Решение найти корень уравнения: решение уравнений с двумя переменными

Уравнение. Корень уравнения | Математика

Уравнение — это равенство, которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.

Например, равенство  10 — x = 2  является уравнением, так как оно справедливо только при  x = 8.  Равенство  x² = 49  — это уравнение, справедливое при двух значениях  x,  а именно, при

x = +7   и   x = -7,

так как

(+7)² = 49   и   (-7)² = 49.

Если вместо  x  подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как  x,  которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество, называются неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита  x,  y  и  z.

Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака  =,  называется левой частью уравнения, а стоящее справа — правой частью уравнения. Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения:

Корни уравнения

Корень уравнения — это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.

Например, корнем уравнения

10 — x = 2

является число  8,  а у уравнения

x² = 49

два корня —  +7  и  -7.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.

Виды уравнений

Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которые кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.

Примеры:

x — a = b +

c;

3x + c = 2a + 5.

По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.

Примеры:

7x + 2 = 35 — 2x  — уравнение с одним неизвестным,

3x + y = 8x — 2y  — уравнение с двумя неизвестными.

Уравнение и его корни с примерами

п.1. Определение уравнения и его корня

Уравнением с одной переменной x называют равенство f(x)=g(x), для которого поставлена задача найти все значения переменной x, которые обращают это равенство в истинное числовое равенство.

Значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называют

корнем уравнения f(x)=g(x).

Например, для уравнения 15x+8=23 корнем является значение x=1. 2 = -1$ действительных корней не имеет.

В уравнении 5(x + 3)=5x + 15 бесконечное количество корней, т.к. оно превращается в истинное равенство при любом $x \in \Bbb R$, т.е. является тождеством.

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.

п.2. Примеры

Пример 1. Решите уравнение и выполните проверку x — (3 — 2x) = 9

Решение:

x-(3-2x)=9 $\iff$ x-3+2x=9 $\iff$ x+2x=9+3 $\iff$ 3x=12 $\iff$ x=4

Проверка:

$4 -(3 — 2 \cdot 4)=9 \implies 4 — 3 + 8 = 9 \implies 9 \equiv 9$

Ответ: x = 4

Пример 2. Решите уравнение и выполните проверку 7(x + 3) = 56

Решение:

7(x + 3)=56 |:7 $\iff$ x + 3 = 8 $\iff$ x = 8 — 3 $\iff$ x=5

Проверка:

$7(5 + 3) = 56 \implies 7 \cdot 8 = 56 \implies 56 \equiv 56$

Ответ: x = 5

Пример 3. Решите уравнение и выполните проверку (3x + 4) : 2 = 14

Решение:

(3x + 4) : 2=14 |$\times$2 $\iff$ 3x + 4 = 28 $\iff$ 3x = 28 — 4 $\iff$ 3x = 24 $\iff$ x=8

Проверка:

$(3 \cdot 8 + 4) : 2 = 14 \implies (24 + 4) : 2 = 14 \implies 28 : 2 = 14 \implies 14 \equiv 14$

Ответ: x = 8

Пример 4. Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0$

Решение:

$\frac {3x-7}{3} — \frac {5x-11}{5} = 0 | \times 15 \iff5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff$

$ \iff 15x-35-15x+33=0 \iff 0x=2 \iff x \in \varnothing $

Решений нет.

Ответ: $x \in \varnothing $

Пример 5. Решите уравнение $\frac {2x — 7}{2} = \frac {3x+6}{3}$

Решение:

$\frac {2x-7}{2}=\frac {x+6}{3} | \times 6 \iff 3(2x-7)=2(x+6) \iff 6x-21=2x+12 \iff $

$\iff 6x-2x=12+21 \iff 4x=33 \iff x= \frac {33}{4} =8 \frac 14$

Ответ: $8 \frac 14$

Пример 6. Решите уравнение |x+1|=5

Решение:

$$|x+1|=5 \iff \left[ \begin{array}{cc} {x+1=-5}\\ {x+1=5} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x=-5-1}\\ {x=5-1} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x_1=-6}\\ {x_2=4} \end{array} \right. $$

Ответ: $ x_1=-6, x_2=4$

Пример 7*. Решите уравнение и выполните проверку |x + 1| = x + 3

Решение:

$$ |x + 1| = x + 3 \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+1 \ge 0 \\ x+1=x+3 \end{array} \right. }\\ {\left\{ \begin{array}{c} x+1<0 \\ -(x+1)=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1 \\ 1=3 \end{array} \right.}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-1=x+3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff $$

$$ \iff \left[ \begin{array}{cc} {\emptyset}\\ {\left\{ \begin{array}{c} x<-1 \\ -x-x=3+1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {-2x=4} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {x<-1}\\ {x=-2} \end{array} \right. \iff x=-2 $$

Проверка:

$$|-2+1|=-2+3 \implies |-1|=1\implies 1 \equiv 1$$

Ответ: x = -2

Пример 8. При каком значении a уравнение 5ax + 18 = 3 будет иметь корень x = -3?

Решение:

Подставляем x=-3 в уравнение и решаем его относительно параметра a:

5a $\cdot$ (-3) + 18 = 3 $\iff$ -15a = 3 — 18 $\iff$ -15a = -15 $\iff$ a = -15:(-15)=1

a=1

Ответ: a = 1

Найдите корень уравнения — задание 5 из ЕГЭ

Автор Ольга Викторовна На чтение 4 мин. Просмотров 335 Опубликовано 12.11.2015

Сегодня мы будем тренировать навык решения задания 5 ЕГЭ — найдите корень уравнения. Будем искать корень уравнения. Рассмотрим примеры решения такого рода заданий. Но для начала, давайте вспомним — что значит — найти корень уравнения?

Это значит найти такое, зашифрованное под х число, которое мы подставим вместо x и наше уравнение будет верным равенством.

Например, 3x=9 — это уравнение, а 3^.3=9 — это уже верное равенство. То есть в данном случае, мы вместо x подставили число 3 — получили верное выражение или равенство, это означает, что мы решили уравнение, то есть нашли данное число x=3, которое превращает уравнение в верное равенство.

Вот этим мы и займемся  — будем находить корень уравнения.

Задание 1 — найдите корень уравнения 2

^1-4x=32

Это показательное уравнение. Оно решается следующим образом — нужно чтобы и слева, и справа от знака «равно» была степень с одинаковым основанием.

Слева у нас основание степени 2, а справа — степени нет вовсе. Но мы знаем, что 32 — это 2 в пятой степени. То есть, 32=2⁵

Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: 2^1-4х=2⁵

Слева и справа у нас основания степени одинаковы, значит, чтобы у нас было равенство, должны быть равны и показатели степени:

1-4х=5

Получаем обыкновенное уравнение. Решаем обычным способом — все неизвестные оставляем слева, а известные переносим вправо, получим:

-4х=5-1

-4х=4

х=-1.

Делаем проверку: 2^1-4(-1)=32

2⁵=32

32=32

Мы нашли корень уравнение. Ответ: х=-1.

Самостоятельно найдите корень уравнения в следующих заданиях:

а) 2^5-х=64

б) 2^1-3х=128

Задание 2 — найдите корень уравнения 2

^5-x = 1/16

Уравнение решаем аналогично — путем приведения левой и правой частей уравнения к одному основанию степени. В нашем случае — к основанию степени 2.

Используем следующее свойство степени:

По этому свойству мы получим для правой части нашего уравнения:

Тогда наше уравнение запишется в виде:

Если равны основания степени, значит, равны и показатели степени:

5-х=-4

-х=-4-5

х=9

Ответ: х=9.

Сделаем проверку — подставим найденное значение х в исходное уравнение — если мы получим верное равенство, значит, мы решили уравнение правильно.

2^5-9=1/16

2^-4=1/16

1/16=1/16

Мы нашли корень уравнения правильно.

Задание 3 — найдите корень уравнения

Заметим, что справа у нас стоит 1/8, а 1/8 — это

Тогда наше уравнение запишется в виде:

Если основания степени равны, значит, равны и показатели степени, получим простое уравнение:

3х-12=3

3х=15

х=5

Ответ: х=5. Проверку сделайте самостоятельно.

Задание 4 — найдите корень уравнения log

₃(15-х)=log₃2

Это уравнение решается также как и показательное. Нам нужно, чтобы основания логарифмов слева и справа от знака «равно» были одинаковыми. Сейчас они одинаковы, значит, приравниваем те выражения, которые стоят под знаком логарифмов:

15-х=2

-х=2-15

-х=-13

х=13

Ответ: х=13

Задание 5 — найдите корень уравнения log

₃(3-x)=3

Число 3 — это log₃27. Чтобы было понятно внизу нижним индексом под знаком логарифма стоит число которое возводится в степень, в нашем случае 3, под знаком логарифма стоит число, которое получилось при возведении в степень — это 27, а сам логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

Смотрите на картинке:

Таким образом, любое число можно записать в виде логарифма. В данном случае очень удобно записать число 3 в виде логарифма с основанием 3. Получим:

log₃(3-x)=log₃27

Основания логарифмов равны, значит, равны и числа, стоящие под знаком логарифма:

3-х=27

Получим,

-х=27-3

-х=24

х=-24

Сделаем проверку:

log₃(3-(-24))=log₃27

log₃(3+24)= log₃27

log₃27=log₃27

3=3

Ответ: x=-24.

Задание 6. Найдите корень уравнения log(x+3)=log

₂(3x-15).

log₂(x+3)=log₂(3x-15)

Решение:

x+3=3x-15

x-3x=-3-15

-2x=-18

x=9

Проверка: log₂(9+3)=log₂(27-15)

log₂12=log₂12

Ответ: x=9.

Задание 7. Найдите корень уравнения log

₂(14-2x)=2log₂3

log₂(14-2x)=2log₂3

log₂(14-2x)=log₂3²

14-2x=3²

14-2x=9

-2x=9-14

-2x=-5

x=2,5

Проверка: log₂(14-5)=2log₂3

log₂9=2log₂3

log₂3²=2log₂3

2log₂3=2log₂3

Ответ: x=2,5

Подготовьтесь к ЕГЭ и к ОГЭ -посмотрите предыдущие темы Найдите значение выражения и Как решать неравенства .

Урок 26. уравнение. решение уравнений подбором неизвестного числа — Математика — 2 класс

Математика, 2 класс

Урок №26. Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое уравнение, корень уравнения?

— Как решить уравнение?

Глоссарий по теме:

Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство.

Решить уравнение, значит найти его корни.

Основная и дополнительная литература по теме урока

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1.– 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – С. 80-81.

2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – С. 60.

3. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – С. 60.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы умеете читать буквенные выражения. Например:

Вы уже знаете, что равенства бывают верные и неверные.

Рассмотрим верное равенство с окошком: + 4 = 12

Запишем вместо окошка маленькую латинскую букву , как в буквенное выражение. Какое число надо поместить вместо буквы х, чтобы равенство стало верным?

Это число 8. Получили верное равенство: сумма чисел 8 и 4 равна 12.

х + 4 = 12

х = 8

8 + 4 = 12

Равенство с буквой , которое мы записали – это уравнение.

Неизвестное число обозначается маленькими латинскими буквами, как и в буквенном выражении.

Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых равенство будет верным. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство, называется корень уравнения.

Решим уравнение 10 – d = 6 способом подбора.

Возьмём число 5. Сейчас проверим, верно ли подобрали число. Заменим d в уравнении числом 5. Получим равенство: 10 – 5 = 6. Оно неверно. Значит, число подобрали неверно.

Попробуем взять другое число. Например, 4. При подстановке его вместо d получили верное равенство: 10 – 4 = 6. Значит, число четыре – корень уравнения, его решение.

Сейчас мы с вами рассмотрим, как по схеме составить уравнение. Перед нами такая схема. Изучим, что обозначает каждое число в схеме. Число 27 обозначает «целое». Оно состоит из двух частей. Первая «часть» – это число 20, вторая «часть» – это число х.

20 х

27

Воспользуемся правилом,

ЧАСТЬ + ЧАСТЬ = ЦЕЛОЕ

Запишем равенства:

20 + x = 27

27 – x = 20

Рассмотрим другой пример. Перед вами другая схема. Изучим, где на схеме целое, а где части: х — это «целое», а 30 и 6 – это части.

30 6

х

Воспользуемся правилом,

Вывод: Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Когда решение уравнения находится легко, пользуются способом подбора. Нужно подобрать такое число, чтобы получилось верное равенство.

Тренировочные задания.

1. Соедините уравнение с его решением.

Правильные ответы:

2. Выберите и подчеркните среди математических записей уравнения.

15 + 6 = 21

17 – d

b + 3 = 12

3 + 5 > 6

48 – a = 8

9 + e < 39

k – 4 = 10

Правильные ответы:

15 + 6 = 21

17 – d

b + 3 = 12

3 + 5 > 6

48 – a = 8

9 + e < 39

k – 4 = 10

Уравнения

Обычно имеет вид:

Виды уравнений

Уравнения различаются по типам (обычно в зависимости от содержимого выражений слева и справа от знака «равно»:

. ..и так далее.

Корень уравнения

При решении любого уравнения мы стремимся найти такое значение для переменной (обычно икса), при котором левая часть уравнения станет равна правой. Это значение и будет называться корнем уравнения (не путать с квадратным корнем — это разные понятия!)

Таким образом,

Корень уравнения есть такое число, при подстановке которого в уравнение вместо \(x\), получаются одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно. А найти все такие числа (или показать, что их нет) и значит решить уравнение.

Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\), мы находим ответ: \(x=3\). И если мы подставим это число вместо икса, получим одинаковые значения слева и справа:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.

Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная, а корень – это число, которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.

Как решать уравнения?

Для того, чтобы найти корни уравнения, используют равносильные преобразования. Смысл при этом в том, чтобы после преобразований получить более простое уравнение, имеющее такие же корни (то есть, равносильное исходному).

Пример: Решить уравнение \(2(1-x)=23-5x\)
Решение: Сразу найти такой икс, чтоб левая и правая части уравнялись – проблематично: перебирать долго. Давайте равносильно преобразуем (почему преобразования именно такие – читайте здесь).

   \(2-2x=23-5x\)
\(-2x+5x=23-2\)
\(3x=21\)
\(x=7\)

Ответ: \(7\)

Обратите внимание, что с каждым шагом уравнение становится проще: если в исходном уравнении понять, что корнем будет число \(7\) сложно, то в \(3x=21\) (а уж тем более в \(x=7\)) это очевидно. Но при этом семерка является корнем для любого из уравнений, полученных в процессе преобразований, и других корней в них нет.

Кстати, заметьте, что \(x=7\) — это тоже уравнение. Просто в нем очевиден корень, поэтому большинство учеников даже не воспринимают эту запись за уравнение, считая, что это, мол, ответ так записывается. Не-не-не, \(x=7\) — это тоже вполне себе полноценное уравнение, только очень простое. А ответ (то есть корень) – просто число \(7\).

ОДЗ — опасная ловушка

В некоторых типах уравнений (дробно-рациональных, логарифмических, иррациональных, а также тригонометрических с тангенсом или котангенсом) помимо решения самого уравнения необходимо также учитывать ограничения на ОДЗ (область допустимых значений).

Пример: Найдите корни уравнения \(\sqrt{4x+5}=x\)
Решение:

\(\sqrt{4x+5}=x\)		Возведем в квадрат правую и левую части
\(4x+5=x^2\)		Перенесем \(x^2\) влево, поменяв знак перед ним
\(-x^2+4x+5=0\)		Умножим уравнение на \(-1\)
\(x^2-4x-5=0\)		Решаем квадратное уравнение и находим корни
\(x_{1}=5\)        \(x_{2}=-1\)		Готово

Всё? Можно писать ответ?

Не так быстро. Дело в том, что один из корней тут лишний. Давайте подумаем. У нас в левой части есть квадратный корень. А он, как известно, во-первых, не извлекается из отрицательных значений, а во-вторых, сам не может быть равен отрицательному числу. Таким образом, у нас икс НЕ МОЖЕТ иметь значение, которое приведет нас к одной из этих ситуаций. Иными словами, икс должен быть таким, чтоб:
             — подкоренное выражение было больше или равно нулю,
             — правая часть была больше или равна нулю.

То есть в качестве ограничений на значения икса (так называемую область определения или область допустимых значений) мы имеем систему неравенств: \(\begin{cases}4x+5\geq0\\x \geq 0\end{cases}\)

Решая систему, получаем: \(\begin{cases}x\geq-1,25\\x \geq 0\end{cases}\)      \(\Rightarrow\)      \(x\in [0;+\infty)\)

Таким образом, получается, что нам подойдут только те иксы, которые больше нуля или равны нулю. А значит \(x_{2}=-1\) не подойдет по ОДЗ.

И действительно, если мы поставим \(-1\) в уравнение, получим:

\(\sqrt{4x+5}=x\)
\(\sqrt{4\cdot(-1)+5}=-1\)
\(\sqrt{1}=-1\)

Пришли к противоречию, ведь \(\sqrt{1}\neq-1\)

Окончательный ответ: \(5\)

Скачать статью

Как найти больший корень уравнения пример. Корень уравнения

Получив общее представление о равенствах , и познакомившись с одним из их видов — числовыми равенствами , можно начать разговор еще об одном очень важном с практической точки зрения виде равенств — об уравнениях. В этой статье мы разберем, что такое уравнение , и что называют корнем уравнения. Здесь мы дадим соответствующие определения, а также приведем разнообразные примеры уравнений и их корней.

Навигация по странице.

Что такое уравнение?

Целенаправленное знакомство с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе. В это время дается следующее определение уравнения :

Определение.

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p , t , u и т.п., но наиболее часто используются буквы x , y и z .

Таким образом, уравнение определяется с позиции формы записи. Иными словами, равенство является уравнением, когда подчиняется указанным правилам записи – содержит букву, значение которой нужно найти.

Приведем примеры самых первых и самых простых уравнений. Начнем с уравнений вида x=8 , y=3 и т.п. Чуть сложнее выглядят уравнения, содержащие вместе с числами и буквами знаки арифметических действий, например, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

Разнообразие уравнений растет после знакомства со – начинают появляться уравнения со скобками, например, 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3 . Неизвестная буква в уравнении может присутствовать несколько раз, к примеру, x+3+3·x−2−x=9 , также буквы могут быть в левой части уравнения, в его правой части, или в обеих частях уравнения, например, x·(3+1)−4=8 , 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .

Дальше после изучения натуральных чисел происходит знакомство с целыми, рациональными, действительными числами, изучаются новые математические объекты: степени, корни, логарифмы и т.д., при этом появляются все новые и новые виды уравнений, содержащие эти вещи. Их примеры можно посмотреть в статье основные виды уравнений , изучающиеся в школе.

В 7 классе наряду с буквами, под которыми подразумевают некоторые конкретные числа, начинают рассматривать буквы, которые могут принимать различные значения, их называют переменными (смотрите статью ). При этом в определение уравнения внедряется слово «переменная», и оно становится таким:

Определение.

Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.

Например, уравнение x+3=6·x+7 – уравнение с переменной x , а 3·z−1+z=0 – уравнение с переменной z .

На уроках алгебры в том же 7 классе происходит встреча с уравнениями, содержащими в своей записи не одну, а две различные неизвестные переменные. Их называют уравнениями с двумя переменными. В дальнейшем допускают присутствие в записи уравнений трех и большего количества переменных.

Определение.

Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.

Например, уравнение 3,2·x+0,5=1 – это уравнение с одной переменной x , в свою очередь уравнение вида x−y=3 – это уравнение с двумя переменными x и y . И еще один пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Понятно, что такое уравнение – это уравнение с тремя неизвестными переменными x , y и z .

Что такое корень уравнения?

С определением уравнения непосредственно связано определение корня этого уравнения. Проведем некоторые рассуждения, которые нам помогут понять, что такое корень уравнения.

Допустим, перед нами находится уравнение с одной буквой (переменной). Если вместо буквы, входящей в запись этого уравнения, подставить некоторое число, то уравнение обратиться в числовое равенство. Причем, полученное равенство может быть как верным, так и неверным. Например, если вместо буквы a в уравнение a+1=5 подставить число 2 , то получится неверное числовое равенство 2+1=5 . Если же мы в это уравнение подставим вместо a число 4 , то получится верное равенство 4+1=5 .

На практике в подавляющем большинстве случаев интерес представляют такие значения переменной, подстановка которых в уравнение дает верное равенство, эти значения называют корнями или решениями данного уравнения.

Определение.

Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.

Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.

Поясним это определение на примере. Для этого вернемся к записанному выше уравнению a+1=5 . Согласно озвученному определению корня уравнения, число 4 есть корень этого уравнения, так как при подстановке этого числа вместо буквы a получаем верное равенство 4+1=5 , а число 2 не является его корнем, так как ему отвечает неверное равенство вида 2+1=5 .

На этот момент возникает ряд естественных вопросов: «Любое ли уравнение имеет корень, и сколько корней имеет заданное уравнение»? Ответим на них.

Существуют как уравнения, имеющие корни, так и уравнения, не имеющие корней. Например, уравнение x+1=5 имеет корень 4 , а уравнение 0·x=5 не имеет корней, так как какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо переменной x , мы получим неверное равенство 0=5 .

Что касается числа корней уравнения, то существуют как уравнения, имеющие некоторое конечное число корней (один, два, три и т.д.), так и уравнения, имеющие бесконечно много корней. Например, уравнение x−2=4 имеет единственный корень 6 , корнями уравнения x 2 =9 являются два числа −3 и 3 , уравнение x·(x−1)·(x−2)=0 имеет три корня 0 , 1 и 2 , а решением уравнения x=x является любое число, то есть, оно имеет бесконечное множество корней.

Пару слов стоит сказать о принятой записи корней уравнения. Если уравнение не имеет корней, то обычно так и пишут «уравнение не имеет корней», или применяют знак пустого множества ∅. Если уравнение имеет корни, то их записывают через запятую, или записывают как элементы множества в фигурных скобках. Например, если корнями уравнения являются числа −1 , 2 и 4 , то пишут −1 , 2 , 4 или {−1, 2, 4} . Допустимо также записывать корни уравнения в виде простейших равенств. Например, если в уравнение входит буква x , и корнями этого уравнения являются числа 3 и 5 , то можно записать x=3 , x=5 , также переменной часто добавляют нижние индексы x 1 =3 , x 2 =5 , как бы указывая номера корней уравнения. Бесконечное множество корней уравнения обычно записывают в виде , также при возможности используют обозначения множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , действительных чисел R . Например, если корнем уравнения с переменной x является любое целое число, то пишут , а если корнями уравнения с переменной y является любое действительное число от 1 до 9 включительно, то записывают .

Для уравнений с двумя, тремя и большим количеством переменных, как правило, не применяют термин «корень уравнения», в этих случаях говорят «решение уравнения». Что же называют решением уравнений с несколькими переменными? Дадим соответствующее определение.

Определение.

Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.

Покажем поясняющие примеры. Рассмотрим уравнение с двумя переменными x+y=7 . Подставим в него вместо x число 1 , а вместо y число 2 , при этом имеем равенство 1+2=7 . Очевидно, оно неверное, поэтому, пара значений x=1 , y=2 не является решением записанного уравнения. Если же взять пару значений x=4 , y=3 , то после подстановки в уравнение мы придем к верному равенству 4+3=7 , следовательно, эта пара значений переменных по определению является решением уравнения x+y=7 .

Уравнения с несколькими переменными, как и уравнения с одной переменной, могут не иметь корней, могут иметь конечное число корней, а могут иметь и бесконечно много корней.

Пары, тройки, четверки и т.д. значений переменных часто записывают кратко, перечисляя их значения через запятую в круглых скобках. При этом записанные числа в скобках соответствуют переменным в алфавитном порядке. Поясним этот момент, вернувшись к предыдущему уравнению x+y=7 . Решение этого уравнения x=4 , y=3 кратко можно записать как (4, 3) .

Наибольшее внимание в школьном курсе математики, алгебры и начал анализа уделяется нахождению корней уравнений с одной переменной. Правила этого процесса мы очень подробно разберем в статье решение уравнений .

Список литературы.

• Математика . 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] — 3-е изд. — М.: Просведение, 2012. — 96 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021134-5.

Способы найти корень уравнения — правила вычисления.

Уравнение – математическое выражение, содержащее одну или несколько неизвестных. Решить уравнение – значит найти такие значения аргументов, при которых достигается равенство левой и правой частей выражения (заданных функций). Найденные значения называются корнями уравнения.

В математике выделяют линейные, квадратные и кубические уравнения. Для того чтобы найти корень уравнения определенного типа используются различные методы.

Линейное уравнение

Выражение вида а*х=b называется линейным уравнением. В нем а – коэффициент при переменной, b – свободный член. При его решении может быть три случая, в которых:

• а 0. Корень в этом случае вычисляется по формуле: x=b/a. Например, дано уравнение x+3=9-2*x. Выражения с «Х» переносятся в одну сторону, а свободные члены – в другую: х+2*х=9-3, или 3*х=6. Тогда х=6/3, х=2.
• а=0, b=0. Уравнение примет вид 0*х=0. Это равенство будет верным при любом значении «Х». Значит, корнем уравнения будет любое действительное число.
• а=0, b 0. Получится выражение 0*х=b, для которого не существует корней.

Квадратное уравнение

Уравнение вида называется квадратным (а 0). «А» и «B» называются коэффициентами, а «С» – свободным членом. Количество корней зависит от значения дискриминанта, который вычисляется по формуле. В том случае, если:

• D
• D=0 – есть один корень, который находится по формуле: x=-b/(2*a).
• D>0 – существует два корня, определяемые следующим образом: Например, дано уравнение 3*х2-2*х-5=0. Дискриминант D=4-4*3*(-5)=64. Будет два корня.

Кубическое уравнение

Выражение вида называется кубическим уравнением. Оно может обладать несколькими корнями, для вычисления которых нужно:

• Найти один из корней, который представляет собой делитель свободного члена «d» путем подстановки всех возможных делителей, пока левая часть выражения не станет равной нулю.
• Разделить исходное уравнение на найденный корень, в результате чего выражение будет приведено к виду квадратного.
• Найти корни полученного уравнения. Например, дано уравнение. Делители свободного члена 12 – ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Левая часть принимает значение, равное 0 при х=2. Значит 2 – первый корень. Затем нужно разделить исходное выражение на (х-2). Получится квадратное уравнение. Его корнями будут числа..

Другие способы

Помимо алгебраического вычисления необходимых значений можно воспользоваться:

• Бесплатным онлайн-калькулятором (allcalc.ru).
• Графическим способом, когда строится график функции, точки пересечения которого с осью «Х» будут корнями уравнения.

В математике встречаются разнообразные уравнения. Их всегда нужно решать, то есть искать все числа, которые сделают его верным равенством. Пути поиска решений определяются первоначальным видом уравнения. От него же будет зависеть и количество верных значений переменной, которые обозначаются, как корень уравнения. Это число может варьироваться от нуля до бесконечности.

Что подразумевается под уравнением и его корнем?

Из названия понятно, что оно приравнивает две величины, которые могут быть представлены числовыми или буквенными выражениями. Кроме того, они содержат еще неизвестные величины. Самое простое уравнение имеет только одну.

Видов уравнений большое количество, но понятие корня для них всегда одно и то же. Корень уравнения — это такое значение неизвестного числа, при котором уравнение принимает становится верным равенством. Бывают ситуации, когда таких чисел несколько, тогда неизвестная называется переменной.

Поиск всех возможных корней уравнения является его решением. То есть нужно выполнить ряд математических действий, которые его упрощают. А потом приводят к равенству, в котором содержится только неизвестная и какое-либо число.

В алгебре при решении уравнений можно прийти к такой ситуации, что корней не будет совсем. Тогда говорят о том, что оно неразрешимо. А в ответе такого уравнения нужно записать, что решений нет.

Но иногда бывает и противоположное. То есть в процессе многочисленных преобразований появляются посторонние корни. Они не дадут верного равенства при подстановке. Поэтому числа всегда нужно проверять, чтобы избежать ситуации с лишними корнями в ответе. Иначе уравнение не будет считаться решенным.

О линейном уравнении

Оно всегда может быть преобразовано в запись следующего вида: а * х + в = 0. В нем «а» всегда не равно нулю. Чтобы понять сколько корней имеет уравнение, его потребуется решить в общем виде.

Алгоритм преобразований:

• перенести в правую часть равенства слагаемое «в», заменив его знак на противоположный;
• разделить обе части получившегося равенства на коэффициент «а».

Общий вид решения такой:

х = -в/а .

Из него ясно, что ответом будет одно число. То есть всего один корень.

Квадратное уравнение

Его общий вид: а * х 2 + в * х + с = 0 . Здесь коэффициенты являются любыми числами, кроме первого, «а», которое не может быть равным нулю. Ведь тогда оно автоматически превратится в линейное. Ответ на вопрос, сколько корней имеет уравнение, уже не будет столь однозначным, как это было в предыдущем случае.

Все будет зависеть от значения дискриминанта. Он вычисляется по формуле Д = в 2 — 4 а * с . После расчетов «Д» может получиться больше, меньше или равным нулю. В первом случае корней уравнения будет два, во втором ответом будет «корней нет», а третья ситуация даст только одно значение неизвестной.

Формулы, которые используют для нахождения корней квадратного уравнения, и содержащие дискриминант

В общем случае, когда «Д» положительное число, не равное нулю, нужно использовать такую формулу:

х 1,2 = (-в ± √Д) / (2 * а) .

Здесь всегда получится два ответа. Это связано с тем, что в исходной формуле стоит знак «плюс/минус». Он существенно изменяет значение неизвестной.

При равенстве «Д» нулю корень уравнения — это единственное число. Просто потому что квадратный корень из нуля равен нулю. А значит, прибавлять и вычитать нужно будет ноль. От этого число не изменится. Поэтому формулу корня уравнения можно записать без упоминания «Д»:

х = (-в) / (2 * а).

При отрицательном значении дискриминанта извлечь из него квадратный корень не представляется возможным. Поэтому корней у такого уравнения не будет.

Замечание. Это верно для курса школьной программы, в которой не изучаются комплексные числа. Когда они вводятся, то получается, что и в этой ситуации ответов будет два.

Формулы для расчета корней квадратного уравнения, не использующие дискриминант

Речь идет о теореме Виета. Она действительна в случае, когда квадратное уравнение записывается в несколько другом виде:

х 2 + в * х + с = 0.

Тогда формула корней квадратного уравнения сводится к тому, чтобы выполнить решение двух линейных:

х 1 + х 2 = -в
и
х 1 * х 2 = с.

Оно решается за счет того, что из первого выводится выражение для одного из корней. И это значение нужно подставить во второе. Так будет найден второй корень, а потом первый.

К этому варианту всегда можно прийти от общего вида квадратного уравнения.

Достаточно только разделить все коэффициенты на «а».

Как быть, если нужно узнать наименьшее значение корня?

Решать уравнение и находить все возможные числа, которые подойдут для ответа. А потом выбрать самое малое. Это и будет наименьший корень уравнения.

Чаще всего такие вопросы встречаются в заданиях, которые имеют степень большую, чем 2, или содержат тригонометрические функции. Примером, когда нужно найти наименьший корень, может служить такое равенство:

2 х 5 + 2 х 4 — 3 х 3 — 3 х 2 + х + 1 = 0.

Чтобы найти каждое значение, которое можно назвать «корень уравнения», это равенство нужно преобразовать. Первое действие: сгруппировать его члены попарно: первый со вторым и так далее. Потом из каждой пары вынести общий множитель.

В каждой скобке останется (х + 1). Общим множителем в первой из пар будет 2 х 4 , во второй 3 х 2 . Теперь снова нужно выполнить вынесение общего множителя, которым будет являться одинаковая скобка.

После множителя (х + 1) будет стоять (2 х 4 — 3 х 2 + 1). Произведение двух множителей равняется нулю, только если один из них принимает значение, равное нулю.

Первая скобка равна нулю при х = -1. Это будет одним из корней уравнения.

Другие будут получены из уравнения, образованного второй скобкой, приравненной к нулю. Оно биквадратное. Для его решения нужно ввести обозначение: х 2 = у. Тогда уравнение существенно преобразится и примет привычный вид квадратного уравнения.

Его дискриминант равен Д = 1. Он больше нуля, значит корней будет два. Первый корень оказывается равным 1, второй будет 0,5. Но это значения для «у».

Нужно вернуться к введенному обозначению. х 1,2 = ± 1, х 3,4 = ± √0,5. Все корни уравнения: -1; 1; -√0,5; √0,5. Наименьший из них — -1. Это ответ.

В качестве заключения

Напоминание: все уравнения нужно проверять на то, подходит ли корень. Может быть, он посторонний? Стоит выполнить проверку предложенного примера.

Если подставить в изначально данное уравнение вместо «х» единицу, то получается, что 0 = 0. Этот корень верный.

Если х = -1, то получается такой же результат. Корень тоже подходящий.

Аналогично, при значениях «х» равных -√0,5 и √0,5 опять выходит верное равенство. Все корни подходят.

Этот пример не дал посторонних корней. Такое бывает не всегда. Вполне могло оказаться, что самое маленькое значение не подходило бы при проверке. Тогда пришлось бы выбирать из оставшихся.

Вывод: надо помнить о проверке и внимательно подходить к решению.

Если есть две величины, а между ними стоит знак равенства, то это пример, который называют уравнением. Высчитав неизвестное, мы узнаем корень. Чтобы рассекретить это неизвестное, придется потрудиться над вычислением.

Понятнее будет, если возьмем в работу конкретное уравнение: x+10=16-2х. Оно относится к линейным, составляют его свободные члены и неизвестное х. Разносим эти составляющие в разные стороны от знака равенства. Теперь уравнение приобрело такой вид: 2х + х = 16 – 10 или 3х = 6; х = 2. Результат: Х = 2. Немного больший запас знаний нужно для вычисления корня в примере, где искомое в квадрате. Это уравнение квадратное и отличие его от линейного в том, что результатов может быть 1 или 2 или обнаружится, что корней 0. Чтобы понять лучше, решим уравнение: Х, возведенный в квадрат, умножить на 3 + 3Х = 90. Делаем так, чтобы справа образовался 0: Х2 х 3 + 3Х -90 = 0. Числа перед Х – коэффициенты 1, 3, 3. Требуется определение дискриминанта: возводим в квадрат 3 – второй коэффициент и отнимаем произведение 1 и 3. В итоге получим 6 – значит, доведя до конца расчет, обнаружим, что у этого уравнения корней 2. Если бы дискриминант выражался числом отрицательным, то изощряться в вычислении корней было бы нерационально – их просто нет. В случае если D=0, корень только 1. Теперь все-таки выполним расчет, чтобы определить эти 2 корня. Для подсчета 1 корня ко второму коэффициенту со знаком – прибавляем корень из D и делим это на удвоенный первый коэффициент: -3 + квадратный корень из 16, делим на 2. Выйдет 1/2. Вычисление второго аналогично, только корень из D вычитаем. Имеем в результате – 3 целых и 1/2.

Сложнее квадратного уравнение кубическое. Вид у него такой: х3-3х2-4х+20=0. Подбираем число, на которое можно поделить свободный член, чтобы слева появился 0. Делители для 20 – это ±1, ±2, ±4, ±5, ± 10, ± 20. Получается, что это делитель 5, он же и один из искомых корней. Остается решить квадратное уравнение и все корни известны.

Вот и все премудрости. Нет ничего сложного, но чтобы было совсем просто, можно воспользоваться онлайн-калькулятором.

В алгебре существует понятие двух видов равенств — тождества и уравнения. Тождества — это такие равенства, которые выполнимы при любых значениях букв, в них входящих. Уравнения — это тоже равенства, но выполнимы они лишь при некоторых значениях входящих в них букв.

Буквы по условию задачи обычно бывают неравноправными. Это значит, что одни из них могут принимать любые допустимые значения, называемые коэффициентами (или параметрами), другие же — их называют неизвестными — принимают значения, которые необходимо найти в процессе решения. Как правило, неизвестные величины обозначают в уравнениях буквами, последними в (x.y.z и т.д.), либо такими же буквами, но с индексом (х 1 ,х 2 , и т.д.), а известные коэффициенты — первыми буквами того же алфавита.

По количеству неизвестных выделяют уравнения с одним, двумя и несколькими неизвестными. Таким образом, все значения неизвестных, при которых решаемое уравнение превращается в тождество, называются решениями уравнений. Уравнение можно считать решенным в том случае, если найдены все его решения или доказано, что оно таковых не имеет. Задание «решить уравнение» на практике встречается часто и означает, что нужно отыскать корень уравнения.

Определение : корнями уравнения называются те значения неизвестных из области допустимых, при которых решаемое уравнение превращается в тождество.

Алгоритм решения абсолютно всех уравнений одинаков, и смысл его заключается в том, чтобы с помощью математических преобразований данное выражение привести к более простому виду.
Уравнения, которые имеют одинаковые корни, в алгебре называются равносильными.

Простейший пример: 7х-49=0, корень уравнения х=7;
х-7=0, аналогично, корень х=7, следовательно, уравнения равносильные. (В частных случаях равносильные уравнения могут совсем не иметь корней).

Если корень уравнения одновременно является корнем другого, более простого уравнения, полученного из исходного путем преобразований, то последнее называется следствием предыдущего уравнения.

Если их двух уравнений одно является следствием другого, то они считаются равносильными. Еще их называют эквивалентными. Приведенный выше пример это иллюстрирует.

Решение даже самых простых уравнений на практике нередко вызывает сложности. В результате решения можно получить один корень уравнения, два и более, даже бесконечное количество — зависит это от вида уравнений. Есть и такие, у которых нет корней, они называются неразрешимыми.

Примеры:
1) 15х -20=10; х=2. Это единственный корень уравнения.
2) 7х — y=0. Уравнение имеет бесконечное множество корней, так как у каждой переменной может быть бесчисленное количество значений.
3) х 2 = — 16. Число, возведенное во вторую степень, всегда дает положительный результат, поэтому невозможно отыскать корень уравнения. Это и есть одно из неразрешимых уравнений, о которых говорилось выше.

Правильность решения проверяется подстановкой найденных корней вместо букв и решением получившегося примера. Если тождество соблюдается, решение верное.

2 класс. Математика. Понятие «уравнение». Корень уравнения. Решение уравнений — Понятие «уравнение». Корень уравнения. Решение уравнений

Комментарии преподавателя

§1. Что такое уравнение?

Вам уже знакомы такие математические понятия, как «выражение», «равенство», «неравенство».

«Уравнение» — это еще одно математическое понятие, с ним мы и познакомимся в этом уроке.

Давайте попробуем решить следующую задачу:

Фрекен Бок испекла 5 пирожков и положила их на тарелку.   Когда она отошла от стола, Карлсон подлетел и взял несколько пирожков.   На тарелке осталось только 2 пирожка.   Сколько пирожков взял Карлсон?

На основании условий задачи мы можем сделать такую запись: Всего Фрекен Бок испекла 5 пирожков. Запишем число 5. Карлсон взял пирожки, следовательно, количество пирожков уменьшилось, поэтому поставим знак  « – ». Сколько Карлсон взял пирожков, неизвестно, поэтому вместо числа оставим пустую клетку. Всего на тарелке осталось 2 пирожка. Запишем = 2.

Теперь давайте вместо пустой клетки – неизвестного числа, вставим букву, например, а. Получится следующая запись: 5 – а = 2

Такие равенства, в которых есть неизвестные числа, обозначенные буквой, называютуравнениями.

§2. Корень уравнение и метод подбора при решении уравнения

В уравнениях могут присутствовать любые математические знаки,  как «–», так  «+», например:  5 – а = 2, 5 + а = 9

В уравнениях неизвестное число принято обозначать малыми буквами латинского алфавита: a, b, c и т.д. Часто используют буквы x, y, z.

Например:

6 + у = 13

z – 8 = 3

х + 5 = 9

Вернемся к задаче про пирожки.

Полученное нами уравнение выглядит таким образом: 5 – а = 2.

Давайте попытаемся определить, какое число спряталось за буквой а?

Для этого будем подставлять вместо а разные числа до тех пор, пока не найдем число, подстановка которого сделает это равенство верным.

Подставим вместо а число 1.

Получим 5 – 1 = 2.

Но это неверное равенство, так как 5 – 1 = 4, а не 2.

Значит, а не может быть равным 1.

Подставим вместо а число 2.

Получим 5 – 2 = 2.

Это тоже неверное равенство, т.к. 5 – 2 = 3, а не 2.

Следовательно, а не может быть равным 2.

Подставим вместо а число 3.

Получим 5 – 3 = 2.

Мы получили верное равенство.

Значит, в уравнении 5 – а = 2 за  буквой а спряталось число 3.

Число, которое превращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

Следовательно, в нашем случае число 3 является корнем уравнения 5 – а = 2.

Способ, с помощью которого мы нашли корень уравнения, называется методом подбора.

Итак, подведем итоги урока:

Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число, обозначенное латинской буквой.

Число, которое превращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения.

 

ИСТОЧНИКИ

https://vimeo.com/112468248

http://znaika.ru/catalog/2-klass/matematika/Ponyatie-%C2%ABuravnenie%C2%BB.-Koren-uravneniya.-Reshenie-uravneniy

http://www.youtube.com/watch?v=Hbm7kWk5J34

http://www.youtube.com/watch?v=uzAgNOT5D0E

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.

решений или корней квадратных уравнений

решений или корней квадратных уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение

Действительное число x будет называться решением или корнем, если оно удовлетворяет уравнению, то есть. Легко видеть, что корни — это в точности точки пересечения по оси x квадратичной функции, то есть точки пересечения графика квадратичной функции с осью x.

а <0	а> 0

Пример 1: Найдите корни уравнения

Решение. Это уравнение эквивалентно

Поскольку 1 имеет два квадратных корня, решениями этого уравнения являются

Пример 2: Найдите корни уравнения

Решение. Этот пример несколько сложнее предыдущего, но мы увидим, как с ним работать в общем случае. Сначала обратите внимание, что у нас есть

Следовательно, уравнение эквивалентно

который совпадает с

Поскольку 3 имеет два квадратных корня, получаем

которые дают решения уравнения

Тогда мы можем задаться вопросом, можно ли свести какое-либо квадратное уравнение к самые простые, описанные в предыдущих примерах.Ответ несколько сложнее, но он был известен очень давно (вавилонянам около 2000 г. до н. Э.). Их идея была основана в основном на том, что завершает квадрат , что мы и сделали при решении второго примера.

[Алгебра] [Комплексные переменные] [Геометрия] [Тригонометрия] [Исчисление] [Дифференциальные уравнения] [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Мохамед Амин Хамси

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC.Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Поиск корней — Бесплатная справка по математике

Что такое «корень»?

Корень — это значение, для которого заданная функция равна нулю. Когда эта функция отображается на графике, корнями являются точки, в которых функция пересекает ось x.

Для функции \ (f (x) \) корнями являются значения x, для которых \ (f (x) = 0 \).Например, с функцией \ (f (x) = 2-x \) единственный корень будет \ (x = 2 \), потому что это значение дает \ (f (x) = 0 \).

Конечно, легко найти корни такой тривиальной проблемы, но как насчет чего-то такого безумного:

$$ f (x) = \ frac {(2x-3) (x + 3)} {x (x-2)} $$

Шаги по поиску корней рациональных функций

1. Установите каждый множитель в числителе равным нулю.

2. Решите этот множитель относительно x.

3. Проверьте множители знаменателя, чтобы убедиться, что вы не делите на ноль!

Коэффициенты числителя

Помните, что коэффициент — это что-то умножаемое или делимое, например \ ((2x-3) \) в приведенном выше примере. Итак, два множителя в числителе — это \ ((2x-3) \) и \ ((x + 3) \). Если или из этих факторов могут быть равны нулю, тогда вся функция будет равна нулю. Не имеет значения (ну, есть исключение), что говорит остальная часть функции, потому что вы умножаете на член, равный нулю.

Итак, суть в том, чтобы выяснить, как сделать числитель нулевым, и вы нашли свои корни (также известные как нули по понятным причинам!). В этом примере у нас есть два множителя в числителе, поэтому любой из них может быть равен нулю. Давайте установим их (по отдельности) равными нулю, а затем решим для значений x:

$$ 2x — 3 = 0 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \ frac {3} {2} $$

И

$$ x + 3 = 0 $$ $$ x = -3 $$

Итак, \ (x = \ frac {3} {2} \) и \ (x = -3 \) становятся нашими корнями для этой функции. Они также являются пересечениями по оси x при нанесении на график, потому что y будет равно 0, когда x равен 3/2 или -3.

Факторы знаменателя

Как и в случае с числителем, знаменатели умножаются на два множителя. Это \ (x \) и \ (x-2 \). Приравняем их к нулю и решим:

$$ x = 0 $$

И

$$ x — 2 = 0 $$ $$ x = 2 $$

Это , а не корней этой функции. Посмотрите, что происходит, когда мы подставляем 0 или 2 для x. В знаменателе получаем ноль, что означает деление на ноль. Это означает, что на данный момент функции не существует.Фактически, x = 0 и x = 2 становятся нашими вертикальными асимптотами (нулями в знаменателе). Итак, существует вертикальная асимптота при x = 0 и x = 2 для указанной выше функции.

Вот геометрическое изображение того, как выглядит приведенная выше функция, включая ОБА x-пересечения и ОБЕИ вертикальные асимптоты:

Сводка

Корни функции — это значения x, для которых функция равна нулю. Их также называют нулями. Когда дана рациональная функция, обнулить числитель путем обнуления факторов по отдельности.Убедитесь, что ваши нули не превращают знаменатель в нуль, потому что тогда у вас будет не корень, а вертикальная асимптота.

Найдите корни данного уравнения ниже:

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (корень) квадратного уравнения. Корни также называются перехватами x или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x .Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевой корень.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни. Мы уже видели, что завершение квадрата — полезный метод решения квадратных уравнений. Этот метод может быть использован для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. Фактически, корни функции

f ( x ) = ax ² + bx + c

даются по формуле корней квадратного уравнения.Корни функции — это перехваты x . По определению, координата y точек, лежащих на оси x , равна нулю. Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение

ось ² + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая для x и упрощая, получаем

Таким образом, корни квадратичной функции имеют вид,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b ² −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Настоящих корней нет. 2. b 2 −4 ac = 0 Существует один действительный корень. 3. b 2 −4 ac > 0 Есть два действительных корня.

Рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Настоящие корни отсутствуют

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает ось x . Поскольку квадратная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определяется по действительной прямой.Пример квадратичной функции без действительных корней дается формулой

.

f ( x ) = x ² — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

b ² −4 ac = (−3) ² — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит выше оси x.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

.

Случай 2: Один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b ² −4 ac = 0 в формуле корней квадратного уравнения, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, —

y = x ² ,

, где действительный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем:

f ( x ) = −4 x ² + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b ² −4 ac = (12) ² — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

.

Случай 3: Два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -перехватывание).Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня равны,

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями:,

f ( x ) = 2 x ² — 11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b ² — 4 ac = (−11) ² — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​открывающейся вверх параболой, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. иметь два корня), как показано ниже,

.

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Как использовать квадратичную формулу для поиска корней уравнений — Видео и стенограмма урока

Квадратичная формула

Квадратичная формула — это формула, которую мы можем использовать для нахождения корней квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0.

Чтобы использовать квадратную формулу для нахождения корней квадратного уравнения, все, что нам нужно сделать, это получить наше квадратное уравнение в форме a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подключите их к формуле. Чтобы идентифицировать эти значения, мы просто помним, что a перед x 2, b перед x , а c — это само по себе число.

Например, в нашем уравнении — x 2 + 4 x + 5 = 0, число перед x 2 равно -1, поэтому a = -1. Число перед x равно 4, поэтому b = 4. Наконец, само число 5, поэтому c = 5. Мы почти у цели! Все, что нам нужно сделать, это вставить эти значения в нашу формулу корней квадратного уравнения, и тогда мы сможем найти значения x , которые делают наше уравнение истинным. Тогда мы узнаем, сколько времени нужно, чтобы мяч коснулся земли.Приступим к подключению!

Мы видим, что шар находится на высоте 0, когда x = -1 и когда x = 5. В нашем случае мы можем игнорировать x = -1. Хотя верно, что x = -1 является корнем уравнения, мы знаем, что x представляет время, и у нас не может быть -1 секунды. Единственная причина, по которой это выглядит так, заключается в том, что, когда мы первоначально бросали мяч на 0 секунде, мы находились на высоте 5 футов над землей.

Поскольку мы отказались от ответа x = -1, остается лишь x = 5 в качестве решения нашей конкретной проблемы. Это говорит нам о том, что мяч ударился о землю через 5 секунд после того, как мы его бросили, поэтому он находился в воздухе 5 секунд. Разве это не замечательно, что мы смогли это выяснить, используя нашу формулу квадратов?

Другой пример

Рассмотрим еще один пример. Допустим, мы делаем каркасную поделку. На основе имеющихся у нас материалов площадь рамки может быть представлена ​​уравнением A = x 2 + 2 x , где A — это площадь рамки, а x — это площадь рамки. ширина рамки.Мы хотим, чтобы наша область была 24 на 2, поэтому нам просто нужно найти ширину, которая делает это так.

Для этого мы подставляем 24 для A , чтобы получить

x 2 + 2 x = 24

Мы вычитаем 24 с обеих сторон, чтобы получить уравнение в правильной форме:

x 2 + 2 x — 24 = 0

Теперь мы хотим идентифицировать a , b и c на основе чисел перед x 2, x и отдельно , соответственно.Таким образом, мы имеем a = 1, b = 2 и c = -24. Все, что нам нужно сделать сейчас, это подставить их в нашу квадратную формулу:

Мы видим, что ширина равна 4 или -6. Поскольку у нас не может быть отрицательной ширины, она должна быть равна 4, чтобы иметь площадь 24 дюйма2.

Резюме урока

Квадратное уравнение — это уравнение, в котором наивысший показатель любой переменной равен 2.Решения квадратных уравнений называются корнями . Квадратные уравнения имеют 2 корня. Мы можем найти корни квадратного уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:

Чтобы использовать это, запишем уравнение в виде a x 2 + b x + c = 0; идентифицировать a , b и c ; а затем подставьте эти значения в формулу.

Квадратные уравнения постоянно используются для моделирования явлений реального мира, поэтому очень полезно знать, как решать эти уравнения.Квадратичная формула — обязательный инструмент, который нужно добавить в свой математический инструментарий!

В поисках корней — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения образуют красивые кривые, такие как эта:

Имя

Название Quadratic происходит от «квадрата», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x ² ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:

• a , b и c — известные значения. a не может быть 0.

• « x » — это переменная или неизвестно (мы еще не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0		В этом случае a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0		Это немного сложнее: Где а ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 » б = −3 А где c ? Ну c = 0 , поэтому не показан.
5x — 3 = 0		Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2 (другими словами a = 0 , что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с этим

Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:

• график, а
• решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения —

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый		в стандартной форме	a, b и c
x 2 = 3x — 1	Переместить все термины в левую часть	x 2 — 3x + 1 = 0	a = 1, b = −3, c = 1
2 (ширина 2 — 2w) = 5	Развернуть (снять скобки), и переместите 5 влево	2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0	a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3	Разверните и переместите 3 влево	z 2 — z — 3 = 0	a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

« решений » квадратного уравнения — это где равно нулю .

Их еще называют «корни », иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполняйте вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b ² — 4ac) 2a

x = −b — √ (b ² — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

• Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
• Или представьте, что кривая настолько высока , что даже не пересекает ось x!

Вот где нам помогает «Дискриминант» …

Дискриминант

Вы видите b ² — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» возможные типы ответов:

• когда b ² — 4ac положительный, мы получаем два Реальных решения
• , когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
• при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратную формулу и произведите вычисления.

Пример: Решить 5x

² + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а

Вставьте a, b и c: x = −6 ± √ (6 ² -4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: x = −6 ± √ (36 ^-20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

х = -0.2 или -1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 :		5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1 = 0,2 — 1,2 + 1 = 0
Чек -1 :		5 × ( −1 ) 2 + 6 × ( −1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5–6 + 1 = 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:

♫	«x равно минус b		♫	«Вокруг тутового куста
	плюс или минус квадратный корень			Обезьяна погналась за лаской
	из квадрата b минус четыре a c			Обезьяна думала, что все было весело
	ВСЕ более двух а «			Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть несколько раз, и она застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а

«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
В 2 часа ночи все было кончено. «

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b ² — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Ух ты!

Пример: Решить 5x

² + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² — 4ac = 2 ² — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = −2 ± √ (−16) 10

√ (-16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = −2 ± 4 и 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы пришли к комплексным числам.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x

² — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b ² — 4ac = (−4) ² — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы пришли к комплексным числам.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x на уровне 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ). 2} с левой стороны, добавив обе стороны на +1.Затем решите значения x, извлекая квадратные корни из обеих частей уравнения. Как я упоминал ранее, нам нужно прикрепить символ плюс или минус к квадратному корню из константы.

Итак, у меня x = 5 и x = — \, 5 в качестве окончательных ответов , поскольку оба этих значения удовлетворяют исходному квадратному уравнению. Я оставлю это на ваше усмотрение.

---

Пример 2 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Эта проблема очень похожа на предыдущий пример.2}, по одному с каждой стороны уравнения. Мой подход состоит в том, чтобы собрать все квадраты x с левой стороны и объединить все константы с правой стороны. Затем решите относительно x как обычно, как в примерах 1 и 2.

Решения этой квадратной формулы: x = 3 и x = — \, 3.

---

Пример 4 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Две круглые скобки не должны вас беспокоить. Факт остается фактом: все переменные имеют квадратную форму, чего мы и хотим.2} термины слева и константы справа. Наконец, примените операцию извлечения квадратного корня с обеих сторон, и все готово!

Неплохо, правда?

---

Пример 5 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Поскольку член x дважды возводится во вторую степень, это означает, что мне нужно выполнить две операции извлечения квадратного корня, чтобы найти x.

Первый шаг — получить что-то вроде этого: () ² = константа .2} = \ pm \, 6 + 10 на два случая из-за «плюс» или «минус» в 6.

• Решите первый случай, когда 6 — это положительное значение .

• Решите второй случай, когда 6 — это отрицательное значение .

Решения этого квадратного уравнения: x = 4, x = — \, 4, x = 2 и x = — \, 2. Да, у нас есть четыре значения x, которые могут удовлетворять исходному квадратному уравнению.

---

Пример 6 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Решение :

---

Пример 7 : Решите квадратное уравнение ниже, используя метод квадратного корня.

Раствор:

---

Практика с рабочими листами

---

Возможно, вас заинтересует:

Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений по квадратичной формуле
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

.