Арифметическую прогрессию – Как решать арифметические прогрессии 🚩 Найти разность арифметической прогрессии 🚩 Математика

Содержание

Арифметическая прогрессия. Сумма арифметической погрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим  здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс  (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

1+2+3+4+5+5+…+97+98+99+100=?

 

А как бы считали вы?

+ показать

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.  

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

-9, -6, -3, 0, 3, …

Решение: 

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма  чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Ответ: 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых   членов арифметической прогрессии  может быть найдена по формулам

1) 

2) ,

где   — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Решение: + показать

Пример 2. 

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Решение:  + показать

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

 

Ответ: 420.  

Пример 3. 

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Решение:  + показать

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Ответ: 17.  

Пример 4. 

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Решение:  + показать

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической  прогрессии, начиная с 5-го  (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {} по формуле :

где

Ответ: 606.  

Пример 5. 

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Решение:  + показать

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы  вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96  в ряду 12, 16, … 96  за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда 

Итак,

Ответ: 3717.  

Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».

 

 

 

egemaximum.ru

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

yukhym.com

Арифметическая прогрессия

Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.

Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, – папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) – содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».

И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век до нашей эры), составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на число, кратное квадрату 1/2 числа членов».

Возьмем произвольный ряд натуральных чисел (больше нуля): 1, 4, 7, … n-1,n, …, который называют числовой последовательностью.

Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают последовательность чисел, получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.

Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.

Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.

Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:

an =kn+b, при этом b и k – некоторые числа.

Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:

  1. Каждый член прогрессии — среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
  2. Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член — среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность – арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
    Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность — арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.

Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k – числа прогрессии).

В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:

an = a1+d(n–1).

К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177

Формула an = ak + d(n — k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.

Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:

Sn = (a1+an) n/2.

Если известны разность арифметической прогрессии и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:

Sn = ((2a1+d(n–1))/2)*n.

Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:

Sn=(a1+an)*n/2.

Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.

Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,…,n,…- простейший пример арифметической прогрессии.

Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.

fb.ru

Арифметическая прогрессия. Часть 1

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию, рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия — это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность — это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер. Элементы этого множества называются членами последовательности.  Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:

— первый элемент последовательности;

— пятый элемент последовательности;

— «энный» элемент последовательности, т.е. элемент, «стоящий в очереди» под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность — это функция от натурального аргумента:

Последовательность можно задать тремя способами:

1. Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он  проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй — время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут,  , то есть в четверг  —  248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.

2. Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если , то

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:

Если, например,  , то

Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3. Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность , 

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим, начиная с третьего:

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным, от латинского слова recurro — возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Число называется разностью арифметической прогрессии.  Разность арифметической прогрессии может быть  положительной,  отрицательной, или равной нулю.

Если , то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей.

Например, 2; 5; 8; 11;…

Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей.

Например, 2; -1; -4; -7;…

Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной.

Например, 2;2;2;2;…

 

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

,  и в то же время

Сложив эти два равенства, получим:

.

Разделим обе части равенства на 2:

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

Больше того, так как

,  и в то же время

, то

, и, следовательно,

Каждый член арифметической прогрессии, начиная с , равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

и, наконец,

Мы получили формулу n-го члена.

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

Сложим попарно:

Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.

Получаем:

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:

Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию.

1. Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.

Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.

2Дана арифметическая прогрессия -31; -27;…

а) Найдите 31 член прогрессии.

б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.

а) Мы видим, что ; 

Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.

В общем случае

В нашем случае , поэтому

Получаем:

б) Предположим, что число 41 является членом последовательности. Найдем его номер. Для этого решим уравнение:

Мы получили натуральное значение n, следовательно, да, число 41 является членом прогрессии. Если бы найденное значение n не было бы натуральным числом, то мы бы ответили, что число 41  НЕ является членом прогрессии.

3. а) Между числами 2 и 8 вставьте 4 числа так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию.

б) Найдите сумму членов полученной прогрессии.

а) Вставим между числами 2 и 8 четыре числа:

Мы получили арифметическую прогрессию, в которой 6  членов.

Найдем разность этой прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена:

Теперь легко найти значения чисел:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

б)

Ответ: а) да; б) 30

 

4. Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 240 тонн, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму пе­ре­воз­ки на одно и то же число тонн. Из­вест­но, что за пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня. Опре­де­ли­те, сколь­ко тонн щебня было пе­ре­ве­зе­но на две­на­дца­тый день, если вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 15 дней.

По условию задачи количество щебня, которое перевозит грузовик, каждый день увеличивается на одно и то же число. Следовательно, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

Сформулируем эту задачу в терминах арифметической прогрессии.

За пер­вый день было пе­ре­ве­зе­но 2 тонны щебня: [pmath  size=14]a_1=2[/pmath].

Вся ра­бо­та была вы­пол­не­на за 15 дней: .

Гру­зо­вик пе­ре­во­зит пар­тию щебня мас­сой 240 тонн:

Нам нужно найти .

Сначала найдем разность прогрессии. Воспользуемся формулой суммы n членов прогрессии.

В нашем случае:

Найдем по формуле n-го члена:

Ответ: 24.

Продолжение статьи — решение основных типов задач на арифметическую прогрессию — читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Арифметическая прогрессия | umath.ru

Определение арифметической прогрессии

Определение. Числовая последовательность, каждый член которой получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа называется арифметической прогрессией. Число называется разностью арифметической прогрессии.

То есть арифметическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

   

Например, последовательность нечётных натуральных чисел

   

является арифметической прогрессией, так как любой её член отличается от предыдущего на 2.

Общий член арифметической прогрессии задаётся формулой

   

Например, последовательность образует арифметическую прогрессию с разностью и первым членом Поэтому её общий член может быть задан соотношением

   

Пример 1. Найти одиннадцатый член арифметической прогрессии, если её первый член а разность

Решение. По формуле для общего члена арифметической прогрессии имеем

   

Теорема. Последовательность тогда и только тогда является арифметической прогрессией, когда каждый её член, начиная со второго, равен полусумме предыдущего и последующего членов:

   

Доказательство. По определению арифметической прогрессии для всех имеем

   

Отсюда

   

то есть

   

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

В качестве примера найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, то есть вычислим сумму

   

Решение. Можно сидеть и долго складывать все числа по порядку. Но есть более простой способ. Запишем сумму этих чисел, а под ней — ту же сумму, но в обратной последовательности:

   

Теперь почленно сложим эти суммы:

   

   

Отсюда

По легенде, школьный учитель математики, надеясь надолго занять детей, предложил им сосчитать эту сумму. Среди тех детей был будущий великий математик Карл Гаусс. Юный Гаусс быстро заметил, что попарные суммы членов с противоположных концов равны: и т.д, и уже через несколько минут подошёл к учителю с ответом:

Этим же приёмом удобно воспользоваться и при вычислении суммы первых членов арифметической прогрессии, если заметить, что

   

Действительно,

   

   

Сумма первых n членов арифметической прогресиии

   

равна полусумме первого и n-ного её членов, умноженной на число членов, то есть

   

Доказательство. Запишем сумму сначала в прямом порядке, а затем — в обратном:

   

   

Сложим почленно эти два равенства и воспользуемся тем, что :

   

   

Отсюда находим

   

umath.ru

Арифметическая прогрессия — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n−1)d, …{\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots },

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d{\displaystyle d} (шага, или разности прогрессии):

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0{\displaystyle d>0} она является возрастающей, а при d<0{\displaystyle d<0} — убывающей. Если d=0{\displaystyle d=0}, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения an+1−an=d{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n{\displaystyle n} может быть найден по формуле

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } есть арифметическая прогрессия ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow } для любого её элемента выполняется условие an=an−1+an+12,n⩾2{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2}.

Доказательство
Необходимость:

Поскольку a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия, то для n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} выполняются соотношения:

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}

an=an+1−d{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}.

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду an+1−an=an−an−1{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}. Поскольку соотношения верны при всех n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}, с помощью математической индукции покажем, что a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}.

База индукции (n=2){\displaystyle (n=2)} :

a2−a1=a3−a2{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}} — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k{\displaystyle n=k}, то есть a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Докажем истинность утверждения при n=k+1{\displaystyle n=k+1}:

ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}

Но по предположению индукции следует, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Получаем, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}

Итак, утверждение верно и при n=k+1{\displaystyle n=k+1}. Это значит, что an=an−1+an+12,n⩾2⇒a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}.

Обозначим эти разности через d{\displaystyle d}. Итак, a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an=d{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}, а отсюда имеем an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d} для n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Поскольку для членов последовательности a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } выполняется соотношение an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии Sn=∑i=1nai=a1+a2+…+an{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}} может быть найдена по формулам

Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, an{\displaystyle a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.
Sn=a1+an2⋅(an−a1a2−a1+1){\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)} — где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, a2{\displaystyle a_{2}} — второй член прогрессии ,an{\displaystyle ,a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}.
Sn=2a1+d(n−1)2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — разность прогрессии, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.
Доказательство
Запишем сумму двумя способами:

Sn=a1+a2+a3+…+an−2+an−1+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}

Sn=an+an−1+an−2+…+a3+a2+a1{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}} — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+…+(an−2+a3)+(an−1+a2)+(an+a1){\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ai+an−i+1,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

ai+an−i+1=a1+(i−1)d+a1+(n−i+1−1)d=2a1+(n−1)d,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}

Получили, что каждое слагаемое не зависит от i{\displaystyle i} и равно 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}. В частности, a1+an=2a1+(n−1)d{\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}. Поскольку таких слагаемых n{\displaystyle n}, то

2Sn=(a1+an)⋅n⇒Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}

Третья формула для суммы получается подстановкой 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d} вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}}. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}} в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ai+an−i+1,i=2,3,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n}, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } расходится при d≠0{\displaystyle d\neq 0} и сходится при d=0{\displaystyle d=0}. Причём

limn→∞an={+∞, d>0−∞, d<0a1, d=0{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}
Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел limn→∞(a1+(n−1)d){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)}, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия с разностью d{\displaystyle d} и число a>0{\displaystyle a>0}. Тогда последовательность вида aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } есть геометрическая прогрессия со знаменателем ad{\displaystyle a^{d}}.

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
aan−1⋅aan+1=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

aan−1⋅aan+1=aa1+(n−2)d⋅aa1+nd=a2a1+2(n−1)d=(aa1+(n−1)d)2=aa1+(n−1)d=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения q=aa2aa1=aa1+daa1=ad{\displaystyle q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}.

Видео по теме

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если [ai]1n{\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}} — арифметическая прогрессия порядка m{\displaystyle m}, то существует многочлен Pm(i)=cmim+…+c1i+c0{\displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+…+c_{1}i+c_{0}}, такой, что для всех i∈{1,….n}{\displaystyle i\in \left\{1,….n\right\}} выполняется равенство ai=Pm(i){\displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}[1]

Примеры

  • Натуральный ряд 1,2,3,4,5,…{\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots } — это арифметическая прогрессия, в которой первый член a1=1{\displaystyle a_{1}=1}, а разность d=1{\displaystyle d=1}.
  • 1,−1,−3,−5,−7{\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7} — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой a1=1{\displaystyle a_{1}=1} и d=−2{\displaystyle d=-2}.
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу a{\displaystyle a}, то это есть арифметическая прогрессия, в которой a1=a{\displaystyle a_{1}=a} и d=0{\displaystyle d=0}. В частности, π,π,π,…{\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\ldots } есть арифметическая прогрессия с разностью d=0{\displaystyle d=0}.
  • Сумма первых n{\displaystyle n} натуральных чисел выражается формулой
∑i=1ni=1+2+3+…+n=n(n+1)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

n(n+1)2{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

то есть к формуле суммы первых n{\displaystyle n} чисел натурального ряда.

См. также

Ссылки

Примечания

Литература

wikipedia.green

Арифметическая прогрессия — это… Что такое Арифметическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — ее разность.

Доказательство

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .

База индукции  :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :

Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что .

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .

Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.
, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Доказательство

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

.

См. также

Ссылки

dvc.academic.ru