Арифметическую прогрессию – Как решать арифметические прогрессии 🚩 Найти разность арифметической прогрессии 🚩 Математика

Содержание

Арифметическая прогрессия Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n−1)d, …{\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots },

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d{\displaystyle d} (шага, или разности прогрессии):

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0{\displaystyle d>0} она является возрастающей, а при d<0{\displaystyle d<0} — убывающей. Если d=0{\displaystyle d=0}, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения an+1−an=d{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n{\displaystyle n} может быть найден по формуле

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } есть арифметическая прогрессия ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow } для любого её элемента выполняется условие an=an−1+an+12,n⩾2{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2}.

Доказательство
Необходимость:

Поскольку a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия, то для n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} выполняются соотношения:

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}

an=an+1−d{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}.

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду an+1−an=an−an−1{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}. Поскольку соотношения верны при всех n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}, с помощью математической индукции покажем, что a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}.

База индукции (n=2){\displaystyle (n=2)} :

a2−a1=a3−a2{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}} — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k{\displaystyle n=k}, то есть a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Докажем истинность утверждения при n=k+1{\displaystyle n=k+1}:

ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}

Но по предположению индукции следует, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Получаем, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}

Итак, утверждение верно и при n=k+1{\displaystyle n=k+1}. Это значит, что an=an−1+an+12,n⩾2⇒a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}.

Обозначим эти разности через d{\displaystyle d}. Итак, a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an=d{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}, а отсюда имеем an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d} для n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Поскольку для членов последовательности a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } выполняется соотношение an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии Sn=∑i=1nai=a1+a2+…+an{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}} может быть найдена по формулам

Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, an{\displaystyle a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.
Sn=a1+an2⋅(an−a1a2−a1+1){\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)} — где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, a2{\displaystyle a_{2}} — второй член прогрессии ,an{\displaystyle ,a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}.
Sn=2a1+d(n−1)2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — разность прогрессии, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.
Доказательство
Запишем сумму двумя способами:

Sn=a1+a2+a3+…+an−2+an−1+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}

Sn=an+an−1+an−2+…+a3+a2+a1{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}} — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+…+(an−2+a3)+(an−1+a2)+(an+a1){\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ai+an−i+1,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

ai+an−i+1=a1+(i−1)d+a1+(n−i+1−1)d=2a1+(n−1)d,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}

Получили, что каждое слагаемое не зависит от i{\displaystyle i} и равно 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}. В частности, a1+an=2a1+(n−1)d{\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}. Поскольку таких слагаемых n{\displaystyle n}, то

2Sn=(a1+an)⋅n⇒Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}

Третья формула для суммы получается подстановкой 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d} вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}}. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}} в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ai+an−i+1,i=2,3,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n}, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } расходится при d≠0{\displaystyle d\neq 0} и сходится при d=0{\displaystyle d=0}. Причём

limn→∞an={+∞, d>0−∞, d<0a1, d=0{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}
Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел limn→∞(a1+(n−1)d){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)}, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия с разностью d{\displaystyle d} и число a>0{\displaystyle a>0}. Тогда последовательность вида aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } есть геометрическая прогрессия со знаменателем ad{\displaystyle a^{d}}.

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
aan−1⋅aan+1=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

aan−1⋅aan+1=aa1+(n−2)d⋅aa1+nd=a2a1+2(n−1)d=(aa1+(n−1)d)2=aa1+(n−1)d=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения q=aa2aa1=aa1+daa1=ad{\displaystyle q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если [ai]1n{\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}} — арифметическая прогрессия порядка m{\displaystyle m}, то существует многочлен Pm(i)=cmim+…+c1i+c0{\displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+…+c_{1}i+c_{0}}, такой, что для всех i∈{1,….n}{\displaystyle i\in \left\{1,….n\right\}} выполняется равенство ai=Pm(i){\displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}[1]

Примеры

  • Натуральный ряд 1,2,3,4,5,…{\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots } — это арифметическая прогрессия, в которой первый член a1=1{\displaystyle a_{1}=1}, а разность d=1{\displaystyle d=1}.
  • 1,−1,−3,−5,−7{\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7} — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой a1=1{\displaystyle a_{1}=1} и d=−2{\displaystyle d=-2}.
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу a{\displaystyle a}, то это есть арифметическая прогрессия, в которой a1=a{\displaystyle a_{1}=a} и d=0{\displaystyle d=0}. В частности, π,π,π,…{\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\ldots } есть арифметическая прогрессия с разностью d=0{\displaystyle d=0}.
  • Сумма первых n{\displaystyle n} натуральных чисел выражается формулой
∑i=1ni=1+2+3+…+n=n(n+1)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

n(n+1)2{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

то есть к формуле суммы первых n{\displaystyle n} чисел натурального ряда.

См. также

Ссылки

Примечания

Литература

wikiredia.ru

Арифметическая прогрессия — это… Что такое Арифметическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — ее разность.

Доказательство

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .

База индукции  :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :

Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что .

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .

Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.
, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Доказательство

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

.

См. также

Ссылки

dikc.academic.ru

Арифметическая прогрессия — это… Что такое Арифметическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — ее разность.

Доказательство

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .

База индукции  :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :

Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что .

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .

Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.
, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Доказательство

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

.

См. также

Ссылки

biograf.academic.ru

Арифметическая прогрессия — это… Что такое Арифметическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При она является возрастающей, а при  — убывающей. Если , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

, где  — первый член прогрессии,  — ее разность.

Доказательство

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность есть арифметическая прогрессия для ее элементов выполняется условие .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку — арифметическая прогрессия, то для выполняются соотношения:

.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду . Поскольку соотношения верны при всех , с помощью математической индукции покажем, что .

База индукции  :

— утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при , то есть . Докажем истинность утверждения при :

Но по предположению индукции следует, что . Получаем, что .

Итак, утверждение верно и при . Это значит, что .

Обозначим эти разности через . Итак, , а отсюда имеем для . Поскольку для членов последовательности выполняется соотношение , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии может быть найдена по формулам

, где  — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.
, где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов.

Доказательство

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия расходится при и сходится при . Причем

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть  — арифметическая прогрессия с разностью и число . Тогда последовательность вида есть геометрическая прогрессия со знаменателем .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Примеры

.

См. также

Ссылки

ushakov.academic.ru

Арифметическая прогрессия — WiKi

Необходимость:

Поскольку a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }  — арифметическая прогрессия, то для n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}  выполняются соотношения:

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d} 

an=an+1−d{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d} .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду an+1−an=an−an−1{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}} . Поскольку соотношения верны при всех n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} , с помощью математической индукции покажем, что a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}} .

База индукции (n=2){\displaystyle (n=2)}  :

a2−a1=a3−a2{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}  — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k{\displaystyle n=k} , то есть a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}} . Докажем истинность утверждения при n=k+1{\displaystyle n=k+1} :

ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}} 

Но по предположению индукции следует, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}} . Получаем, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}} 

Итак, утверждение верно и при n=k+1{\displaystyle n=k+1} . Это значит, что an=an−1+an+12,n⩾2⇒a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}} .

Обозначим эти разности через d{\displaystyle d} . Итак, a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an=d{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d} , а отсюда имеем an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}  для n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Поскольку для членов последовательности a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }  выполняется соотношение an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d} , то это есть арифметическая прогрессия.

ru-wiki.org

Арифметическая прогрессия — Википедия РУ

Необходимость:

Поскольку a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }  — арифметическая прогрессия, то для n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}  выполняются соотношения:

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d} 

an=an+1−d{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d} .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду an+1−an=an−an−1{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}} . Поскольку соотношения верны при всех n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} , с помощью математической индукции покажем, что a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}} .

База индукции (n=2){\displaystyle (n=2)}  :

a2−a1=a3−a2{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}  — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k{\displaystyle n=k} , то есть a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}} . Докажем истинность утверждения при n=k+1{\displaystyle n=k+1} :

ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}} 

Но по предположению индукции следует, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}} . Получаем, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}} 

Итак, утверждение верно и при n=k+1{\displaystyle n=k+1} . Это значит, что an=an−1+an+12,n⩾2⇒a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}} .

Обозначим эти разности через d{\displaystyle d} . Итак, a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an=d{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d} , а отсюда имеем an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}  для n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Поскольку для членов последовательности a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }  выполняется соотношение an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d} , то это есть арифметическая прогрессия.

http-wikipediya.ru

Арифметическая прогрессия — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

<math>a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots</math>,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа <math>d</math> (шага, или разности прогрессии):

<math>a_n=a_{n-1} + d \quad </math>

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

<math>a_n=a_1 + (n-1)d</math>

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При <math>d>0</math> она является возрастающей, а при <math>d<0</math> — убывающей. Если <math>d=0</math>, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения <math>a_{n+1}-a_n=d</math> для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером <math>n</math> может быть найден по формуле

<math>a_n=a_1+(n-1)d</math>, где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — её разность.
Доказательство
Пользуясь соотношением <math>a_{n+1}=a_n+d</math> выписываем последовательно несколько членов прогрессии:

<math>a_2=a_1+d</math>

<math>a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d</math>

<math>a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d</math>

<math>a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d</math>

Заметив закономерность, делаем предположение, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех <math>n \in \mathbb N</math>:

База индукции <math>(n=1)</math> :

<math>a_1=a_1+(1-1)d=a_1</math> — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_k=a_1+(k-1)d</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:

<math>a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd</math>

Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=a_1+(n-1)d</math> для всех <math>n \in \mathbb N</math>.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия <math>\Leftrightarrow</math> для любого её элемента выполняется условие <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2</math>.

Доказательство
Необходимость:

Поскольку <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия, то для <math>n \geqslant 2</math> выполняются соотношения:

<math>a_n=a_{n-1}+d</math>

<math>a_n=a_{n+1}-d</math>.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>.

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2</math>. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду <math>a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}</math>. Поскольку соотношения верны при всех <math>n \geqslant 2</math>, с помощью математической индукции покажем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.

База индукции <math>(n=2)</math> :

<math>a_2-a_1=a_3-a_2</math> — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при <math>n=k</math>, то есть <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Докажем истинность утверждения при <math>n=k+1</math>:

<math>a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}</math>

Но по предположению индукции следует, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k</math>. Получаем, что <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}</math>

Итак, утверждение верно и при <math>n=k+1</math>. Это значит, что <math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n</math>.

Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии

Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам

<math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
<math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — формула Алпеева , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
<math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
Доказательство
Запишем сумму двумя способами:

<math>S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math>

<math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math>

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math>

Получили, что каждое слагаемое не зависит от <math>i</math> и равно <math>2a_1+(n-1)d</math>. В частности, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. Поскольку таких слагаемых <math>n</math>, то

<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math>

Третья формула для суммы получается подстановкой <math>2a_1+(n-1)d</math> вместо <math>a_1+a_n</math>. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо <math>a_1+a_n</math> в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых <math>a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n</math>, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> расходится при <math>d\ne 0</math> и сходится при <math>d=0</math>. Причём

<math>\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.</math>
Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел <math>\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)</math>, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> — арифметическая прогрессия с разностью <math>d</math> и число <math>a>0</math>. Тогда последовательность вида <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> есть геометрическая прогрессия со знаменателем <math>a^d</math>.

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:
<math>\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2</math>

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

<math>\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd}}=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, n\geqslant 2</math>

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то <math>a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots</math> — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения <math>q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d</math>.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если <math>\left [ a_{i} \right ]_{1}^{n}</math> — арифметическая прогрессия порядка <math>m</math>, то существует многочлен <math>P_{m}(i) = c_{m}i^{m}+…+c_{1}i+c_{0}</math>, такой, что для всех <math>i \in \left \{ 1, …. n \right \}</math> выполняется равенство <math>a_{i}=P_{m}(i)</math>[1]

Примеры

  • Натуральный ряд <math>1, 2, 3, 4, 5, \ldots</math> — это арифметическая прогрессия, в которой первый член <math>a_1=1</math>, а разность <math>d=1</math>.
  • <math>1, -1, -3, -5, -7</math> — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой <math>a_1=1</math> и <math>d=-2</math>.
  • Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу <math>a</math>, то это есть арифметическая прогрессия, в которой <math>a_1=a</math> и <math>d=0</math>. В частности, <math>\pi, \pi, \pi, \ldots</math> есть арифметическая прогрессия с разностью <math>d=0</math>.
  • Сумма первых <math>n</math> натуральных чисел выражается формулой
<math>1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2</math>.

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

<math>\frac{n(n+1)}2</math>

то есть к формуле суммы первых <math>n</math> чисел натурального ряда.

См. также

Напишите отзыв о статье «Арифметическая прогрессия»

Ссылки

Примечания

Литература

Отрывок, характеризующий Арифметическая прогрессия

– Я не говорю про цареубийство. Я говорю про идеи.
– Да, идеи грабежа, убийства и цареубийства, – опять перебил иронический голос.
– Это были крайности, разумеется, но не в них всё значение, а значение в правах человека, в эманципации от предрассудков, в равенстве граждан; и все эти идеи Наполеон удержал во всей их силе.
– Свобода и равенство, – презрительно сказал виконт, как будто решившийся, наконец, серьезно доказать этому юноше всю глупость его речей, – всё громкие слова, которые уже давно компрометировались. Кто же не любит свободы и равенства? Еще Спаситель наш проповедывал свободу и равенство. Разве после революции люди стали счастливее? Напротив. Mы хотели свободы, а Бонапарте уничтожил ее.
Князь Андрей с улыбкой посматривал то на Пьера, то на виконта, то на хозяйку. В первую минуту выходки Пьера Анна Павловна ужаснулась, несмотря на свою привычку к свету; но когда она увидела, что, несмотря на произнесенные Пьером святотатственные речи, виконт не выходил из себя, и когда она убедилась, что замять этих речей уже нельзя, она собралась с силами и, присоединившись к виконту, напала на оратора.
– Mais, mon cher m r Pierre, [Но, мой милый Пьер,] – сказала Анна Павловна, – как же вы объясняете великого человека, который мог казнить герцога, наконец, просто человека, без суда и без вины?
– Я бы спросил, – сказал виконт, – как monsieur объясняет 18 брюмера. Разве это не обман? C’est un escamotage, qui ne ressemble nullement a la maniere d’agir d’un grand homme. [Это шулерство, вовсе не похожее на образ действий великого человека.]
– А пленные в Африке, которых он убил? – сказала маленькая княгиня. – Это ужасно! – И она пожала плечами.
– C’est un roturier, vous aurez beau dire, [Это проходимец, что бы вы ни говорили,] – сказал князь Ипполит.
Мсье Пьер не знал, кому отвечать, оглянул всех и улыбнулся. Улыбка у него была не такая, какая у других людей, сливающаяся с неулыбкой. У него, напротив, когда приходила улыбка, то вдруг, мгновенно исчезало серьезное и даже несколько угрюмое лицо и являлось другое – детское, доброе, даже глуповатое и как бы просящее прощения.
Виконту, который видел его в первый раз, стало ясно, что этот якобинец совсем не так страшен, как его слова. Все замолчали.
– Как вы хотите, чтобы он всем отвечал вдруг? – сказал князь Андрей. – Притом надо в поступках государственного человека различать поступки частного лица, полководца или императора. Мне так кажется.
– Да, да, разумеется, – подхватил Пьер, обрадованный выступавшею ему подмогой.
– Нельзя не сознаться, – продолжал князь Андрей, – Наполеон как человек велик на Аркольском мосту, в госпитале в Яффе, где он чумным подает руку, но… но есть другие поступки, которые трудно оправдать.
Князь Андрей, видимо желавший смягчить неловкость речи Пьера, приподнялся, сбираясь ехать и подавая знак жене.

Вдруг князь Ипполит поднялся и, знаками рук останавливая всех и прося присесть, заговорил:
– Ah! aujourd’hui on m’a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m’excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l’histoire. [Сегодня мне рассказали прелестный московский анекдот; надо вас им поподчивать. Извините, виконт, я буду рассказывать по русски, иначе пропадет вся соль анекдота.]
И князь Ипполит начал говорить по русски таким выговором, каким говорят французы, пробывшие с год в России. Все приостановились: так оживленно, настоятельно требовал князь Ипполит внимания к своей истории.
– В Moscou есть одна барыня, une dame. И она очень скупа. Ей нужно было иметь два valets de pied [лакея] за карета. И очень большой ростом. Это было ее вкусу. И она имела une femme de chambre [горничную], еще большой росту. Она сказала…
Тут князь Ипполит задумался, видимо с трудом соображая.
– Она сказала… да, она сказала: «девушка (a la femme de chambre), надень livree [ливрею] и поедем со мной, за карета, faire des visites». [делать визиты.]
Тут князь Ипполит фыркнул и захохотал гораздо прежде своих слушателей, что произвело невыгодное для рассказчика впечатление. Однако многие, и в том числе пожилая дама и Анна Павловна, улыбнулись.
– Она поехала. Незапно сделался сильный ветер. Девушка потеряла шляпа, и длинны волоса расчесались…
Тут он не мог уже более держаться и стал отрывисто смеяться и сквозь этот смех проговорил:
– И весь свет узнал…
Тем анекдот и кончился. Хотя и непонятно было, для чего он его рассказывает и для чего его надо было рассказать непременно по русски, однако Анна Павловна и другие оценили светскую любезность князя Ипполита, так приятно закончившего неприятную и нелюбезную выходку мсье Пьера. Разговор после анекдота рассыпался на мелкие, незначительные толки о будущем и прошедшем бале, спектакле, о том, когда и где кто увидится.

Поблагодарив Анну Павловну за ее charmante soiree, [очаровательный вечер,] гости стали расходиться.
Пьер был неуклюж. Толстый, выше обыкновенного роста, широкий, с огромными красными руками, он, как говорится, не умел войти в салон и еще менее умел из него выйти, то есть перед выходом сказать что нибудь особенно приятное. Кроме того, он был рассеян. Вставая, он вместо своей шляпы захватил трехугольную шляпу с генеральским плюмажем и держал ее, дергая султан, до тех пор, пока генерал не попросил возвратить ее. Но вся его рассеянность и неуменье войти в салон и говорить в нем выкупались выражением добродушия, простоты и скромности. Анна Павловна повернулась к нему и, с христианскою кротостью выражая прощение за его выходку, кивнула ему и сказала:
– Надеюсь увидать вас еще, но надеюсь тоже, что вы перемените свои мнения, мой милый мсье Пьер, – сказала она.
Когда она сказала ему это, он ничего не ответил, только наклонился и показал всем еще раз свою улыбку, которая ничего не говорила, разве только вот что: «Мнения мнениями, а вы видите, какой я добрый и славный малый». И все, и Анна Павловна невольно почувствовали это.
Князь Андрей вышел в переднюю и, подставив плечи лакею, накидывавшему ему плащ, равнодушно прислушивался к болтовне своей жены с князем Ипполитом, вышедшим тоже в переднюю. Князь Ипполит стоял возле хорошенькой беременной княгини и упорно смотрел прямо на нее в лорнет.
– Идите, Annette, вы простудитесь, – говорила маленькая княгиня, прощаясь с Анной Павловной. – C’est arrete, [Решено,] – прибавила она тихо.
Анна Павловна уже успела переговорить с Лизой о сватовстве, которое она затевала между Анатолем и золовкой маленькой княгини.
– Я надеюсь на вас, милый друг, – сказала Анна Павловна тоже тихо, – вы напишете к ней и скажете мне, comment le pere envisagera la chose. Au revoir, [Как отец посмотрит на дело. До свидания,] – и она ушла из передней.
Князь Ипполит подошел к маленькой княгине и, близко наклоняя к ней свое лицо, стал полушопотом что то говорить ей.
Два лакея, один княгинин, другой его, дожидаясь, когда они кончат говорить, стояли с шалью и рединготом и слушали их, непонятный им, французский говор с такими лицами, как будто они понимали, что говорится, но не хотели показывать этого. Княгиня, как всегда, говорила улыбаясь и слушала смеясь.
– Я очень рад, что не поехал к посланнику, – говорил князь Ипполит: – скука… Прекрасный вечер, не правда ли, прекрасный?
– Говорят, что бал будет очень хорош, – отвечала княгиня, вздергивая с усиками губку. – Все красивые женщины общества будут там.
– Не все, потому что вас там не будет; не все, – сказал князь Ипполит, радостно смеясь, и, схватив шаль у лакея, даже толкнул его и стал надевать ее на княгиню.
От неловкости или умышленно (никто бы не мог разобрать этого) он долго не опускал рук, когда шаль уже была надета, и как будто обнимал молодую женщину.
Она грациозно, но всё улыбаясь, отстранилась, повернулась и взглянула на мужа. У князя Андрея глаза были закрыты: так он казался усталым и сонным.
– Вы готовы? – спросил он жену, обходя ее взглядом.
Князь Ипполит торопливо надел свой редингот, который у него, по новому, был длиннее пяток, и, путаясь в нем, побежал на крыльцо за княгиней, которую лакей подсаживал в карету.
– Рrincesse, au revoir, [Княгиня, до свиданья,] – кричал он, путаясь языком так же, как и ногами.

wiki-org.ru