
    решение, которое находится по формуле: 

    Нахождение обратной матрицы

    Путь
    имеется матрица:

    Матрица:

    13. Теорема Крамера Капелли, метод гаусса

     Теорема. Система
    из
     n
    уравнений с
     n
    неизвестными

    в
    случае, если определитель матрицы
    системы не равен нулю, имеет единственное
    решение и это решение находится по
    формулам:

    ,
    где
     = detA,
     а
     i 
    определитель
    матрицы, получаемой из матрицы системы
    заменой столбца
     iстолбцом
    свободных членов
     bi.
    i = 

    Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

    Пусть
    нам требуется решить систему линейных
    алгебраических уравнений
     
    в
    которой число уравнений равно числу
    неизвестных переменных и определитель
    основной матрицы системы отличен от
    нуля, то есть, .

    Пусть —
    определитель основной матрицы системы,
    а —
    определители матриц, которые получаются
    из А заменой 1-ого,
    2-ого, …, n-ого
     столбца
    соответственно на столбец свободных
    членов:

    При
    таких обозначениях неизвестные переменные
    вычисляются по формулам метода Крамера
    как .
    Так находится решение системы линейных
    алгебраических уравнений методом
    Крамера.

    Пример.

    Решите
    систему линейных уравнений методом
    Крамера .

    Решение.

    Основная
    матрица системы имеет вид .
    Вычислим ее определитель (при необходимости
    смотрите статью определитель
    матрицы: определение, методы вычисления,
    примеры, решения):

    Так
    как определитель основной матрицы
    системы отличен от нуля, то система
    имеет единственное решение, которое
    может быть найдено методом Крамера.

    Составим
    и вычислим необходимые
    определители (определитель получаем,
    заменив в матрице А первый
    столбец на столбец свободных членов ,
    определитель —
    заменив второй столбец на столбец
    свободных членов, —
    заменив третий столбец матрицы А на
    столбец свободных членов):

    Находим
    неизвестные переменные по формулам :

    Ответ:

    x1 =
    4, x
    2 =
    0, x
    3 =
    -1
    .

    Основным
    недостатком метода Крамера (если это
    можно назвать недостатком) является
    трудоемкость вычисления определителей,
    когда число уравнений системы больше
    трех.

    МЕТОД
    ГАУССА

    Решение
    систем линейных уравнений методом
    Гаусса.
    Пусть
    нам требуется найти решение системы
    из n линейных
    уравнений с n неизвестными
    переменными определитель
    основной матрицы которой отличен от
    нуля.

    Суть
    метода Гаусса
     состоит
    в последовательном исключении неизвестных
    переменных: сначала исключается x1 из
    всех уравнений системы, начиная со
    второго, далее исключается x2из
    всех уравнений, начиная с третьего, и
    так далее, пока в последнем уравнении
    останется только неизвестная переменная xn.
    Такой процесс преобразования уравнений
    системы для последовательного исключения
    неизвестных переменных называется прямым
    ходом метода Гаусса
    .
    После завершения прямого хода метода
    Гаусса из последнего уравнения
    находитсяxn,
    с помощью этого значения из предпоследнего
    уравнения вычисляется xn-1,
    и так далее, из первого уравнения
    находится x1.
    Процесс вычисления неизвестных переменных
    при движении от последнего уравнения
    системы к первому называется обратным
    ходом метода Гаусса
    .

    Кратко
    опишем алгоритм исключения неизвестных
    переменных.

    Будем
    считать, что ,
    так как мы всегда можем этого добиться
    перестановкой местами уравнений системы.
    Исключим неизвестную переменнуюx1 из
    всех уравнений системы, начиная со
    второго. Для этого ко второму уравнению
    системы прибавим первое, умноженное
    на ,
    к третьему уравнению прибавим первое,
    умноженное на,
    и так далее, кn-омууравнению
    прибавим первое, умноженное на .
    Система уравнений после таких
    преобразований примет видгде,
    а.

    К
    такому же результату мы бы пришли, если
    бы выразили x1 через
    другие неизвестные переменные в первом
    уравнении системы и полученное выражение
    подставили во все остальные уравнения.
    Таким образом, переменная x1 исключена
    из всех уравнений, начиная со второго.

    Далее
    действуем аналогично, но лишь с частью
    полученной системы, которая отмечена
    на рисунке

    Будем
    считать, что (в
    противном случае мы переставим местами
    вторую строку сk-ой,
    где ).
    Приступаем к исключению неизвестной
    переменнойx2 из
    всех уравнений, начиная с третьего.

    Для
    этого к третьему уравнению системы
    прибавим второе, умноженное на ,
    к четвертому уравнению прибавим второе,
    умноженное на,
    и так далее, кn-омууравнению
    прибавим второе, умноженное на .
    Система уравнений после таких
    преобразований примет видгде,
    а.
    Таким образом, переменнаяx2 исключена
    из всех уравнений, начиная с третьего.

    Далее
    приступаем к исключению неизвестной x3,
    при этом действуем аналогично с отмеченной
    на рисунке частью системы

    Так
    продолжаем прямой ход метода Гаусса
    пока система не примет вид

    С
    этого момента начинаем обратный ход
    метода Гаусса: вычисляем xn из
    последнего уравнения как ,
    с помощью полученного значенияxn находим xn-1 из
    предпоследнего уравнения, и так далее,
    находим x1 из
    первого уравнения.

    Пример.

    Решите
    систему линейных уравнений методом
    Гаусса.

    Решение.

    Исключим
    неизвестную переменную x1 из
    второго и третьего уравнения системы.
    Для этого к обеим частям второго и
    третьего уравнений прибавим соответствующие
    части первого уравнения, умноженные
    на и
    насоответственно:

    Теперь
    из третьего уравнения исключим x2,
    прибавив к его левой и правой частям
    левую и правую части второго уравнения,
    умноженные на :

    На
    этом прямой ход метода Гаусса закончен,
    начинаем обратный ход.

    Из
    последнего уравнения полученной системы
    уравнений находим x3:

    Из
    второго уравнения получаем .

    Из
    первого уравнения находим оставшуюся
    неизвестную переменную и этим завершаем
    обратный ход метода Гаусса .

    Ответ:

    x1 =
    4, x
    2 =
    0, x
    3 =
    -1
    .

    studfiles.net