Запишите модуль х если: Запишите модуль x если: x=2,5 x=0 -x=-4/5

Содержание

Модуль числа, определение и свойства

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: |a| = OA.

Разберем на примере:

Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.

Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.

Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).

Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

4. Модуль нуля равен нулю.

5. Противоположные числа имеют равные модули.

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

  • |a b| = |a| |b|, когда

a · b = 0

или

−(a · b), когда a · b < 0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя: 

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.

Решим уравнение: |х| = 5.

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a — b| равна расстоянию между ними на числовой прямой или длине отрезка АВ.

Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a — b| = |b — a|.

Решим уравнение: |a — 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 — и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 — и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7| < 4.

Эту запись читаем так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырех. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:

Ответ в данном случае будет таким: (−11; −3).

Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: (−∞; 3] [17, +∞).

График функции

График функции равен y = |х|.

Для x > 0 имеем y = x. 

Для x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:

Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

В контрольной работе или на ЕГЭ может встретиться задачка, в которой нужно вычислить √a2 , где a – некоторое число или выражение.

При этом, √a2= |a|.

По определению арифметического квадратного корня √a2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a

2 . 

Оно равно a при а > 0 и −а, при а < 0 , т. е. как раз |a|.

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рационального числа, примеры:

|-3,5| = 3,5

|2,27| = 2,27

Функция ABS

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ABS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает модуль (абсолютную величину) числа. Абсолютная величина числа  — это число без знака.

Синтаксис

ABS(число)

Аргументы функции ABS описаны ниже.

Пример

Скопируйте таблицу ниже и вставьте ее в ячейку A1 в Excel. Возможно, для работы формул понадобится выбрать все ячейки с ними и нажать клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. Можно также расширить столбцы для более удобного просмотра листа.

Данные

-4

Формула

Описание

Результат

=ABS(2)

Абсолютное значение числа 2

2

=ABS(-2)

Абсолютное значение числа -2

2

=ABS(A2)

Абсолютное значение числа -4

4

См.

также

Вычитание чисел

Умножение и деление чисел в Excel

Расчет процентов

Модуль числа

Мóдуль числá a — это расстояние от начала координат до точки А(a).

Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3, и снова прочитаем его:

Мóдуль числá 3 — это расстояние от начала координат до точки А(3).

То есть модуль это ни что иное как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки

А(3)

Расстояние от начала координат до точки А(3) составляет 3 (три единицы или три шага).

Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:

Модуль числа 3 обозначается так: |3|

Модуль числа 4 обозначается так: |4|

Модуль числа 5 обозначается так: |5|

Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:

|3| = 3

Читается как «Модуль числа три равен три»

Теперь попробуем найти модуль числа −3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число −3. Только вместо точки

A используем новую точку B. Точку A мы уже использовали в первом примере.

Модулем числа −3 называют расстояние от начала координат до точки B(−3).

Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Модуль это тоже расстояние, поэтому тоже не может быть отрицательным.

Модуль числа −3 равен 3. Расстояние от начала координат до точки B(−3) равно трём единицам:

|−3| = 3

Читается как «Модуль числа минус три равен три»

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает  с началом координат. То есть расстояние от начала координат до точки

O(0) равно нулю:

|0| = 0

«Модуль нуля равен нулю»

Сделаем выводы:

  • Модуль числа не может быть отрицательным;
  • Для положительного числа и нуля модуль равен самомý числу, а для отрицательного – противоположному числу;
  • Противоположные числа имеют равные модули.

Противоположные числа

Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными.

Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числá −2 знак минуса, а у числá 2 знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс как говорилось ранее, не записывают.

Еще примеры противоположных чисел:

−1 и 1

−3 и 3

−5 и 5

−9 и 9

Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули чисел −3 и 3

|−3| и |3|

3 = 3

На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−3) и B(3) одинаково равно трём шагам.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Модули — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Базовые сведения о модуле

К оглавлению. ..

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

 

Некоторые методы решения уравнений с модулями

К оглавлению…

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

  • Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
  • Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
  • Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Уравнения и неравенства с модулями

здравствуйте тема данного видеоурока уравнения и неравенства с моделями напомню что модулем числа а называется само число а если она не отрицательно то есть а больше равно 0 и называется ему противоположное то есть минус а если число отрицательный это определение мы можем использовать для решения уравнений и не раз давайте начнем с уравнение пусть у нас есть вот такой пример x квадрат плюс 2 модуль x минус 1 минус 6 давно нулю чтобы решить это уравнение мы должны расписать вот этот модуль по определению а именно мы должны рассмотреть два случая первый случай когда выражение внутри модуля то есть x минус 1 не отрицательно больше равно 0 если выражение внутри модуля больше равна 0 то модуль раскрывается следующим образом просто убирается таким образом таком случае мы получим x квадрат плюс два модуля убираем x минус 1 минус 6 равно нулю получили обычное квадратное уравнение давайте его решим получим x квадрат плюс 2x минус 2 минус 6 минус 8 равно нулю решая это уравнение мы получим сумма корней -2 произведение минус восемь это минус 4 и 2 то есть у нас x либо минус 4 либо 2 но учитываем что в таком смотрит так раскрывается в только при случае x минус 1 больше о на 0 или x больше равно 1 тогда смотрим x равна минус 4 не удовлетворяет этому условию значит это ложный корень таким образом здесь корень только икс равное 2 рассмотрим второй случай а именно когда выражение внутри модуля x минус 1 отрицательное если выражение внутри модуля отрицательное то модуль раскрывать со знаком минус мы получим x квадрат здесь тогда уже будет минус 2x минус 1 минус 6 равно 0 опять получили квадратные уравнения решаем его x квадрат минус 2 x минус 4 равно 0 мы можем воспользоваться формулой дискриминанта и получим x равно 1 плюс минус корень из 5 если решим это уравнение получим такие корни но учитываем что эти корни нужно проверить с условием x минус 1 меньше 0 или x меньше 1 очевидно вариант с плюсом будет больше одного не удовлетворяет а варят с минусом как раз таки подходит таким образом здесь будет x равна 1 минус корень из 5 тогда числа икс равное 2 и x равна 1 минус корень из 5 является корнями этого уравнения теперь рассмотрим уравнение вот такого вида когда у нас есть некоторое выражение в модуле модели форекс и равняется не которому выражению jetix как мы можем решить такое уравнение мы можем решить его точно также как предыдущем случае а именно рассмотреть два случая первый случай когда выражение внутри модуля неотрицательного больше она 0 если она не отрицательно это модуль раскрывается со своим знаком той же останется f от x равно jetix это в системе и второй случай когда f от x меньше 0 тогда модуль расковать со знаком минус будет минус f от x равно же от x останется нам решить две системы это у нас они выполняются и либо это либо это значит совокупность мы можем решить и вот таким способом однако в данном случае может удобнее использовать следующую схему обратите внимание если же от x у нас равняется модулю то сама же от x обязательно больше равно 0 потому что оно равняется модулю некоторые выражения тогда f от x чтобы равнялась модуль f от x равнялось же должно быть что f от x равняется либо же либо минус же эти вы 2 условие выполняется или одно или другое значит совокупности но оба этих уравнений должны быть одновременно с нижним условиям тогда это будет система для вот такого уравнения часто можно удобно использовать такую схему но в некоторых случаях когда выражение же довольно-таки сложная вот эту роль неравенство сложное в таких случаях лучше использовать вот эту схему давайте рассмотрим такой пример мы можем рассмотреть два случая то есть вот это выражение больше нуля либо меньше нуля и расписать по такой схеме но как видим что правая часть у нас значительно легче чем выражение под модулем тогда нам лучше пользоваться вот этой схемой согласно этой схеме вот это уравнение будет равносильно системе выражение справа же от x больше модуля то есть x минус 1 должно быть больше равно 0 а вот это выражение внутри модуля x квадрат минус 2 x минус 1 равняется либо же либо минус же то есть равно либо просто x минус 1 либо со правил противоположным знаком минус x + 1 и вот эти два выражения у нас в совокупности то есть либо одно либо другое останется решить два уравнения и проверить условия давайте это проделаем сверху мы получим x квадрат минус 3x равно нулю потому что минус они взаимно уничтожатся снизу x квадрат минус x минус 2 равно 0 и x больше равно 1 решаем эти уровни здесь корни легкие это икс равное 0 икс равное 3 решаем это уравнение потерями вето сумма корней один произведение минус 2 это 2 и минус 1 то есть x равен 2 x равен -1 и у нас есть условии что их больше равно 1 если их больше равно 1 то корень 0 не подходит корень -1 не подходит останется только икс равное 2 икс равное трем это будет корнями исходного уравнения теперь рассмотрим случай когда у нас есть два отдельно стоящих модуля метод решения таких уравнений схож с первым методом то есть мы раскрываем модули по определению единственный то что у нас теперь два модуля обычно делает так приравнивает к нулю каждый модуль x минус 1 равен нулю получаем x равна 1 отмечает эту точку на оси x минус 2 равна нулю получаем 2 отмечает от . на сидит и того числовая прямая у нас разбилась на 3 промежутка и нам нужно рассмотреть данное уравнение на всех этих трех промежутках давайте начнем с первой промежутка а именно x меньше 1 я могу сделать меньше 1 или меньше равно 1 давайте возьмем строго меньше если x меньше 1 то этот модуль раскрывается со знаком минус потому что внутри выражения будет отрицательным как я могу это проверить беру любое число меньше 1 допустим 0 0 минус 1 отрицательная значит этот модуль раскрывается с минусом то есть будет минус x + 1 аналогично здесь будет минус x плюс 2 равно 1 решаем это уравнение получим икс равное одному x равна одному этом условии не удовлетворяет значит здесь корней на самом деле нет проверяем теперь на промежутке от 1 до 2 если я здесь один не включил то есть не поставил равно то здесь я уже должны его включить x больше равно 1 и давайте сделаем так меньше равно 2 если их больше равно 1 и меньше равно 2 то вот этот модуль будет раскрываться со знаком плюс возьмем любое число которое в этом промежутке например полтора полтора -1 положительное это с плюсов этот аналогично будет уже с минус а минус x плюс 2 равно 1 если мы здесь упростим заметим что у нас иксы взаимно уничтожатся слева останется один из справа останется один то есть получили истинное выражение 1 10 равно 1 это означает что любой x из этого промежутка является корнем тогда говорят что здесь решение будет x принадлежит от одного до двух обратить внимание у нас было уравнение но решение получилось виде промежутка такое тоже возможно и третий случай когда x строго больше двух тогда оба модуля раскрывается с плюсом решаем данное уравнение получим x равно 2x равно дом опять не удовлетворяет этому условию значит здесь тоже корней нет тогда нашем случае решением будет вот этот промежуток любой x из этого промежутка является решением этого уравнения перейдем к неравенства с моделями первый вид не раньше-то не равенство вида модуль f от x меньше чем некоторые же от x меньше или меньше равно такие неравенства равносильной системе системе когда f от x меньше же от x и f от x больше чем минус же от x таким образом неравенства с модулем у нас преобразуется систему обычных уравнений решаем каждое неравенство и находим пересечении ответов давайте рассмотрим такой пример x квадрат минус 2 x меньше равно чем x минус 1 тогда согласно этой схеме это будет равносильно f от x меньше же от x то есть x квадрат минус 2 x меньше равно чем x минус 1 f от x больше чем мин уже от x то есть x квадрат минус 2 x больше равно чем это выражение только с минус а минус x + 1 останется решить такую систему сверху получим x квадрат минус 3x + 1 меньше равно 0 снизу получим x квадрат минус x минус 1 больше равно 0 решаем вот эти уравнение здесь находим в корне x будет равняться 3 плюс минус корень из дискриминанта дискриминант здесь будет 9 минус 45 пополам а во втором будут корни следующий x равняется 1 плюс минус корень из дискриминанта тоже 5 пополам отмечаем эти корни на числовой прямой даже на двух прямых в первом случае отмечаем 3 плюс корень из 5 пополам и отмечаем 3 минус корень из 5 пополам отмечаем корень один плюс корень из 5 пополам и корень один минус корень из 5 пополам главное чтобы они шли в правильном порядке теперь остается расставить знаки плюс минус плюс нам нужно из первого нужно меньше равна 0 то есть минус во втором также плюс минус плюс но нам уже нужно больше равно 0 то есть вот этот промежуток и того мы видим что пересекается данное решение вот здесь тогда x принадлежит один плюс корень из 5 пополам до 3 плюс корень из 5 пополам следующая неравенства с модулем это неравенство вида модуль f от x больше чем gtx такое неравенство решается следующим образом это не нравится равносильно уже совокупности f от x больше же от x f от x меньше чем минус же от x давайте рассмотрим пример модуль x больше чем x квадрат минус 6 тогда вот это 7 и такой невеста будет равносильно f от x больше чем же от x то есть x больше чем x квадрат минус 6 f от x меньше чем минусы от x то есть x меньше чем минус x квадрат плюс 6 получили совокупность из двух не нравится остался и решить преобразуем первое неравенство в виде x квадрат минус x минус 6 меньше нуля здесь будет икс-квадрат плюс x минус 6 тоже меньше нуля решаем находим в корне в первом случае в первом случае корни будут следующие сумма у нас один произведение минус 6 это 3 и минус 2 во втором случае корни будет наоборот сумма минус 1 произведение минус 6 это минус 3i 2 отмечаем это все на числовой прямой 3 и минус 2 во втором случае 2 и минус 3 в обоих случаю нас меньше нуля если мы растянем знаке будет плюс минус плюс то есть нам нужен промежуток посередине и здесь и здесь но так как у нас это стоит совокупности то мы должны объединить все решения все решение мы можем объединить следующем от -3 до трех таким образом x принадлежит от -3 до трех теперь рассмотрим неравенство когда у нас есть два разных модулях решается на аналогичное такому уравнению то есть мы приравниваем каждый модуль к нулю здесь получим 2 здесь получим минус 4 и рассматриваем это неравенства на 3 промежутках первый промежуток x меньше -4 если x меньше -4 то тогда оба модуля раскроется со знаком минус будет минус x плюс 2 минус x минус 4 меньше десяти решаем это неравенство получим x больше чем минус 6 x больше минус 6 но это должно выполняться одновременно с условием x меньше чем -4 тогда здесь мы можем сказать что x принадлежит от -6 до -4 рассмотрим второй случай когда x принадлежит от минус 4 до 2 я здесь -4 не включил тогда включаю его здесь x больше равно минус 4 меньше равно 2 если их больше равно -4 и меньше равно 2 то вот этот модуль раскрывать со знаком минус а этот модуль со знаком плюс плюс x плюс 4 меньше десяти мы получаем минус x уничтожается сэкс получаем 2 + 4 6 меньше 10 6 меньше десяти это истинный значит любой x из этого промежутка является решением тогда здесь мы получаем что x принадлежит от минус 4 до 2 и осталось рассмотреть последний промежуток а именно x больше двух если их больше двух то оба модуля раскрывать со знаком плюс x минус 2 плюс x плюс 4 меньше десяти решаем это не раса получим что x меньше здесь у нас -2 плюс 42 переносим сюда будет 10 минут за 8 2 x меньше 8 и x меньше 4 x меньше четырех и x больше двух значит здесь у нас решение будет x принадлежит от 2 до 4 нам осталось объединить все вот эти 3 ответа эти ответы объединяться следующим образом x принадлежит от -6 до -4 и здесь сразу от -4 причем здесь включительно до двух значит вот эти два промежутка мы можем записать как от -6 до двух потом u2 и здесь от 2 до 4 значит мы все это можно записать как от -6 до четырех это будет решением исходного неравенства на этом данный видео урок окончен [музыка]

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

a — старший коэффициент

b — второй коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

 

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  — в этом уравнении — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

 

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида .

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции от значения коэффициента ,
— сдвига графика функции вдоль оси от значения  ,

— сдвига графика функции вдоль оси от значения  
— направления ветвей параболы от знака коэффициента
— координат вершины параболы от значений и :

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

— 1.

Практическая работа № 1. Способы задания множеств

Вопросы к работе

1. Какие множества называются конечными, какие бесконечными, какие пустыми? Приведите примеры конечных, бесконечных, пустых множеств.

2. Что значит задать множество?

3. Что значит задать множество пересечением элементов? Когда это можно сделать? Приведите пример множеств, заданных пересечением элементов.

4. Что значит задать множество указанием характеристического свойства элементов? Приведите примеры множеств, заданных указанием характеристического свойства элементов.

5. Дайте определение характеристического свойства элементов множества.

Образцы решения заданий

Пример 1. Задать с помощью характеристического свойства элементов множество всех положительных чисел. 

Ответ:    .

Пример 2. Задать перечислением элементов множества, заданные указанием характеристического свойства элементов: 

. Ответ: М  = {1; 2; 3; 4}.

Пример 3. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой:

Упражнения

  1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов;

б) животных;

в) растений;

г) геометрических фигур;

д) населенных пунктов;

е) водоемов;

ж) политических деятелей.

2.  Назовите элементы, принадлежащие множеству:

а) студентов вашей группы;

б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;

в) всех частей света;

г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.

3. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

а) восьмиугольник;

б) параллелограмм;

в) отрезок;

г) параллелепипед;

д) круг;

е) полукруг?

4. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?

5. Прочитайте запись и укажите, какие из указанных высказываний истина, а какие ложь:

а) 270   N;                             ж) -3  Z;

б)    0    N;                     з)  Q;

в) –3   N;                        и)  R;

г) 1   Q;                            к) sin 2,3  R; 

д) –7   N;                             л) tg   R.  

е) 22  N;           

6. Пусть Е – множество европейских государств, А – множество азиатских государств. Какие из следующих высказываний истина, а какие – ложь?

а) Франция   Е;                                           з) Волга  Е;

б) Испания  Е;                 и)  Нигерия  А;

в) Монголия  А;        к)  Гималаи  А;

г) Индия  А;                л) Япония  А;

д)  Ирак  Е;        м) Альпы  Е;

е) Турция  А;                                           н) Швеция  А.       

ж) Байкал  А;                        

7. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];

б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;

в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;

г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

д) Е – множество натуральных делителей числа 18;

е) F – множество чисел, модуль которых равен .

8. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) множество различных букв в слове «головоломка»;

б) множества цифр числа 134433154.

9. Изобразите на числовой прямой множество решений неравенства с одним неизвестным  x:

а) x  > 5,3;

б) x  ≤  –3,8;

в) – 4,5  ≤  x  <  4;

г) 2,7   ≤  x  ≤  9.

10. Выясните, множество решений какого неравенства изображено на числовой прямой в каждом случае:

Индивидуальное задание

  1. Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств:

1. а) А = {x  |  x  N , -2  ≤  x  ≤  5};

    б) В = {х  |  x  Z , | x |  <  3};

    в) С = {х  | x  N , 2х2 + 5х –3 = 0}.

2. а) А = {х  |  x  Q  , 3х2 = 9};

    б) В = {х  |  x Z, x – 3 = (х + 2) · 4х};

    в) С = {х  |  x  N ,–3  ≤  х  < 1}.

3. а)  А = {х  |  x  Z, | x | = 4};

    б) В = {х  |  x  N , –2  <  х  ≤  5};

    в) С = {х  |  x  Q , x 2 + 3х + 4 = 0}.

4. а) А = {х  |  x  Z, –2  ≤  x  ≤  3};

    б) В = {х  |  x  N , (5х + 6)(х – 4) ≤  0};

    в) С = {х  |  x  N , |x|  = 7}.

5. а) А = {х  |  x  N , | х | ≤  5};

    б) В = {х  |  х  Z , 2х – 3 = 5х + 7};

    в) С = {х  |  х  Z, –1  ≤  х  ≤  3}.

6. а) А = {х  |  х  N,  х  ≤  4};

    б) В = {х  |  х  Z, (х + 1)(–х – 3) > 0};

    в) С = {х  |  х  N, | х | = 5}.

7. а) А = {х  |  х  N , -3  ≤  x ≤  2};

    б) В = {х  |  х  Z , | х | < 3};

    в) С = {х  |  х  N, 3х2 + 5х – 2 = 0}.

8. а) А = {х  |  х  Z, | х | ≤  4};

    б) В = {х  |  х  N , (х + 1)(2х + 5) <  0};

    в) С = {х  |  х  N , –7 ≤  х ≤  4}.

9. а) А = {х  |  х  N , 3 = (5х + 2) х};

    б) В = {х  |  х  Z , | х | < 2};

    в) С = {х  |  х  N, –5 ≤  х <  4}.

10. а) А = {х  |  х  Z , –1 ≤  х <  3};

      б) В = {х  |  х  Z , | х | ≤  3},

      в) С = {х  |  х  N, 4х 2+ 4х – 3 = 0}.

  1. Найти множество решений следующих уравнений и неравенств, изобразить это множество на числовой прямой:

Задания для самоконтроля

1) Найдите длину каждого из следующих множеств и назовите их элементы:

а) {а}; б) {{а}}; в) ; г) {}; д) {{ a; b }, { а }}; е) {{ a; b; c}, а }; 
ж) {{ а }, а, }.

2) Из каких элементов состоят следующие множества:

а) множество трехзначных чисел, составленных с помощью цифр 1 и 3;

б) множество трехзначных чисел, составленных с помощью цифр 1, 3, 5, причем так, что никакие две цифры не встречаются дважды;

в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5 так, что любые две соседние цифры различны;

г) множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 5.

3) Задайте перечислением элементов множество делителей числа 36. Можно ли задать таким образом множество кратных чисел числу 36?

модулей JavaScript — JavaScript | MDN

Это руководство дает вам все необходимое для начала работы с синтаксисом модуля JavaScript.

Программы на JavaScript начинались довольно маленькими — вначале они чаще всего использовались для выполнения изолированных задач сценариев, обеспечивающих некоторую интерактивность ваших веб-страниц там, где это необходимо, поэтому большие сценарии, как правило, не требовались. Перенесемся на несколько лет вперед, и теперь у нас есть полные приложения, запускаемые в браузерах с большим количеством JavaScript, а также JavaScript, используемый в других контекстах (Node.js, например).

Поэтому в последние годы имело смысл задуматься о предоставлении механизмов для разделения программ JavaScript на отдельные модули, которые можно импортировать при необходимости. Node.js обладает этой возможностью уже давно, и существует ряд библиотек и фреймворков JavaScript, которые позволяют использовать модули (например, другие модульные системы на базе CommonJS и AMD, такие как RequireJS, а в последнее время — Webpack и Babel).

Хорошая новость заключается в том, что современные браузеры изначально поддерживают функциональность модулей, и именно об этом вся эта статья.Это может быть только хорошо — браузеры могут оптимизировать загрузку модулей, делая ее более эффективной, чем необходимость использования библиотеки, и выполнять всю эту дополнительную обработку на стороне клиента и дополнительные циклы обработки.

Использование собственных модулей JavaScript зависит от операторов import и export ; они поддерживаются в браузерах следующим образом:

импорт

таблицы BCD загружаются только в браузере

экспорт

таблицы BCD загружаются только в браузере

Чтобы продемонстрировать использование модулей, мы создали простой набор примеров, которые вы можете найти на GitHub. Эти примеры демонстрируют простой набор модулей, которые создают элемент на веб-странице, а затем рисуют (и сообщают информацию о) различные формы на холсте.

Это довольно тривиальные, но они намеренно оставлены простыми для ясной демонстрации модулей.

Примечание: Если вы хотите загрузить примеры и запустить их локально, вам нужно будет запустить их через локальный веб-сервер.

В нашем первом примере (см. Основные модули) у нас есть следующая файловая структура:

Индекс 
.html
main.js
модули /
    canvas.js
    square.js

Примечание: Все примеры в этом руководстве в основном имеют одинаковую структуру; Вышеупомянутое должно начать знакомиться.

Два модуля каталога модулей описаны ниже:

  • canvas.js — содержит функции, связанные с настройкой холста:
    • create () — создает холст с указанной шириной и высотой внутри оболочки
      с указанным идентификатором, который сам добавляется внутри указанного родительского элемента. Возвращает объект, содержащий 2D-контекст холста и идентификатор оболочки.
    • createReportList () — создает неупорядоченный список, добавленный внутри указанного элемента оболочки, который можно использовать для вывода данных отчета в. Возвращает идентификатор списка.
  • square.js — содержит:
    • имя — константа, содержащая строку «квадрат».
    • draw () — рисует квадрат на указанном холсте с указанным размером, положением и цветом.Возвращает объект, содержащий размер, положение и цвет квадрата.
    • reportArea () — записывает площадь квадрата в определенный список отчетов с учетом его длины.
    • reportPerimeter () — записывает периметр квадрата в определенный список отчетов с учетом его длины.

На протяжении всей этой статьи мы использовали расширения .js для наших файлов модулей, но в других ресурсах вы можете увидеть вместо него расширение . mjs .Документация V8 рекомендует это, например. Приведены следующие причины:

  • Это полезно для ясности, т.е. дает понять, какие файлы являются модулями, а какие — обычным JavaScript.
  • Это гарантирует, что файлы вашего модуля анализируются как модуль средами выполнения, такими как Node.js, и инструментами сборки, такими как Babel.

Однако мы решили продолжать использовать .js , по крайней мере, на данный момент. Чтобы модули работали правильно в браузере, вам необходимо убедиться, что ваш сервер обслуживает их с заголовком Content-Type , который содержит MIME-тип JavaScript, такой как text / javascript .Если вы этого не сделаете, вы получите ошибку строгой проверки типа MIME вроде «Сервер ответил типом MIME, отличным от JavaScript», и браузер не будет запускать ваш JavaScript. Большинство серверов уже установили правильный тип для файлов .js , но еще не для файлов .mjs . Серверы, которые уже обслуживают файлов .mjs , правильно включают GitHub Pages и http-server для Node.js.

Это нормально, если вы уже используете такую ​​среду, или если нет, но вы знаете, что делаете, и имеете доступ (т.е. вы можете настроить свой сервер для установки правильного Content-Type для файлов .mjs ). Однако это может вызвать путаницу, если вы не контролируете сервер, с которого обслуживаете файлы, или публикуете файлы для общего пользования, как мы здесь.

Для обучения и переносимости мы решили оставить .js .

Если вы действительно цените ясность использования .mjs для модулей по сравнению с использованием .js для «обычных» файлов JavaScript, но не хотите сталкиваться с проблемой, описанной выше, вы всегда можете использовать .mjs во время разработки и преобразовать их в .js на этапе сборки.

Также стоит отметить, что:

  • Некоторые инструменты могут никогда не поддерживать . mjs .
  • Атрибут

    Вы также можете встроить сценарий модуля непосредственно в файл HTML, поместив код JavaScript в тело элемента

    Сценарий, в который вы импортируете функции модуля, в основном действует как модуль верхнего уровня.Если вы его опустите, Firefox, например, выдает ошибку «SyntaxError: объявления импорта могут появляться только на верхнем уровне модуля».

    Вы можете использовать только операторы import и export внутри модулей, но не в обычных сценариях.

    • Вам нужно обратить внимание на локальное тестирование - если вы попытаетесь загрузить файл HTML локально (то есть с URL-адресом file: // ), вы столкнетесь с ошибками CORS из-за требований безопасности модуля JavaScript. Вам нужно проводить тестирование через сервер.
    • Также обратите внимание, что вы можете получить другое поведение из разделов скрипта, определенных внутри модулей, в отличие от стандартных скриптов. Это связано с тем, что модули автоматически используют строгий режим.
    • Нет необходимости использовать атрибут defer (см. Атрибуты