Одз на логарифм – Логарифмические уравнения. Средний уровень. — Математика онлайн с Youclever.org!

ОДЗ логарифма | Логарифмы

ОДЗ логарифма следует непосредственно из определения логарифма.

По определению, логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число знаком логарифма:

   

Основание степени должно быть положительным числом, отличным от единицы.

При возведении в любую степень такого числа всегда получается положительное число.

Таким образом, область допустимых значений логарифма (ОДЗ логарифма)

   

состоит из трёх условий:

1) Под знаком логарифма должно стоять положительное число:

   

2-3) В основании логарифма должно стоять положительное число, отличное от единицы:

   

   

Все три условия должны быть выполнены одновременно.

Таким образом, чтобы найти ОДЗ логарифма

   

надо решить систему из трёх неравенств:

   

Если в основании логарифма стоит число: 

   

ОДЗ логарифма содержит всего одно условие:

   

Если под знаком логарифма стоит число, а в основании — выражение с переменной:

   

то в область допустимых значений нужно записать два условия:

   

Примеры нахождения ОДЗ логарифма рассмотрим отдельно.

www.logarifmy.ru

Область допустимых значений

Область допустимых значений алгебраического выражения (сокращенно ОДЗ) — это множество значений переменной, при которых это выражение  определено.

В школьном курсе алгебры есть всего пять элементарных функций, которые имеют ограниченную область определения. Вот они:

1.    ОДЗ:

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

2.          ОДЗ:

 

Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.

3.          ОДЗ:  

 

Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма  должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

4.  , ОДЗ:

5. Есть две функции, которые содержат «скрытую» дробь:

и

6.   ОДЗ:

Степень корня — натуральное число, отличное от 1.

Таким образом, функции  и имеют разную область определения.

 

Если выражение содержит одну или несколько функций, которые определены на ограниченном множестве значений аргумента, то для того, чтобы найти ОДЗ выражения, нужно учесть все ограничения, которые накладываются этими функциями.

Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в выражении функции, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения этих функций, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь».

Поясню на примере:

Найти область определения функции:

 

Чтобы найти область определения функции, нужно найти область допустимых значений выражения, которое стоит в правой части уравнения функции

Я специально выбрала «страшную», на первый взгляд,  функцию, чтобы показать вам, на какие простые операции разбивается процесс нахождения области допустимых значений.

«Просканируем» выражение, стоящее в правой части равенства:

 

1. Мы видим дробь:

Знаменатель дроби не равен нулю. Записываем:

2. Мы видим в знаменателе логарифм:


Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля; выражение, стоящее в основании логарифма  должно быть строго больше нуля и отлично от единицы.

Записываем:

 

3.Мы видим квадратный корень:

Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нулю.

Записываем:

Теперь запишем все ограничения в систему неравенств:

   

 

Решение этой системы неравенств посмотрите в ВИДЕУРОКЕ:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике

ege-ok.ru

ОДЗ в логарифмических уравнениях. — МегаЛекции


Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )

 

В предыдущем уроке мы освоили решение самых простых логарифмических уравнений. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет. Однако, даже в самых примитивных логарифмических уравнениях нас может ожидать сюрприз не из приятных. С этим сюрпризом надо разобраться.

 

Главная проблема в решении логарифмических уравнений.

Уравнения предыдущего урока мы решали легко и правильно. А вот, например, уравнение:

log32-3) = log3(2х)

так уже не решим. Хотя, по внешнему виду, это уравнение ничем не отличается от успешно решаемых элементарных…

Нет, мы решим его конечно. Решим легко, но… неправильно. Здесь таится главная засадав решении любых логарифмических уравнений. Любых — и простых, и сложных. Именно в эту засаду попадают и троечники, и отличники. Я специально поставил такую засаду в самое примитивное уравнение, чтобы с ней (с засадой) чётко разобраться. Ну что, разберёмся?

Итак, пусть нам на ЕГЭ попалось такое задание:

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнения:

log32-3) = log3(2х)

Потенцируем, т.е. убираем логарифмы (это можно!):

х2-3 = 2х

Получили обычное квадратное уравнение. Приводим к стандартному виду:

х2-2х-3 = 0

Решаем, получаем х1= 3; х

2= -1

Так, корня — два, находим сумму:

3+(-1) = 2

Ответ 2.

Вроде всё честно. Но сделаем самую надёжную проверку. Подставим результаты в исходное уравнение. Сначала х1= 3, получим

log36 = log36

Всё срастается отлично. Подставляем х2= -1, получаем:

log3(-2) = log3(-2)

Оп-па! Внешне всё красиво. Одна маленькая проблемка: логарифмов от отрицательных чисел не бывает! Не существует их в природе. Это значит, что корень х = -1 не является решением нашего логарифмического уравнения. Его подстановка даёт бессмыслицу.

Правильный ответ был 3… Три, а не два.

Бездушный компьютер не засчитает нам это задание, да…

Так в чём же дело?! Раскрою эту страшную тайну. Всё дело в ОДЗ.



 

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Кто забыл (или не знает), что такое ОДЗ, прогуляйтесь вот по этой ссылочке: ОДЗ. Область Допустимых Значений. Там немного, не волнуйтесь.) Описана общая идея ОДЗ в применении к дробным уравнениям. Это всяко знать надо. Без понятия ОДЗ решение (даже абсолютно правильное!) любого уравнения превращается в лотерею. То ли выиграете, то ли нет…

А уж в решении логарифмических уравнений ОДЗ рулит однозначно! По той простой причине, что в логарифме есть исходные ограничения. И на основание, и на подлогарифменное выражение. Обязательно освежите в памяти (или узнайте, уж кому — как…) эти ограничения здесь.

В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется

расширение ОДЗ.

И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем… Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.

Перед решением любого логарифмического уравнения записываем ОДЗ. После этого с уравнением можно делать всё, что угодно. В смысле — решать…) Получив ответ, надо просто выяснить, входят ли корни в ОДЗ. Те что входят — это полноценные, правильные решения. Те что не входят — безжалостно выкидываем. Эти корни образовались в процессе решения самостоятельно, они лишние. Их так иногда и называют: посторонние корни.

 

Как записывать ОДЗ?

Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем, и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это

деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.

Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:

log32-3) = log3(2х)

Осматриваем пример, выясняем что деления — нет, корней — нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть

всегда больше нуля. Вот так прямо и пишем:

ОДЗ:

 

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Рекомендую всегда перед решением записывать ОДЗ в таком виде. Чтобы потом, впопыхах, не забыть проверить корни на ОДЗ. Да и любой проверяющий сразу поймёт, что вы — в теме! Это внушает.)

 

Что делать с ОДЗ?

Итак, ОДЗ записали. Половина дела — сделана). Что дальше с этой записью делать? Вот тут у нас возникают варианты.

Вариант первый, универсальный:

Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.

Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:

х > √3

Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!

Всё, соломки подстелили. Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать — исходные ограничения мы записали и сохранили.

Решив само уравнение и получив ответы х1= 3; х2= -1, легко увидеть, что в качестве ответа годится только х1= 3. Корень х2= -1 меньше, чем корень из трёх, он — посторонний. Его мы просто отбрасываем. Вот и всё.

Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)

А если с решением систем неравенств, того… не очень? Как быть?! Как быть, как быть… Научиться! Но если уж совсем прижало… Ладно, только для вас! Способ-лайт.)

Вариант второй, только для нехитрых уравнений.

Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:

ОДЗ:

Дальше решаем само логарифмическое уравнение, это несложно. Опять получаем два корня: х1= 3; х2= -1.

А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Для х1= 3:

Просто считаем, получаем:

Всё отлично. Оба неравенства — верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ.

Подставляем второй корень х2= -1:

Считаем и получаем:

Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?

Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения… Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да…

Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.

 

Ну вот, с ОДЗ — главной ловушкой в логарифмических уравнениях — мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Можете проверить самостоятельно. Такое бывает. Решали, про ОДЗ — не вспомнили (или вообще не знали…), а получили-таки правильный ответ. Значит — повезло. Я же говорю — лотерея, если без ОДЗ решать…)

 

А теперь — внимание!

Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:

Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть — это решение самого уравнения. Вторая — решение условий ОДЗ. Эти части решаютсянезависимодруг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.

Ключевое слово здесь — «независимо». Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное — в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.)

Подведём итоги в практических советах.

 

Практические советы:

1. Прежде всего — записываем условия ОДЗ по исходному примеру.

2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно — с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

log22+5х-6) = log2(4х)

ln(х3-7х+2sinx+3) = ln(х3-7х+2sinx-4)

Ответы (в беспорядке): 2; решений нет; 1; -5.

Ну, как оно? Замечу, что страшный внешний вид некоторых примеров — обманчив. Решаются они легко.) Если у вас всё получилось быстро и правильно — можно заняться заданиями посложнее.

Если не получилось, или решалось долго — посетите раздел 555. Там эти примеры разобраны детально. Даны приёмы правильного и быстрого решения. Иногда в логарифмических уравнениях половину, а то и больше, вообще решать не надо. Ответ всё равно правильный будет. Да-да! В разделе 555 на этом особый акцент сделан.

Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да…)

А уж как сводить сложные уравнения к простейшим, как использовать на всю катушку свойства логарифмов и замену переменной, как не попасть в засаду под названием «Сужение ОДЗ» — всё это будет в следующих уроках.


Рекомендуемые страницы:


Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

Логарифмирование | Логарифмы

Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.

Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если

   

то

   

   

Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.

Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.

   

ОДЗ:

   

Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:

   

(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).

Показатель степени выносим за знак логарифма:

   

Примеры решения уравнений методом логарифмирования.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

   

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:

   

(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).

Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.

Пусть

   

тогда

   

   

   

Обратная замена:

   

Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:

   

   

Ответ: 1; 27.

   

ОДЗ: x>0.

Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

   

(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:

   

   

Пусть

   

тогда

   

   

Возвращаемся к исходной переменной:

   

   

   

Ответ: 1/4; 8.

   

ОДЗ:

   

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Обратная замена

   

   

   

Ответ:

   

   

ОЗД: x>0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

   

Показатель степени вынесем за знак логарифма

   

Здесь сначала удобно раскрыть скобки

   

Замена

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.

В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.

www.logarifmy.ru

Однородные логарифмические уравнения | Логарифмы

Однородные логарифмические уравнения первого порядка —

   

— не нуждаются в особом подходе для их решения.

С помощью свойств логарифмов такое уравнение можно привести к простейшему логарифмическому.

В общем виде решение таких уравнений можно представить, например, так:

ОДЗ:

   

   

   

   

Если между логарифмами стоит знак «минус», удобнее второе слагаемое перенести в правую часть, чтобы получить уравнение вида «логарифм равен логарифму«:

   

   

   

Пример.

   

ОДЗ:

   

   

Поскольку в левой и правой части уравнения стоят равные логарифмы с равными основаниями, то выражения, стоящие под знаками логарифмов, тоже равны:

   

   

   

   

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 10.

При решении таких уравнений, в принципе, определять его вид, как однородного, нет необходимости. Иначе обстоит дело с уравнениями второго порядка.

Однородное логарифмическое уравнение второго порядка — это уравнение вида

   

   

Обе части уравнения делим на квадрат одного из логарифмов:

   

   

(Предварительно проверяя, не являются ли значения x, при которых этот логарифм обращается в нуль, корнями данного уравнения).

Получаем:

   

   

После сокращения:

   

Пусть

   

тогда

   

Далее — решение квадратного уравнения относительно t и обратная замена.

Пример.

   

   

ОДЗ:

   

Обе части уравнения делим на lg(2x+1)≠0 (этот логарифм обращается в нуль, когда 2x+1=1, то есть при x=0. Но нуль не входит в ОДЗ, следовательно, деление на lg(2x+1) не ведет к потере корней).

   

   

   

   

   

Пусть

   

тогда

   

   

   

Обратная замена:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Второй корень не входит в ОДЗ.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Первый корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 1/√2; 1,5.

www.logarifmy.ru

Логарифм частного | Логарифмы

Чему равен логарифм частного? Это зависит от знаков делимого и делителя.

При положительных делимом и делителе

логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

В этом случае формула логарифма частного может быть записана как

   

где x>0, y>0.

Например,

   

   

   

Если в ходе решения логарифмических уравнений, неравенств либо их систем требуется осуществить переход от логарифма частного к разности логарифмов, следует учесть область допустимых значений.

Когда на области допустимых значений переменные положительны, проблемы при таком переходе не возникают.

Например, в системе

   

область допустимых значений —

   

откуда

   

При таких условиях можем преобразовать логарифм частного как

   

и система примет вид:

   

после чего её легко решить, например, способом сложения.

Если же делимое и делитель в частном под знаком логарифма могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, формула перехода от логарифма частного к разности логарифмов выглядит так:

   

Таким образом, в общем случае логарифм частного равен разности логарифмов модулей делимого и делителя.

Например, в выражении

   

область допустимых значений —

   

Поэтому при переходе от логарифма частного к разности логарифмов переменные нужно записывать под знаком модуля:

   

www.logarifmy.ru

Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Обозначение: logax = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 23 = 8 ⇒log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 23 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 26 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

212223 242526
248163264
log2 2 = 1log2 4 = 2 log2 8 = 3log2 16 = 4 log2 32 = 5log2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 22 < 5 < 23, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809…
log3 8 = 1,89278926…
log5 100 = 2,86135311…

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: logax = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = ab;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log5 25

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51; 25 = 52;
  2. Составим и решим уравнение:
    log5 25 = b ⇒(51)b = 52 ⇒5b = 52 ⇒ b = 2;

  3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

  1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31; 1/81 = 81−1= (34)−1 = 3−4;
  2. Составим и решим уравнение:

  3. Получили ответ: −4.

Задача. Вычислите логарифм: log4 64

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 22; 64 = 26;
  2. Составим и решим уравнение:
    log4 64 = b ⇒(22)b = 26 ⇒22b = 26 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log16 1

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 24; 1 = 20;
  2. Составим и решим уравнение:
    log16 1 = b ⇒(24)b = 20 ⇒24b = 20 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log7 14

  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 71; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 71 < 14 < 72;
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 23 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log10x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = logex

Таким образом, ln e = 1; ln e2 = 2; ln e16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Смотрите также:

  1. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  2. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
  5. C2: расстояние между двумя прямыми
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение

www.berdov.com