Свойства степеней примеры решения – 11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.
Решение | Преобразуем, степени в числителе по свойству , а степени из знаменателя поднимем в числитель, при этом они изменят знак:
Далее воспользуемся тем фактом, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются
Используя свойства степеней: и , получим:
|
ru.solverbook.com
Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями
Здравствуйте. Многие ученики испытывают сложности при решении заданий, в которых встречаются выражения с корнями. В данной статье я попытаюсь обобщить материал по темам «Радикал» и «Степень». Покажу как решать некоторые задания. Если у Вас во время прочтения статьи появятся вопросы, Вы можете записаться ко мне на занятие, я с радостью помогу Вам во всем разобраться, помогу с решением именно Ваших задач!
1. Свойства степеней и корней
Степенью числа
Степень числа а с показателем n обозначают an, например:
В общем случае при n > 1 имеем
Число a называется основой степени, число n — показателем степени.
Приведем основные свойства действий со степенями.
Приведенные свойства обобщаются для любых показателей степени
Часто в вычислениях используются степени с рациональным показателем. При этом удобным оказалось такое обозначение:
Корнем n— ой
Корень также называется радикалом.
Корень нечетной степени n всегда существует. Корень четной степени 2n из отрицательного числа не существует. Существуют два противоположных числа, которые являются корнями четной степени из положительного числа а > 0. Положительный корень n— ой степени из положительного числа называют арифметическим корнем.
Из формул (3), (4) вытекают такие свойства радикалов
Если степень корня n = 2, то показатель корня обычно не пишется.
Пример 1.1. Найти значение выражения
Подкоренное выражение разложим на простые множители:
Пример 1.2. Упростить выражение
Имеем:
Пример 1.3. Извлечь корень
Имеем:
Пример 1.4. Упростить выражение
Поскольку при
2. Действия с радикалами
1) Преобразование корня по формуле называется внесением множителя под знак радикала.
Пример 2.1. Внести множитель под знак корня 5√2.
Исходя из формулы (7) получим
Пример 2.2. Внести множитель под знак радикала x√y при x< 0.
Имеем равенство
2) Преобразование корня исходя из формулы называется вынесением множителя из-под знака радикала.
Пример 2.3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Получим:
Пример 2.4. Вынести множитель из-под знака корня
Имеем:
Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня:
Радикалы вида , где a, b — рациональные числа, называются подобными. Их можно прибавлять и отнимать:
Пример 2.6. Упростить:
Пример 2.7. Сложить радикалы:
Пример 2.8. Выполнить действие:
Заметим, что равенство
Приведем примеры умножения радикалов.
Пример 2.9.
Аналогично освобождаются от кубических иррациональностей в знаменателе:
Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей:
Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.
Пример 2.10. Перемножим радикалы:
Во время умножения радикалов можно использовать формулы сокращенного умножения. Например:
Если радикалы находятся в знаменателе дроби, то, используя свойства радикалов, можно избавиться от иррациональности.
Пример 2.11. Рационализируем знаменатели дробей
Выражения называются
Это свойство используется для рационализации знаменателей.
Пример 2.12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
3. Вычисление иррациональных выражений
С помощью свойств корней можно упрощать и вычислять иррациональные выражения.
Пример 3.1. Вычислить
Выполним последовательно действия:
Пример 3.2. Вычислить:
Выполним действия.
Часто используется формула двойного радикала:
Пример 3.3. Исходя из формулы (8) находим:
Пример 3.4. Вычислить
Исходя из формулы (8) находим:
Окончательно получаем:
Аналогично вычисляются кубические корни. Имеем:
Возводим обе части равенства в куб:
Сравнивая выражения при √с, получаем однородную систему уравнений:
Поделив уравнение почленно, приходим к уравнению для z = y/x:
Пример 3.5. Вычислить значение радикала
После возведения в куб уравнения приходим к системе уравнений:
Поделив почленно первое уравнение на второе, получим уравнение для z= y/x:
По схеме Горнера находим корень z = — ½
Из системы уравнений и уравнения y/x = — ½ находим
Пример 3.6. Вычислить .
Возьмем .
Возведя обе части уравнения в куб, получаем откуда вытекает система уравнений
Система уравнений имеет очевидное решение x= 1, y= 1.
Поэтому .
Вычисляем радикал
Окончательно имеем a = — 1.
Пример 3.7. Вычислить
Поскольку
Дальше имеем:
Итак, a = — 2.
Пример 3.8. Вычислить
Возведем уравнение в куб, воспользовавшись равенством .
Получили для x кубическое уравнение
или x3 – 3x – 18 = 0
имеет корни
Во множестве действительных чисел имеем корень x = 3.
4. Оценки для радикалов
Если
Это неравенство можно использовать для доведения неровностей, которые содержат радикалы.
Пример 4.1. Доказать, что .
Возведя неравенство в шестую степень, получим очевидное неравенство
Можно приводить радикалы к одной и то й же самой степени :
Пример 4.2. Оценим .
Поскольку
При преобразовании неравенств можно использовать символ V, понимая под ним знаки « > », « < », или « ».
Пример 4.3. Какое число больше
.
Поскольку
На этом все. Напоминаю, что Вы можете записываться ко мне на занятия в расписании, я с радостью помогу Вам с любыми вопросами по математике или высшей математике.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
Степень с целым показателем.
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения:
www.mathematics-repetition.com
Степень с целым показателем и ее свойства [wiki.eduVdom.com]
Если a≠0 и n — целое отрицательное число, то $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.
Выражение $0^n\text{ , при }n\in \mathbb{Z}\,,\, n \leq 0$ не имеет смысла.
Например:
Свойства степени с целым показателем:
Для всех а≠0 и любых $m, n\in\mathbb{Z}$ верны равенства:
$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
Для всех а≠0, b≠0 и любого $n\in \mathbb{R}$ верны равенства
Стандартный вид числа b — это его запись в виде $a\cdot 10^n\text{, где }1\leq a < 10\,, n\in\mathbb{Z}$ . Число n называется порядком числа b.
Пример 1. Вычислите $(5\cdot 10^{-2} + 6^{-1}\cdot 36 — 20^{-1})^2$.
Решение:
$(5\cdot 10^{-2} + 6^{-1}\cdot 36 — 20^{-1})^2 = (5\cdot \frac{1}{10^2} + \frac{1}{6}\cdot 36 — \frac{1}{20})^2 = (\frac{1}{20} + 6 — \frac{1}{20})^2 = 6^2 = 36$
Ответ:
36.
Пример 2. Упростите выражение $(a^{-2} — b^{-2}):\frac{a-b}{ab}$
Решение:
$(a^{-2} — b^{-2}):\frac{a-b}{ab} = (\frac{1}{a^2} — \frac{1}{b^2})\cdot \frac{ab}{(a-b)} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{a-b} = -\frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2}\cdot\frac{ab}{a-b} = -\frac{a+b}{ab}$
Ответ:
$-\frac{a+b}{ab}$
Пример 3. Представьте число 36782 в стандартном виде и назовите его порядок.
Решение: 36782 = 3678,2 • 10 = 367,82 • 102 = 36,782 • 103 = 3,6782 • 104. Порядок числа равен 4.
Ответ:
3,6782 • 104; порядок 4.
Пример 4. Найдите значение выражения: $5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 — 16\cdot\frac{1}{16}=?$
Видео-решение.
Пример 5. Сократите дробь: $$ \frac{18^{n+3}}{ 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} } $$
Видео-решение.
wiki.eduvdom.com
Свойства степеней | Алгебра
Основные свойства степеней задаются формулами:
(При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают).
(При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя).
(При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают).
(При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают).
(При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят).
Кроме того,
(где a≠0)
Если n — натуральное число, то
в частности,
в частности,
Для a>0
В частности,
В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет: сначала для степени с натуральным показателем, затем — для степени с целым показателем, далее — для степени с рациональным и иррациональным показателем.
Свойства степеней с натуральным и целым показателем верны и для степеней с рациональными и иррациональными показателем, но накладывается дополнительное условие: основания степеней в этом случае должны быть положительными.
По определению, для любого α
www.algebraclass.ru
отрицательная степень дроби | математика-повторение
Записи с меткой «отрицательная степень дроби»
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n .
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).
www.mathematics-repetition.com
Степень с натуральным показателем и её свойства
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an =
В выражении an :
— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
Например: 25 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108
Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1
Например: 4578 = 4,578 · 103 ;
103000 = 1,03 · 105.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
am · an = am + n
например: 71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 = 70.8
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
am / an = am — n ,
где, m > n,
a ? 0
например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(am )n = a m · n
например: (23)2 = 2 3·2 = 26
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an · b m ,
например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a / b)n = an / bn
например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
mirurokov.ru