Решение log – Как решать логарифмы 🚩 Решение логарифмов 🚩 Математика

Онлайн калькулятор логарифмических уравнений с решением: вычислить log


Логарифмические уравнения

Онлайн калькулятор логарифмов

Калькулятор вычисляет логарифм числа онлайн. Можно вводить как десятичные дроби (в качестве разделителя для десятичных дробей можно использовать как точку, так и запятую), так и обычные (например, если нужно вычислить логарифм то в поле «число» можете смело писать 1/9).

Помните, что операция взятия логарифма определена только для положительных чисел, а основание логарифма должно быть положительным и не должно равняться единице.

Что такое логарифм числа?

Примеры

Пример 1. Вычислить
Решение. По определению, равен показателю степени, в которую нужно возвести число чтобы получить число Очевидно, эта степень равна двум.

То есть

Видно, что для вычисления этого примера никакой калькулятор не нужен!

Пример 2. Вычислить
Решение. Воспользуемся следующим свойством логарифмов:

 

Получаем:

   

Так как то

Как видите, всё очень просто!

Логарифм числа по основанию 10 называют

десятичным и обозначают , а логарифм числа по основанию называют натуральным и обозначают .

Про свойства логарифмов читайте здесь.

Решение логарифмических уравнений

В математике уравнение называется логарифмическим, если оно содержит логарифмическую компоненту \ [\ log. \] Например, следующие уравнения логарифмичны:

\ [\ log_ {2} x = 32 \]

\ [\ log_ {3} x = \ log_ {3} 9 \]

Использование уравнений широко распространено в нашей жизни.

Решение логарифмических уравнений

Они используются в многочисленных расчетах, строительстве зданий и даже спортивных состязаниях. Уравнения, используемые человеком в древности, и с тех пор их использование только возрастает. Набор логарифмических уравнений содержит неизвестные данные в логарифмах.

Весь процесс решения логарифмических уравнений сводится к поиску решений для устранения логарифмической компоненты. В простейших уравнениях это можно сделать всего за 1 операцию. Такое решение возможно только в том случае, если уравнения имеют одинаковый численный базис и логарифмы левого и правого без каких-либо коэффициентов.

Также прочитайте статью «Решить логическое уравнение онлайн»

Предположим, что дано следующее уравнение:

\ [2 \ log_ {4} x + 3 \ log_ {x} 4 = 5 \]

Используя основные свойства логарифмов, исходное уравнение преобразуется в следующий вид:

\ [2 \ log_ {4} x + 3 \ frac {1} {\ log_ {4} x} = 5 \

Затем выполните замену:

\ [\ log_ {4} x = y \]

Преобразование:

\ [2y + \ frac {3} {y} = 5 \]

Умножьте и напишите в виде квадратного уравнения:

\ [2y ^ 2 — 5y + 3 = 0 \]

Вычислить дискриминант:

\ [D = 5 ^ 2 — 4 \ cdot 2 \ cdot 3 = 1 \]

Мы получаем корни:

\ [Y_ {1,2} = \ frac {5 \ pm 1} {2 \ cdot 2} \ Rightarrow y_1 = \ FRAC {3} {2}; y_2 = 1 \]

Мы возвращаемся к замене и находим:

\ [\ Log_ {4} x = \ frac {3} {2} \ Rightarrow x_1 = 4 ^ {\ frac {3} {2}} = 2 ^ {2 \ frac {3} {2}} = 8; \]

\ [\ log_ {4} x = 1 \ Rightarrow x_2 = 4 ^ 1 = 4 \]

Отсюда следует, что уравнение имеет два решения:

\ [x_1 = 8; x_2 = 4 \]

Где я могу решить логарифмическое уравнение в сети с помощью спасателя?

Вы можете решить уравнение на нашем сайте pocketteacher.ru.

В считанные секунды бесплатное онлайн-решение для спасения решит онлайн-уравнение любой сложности. Все, что вам нужно сделать, это ввести ваши данные в спасение. Вы также можете просмотреть видео-инструкции и узнать, как решить уравнение на нашем веб-сайте. И если у вас есть вопросы, вы можете задать их в нашей группе Vkontakte: pocketteacher.

Присоединяйтесь к нашей группе, мы будем рады вам помочь.

Добро пожаловать в онлайн-калькулятор логарифмов.

Что это за калькулятор? Ну, во-первых, проверить с помощью письменных или умственных расчетов. Вы можете встретить логарифм (в русских школах) в десятом классе. Эта тема довольно сложная. Вы знаете, что разрешение логарифмов, особенно с большими или частичными числами, это непростая задача.

Лучше быть в безопасности и использовать калькулятор. При зарядке будьте осторожны, чтобы не заменить базовый блок на число. Такой логарифмический калькулятор подобен калькулятору факторов, который автоматически предоставляет несколько решений.
В калькулятор должны быть заполнены только два поля. Поле номера и базовое поле. Ну, давайте попробуем ограничить калькулятор на практике. Например, вам нужно будет найти log28 (logarithm 8 base-2 или base-2 logarithm числа 8, не бойтесь другого произношения).

Итак, введите 2 в поле «ввести базу данных» и введите 8 в поле «Введите номер». Затем нажмите «Искать логарифм» или введите. Затем логарифмический калькулятор сохраняет указанное выражение и отображает этот результат на экранах.

Логарифм, присвоенный базе
log 2 8 = 3
Десятичный логарифм
lg числа 8 = 0,90308998699194
Естественный логарифм
В номере 8 = 2.079441541725
Двоичный логарифм
lb числа 8 = 3.

Калькулятор логарифмов (реальных) — этот калькулятор определяет логарифм для данной базы данных.
Десятичный логарифмический калькулятор — это калькулятор, который ищет десятичный логарифм с базой 10.
Калькулятор натуральных логарифмов — калькулятор, который ищет логарифм на основе e.
Бинарный логарифмический калькулятор — это калькулятор, который находит логарифм в нижней части 2.

Понятие истинного логарифма: существует много разных логарифмических определений.

Прежде всего, было бы хорошо знать, что логарифм — это своего рода алгебраическая запись, обозначаемая как log b, где a — база, b — число.

И эта запись выглядит следующим образом: Логарифм на основе числа b.

4 логарифмический калькулятор и антигалогенит

Иногда используется журнал записи b.
Основание, то есть «а», всегда находится внизу. Потому что он всегда поднимается к власти.
И теперь, фактически, определение самого логарифма:
Логарифм положительного числа b относительно базы a (где a ->0, a ≠ 1) — это степень, в которой число a должно быть поднято для получения числа b. Кстати, страна не только должна быть в положительном состоянии. Число (аргумент) также должно быть положительным. В противном случае калькулятор журнала включит неприятный сигнал.

Логарифм — это операция поиска по логарифму по данной причине. Эта операция обратима для обогащения соответствующей базой.

Для сравнения:

повторение

логарифм

52 = 25;

Iog525 = 2;

103 = 1000;

log101000 = 3;

0,34 = 0,0081;

log03 0,0081 = 4;

Реверсивной логарифмической операцией является потенцирование.
В дополнение к вещественному логарифму, основой которого может быть любое число (кроме отрицательных чисел, ноль и одно), существуют логарифмы постоянной базы.

Например, десятичный логарифм.
Десятичным логарифмом числа является логарифм с базой 10, который записывается как lg6 или lg14. Это похоже на орфографическую ошибку или даже на букву, в которой опускается латинская буква «o».
Естественный логарифм является логарифмом с базой, равной числу е, т.е. Ln7, ln9, e≈2,7. Существует также двоичный логарифм, который не так важен в математике, как в теории информации и информатики.

Основой двоичного логарифма является 2. Например: log2 10.

Десятичные и натуральные логарифмы имеют те же свойства, что и логарифмы чисел с любой положительной базой.

vipstylelife.ru

Некоторые методы решения логарифмических уравнений

Рассмотрим некоторые типы логарифмических уравнений, которые не так часто рассматриваются на уроках математики в школе, но широко используются при составлении конкурсных заданий, в том числе и для ЕГЭ.

1. Уравнения, решаемые методом логарифмирования

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании и в показателе степени, используют метод логарифмирования. Если, при этом, в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо логарифмировать по основанию этого логарифма.

Пример 1.

Решить уравнение: хlog2х+2 = 8.

Решение.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения по основанию 2. Получим

log2log2х+2) =  log2 8,                  

(log2 х + 2) · log2 х = 3. 

Пусть log2 х = t.

Тогда (t + 2)t = 3. 

t2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t1 = 1; t2 = -3.

Значит log2 х = 1 и х1 = 2 или log2 х = -3 и х2 =1/8

Ответ: 1/8; 2.

2.  Однородные логарифмические уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение log232 – 3х + 4) – 3log3 (х + 5) log3 2 – 3х + 4) – 2log

23 (х + 5) = 0

Решение.

Область определения уравнения

2 – 3х + 4 > 0,
{х + 5 > 0. → х > -5.

log3 (х + 5) = 0 при х = -4. Проверкой определяем, что данное значение х не является корнем первоначального уравнения. Следовательно можно разделить обе части уравнения на log2 3 (х + 5).

Получим log23 2 – 3х + 4) / log23 (х + 5) – 3 log32 – 3х + 4) / log3 (х + 5) + 2 = 0.

Пусть log32 – 3х + 4) / log3 (х + 5) = t. Тогда t 2– 3 t + 2 = 0. Корни данного уравнения 1; 2. Возвратившись к первоначальной переменной , получим совокупность двух уравнений

[log3 2 – 3х + 4) / log3 (х + 5) = 1

[log32 – 3х + 4) / log3 (х + 5) = 2. Отсюда

[log32 – 3х + 4) = log3 (х + 5),

[log32 – 3х + 4) = 2log3 (х + 5).

Выполнив потенцирование, получим

 [х2 – 3х + 4 = х + 5,

 [х2 – 3х + 4 = (х + 5)2 ;

 [х2 – 4х – 1 = 0,

 [-13х = 21.

 [х = 2 – √5,

 [х = 2 + √5, [х = -21/13. Все корни входят в область определения.

Ответ: ,-21/13; 2 – √5; 2 + √5.

3. Уравнения, содержащие переменную и в основании логарифма и в выражении, стоящем под знаком логарифма

Пример 3.

Найдите среднее арифметическое корней уравнения log3х+7 (9 + 12х + 4х2) + log2х+3 (6х2 + 23х + 21) = 4.

Решение.

9 + 12х + 4х2 = (2х + 3)2;  6х2 + 23х + 21 = (2х + 3)(3х + 7).

Область определения уравнения

{2х + 3 > 0,
{2х + 3 ≠ 1,

{3х + 7 > 0,
{3х + 7 ≠ 1.

Следовательно х > -1,5 и х ≠ -1

Тогда log3х+7 (2х + 3)2 + log2х+3 (2х + 3)(3х + 7) = 4;

2log3х+7 (2х + 3) + log2х+3 (2х + 3)+ log2х+3 (3х + 7) = 4;

2log3х+7 (2х + 3) + 1 + log2х+3 (3х + 7) = 4;

2log3х+7 (2х + 3) + 1/log3х+7 (2х + 3) = 3;

Введём новую переменную log3х+7 (2х + 3) = t. Получим 2t + 1/t = 3. 2t2 – 3t + 1 = 0. Корни уравнения 1/2; 1.

Возвращаемся к исходной переменной.

Получаем log3х+7 (2х + 3) = 1/2  или log

3х+7 (2х + 3) = 1

2х + 3 = (3х + 7)1/2;                    

(2х + 3)2 = 3х + 7;

2 + 9х + 2 = 0.

Корни уравнения -2; -0,25.

log3х+7 (2х+3) = 1.

2х + 3 = 3х + 7.

Х = -4.

В область определения уравнения входит только число -0,25.

Среднее арифметическое -0,25,

Ответ: -0,25.

4. Уравнения, требующие использования свойств логарифмических функций (т.е. решаемые функциональным методом).

Пример 4. Какой наибольший корень в уравнении log3 (8 + 2х – х2) = 2х-1 + 21-х

Решение.

Рассмотрим функцию у = 8 + 2х – х2. Её график – парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты вершины (1; 9). Область значений функции (-∞; 9]. Но с учётом существования логарифма нужно рассматривать лишь значения (0; 9]. Значит выражение в левой части принимает наибольшее значение 2 при х = 1. Рассмотрим теперь функцию у = 2

х-1 + 21-х . Если принять t = 2x-1,, то она примет вид у = t + 1/t, где t > 0. При таких условиях она имеет единственную критическую точку t = 1. Это точка минимума. Уvin = 2. И достигается он при х = 1.

Теперь очевидно, что графики рассматриваемых функций могут пересекаться лишь один раз в точке (1; 2). Получается, что х = 1 единственный корень решаемого уравнения.

Ответ: х = 1.

Пример 5. Решить уравнение log22 х + (х – 1) log2 х = 6 – 2х

Решение.

Решим данное уравнение относительно log

2 х. Пусть log2 х = t. Тогда t2 + (х – 1) t – 6 + 2х = 0.

D = (х – 1)2 – 4(2х – 6) = (х – 5)2. t1 = -2; t2 = 3 – х.

Получим уравнение log2 х = -2 или log2 х = 3 – х.

Корень первого уравнения х1 = 1/4.

Корень уравнения log2 х = 3 – х найдём подбором. Это число 2. Этот корень единственный, так как функция у = log2 х возрастающая на всей области определения, а функция у = 3 – х – убывающая.

Проверкой легко убедится в том, что оба числа являются корнями уравнения

Ответ:1/4; 2.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение логарифмического уравнения. Решение задания В5

Задание B7 (№ 26647) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Найдите корень уравнения log5(4+x)=2
Решим это уравнение двумя способами.
1. Первый способ.
Чтобы решить это уравнение, вспомним определение логарифма:

Логарифмом числа b по основанию a (logab) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b:
Т.е. если logab=х, то ax=b

Для нашего уравнения log5(4+x)=2, по определению логарифма получим:

52=4+x

Решим последнее уравнение:

х+4=25

х=21
Ответ: 21

2. Второй способ.
Рассмотрим логарифмическое уравнение вида:

logaf(x)=logag(x) 

Заметим, что в левой и правой части уравнения стоят логарифмы с одинаковым основанием. 

Два логарифма с одинаковым основанием равны, если равны выражения, стоящие под знаком логарифма.
Следовательно,

f(x)=g(x).

Внимание! Переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как мы найдем корни, нужно сделать проверку: подставить найденные корни в исходное уравнение, и проверить, получится ли у нас верное равенство.

1. В правой части нашего уравнения log5(4+x)=2 стоит число 2. Представим это число в виде логарифма по основанию 5.

Так как logaa=1, то 2=2log55=log552=log525,  и наше уравнение приводится к виду:

log5(4+х)=log525

Приравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма:

4+х=25

х=21

Проверка:  log5(4+21)=log525=2 — верно.

Ответ: 21

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

ege-ok.ru

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Решение логарифмических уравнений. Часть 1.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

   

или

   

,

в зависимости от того, какое неравенство  или проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

,

то мы переходим к системе:

   

 

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно  условно разделить на четыре типа:

1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью  преобразований и использования свойств логарифмов  приводятся к виду

или

Пример. Решим уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ уравнения:

   

 

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения. 

Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения — из соображений, что умножать проще, чем делить:

Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:

Получим уравнение:  

Воспользуемся свойствами логарифмов:

Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:

   

Да, удовлетворяет.

Ответ: х=5

2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.

Пример. Решим уравнение:

Решение.

Найдем ОДЗ уравнения:

Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Аналогично,

.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное  содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.

Получили уравнение:

Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:

,

Вернемся к исходной переменной:

,  

Отсюда:

,  

Ответ: ,  

Решение  логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru