Как научиться решать квадратные уравнения – Как решить квадратное уравнение 🚩 Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений 🚩 Математика

Содержание

Как решать квадратные уравнения? | Александр Будников

Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений. Примеры.

        Обычно квадратные уравнения – одна из самых любимых учениками тем школьной математики. Почему? Потому, что алгоритм решения любого квадратного уравнения достаточно прост и универсален. Работает безотказно. Однако простора для дурацких ошибок при решении квадратных уравнений тоже хватает, да… Так что будем разбираться, что к чему.)

        Ключевым словом в понятии квадратное уравнение является слово «квадратное». Что оно означает? Оно означает то, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. В любом случае. При этом в уравнении также могут быть (или не быть – как повезёт) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И при этом в уравнении не должно быть иксов в кубе, в четвёртой и любых других степенях, больших двойки.

        В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

        ax

bx c = 0

        Здесь a, b, c – какие-то числа. Любые.) Числа b и c могут быть совсем-совсем любыми, а вот а – любым числом, кроме нуля. Почему – объясню чуть ниже.

        Например:

        x2+4x-5 = 0         (a=1; b=4; c=-5)

        —2x2-5x+3 = 0      (a=-2; b=-5; c=3)

        0,5x2-2x+2 = 0    (a=0,5; b=-2; c=2)

        И так далее. В общем, пока всё понятно, я надеюсь. В этих уравнениях слева присутствует полный набор слагаемых: есть икс в квадрате (с коэффициентом a), есть просто икс (с коэффициентом b), а также есть свободный член c. Такие квадратные уравнения в математике так и называются — полными.

        А бывают и такие квадратные уравнения, где чего-то не хватает. Что у нас произойдёт, если, например, обнулить коэффициент b (b=0)? У нас

исчезнет икс в первой степени.

        Получится, к примеру, что-то типа:

        x2–9 = 0

        x2+25 = 0

        И так далее…

        А если c=0? Тогда у нас пропадёт свободный член:

        x2-4x = 0

        —x2+10x = 0

        И т.д. и т.п.

        А если уж оба коэффициента a и b станут равны нулю, то тогда совсем всё просто получится:

        0,1x2 = 0

        -3x2 = 0

        Такие квадратные уравнения, где какого-то из членов не хватает, называются (вы не поверите)

неполными.)

        Таким образом, квадратные уравнения бывают двух основных видов – полные и неполные.

        А теперь ответ на вопрос, почему коэффициент a не может быть равен нулю. Что у нас произойдёт, если мы обнулим коэффициент а? Да! У нас пропадёт икс в квадрате! Наше уравнение превратится в линейное. И решаться будет уже совсем по-другому…

 

Общая формула корней квадратного уравнения. Что такое дискриминант? Формула и смысл дискриминанта.

        Квадратные уравнения решаются достаточно просто. По одной единственной универсальной формуле. Да-да, именно так!

        А теперь у меня для вас есть две новости – хорошая и плохая. С какой начнём? Принято с плохой начинать? Что ж, ладно…

        Новость плохая. Строгий аналитический вывод общей формулы корней квадратного уравнения достаточно громоздок и трудоёмок и основан на процедуре выделения полного квадрата. В большинстве школьных учебников вывод общей формулы корней всё-таки приводят, но я считаю что эта процедура – очередной вынос мозга простому среднестатистическому школьнику. Поэтому в данном уроке я его (вывод) всё-таки опущу.)

        Новость хорошая. Запоминать аналитический вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде и не требуется. Вообще!) Гораздо важнее запомнить саму формулу и научиться её применять на практике. Вот мы и попрактикуемся. И уравнения порешаем.)

        «Формула! Где формула?! Ты достал формулу?» — слышу громкие возгласы, как в старом добром рекламном ролике начала 2000-х…

        Достаю, достаю! Из широких штанин… О-па! Вот она, формула!)

        Вот такая красивая формула. Да, я не спорю, довольно громоздкая. Но и уравнение мы решаем всё-таки квадратное, а не более простое линейное…

        Как вы видите, для поиска корней квадратного уравнения нам необходимы только коэффициенты a, b, c. И всё. Больше ничего. Вот и подставляем аккуратно все коэффициенты в формулу и считаем наши корни.

        Выражение b2-4ac, стоящее под знаком квадратного корня, называется дискриминант. До боли знакомое и родное слово для большинства старшеклассников! Слова: «решаем через дискриминант» звучат обнадёживающе и вселяют уверенность!)

        Обычно дискриминант обозначается буковкой D:

        D = b

2-4ac

        Тогда, с учётом данного обстоятельства, общая формула корней станет выглядеть вот так:

        Сам по себе дискриминант, как правило, прост и безотказен в обращении. Но… В чём же его смысл? Почему для, скажем, b или 2a не вводятся какие-то специальные термины и обозначения? Буквы – они и в Африке буквы… А тут – такое красивое слово! Дискриминант…

        А дело вот в чём. При решении любого квадратного уравнения возможны всего три ситуации.

        1. Дискриминант положительный (D>0).

        Это означает, что из него можно извлечь корень. Красиво корень извлекается или некрасиво – вопрос другой. Главное, что извлекается в принципе.

        Тогда наше квадратное уравнение всегда имеет

два различных корня.

Вот они:

 

        2. Дискриминант равен нулю (D=0)

        Тогда корень из дискриминанта у нас также равен нулю. А поскольку от прибавления/вычитания нуля в числителе ничего не меняется, то наше уравнение имеет один корень:

        Вообще, строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но, в упрощённом виде, когда нам надо просто решить уравнение и получить ответ, принято говорить об одном решении.

 

        3. Дискриминант отрицательный (D<0)

        Из отрицательных чисел извлекать квадратный корень в средней школе не учат. Это означает, что уравнение не имеет корней. На нет, как говорится, и суда нет.)

 

Как решать квадратные уравнения?

 

        Полные квадратные уравнения

        Полное квадратное уравнение (любое!) решается всегда в четыре основных этапа.

 

        Этап 1. На первом этапе приводим уравнение к стандартному виду:

        ax2+bx+c = 0

        Всё просто: выстраиваем левую часть уравнения по убыванию степеней икса. На первом месте пишем слагаемое с иксом в квадрате, на втором месте – с иксом в первой степени и, наконец, свободный член. Справа – обязательно должен быть ноль! Если справа тусуются ещё какие-то члены, то переносим их в левую часть и приводим подобные.

        Конечно, если уравнение уже дано в стандартном виде, то первый этап делать не нужно.)

        Как только уравнение представлено в стандартном виде, приступаем ко второму этапу.

 

        Этап 2. На втором этапе мы внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.

        Если опыта пока что мало, во избежание досадных ошибок бывает очень полезным выписать их отдельно.

       

        Этап 3. На третьем этапе считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.

        Внимание! На данном этапе сразу же 

извлекаем корень из дискриминанта! Частенько именно в пропуске этой простой операции (извлечения корня) и кроются ошибки!

 

        Этап 4. И, наконец, последним, четвёртым этапом подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.

        Вот и весь алгоритм. Простой и безотказный в обращении.) А теперь – тренируемся.

 

        Например, надо решить вот такое уравнение:

        7x2 x – 8 = 0

        Уравнение уже дано нам в стандартном виде. Слева – полный набор членов, уже выстроенных по убыванию степеней, а справа – ноль. Посему переходим сразу ко второму этапу. Определяем коэффициенты a, b, и c:

        a = 7; b = -1; c = -8

        Третьим этапом считаем дискриминант. Аккуратно

подставляем наши коэффициенты a, b и с в формулу дискриминанта. Подставляем со своими знаками! Частенько именно в знаках коэффициентов народ и путается. Точнее, не столько в самих знаках, сколько в подстановке отрицательных значений в формулу дискриминанта. Вот и не ленимся, аккуратно пишем все знаки и скобочки. Трудов много не отнимет, зато гарантированно убережёт от досадных ляпов:

        D = b2-4ac = (-1)2 – 4·7·(-8) = 1+224 = 225

        Сразу же извлекаем корень из дискриминанта:

        Отлично, корень извлекается чисто. Теперь переходим к последнему, самому главному этапу – считаем наши корни. Опять же, аккуратно подставляем все числа в формулу, со всеми знаками и скобочками:

        Вот и всё. Это ответ.)

        Кстати сказать, если вы просто решаете квадратное уравнение, то нет особой нужды отдельно считать дискриминант. Можно работать напрямую с общей формулой, просто аккуратно подставляя в неё коэффициенты a, b и с.

        В нашем случае можно сразу по общей формуле записать:

        

        

        

        Но такое оформление чревато тем, что, впопыхах, очень велика вероятность что-нибудь забыть или упустить. Особенно если лениться расписывать всё подробно. Самая распространённая ошибка – где-нибудь потерять минус. Оно вам надо? Посему лучше считайте дискриминант отдельно – ошибок меньше будет. Естественно, посчитав дискриминант, не забывайте сразу же извлечь из него корень.) Специально ещё раз акцентирую внимание на этом моменте, потому что частенько сам дискриминант народ считает правильно, а вот корень извлечь забывает… Более того, привыкнув к отдельному поиску дискриминанта, вы быстрее запомните его общую формулу – в более серьёзных заданиях пригодится. Например, в

задачах с параметрами. Такие задачи – высший пилотаж на ЕГЭ!

        Естественно, бывают и сюрпризы. Не без этого… И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да. Чтобы не растеряться, в случае чего…) Рассмотрим первый сюрприз. Самый безобидный.

        Например, дано нам такое уравнение:

        x2 + 1 = 4x

        Как обычно, работаем прямо по алгоритму.

        1. Приводим уравнение к стандартному виду.

        Уравнение пока не готово к решению. Справа нужен ноль, а у нас справа тусуется 4х. Не беда: переносим 4х влево и выстраиваем члены по убыванию степеней:

        x2 – 4х + 1 = 0

        2. Определяем коэффициенты a, b, c.

В нашем случае:

a = 1; b = -4; c = 1

        3. Считаем дискриминант.

        D = b2-4ac = (-4)2 – 4·1·1 = 12

        А вот и первый сюрприз.) Число 12 не является точным квадратом целого числа! И корень из дискриминанта извлекается плохо:

        Что же делать? Не решается уравнение? Ну да, как же!

        Ничего страшного.) Работаем прямо с корнем. Естественно, если есть возможность, то выносим всё, что извлекается, за знак корня:

        4. Записываем общую формулу и считаем корни.

        Аккуратно подставляем наши числа и коэффициенты в формулу и считаем:

        Вот и всё. Это ответ.) Корни нашего уравнения получились иррациональными. Ну и ничего страшного. Бывает.) Такой уж пример.

        Открою небольшой секрет. Обычно задания на квадратные уравнения составляются так, чтобы корень из дискриминанта извлекался ровно и, тем самым, корни в ответе получались красивыми – либо целыми, либо рациональными. И народ постепенно привыкает к таким простым примерам, наивно думая, что дискриминант всегда обязан получаться точным квадратом. Не обязан! Более того, суровая реальность такова, что некрасивый дискриминант (а вместе с ним и лохматые иррациональные корни) – скорее правило, чем исключение! Стало быть, если вы захотите задать какое-нибудь квадратное уравнение, выбрав в нём коэффициенты a, b и с случайным образом, то с вероятностью 99% корни вашего квадратного уравнения будут числами иррациональными.

        Но иррациональных корней вовсе не надо бояться.) Ибо они – точно такие же числа, как и все остальные. Кстати говоря, в более серьёзных заданиях (неравенствах, задачах с параметрами) иррациональные корни встречаются сплошь и рядом. И с ними надо обязательно уметь работать – сравнивать, изображать на числовой оси и т.д. И мы тоже поработаем! В соответствующих уроках.)

        Как вы видите, процедура решения полных квадратных уравнений проблем не вызывает. Всё просто, быстро, не больно.) Главное – аккуратно подставляйте коэффициенты в формулу дискриминанта и общую формулу корней. И считайте себе.) И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

        Вот перечень самых распространённых ошибок при решении квадратных уравнений:

        1. Путаница в знаках. Ошибки в подстановке отрицательных коэффициентов в формулу дискриминанта и в общую формулу корней

        2. Забывают извлечь корень из дискриминанта.

        3. При работе с общей формулой корней в знаменатель дроби частенько подставляется не 2а, как положено, а просто двойка. Привыкает, видите ли, народ к простым уравнениям, с первым коэффициентом единичкой (а = 1). Внимательнее надо быть, да.)

        Ну и, разумеется, базовые тождественные преобразования уравнений тоже никто не отменял, да.)      

        Например, дано нам такое уравнение:

        Уравнение, в принципе, уже дано нам в стандартном виде. Слева – квадратный трёхчлен, построенный в порядке убывания степеней, справа – ноль.

        Наши коэффициенты будут:

        a = -1/3; b = 3/2; c = -5

        Можно приступать к решению. Только это… коэффициенты – дробные. Неудобно как-то…

        Согласен, неудобно! Всё-таки гораздо удобнее и приятнее, когда перед нами уравнение безо всяких дробей, в линеечку.) Вот и избавимся сначала от этих самых дробей. На что надо домножить обе части уравнения, чтобы и двойка сократилась, и тройка? На 6! Вот и домножаем. Слева получим:

        А что будет справа? Справа будет… ноль.) Ноль на что ни умножай – всё равно ноль будет. Хорошее число.)

        Итого получим:

        -2х2 + 9х – 30 = 0

        И опять не бросаемся решать, считать дискриминант и писать формулу корней! Минус перед иксом в квадрате – нехорош. Забыть его очень легко… Посему избавимся от этого минуса умножением обеих частей на (-1). Проще говоря, поменяем слева все знаки:

        2 — 9х + 30 = 0

        Ну вот. А вот теперь – по накатанной колее. Выписываем коэффициенты:

        a = 2; b = -9; c = 30

        Считаем дискриминант:

        D = b2-4ac = (-9)2 – 4·2·30 = 81-240 = -159

        Опаньки! А дискриминант-то отрицательный! Не можем мы корень из отрицательного числа извлечь. И сами корни посчитать, стало быть, тоже не можем, да. Стало быть, ответ – решений нет.

        Это был второй сюрприз. Надеюсь, теперь отрицательный дискриминант в каком-нибудь примере вас нисколько не смутит.)

        Это всё что касается полных квадратных уравнений. Теперь переходим к неполным.)

 

        Неполные квадратные уравнения

        Неполными, напоминаю, называются квадратные уравнения, где чего-то не хватает – или bx или с. Или обоих членов сразу.

        Например:

        х2 – 3х = 0

        х2 – 16 = 0

        И так далее.)

        Неполные квадратные уравнение также можно решать через дискриминант, по общей формуле. Надо только правильно догадаться, чему равняются коэффициенты a, b и с.

        Догадались? В первом случае a = 1, b = -3, а свободного члена с вообще нету! Что это означает? В математике это означает, что с=0! Вот и всё.)

        Во втором уравнении всё аналогично, только нулю будет равно не с, а b!

        И все дела.)

        Но неполные уравнения можно решать гораздо проще! Безо всяких дискриминантов и безо всяких формул! Зачем же из пушки по воробьям…

        Например, такое уравнение:

        х2 – 3х = 0

        Что здесь можно сделать в левой части? Сильнее всего напрашивается вынести икс за скобки и разложить левую часть на множители. Давайте вынесем:

        х(х-3) = 0

        И что дальше? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю! Вот и приравниваем (в уме!) каждый из множителей к нулю и получаем:

        х1 = 0

        х2 = 3

        И все дела! Это и будут корни нашего уравнения. Оба годятся.) При подстановке каждого из них в исходное уравнение мы получим железное равенство 0=0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант!

        Теперь рассмотрим другое уравнение:

        х2 – 16 = 0

        А здесь что можно сделать? Можно -16 перенести вправо:

        х2 = 16

        Остаётся корень извлечь из 16 и – ответ готов:

        Тоже два корня: х1 = -4;  х2 = 4.

        И так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки и разложения на множители, либо же переносом свободного члена вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти два способа – надо очень хорошо постараться.) Ибо в первом случае вам пришлось бы корень из икса извлекать, что как-то не очень, а во втором случае выносить за скобки нечего…

 

Что такое приведённое квадратное уравнение? Теорема Виета.

         Итак, как решать квадратные уравнения – полные и неполные – разобрались. Осталось нам ещё познакомиться с одной весьма и весьма полезной теоремой, здорово упрощающей процедуру решения многих квадратных уравнений.

        Знакомство наше начнём вот с такого несложного уравнения:

        х2 – 4х + 3 = 0

        Обычное квадратное уравнение. Коэффициенты у нас следующие:

        a = 1; b = -4; c = 3

        Решаем через дискриминант и получаем два корня:

        D = b2-4ac = (-4)2 – 4·1·3 = 16-12 = 4

        x1 = 1

        x2 = 3

        Казалось бы, ну решил уравнение и что из этого? А вот чего.

        Дело всё в том, что для нашего уравнения старший коэффициент (при икс в квадрате) равен единичке. Такие квадратные уравнения (где коэффициент a = 1) в математике называются приведёнными квадратными уравнениями.

        Подставив в общий вид квадратного уравнения а = 1, получим общий вид приведённого квадратного уравнения:

        x2 + bx + c = 0

        В некоторых учебниках коэффициенты b и с переобозначают как p и q и получают вот такой общий вид:

        x2 + px + q = 0

        Но суть та же самая. Как говорится, хоть горшком назови… Лично я буду использовать традиционные буквы b и с. Во избежание путаницы.)

        «Ну и что из этого?» — спросите вы. Чем приведённые квадратные уравнения так выделяются на фоне остальных? А дело вот в чём.

        Оказывается, для очень многих уравнений такого вида корни можно найти гораздо короче, чем традиционным путём через дискриминант. Фактически в уме! С помощью одного оч-чень мощного инструмента. Да-да, вы угадали! Теоремы Виета! Её, родимой.)

        Вот она:

        Теорема Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

        В математической форме теорема Виета записывается в виде вот такой системы:

        Верна и обратная теорема: если числа х1 и х2 таковы, что их сумма равна b, а произведение равно c, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0.

        Вот и вся суть теоремы Виета. А теперь возвращаемся к нашему уравнению:

        х2 – 4х + 3 = 0

        Теперь, вооружившись глубокими познаниями, прямо по теореме Виета, записываем системку для наших искомых корней:

       Вопрос: какие же такие числа в сумме дают четвёрку, а в произведении – тройку? Очевидно, только 1 и 3.

        Значит, можно смело записать:

        x1 = 1

        x2 = 3

        Вот и всё. Это и будут корни нашего уравнения.) Здорово, правда? И не нужно считать никаких дискриминантов, возюкаться с общей формулой… Сразу, фактически в уме, получен верный ответ.

        Возможно, кто-то уже приготовил мне вопрос. Весьма грамотный вопрос, кстати. А всегда ли в случае приведённого квадратного уравнения можно вот так красиво в уме подобрать корни?

        Нет. К сожалению, далеко не всегда. Например, я изменю в исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение пусть будет:

        x2 – 4х + 2 = 0

        Уравнение приведённое, коэффициент а равен единичке. Пишем теорему Виета:

        И подбираем иксы так, чтобы оба уравнения системки выполнились! Гм… Что-то не подбирается, правда? Какие бы целые числа вы бы ни подбирали, ничего не выйдет.

        Тут выход только один – решать через дискриминант. Ибо он спасает всегда – и в приведённых уравнениях, и в обычных. Попробуйте. И убедитесь, что корни получатся иррациональными. Естественно, такие корни подобрать в уме по теореме Виета уже несколько затруднительно, да…

        Но есть и ложка мёда.) Составители большинства заданий – люди гуманные.) И стараются составить уравнение так, чтобы корни являлись целыми числами и их легко можно было бы подобрать по теореме Виета. Так что, если перед вами приведённое квадратное уравнение – первым делом применяем теорему Виета и пробуем подобрать корни! Может, конечно, и не повезти, но зачем же такой шанс упускать, правда?)

        Кстати сказать, теорему Виета можно использовать не только для поиска корней, но и для проверки корней, найденных другим способом (через дискриминант, например). Решили уравнение — проверьте сумму и произведение корней по теореме Виета! Всё срослось – значит, верно.)

        Подытожим тему практическими советами.

        1. Перед решением любого квадратного уравнения приводим его к стандартному виду, выстраиваем левую часть по убыванию степеней.

        2. Если в уравнении имеются дробные коэффициенты, избавляемся от дробей умножением всего уравнения на нужный множитель.

        3. Если коэффициент перед иксом в квадрате отрицательный, избавляемся от минуса умножением всего уравнения на (-1).

        4. Если коэффициент перед иксом в квадрате равен единице (приведённое квадратное уравнение), то корни, чаще всего, легко можно найти по теореме Виета. Также по теореме Виета найденные корни легко и проверить. Делайте это!

        Ну что ж, на этой позитивной ноте предлагаю закруглиться. Теперь можно и порешать.)

        Решить уравнения:

        2x2 – 7x + 3 = 0

        x2x – 30 = 0

        х2 + 6х + 9 = 0

        x2 – 7x = 0

        x2 + 4x + 5 = 0

        -2x2 + 98 = 0

        x2 + 0,05x – 0,05 = 0

        

       

        Ответы (в беспорядке):

        x1 = -5; x2 = 6

        x1 = -0,2; x2 = 0,5

        x1 = 0; x2 = 7

        x1 = -0,25; x2 = 0,2

        решений нет

        x1 = -7; x2 = 7

        x1 = 0,5; x2 = 3

        х = -3

 

        Всё сошлось? Великолепно! Значит, квадратные уравнения – не ваша беда.) Все получились, а последние два – нет? Значит, проблема – в тождественных преобразованиях. Кликните по ссылке, почитайте – и будет вам счастье!)

abudnikov.ru

учимся решать методом уединения корня

Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

  1. Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
  2. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g(x) ≥ 0.
  3. Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

Решение иррационального уравнения

Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

2x2 − 14x + 13 = (5 − x)2
2x2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x2
x2 − 4x − 12 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6; x2 = −2

Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

Как упростить решение

Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g(x) = 5 − x, которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

g(x) ≥ 0

Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

g(x1) = g(6) = 5 − 6 = −1 < 0
g(x2) = g(−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Из полученных значений следует, что корень x1 = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x2 = −2 нам вполне подходит, потому что:

  1. Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
  2. Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x2 = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.

Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.

Смотрите также:

  1. Как решать биквадратное уравнение
  2. Как решать простейшие линейные уравнения? Рассмотрены все варианты: один корень, бесконечно много корней или корней нет вообще.
  3. Сравнение дробей
  4. Типичные задачи B12 с функциями
  5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
  6. Задача B4: Цены на продукты в трех городах

www.berdov.com

уравнения Виета

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

   

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения 

   

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по  модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то  больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

   

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

   

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

   

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

   

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

www.uznateshe.ru

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Альдебенева А.Н. 1

1ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная Самарской области

Степанова Г.А. 1

1ГБОУ СОЩ ж.-д.ст. Погрузная

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов квадратных уравнений, которые необходимо научиться решать.

В данной работе я попыталась обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные мне способы решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры, так и нестандартные нетрадиционные способы решения, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых сокращает процесс решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественной здание алгебры.

Для выявления актуальности темы моей работы я провела исследование среди учащихся 8-11 классов нашей школы. Им было предложено решить полное квадратное уравнение любым известным способом. В исследовании приняло участие 72 учащихся из 86 (84 %) .

Метод решение квадратного уравнения

Кол-во учащихся

1.Метод выделения квадрата двучлена

0 чел

0%

2.Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки

0 чел

0%

3.Решение уравнений по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения

40 чел

56%

4.Решение уравнений, используя теорему Виета

4 чел

15%

5.Решение уравнений графическим способом

0 чел

0%

6.Неверно решили уравнения

8 чел

30%

7.Решение уравнений с использованием свойств коэффициентов

20 чел

27%

Таким образом, ясно, что при решении квадратных уравнений учащиеся нашей школы используют традиционно формулы дискриминанта и корней уравнения, что требует громоздких вычислений и как следствие больших затрат времени, что непозволительно в процессе сдачи экзаменов.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения? Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений.

Задачи:

1.Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений

2. Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.

3. Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.

4.Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений.

3.Показать нестандартные способы решения квадратных уравнений. Сделать выводы.

5. Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Актуальность темы: тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Тема исследования:

Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: анкетирование, сбор статистических данных, обработка собранных сведений и информации, оформление результатов исследования.

Итог работы.

Каждый ученик должен прийти к выводу «Мой способ решения квадратного уравнения – понятный, но я хочу найти для себя самый рациональный»

Глава 1. Историческая справка.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. «Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37…», — поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под редакцией С. А. Теляковского за 8 класс. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г. Рациональные приемы решения квадратных уравнений в полном объеме освещены на сайтах интернет.

Таким образом, изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

2.1. Определение квадратного уравнения

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

аx 2 + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

● Пример. 8x2 – 7x + 3 = 0

В каждом из уравнений вида ax 2 + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

● Пример. х 2 – 11х+30=0, х2 – 8х= 0.

2.2. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х 2 – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

Х2 – х – = 0.

Выделим из трехчлена х2 – x- –квадрат двучлена. Для этого разность

х2 – х представим в виде х 2 – 2· х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х2 – 2· х + – – = 0.

Отсюда х 2 – 2· х + = + ,

= .

Следовательно, х — = – или х — = , ,

х – = — или х — = ,

х = – или х = 1.

Уравнение имеет два корня: – и 1.

2.3. Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение

аx 2 + bx + c = 0.

Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х 2 + х + = 0.

Выделим из трехчлена х 2 + х + квадрат двучлена. Для этого сумму

х 2 + х представим в виде х 2 +2х∙ ,прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

х2 +2х∙ + – + = 0,

х 2+2х∙ + = – ,

= – ,

= ,

Уравнение = равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0.

Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4a–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b2 – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е.

D = b – 4ас. Дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

– выражение b2 – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1.Если D>0, то уравнение имеет два корня:

X1 =и x2 =

Пример. Рассмотрим уравнение 2x 2 –3x + 1= 0.

а=2; b= –3; с=1,

D= b – 4ас =(–3) – 4ас= 9–8= 1; 2 корня.

X1= = = = 0,5

X2 = = = =1

Ответ: 0,5;1

2.Если D= 0, то уравнение имеет один корень:

х = – .

Пример. Рассмотрим уравнение 9х2 +6х+1= 0.

а=9; b= 6; с=1,

D= b – 4ас=6 – 4ас=36–36= 0; 1 корень.

X= = = -0,3

Ответ: -0,3

3. Если D 0. тогда это уравнение имеет два корня:

x1 =и x2 =

Найдем сумму и произведение корней:

x1 + x 2= + = = –p;

x1 . x 2 = . = = = =q.

Следовательно,

x1 + x 2 =-p, x1 . x 2 =q .

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 – 3х + 2 = 0.

D =1, уравнение имеет два корня. х1 = 2 и х2 = 1, p= –3; q= 2.

По теореме Виета x1 + x 2 =-p , значит 2 + 1= 3;

x1 . x 2 =q , значит 2 ∙ 1 =2.

Следовательно, х 1 = 2 и х2 = 1 являются корнями уравнения х2 – 3х + 2 = 0.

При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле

х = и x= .

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х1 и х 2 равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид

х + х = – , х ∙ х = .

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение

равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0.

Пример. Рассмотрим уравнение х 2 +3х – 40=0.

D= 32+4 ∙40= 169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х = ; х = .

Отсюда х 1 =-8 ; х 2 =5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х2 +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения

х2 +3х – 40=0.

Итак, квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала некоторые из них, которые сама очень активно применяю.

Глава 3. Рациональные способы решения квадратного уравнения.

3.1.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1) Если а+ b+c= 0, х1 = 1 , х 2 =

Пример. Рассмотрим уравнение х2 +4х – 5= 0.

a+ b+c= 0, х 1 =1 , х 2 = . 1+4+ (-5) =0 .

Значит, корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.

х = = = – 5.

х = = =1.

Отсюда следует, что если а+b+c= 0 , то х 1 =1 , х 2 =

2) Если b= а+c, то х1 =-1, х 2 = -

Пример. Рассмотрим уравнение 2х2 +8х +6 = 0.

2) Если b= а+c, то х1 =-1, х 2 = — . 8= 2+6

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16.

х = = = –3.

х = = = –1.

Отсюда следует, что если b= а+c , то х1 = -1 , х 2 =

Пример 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Пример 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132

3). Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример. Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

3.2. Способ «переброски».

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

  1. 2 – 11х+5=0 х2 – 11х+10= 0

х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

Ответ: 5; 0,5.

  1. 2 -37 х +9 =0 Ответ: ¼, 9

3.3.Закономерность коэффициентов

1) Если в уравнении ax 2+ bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = –а; х = – .

ах 2 + (а2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х2 +37х +6 = 0.

х = –6; х = – .

2) Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент b равен (а2 +1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = а; х = .

ax 2– (а2 +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2–226х +15 = 0.

х = 15; х = – .

3) Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = –а; х = .

ax2 + (а2 –1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.

х = –17; х = .

4) Если в уравнении ax 2– bx – c = 0 коэффициент b равен (а2 –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = а; х = – .

ax 2+ (а2–1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2–99х – 10 = 0.

х = 10; х = – .

3.4.Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х2 + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости —

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = — 1;

х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

Итак, квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений полных уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы, основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения. В данной работе я изложила и показала на примерах все эти способы. Проанализировав дополнительный материал, я пришла к выводу, что с помощью рациональных способов решения квадратных уравнений , решать уравнения стало намного намного проще и быстрее.

Предложенные методы решения квадратных уравнений просты в применении, и они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Заключение.

Таким образом, я считаю, что тема данного исследования полностью раскрыта. При работе над темой я узнала много нового из истории квадратных уравнений, а также научилась их решать более удобным способом. Полученные знания пригодятся мне в будущем.

В процессе работы мною создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого мною проведена успешная апробация этих приемов. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще полностью не изучена, она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных занятий по математике. Материалом могут воспользоваться те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

Список литературы:

1.Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.

2.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.-57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.

3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.

Просмотров работы: 3285

school-science.ru

Квадратные уравнения. Способы решения

Разделы: Математика


Цель: научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.

План урока:

  1. Повторение темы “Линейные уравнения”.
  2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”:
  3. Полные квадратные уравнения;
  4. Неполные квадратные уравнения;
  5. Из истории квадратных уравнений;
  6. Решение неполных квадратных уравнений;
  7. Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений;
  8. Графический способ решения квадратных уравнений;
  9. Вывод формул для решения полных квадратных уравнений;
  10. Теорема Виета.
  11. Обобщение темы.
  12. Задание к зачету.
  13. Викторина.
  14. Рефлексия.

Ход урока

1. Повторение темы “Линейные уравнения”.

Фронтальный опрос:

  • Что такое уравнение?
  • Что такое корень уравнения?
  • Что значит решить уравнение?
  • Сформулируйте свойства уравнений.
  • Виды уравнений.

Решение линейных уравнений:

3х – 2 = 5х + 4. (ответ: -3)

Іх — 1І + 2 = 3х. (ответ: )

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b и указать при каких значениях b корень уравнения – положительное число.

Решение:

(3х + 4b) – (7b + 2х) = 13b

3х + 4b – 7b — 2х = 13b;

Х — 3b = 13b;

Х = 16b.

При b>0 корень уравнения х>0.

Ответ: 16b, корень уравнения положителен при b>0.

2. Новый материал. Тема “Квадратные уравнения”.

1) Определение квадратного уравнения.

2) Определение неполного квадратного уравнения.

3) Из истории квадратных уравнений: (сообщение готовит ученик)

Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне примерно 2 тысячи лет до н.э.. Некоторые виды квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики, сводя их решения к геометрическим построениям. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский в 3 веке в книгах “Арифметика”, которые до настоящего времени не сохранились. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах2 + вх + с = 0, где а > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (7в.). В трактате “Китаб аль-джебр валь-мукабала” хорезмский математик аль-Хорезми разъяснил приёмы решения уравнений вида: ах2 = вх; ах2 = с, ах2 + с = вх; ах2 + вх = с; вх + с = ах2, где а, в, с – положительные числа.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х2 + вх = с, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем (1487 – 1567). После трудов нидерландского математика А.Жирара (1595–1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квадратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях записывается так: корнями уравнения (а + в) * х – х2 = ав, являются числа а и в.

4) Решение неполных квадратных уравнений:

  • ах2 + с = 0; х = , где < 0.

1. 8х2 – 8 = 0, х2 = 1, х = 1. Ответ: 1.

  • ах2 = 0; х2 = 0; х = 0.

1. 2х2 = 0; х2 = 0; х= 0. Ответ: 0.

  • ах2 + вх = 0; х(ах + в) = 0; х=0 или х = — .

1. 5х2 — 2х = 0; х(5х – 2) = 0; х = 0 или х = 0,4. Ответ: 0; 0,4.

5) Способ выделения квадрата двучлена при решении полных квадратных уравнений.

1. Решить уравнение х2 + 8х – 33 = 0.

Вспомним формулы квадрата суммы и квадрата разности и запишем их: (а в)2 = а2 2ав + в2 .

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 + 8х – 33 = (х2 + 2*4х + 16) – 16 – 33 = (х + 4)2 – 49.

Получим: (х + 4)2 – 49 = 0; (х + 4)2 = 49; х + 4 = 7; х1 = — 11, х2 = 3. Ответ: -11; 3.

2. Решить уравнение 2х2 — 9х + 4 = 0.

Вынесем в уравнении число 2 за скобки, как общий множитель:

2(х2 — х + 2) = 0; х2 — х + 2 = 0;

Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

х2 — х + 2 = (х2 -2· х + ) — + 2 = ( х — )2 — ;

( х — )2 — = 0; х — = ± ; х1 = 0,5; х2 = 4. Ответ: 0,5; 4.

6) Графический способ решения квадратных уравнений.

Если задана функция f (x) = ax2 + bx + c, то значения аргумента х, при которых функция обращается в нуль, называются нулями этой функции. Следовательно, корни уравнения ax2 + bx + c = 0 являются нулями функции f (x) = ax2 + bx + c.

Пример: решить графически уравнение х2 — 4х + 3 = 0.

Решение: f (x) = х2 — 4х + 3 = (х2 — 2 * 2х + 4) – 4 + 3 = (х – 2)2 – 1;

Х = 1, Х = 3 – точки пересечения графика функции f (x) = х2 — 4х + 3 с осью абсцисс, следовательно, Х = 1 и Х = 3 являются корнями данного квадратного уравнения.

Ответ: Х = 1, Х = 3.

7) Вывод формул для решения полных квадратных уравнений.

, где D = называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

если D = 0, то уравнение имеет один корень;

если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Пример: решить уравнение 2х2 — 5х + 2 = 0.

D = , D = 9, D > 0 — уравнение имеет два корня.

, х = , х = 0,5; х = 2. Ответ: 0,5; 2.

Любое полное квадратное уравнение можно привести к виду х2 + px + q = 0 делением обеих частей уравнения на а 0. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле х = — ± — q , где а = 1, в = р, с = q.

Пример: решить уравнение 2х2 +8х — 42 = 0.

Разделим обе части уравнения на 2 и получим равносильное уравнение х2 + 4х — 21 = 0.

Используя формулу корней для приведенного квадратного уравнения, получим: х1 = — 7, х2 = 3.

8) Теорема Виета.

Если полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна — , а произведение , т.е. х1 + х2 = — , х1 * х2 = .

Рефлексия: облако «тегов», которые необходимо дополнить.

  • сегодня я узнал…
  • было трудно…
  • я понял, что…
  • я научился…
  • я смог…
  • было интересно узнать, что…
  • меня удивило…
  • мне захотелось…

17.12.2015

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как решать биквадратное уравнение

В прошлых уроках мы научились решать квадратные уравнения. Для этого потребовалось ввести новый математический объект — дискриминант. Если вы не помните, что это такое, рекомендую вернуться к уроку «Как решать квадратные уравнения».

Для начала определение, что вообще такое биквадратное уравнение — это любое выражение, где переменная присутствует только в 4-ой и во 2-ой степени.

Как считать такие биквадратные конструкции? Схема состоит из пяти шагов. Все шаги очень легкие и очень быстрые:

1)вводим новую переменную ${{x}^{2}}=t$. В этом случае, возведя обе части этого уравнения в квадрат, мы получим

\[\begin{align}& {{({{x}^{2}})}^{2}}={{t}^{2}} \\& {{x}^{4}}={{t}^{2}} \\\end{align}\]

2)переписываем наше выражение — $a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+4=0\to a{{t}^{2}}+bt+c=0$

3)находим решение для полученного уравнении и находим переменные ${{t}_{1}}$ и ${{t}_{2}}$, если корней будет два.

4)выполняем обратную замену, т. е. вспоминаем, что такое $t$, получаем две конструкции: ${{x}^{2}}={{t}_{1}}$ и ${{x}^{2}}={{t}_{2}}$.

5)решаем полученные уравнения и находим иксы.

Реальные задачи

Пример № 1

Давайте посмотрим, как эта схема работает на настоящих биквадратных уравнениях.

Решаем первую задачу:

\[{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4=0\]

Вводим новую переменную и переписываем:

\[{{x}^{2}}=t\to {{t}^{2}}-5t+4=0\]

Это обычное квадратное уравнение, посчитаем его с помощью дискриминанта:

\[D={{(-5)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\]

Это хорошее число. Корень равен 3.

Теперь находим значение $t$:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2}=\text{ }\frac{8}{2}\text{ }=\text{ }4 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2}=\text{ }\frac{2}{2}\text{= }1 \\\end{array}\]

Но будьте внимательны, мы нашли только $t$ — это не решение, это только третий шаг. Переходим к четвертому шагу — вспоминаем, что такое $t$ и решаем:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=4\to {{x}^{2}}-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=2 \\& x=-2 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Вот мы и решили первую часть. Переходим ко второму значению $t$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1\to {{x}^{2}}-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Итого у нас вышло четыре ответа: 2; -2; 1; -1, т.е. биквадратное уравнение может иметь до четырех корней.

Пример № 2

Переходим ко второму примеру:

\[{{x}^{4}}-25{{x}^{2}}+144=0\]

Тут я не буду подробно все расписывать. Давайте решать так, как бы мы делали это в классе.

Заменяем:

\[{{x}^{2}}=t\]

Тогда у нас выйдет:

\[{{t}^{2}}-25t+144=0\]

Считаем$D$:

\[D=\text{ }625\text{ }-\text{ }4\text{ }\cdot \text{ }144\text{ }=\text{ }49\]

Корень из дискриминанта равен 7. Найдем $t$:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{ }=\frac{25+7}{2}\text{ }=\text{ }\frac{32}{2}=\text{ }16 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{25-7}{2}=\text{ }\frac{18}{2}\text{ }=\text{ }9 \\\end{array}\]

Вспоминаем, что такое $t$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=16 \\& \left[ \begin{align}& x=4 \\& x=-4 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Второй вариант:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=9 \\& \left[ \begin{align}& x=3 \\& x=-3 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Вот и все. У нас снова четыре ответа: 4; -4; 3; -3.

Пример № 3

Переходим к последнему биквадратному уравнению:

\[{{x}^{4}}-\frac{5}{4{{x}^{2}}}+\frac{1}{4}=0\]

Опять же вводим замену:

\[{{x}^{2}}=t\]

Тогда:

\[{{t}^{2}}-\frac{5}{4t}+\frac{1}{4}=0\]

Давайте умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

\[4{{t}^{2}}-5t+1=0\]

Найдем $D$:

\[D=\text{ }25\text{ }-\text{ }16\text{ }=\text{ }9\]

Корень из дискриминанта равен трем:

\[\begin{array}{·{35}{l}}

{{t}_{1}}\text{ }=\text{ }\frac{5+3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{8}{8}\text{ }=\text{ }1 \\{{t}_{2}}\text{ }=\frac{5-3}{2\cdot 4}=\text{ }\frac{2}{8}=\text{ }\frac{1}{4} \\\end{array}\]

Считаем иксы. Вспоминаем, что такое $t$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=1 \\& \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Второй вариант чуть посложнее:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}=\frac{1}{4} \\& \left[ \begin{align}& x=\frac{1}{2} \\& x=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right. \\\end{align}\]

Мы получили снова четыре корня:

\[1;\text{ }-1;\text{ }\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\]

Вот так решаются все биквадратные уравнения. Конечно, это не самый быстрый способ, зато он самый надежный. Попробуйте самостоятельно прорешать такие же примеры, как и в этом видео. В ответе значения иксов нужно записывать через точку с запятой — вот так, как я записывал. На этом урок закончен. Удачи!

Смотрите также:

  1. Следствия из теоремы Виета
  2. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
  3. Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)
  4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

www.berdov.com

Как научиться решать квадратные уравнения 8 класс

Площадь параллелограмма ABCD равна 219, точка Е — середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции BCDE. РЕШЕНИЕ: Разбиваем рисунок на 4 равных треугольника. Теперь мы видим, что площадь BCDE составляет 3/4 площади параллелограмма (3/4)·219 = 164,25. ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней; Имеют ровно один корень; Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — Дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4 ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет; Если D = 0, есть ровно один корень; Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

A = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

X 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Наконец, третье уравнение:

X 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т. е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше; Если же (− c / a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (− c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т. к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5 .

    Бесплатная подготовка к ЕГЭ 7 простых, но очень полезных уроков + домашнее задание

Чтобы посмотреть видео, введите свой E-mail и нажмите кнопку «Начать обучение»

    © 2010—2018 ИП Бердов Павел Николаевич

ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020 При использовании материалов ссылка на сайт обязательна

Как научиться решать квадратные уравнения 8 класс

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

Не имеют корней; Имеют ровно один корень; Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — Дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4 ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

Если D < 0, корней нет; Если D = 0, есть ровно один корень; Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

A = 1, b = −8, c = 12;

D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:

D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:

D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

X 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;

D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;

D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их:

Наконец, третье уравнение:

X 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;

D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т. е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше; Если же (− c / a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (− c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т. к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5 .

    Бесплатная подготовка к ЕГЭ 7 простых, но очень полезных уроков + домашнее задание

Чтобы посмотреть видео, введите свой E-mail и нажмите кнопку «Начать обучение»

    © 2010—2018 ИП Бердов Павел Николаевич

ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020 При использовании материалов ссылка на сайт обязательна

Как научиться решать квадратные уравнения 8 класс

Как научиться решать квадратные уравнения 8 класс

Решение. Раскроем скобки, умножив на каждое слагаемое в скобках:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; приводим подобные слагаемые:

3x 2 =0, отсюда x=0.

Решение. Вынесем общий множитель Х за скобки:

Х(5х-26)=0; каждый множитель может быть равным нулю:

Решение. Вынесем общий множитель за скобки:

4х(16+х)=0. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или Х=0 или 16+х=0. Из последнего равенства получим х=-16.

Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:

X 2 -6x+9+5x=9; преобразуем к виду: x 2 -6x+9+5x-9=0; приведем подобные слагаемые:

Если (-c/a)<0, то действительных корней нет. Если (-с/а)>0, то имеем два действительных корня:

8.2.5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Квадратный трехчлен Ax 2 +bx+c можно разложить на линейные множители по формуле:

Разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

Решение. Найдем корни квадратного уравнения: 2x 2 -7x-15=0.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 действительных корня.

2x 2 -7x-15=2 (х+1,5)(х-5)=(2х+3)(х-5). Мы представили данный трехчлен 2x 2 -7x-15 в виде произведения двучленов 2х+3 и Х-5.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

A=3; B=2; C=-8. Это частный случай для полного квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом (B=2). Находим дискриминант D1.

Мы представили трехчлен 3x 2 +2x-8 в виде произведения двучленов Х+2 и 3х-4.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

A=5; B=-3; C=-2. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: A+b+c=0 (5-3-2=0). В таких случаях Первый корень всегда равен единице, а Второй корень равен частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

5x 2 -3x-2=5 (х-1)(х+0,4)=(х-1)(5х+2). Мы представили трехчлен 5x 2 -3x-2 в виде произведения двучленов Х-1 и 5х+2.

Решение. Найдем корни квадратного уравнения:

A=6; B=1; C=-5. Это частный случай для полного квадратного уравнения с выполненным условием: A-b+c=0 (6-1-5=0). В таких случаях Первый корень всегда равен минус единице, а Второй корень равен минус частному от деления свободного члена на первый коэффициент:

Мы представили трехчлен 6x 2 +x-5 в виде произведения двучленов Х+1 и 6х-5.

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

X 2 -13x+12=0. Проверим, можно ли применить теорему Виета. Для этого найдем дискриминант и убедимся, что он является полным квадратом целого числа.

Применим теорему Виета: сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней должно быть равно свободному члену:

Решение. Найдем корни приведенного квадратного уравнения:

Дискриминант не является полным квадратом целого числа, поэтому, теорема Виета нам не поможет, и мы найдем корни по формулам для четного второго коэффициента:

Друзья, для того, чтобы разложить квадратные трехчлены на множители, мы решали каждое квадратное уравнение рациональным способом. Все эти способы мы рассмотрели ранее в теме: «Решение полных квадратных уравнений».

8.2.4. Применение теоремы Виета

Часто требуется найти сумму квадратов (x1 2 +x2 2 ) или сумму кубов (x1 3 +x2 3 ) корней квадратного уравнения, реже — сумму обратных значений квадратов корней или сумму арифметических квадратных корней из корней квадратного уравнения:

Помочь в этом может теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения X 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения

По теореме Виета сумма корней этого приведенного квадратного уравнения X1+x2=-p=2, а произведение X1∙x2=q=-4. Применим полученное нами (В примере 2) равенство: X1 3 +x2 3 =-p·(p 2 -3q)=2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Ответ: его всегда можно «привести», разделив почленно на первый коэффициент.

Решение. Нам дано полное квадратное уравнение. Разделим обе части равенства на 2 (первый коэффициент) и получим приведенное квадратное уравнение: X 2 -2,5x-3,5=0.

По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5.

Совет: всегда проверяйте возможность нахождения корней квадратного уравнения по подходящему способу, ведь 4 рассмотренные Полезные формулы позволяют быстро выполнить задание, прежде всего, в тех случаях, когда дискриминант — «неудобное» число. Во всех простых случаях находите корни и оперируйте ими. Например, в последнем примере подберем корни по теореме Виета: сумма корней должна быть равна 13, а произведение корней 36. Что это за числа? Конечно, 4 и 9. А теперь считайте сумму квадратных корней из этих чисел: 2+3=5. Вот так то!

8.2.3. Теорема Виета

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения X 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 — x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( X 2 +px+q=0), второй коэффициент P=-1, а свободный член Q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т. е. (-p), а произведение равно свободному члену, т. е. (Q). Тогда:

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом Р=6 и свободным членом Q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно Q=8. Это числа -4 и -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент Р=2, а свободный член Q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем Вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения Ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус B, деленному на А, произведение корней равно С, деленному на А:

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся Теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.

8.2.2. Решение полных квадратных уравнений

I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Если D>0, то имеем два действительных корня:

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) Х=-b/(2a).

Если D<0, то действительных корней нет.

D=b 2 — 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

D=b 2 — 4ac=21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.

II. Ax 2 +bx+c=0 квадратное уравнение частного вида при четном втором

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус С, деленному на А:

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен С, деленному на А:

poiskvstavropole.ru